سیستم معادلات خطی همگن

سیستم همگن معادلات خطیسیستم فرم نامیده می شود

واضح است که در این مورد ، زیرا تمام عناصر یکی از ستون ها در این تعیین کننده ها برابر با صفر هستند.

از آنجایی که مجهولات با فرمول ها پیدا می شوند ، در صورتی که Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل صفر منحصر به فرد دارد ایکس = y = z= 0. با این حال، در بسیاری از مسائل این سوال که آیا یک سیستم همگن راه حل هایی غیر از صفر دارد یا خیر، مورد توجه است.

قضیه.به منظور سیستم خطی معادلات همگنیک راه حل غیر صفر دارد، لازم و کافی است که Δ ≠ 0 باشد.

بنابراین، اگر دترمینال Δ ≠ 0 باشد، سیستم دارای است تنها تصمیم. اگر Δ ≠ 0 باشد، سیستم معادلات همگن خطی دارای بی نهایت جواب است.

مثال ها.

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس

اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود , ایکسیک ماتریس-ستون است که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق است آ. .

در بسیاری از مسائل، باید معادله را در نظر گرفت ایکس

جایی که λ مقداری است. واضح است که برای هر λ این معادله یک جواب صفر دارد.

عدد λ که این معادله برای آن جواب های غیر صفر دارد نامیده می شود مقدار خاصماتریس ها آ، آ ایکسبرای چنین λ نامیده می شود بردار خودماتریس ها آ.

بیایید بردار ویژه ماتریس را پیدا کنیم آ. از آنجا که E∙X=X، سپس معادله ماتریس را می توان به صورت بازنویسی کرد یا . در شکل بسط یافته، این معادله را می توان به صورت سیستمی از معادلات خطی بازنویسی کرد. واقعا .

و بنابراین

بنابراین، سیستمی از معادلات خطی همگن برای تعیین مختصات به دست آوردیم x 1, x2, x 3بردار ایکس. برای اینکه سیستم جواب های غیر صفر داشته باشد، کافی و لازم است که تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، یعنی.

این یک معادله درجه 3 با توجه به λ است. نامیده می شود معادله مشخصهماتریس ها آو برای تعیین مقادیر ویژه λ خدمت می کند.

هر مقدار ویژه λ مربوط به یک بردار ویژه است ایکس، که مختصات آن از سیستم در مقدار متناظر λ تعیین می شود.

مثال ها.

جبر برداری. مفهوم بردار

هنگام مطالعه شاخه های مختلف فیزیک، کمیت هایی وجود دارد که با تنظیم مقادیر عددی آنها به طور کامل تعیین می شوند، مثلاً طول، مساحت، جرم، دما و غیره. به چنین مقادیری اسکالر می گویند. اما علاوه بر آنها، کمیت هایی نیز وجود دارد که برای تعیین آنها علاوه بر مقدار عددی، باید جهت آنها را در فضا نیز دانست، مثلاً نیروی وارد بر بدن، سرعت و شتاب. زمانی که بدن در فضا حرکت می کند، تنش میدان مغناطیسیدر یک نقطه معین از فضا و غیره به چنین کمیت ها کمیت های برداری می گویند.

اجازه دهید یک تعریف دقیق ارائه کنیم.

بخش جهت داربیایید یک قطعه را نام ببریم که نسبت به انتهای آن مشخص است که کدام یک از آنها اول است و کدام دوم.

برداریک قطعه جهت دار نامیده می شود که طول معینی دارد، یعنی. این قسمتی با طول مشخص است که در آن یکی از نقاط محدود کننده آن به عنوان ابتدا و دومی به عنوان پایان در نظر گرفته می شود. اگر یک آآغاز بردار است، بپایان آن است، سپس بردار با نماد مشخص می شود، علاوه بر این، بردار اغلب با یک حرف مشخص می شود. در شکل، بردار با یک قطعه و جهت آن با یک فلش نشان داده شده است.

مدولیا طولانیبردار طول پاره جهتی است که آن را تعریف می کند. نشان داده شده با || یا ||.

به اصطلاح بردار صفر که ابتدا و انتهای آن بر هم منطبق است، بردار نیز نامیده می شود. مشخص شده است. بردار صفر جهت مشخصی ندارد و مدول آن برابر با صفر ||=0 است.

بردارها و نامیده می شوند خطیاگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند. در این صورت، اگر بردارها و به طور مساوی جهت باشند، برعکس می نویسیم.

بردارهایی که روی خطوط مستقیم موازی با همان صفحه قرار دارند نامیده می شوند هم صفحه.

دو بردار و نامیده می شوند برابراگر خطی باشند، جهت یکسانی داشته باشند و از نظر طول برابر باشند. در این صورت بنویسید.

از تعریف برابری بردارها چنین برمی‌آید که یک بردار را می‌توان با قرار دادن مبدأ آن در هر نقطه از فضا به موازات خود حرکت داد.

مثلا.

عملیات خطی روی بردارها

1. ضرب بردار در عدد.

   حاصل ضرب یک بردار و یک عدد λ نامیده می شود بردار جدیدبه طوری که:

   حاصل ضرب یک بردار و یک عدد λ با نشان داده می شود.

   

   مثلا،برداری است که در همان جهت بردار است و طول آن نصف بردار است.

   عملیات وارد شده دارای موارد زیر است خواص:

2. جمع بردارها

   اجازه دهید و دو بردار دلخواه باشد. یک نکته دلخواه را در نظر بگیرید Oو بردار بسازید. پس از آن، از نقطه آوکتور را کنار بگذارید . بردار اتصال ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم نامیده می شود مجموعاز این بردارها و نشان داده می شود .

   

   تعریف فرمول بندی شده جمع بردار نامیده می شود قانون متوازی الاضلاع، از آنجایی که همان مجموع بردارها را می توان به صورت زیر بدست آورد. نقطه را کنار بگذارید Oبردارها و . روی این بردارها متوازی الاضلاع بسازید OABC. از آنجایی که بردارها، پس بردار، که مورب متوازی الاضلاع است که از راس کشیده شده است. O، بدیهی است که مجموع بردارها خواهد بود.

   

   بررسی موارد زیر آسان است خواص افزودن بردار.

3. تفاوت بردارها

   بردار هم خط به یک بردار معین، از نظر طول مساوی و جهت مخالف، نامیده می شود مقابلبردار برای یک بردار و با نشان داده می شود. بردار مقابل را می توان حاصل ضرب بردار در عدد λ = –1: .

مقادیر ویژه (اعداد) و بردارهای ویژه.
نمونه های راه حل

خودت باش

از هر دو معادله نتیجه می شود که .

پس بگذاریم: .

در نتیجه: بردار ویژه دوم است.

نکات مهم را مرور می کنیم:

– سیستم حاصل قطعاً دارد تصمیم مشترک(معادلات به صورت خطی وابسته هستند)؛

- "Y" به گونه ای انتخاب می شود که عدد صحیح و اولین مختصات "x" عدد صحیح، مثبت و تا حد امکان کوچک باشد.

- بررسی می کنیم که راه حل خاص هر معادله سیستم را برآورده کند.

پاسخ .

"نقاط بازرسی" میانی کاملاً کافی بود، بنابراین بررسی برابری ها، در اصل، اضافی است.

در منابع مختلف اطلاعات، مختصات بردارهای ویژه اغلب نه در ستون ها، بلکه در ردیف ها نوشته می شود، به عنوان مثال: (و راستش من خودم آنها را در خط می نوشتم). این گزینه قابل قبول است، اما با توجه به موضوع تبدیلات خطیاستفاده از نظر فنی راحت تر است بردارهای ستونی.

شاید راه حل برای شما بسیار طولانی به نظر می رسید، اما این تنها به این دلیل است که من در مورد مثال اول با جزئیات بسیار توضیح دادم.

مثال 2

ماتریس ها

ما خودمان تمرین می کنیم! نمونه تقریبی طرح نهایی تکلیف در پایان درس.

گاهی اوقات شما نیاز به انجام یک کار اضافی دارید، یعنی:

تجزیه متعارف ماتریس را بنویسید

آن چیست؟

اگر بردارهای ویژه ماتریس تشکیل شود اساس، سپس می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

کجا یک ماتریس از مختصات بردارهای ویژه تشکیل شده است، - موربماتریس با مقادیر ویژه مربوطه

این تجزیه ماتریس نامیده می شود ابتدایییا مورب.

ماتریس مثال اول را در نظر بگیرید. بردارهای خودش مستقل خطی(غیر خطی) و پایه را تشکیل می دهند. بیایید یک ماتریس از مختصات آنها بسازیم:

در مورب اصلیماتریس ها به ترتیب مقتضیمقادیر ویژه قرار دارند و عناصر باقیمانده برابر با صفر هستند:
- یک بار دیگر بر اهمیت ترتیب تأکید می کنم: "دو" با بردار 1 مطابقت دارد و بنابراین در ستون 1 قرار دارد، "سه" - به بردار 2.

طبق الگوریتم معمول برای یافتن ماتریس معکوسیا روش گاوس-اردنپیدا کردن . نه، اشتباه تایپی نیست! - در مقابل شما نادر است، مانند خورشید گرفتگیرویداد زمانی که معکوس با ماتریس اصلی مطابقت داشت.

باقی مانده است که تجزیه متعارف ماتریس را بنویسیم:

سیستم را می توان با حل کرد تحولات ابتداییو در مثال های زیر به آن متوسل می شویم این روش. اما در اینجا روش "مدرسه" بسیار سریعتر کار می کند. از معادله 3 بیان می کنیم: - جایگزین به معادله دوم:

از آنجایی که مختصات اول صفر است، سیستمی به دست می آید که از هر معادله آن نتیجه می شود.

و دوباره به حضور اجباری یک رابطه خطی توجه کنید. اگر فقط یک راه حل پیش پا افتاده به دست آید ، سپس یا مقدار ویژه اشتباه پیدا شد یا سیستم با یک خطا کامپایل / حل شد.

مختصات فشرده ارزش می دهد

بردار ویژه:

و یک بار دیگر، ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است تمام معادلات سیستم را برآورده می کند. در پاراگراف های بعدی و در کارهای بعدی توصیه می کنم که این آرزو به عنوان یک قانون اجباری پذیرفته شود.

2) برای مقدار ویژه، طبق همان اصل، سیستم زیر را به دست می آوریم:

از معادله 2 سیستم بیان می کنیم: - جایگزین به معادله سوم:

از آنجایی که مختصات "Z" برابر با صفر است، سیستمی به دست می آوریم که از هر معادله آن یک وابستگی خطی به دست می آید.

اجازه دهید

ما بررسی می کنیم که راه حل تمام معادلات سیستم را برآورده می کند.

بنابراین، بردار ویژه: .

3) و در نهایت، سیستم با مقدار خود مطابقت دارد:

معادله دوم ساده ترین به نظر می رسد، بنابراین ما آن را از آن بیان می کنیم و آن را با معادلات 1 و 3 جایگزین می کنیم:

همه چیز خوب است - یک وابستگی خطی آشکار شد که ما آن را به عبارت جایگزین می کنیم:

در نتیجه "X" و "Y" از طریق "Z" بیان شد: . در عمل، دستیابی به چنین روابطی ضروری نیست؛ در برخی موارد بیان کردن از طریق یا از طریق راحت تر است. یا حتی یک "قطار" - به عنوان مثال، "X" از "Y"، و "Y" از طریق "Z"

پس بگذاریم:

ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است هر معادله سیستم را برآورده می کند و بردار ویژه سوم را می نویسد

پاسخ: بردارهای ویژه:

از نظر هندسی، این بردارها سه جهت فضایی مختلف را تعریف می کنند ("آنجا و دوباره بازگشت")، بر اساس آن تبدیل خطیبردارهای غیر صفر (بردارهای ویژه) را به بردارهایی هم خط با آنها تبدیل می کند.

اگر طبق شرط لازم بود که بسط متعارفی پیدا شود، در اینجا این امکان وجود دارد، زیرا مقادیر ویژه مختلف با بردارهای ویژه مستقل خطی متفاوت مطابقت دارند. ما یک ماتریس درست می کنیم از مختصات آنها، ماتریس مورب از جانب مربوطمقادیر ویژه و پیدا کردن ماتریس معکوس .

اگر بنا به شرط لازم است بنویسیم ماتریس تبدیل خطی بر اساس بردارهای ویژه، سپس پاسخ را در فرم می دهیم. یک تفاوت وجود دارد و یک تفاوت قابل توجه!برای این ماتریس ماتریس "de" است.

یک کار با محاسبات ساده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

بردارهای ویژه تبدیل خطی که با ماتریس داده شده است را بیابید

هنگام پیدا کردن اعداد خود، سعی کنید مورد را به چند جمله ای درجه 3 وارد نکنید. علاوه بر این، راه حل های سیستم شما ممکن است با راه حل های من متفاوت باشد - هیچ ابهامی در اینجا وجود ندارد. و بردارهایی که پیدا می کنید ممکن است تا تناسب با مختصات مربوطه با بردارهای نمونه متفاوت باشد. به عنوان مثال، و . از نظر زیبایی شناختی بهتر است که پاسخ را به شکل ارائه کنید، اما اگر روی گزینه دوم متوقف شوید اشکالی ندارد. با این حال، محدودیت های معقولی برای همه چیز وجود دارد، نسخه دیگر خیلی خوب به نظر نمی رسد.

نمونه نهایی تقریبی تکلیف در پایان درس.

چگونه مشکل را در صورت وجود مقادیر ویژه چندگانه حل کنیم؟

الگوریتم کلی یکسان باقی می ماند، اما ویژگی های خاص خود را دارد، و توصیه می شود برخی از بخش های راه حل را به سبک دانشگاهی دقیق تر نگه دارید:

مثال 6

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

راه حل

البته، بیایید ستون اول افسانه ای را با حروف بزرگ بنویسیم:

و پس از فاکتورگیری مثلث مربع:

در نتیجه مقادیر ویژه به دست می آید که دو عدد از آنها مضرب هستند.

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) ما با یک سرباز تنها طبق یک طرح "ساده شده" برخورد خواهیم کرد:

از دو معادله آخر، برابری به وضوح قابل مشاهده است، که بدیهی است که باید به معادله 1 سیستم جایگزین شود:

ترکیب بهتری وجود ندارد:
بردار ویژه:

2-3) اکنون چند نگهبان را حذف می کنیم. در این مورد، ممکن است یا دو یا یکبردار ویژه صرف نظر از تعدد ریشه ها، مقدار را در تعیین کننده جایگزین می کنیم ، که موارد زیر را برای ما به ارمغان می آورد سیستم همگن معادلات خطی:

بردارهای ویژه دقیقا همان بردارها هستند
سیستم تصمیم گیری اساسی

در واقع، در طول درس، ما فقط درگیر یافتن بردارهای سیستم بنیادی بودیم. فقط در حال حاضر، این اصطلاح به ویژه مورد نیاز نبود. به هر حال، آن دانش آموزان ماهر که، در استتار معادلات همگن، اکنون مجبور به کشیدن آن می شود.

تنها اقدام حذف خطوط اضافی بود. نتیجه یک ماتریس "یک به سه" با یک "گام" رسمی در وسط است.
– متغیر پایه، – متغیرهای آزاد. دو متغیر رایگان وجود دارد، بنابراین همچنین دو بردار از سیستم بنیادی وجود دارد.

بیایید متغیر پایه را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم: . ضریب صفر در مقابل "x" به آن اجازه می دهد تا کاملاً هر مقداری را بگیرد (که از سیستم معادلات نیز به وضوح قابل مشاهده است).

در زمینه این مشکل، راحت تر است که راه حل کلی را نه در یک ردیف، بلکه در یک ستون بنویسید:

جفت مربوط به بردار ویژه است:
جفت مربوط به بردار ویژه است:

توجه داشته باشید : خوانندگان پیشرفته می توانند این بردارها را به صورت شفاهی انتخاب کنند - فقط با تجزیه و تحلیل سیستم ، اما در اینجا به مقداری دانش نیاز است: سه متغیر وجود دارد، رتبه ماتریس سیستم- واحد یعنی سیستم تصمیم گیری اساسیشامل 3 – 1 = 2 بردار است. با این حال، بردارهای یافت شده حتی بدون این دانش، کاملاً در سطح شهودی کاملاً قابل مشاهده هستند. در این صورت، بردار سوم حتی "زیباتر" نوشته می شود: . با این حال، من به شما هشدار می دهم، در مثال دیگری، ممکن است انتخاب ساده ای وجود نداشته باشد، به همین دلیل است که رزرو برای افراد با تجربه در نظر گرفته شده است. علاوه بر این، چرا به عنوان بردار سوم، مثلاً، را نمی گیریم؟ از این گذشته، مختصات آن نیز هر معادله سیستم و بردارها را برآورده می کند به صورت خطی مستقل هستند. این گزینه، در اصل، مناسب است، اما "کم"، زیرا بردار "دیگر" ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی است.

پاسخ: مقادیر ویژه: , بردارهای ویژه:

یک مثال مشابه برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 7

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

نمونه تقریبی اتمام در پایان درس.

لازم به ذکر است که در هر دو مثال ششم و هفتم، سه بردار ویژه خطی مستقل به دست می آید و بنابراین ماتریس اصلی را می توان در بسط متعارف نشان داد. اما چنین تمشک در همه موارد اتفاق نمی افتد:

مثال 8

راه حل: معادله مشخصه را بنویسید و حل کنید:

ما تعیین کننده را با ستون اول گسترش می دهیم:

ما ساده سازی های بیشتری را طبق روش در نظر گرفته شده انجام می دهیم و از چند جمله ای درجه 3 اجتناب می کنیم:

مقادیر ویژه هستند.

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) هیچ مشکلی با ریشه وجود ندارد:

تعجب نکنید، علاوه بر کیت، متغیرها نیز در حال استفاده هستند - در اینجا تفاوتی وجود ندارد.

از معادله 3 که بیان می کنیم - معادلات 1 و 2 را جایگزین می کنیم:

از هر دو معادله به شرح زیر است:

سپس اجازه دهید:

2-3) برای مقادیر متعدد، سیستم را دریافت می کنیم .

اجازه دهید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل پلکانی در آوریم:

ماتریس های مورب به سادگی مرتب می شوند. این سوال مطرح می شود که آیا می توان مبنایی را پیدا کرد که در آن ماتریس یک عملگر خطی شکل مورب داشته باشد؟ چنین مبنایی وجود دارد.
اجازه دهید یک فضای خطی R n و یک عملگر خطی A که در آن عمل می کند، داده شود. در این حالت عملگر A R n را در خود می گیرد، یعنی A:R n → R n .

تعریف. یک بردار غیرصفر بردار ویژه عملگر A نامیده می شود که عملگر A به بردار هم خط با آن تبدیل شود، یعنی . عدد λ را مقدار ویژه یا مقدار ویژه عملگر A متناظر با بردار ویژه می نامند.
ما به برخی از ویژگی های مقادیر ویژه و بردارهای ویژه توجه می کنیم.
1. هر ترکیب خطی از بردارهای ویژه از عملگر A مربوط به مقدار ویژه λ یک بردار ویژه با مقدار ویژه یکسان است.
2. بردارهای ویژه عملگر A با مقادیر ویژه متمایز جفتی λ 1، λ 2، ...، λ m به صورت خطی مستقل هستند.
3. اگر مقادیر ویژه λ 1 = λ 2 = λ m = λ، آنگاه مقدار ویژه λ با بیش از m بردارهای ویژه مستقل خطی مطابقت ندارد.

بنابراین، اگر n بردار ویژه مستقل خطی وجود داشته باشد مربوط به مقادیر ویژه مختلف λ 1 , λ 2 , …, λ n , سپس به صورت خطی مستقل هستند بنابراین می توان آنها را به عنوان مبنای فضای R n در نظر گرفت. اجازه دهید شکل ماتریس عملگر خطی A را بر اساس بردارهای ویژه آن پیدا کنیم، که برای آن با عملگر A بر اساس بردارهای پایه عمل می کنیم: سپس .
بنابراین، ماتریس عملگر خطی A بر اساس بردارهای ویژه آن شکل مورب دارد و مقادیر ویژه عملگر A روی قطر قرار دارد.
آیا مبنای دیگری وجود دارد که در آن ماتریس شکل مورب داشته باشد؟ پاسخ این سوال با قضیه زیر داده می شود.

قضیه. ماتریس یک عملگر خطی A در پایه (i = 1..n) شکل مورب دارد اگر و فقط اگر همه بردارهای مبنا بردارهای ویژه عملگر A باشند.

قانون برای یافتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

اجازه دهید بردار ، که در آن x 1، x 2، ...، x n - مختصات بردار نسبت به پایه و بردار ویژه عملگر خطی A مربوط به مقدار ویژه λ است، یعنی. این رابطه را می توان به صورت ماتریسی نوشت

. (*)

معادله (*) را می توان به عنوان معادله ای برای یافتن در نظر گرفت، و به عبارت دیگر، ما به راه حل های غیر پیش پا افتاده علاقه مند هستیم، زیرا بردار ویژه نمی تواند صفر باشد. مشخص است که راه حل های غیر ضروری یک سیستم همگن معادلات خطی وجود دارد اگر و فقط اگر det(A - λE) = 0. بنابراین، برای اینکه λ یک مقدار ویژه عملگر A باشد لازم و کافی است که det(A - λE) ) = 0.
اگر معادله (*) با جزئیات به صورت مختصات نوشته شده باشد، سیستم معادلات همگن خطی به دست می آید:

(1)
جایی که ماتریس عملگر خطی است.

اگر سیستم (1) تعیین کننده D برابر با صفر باشد، جواب غیر صفر دارد

معادله ای برای یافتن مقادیر ویژه به دست آوردیم.
این معادله معادله مشخصه نامیده می شود و سمت چپ آن چند جمله ای مشخصه ماتریس (عملگر) A نامیده می شود. اگر چند جمله ای مشخصه ریشه واقعی نداشته باشد، ماتریس A فاقد بردار ویژه است و نمی توان آن را به شکل مورب تقلیل داد.
بگذارید λ 1 , λ 2 , …, λ n ریشه های واقعی معادله مشخصه باشند و ممکن است در بین آنها مضرب وجود داشته باشد. با جایگزینی این مقادیر به نوبه خود با سیستم (1)، بردارهای ویژه را پیدا می کنیم.

مثال 12. عملگر خطی A در R 3 طبق قانون عمل می کند، که در آن x 1، x 2، ..، x n مختصات بردار در پایه هستند. , , . مقادیر ویژه و بردارهای ویژه این عملگر را پیدا کنید.
راه حل. ماتریس این عملگر را می سازیم:
.
ما یک سیستم برای تعیین مختصات بردارهای ویژه می سازیم:

معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم:

.
λ 1،2 = -1، λ 3 = 3.
با جایگزینی λ = -1 در سیستم، داریم:
یا
زیرا ، سپس دو متغیر وابسته و یک متغیر آزاد وجود دارد.
پس اجازه دهید x 1 یک مجهول رایگان باشد ما این سیستم را به هر شکلی حل می کنیم و راه حل کلی این سیستم را پیدا می کنیم: سیستم بنیادیراه حل ها از یک راه حل تشکیل شده است، زیرا n - r = 3 - 2 = 1.
مجموعه بردارهای ویژه متناظر با مقدار ویژه λ = -1 به شکل زیر است که در آن x 1 هر عددی غیر از صفر است. بیایید یک بردار را از این مجموعه انتخاب کنیم، به عنوان مثال، با تنظیم x 1 = 1: .
با استدلال مشابه، بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = 3 را می یابیم: .
در فضای R3 اساس از سه بردار مستقل خطی تشکیل شده است، اما ما فقط دو بردار ویژه خطی مستقل به دست آورده‌ایم که اساس R3 را نمی‌توان از آنها تشکیل داد. در نتیجه، ماتریس A یک عملگر خطی را نمی توان به شکل مورب کاهش داد.

مثال 13 با توجه به یک ماتریس .
1. ثابت کنید که بردار یک بردار ویژه از ماتریس A است. مقدار ویژه مربوط به این بردار ویژه را پیدا کنید.
2. مبنایی را پیدا کنید که در آن ماتریس A شکل مورب داشته باشد.
راه حل.
1. اگر، آنگاه بردار ویژه است

.
بردار (1, 8, -1) یک بردار ویژه است. مقدار ویژه λ = -1.
ماتریس دارای یک فرم مورب در پایه است که از بردارهای ویژه تشکیل شده است. یکی از آنها معروف است. بیا بقیه رو پیدا کنیم
ما به دنبال بردارهای ویژه از سیستم هستیم:

معادله مشخصه: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3، λ 2 = 1، λ 3 = -1.
بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = -3 را پیدا کنید:

رتبه ماتریس این سیستم برابر با دو و برابر با تعداد مجهولات است، بنابراین این سیستم فقط یک جواب صفر دارد x 1 = x 3 = 0. x 2 در اینجا می تواند هر چیزی غیر از صفر باشد، برای مثال، x 2 = 1. بنابراین، بردار (0،1،0) یک بردار ویژه مربوط به λ = -3 است. بیایید بررسی کنیم:
.
اگر λ = 1، سیستم را دریافت می کنیم
رتبه ماتریس دو است. معادله آخر را خط بزنید.
اجازه دهید x 3 مجهول رایگان باشد. سپس x 1 \u003d -3x 3، 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3، x 2 \u003d -9x 3.
با فرض x 3 = 1، (-3،-9،1) داریم - یک بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = 1. بررسی کنید:

.
از آنجایی که مقادیر ویژه واقعی و متفاوت هستند، بردارهای مربوط به آنها به صورت خطی مستقل هستند، بنابراین می توان آنها را به عنوان پایه در R3 در نظر گرفت. بنابراین، در اساس , , ماتریس A به شکل زیر است:
.
هر ماتریس یک عملگر خطی A:R n → R n را نمی توان به شکل مورب کاهش داد، زیرا برای برخی از عملگرهای خطی ممکن است کمتر از n بردار ویژه مستقل خطی وجود داشته باشد. با این حال، اگر ماتریس متقارن باشد، دقیقاً m بردار مستقل خطی با ریشه معادله مشخصه تعدد m مطابقت دارد.

تعریف. ماتریس متقارن ماتریس مربعی است که در آن عناصری که نسبت به قطر اصلی متقارن هستند با هم برابرند، یعنی در آن .
ملاحظات. 1. تمام مقادیر ویژه یک ماتریس متقارن واقعی هستند.
2. بردارهای ویژه یک ماتریس متقارن متناظر با مقادیر ویژه جفتی مختلف متعامد هستند.
به عنوان یکی از کاربردهای متعدد دستگاه مورد مطالعه، مسئله تعیین شکل منحنی مرتبه دوم را در نظر می گیریم.

بخش اول به تشریح مقرراتی می‌پردازد که حداقل برای درک شیمی‌سنجی ضروری هستند، و بخش دوم حاوی حقایقی است که برای درک عمیق‌تر روش‌های تجزیه و تحلیل چند متغیره باید بدانید. Matrix.xlsکه همراه این سند است.

پیوندهای نمونه ها به عنوان اشیاء اکسل در متن قرار می گیرند. این نمونه ها ماهیتی انتزاعی دارند و به هیچ وجه با مسائل شیمی تحلیلی مرتبط نیستند. مثال‌های واقعی استفاده از جبر ماتریسی در شیمی‌سنجی در متون دیگری که به کاربردهای مختلف شیمی‌سنجی اختصاص داده شده‌اند، مورد بحث قرار گرفته‌اند.

بسیاری از اندازه گیری های انجام شده در شیمی تجزیه مستقیم نیستند بلکه غیر مستقیم. یعنی در آزمایش به جای مقدار آنالیت مورد نظر C (غلظت)، مقدار دیگری به دست می آید. ایکس(سیگنال) مربوط به C اما مساوی نیست، i.e. ایکس(C) ≠ C. به عنوان یک قاعده، نوع وابستگی ایکس(C) شناخته شده نیست، اما خوشبختانه در شیمی تجزیه، اکثر اندازه گیری ها متناسب هستند. این بدان معناست که با توجه به غلظت C در آبار، سیگنال X به همان مقدار افزایش می یابد، یعنی. ایکس(آج) = تبر(ج). علاوه بر این، سیگنال ها نیز افزودنی هستند، بنابراین سیگنال از یک نمونه حاوی دو ماده با غلظت های C 1 و C 2 خواهد بود. برابر با مجموع استسیگنال های هر جزء، به عنوان مثال. ایکس(C1 + C2) = ایکس(C1)+ ایکس(C2). تناسب و افزایش با هم می دهد خطی بودن. برای نشان دادن اصل خطی بودن می توان مثال های زیادی آورد، اما به ذکر دو مورد از آنها بسنده می شود. نمونه های روشن- کروماتوگرافی و طیف سنجی دومین ویژگی ذاتی آزمایش در شیمی تجزیه است چند کاناله. تجهیزات تحلیلی مدرن به طور همزمان سیگنال های بسیاری از کانال ها را اندازه گیری می کنند. به عنوان مثال، شدت عبور نور برای چندین طول موج به طور همزمان اندازه گیری می شود، یعنی. طیف بنابراین در آزمایش با انواع سیگنال ها سروکار داریم ایکس 1 , ایکس 2 ,...., ایکس n مشخص کننده مجموعه غلظت های C 1 , C 2 , ..., C m از مواد موجود در سیستم مورد مطالعه.

برنج. 1 طیف

بنابراین، آزمایش تحلیلی با خطی بودن و چند بعدی بودن مشخص می شود. بنابراین، راحت است که داده های تجربی را به عنوان بردار و ماتریس در نظر بگیریم و آنها را با استفاده از دستگاه جبر ماتریسی دستکاری کنیم. ثمربخشی این رویکرد با مثال نشان داده شده در نشان داده شده است، که سه طیف گرفته شده برای 200 طول موج از 4000 تا 4796 سانتی متر-1 را نشان می دهد. اولین ( ایکس 1) و دوم ( ایکس 2) طیف ها برای نمونه های استاندارد به دست آمد که در آنها غلظت دو ماده A و B مشخص است: در نمونه اول [A] = 0.5، [B] = 0.1، و در نمونه دوم [A] = 0.2، [ B] = 0.6. در مورد یک نمونه جدید ناشناخته که طیف آن مشخص شده است، چه می توان گفت ایکس 3 ?

سه طیف تجربی را در نظر بگیرید ایکس 1 , ایکس 2 و ایکس 3 به عنوان سه بردار بعد 200. با استفاده از جبر خطی می توان به راحتی آن را نشان داد ایکس 3 = 0.1 ایکس 1 +0.3 ایکس 2، بنابراین نمونه سوم بدیهی است که فقط حاوی مواد A و B در غلظت های [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 و [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19 است.

1. اطلاعات اولیه

1.1 ماتریس

ماتریسبه عنوان مثال یک جدول مستطیلی از اعداد نامیده می شود

برنج. 2 ماتریس

ماتریس ها با حروف درشت بزرگ نشان داده می شوند ( آ، و عناصر آنها - مربوطه حروف کوچکبا شاخص ها، یعنی آ ij . شاخص اول ردیف ها را شماره گذاری می کند و شماره دوم ستون ها. در شیمی سنجی مرسوم است که حداکثر مقدار شاخص را با همان حرف خود شاخص اما با حروف بزرگ تعیین می کنند. بنابراین، ماتریس آهمچنین می توان به صورت ( آ ij , من = 1,..., من; j = 1,..., جی). برای مثال ماتریس من = 4, جی= 3 و آ 23 = −7.5.

جفت اعداد منو جیبعد ماتریس نامیده می شود و به صورت نشان داده می شود من× جی. نمونه ای از یک ماتریس در شیمی سنجی مجموعه ای از طیف های به دست آمده برای مننمونه بر روی جیطول موج

1.2. ساده ترین عملیات با ماتریس

ماتریس ها می توانند ضرب در اعداد. در این حالت هر عنصر در این عدد ضرب می شود. مثلا -

برنج. 3 ضرب یک ماتریس در یک عدد

دو ماتریس از یک بعد می توانند از نظر عنصر باشند تا کردنو تفریق کردن. مثلا،

برنج. 4 اضافه کردن ماتریس

در نتیجه ضرب در عدد و جمع، ماتریسی با همان ابعاد به دست می آید.

ماتریس صفر ماتریسی متشکل از صفر است. تعیین شده است O. بدیهی است که آ+O = آ, آ−آ = Oو 0 آ = O.

ماتریس می تواند جابجا کردن. در طی این عملیات، ماتریس برعکس می شود، یعنی. سطرها و ستون ها با هم عوض می شوند. جابجایی با یک خط تیره نشان داده می شود، آ" یا نمایه آتی . بنابراین، اگر آ = {آ ij , من = 1,..., من; j = 1,...,جی)، سپس آ t = ( آ جی , j = 1,...,جی; i = 1،...، من). مثلا

برنج. 5 جابجایی ماتریس

واضح است که ( آ t) t = آ, (آ+ب) t = A t + بتی .

1.3. ضرب ماتریس

ماتریس ها می توانند تکثیر کردن، اما به شرطی که دارای ابعاد مناسب باشند. چرایی این چنین است از تعریف مشخص خواهد شد. محصول ماتریسی آ، بعد، ابعاد، اندازه من× کو ماتریس ها ب، بعد، ابعاد، اندازه ک× جی، ماتریس نامیده می شود سی، بعد، ابعاد، اندازه من× جی، که عناصر آن اعداد هستند

بنابراین برای محصول ABلازم است تعداد ستون ها در ماتریس سمت چپ باشد آبرابر تعداد سطرهای ماتریس سمت راست بود ب. نمونه محصول ماتریسی -

شکل 6 محصول ماتریس ها

قانون ضرب ماتریس را می توان به صورت زیر فرموله کرد. برای پیدا کردن یک عنصر از یک ماتریس سیایستاده در تقاطع من-ام خط و jستون -ام ( ج ij) باید عنصر به عنصر ضرب شود من-مین ردیف از ماتریس اول آبر روی jستون -ام ماتریس دوم بو تمام نتایج را جمع کنید. بنابراین در مثال نشان داده شده، عنصر از ردیف سوم و ستون دوم به عنوان مجموع حاصلضرب عناصر ردیف سوم به دست می آید. آو ستون دوم ب

شکل 7 عنصر حاصل ضرب ماتریس ها

حاصل ضرب ماتریس ها به ترتیب بستگی دارد، یعنی. AB ≠ BAحداقل به دلایل ابعادی. می گویند غیر قابل تعویض است. با این حال، حاصل ضرب ماتریس ها تداعی کننده است. معنیش اینه که ABC = (AB)سی = آ(قبل از میلاد مسیح). علاوه بر این، توزیعی نیز هست، یعنی. آ(ب+سی) = AB+AC. بدیهی است که AO = O.

1.4. ماتریس های مربع

اگر تعداد ستون های یک ماتریس برابر با تعداد سطرهای آن باشد ( من = J=N، سپس چنین ماتریسی مربع نامیده می شود. در این بخش، تنها این ماتریس ها را در نظر خواهیم گرفت. از بین این ماتریس ها می توان ماتریس هایی با خواص ویژه را تشخیص داد.

منفرد، مجد، تنها، منزوی، انفرادیماتریس (نشان داده شده است منو گاهی اوقات E) ماتریسی است که در آن همه عناصر برابر با صفر هستند، به جز عناصر مورب که برابر با 1 هستند، یعنی.

به طور مشخص هوش مصنوعی = IA = آ.

ماتریس نامیده می شود مورب، اگر همه عناصر آن، به جز عناصر مورب ( آ ii) برابر با صفر هستند. مثلا

برنج. 8 ماتریس مورب

ماتریس آبالا نامیده می شود مثلثی، اگر تمام عناصر آن که زیر قطر قرار دارند برابر با صفر باشند، یعنی. آ ij= 0، در من>j. مثلا

برنج. 9 ماتریس مثلثی بالا

ماتریس مثلثی پایین به طور مشابه تعریف شده است.

ماتریس آتماس گرفت متقارن، اگر آ t = آ. به عبارت دیگر آ ij = آ جی. مثلا

برنج. 10 ماتریس متقارن

ماتریس آتماس گرفت متعامد، اگر

آتی آ = AA t = من.

ماتریس نامیده می شود طبیعیاگر

1.5. ردیابی و تعیین کننده

ذیلماتریس مربع آ(با علامت Tr( آ) یا Sp( آ)) مجموع عناصر مورب آن است،

مثلا،

برنج. 11 ردیابی ماتریسی

بدیهی است که

Sp(α آ) = α Sp( آ) و

Sp( آ+ب) = Sp( آ)+ Sp( ب).

می توان نشان داد که

Sp( آ) = Sp( آ t)، Sp( من) = ن,

و همچنین آن

Sp( AB) = Sp( BA).

یکی دیگر از ویژگی های مهم ماتریس مربعی بودن آن است تعیین کننده(مشخص شده با det( آ)). تعریف تعیین کننده در مورد کلیبسیار پیچیده است، بنابراین ما با ساده ترین گزینه - ماتریس شروع می کنیم آابعاد (2×2). سپس

برای یک ماتریس (3×3)، دترمینان برابر خواهد بود

در مورد ماتریس ( ن× ن) تعیین کننده به صورت مجموع 1 2 3 محاسبه می شود ... ن= ن! شرایط که هر کدام برابر است با

شاخص ها ک 1 , ک 2 ,..., k Nبه عنوان همه جایگشت های مرتب شده ممکن تعریف می شوند rاعداد موجود در مجموعه (1، 2، ... ن). محاسبه تعیین کننده ماتریس یک روش پیچیده است که در عمل با استفاده از برنامه های خاص انجام می شود. مثلا،

برنج. 12 تعیین کننده ماتریس

ما فقط ویژگی های واضح را یادداشت می کنیم:

دت( من) = 1، det( آ) = دت( آت)

دت( AB) = دت( آ)دت( ب).

1.6. بردارها

اگر ماتریس فقط یک ستون داشته باشد ( جی= 1)، سپس چنین شیئی فراخوانی می شود بردار. به طور دقیق تر، یک بردار ستونی. مثلا

به عنوان مثال، ماتریس های متشکل از یک ردیف را نیز می توان در نظر گرفت

این شی نیز بردار است، اما وکتور ردیف. هنگام تجزیه و تحلیل داده ها، مهم است که بفهمیم با کدام بردارها سروکار داریم - ستون ها یا ردیف ها. بنابراین طیف گرفته شده برای یک نمونه را می توان به عنوان بردار ردیف در نظر گرفت. سپس مجموعه شدت های طیفی در برخی از طول موج ها برای همه نمونه ها باید به عنوان بردار ستون در نظر گرفته شود.

بعد یک بردار تعداد عناصر آن است.

واضح است که هر بردار ستونی را می توان با جابجایی به بردار ردیفی تبدیل کرد.

در مواردی که شکل یک بردار به طور خاص مشخص نشده است، بلکه صرفاً یک بردار گفته می شود، منظور آنها بردار ستونی است. ما نیز به این قانون پایبند خواهیم بود. یک بردار با یک حروف پررنگ مستقیم کوچک نشان داده می شود. بردار صفر برداری است که همه عناصر آن برابر با صفر هستند. نشان داده شده است 0 .

1.7. ساده ترین عملیات با بردارها

بردارها را می توان مانند ماتریس ها با اعداد اضافه و ضرب کرد. مثلا،

برنج. 13 عملیات با بردارها

دو بردار ایکسو yتماس گرفت خطی، اگر عدد α وجود داشته باشد به طوری که

1.8. محصولات بردارها

دو بردار با ابعاد یکسان نمی تواند ضرب شود. بگذارید دو بردار وجود داشته باشد ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 ,...,ایکسن) t و y = (y 1 , y 2 ,...,yن) تی. با هدایت قانون ضرب "ردیف به ستون"، می توانیم از آنها دو محصول بسازیم: ایکستی yو xyتی . کار اول

تماس گرفت اسکالریا درونی؛ داخلی. نتیجه آن یک عدد است. همچنین از نماد ( ایکس,y)= ایکستی y. مثلا،

برنج. 14 محصول داخلی (اسکالر).

کار دوم

تماس گرفت خارجی. نتیجه آن یک ماتریس ابعاد است ( ن× ن). مثلا،

برنج. 15 محصول بیرونی

بردارها، حاصلضرب عددیکه برابر با صفر است نامیده می شوند متعامد.

1.9. هنجار برداری

حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش را مربع اسکالر می نامند. این مقدار

مربع را تعریف می کند طولبردار ایکس. برای نشان دادن طول (همچنین نامیده می شود عرفبردار) از نماد استفاده می شود

مثلا،

برنج. 16 هنجار برداری

بردار طول واحد (|| ایکس|| = 1) نرمال شده نامیده می شود. بردار غیر صفر ( ایکس ≠ 0 ) را می توان با تقسیم آن بر طول نرمال کرد، یعنی. ایکس = ||ایکس|| (ایکس/||ایکس||) = ||ایکس|| ه. اینجا ه = ایکس/||ایکس|| یک بردار نرمال شده است.

بردارها در صورتی متعامد نامیده می شوند که همگی نرمال شده و متعامد به صورت زوجی باشند.

1.10. زاویه بین بردارها

محصول اسکالر و گوشهφ بین دو بردار ایکسو y

اگر بردارها متعامد باشند، cosφ = 0 و φ = π/2، و اگر آنها خطی باشند، cosφ = 1 و φ = 0.

1.11. نمایش برداری از یک ماتریس

هر ماتریس آاندازه من× جیرا می توان به صورت مجموعه ای از بردارها نشان داد

در اینجا هر بردار آ jاست j-بردار ستون و سطر ب مناست من-مین ردیف ماتریس آ

1.12. بردارهای وابسته خطی

بردارهای یک بعد ( ن) را می توان مانند ماتریس ها در یک عدد اضافه و ضرب کرد. نتیجه یک بردار با همان بعد است. بگذارید چندین بردار با یک بعد وجود داشته باشد ایکس 1 , ایکس 2 ,...,ایکس K و همان تعداد اعداد α α 1 , α 2 ,...,α ک. بردار

y= α 1 ایکس 1 + α 2 ایکس 2 +...+α ک ایکس ک

تماس گرفت ترکیب خطیبردارها ایکس ک .

اگر چنین اعداد غیر صفر α وجود داشته باشد ک ≠ 0, ک = 1,..., ک، چی y = 0 ، سپس چنین مجموعه ای از بردارها ایکس کتماس گرفت وابسته خطی. در غیر این صورت، بردارها مستقل خطی نامیده می شوند. به عنوان مثال، بردارها ایکس 1 = (2، 2) t و ایکس 2 = (-1، -1) t به صورت خطی وابسته هستند، زیرا ایکس 1 +2ایکس 2 = 0

1.13. رتبه ماتریسی

مجموعه ای را در نظر بگیرید کبردارها ایکس 1 , ایکس 2 ,...,ایکس کابعاد ن. رتبه این سیستم از بردارها حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی است. به عنوان مثال در مجموعه

برای مثال فقط دو بردار مستقل خطی وجود دارد ایکس 1 و ایکس 2، بنابراین رتبه آن 2 است.

بدیهی است که اگر تعداد بردارها در مجموعه بیشتر از ابعاد آنها باشد ( ک>ن، پس آنها لزوماً به طور خطی وابسته هستند.

رتبه ماتریسی(با رتبه مشخص می شود) آ)) رتبه سیستم بردارهایی است که از آن تشکیل شده است. اگرچه هر ماتریس را می توان به دو صورت نمایش داد (بردارهای ستونی یا بردارهای ردیفی)، این بر مقدار رتبه تأثیر نمی گذارد، زیرا

1.14. ماتریس معکوس

ماتریس مربع آاگر منحصر به فرد باشد، غیر منحط نامیده می شود معکوسماتریس آ-1، با شرایط تعیین می شود

AA −1 = آ −1 آ = من.

ماتریس معکوس برای همه ماتریس ها وجود ندارد. شرط لازم و کافی برای عدم انحطاط است

دت( آ) ≠ 0 یا رتبه( آ) = ن.

وارونگی ماتریس یک روش پیچیده است که برنامه های خاصی برای آن وجود دارد. مثلا،

برنج. 17 وارونگی ماتریس

ما فرمول هایی را برای ساده ترین حالت - ماتریس های 2 × 2 ارائه می دهیم

اگر ماتریس ها آو بپس منحط نیستند

(AB) −1 = ب −1 آ −1 .

1.15. ماتریس شبه معکوس

اگر ماتریس آمنحط است و ماتریس معکوسوجود ندارد، در برخی موارد می توانید استفاده کنید شبه معکوسماتریس که به عنوان چنین ماتریسی تعریف می شود آ+ اون

AA + آ = آ.

ماتریس شبه معکوس تنها یک ماتریس نیست و شکل آن به روش ساخت بستگی دارد. به عنوان مثال برای ماتریس مستطیل شکلمی توان از روش مور-پنروز استفاده کرد.

اگر تعداد ستون ها کمتر از عددخطوط، پس

آ + =(آتی آ) −1 آتی

مثلا،

برنج. 17a وارونگی شبه ماتریس

اگر تعداد ستون ها تعداد بیشترخطوط، پس

آ + =آتی ( AAت) −1

1.16. ضرب یک بردار در یک ماتریس

بردار ایکسرا می توان در یک ماتریس ضرب کرد آبعد مناسب در این حالت بردار ستون در سمت راست ضرب می شود تبر، و رشته برداری در سمت چپ است ایکستی آ. اگر بعد بردار جی، و بعد ماتریس من× جیسپس نتیجه یک بردار بعد است من. مثلا،

برنج. 18 ضرب بردار-ماتریس

اگر ماتریس آ- مربع ( من× من، سپس بردار y = تبردارای همان ابعاد است ایکس. بدیهی است که

آ(α 1 ایکس 1 + α 2 ایکس 2) = α 1 تبر 1 + α 2 تبر 2 .

بنابراین ماتریس ها را می توان به عنوان تبدیل خطی بردارها در نظر گرفت. به خصوص ایکس = ایکس, گاو نر = 0 .

2. اطلاعات تکمیلی

2.1. سیستم های معادلات خطی

اجازه دهید آ- اندازه ماتریس من× جی، آ ب- بردار ابعاد جی. معادله را در نظر بگیرید

تبر = ب

با توجه به بردار ایکس، ابعاد من. در اصل، این یک سیستم است منمعادلات خطی با جیناشناس ایکس 1 ,...,ایکس جی. راه حل وجود دارد اگر و فقط اگر

رتبه( آ) = رتبه ( ب) = آر,

جایی که بماتریس ابعاد تقویت شده است من×( J+1) متشکل از ماتریس آ، با یک ستون پر شده است ب, ب = (آ ب). در غیر این صورت، معادلات ناسازگار هستند.

اگر یک آر = من = جی، سپس راه حل منحصر به فرد است

ایکس = آ −1 ب.

اگر یک آر < من، پس تعداد زیادی وجود دارد راه حل های مختلفکه می توان آن را در قالب یک ترکیب خطی بیان کرد جی−آربردارها سیستم معادلات همگن تبر = 0 با ماتریس مربع آ (ن× ن) راه حلی غیر پیش پا افتاده دارد ( ایکس ≠ 0 ) اگر و فقط اگر det( آ) = 0. اگر آر= رتبه( آ)<ن، سپس وجود دارد ن−آرراه حل های مستقل خطی

2.2. اشکال دو خطی و درجه دوم

اگر یک آیک ماتریس مربع است و ایکسو y- بردارهای بعد مربوطه، سپس حاصل ضرب اسکالر فرم ایکستی آیتماس گرفت دو خطیشکل تعریف شده توسط ماتریس آ. در ایکس = yاصطلاح ایکستی تبرتماس گرفت درجه دومفرم.

2.3. ماتریس های قطعی مثبت

ماتریس مربع آتماس گرفت مثبت قطعی، اگر برای هر بردار غیر صفر باشد ایکس ≠ 0 ,

ایکستی تبر > 0.

را منفی (ایکستی تبر < 0), غیر منفی (ایکستی تبر≥ 0) و غیر مثبت (ایکستی تبر≤ 0) ماتریس های خاص.

2.4. تجزیه کولسکی

اگر ماتریس متقارن آمثبت قطعی است، پس یک ماتریس مثلثی منحصر به فرد وجود دارد Uبا عناصر مثبت، که برای آن

آ = Uتی U.

مثلا،

برنج. 19 تجزیه کولسکی

2.5. تجزیه قطبی

اجازه دهید آیک ماتریس مربع غیر منحط از ابعاد است ن× ن. سپس یک منحصر به فرد وجود دارد قطبیکارایی

آ = SR،

جایی که اسیک ماتریس متقارن غیر منفی است و آریک ماتریس متعامد است. ماتریس ها اسو آررا می توان به صراحت تعریف کرد:

اس 2 = AA t یا اس = (AAت) ½ و آر = اس −1 آ = (AA t) -½ آ.

مثلا،

برنج. 20 تجزیه قطبی

اگر ماتریس آمنحط است، پس تجزیه منحصر به فرد نیست - یعنی: اسهنوز تنهاست اما آرممکن است بسیاری وجود داشته باشد. تجزیه قطبی یک ماتریس را نشان می دهد آبه عنوان یک ترکیب فشرده سازی / کششی اسو چرخش آر.

2.6. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه

اجازه دهید آیک ماتریس مربع است. بردار vتماس گرفت بردار خودماتریس ها آ، اگر

Av = λ v,

جایی که عدد λ نامیده می شود مقدار خاصماتریس ها آ. بنابراین، تبدیلی که ماتریس انجام می دهد آبیش از بردار v، به یک کشش یا فشرده سازی ساده با ضریب λ کاهش می یابد. بردار ویژه تا ضرب در ثابت α ≠ 0 تعیین می شود، یعنی. اگر vیک بردار ویژه است، سپس α vهمچنین یک بردار ویژه است.

2.7. مقادیر ویژه

در ماتریس آ، بعد، ابعاد، اندازه ( ن× ن) نمی تواند بزرگتر از نمقادیر ویژه راضی می کنند معادله مشخصه

دت( آ − λ من) = 0,

بودن معادله جبری ن- مرتبه به طور خاص، برای یک ماتریس 2×2، معادله مشخصه شکل دارد

مثلا،

برنج. 21 مقادیر ویژه

مجموعه ای از مقادیر ویژه λ 1،...، λ نماتریس ها آتماس گرفت طیف آ.

طیف دارای خواص مختلفی است. به خصوص

دت( آ) = λ 1×...×λ ن, Sp( آ) = λ 1 +...+λ ن.

مقادیر ویژه یک ماتریس دلخواه می تواند اعداد مختلط باشد، اما اگر ماتریس متقارن باشد ( آ t = آ، سپس مقادیر ویژه آن واقعی هستند.

2.8. بردارهای ویژه

در ماتریس آ، بعد، ابعاد، اندازه ( ن× ن) نمی تواند بزرگتر از نبردارهای ویژه که هر کدام با مقدار خود مطابقت دارد. برای تعیین بردار ویژه v nشما باید یک سیستم معادلات همگن را حل کنید

(آ − λ n من)v n = 0 .

این یک راه حل غیر ضروری دارد زیرا det( آ-λ n من) = 0.

مثلا،

برنج. 22 بردار ویژه

بردارهای ویژه یک ماتریس متقارن متعامد هستند.

بردار ویژه یک ماتریس مربع بردار ویژه ای است که وقتی در یک ماتریس داده شده ضرب شود، یک بردار خطی ایجاد می کند. به زبان ساده، هنگامی که یک ماتریس در یک بردار ویژه ضرب می شود، دومی ثابت می ماند، اما در عددی ضرب می شود.

تعریف

بردار ویژه یک بردار غیر صفر V است که وقتی در یک ماتریس مربع M ضرب می شود، به خودش تبدیل می شود و مقداری λ افزایش می یابد. AT نماد جبریبه نظر می رسد:

M × V = λ × V،

که در آن λ یک مقدار ویژه از ماتریس M است.

بیایید یک مثال عددی را در نظر بگیریم. برای راحتی نوشتن، اعداد در ماتریس با یک نقطه ویرگول از هم جدا می شوند. فرض کنید یک ماتریس داریم:

• M = 0; چهار
• 6; 10.

بیایید آن را در یک بردار ستون ضرب کنیم:

• V = -2;

وقتی یک ماتریس را در بردار ستونی ضرب می کنیم، یک بردار ستونی نیز بدست می آوریم. در زبان ریاضی دقیق، فرمول ضرب یک ماتریس 2×2 در بردار ستونی به صورت زیر است:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 به معنای عنصر ماتریس M است که در ردیف اول و ستون اول قرار دارد و M22 - عنصر واقع در ردیف دوم و ستون دوم. برای ماتریس ما، این عناصر M11 = 0، M12 = 4، M21 = 6، M22 10 هستند. برای بردار ستونی، این مقادیر V11 = –2، V21 = 1 هستند. طبق این فرمول، موارد زیر را بدست می آوریم. حاصل حاصل ضرب یک ماتریس مربع بردار:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

برای راحتی، بردار ستون را در یک ردیف می نویسیم. بنابراین، ماتریس مربع را در بردار (-2; 1) ضرب کرده ایم و بردار (4; -2) را به دست می آوریم. بدیهی است که این همان بردار ضرب در λ = -2 است. Lambda در این مورد نشان دهنده یک مقدار ویژه از ماتریس است.

بردار ویژه یک ماتریس یک بردار خطی است، یعنی جسمی که وقتی در یک ماتریس ضرب می شود، موقعیت خود را در فضا تغییر نمی دهد. مفهوم هم خطی در جبر برداری مشابه اصطلاح توازی در هندسه است. در تفسیر هندسی، بردارهای خطی، بخش های موازی جهت دار با طول های مختلف هستند. از زمان اقلیدس، می دانیم که یک خط دارای تعداد بی نهایت خط موازی با آن است، بنابراین منطقی است که فرض کنیم هر ماتریس دارای تعداد بی نهایت بردار ویژه است.

از مثال قبل، می توان دریافت که هر دو (-8; 4)، و (16; -8)، و (32، -16) می توانند بردار ویژه باشند. همه اینها بردارهای خطی مربوط به مقدار ویژه λ = -2 هستند. وقتی ماتریس اصلی را در این بردارها ضرب کنیم، باز هم در نتیجه یک بردار خواهیم داشت که 2 برابر با اصلی تفاوت دارد. به همین دلیل است که هنگام حل مسائل برای یافتن بردار ویژه، باید فقط اشیاء بردار مستقل خطی را پیدا کرد. اغلب، برای یک ماتریس n × n، تعداد n بردار ویژه وجود دارد. ماشین حساب ما برای تجزیه و تحلیل ماتریس های مربع مرتبه دوم طراحی شده است، بنابراین تقریباً همیشه دو بردار ویژه در نتیجه پیدا می شود، مگر زمانی که بر هم منطبق باشند.

در مثال بالا، ما از قبل بردار ویژه ماتریس اصلی را می دانستیم و عدد لامبدا را به صورت بصری تعیین کردیم. با این حال، در عمل، همه چیز برعکس اتفاق می افتد: در ابتدا مقادیر ویژه و تنها پس از آن بردارهای ویژه وجود دارد.

الگوریتم حل

بیایید دوباره به ماتریس اصلی M نگاه کنیم و سعی کنیم هر دو بردار ویژه آن را پیدا کنیم. بنابراین ماتریس به نظر می رسد:

• M = 0; چهار
• 6; 10.

برای شروع، باید مقدار ویژه λ را تعیین کنیم، که برای آن باید تعیین کننده ماتریس زیر را محاسبه کنیم:

• (0 - λ); چهار
• 6; (10 - λ).

این ماتریس با کم کردن λ مجهول از عناصر روی قطر اصلی به دست می آید. تعیین کننده با فرمول استاندارد تعیین می شود:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

از آنجایی که بردار ما نباید صفر باشد، معادله حاصل را به صورت خطی وابسته می‌گیریم و detA تعیین‌مان را با صفر برابر می‌کنیم.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

بیایید براکت ها را باز کنیم و معادله مشخصه ماتریس را بدست آوریم:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

این استاندارد است معادله درجه دوم، که قرار است از نظر ممیز حل شود.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

ریشه تفکیک کننده sqrt(D) = 14 است، بنابراین λ1 = -2، λ2 = 12. حال برای هر مقدار لامبدا، باید یک بردار ویژه پیدا کنیم. اجازه دهید ضرایب سیستم را برای λ = -2 بیان کنیم.

• M - λ × E = 2; چهار
• 6; 12.

در این فرمول E ماتریس هویت است. بر اساس ماتریس به دست آمده، سیستمی از معادلات خطی را می سازیم:

2x + 4y = 6x + 12y

که در آن x و y عناصر بردار ویژه هستند.

بیایید تمام X در سمت چپ و همه Y ها در سمت راست را جمع آوری کنیم. بدیهی است - 4x = 8y. عبارت را بر - 4 تقسیم کنید و x = -2y را بدست آورید. اکنون می توانیم اولین بردار ویژه ماتریس را با گرفتن مقادیر مجهولات تعیین کنیم (بی نهایت بردارهای ویژه وابسته به خطی را به خاطر بسپاریم). بیایید y = 1 و سپس x = -2 را در نظر بگیریم. بنابراین، اولین بردار ویژه شبیه V1 = (-2; 1) است. به ابتدای مقاله برگردید. برای این است جسم برداریما برای نشان دادن مفهوم بردار ویژه، ماتریس را ضرب کرده ایم.

حال بیایید بردار ویژه را برای λ = 12 پیدا کنیم.

• M - λ × E = -12; چهار
• 6; -2.

اجازه دهید همان سیستم معادلات خطی را بسازیم.

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

حال بیایید x = 1 را در نظر بگیریم، بنابراین y = 3. بنابراین، بردار ویژه دوم شبیه V2 = (1؛ 3) است. هنگام ضرب ماتریس اصلی در این بردار، نتیجه همیشه همان بردار ضرب در 12 خواهد بود. این الگوریتم حل را کامل می کند. اکنون می دانید که چگونه به صورت دستی بردار ویژه یک ماتریس را تعریف کنید.

• تعیین کننده؛
• ردیابی، یعنی مجموع عناصر روی مورب اصلی؛
• رتبه، یعنی بیشترین مقدارسطرها/ستون های مستقل خطی

این برنامه طبق الگوریتم فوق عمل می کند و فرآیند حل را به حداقل می رساند. ذکر این نکته ضروری است که در برنامه لامبدا با حرف "c" نشان داده می شود. بیایید به یک مثال عددی نگاه کنیم.

نمونه برنامه

بیایید سعی کنیم بردارهای ویژه را برای ماتریس زیر تعریف کنیم:

• M=5; 13;
• 4; 14.

بیایید این مقادیر را در سلول های ماشین حساب وارد کرده و به شکل زیر پاسخ را دریافت کنیم:

• رتبه ماتریس: 2;
• تعیین کننده ماتریس: 18;
• ردیابی ماتریس: 19;
• محاسبه بردار ویژه: c 2 − 19.00c + 18.00 (معادله مشخصه).
• محاسبه بردار ویژه: 18 (مقدار لامبدا اول)؛
• محاسبه بردار ویژه: 1 (مقدار لامبدا دوم)؛
• سیستم معادلات بردار 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• سیستم معادله برداری 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• بردار ویژه 1: (1; 1);
• بردار ویژه 2: (-3.25؛ 1).

بنابراین، ما دو بردار ویژه مستقل خطی به دست آورده ایم.

نتیجه

جبر خطی و هندسه تحلیلی دروس استاندارد برای هر دانشجوی سال اول مهندسی هستند. تعداد زیادی از بردارها و ماتریس ها وحشتناک است و به راحتی می توان در چنین محاسبات دست و پا گیر اشتباه کرد. برنامه ما به دانش آموزان اجازه می دهد تا محاسبات خود را بررسی کنند یا به طور خودکار مشکل پیدا کردن بردار ویژه را حل کنند. ماشین حساب های جبر خطی دیگری در کاتالوگ ما وجود دارد، از آنها در مطالعه یا کار خود استفاده کنید.