حل ماتریس های مستطیلی با استفاده از روش گاوسی. روش گاوسی برای آدمک ها: حل آسان لجن

یکی از ساده ترین راه ها برای حل سیستم معادلات خطییک تکنیک مبتنی بر محاسبه عوامل تعیین کننده است ( قانون کرامر). مزیت آن این است که به شما امکان می دهد بلافاصله راه حل را ضبط کنید؛ به ویژه در مواردی که ضرایب سیستم اعداد نیست، بلکه برخی از پارامترها هستند راحت است. عیب آن دست و پا گیر بودن محاسبات در مورد است تعداد زیادیمعادلات؛ علاوه بر این، قانون کرامر به طور مستقیم برای سیستم هایی که در آن تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق نیست، قابل اجرا نیست. در چنین مواردی معمولا استفاده می شود روش گاوسی.

سیستم های معادلات خطی که مجموعه راه حل های یکسانی دارند نامیده می شوند معادل. بدیهی است که اگر معادله‌ای با هم عوض شود یا یکی از معادلات در عددی غیر صفر ضرب شود یا یک معادله به معادله دیگر اضافه شود، مجموعه جواب‌های یک سیستم خطی تغییر نخواهد کرد.

روش گاوس (روش حذف متوالیناشناخته) این است که با کمک تبدیل های ابتدایی سیستم به یک سیستم معادل تقلیل می یابد نوع پلکانی. ابتدا با استفاده از معادله 1 حذف می کنیم ایکس 1 از تمام معادلات بعدی سیستم. سپس با استفاده از معادله 2 حذف می کنیم ایکس 2 از 3 و تمام معادلات بعدی. این فرآیند، به نام روش گاوسی مستقیم، ادامه می یابد تا زمانی که در سمت چپ آخرین معادله تنها یک مجهول باقی بماند x n. بعد از این کار انجام می شود معکوس روش گاوسی– با حل آخرین معادله، پیدا می کنیم x n; پس از آن، با استفاده از این مقدار، از معادله ماقبل آخر محاسبه می کنیم x n-1 و غیره آخرین مورد را پیدا می کنیم ایکس 1 از معادله اول.

انجام تبدیل های گاوسی با انجام تبدیل نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس ضرایب آنها راحت است. ماتریس را در نظر بگیرید:

تماس گرفت منبسط ماتریس سیستم, زیرا علاوه بر ماتریس اصلی سیستم، شامل ستونی از اصطلاحات آزاد می باشد. روش گاوسی مبتنی بر کاهش ماتریس اصلی سیستم به شکل مثلثی (یا شکل ذوزنقه ای در مورد سیستم های غیر مربعی) با استفاده از تبدیل های ردیف ابتدایی (!) ماتریس توسعه یافته سیستم است.

مثال 5.1.حل سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل. بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از ردیف اول، پس از آن عناصر باقی مانده را بازنشانی کنیم:

در ردیف های 2، 3 و 4 ستون اول، صفر می گیریم:

حالا باید تمام عناصر ستون دوم زیر ردیف دوم برابر با صفر باشند. برای این کار می توانید خط دوم را در 4/7- ضرب کرده و به خط 3 اضافه کنید. با این حال، برای اینکه با کسرها سروکار نداشته باشیم، اجازه دهید یک واحد در ردیف دوم ستون دوم ایجاد کنیم و فقط

حال برای به دست آوردن یک ماتریس مثلثی باید عنصر ردیف چهارم از ستون 3 را ریست کنید؛ برای این کار می توانید سطر سوم را در 8/54 ضرب کرده و به ردیف چهارم اضافه کنید. اما برای اینکه با کسرها کار نکنیم، سطرهای 3 و 4 و ستون های 3 و 4 را با هم عوض می کنیم و تنها پس از آن عنصر مشخص شده را ریست می کنیم. توجه داشته باشید که هنگام تنظیم مجدد ستون ها، متغیرهای مربوطه جای خود را تغییر می دهند و این باید به خاطر داشته باشید. سایر تبدیل های ابتدایی با ستون (جمع و ضرب در یک عدد) قابل انجام نیستند!

آخرین ماتریس ساده شده مربوط به سیستمی از معادلات معادل معادله اصلی است:

از اینجا با استفاده از معکوس روش گاوسی از معادله چهارم به دست می آوریم ایکس 3 = -1; از سوم ایکس 4 = -2، از دوم ایکس 2 = 2 و از معادله اول ایکس 1 = 1. در فرم ماتریسی، پاسخ به صورت نوشته می شود

ما موردی را در نظر گرفتیم که سیستم قطعی باشد، یعنی. زمانی که تنها یک راه حل وجود دارد. بیایید ببینیم اگر سیستم ناسازگار یا نامطمئن باشد چه اتفاقی می افتد.

