با استفاده از روش گاوس حل کنید. روش گاوس برای حل ماتریس

اجازه دهید یک سیستم خطی معادلات جبری، که باید حل شود (مقادیر مجهول xi را پیدا کنید که هر معادله سیستم را به یک برابری تبدیل می کند).

می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:

1) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).
۲) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) داشتن تنها تصمیم.

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریس در مواردی که سیستم دارای راه حل های بی نهایت زیاد یا ناسازگار است نامناسب است. روش گاوس – قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل برای هر سیستمی معادلات خطی ، که در هر موردما را به پاسخ هدایت کنید! الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش تعیین‌کننده‌ها دارند، در آن صورت استفاده از روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارد که حتی برای دانش‌آموزان مقطع ابتدایی نیز قابل دسترسی است.

تبدیل های ماتریس توسعه یافته ( این ماتریس سیستم است - ماتریسی که فقط از ضرایب مجهولات به اضافه ستونی از عبارت های آزاد تشکیل شده است)سیستم های معادلات جبری خطی در روش گاوس:

1) با trokyماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها

2) اگر ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) در ماتریس وجود داشته باشد (یا وجود داشته باشد)، پس از آن حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک.

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف.

4) ردیف ماتریس می تواند ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر

5) به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.

در روش گاوس، تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند.

روش گاوس شامل دو مرحله است:

1. "حرکت مستقیم" - با استفاده از تحولات ابتداییکاهش ماتریس توسعه یافته سیستم معادلات جبری خطی به "مثلثی" نمای پلکانی: عناصر ماتریس منبسط شده در زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). به عنوان مثال، به این نوع:

برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:

1) اجازه دهید اولین معادله یک سیستم معادلات جبری خطی را در نظر بگیریم و ضریب در x 1 برابر با K است. دوم، سوم و غیره. معادلات را به صورت زیر تبدیل می کنیم: هر معادله (ضرایب مجهولات از جمله عبارات آزاد) را بر ضریب مجهول x 1 که در هر معادله است تقسیم می کنیم و در K ضرب می کنیم. پس از آن، معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد). ما در x 1 در معادله دوم ضریب 0 را بدست می آوریم. از معادله تبدیل شده سوم، معادله اول را کم می کنیم، بنابراین تا زمانی که تمام معادلات به جز اولی، با مجهول x 1، ضریب 0 نخواهند داشت.

2) به معادله بعدی بروید. اجازه دهید این معادله دوم باشد و ضریب x 2 برابر با M باشد. بنابراین، "زیر" مجهول x 2 در تمام معادلات صفر خواهد بود.

3) به معادله بعدی می رویم و همینطور ادامه می دهیم تا آخرین جمله آزاد مجهول و تبدیل شده باقی بماند.

1. "حرکت معکوس" روش گاوس به دست آوردن جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی است (حرکت "پایین به بالا"). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n \u003d B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 \u003d 4. مقدار پیدا شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 \u003d 1، یعنی. x 2 \u003d 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.

مثال.

ما سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیایید این کار را به این صورت انجام دهیم:
1 مرحله . به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. هر کسی که بخواهد 1+ را دریافت کند می‌تواند یک عمل اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

2 مرحله . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

3 مرحله . خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

4 مرحله . به خط سوم، خط دوم را در 2 ضرب کنید.

5 مرحله . خط سوم بر 3 تقسیم می شود.

نشانه ای که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه به (0 0 11 | 23) در زیر به دست آوریم، و بر این اساس، 11x 3 = 23، x 3 = 23/11، آنگاه با درجه احتمال بالایی می توانیم بگوییم که اشتباهی در دوره ابتدایی رخ داده است. تحولات

ما یک حرکت معکوس انجام می دهیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس "از پایین به بالا" کار می کند. در این مثال، هدیه معلوم شد:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 \u003d 1، x 1 \u003d -1

پاسخ:x 1 \u003d -1، x 2 \u003d 3، x 3 \u003d 1.

بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

معادله دوم را بر 5 تقسیم کنید و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

معادله دوم و سوم را در 4 ضرب کنیم، به دست می آید:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

معادله دوم را از معادله سوم کم کنید، ماتریس تقویت شده "پله ای" را دریافت می کنیم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

بنابراین، از آنجایی که یک خطا در فرآیند محاسبات انباشته شده است، x 3 \u003d 0.96 یا تقریباً 1 را دریافت می کنیم.

x 2 \u003d 3 و x 1 \u003d -1.

با این روش حل، هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نخواهید شد و با وجود اشتباهات محاسباتی، به نتیجه خواهید رسید.

این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و به آن توجهی نمی شود. ویژگی های خاصضرایب برای مجهولات، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم! در کلاس می بینمت! مدرس دیمیتری آیستراخانوف.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس.فرض کنید باید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم nمعادلات خطی با nمتغیرهای ناشناخته
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است: اول، the x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم، سپس x2از تمام معادلات، از معادله سوم شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. x n. چنین فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای طرد متوالیمتغیرهای ناشناخته نامیده می شود روش گاوس مستقیم. پس از اتمام حرکت رو به جلو روش گاوس، از آخرین معادله پیدا می کنیم x n، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخر محاسبه می شود xn-1و به همین ترتیب، از معادله اول پیدا می شود x 1. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود روش گاوس معکوس.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر ناشناخته را حذف کنید x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم. برای این کار، معادله اول ضرب در معادله دوم سیستم را اضافه کنید، اولین ضرب در معادله سوم و به همین ترتیب به n-امینمعادله اول را با ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف .

اگر بیان می کردیم به همین نتیجه می رسیدیم x 1از طریق سایر متغیرهای ناشناخته در معادله اول سیستم و عبارت حاصل با تمام معادلات جایگزین شد. بنابراین متغیر x 1از تمام معادلات، از معادلات دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، ما به طور مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم به دست آمده، که در شکل مشخص شده است

برای این کار، دوم ضرب در معادله سوم سیستم را اضافه کنید، دومی ضرب شده در را به معادله چهارم اضافه کنید و به همین ترتیب. n-امینمعادله دوم را با ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف . بنابراین متغیر x2از تمام معادلات، از معادله سوم حذف شده است.

در ادامه به حذف مجهولات می پردازیم x 3، در حالی که با قسمتی از سیستم که در شکل مشخص شده است به طور مشابه عمل می کنیم

بنابراین سیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، مسیر معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: محاسبه می کنیم x nاز آخرین معادله به عنوان، با استفاده از مقدار به دست آمده x nپیدا کردن xn-1از معادله ماقبل آخر و غیره پیدا می کنیم x 1از معادله اول

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوسی

1. سیستم معادلات جبری خطی

1.1 مفهوم سیستم معادلات جبری خطی

سیستم معادلات شرایطی است که شامل اجرای همزمان چندین معادله در چندین متغیر است. سیستم معادلات جبری خطی (که از این پس SLAE نامیده می شود) حاوی m معادلات و n مجهول سیستمی به شکل زیر است:

در جایی که اعداد a ij را ضرایب سیستم می نامند، اعداد b i اعضای آزاد هستند، aijو b i(i=1,…, m؛ b=1,…, n) برخی از اعداد شناخته شده هستند و x 1،…، x n- ناشناس. در علامت گذاری ضرایب aijشاخص اول i تعداد معادله را نشان می دهد و شاخص دوم j تعداد مجهولی است که این ضریب در آن قرار دارد. مشروط به یافتن عدد x n . نوشتن چنین سیستمی به شکل ماتریس فشرده راحت است: AX=B.در اینجا A ماتریس ضرایب سیستم است که ماتریس اصلی نامیده می شود.

بردار ستونی از xj مجهول است.
بردار ستونی از اعضای آزاد bi است.

حاصل ضرب ماتریس های A * X تعریف می شود، زیرا در ماتریس A به تعداد سطر در ماتریس X (n قطعه) ستون وجود دارد.

ماتریس توسعه یافته سیستم، ماتریس A سیستم است که با ستونی از اعضای آزاد تکمیل می شود

1.2 حل سیستم معادلات جبری خطی

راه حل یک سیستم معادلات مجموعه ای مرتب از اعداد (مقادیر متغیرها) است که هنگام جایگزینی آنها به جای متغیرها، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.

جواب سیستم n مقدار مجهولات x1=c1, x2=c2,…, xn=cn می باشد که جایگزین آن ها تمامی معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. هر راه حلی از سیستم را می توان به صورت ماتریس-ستون نوشت

سیستم معادلات اگر حداقل یک راه حل داشته باشد سازگار و اگر جواب نداشته باشد ناسازگار نامیده می شود.

سیستم مشترک اگر دارای یک راه حل منحصر به فرد باشد معین و اگر بیش از یک راه حل داشته باشد نامعین نامیده می شود. در حالت دوم، هر یک از راه حل های آن را یک راه حل خاص سیستم می نامند. به مجموعه تمام راه حل های خاص، راه حل کلی می گویند.

حل یک سیستم به معنای سازگاری یا ناسازگاری آن است. اگر سیستم سازگار است، آن را پیدا کنید تصمیم مشترک.

دو سیستم اگر راه حل کلی یکسانی داشته باشند معادل (معادل) نامیده می شوند. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل برای یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس.

تبدیلی که اعمال آن یک سیستم را به یک سیستم جدید معادل با سیستم اصلی تبدیل می کند، تبدیل معادل یا معادل نامیده می شود. تبدیل‌های زیر می‌توانند به عنوان مثال‌هایی از تبدیل‌های معادل باشند: مبادله دو معادله سیستم، مبادله دو مجهول با ضرایب همه معادلات، ضرب هر دو قسمت هر معادله سیستم در یک عدد غیر صفر.

یک سیستم معادلات خطی همگن نامیده می شود که تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند:

یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا x1=x2=x3=…=xn=0 راه حلی برای سیستم است. این راه حل تهی یا بی اهمیت نامیده می شود.

2. روش حذف گاوسی

2.1 ماهیت روش حذف گاوسی

روش کلاسیک برای حل سیستم های معادلات جبری خطی روش حذف متوالی مجهولات است - روش گاوس(به آن روش حذف گاوسی نیز می گویند). این یک روش حذف متوالی متغیرها است، زمانی که با کمک تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل به شکل پلکانی (یا مثلثی) کاهش می یابد، که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند، با شروع از آخرین (براساس تعداد) متغیرها.

فرآیند حل گاوسی شامل دو مرحله است: حرکت به جلو و عقب.

1. حرکت مستقیم.

در مرحله اول، به اصطلاح حرکت مستقیم انجام می شود، زمانی که با استفاده از دگرگونی های اولیه روی ردیف ها، سیستم به شکل پلکانی یا مثلثی در می آید یا مشخص می شود که سیستم ناسازگار است. یعنی از بین عناصر ستون اول ماتریس، یک غیر صفر انتخاب می شود، با جایگشت سطرها به بالاترین موقعیت منتقل می شود و اولین ردیفی که پس از جایگشت به دست می آید از سطرهای باقی مانده کم می شود و آن را در یک ضرب می کنیم. مقدار برابر با نسبت عنصر اول هر یک از این ردیف ها به اولین عنصر ردیف اول است، بنابراین ستون زیر آن را صفر می کند.

پس از انجام تبدیل‌های مشخص‌شده، سطر اول و ستون اول به صورت ذهنی خط کشیده می‌شوند و تا زمانی که یک ماتریس با اندازه صفر باقی بماند ادامه می‌یابد. اگر در برخی از تکرارها در بین عناصر ستون اول یک غیر صفر یافت نشد، به ستون بعدی بروید و عملیات مشابهی را انجام دهید.

در مرحله اول (اجرای جلو)، سیستم به شکل پلکانی (به ویژه مثلثی) کاهش می یابد.

سیستم زیر به صورت مرحله ای است:

,

ضرایب aii عناصر اصلی (پیشرو) سیستم نامیده می شوند.

(اگر a11=0، ردیف های ماتریس را طوری مرتب کنید که آ 11 برابر 0 نبود. این همیشه ممکن است، زیرا در غیر این صورت ماتریس حاوی یک ستون صفر است، تعیین کننده آن برابر با صفر است و سیستم ناسازگار است).

ما سیستم را با حذف مجهول x1 در تمام معادلات به جز معادلات اول (با استفاده از تبدیل های ابتدایی سیستم) تبدیل می کنیم. برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید

و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم جمع کنید (یا از معادله دوم جمله به جمله اولی را در عدد کم می کنیم). سپس هر دو قسمت از معادله اول را در ضرب می کنیم و به معادله سوم سیستم اضافه می کنیم (یا اولینی را که در جمله سوم ضرب شده است کم می کنیم). بنابراین، ردیف اول را به صورت متوالی در یک عدد ضرب کرده و به آن اضافه می کنیم من-خط، برای i= 2, 3, …,n

با ادامه این فرآیند، سیستم معادل را دریافت می کنیم:

- مقادیر جدید ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد در آخرین معادلات m-1 سیستم که با فرمول تعیین می شود:

بنابراین، در مرحله اول، تمام ضرایب زیر اولین عنصر اصلی a 11 از بین می روند

0، مرحله دوم عناصر زیر دومین عنصر اصلی a 22 (1) (اگر 22 (1) 0 باشد) و غیره را از بین می برد. با ادامه این روند، در نهایت سیستم اصلی را در مرحله (m-1) به یک سیستم مثلثی کاهش می دهیم.

اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات صفر ظاهر شوند، یعنی. برابری‌های شکل 0=0، کنار گذاشته می‌شوند. اگر معادله ای از فرم وجود داشته باشد

این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

این مسیر مستقیم روش گاوس را کامل می کند.

2. حرکت معکوس.

در مرحله دوم، به اصطلاح حرکت معکوس انجام می شود که ماهیت آن بیان همه متغیرهای اساسی به دست آمده بر حسب متغیرهای غیر اساسی و ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها است، یا اگر همه متغیرها پایه باشند، سپس تنها جواب سیستم معادلات خطی را به صورت عددی بیان کنید.

این روش با آخرین معادله شروع می شود، که از آن متغیر اصلی مربوطه بیان می شود (در آن فقط یکی است) و جایگزین معادلات قبلی می شود و به همین ترتیب از "پله ها" به بالا می رود.

هر خط دقیقاً با یک متغیر اساسی مطابقت دارد، بنابراین در هر مرحله، به جز آخرین (بالاترین)، وضعیت دقیقاً مورد خط آخر را تکرار می کند.

توجه: در عمل، راحت تر است که نه با سیستم، بلکه با ماتریس توسعه یافته آن کار کنید و تمام تبدیلات اولیه را در ردیف های آن انجام دهید. راحت است که ضریب a11 برابر با 1 باشد (معادلات را دوباره مرتب کنید یا هر دو طرف معادله را بر a11 تقسیم کنید).

2.2 نمونه هایی از حل SLAE با روش گاوس

در این بخش با استفاده از سه مثال مختلف نشان خواهیم داد که چگونه می توان از روش گاوسی برای حل SLAE استفاده کرد.

مثال 1. SLAE مرتبه 3 را حل کنید.

ضرایب را روی صفر قرار دهید

در خط دوم و سوم برای انجام این کار، آنها را به ترتیب در 2/3 و 1 ضرب کنید و به خط اول اضافه کنید:

به دو سیستم معادلات خطی معادل گفته می شود که مجموعه تمام جواب های آنها یکسان باشد.

تبدیل های اولیه سیستم معادلات عبارتند از:

1. حذف از سیستم معادلات بی اهمیت، یعنی. آنهایی که تمام ضرایب آنها برابر با صفر است.
2. ضرب هر معادله در یک عدد غیر صفر؛
3. جمع هر معادله i-ام هر معادله j-ام، ضرب در هر عدد.

متغیر x i در صورتی که این متغیر مجاز نباشد آزاد نامیده می شود و کل سیستم معادلات مجاز است.

قضیه. تبدیل های ابتدایی سیستم معادلات را به یک معادل تبدیل می کند.

منظور از روش گاوس تبدیل سیستم اصلی معادلات و به دست آوردن یک سیستم مجاز یا معادل ناسازگار است.

بنابراین، روش گاوس شامل مراحل زیر است:

1. معادله اول را در نظر بگیرید. اولین ضریب غیر صفر را انتخاب می کنیم و کل معادله را بر آن تقسیم می کنیم. معادله ای به دست می آوریم که در آن مقداری از متغیر x i با ضریب 1 وارد می شود.
2. اجازه دهید این معادله را از بقیه کم کنیم و آن را در اعداد ضرب کنیم به طوری که ضرایب متغیر x i در معادلات باقیمانده صفر شود. ما سیستمی را دریافت می کنیم که با توجه به متغیر x i حل می شود و معادل سیستم اصلی است.
3. اگر معادلات جزئی بوجود آیند (به ندرت، اما این اتفاق می افتد؛ به عنوان مثال، 0 = 0)، ما آنها را از سیستم حذف می کنیم. در نتیجه، معادلات یک کمتر می شوند.
4. مراحل قبلی را بیش از n بار تکرار نمی کنیم که n تعداد معادلات سیستم است. هر بار که متغیر جدیدی را برای "پردازش" انتخاب می کنیم. اگر معادلات متضاد ایجاد شود (مثلاً 0 = 8)، سیستم ناسازگار است.

در نتیجه، پس از چند مرحله، یا یک سیستم مجاز (احتمالاً با متغیرهای آزاد) یا یک سیستم ناسازگار به دست می‌آوریم. سیستم های مجاز به دو حالت تقسیم می شوند:

1. تعداد متغیرها برابر است با تعداد معادلات. بنابراین سیستم تعریف شده است.
2. تعداد متغیرها تعداد بیشترمعادلات ما همه متغیرهای رایگان را در سمت راست جمع آوری می کنیم - فرمول هایی برای متغیرهای مجاز دریافت می کنیم. این فرمول ها در پاسخ نوشته شده است.

همین! سیستم معادلات خطی حل شد! این یک الگوریتم نسبتاً ساده است و برای تسلط بر آن، نیازی به تماس با معلم خصوصی در ریاضیات نیست. به یک مثال توجه کنید:

یک وظیفه. حل سیستم معادلات:

شرح مراحل:

1. معادله اول را از معادله دوم و سوم کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
2. ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم و معادله سوم را بر (-3) تقسیم می کنیم - دو معادله بدست می آوریم که در آن متغیر x 2 با ضریب 1 وارد می شود.
3. معادله دوم را به معادله اول اضافه می کنیم و از معادله سوم کم می کنیم. بیایید متغیر مجاز x 2 را بدست آوریم.
4. در نهایت، معادله سوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 3 را دریافت می کنیم.
5. ما یک سیستم مجاز دریافت کرده ایم، پاسخ را یادداشت می کنیم.

تصمیم مشترک سیستم مشترکمعادلات خطی است سیستم جدید، که معادل اصلی است که در آن همه متغیرهای مجاز بر حسب متغیر آزاد بیان می شوند.

چه زمانی ممکن است یک راه حل کلی مورد نیاز باشد؟ اگر باید انجام دهید قدم های کمتراز k (k در مجموع چند معادله است). با این حال، دلایلی که چرا این فرآیند در مرحله 1 به پایان می رسد< k , может быть две:

1. پس از مرحله l -ام، سیستمی به دست می آید که دارای معادله ای با عدد (l + 1) نیست. در واقع، این خوب است، زیرا. سیستم حل شده به هر حال دریافت می شود - حتی چند قدم زودتر.
2. بعد از مرحله l معادله ای به دست می آید که در آن تمام ضرایب متغیرها برابر با صفر و ضریب آزاد با صفر متفاوت است. این یک معادله ناسازگار است، و بنابراین، سیستم ناسازگار است.

درک این نکته مهم است که ظهور یک معادله ناسازگار با روش گاوس دلیل کافی برای ناسازگاری است. در همان زمان، ما توجه می کنیم که در نتیجه گام l، معادلات بی اهمیت نمی توانند باقی بمانند - همه آنها به طور مستقیم در فرآیند حذف می شوند.

شرح مراحل:

1. معادله اول را 4 از دومی کم کنید. و همچنین اولین معادله را به معادله سوم اضافه کنید - متغیر مجاز x 1 را دریافت می کنیم.
2. معادله سوم را که در 2 ضرب می کنیم از دومی کم می کنیم - معادله متناقض 0 = -5 را به دست می آوریم.

بنابراین، سیستم ناسازگار است، زیرا یک معادله ناسازگار پیدا شده است.

یک وظیفه. بررسی سازگاری و یافتن راه حل کلی سیستم:

شرح مراحل:

1. معادله اول را از دومی (پس از ضرب در دو) و سومی کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
2. معادله دوم را از معادله سوم کم کنید. از آنجایی که همه ضرایب در این معادلات یکسان هستند، معادله سوم بی اهمیت می شود. در همان زمان، ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم.
3. معادله دوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 2 را بدست می آوریم. کل سیستم معادلات هم اکنون حل شده است.
4. از آنجایی که متغیرهای x 3 و x 4 آزاد هستند، برای بیان متغیرهای مجاز آنها را به سمت راست منتقل می کنیم. این پاسخ است.

بنابراین، سیستم مشترک و نامعین است، زیرا دو متغیر مجاز (x 1 و x 2) و دو متغیر آزاد (x 3 و x 4) وجود دارد.

روش گاوسعالی برای حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE). چندین مزیت نسبت به روش های دیگر دارد:

• اولاً، نیازی به پیش‌بررسی سیستم معادلات برای سازگاری نیست.
• ثانیاً، روش گاوس را می توان نه تنها برای حل SLAEهایی که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است، بلکه برای حل سیستم های معادلاتی که تعداد معادلات در آنها انجام می شود، استفاده کرد. با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نیست یا تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر است.
• ثالثاً، روش گاوس منجر به نتیجه ای با تعداد نسبتاً کمی از عملیات محاسباتی می شود.

بررسی مختصر مقاله.

ابتدا تعاریف لازم را ارائه می کنیم و نمادهایی را معرفی می کنیم.

در مرحله بعد، الگوریتم روش گاوس را برای ساده ترین حالت توصیف می کنیم، یعنی برای سیستم های معادلات جبری خطی، تعداد معادلاتی که در آنها با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم نیست. برابر با صفر هنگام حل چنین سیستم های معادلات، ماهیت روش گاوس به وضوح قابل مشاهده است، که شامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است. بنابراین روش گاوسی را روش حذف متوالی مجهولات نیز می نامند. بیایید نشان دهیم راه حل های دقیقچند نمونه

در نتیجه، ما حل گاوسی سیستم‌های معادلات جبری خطی را در نظر می‌گیریم که ماتریس اصلی آنها مستطیل یا منحط است. راه حل چنین سیستم هایی دارای ویژگی هایی است که با استفاده از مثال ها به تفصیل آن ها را تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعاریف اساسی و نماد.

سیستمی از p معادلات خطی با n مجهول را در نظر بگیرید (p می تواند برابر با n باشد):

جایی که متغیرهای ناشناخته هستند، اعداد (واقعی یا مختلط) هستند، اعضای آزاد هستند.

اگر یک ، سپس سیستم معادلات جبری خطی نامیده می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول که در آن تمام معادلات سیستم به هویت تبدیل می شوند، نامیده می شود. تصمیم SLAU.

اگر حداقل یک راه حل برای یک سیستم معادلات جبری خطی وجود داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل، در غیر این صورت - ناسازگار.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود مسلم - قطعی. اگر بیش از یک راه حل وجود داشته باشد، سیستم فراخوانی می شود نا معلوم.

گفته می شود که این سیستم در نوشته شده است فرم مختصاتاگر فرم داشته باشد
.

این سیستم در فرم ماتریسیرکورد دارای فرم، جایی است - ماتریس اصلی SLAE، - ماتریس ستون متغیرهای مجهول، - ماتریس اعضای آزاد.

اگر ماتریس-ستون عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n + 1) - به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس گسترش یافتهسیستم های معادلات خطی معمولاً ماتریس تقویت شده با حرف T مشخص می شود و ستون اعضای آزاد با یک خط عمودی از بقیه ستون ها جدا می شود.

ماتریس مربع A نامیده می شود منحطاگر تعیین کننده آن صفر باشد. اگر، ماتریس A فراخوانی می شود غیر منحط.

نکته زیر باید مورد توجه قرار گیرد.

اگر اعمال زیر با سیستم معادلات جبری خطی انجام شود

• مبادله دو معادله،
• هر دو طرف هر معادله ای را در یک عدد واقعی (یا مختلط) دلخواه و غیر صفر ضرب کنید،
• به هر دو قسمت هر معادله، قسمت های مربوط به معادله دیگر را با عدد دلخواه k ضرب کنید،

سپس یک سیستم معادل به دست می آوریم که راه حل های یکسانی دارد (یا، مانند نمونه اصلی، هیچ راه حلی ندارد).

برای یک ماتریس توسعه یافته از یک سیستم معادلات جبری خطی، این اقدامات به معنای تبدیل های ابتدایی با ردیف ها هستند:

• تعویض دو رشته
• ضرب تمام عناصر هر ردیف از ماتریس T در عدد غیر صفر k،
• به عناصر هر ردیف از ماتریس، عناصر مربوط به سطر دیگر را که در عدد دلخواه k ضرب می شود، اضافه می کنیم.

حال می توانیم به توضیح روش گاوس برویم.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است، به روش گاوس.

اگر وظیفه یافتن راه حلی برای یک سیستم معادلات به ما محول شود، در مدرسه چه می کنیم؟ .

برخی این کار را انجام می دهند.

توجه داشته باشید که با اضافه کردن سمت چپ معادله اول به سمت چپ معادله دوم و سمت راست به سمت راست، می توانید از شر متغیرهای مجهول x 2 و x 3 خلاص شوید و بلافاصله x 1 را پیدا کنید:

مقدار یافت شده x 1 \u003d 1 را در معادلات اول و سوم سیستم جایگزین می کنیم:

اگر هر دو قسمت از معادله سوم سیستم را در -1 ضرب کنیم و به قسمت های مربوط به معادله اول اضافه کنیم، آنگاه از متغیر مجهول x 3 خلاص می شویم و می توانیم x 2 را پیدا کنیم:

مقدار بدست آمده x 2 \u003d 2 را در معادله سوم جایگزین می کنیم و متغیر مجهول باقی مانده x 3 را پیدا می کنیم:

دیگران غیر از این عمل می کردند.

بیایید معادله اول سیستم را با توجه به متغیر مجهول x 1 حل کنیم و عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم سیستم کنیم تا این متغیر از آنها حذف شود:

حال اجازه دهید معادله دوم سیستم را نسبت به x 2 حل کنیم و نتیجه به دست آمده را جایگزین معادله سوم کنیم تا متغیر مجهول x 2 را از آن حذف کنیم:

از معادله سوم سیستم می توان دریافت که x 3 = 3. از معادله دوم پیدا می کنیم ، و از معادله اول بدست می آوریم.

راه حل های آشنا، درست است؟

جالب ترین چیز در اینجا این است که روش حل دوم اساساً روش حذف متوالی مجهولات است، یعنی روش گاوس. وقتی متغیرهای مجهول را بیان کردیم (اول x 1، بعد x 2) و آنها را در بقیه معادلات سیستم جایگزین کردیم، در نتیجه آنها را حذف کردیم. ما استثنا را تا لحظه ای انجام دادیم که آخرین معادله فقط یک متغیر مجهول باقی گذاشت. فرآیند حذف متوالی مجهولات نامیده می شود روش گاوس مستقیم. پس از اتمام حرکت رو به جلو، این فرصت را داریم که متغیر مجهول را در آخرین معادله محاسبه کنیم. با کمک آن، از معادله ماقبل آخر، متغیر مجهول بعدی و غیره را پیدا می کنیم. فرآیند یافتن متوالی متغیرهای مجهول در حین حرکت از آخرین معادله به معادله اول نامیده می شود روش گاوس معکوس.

لازم به ذکر است که وقتی x 1 را بر حسب x 2 و x 3 در معادله اول بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم می کنیم، اقدامات زیر به همین نتیجه منجر می شود:

در واقع، چنین رویه ای به ما اجازه می دهد تا متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم:

تفاوت های ظریف با حذف متغیرهای ناشناخته با روش گاوس زمانی به وجود می آیند که معادلات سیستم شامل برخی از متغیرها نباشد.

به عنوان مثال، در SLAU در معادله اول، هیچ متغیر مجهولی x 1 وجود ندارد (به عبارت دیگر، ضریب مقابل آن صفر است). بنابراین، نمی‌توانیم معادله اول سیستم را با توجه به x 1 حل کنیم تا این متغیر مجهول را از بقیه معادلات حذف کنیم. راه برون رفت از این وضعیت، تعویض معادلات سیستم است. از آنجایی که ما سیستم‌هایی از معادلات خطی را در نظر می‌گیریم که تعیین‌کننده‌های ماتریس‌های اصلی با صفر متفاوت هستند، همیشه معادله‌ای وجود دارد که متغیر مورد نیاز ما در آن وجود دارد و می‌توانیم این معادله را به موقعیتی که نیاز داریم بازآرایی کنیم. برای مثال ما کافی است معادلات اول و دوم سیستم را مبادله کنیم ، سپس می توانید معادله اول را برای x 1 حل کنید و آن را از بقیه معادلات سیستم حذف کنید (اگرچه x 1 قبلاً در معادله دوم وجود ندارد).

امیدواریم به اصل مطلب پی ببرید.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش گاوس

اجازه دهید سیستمی از n معادله جبری خطی را با n متغیر مجهول شکل حل کنیم. و اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی آن غیر صفر باشد.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف می کنیم و از معادله دوم شروع می کنیم. برای این کار، معادله اول ضرب در معادله دوم سیستم را اضافه کنید، اولین ضرب در معادله سوم و به همین ترتیب، اولین ضرب در معادله n را اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر کنیم، به همین نتیجه می رسیم. بنابراین، متغیر x 1 از تمام معادلات، با شروع از دوم، حذف می شود.

در مرحله بعد، ما به طور مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم به دست آمده، که در شکل مشخص شده است

برای این کار دومی ضرب شده در را به معادله سوم سیستم اضافه کنید، دومی ضرب در را به معادله چهارم اضافه کنید و به همین ترتیب دومی ضرب شده در را به معادله n اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که به طور مشابه با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است عمل می کنیم.

بنابراین سیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، مسیر معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. معادله

بیایید الگوریتم را با یک مثال تحلیل کنیم.

مثال.

روش گاوسی

راه حل.

ضریب a 11 با صفر متفاوت است، پس بیایید به مسیر مستقیم روش گاوس یعنی حذف متغیر مجهول x 1 از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول برویم. برای انجام این کار، به قسمت های چپ و راست معادله دوم، سوم و چهارم، قسمت های چپ و راست معادله اول را به ترتیب ضرب در و:

متغیر مجهول x 1 حذف شده است، اجازه دهید به سمت حذف x 2 برویم. به قسمت های چپ و راست معادله سوم و چهارم سیستم، قسمت های چپ و راست معادله دوم را ضرب می کنیم. و :

برای تکمیل مسیر رو به جلو روش گاوس، باید متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. اجازه دهید به ترتیب به قسمت های چپ و راست معادله چهارم، سمت چپ و را اضافه کنیم سمت راستمعادله سوم ضرب در :

می توانید مسیر معکوس روش گاوس را شروع کنید.

از آخرین معادله ای که داریم ,
از معادله سوم بدست می آوریم
از دومی
از اول.

برای بررسی، می توانید مقادیر به دست آمده از متغیرهای مجهول را در سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. همه معادلات به هویت تبدیل می شوند، به این معنی که راه حل با روش گاوس به درستی پیدا شده است.

پاسخ:

و اکنون حل همان مثال را به روش گاوس به صورت ماتریسی می دهیم.

مثال.

یک راه حل برای سیستم معادلات پیدا کنید روش گاوسی

راه حل.

ماتریس توسعه یافته سیستم دارای فرم است . بالای هر ستون، متغیرهای ناشناخته نوشته شده است که با عناصر ماتریس مطابقت دارد.

سیر مستقیم روش گاوس در اینجا شامل آوردن ماتریس توسعه یافته سیستم به شکل ذوزنقه ای با استفاده از تبدیل های ابتدایی است. این فرآیند شبیه به حذف متغیرهای ناشناخته است که ما با سیستم به صورت مختصات انجام دادیم. حالا شما از آن متقاعد خواهید شد.

اجازه دهید ماتریس را طوری تبدیل کنیم که تمام عناصر ستون اول، از ستون دوم، صفر شوند. برای انجام این کار، به عناصر ردیف های دوم، سوم و چهارم، عناصر مربوط به ردیف اول را ضرب کنید، و به ترتیب:

در مرحله بعد، ماتریس به دست آمده را طوری تبدیل می کنیم که در ستون دوم، همه عناصر، که از ستون سوم شروع می شوند، صفر شوند. این با حذف متغیر مجهول x 2 مطابقت دارد. برای انجام این کار، عناصر مربوط به ردیف اول ماتریس را به عناصر ردیف سوم و چهارم اضافه کنید، ضرب در و :

باقی مانده است که متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به عناصر آخرین ردیف ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف ماقبل آخر را ضرب می کنیم. :

لازم به ذکر است که این ماتریس با سیستم معادلات خطی مطابقت دارد

که زودتر پس از حرکت مستقیم به دست آمد.

وقت آن است که به عقب برگردیم. در شکل ماتریسی نماد، مسیر معکوس روش گاوس شامل چنین تبدیلی از ماتریس حاصل است به طوری که ماتریس مشخص شده در شکل

مورب شد، یعنی شکل گرفت

تعدادی اعداد کجا هستند

این تبدیل‌ها شبیه به روش گاوس است، اما نه از خط اول به آخر، بلکه از آخرین خط به اول انجام می‌شود.

به عناصر ردیف های سوم، دوم و اول، عناصر مربوط به ردیف آخر را ضرب کنید. ، در و در به ترتیب:

حالا بیایید به عناصر ردیف دوم و اول عناصر مربوط به ردیف سوم را اضافه کنیم که به ترتیب در و در ضرب می شوند:

در آخرین مرحلهاز حرکت معکوس روش گاوسی، به عناصر ردیف اول، عناصر مربوط به ردیف دوم را ضرب می کنیم:

ماتریس حاصل با سیستم معادلات مطابقت دارد ، که از آن متغیرهای مجهول را پیدا می کنیم.

پاسخ:

توجه داشته باشید.

هنگام استفاده از روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، باید از محاسبات تقریبی خودداری شود، زیرا این امر می تواند منجر به نتایج کاملاً نادرست شود. توصیه می کنیم اعشار را گرد نکنید. بهتر از کسرهای اعشاریقابل اعتماد و متخصص کسرهای معمولی.

مثال.

حل سیستم سه معادله با روش گاوسی .

راه حل.

توجه داشته باشید که در این مثال، متغیرهای مجهول دارای نام متفاوتی هستند (نه x 1، x 2، x 3، بلکه x، y، z). بیایید به کسرهای معمولی برویم:

x مجهول را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنید:

در سیستم حاصل، متغیر مجهولی y در معادله دوم وجود ندارد و y در معادله سوم وجود دارد، بنابراین، معادله دوم و سوم را با هم عوض می کنیم:

در این مرحله، دوره مستقیم روش گاوس به پایان رسیده است (نیازی نیست y را از معادله سوم حذف کنید، زیرا این متغیر ناشناخته دیگر وجود ندارد).

بیا برگردیم.

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ,
از ماقبل آخر


از اولین معادله ای که داریم

پاسخ:

X=10، y=5، z=-20.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منحط است به روش گاوس.

سیستم‌هایی از معادلات که ماتریس اصلی آنها مستطیل یا مربع انحطاط است ممکن است هیچ جوابی نداشته باشند، ممکن است یک جواب واحد داشته باشند یا ممکن است تعداد بی‌نهایت جواب داشته باشند.

اکنون خواهیم فهمید که چگونه روش گاوس به شما امکان می دهد سازگاری یا ناسازگاری یک سیستم معادلات خطی را تعیین کنید و در صورت سازگاری آن، همه راه حل ها (یا یک راه حل واحد) را تعیین کنید.

در اصل، روند حذف متغیرهای ناشناخته در مورد چنین SLAE ها یکسان است. با این حال، ارزش آن را دارد که به طور مفصل در مورد برخی از موقعیت هایی که ممکن است رخ دهد صحبت کنیم.

بیایید به مهمترین مرحله برویم.

بنابراین، فرض می کنیم که سیستم معادلات جبری خطی پس از اتمام حرکت رو به جلو روش گاوس به شکل و هیچ یک از معادلات به (در این مورد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است). یک سوال منطقی مطرح می شود: "بعد چه باید کرد"؟

متغیرهای مجهولی را که در وهله اول تمام معادلات سیستم حاصل قرار دارند، می نویسیم:

در مثال ما، اینها x 1، x 4 و x 5 هستند. در قسمت‌های سمت چپ معادلات سیستم، فقط عبارت‌هایی را که حاوی متغیرهای مجهول نوشته شده x 1، x 4 و x 5 هستند، باقی می‌گذاریم، باقی‌مانده‌ها را با علامت مخالف به سمت راست معادلات منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید مقادیر دلخواه را به متغیرهای مجهول که در سمت راست معادلات قرار دارند، اختصاص دهیم، جایی که - اعداد دلخواه:

پس از آن، اعداد در قسمت های سمت راست تمام معادلات SLAE ما پیدا می شوند و می توانیم به مسیر معکوس روش گاوس برویم.

از آخرین معادله سیستمی که داریم، از معادله ماقبل آخری که پیدا می کنیم، از معادله اول به دست می آوریم.

راه حل سیستم معادلات مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول است

دادن اعداد معانی مختلف، دریافت خواهیم کرد راه حل های مختلفسیستم های معادلات یعنی سیستم معادلات ما بی نهایت راه حل دارد.

پاسخ:

جایی که - اعداد دلخواه

برای ادغام مطالب، راه حل های چندین مثال دیگر را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

تصميم گرفتن سیستم همگنمعادلات جبری خطی روش گاوسی

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به ترتیب به قسمت های چپ و راست معادله دوم، قسمت های چپ و راست معادله اول را ضرب کنید و به قسمت های چپ و راست معادله سوم - قسمت های چپ و راست معادله را اضافه کنید. معادله اول ضرب در:

اکنون y را از معادله سوم سیستم معادلات حاصل حذف می کنیم:

SLAE حاصل معادل سیستم است .

فقط عبارت‌های حاوی متغیرهای مجهول x و y را در سمت چپ معادلات سیستم می‌گذاریم و عبارت‌های دارای متغیر مجهول z را به سمت راست منتقل می‌کنیم: