روش گاوس با چهار مجهول. روش گاوس (حذف متوالی مجهولات)

1. سیستم خطی معادلات جبری

1.1 مفهوم سیستم معادلات جبری خطی

سیستم معادلات شرایطی است که شامل اجرای همزمان چندین معادله در چندین متغیر است. سیستم معادلات جبری خطی (که از این پس SLAE نامیده می شود) حاوی m معادلات و n مجهول سیستمی به شکل زیر است:

در جایی که اعداد a ij را ضرایب سیستم می نامند، اعداد b i اعضای آزاد هستند، aijو b i(i=1,…, m؛ b=1,…, n) برخی از اعداد شناخته شده هستند و x 1،…، x n- ناشناس. در علامت گذاری ضرایب aijشاخص اول i تعداد معادله را نشان می دهد و شاخص دوم j تعداد مجهولی است که این ضریب در آن قرار دارد. مشروط به یافتن عدد x n . نوشتن چنین سیستمی به شکل ماتریس فشرده راحت است: AX=B.در اینجا A ماتریس ضرایب سیستم است که ماتریس اصلی نامیده می شود.

بردار ستونی از xj مجهول است.
بردار ستونی از اعضای آزاد bi است.

حاصل ضرب ماتریس های A * X تعریف می شود، زیرا در ماتریس A به تعداد سطر در ماتریس X (n قطعه) ستون وجود دارد.

تمدید شده ماتریس سیستمماتریس A سیستم نامیده می شود که با ستونی از عبارت های آزاد تکمیل می شود

1.2 حل سیستم معادلات جبری خطی

راه حل یک سیستم معادلات مجموعه ای مرتب از اعداد (مقادیر متغیرها) است که هنگام جایگزینی آنها به جای متغیرها، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.

جواب سیستم n مقدار مجهولات x1=c1, x2=c2,…, xn=cn می باشد که جایگزین آن ها تمامی معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. هر راه حلی از سیستم را می توان به صورت ماتریس-ستون نوشت

سیستم معادلات اگر حداقل یک راه حل داشته باشد سازگار و اگر جواب نداشته باشد ناسازگار نامیده می شود.

سیستم مشترک اگر دارای یک راه حل منحصر به فرد باشد معین و اگر بیش از یک راه حل داشته باشد نامعین نامیده می شود. در حالت دوم، هر یک از راه حل های آن را یک راه حل خاص سیستم می نامند. به مجموعه تمام راه حل های خاص، راه حل کلی می گویند.

حل یک سیستم به معنای سازگاری یا ناسازگاری آن است. اگر سیستم سازگار است، آن را پیدا کنید تصمیم مشترک.

دو سیستم اگر راه حل کلی یکسانی داشته باشند معادل (معادل) نامیده می شوند. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل برای یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس.

تبدیلی که اعمال آن یک سیستم را به یک سیستم جدید معادل با سیستم اصلی تبدیل می کند، تبدیل معادل یا معادل نامیده می شود. تبدیل‌های زیر می‌توانند به عنوان مثال‌هایی از تبدیل‌های معادل باشند: مبادله دو معادله سیستم، مبادله دو مجهول با ضرایب همه معادلات، ضرب هر دو قسمت هر معادله سیستم در یک عدد غیر صفر.

سیستم معادلات خطیاگر تمام عبارات آزاد برابر با صفر باشند همگن نامیده می شود:

یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا x1=x2=x3=…=xn=0 راه حلی برای سیستم است. این راه حل تهی یا بی اهمیت نامیده می شود.

2. روش حذف گاوسی

2.1 ماهیت روش حذف گاوسی

روش کلاسیک برای حل سیستم های معادلات جبری خطی روش حذف متوالی مجهولات است - روش گاوس(به آن روش حذف گاوسی نیز می گویند). این یک روش حذف متوالی متغیرها است، زمانی که با کمک تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل به شکل پلکانی (یا مثلثی) کاهش می یابد، که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند، با شروع از آخرین (براساس تعداد) متغیرها.

فرآیند حل گاوسی شامل دو مرحله است: حرکت به جلو و عقب.

1. حرکت مستقیم.

در مرحله اول، به اصطلاح حرکت مستقیم انجام می شود، زمانی که با استفاده از دگرگونی های اولیه روی ردیف ها، سیستم به شکل پلکانی یا مثلثی در می آید یا مشخص می شود که سیستم ناسازگار است. یعنی از بین عناصر ستون اول ماتریس، یک غیر صفر انتخاب می شود، با جایگشت سطرها به بالاترین موقعیت منتقل می شود و اولین ردیفی که پس از جایگشت به دست می آید از سطرهای باقی مانده کم می شود و آن را در یک ضرب می کنیم. مقدار برابر با نسبت عنصر اول هر یک از این ردیف ها به اولین عنصر ردیف اول است، بنابراین ستون زیر آن را صفر می کند.

پس از انجام تبدیل‌های مشخص‌شده، سطر اول و ستون اول به صورت ذهنی خط کشیده می‌شوند و تا زمانی که یک ماتریس با اندازه صفر باقی بماند ادامه می‌یابد. اگر در برخی از تکرارها در بین عناصر ستون اول یک غیر صفر یافت نشد، به ستون بعدی بروید و عملیات مشابهی را انجام دهید.

در مرحله اول (اجرای جلو)، سیستم به شکل پلکانی (به ویژه مثلثی) کاهش می یابد.

سیستم زیر به صورت مرحله ای است:

,

ضرایب aii عناصر اصلی (پیشرو) سیستم نامیده می شوند.

(اگر a11=0، ردیف های ماتریس را طوری مرتب کنید که آ 11 برابر 0 نبود. این همیشه ممکن است، زیرا در غیر این صورت ماتریس حاوی یک ستون صفر است، تعیین کننده آن برابر با صفر است و سیستم ناسازگار است).

ما سیستم را با حذف مجهول x1 در تمام معادلات به جز معادلات اول (با استفاده از تبدیل های ابتدایی سیستم) تبدیل می کنیم. برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید

و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم جمع کنید (یا از معادله دوم جمله به جمله اولی را در عدد کم می کنیم). سپس هر دو قسمت از معادله اول را در ضرب می کنیم و به معادله سوم سیستم اضافه می کنیم (یا اولینی را که در جمله سوم ضرب شده است کم می کنیم). بنابراین، ردیف اول را به صورت متوالی در یک عدد ضرب کرده و به آن اضافه می کنیم من-خط، برای i= 2, 3, …,n

با ادامه این فرآیند، سیستم معادل را دریافت می کنیم:

- مقادیر جدید ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد در آخرین معادلات m-1 سیستم که با فرمول تعیین می شود:

بنابراین، در مرحله اول، تمام ضرایب زیر اولین عنصر اصلی a 11 از بین می روند

0، مرحله دوم عناصر زیر دومین عنصر اصلی a 22 (1) (اگر 22 (1) 0 باشد) و غیره را از بین می برد. با ادامه این روند، در نهایت سیستم اصلی را در مرحله (m-1) به یک سیستم مثلثی کاهش می دهیم.

اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات صفر ظاهر شوند، یعنی. برابری‌های شکل 0=0، کنار گذاشته می‌شوند. اگر معادله ای از فرم وجود داشته باشد

این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

این مسیر مستقیم روش گاوس را کامل می کند.

2. حرکت معکوس.

در مرحله دوم، به اصطلاح حرکت معکوس انجام می شود که ماهیت آن بیان تمام متغیرهای اساسی به دست آمده از نظر متغیرهای غیر اساسی و سازه است. سیستم بنیادیراه حل ها، یا اگر همه متغیرها پایه هستند، تنها راه حل سیستم معادلات خطی را به شکل عددی بیان کنید.

این روش با آخرین معادله شروع می شود، که از آن متغیر اصلی مربوطه بیان می شود (در آن فقط یکی است) و جایگزین معادلات قبلی می شود و به همین ترتیب از "پله ها" به بالا می رود.

هر خط دقیقاً با یک متغیر اساسی مطابقت دارد، بنابراین در هر مرحله، به جز آخرین (بالاترین)، وضعیت دقیقاً مورد خط آخر را تکرار می کند.

توجه: در عمل، راحت تر است که نه با سیستم، بلکه با ماتریس توسعه یافته آن کار کنید و تمام تبدیلات اولیه را در ردیف های آن انجام دهید. راحت است که ضریب a11 برابر با 1 باشد (معادلات را دوباره مرتب کنید یا هر دو طرف معادله را بر a11 تقسیم کنید).

2.2 نمونه هایی از حل SLAE با روش گاوس

در این بخش با استفاده از سه مثال مختلف نشان خواهیم داد که چگونه می توان از روش گاوسی برای حل SLAE استفاده کرد.

مثال 1. SLAE مرتبه 3 را حل کنید.

ضرایب را روی صفر قرار دهید

در خط دوم و سوم برای انجام این کار، آنها را به ترتیب در 2/3 و 1 ضرب کنید و به خط اول اضافه کنید:

یکی از ساده‌ترین راه‌ها برای حل یک سیستم معادلات خطی، روشی مبتنی بر محاسبه عوامل تعیین‌کننده است. قانون کرامر). مزیت آن این است که به شما امکان می دهد بلافاصله راه حل را ضبط کنید ، به ویژه در مواردی که ضرایب سیستم اعداد نیستند بلکه نوعی پارامتر هستند راحت است. اشکال آن دست و پا گیر بودن محاسبات در پرونده است تعداد زیادیمعادلات، علاوه بر این، قانون کرامر به طور مستقیم برای سیستم هایی که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق نیست، قابل اجرا نیست. در چنین مواردی معمولا استفاده می شود روش گاوس.

سیستم های معادلات خطی که مجموعه ای از جواب های یکسان دارند نامیده می شوند معادل. بدیهی است که مجموعه راه حل ها سیستم خطیاگر معادله ای مبادله شود، یا اگر یکی از معادلات در عددی غیر صفر ضرب شود، یا اگر یک معادله به معادله دیگر اضافه شود، تغییر نمی کند.

روش گاوس (روش حذف متوالی مجهولات) در این واقعیت نهفته است که با کمک تبدیل های ابتدایی، سیستم به یک سیستم گام به گام معادل کاهش می یابد. ابتدا با کمک معادله 1، ایکس 1 از تمام معادلات بعدی سیستم. سپس با استفاده از معادله 2 حذف می کنیم ایکس 2 از 3 و تمام معادلات بعدی. این فرآیند، به نام روش گاوس مستقیمادامه می یابد تا زمانی که تنها یک مجهول در سمت چپ آخرین معادله باقی بماند x n. پس از آن ساخته می شود معکوس گاوسی– با حل آخرین معادله، پیدا می کنیم x n; پس از آن، با استفاده از این مقدار، از معادله ماقبل آخر محاسبه می کنیم x n-1 و غیره آخرین ما پیدا می کنیم ایکس 1 از معادله اول.

انجام تبدیل های گاوسی با انجام تبدیل نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس ضرایب آنها راحت است. ماتریس را در نظر بگیرید:

تماس گرفت سیستم ماتریس توسعه یافته،زیرا علاوه بر ماتریس اصلی سیستم شامل ستونی از اعضای آزاد می باشد. روش گاوسی مبتنی بر کاهش ماتریس اصلی سیستم به شکل مثلثی (یا شکل ذوزنقه ای در مورد سیستم های غیر مربعی) است. تحولات ابتداییردیف (!) از ماتریس توسعه یافته سیستم.

مثال 5.1.حل سیستم با استفاده از روش گاوس:

راه حل. بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و با استفاده از ردیف اول، بقیه عناصر را صفر می کنیم:

در ردیف های 2، 3 و 4 ستون اول، صفر می گیریم:

حالا باید تمام عناصر ستون دوم زیر ردیف 2 برابر با صفر باشند. برای این کار می توانید خط دوم را در -4/7 ضرب کنید و به خط 3 اضافه کنید. اما برای اینکه با کسرها سروکار نداشته باشیم، در ردیف دوم ستون دوم یک واحد ایجاد می کنیم و فقط

حال برای به دست آوردن یک ماتریس مثلثی باید عنصر ردیف چهارم از ستون 3 را صفر کنید، برای این کار می توانید ردیف سوم را در 8/54 ضرب کنید و آن را به چهارم اضافه کنید. اما برای اینکه با کسرها کار نکنیم، سطرهای 3 و 4 و ستون های 3 و 4 را با هم عوض می کنیم و تنها پس از آن عنصر مشخص شده را ریست می کنیم. توجه داشته باشید که وقتی ستون‌ها مرتب می‌شوند، متغیرهای مربوطه عوض می‌شوند و این باید به خاطر بسپارید. سایر تبدیل های ابتدایی با ستون (جمع و ضرب در یک عدد) قابل انجام نیستند!

آخرین ماتریس ساده شده مربوط به سیستمی از معادلات معادل معادله اصلی است:

از اینجا با استفاده از سیر معکوس روش گاوس، از معادله چهارم پیدا می کنیم ایکس 3 = -1; از سوم ایکس 4 = -2، از دوم ایکس 2 = 2 و از معادله اول ایکس 1 = 1. در فرم ماتریسی، پاسخ به صورت نوشته می شود

ما موردی را در نظر گرفته ایم که سیستم معین باشد، یعنی. زمانی که تنها یک راه حل وجود دارد. بیایید ببینیم اگر سیستم ناسازگار یا نامشخص باشد چه اتفاقی می افتد.

مثال 5.2.کاوش سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل. ماتریس افزوده شده سیستم را می نویسیم و تبدیل می کنیم

ما یک سیستم معادلات ساده شده می نویسیم:

در اینجا، در آخرین معادله، معلوم شد که 0=4، یعنی. تناقض. بنابراین، سیستم هیچ راه حلی ندارد، یعنی. او است ناسازگار. à

مثال 5.3.کاوش و حل سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و تبدیل می کنیم:

در نتیجه تبدیل ها فقط صفرها در خط آخر به دست آمد. این بدان معنی است که تعداد معادلات یک کاهش یافته است:

بنابراین، پس از ساده سازی، دو معادله باقی می ماند و چهار مجهول، یعنی. دو ناشناخته "اضافی". اجازه دهید "زائد"، یا، همانطور که می گویند، متغیرهای رایگان، اراده ایکس 3 و ایکسچهار . سپس

با فرض اینکه ایکس 3 = 2آو ایکس 4 = ب، ما گرفتیم ایکس 2 = 1–آو ایکس 1 = 2ب–آ; یا به صورت ماتریسی

راه حلی که به این شکل نوشته می شود نامیده می شود عمومی، از آنجایی که با دادن پارامترها آو ب معانی مختلف، می توان تمام راه حل های ممکن سیستم را شرح داد. آ

اجازه دهید یک سیستم معادلات جبری خطی داده شود که باید حل شود (مقادیر مجهولات хi را پیدا کنید که هر معادله سیستم را به یک برابری تبدیل می کند).

می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:

1) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریسیدر مواردی که سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد یا ناسازگار است نامناسب هستند. روش گاوس – قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل برای هر سیستم معادلات خطی، که در هر موردما را به پاسخ هدایت کنید! الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش تعیین‌کننده‌ها دارند، در آن صورت استفاده از روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارد که حتی برای دانش‌آموزان مقطع ابتدایی نیز قابل دسترسی است.

تبدیل های ماتریس توسعه یافته ( این ماتریس سیستم است - ماتریسی که فقط از ضرایب مجهولات به اضافه ستونی از عبارت های آزاد تشکیل شده است)سیستم های معادلات جبری خطی در روش گاوس:

1) با trokyماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها

2) اگر ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) در ماتریس وجود داشته باشد (یا وجود داشته باشد)، پس از آن حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک.

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف.

4) ردیف ماتریس می تواند ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر

5) به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.

در روش گاوس، تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند.

روش گاوس شامل دو مرحله است:

1. "حرکت مستقیم" - با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته سیستم معادلات جبری خطی را به شکل پلکانی "مثلثی" بیاورید: عناصر ماتریس توسعه یافته که در زیر مورب اصلی قرار دارند برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). ). به عنوان مثال، به این نوع:

برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:

1) اجازه دهید اولین معادله یک سیستم معادلات جبری خطی را در نظر بگیریم و ضریب در x 1 برابر با K است. دوم، سوم و غیره. معادلات را به صورت زیر تبدیل می کنیم: هر معادله (ضرایب مجهولات از جمله عبارات آزاد) را بر ضریب مجهول x 1 که در هر معادله است تقسیم می کنیم و در K ضرب می کنیم. پس از آن، معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد). ما در x 1 در معادله دوم ضریب 0 را بدست می آوریم. از معادله تبدیل شده سوم، معادله اول را کم می کنیم، بنابراین تا زمانی که تمام معادلات به جز اولی، با مجهول x 1، ضریب 0 نخواهند داشت.

2) به معادله بعدی بروید. اجازه دهید این معادله دوم باشد و ضریب x 2 برابر با M باشد. بنابراین، "زیر" مجهول x 2 در تمام معادلات صفر خواهد بود.

3) به معادله بعدی می رویم و همینطور ادامه می دهیم تا آخرین جمله آزاد مجهول و تبدیل شده باقی بماند.

1. "حرکت معکوس" روش گاوس به دست آوردن جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی است (حرکت "پایین به بالا"). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n \u003d B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 \u003d 4. مقدار پیدا شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 \u003d 1، یعنی. x 2 \u003d 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.

مثال.

ما سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیایید این کار را به این صورت انجام دهیم:
1 مرحله . به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. هر کسی که بخواهد 1+ را دریافت کند می‌تواند یک عمل اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

2 مرحله . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

3 مرحله . خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

4 مرحله . به خط سوم، خط دوم را در 2 ضرب کنید.

5 مرحله . خط سوم بر 3 تقسیم می شود.

نشانه ای که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه به (0 0 11 | 23) در زیر به دست آوریم، و بر این اساس، 11x 3 = 23، x 3 = 23/11، آنگاه با درجه احتمال بالایی می توانیم بگوییم که اشتباهی در دوره ابتدایی رخ داده است. تحولات

ما یک حرکت معکوس انجام می دهیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس "از پایین به بالا" کار می کند. در این مثال، هدیه معلوم شد:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 \u003d 1، x 1 \u003d -1

پاسخ:x 1 \u003d -1، x 2 \u003d 3، x 3 \u003d 1.

بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

معادله دوم را بر 5 تقسیم کنید و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

معادله دوم و سوم را در 4 ضرب کنیم، به دست می آید:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

معادله دوم را از معادله سوم کم کنید، ماتریس تقویت شده "پله ای" را دریافت می کنیم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

بنابراین، از آنجایی که یک خطا در فرآیند محاسبات انباشته شده است، x 3 \u003d 0.96 یا تقریباً 1 را دریافت می کنیم.

x 2 \u003d 3 و x 1 \u003d -1.

با این روش حل، هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نخواهید شد و با وجود اشتباهات محاسباتی، به نتیجه خواهید رسید.

این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و به آن توجهی نمی شود. ویژگی های خاصضرایب برای مجهولات، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم! در کلاس می بینمت! معلم خصوصی

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس.فرض کنید باید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم nمعادلات خطی با nمتغیرهای ناشناخته
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است: اول، the x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم، سپس x2از تمام معادلات، از معادله سوم شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. x n. چنین فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوس مستقیم. پس از اتمام حرکت رو به جلو روش گاوس، از آخرین معادله پیدا می کنیم x n، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخر محاسبه می شود xn-1و به همین ترتیب، از معادله اول پیدا می شود x 1. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود به عقبروش گاوس.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر ناشناخته را حذف کنید x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم. برای این کار، معادله اول ضرب در معادله دوم سیستم را اضافه کنید، اولین ضرب در معادله سوم و به همین ترتیب به n-امینمعادله اول را با ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف .

اگر بیان می کردیم به همین نتیجه می رسیدیم x 1از طریق سایر متغیرهای ناشناخته در معادله اول سیستم و عبارت حاصل با تمام معادلات جایگزین شد. بنابراین متغیر x 1از تمام معادلات، از معادلات دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، ما به طور مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم به دست آمده، که در شکل مشخص شده است

برای این کار، دوم ضرب در معادله سوم سیستم را اضافه کنید، دومی ضرب شده در را به معادله چهارم اضافه کنید و به همین ترتیب. n-امینمعادله دوم را با ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف . بنابراین متغیر x2از تمام معادلات، از معادله سوم حذف شده است.

در ادامه به حذف مجهولات می پردازیم x 3، در حالی که با قسمتی از سیستم که در شکل مشخص شده است به طور مشابه عمل می کنیم

بنابراین سیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، مسیر معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: محاسبه می کنیم x nاز آخرین معادله به عنوان، با استفاده از مقدار به دست آمده x nپیدا کردن xn-1از معادله ماقبل آخر و غیره پیدا می کنیم x 1از معادله اول

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوسی

در این مقاله روش به عنوان روشی برای حل سیستم معادلات خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است. این روش تحلیلی است، یعنی به شما امکان می دهد یک الگوریتم راه حل را در آن بنویسید نمای کلیو سپس مقادیری را از نمونه های خاص در آنجا جایگزین کنید. برخلاف روش ماتریسی یا فرمول‌های کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس، می‌توانید با آن‌هایی که بی‌نهایت راه‌حل دارند نیز کار کنید. یا اصلاً ندارند.

گاوس به چه معناست؟

ابتدا باید سیستم معادلات ما را در It به نظر می رسد بنویسید. سیستم گرفته شده است:

ضرایب در قالب یک جدول و در سمت راست در یک ستون جداگانه - اعضای آزاد نوشته شده است. ستون با اعضای آزاد برای راحتی از هم جدا شده است ماتریسی که شامل این ستون است Extended نامیده می شود.

علاوه بر این، ماتریس اصلی با ضرایب باید به شکل مثلث بالایی کاهش یابد. این نکته اصلی حل سیستم با روش گاوس است. به عبارت ساده، پس از دستکاری های خاص، ماتریس باید به این شکل باشد، به طوری که در قسمت پایین سمت چپ آن فقط صفر باشد:

سپس، اگر دوباره ماتریس جدید را به عنوان یک سیستم معادلات بنویسید، متوجه خواهید شد که آخرین ردیف قبلاً حاوی مقدار یکی از ریشه ها است که سپس به معادله بالا جایگزین می شود، ریشه دیگری پیدا می شود و غیره.

این توضیح از راه حل با روش گاوس در بیشتر است به طور کلی. و اگر سیستم به طور ناگهانی راه حلی نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ یا تعداد آنها بی نهایت است؟ برای پاسخ به این سوالات و بسیاری از سوالات دیگر، لازم است تمام عناصر به کار رفته در حل به روش گاوس به طور جداگانه در نظر گرفته شود.

ماتریس ها، خواص آنها

هیچ یک معنای پنهاندر ماتریس نیست این فقط یک راه راحت برای ضبط داده ها برای عملیات های بعدی است. حتی بچه های مدرسه هم نباید از آنها بترسند.

ماتریس همیشه مستطیل شکل است، زیرا راحت تر است. حتی در روش گاوس، جایی که همه چیز به ساخت یک ماتریس مثلثی خلاصه می‌شود، یک مستطیل در ورودی ظاهر می‌شود، فقط در جایی که هیچ عددی وجود ندارد، صفر است. صفرها را می توان حذف کرد، اما آنها ضمنی هستند.

ماتریس یک اندازه دارد. "عرض" آن تعداد ردیف ها (m) و "طول" آن تعداد ستون ها (n) است. سپس اندازه ماتریس A (معمولاً برای نشان دادن آنها از حروف بزرگ استفاده می شود) نامه ها) با A m×n نشان داده می شود. اگر m=n، این ماتریس مربع است و m=n ترتیب آن است. بر این اساس، هر عنصر ماتریس A را می توان با تعداد سطر و ستون آن نشان داد: a xy ; x - شماره ردیف، تغییرات، y - شماره ستون، تغییرات.

B نکته اصلی راه حل نیست. در اصل ، همه عملیات را می توان مستقیماً با خود معادلات انجام داد ، اما نمادگذاری بسیار دست و پا گیرتر می شود و گیج شدن در آن بسیار ساده تر خواهد بود.

تعیین کننده

ماتریس یک تعیین کننده نیز دارد. این یک ویژگی بسیار مهم است. فهمیدن معنای آن اکنون ارزش آن را ندارد، می توانید به سادگی نحوه محاسبه آن را نشان دهید و سپس بگویید که چه ویژگی های ماتریس را تعیین می کند. ساده ترین راه برای یافتن دترمینال از طریق قطرها است. مورب های خیالی در ماتریس رسم می شوند. عناصر واقع در هر یک از آنها ضرب می شوند و سپس محصولات به دست آمده اضافه می شوند: مورب با شیب به سمت راست - با علامت "به علاوه"، با شیب به سمت چپ - با علامت "منهای".

توجه به این نکته بسیار مهم است که تعیین کننده فقط برای یک ماتریس مربع قابل محاسبه است. برای ماتریس مستطیل شکلمی توانید کارهای زیر را انجام دهید: از بین تعداد ردیف ها و تعداد ستون ها، کوچکترین را انتخاب کنید (بگذارید k باشد)، و سپس به طور تصادفی k ستون و k ردیف را در ماتریس علامت گذاری کنید. عناصر واقع در تقاطع ستون ها و ردیف های انتخاب شده یک ماتریس مربع جدید را تشکیل می دهند. اگر تعیین کننده چنین ماتریسی عددی غیر از صفر باشد، آن را پایه مینور ماتریس مستطیلی اصلی می نامند.

قبل از شروع حل سیستم معادلات با روش گاوس، محاسبه دترمینان ضرری ندارد. اگر معلوم شد که صفر است، بلافاصله می توانیم بگوییم که ماتریس یا تعداد بی نهایت راه حل دارد یا اصلاً وجود ندارد. در چنین مورد غم انگیز، شما باید بیشتر بروید و از رتبه ماتریس مطلع شوید.

طبقه بندی سیستم

چیزی به نام رتبه یک ماتریس وجود دارد. این حداکثر ترتیب تعیین کننده غیر صفر آن است (با به یاد آوردن مینور پایه، می توانیم بگوییم که رتبه یک ماتریس، ترتیب پایه مینور است).

با توجه به وضعیت رتبه، SLAE را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

• مشترک. دردر سیستم های مشترک، رتبه ماتریس اصلی (شامل فقط ضرایب) با رتبه ماتریس توسعه یافته (با ستونی از اعضای آزاد) منطبق است. چنین سیستم هایی یک راه حل دارند، اما نه لزوماً، بنابراین علاوه بر این سیستم های مشترکتقسیم شده به:
• - مسلم - قطعی- داشتن یک راه حل منحصر به فرد در سیستم های خاص، رتبه ماتریس و تعداد مجهولات (یا تعداد ستون ها که یکسان است) برابر است.
• - نامعین -با تعداد بی نهایت راه حل رتبه ماتریس برای چنین سیستم هایی کمتر از تعداد مجهولات است.
• ناسازگار. درچنین سیستم هایی، رتبه های ماتریس های اصلی و توسعه یافته منطبق نیستند. سیستم های ناسازگار راه حلی ندارند.

روش گاوس از این نظر خوب است که به شخص اجازه می دهد یا یک اثبات روشن از ناسازگاری سیستم (بدون محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ) یا یک راه حل کلی برای سیستمی با تعداد بی نهایت راه حل در طول حل به دست آورد.

تحولات ابتدایی

قبل از شروع مستقیم به حل سیستم، می توان آن را برای محاسبات کمتر و راحت تر کرد. این از طریق دگرگونی های ابتدایی حاصل می شود - به گونه ای که اجرای آنها به هیچ وجه پاسخ نهایی را تغییر نمی دهد. لازم به ذکر است که برخی از تبدیل های ابتدایی فوق فقط برای ماتریس هایی معتبر است که منبع آنها دقیقاً SLAE بوده است. در اینجا لیستی از این تحولات آمده است:

1. جایگشت رشته بدیهی است که اگر ترتیب معادلات را در رکورد سیستم تغییر دهیم، این امر به هیچ وجه روی جواب تاثیری نخواهد داشت. در نتیجه، امکان تعویض ردیف ها در ماتریس این سیستم نیز وجود دارد، البته در مورد ستون اعضای آزاد نیز فراموش نمی شود.
2. ضرب تمام عناصر یک رشته در یک فاکتور. بسیار مفید! می توان از آن برای کوتاه کردن استفاده کرد اعداد بزرگدر ماتریس یا حذف صفرها. مجموعه راه حل ها، طبق معمول، تغییر نمی کند و انجام عملیات بیشتر راحت تر می شود. نکته اصلی این است که ضریب برابر با صفر نیست.
3. ردیف هایی با ضرایب متناسب را حذف کنید. این تا حدی از پاراگراف قبل ناشی می شود. اگر دو یا چند ردیف در ماتریس دارای ضرایب متناسب هستند، پس هنگام ضرب / تقسیم یکی از ردیف ها بر ضریب تناسب، دو (یا، دوباره، بیشتر) ردیف کاملاً یکسان به دست می آید و می توانید موارد اضافی را حذف کنید، فقط باقی می ماند. یکی
4. حذف خط تهی اگر در جریان تبدیل ها رشته ای در جایی به دست آید که در آن همه عناصر، از جمله عضو آزاد، صفر باشند، آنگاه می توان چنین رشته ای را صفر نامید و از ماتریس خارج کرد.
5. افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر (در ستون های مربوطه)، ضرب در یک ضریب خاص. مبهم ترین و مهم ترین تحول. ارزش آن را دارد که با جزئیات بیشتری در مورد آن صحبت کنیم.

اضافه کردن یک رشته ضرب در یک ضریب

برای سهولت درک، ارزش آن را دارد که این فرآیند را مرحله به مرحله جدا کنید. دو ردیف از ماتریس گرفته شده است:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ب 2

فرض کنید باید اولی را به دومی ضرب کنید در ضریب "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

سپس در ماتریس ردیف دوم با یک ردیف جدید جایگزین می شود و ردیف اول بدون تغییر باقی می ماند.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

لازم به ذکر است که ضریب ضرب را می توان به گونه ای انتخاب کرد که در نتیجه جمع دو رشته، یکی از عناصر رشته جدید برابر با صفر شود. بنابراین، می توان معادله ای را در سیستم به دست آورد که در آن یک مجهول کمتر وجود داشته باشد. و اگر دو معادله از این قبیل بدست آورید، می توان عملیات را دوباره انجام داد و معادله ای بدست آورد که از قبل حاوی دو مجهول کمتر باشد. و اگر هر بار برای تمام سطرهایی که کمتر از ضریب اصلی هستند به صفر یک برسیم، می‌توانیم مانند مراحل، به انتهای ماتریس برویم و معادله‌ای با یک مجهول به دست آوریم. به این می گویند حل سیستم با استفاده از روش گاوسی.

به طور کلی

بگذار یک سیستم وجود داشته باشد. دارای m معادله و n ریشه مجهول است. می توانید آن را به صورت زیر بنویسید:

ماتریس اصلی از ضرایب سیستم کامپایل شده است. ستونی از اعضای آزاد به ماتریس توسعه یافته اضافه می شود و برای راحتی توسط یک نوار از هم جدا می شود.

• ردیف اول ماتریس با ضریب k = (-a 21 / a 11) ضرب می شود.
• اولین ردیف اصلاح شده و ردیف دوم ماتریس اضافه می شوند.
• به جای ردیف دوم، نتیجه اضافه از پاراگراف قبلی در ماتریس درج می شود.
• اکنون ضریب اول در دوم جدیدخط 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 است.

اکنون همان سری تبدیل ها انجام می شود، فقط ردیف اول و سوم درگیر است. بر این اساس، در هر مرحله از الگوریتم، عنصر a 21 با یک 31 جایگزین می شود. سپس همه چیز برای 41 , ... m1 تکرار می شود . نتیجه ماتریسی است که در آن اولین عنصر در ردیف ها برابر با صفر است. اکنون باید خط شماره یک را فراموش کنیم و همان الگوریتم را با شروع از خط دوم اجرا کنیم:

• ضریب k \u003d (-a 32 / a 22)؛
• دومین خط اصلاح شده به خط "جاری" اضافه می شود.
• نتیجه اضافه در خطوط سوم، چهارم و غیره جایگزین می شود، در حالی که اولین و دومین بدون تغییر باقی می مانند.
• در ردیف های ماتریس، دو عنصر اول از قبل برابر با صفر هستند.

الگوریتم باید تا زمانی که ضریب k = (-a m,m-1 /a mm) ظاهر شود تکرار شود. این بدان معنی است که در آخرین بارالگوریتم فقط برای معادله پایین انجام شد. اکنون ماتریس شبیه یک مثلث است یا شکل پلکانی دارد. خط پایین حاوی برابری a mn × x n = b m است. ضریب و جمله آزاد مشخص هستند و ریشه از طریق آنها بیان می شود: x n = b m /a mn. ریشه حاصل در ردیف بالا جایگزین می شود تا x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . و به همین ترتیب بر اساس قیاس: در هر خط بعدی یک ریشه جدید وجود دارد و با رسیدن به "بالای" سیستم، می توانید راه حل های زیادی پیدا کنید. تنها خواهد بود.

زمانی که هیچ راه حلی وجود ندارد

اگر در یکی از ردیف های ماتریس، همه عناصر، به جز جمله آزاد، برابر با صفر باشند، معادله مربوط به این ردیف مانند 0 = b به نظر می رسد. راه حلی ندارد. و از آنجایی که چنین معادله ای در سیستم گنجانده شده است، پس مجموعه راه حل های کل سیستم خالی است، یعنی منحط است.

زمانی که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد

ممکن است معلوم شود که در ماتریس مثلثی کاهش یافته هیچ ردیفی با یک عنصر - ضریب معادله و یکی - یک عضو آزاد وجود ندارد. فقط رشته هایی هستند که وقتی بازنویسی شوند، شبیه معادله ای با دو یا چند متغیر به نظر می رسند. این بدان معنی است که سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است. در این صورت می توان پاسخ را در قالب یک راه حل کلی داد. چگونه انجامش بدهیم؟

تمامی متغیرهای ماتریس به دو دسته اصلی و آزاد تقسیم می شوند. اساسی - اینها کسانی هستند که "روی لبه" ردیف ها در ماتریس پله ای ایستاده اند. بقیه رایگان هستند. در حل کلی، متغیرهای پایه بر حسب آزاد نوشته می شوند.

برای راحتی، ماتریس ابتدا در یک سیستم معادلات بازنویسی می شود. سپس در آخرین آنها، جایی که دقیقاً فقط یک متغیر اساسی باقی مانده است، در یک طرف باقی می ماند و بقیه چیزها به طرف دیگر منتقل می شود. این برای هر معادله با یک متغیر اساسی انجام می شود. سپس در بقیه معادلات در حد امکان به جای متغیر پایه عبارت بدست آمده برای آن جایگزین می شود. اگر در نتیجه، عبارتی دوباره ظاهر شد که فقط یک متغیر اساسی داشت، دوباره از آنجا بیان می‌شود و به همین ترتیب تا زمانی که هر متغیر پایه به‌عنوان عبارتی با متغیرهای آزاد نوشته شود. این راه حل کلی SLAE است.

همچنین می توانید راه حل اساسی سیستم را پیدا کنید - به متغیرهای رایگان هر مقداری بدهید و سپس برای این مورد خاص مقادیر متغیرهای اساسی را محاسبه کنید. بی نهایت راه حل های خاص وجود دارد.

راه حل با مثال های خاص

اینجا سیستم معادلات است.

برای راحتی، بهتر است بلافاصله ماتریس آن را ایجاد کنید

مشخص است که هنگام حل با روش گاوس، معادله مربوط به ردیف اول در پایان تبدیل ها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اگر عنصر سمت چپ بالای ماتریس کوچکترین باشد، سود بیشتری خواهد داشت - سپس اولین عناصر ردیف های باقی مانده پس از عملیات به صفر تبدیل می شوند. این بدان معنی است که در ماتریس کامپایل شده، قرار دادن دومی به جای ردیف اول سودمند خواهد بود.

خط دوم: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

خط سوم: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

حال برای اینکه گیج نشویم لازم است ماتریس را با نتایج میانی تبدیل ها یادداشت کنیم.

بدیهی است که با کمک برخی عملیات می توان چنین ماتریسی را برای درک راحت تر کرد. به عنوان مثال، می توانید با ضرب هر عنصر در "-1" تمام "منهای" را از خط دوم حذف کنید.

همچنین شایان ذکر است که در ردیف سوم همه عناصر مضرب سه هستند. سپس می توانید رشته را با این عدد کوتاه کنید و هر عنصر را در "-1/3" ضرب کنید (منهای - در همان زمان، برای حذف مقادیر منفی).

خیلی قشنگتر به نظر میرسه حالا باید خط اول را رها کنیم و با خط دوم و سوم کار کنیم. وظیفه این است که ردیف دوم را به ردیف سوم اضافه کنید، در ضریب ضرب شده ای که عنصر a 32 برابر با صفر شود.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 کسر مشترکو تنها پس از دریافت پاسخ ها، تصمیم بگیرید که آیا جمع آوری شده و به شکل دیگری از رکورد ترجمه شود)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

ماتریس دوباره با مقادیر جدید نوشته می شود.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

همانطور که می بینید، ماتریس حاصل از قبل یک فرم پلکانی دارد. بنابراین، تغییرات بیشتر سیستم با روش گاوس مورد نیاز نیست. کاری که در اینجا می توان انجام داد حذف ضریب کلی "-1/7" از خط سوم است.

حالا همه چیز زیباست. نکته کوچک است - دوباره ماتریس را به شکل یک سیستم معادلات بنویسید و ریشه ها را محاسبه کنید

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

الگوریتمی که اکنون ریشه ها را با آن پیدا می کنند، حرکت معکوس در روش گاوس نامیده می شود. معادله (3) حاوی مقدار z است:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

و معادله اول به شما امکان می دهد x را پیدا کنید:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

ما حق داریم چنین سیستمی را مشترک و حتی قطعی بنامیم، یعنی داشتن راه حل منحصر به فرد. پاسخ به شکل زیر نوشته شده است:

x 1 \u003d -2/3، y \u003d -65/9، z \u003d 61/9.

نمونه ای از سیستم نامعین

نوع حل یک سیستم معین به روش گاوس مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است، اکنون باید این مورد را در نظر گرفت که سیستم نامشخص است، یعنی بی نهایت راه حل های زیادی برای آن یافت می شود.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

شکل سیستم در حال حاضر هشدار دهنده است، زیرا تعداد مجهولات n = 5 است، و رتبه ماتریس سیستم در حال حاضر دقیقاً کمتر از این عدد است، زیرا تعداد ردیف ها m = 4 است، یعنی، بزرگترین مرتبه تعیین کننده مربع 4 است. این به این معنی است که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد و باید شکل کلی آن را جستجو کرد. روش گاوس برای معادلات خطی این امکان را می دهد.

ابتدا طبق معمول ماتریس تقویت شده کامپایل می شود.

خط دوم: ضریب k = (-a 21 / a 11) = -3. در خط سوم، اولین عنصر قبل از تبدیل ها است، بنابراین لازم نیست چیزی را لمس کنید، باید آن را همانطور که هست رها کنید. خط چهارم: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

با ضرب عناصر ردیف اول در هر یک از ضرایب آنها و اضافه کردن آنها به ردیف های مورد نظر، ماتریسی به شکل زیر بدست می آید:

همانطور که می بینید ردیف های دوم، سوم و چهارم از عناصری تشکیل شده اند که متناسب با یکدیگر هستند. دوم و چهارم به طور کلی یکسان هستند، بنابراین یکی از آنها را می توان بلافاصله حذف کرد، و بقیه را در ضریب "-1" ضرب کرد و خط شماره 3 را دریافت کرد. و دوباره، یکی از دو خط یکسان را ترک کنید.

چنین ماتریسی معلوم شد. این سیستم هنوز نوشته نشده است، در اینجا لازم است متغیرهای اساسی را تعیین کنید - با ضرایب 11 \u003d 1 و 22 \u003d 1 و رایگان - بقیه.

معادله دوم فقط یک متغیر اساسی دارد - x 2 . از این رو، می توان آن را از آنجا بیان کرد، با نوشتن از طریق متغیرهای x 3 , x 4 , x 5 که آزاد هستند.

عبارت به دست آمده را در معادله اول جایگزین می کنیم.

معادله ای به دست آمد که در آن تنها متغیر اصلی x 1 است. بیایید همان کار را با x 2 انجام دهیم.

همه متغیرهای اساسی که دوتا از آنها وجود دارد بر حسب سه متغیر آزاد بیان می شوند، اکنون می توانید پاسخ را به صورت کلی بنویسید.

همچنین می توانید یکی از راه حل های خاص سیستم را مشخص کنید. برای چنین مواردی، به عنوان یک قاعده، صفرها به عنوان مقادیر برای متغیرهای آزاد انتخاب می شوند. سپس پاسخ این خواهد بود:

16, 23, 0, 0, 0.

نمونه ای از یک سیستم ناسازگار

حل سیستم های معادلات ناسازگار با روش گاوس سریع ترین است. به محض اینکه در یکی از مراحل معادله ای به دست می آید که جوابی ندارد به پایان می رسد. یعنی مرحله با محاسبه ریشه که کاملا طولانی و کسالت بار است از بین می رود. سیستم زیر در نظر گرفته شده است:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

طبق معمول، ماتریس کامپایل شده است:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

و به شکل پلکانی تقلیل می یابد:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

پس از اولین تبدیل، خط سوم شامل یک معادله از فرم است

بدون راه حل بنابراین، سیستم ناسازگار است و پاسخ مجموعه خالی است.

مزایا و معایب روش

اگر روش حل SLAE را روی کاغذ با قلم انتخاب کنید، روشی که در این مقاله در نظر گرفته شده است جذاب ترین به نظر می رسد. در تبدیل‌های ابتدایی، گیج شدن بسیار دشوارتر از آن است که شما به صورت دستی به دنبال تعیین کننده یا ماتریس معکوس پیچیده باشید. با این حال، اگر از برنامه هایی برای کار با داده هایی از این نوع، به عنوان مثال، صفحات گسترده استفاده می کنید، معلوم می شود که چنین برنامه هایی قبلاً حاوی الگوریتم هایی برای محاسبه پارامترهای اصلی ماتریس ها - تعیین کننده، جزئی، معکوس و غیره هستند. و اگر مطمئن هستید که ماشین خودش این مقادیر را محاسبه می کند و اشتباه نمی کند، بهتر است از روش ماتریس یا فرمول های کرامر استفاده کنید، زیرا کاربرد آنها با محاسبه عوامل تعیین کننده شروع و پایان می یابد. ماتریس های معکوس.

کاربرد

از آنجایی که راه حل گاوسی یک الگوریتم است و ماتریس در واقع یک آرایه دو بعدی است، می توان از آن در برنامه نویسی استفاده کرد. اما از آنجایی که مقاله خود را به عنوان یک راهنمای "برای ساختگی ها" قرار می دهد، باید گفت که ساده ترین مکان برای قرار دادن روش در صفحات گسترده، به عنوان مثال، اکسل است. مجدداً، هر SLAE وارد شده در جدول به شکل ماتریس توسط اکسل به عنوان یک آرایه دو بعدی در نظر گرفته می شود. و برای عملیات با آنها، دستورات خوبی وجود دارد: جمع (شما فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید!)، ضرب در یک عدد، ضرب ماتریس (همچنین با محدودیت های خاص)، پیدا کردن ماتریس های معکوس و جابجا شده و از همه مهمتر ، محاسبه دترمینان. اگر این کار وقت گیر با یک فرمان جایگزین شود، تعیین رتبه یک ماتریس و در نتیجه تعیین سازگاری یا ناسازگاری آن بسیار سریعتر است.