مثال 5.2.کاوش سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و تبدیل می کنیم

ما یک سیستم معادلات ساده شده می نویسیم:

در اینجا، در آخرین معادله معلوم می شود که 0=4، یعنی. تناقض. در نتیجه، سیستم هیچ راه حلی ندارد، یعنی. او ناسازگار. à

مثال 5.3.کاوش و حل سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و تبدیل می کنیم:

در نتیجه تبدیل ها، آخرین خط فقط شامل صفر است. این بدان معنی است که تعداد معادلات یک کاهش یافته است:

بنابراین، پس از ساده سازی، دو معادله باقی می ماند و چهار مجهول، یعنی. دو ناشناخته "اضافی". بگذارید آنها "زائد" باشند، یا، همانطور که می گویند، متغیرهای رایگان، اراده ایکس 3 و ایکس 4 . سپس

باور کردن ایکس 3 = 2آو ایکس 4 = ب، ما گرفتیم ایکس 2 = 1–آو ایکس 1 = 2ب–آ; یا به صورت ماتریسی

راه حلی که به این شکل نوشته می شود نامیده می شود عمومی، زیرا، دادن پارامترها آو ب معانی مختلف، می توان تمام راه حل های ممکن سیستم را شرح داد. آ

امروز می خواهیم روش گاوس را برای حل سیستم های خطی درک کنیم معادلات جبری. در مقاله قبلی که به حل همان SLAEها با استفاده از روش کرامر اختصاص داده شده است، می توانید در مورد اینکه این سیستم ها چیستند. روش گاوس به دانش خاصی نیاز ندارد، فقط به دقت و ثبات نیاز دارید. علیرغم این واقعیت که از دیدگاه ریاضی، آموزش مدرسه برای به کارگیری آن کافی است، دانش آموزان اغلب تسلط بر این روش را دشوار می دانند. در این مقاله سعی می کنیم آنها را به هیچ کاهش دهیم!

روش گاوس

م روش گاوسی- اکثر روش جهانیراه حل های SLAU (به استثنای خیلی سیستم های بزرگ). برخلاف آنچه قبلاً مورد بحث قرار گرفت، نه تنها برای سیستم‌هایی با تنها تصمیم، بلکه برای سیستم هایی که تعداد بی نهایت راه حل دارند. در اینجا سه ​​گزینه ممکن وجود دارد.

1. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نیست).
2. این سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.
3. هیچ راه حلی وجود ندارد، سیستم ناسازگار است.

بنابراین ما یک سیستم داریم (بگذارید یک راه حل داشته باشد) و می خواهیم آن را با استفاده از روش گاوسی حل کنیم. چگونه کار می کند؟

روش گاوس شامل دو مرحله است - جلو و معکوس.

سکته مغزی مستقیم از روش گاوسی

ابتدا اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم. برای این کار، ستونی از اعضای آزاد را به ماتریس اصلی اضافه کنید.

ماهیت تمام روش گاوس این است که این ماتریس را از طریق دگرگونی های ابتدایی به شکل پلکانی (یا همانطور که می گویند مثلثی) می رساند. در این شکل، فقط باید صفرها در زیر (یا بالاتر) قطر اصلی ماتریس وجود داشته باشد.

آنچه شما می توانید انجام دهید:

1. شما می توانید ردیف های ماتریس را دوباره مرتب کنید.
2. اگر ردیف‌های مساوی (یا متناسب) در یک ماتریس وجود داشته باشد، می‌توانید همه آنها را به جز یکی حذف کنید.
3. شما می توانید یک رشته را در هر عددی ضرب یا تقسیم کنید (به جز صفر).
4. ردیف های پوچ حذف می شوند.
5. می توانید یک رشته ضرب شده در عددی غیر از صفر را به یک رشته اضافه کنید.

روش گاوسی معکوس

بعد از اینکه سیستم را به این شکل تبدیل کردیم، یک ناشناخته Xn شناخته می شود، و شما می توانید تمام مجهولات باقیمانده را به ترتیب معکوس پیدا کنید، و x های قبلا شناخته شده را تا اولین معادلات سیستم جایگزین کنید.

هنگامی که اینترنت همیشه در دسترس است، می توانید یک سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوسی حل کنید برخط.فقط باید ضرایب را در ماشین حساب آنلاین وارد کنید. اما باید اعتراف کنید، درک این موضوع بسیار لذت بخش تر است که این مثال توسط یک برنامه رایانه ای حل نشده است، بلکه توسط مغز خود شما حل شده است.

نمونه ای از حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس

و اکنون - یک مثال برای اینکه همه چیز واضح و قابل درک شود. اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود، و باید آن را با استفاده از روش گاوس حل کنید:

ابتدا ماتریس توسعه یافته را می نویسیم:

حالا بیایید تبدیل ها را انجام دهیم. ما به یاد داریم که باید به یک ظاهر مثلثی ماتریس برسیم. بیایید خط اول را در (3) ضرب کنیم. خط دوم را در (-1) ضرب کنید. خط 2 را به 1 اضافه کنید و دریافت کنید:

سپس خط 3 را در (1-) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:

بیایید خط اول را در (6) ضرب کنیم. بیایید خط 2 را در (13) ضرب کنیم. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

Voila - سیستم به فرم مناسب آورده می شود. باقی مانده است که مجهولات را پیدا کنیم:

سیستم در این مثال یک راه حل منحصر به فرد دارد. حل سیستم هایی با تعداد بی نهایت راه حل را در مقاله ای جداگانه در نظر خواهیم گرفت. شاید در ابتدا ندانید که از کجا باید تبدیل ماتریس را شروع کنید، اما پس از تمرین مناسب به آن دست خواهید یافت و SLAE ها را با استفاده از روش گاوسی مانند آجیل می شکافید. و اگر ناگهان با یک SLAU مواجه شدید که معلوم شد هم همینطور است مهره سخت برای شکستن، با نویسندگان ما تماس بگیرید! می توانید با گذاشتن درخواست در دفتر مکاتبات. با هم هر مشکلی را حل خواهیم کرد!

دو سیستم معادلات خطی در صورتی معادل نامیده می شوند که مجموعه تمام جواب های آنها بر هم منطبق باشد.

تحولات ابتداییسیستم های معادلات عبارتند از:

1. حذف معادلات بی اهمیت از سیستم، به عنوان مثال. آنهایی که تمام ضرایب آنها برابر با صفر است.
2. ضرب هر معادله در عددی غیر از صفر؛
3. افزودن به هر معادله i هر معادله j ام ضرب در هر عدد.

اگر این متغیر مجاز نباشد، یک متغیر x i آزاد نامیده می شود، اما کل سیستم معادلات مجاز است.

قضیه. تبدیل های ابتدایی یک سیستم معادلات را به یک معادل تبدیل می کند.

منظور از روش گاوسی تبدیل سیستم معادلات اولیه و به دست آوردن یک سیستم معادل حل شده یا معادل ناسازگار است.

بنابراین، روش گاوسی شامل مراحل زیر است:

1. بیایید به معادله اول نگاه کنیم. بیایید اولین ضریب غیر صفر را انتخاب کنیم و کل معادله را بر آن تقسیم کنیم. معادله ای به دست می آوریم که در آن مقداری از متغیر x i با ضریب 1 وارد می شود.
2. بیایید این معادله را از بقیه کم کنیم و آن را در اعدادی ضرب کنیم که ضرایب متغیر x i در معادلات باقیمانده صفر شود. ما یک سیستم حل شده با توجه به متغیر x i و معادل سیستم اصلی بدست می آوریم.
3. اگر معادلات جزئی بوجود آیند (به ندرت، اما این اتفاق می افتد؛ به عنوان مثال، 0 = 0)، ما آنها را از سیستم عبور می دهیم. در نتیجه، یک معادله کمتر وجود دارد.
4. مراحل قبلی را بیش از n بار تکرار نمی کنیم که n تعداد معادلات سیستم است. هر بار که متغیر جدیدی را برای "پردازش" انتخاب می کنیم. اگر معادلات ناسازگار به وجود آید (مثلاً 0 = 8)، سیستم ناسازگار است.

در نتیجه، پس از چند مرحله، یا یک سیستم حل شده (احتمالاً با متغیرهای آزاد) یا یک سیستم ناسازگار به دست خواهیم آورد. سیستم های مجاز به دو حالت تقسیم می شوند:

1. تعداد متغیرها برابر است با تعداد معادلات. این بدان معناست که سیستم تعریف شده است.
2. تعداد متغیرها تعداد بیشترمعادلات ما تمام متغیرهای رایگان سمت راست را جمع آوری می کنیم - فرمول هایی را برای متغیرهای مجاز دریافت می کنیم. این فرمول ها در پاسخ نوشته شده است.

همین! سیستم معادلات خطی حل شد! این یک الگوریتم نسبتاً ساده است و برای تسلط بر آن نیازی نیست با معلم ریاضی بالاتر تماس بگیرید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

وظیفه. حل سیستم معادلات:

شرح مراحل:

1. معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنید - متغیر مجاز x 1 را دریافت می کنیم.
2. ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم و معادله سوم را بر (-3) تقسیم می کنیم - دو معادله بدست می آوریم که در آن متغیر x 2 با ضریب 1 وارد می شود.
3. معادله دوم را به معادله اول اضافه می کنیم و از معادله سوم کم می کنیم. متغیر مجاز x 2 را دریافت می کنیم.
4. در نهایت، معادله سوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 3 را دریافت می کنیم.
5. ما یک سیستم تایید شده دریافت کرده ایم، پاسخ را یادداشت کنید.

تصمیم مشترک سیستم مشترکمعادلات خطی هستند سیستم جدید، معادل اصلی است که در آن همه متغیرهای مجاز بر حسب متغیر آزاد بیان می شوند.

زمانی که ممکن است به آن نیاز داشته باشید تصمیم مشترک? اگر باید انجام دهید مراحل کمتر, از k (k تعداد معادلات است). با این حال، دلایلی که چرا این فرآیند در مرحله 1 به پایان می رسد< k , может быть две:

1. بعد از مرحله دوم، سیستمی به دست آوردیم که دارای معادله ای با عدد (l + 1) نیست. در واقع این خوب است، زیرا ... سیستم مجاز هنوز به دست آمده است - حتی چند قدم زودتر.
2. بعد از مرحله دوم معادله ای به دست می آید که در آن همه ضرایب متغیرها برابر با صفر هستند و ضریب آزاد با صفر متفاوت است. این یک معادله متناقض است، و بنابراین، سیستم ناسازگار است.

درک این نکته مهم است که پیدایش یک معادله ناسازگار با استفاده از روش گاوسی مبنای کافی برای ناسازگاری است. در همان زمان، ما توجه می کنیم که در نتیجه مرحله دوم، هیچ معادله بی اهمیتی نمی تواند باقی بماند - همه آنها درست در این فرآیند خط زده می شوند.

شرح مراحل:

1. معادله اول ضربدر 4 را از معادله دوم کم کنید. ما همچنین اولین معادله را به معادله سوم اضافه می کنیم - متغیر مجاز x 1 را دریافت می کنیم.
2. معادله سوم ضربدر 2 را از دومی کم کنید - معادله متناقض 0 = -5 را بدست می آوریم.

بنابراین، سیستم ناسازگار است زیرا یک معادله ناسازگار کشف شده است.

وظیفه. سازگاری را بررسی کنید و یک راه حل کلی برای سیستم پیدا کنید:

شرح مراحل:

1. معادله اول را از دومی (پس از ضرب در دو) و سومی کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
2. معادله دوم را از معادله سوم کم کنید. از آنجایی که همه ضرایب در این معادلات یکسان هستند، معادله سوم بی اهمیت می شود. در همان زمان، معادله دوم را در (-1) ضرب کنید.
3. دومی را از معادله اول کم کنید - متغیر مجاز x 2 را بدست می آوریم. کل سیستم معادلات هم اکنون حل شده است.
4. از آنجایی که متغیرهای x 3 و x 4 آزاد هستند، برای بیان متغیرهای مجاز آنها را به سمت راست منتقل می کنیم. این پاسخ است.

بنابراین، سیستم سازگار و نامشخص است، زیرا دو متغیر مجاز (x 1 و x 2) و دو متغیر آزاد (x 3 و x 4) وجود دارد.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.فرض کنید باید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم nمعادلات خطی با nمتغیرهای ناشناخته
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است: ابتدا حذف x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم، بیشتر حذف می شود x 2از تمام معادلات، از معادله سوم، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. x n. این فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل پیشروی رو به جلو روش گاوسی، از آخرین معادله پیدا می کنیم x n، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخری که محاسبه می کنیم xn-1و به همین ترتیب از اولین معادله ای که پیدا کردیم x 1. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر ناشناخته را حذف کنید x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، معادله اول را با ضرب در و به معادله سوم، اولین، ضرب در و غیره را اضافه می کنیم. نهمیناولی را به معادله اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و .

اگر بیان می کردیم به همین نتیجه می رسیدیم x 1از طریق سایر متغیرهای ناشناخته در معادله اول سیستم و عبارت حاصل با تمام معادلات جایگزین شد. بنابراین متغیر x 1از تمام معادلات، از معادله دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، دومی را ضرب می کنیم و به همین ترتیب. نهمینبه معادله دومی را ضرب می کنیم. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و . بنابراین متغیر x 2از تمام معادلات که از سوم شروع می شود حذف می شوند.

در ادامه به حذف ناشناخته ها می پردازیم x 3، در این حالت با قسمتی از سیستم که در شکل مشخص شده است به طور مشابه عمل می کنیم

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: محاسبه می کنیم x nاز آخرین معادله به عنوان، با استفاده از مقدار به دست آمده x nما پیدا می کنیم xn-1از معادله ماقبل آخر و غیره پیدا می کنیم x 1از معادله اول

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوس