روش گام به گام گاوسی روش گاوس معکوس

روش گاوسمناسب برای حل سیستم های خطی معادلات جبری(SLAU). چندین مزیت نسبت به روش های دیگر دارد:

• اولاً، نیازی به پیش‌بررسی سیستم معادلات برای سازگاری نیست.
• ثانیاً، روش گاوس را می توان نه تنها برای حل SLAEهایی که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است، بلکه برای حل سیستم های معادلاتی که تعداد معادلات در آنها انجام می شود، استفاده کرد. با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نیست یا تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر است.
• ثالثاً، روش گاوس منجر به نتیجه ای با تعداد نسبتاً کمی از عملیات محاسباتی می شود.

بررسی مختصر مقاله.

ابتدا تعاریف لازم را ارائه می کنیم و نمادهایی را معرفی می کنیم.

در مرحله بعد، الگوریتم روش گاوس را برای ساده ترین حالت توصیف می کنیم، یعنی برای سیستم های معادلات جبری خطی، تعداد معادلاتی که در آنها با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم نیست. برابر با صفر هنگام حل چنین سیستم های معادلات، ماهیت روش گاوس به وضوح قابل مشاهده است، که شامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است. بنابراین روش گاوس را روش نیز می نامند طرد متوالیناشناس. بیایید نشان دهیم راه حل های دقیقچند نمونه

در نتیجه، ما حل گاوسی سیستم‌های معادلات جبری خطی را در نظر می‌گیریم که ماتریس اصلی آنها مستطیل یا منحط است. راه حل چنین سیستم هایی دارای ویژگی هایی است که با استفاده از مثال ها به تفصیل آن ها را تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعاریف اساسی و نماد.

سیستمی از p را در نظر بگیرید معادلات خطیبا n مجهول (p می تواند برابر با n باشد):

جایی که متغیرهای ناشناخته هستند، اعداد (واقعی یا مختلط) هستند، اعضای آزاد هستند.

اگر یک ، سپس سیستم معادلات جبری خطی نامیده می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول که در آن تمام معادلات سیستم به هویت تبدیل می شوند، نامیده می شود. تصمیم SLAU.

اگر حداقل یک راه حل برای یک سیستم معادلات جبری خطی وجود داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل، در غیر این صورت - ناسازگار.

اگر SLAE داشته باشد تنها تصمیم، سپس نامیده می شود مسلم - قطعی. اگر بیش از یک راه حل وجود داشته باشد، سیستم فراخوانی می شود نا معلوم.

گفته می شود که این سیستم در نوشته شده است فرم مختصاتاگر فرم داشته باشد
.

این سیستم در فرم ماتریسیرکورد دارای فرم، جایی است - ماتریس اصلی SLAE، - ماتریس ستون متغیرهای مجهول، - ماتریس اعضای آزاد.

اگر ماتریس-ستون عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n + 1) - به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس گسترش یافتهسیستم های معادلات خطی معمولاً ماتریس تقویت شده با حرف T مشخص می شود و ستون اعضای آزاد با یک خط عمودی از بقیه ستون ها جدا می شود.

ماتریس مربع A نامیده می شود منحطاگر تعیین کننده آن صفر باشد. اگر، ماتریس A فراخوانی می شود غیر منحط.

نکته زیر باید مورد توجه قرار گیرد.

اگر اعمال زیر با سیستم معادلات جبری خطی انجام شود

• مبادله دو معادله،
• هر دو طرف هر معادله ای را در یک عدد واقعی (یا مختلط) دلخواه و غیر صفر ضرب کنید،
• به هر دو قسمت هر معادله، قسمت های مربوط به معادله دیگر را با عدد دلخواه k ضرب کنید،

سپس یک سیستم معادل به دست می آوریم که راه حل های یکسانی دارد (یا، مانند نمونه اصلی، هیچ راه حلی ندارد).

برای یک ماتریس گسترده از یک سیستم معادلات جبری خطی، این اقدامات به معنای انجام تحولات ابتداییبا خطوط:

• تعویض دو رشته
• ضرب تمام عناصر هر ردیف از ماتریس T در عدد غیر صفر k،
• به عناصر هر ردیف از ماتریس، عناصر مربوط به سطر دیگر را که در عدد دلخواه k ضرب می شود، اضافه می کنیم.

حال می توانیم به توضیح روش گاوس برویم.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است، به روش گاوس.

اگر وظیفه یافتن راه حلی برای یک سیستم معادلات به ما محول شود، در مدرسه چه می کنیم؟ .

برخی این کار را انجام می دهند.

توجه داشته باشید که با اضافه کردن سمت چپ معادله اول به سمت چپ معادله دوم و سمت راست به سمت راست، می توانید از شر متغیرهای مجهول x 2 و x 3 خلاص شوید و بلافاصله x 1 را پیدا کنید:

مقدار یافت شده x 1 \u003d 1 را در معادلات اول و سوم سیستم جایگزین می کنیم:

اگر هر دو قسمت از معادله سوم سیستم را در -1 ضرب کنیم و به قسمت های مربوط به معادله اول اضافه کنیم، آنگاه از متغیر مجهول x 3 خلاص می شویم و می توانیم x 2 را پیدا کنیم:

مقدار بدست آمده x 2 \u003d 2 را در معادله سوم جایگزین می کنیم و متغیر مجهول باقی مانده x 3 را پیدا می کنیم:

دیگران غیر از این عمل می کردند.

بیایید معادله اول سیستم را با توجه به متغیر مجهول x 1 حل کنیم و عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم سیستم کنیم تا این متغیر از آنها حذف شود:

حال اجازه دهید معادله دوم سیستم را نسبت به x 2 حل کنیم و نتیجه به دست آمده را جایگزین معادله سوم کنیم تا متغیر مجهول x 2 را از آن حذف کنیم:

از معادله سوم سیستم می توان دریافت که x 3 = 3. از معادله دوم پیدا می کنیم ، و از معادله اول بدست می آوریم.

راه حل های آشنا، درست است؟

جالب ترین چیز در اینجا این است که روش حل دوم اساساً روش حذف متوالی مجهولات است، یعنی روش گاوس. وقتی متغیرهای مجهول را بیان کردیم (اول x 1، بعد x 2) و آنها را در بقیه معادلات سیستم جایگزین کردیم، در نتیجه آنها را حذف کردیم. ما استثنا را تا لحظه ای انجام دادیم که آخرین معادله فقط یک متغیر مجهول باقی گذاشت. فرآیند حذف متوالی مجهولات نامیده می شود روش گاوس مستقیم. پس از اتمام حرکت رو به جلو، این فرصت را داریم که متغیر مجهول را در آخرین معادله محاسبه کنیم. با کمک آن، از معادله ماقبل آخر، متغیر مجهول بعدی و غیره را پیدا می کنیم. فرآیند یافتن متوالی متغیرهای مجهول در حین حرکت از آخرین معادله به معادله اول نامیده می شود روش گاوس معکوس.

لازم به ذکر است که وقتی x 1 را بر حسب x 2 و x 3 در معادله اول بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم می کنیم، اقدامات زیر به همین نتیجه منجر می شود:

در واقع، چنین رویه ای به ما اجازه می دهد تا متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم:

تفاوت های ظریف با حذف متغیرهای ناشناخته با روش گاوس زمانی به وجود می آیند که معادلات سیستم شامل برخی از متغیرها نباشد.

به عنوان مثال، در SLAU در معادله اول، هیچ متغیر مجهولی x 1 وجود ندارد (به عبارت دیگر، ضریب مقابل آن صفر است). بنابراین، نمی‌توانیم معادله اول سیستم را با توجه به x 1 حل کنیم تا این متغیر مجهول را از بقیه معادلات حذف کنیم. راه برون رفت از این وضعیت، تعویض معادلات سیستم است. از آنجایی که ما سیستم‌هایی از معادلات خطی را در نظر می‌گیریم که تعیین‌کننده‌های ماتریس‌های اصلی با صفر متفاوت هستند، همیشه معادله‌ای وجود دارد که متغیر مورد نیاز ما در آن وجود دارد و می‌توانیم این معادله را به موقعیتی که نیاز داریم بازآرایی کنیم. برای مثال ما کافی است معادلات اول و دوم سیستم را مبادله کنیم ، سپس می توانید معادله اول را برای x 1 حل کنید و آن را از بقیه معادلات سیستم حذف کنید (اگرچه x 1 قبلاً در معادله دوم وجود ندارد).

امیدواریم به اصل مطلب پی ببرید.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش گاوس

اجازه دهید سیستمی از n معادله جبری خطی را با n متغیر مجهول شکل حل کنیم. و اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی آن غیر صفر باشد.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف می کنیم و از معادله دوم شروع می کنیم. برای این کار، معادله اول ضرب در معادله دوم سیستم را اضافه کنید، اولین ضرب در معادله سوم و به همین ترتیب، اولین ضرب در معادله n را اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر کنیم، به همین نتیجه می رسیم. بنابراین، متغیر x 1 از تمام معادلات، با شروع از دوم، حذف می شود.

در مرحله بعد، ما به طور مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم به دست آمده، که در شکل مشخص شده است

برای این کار دومی ضرب شده در را به معادله سوم سیستم اضافه کنید، دومی ضرب در را به معادله چهارم اضافه کنید و به همین ترتیب دومی ضرب شده در را به معادله n اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که به طور مشابه با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است عمل می کنیم.

بنابراین سیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، مسیر معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. معادله

بیایید الگوریتم را با یک مثال تحلیل کنیم.

مثال.

روش گاوسی

راه حل.

ضریب a 11 با صفر متفاوت است، پس بیایید به مسیر مستقیم روش گاوس یعنی حذف متغیر مجهول x 1 از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول برویم. برای انجام این کار، به قسمت های چپ و راست معادله دوم، سوم و چهارم، قسمت های چپ و راست معادله اول را به ترتیب ضرب در و:

متغیر مجهول x 1 حذف شده است، اجازه دهید به سمت حذف x 2 برویم. به قسمت های چپ و راست معادله سوم و چهارم سیستم، قسمت های چپ و راست معادله دوم را ضرب می کنیم. و :

برای تکمیل مسیر رو به جلو روش گاوس، باید متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. اجازه دهید به ترتیب به قسمت های چپ و راست معادله چهارم، سمت چپ و را اضافه کنیم سمت راستمعادله سوم ضرب در :

می توانید مسیر معکوس روش گاوس را شروع کنید.

از آخرین معادله ای که داریم ,
از معادله سوم بدست می آوریم
از دومی
از اول.

برای بررسی، می توانید مقادیر به دست آمده از متغیرهای مجهول را در سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. همه معادلات به هویت تبدیل می شوند، به این معنی که راه حل با روش گاوس به درستی پیدا شده است.

پاسخ:

و اکنون حل همان مثال را به روش گاوس به صورت ماتریسی می دهیم.

مثال.

یک راه حل برای سیستم معادلات پیدا کنید روش گاوسی

راه حل.

ماتریس توسعه یافته سیستم دارای فرم است . بالای هر ستون، متغیرهای ناشناخته نوشته شده است که با عناصر ماتریس مطابقت دارد.

سیر مستقیم روش گاوس در اینجا شامل آوردن ماتریس توسعه یافته سیستم به شکل ذوزنقه ای با استفاده از تبدیل های ابتدایی است. این فرآیند شبیه به حذف متغیرهای ناشناخته است که ما با سیستم به صورت مختصات انجام دادیم. حالا شما از آن متقاعد خواهید شد.

اجازه دهید ماتریس را طوری تبدیل کنیم که تمام عناصر ستون اول، از ستون دوم، صفر شوند. برای انجام این کار، به عناصر ردیف های دوم، سوم و چهارم، عناصر مربوط به ردیف اول را ضرب کنید، و به ترتیب:

در مرحله بعد، ماتریس به دست آمده را طوری تبدیل می کنیم که در ستون دوم، همه عناصر، که از ستون سوم شروع می شوند، صفر شوند. این با حذف متغیر مجهول x 2 مطابقت دارد. برای انجام این کار، عناصر مربوط به ردیف اول ماتریس را به عناصر ردیف سوم و چهارم اضافه کنید، ضرب در و :

باقی مانده است که متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به عناصر آخرین ردیف ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف ماقبل آخر را ضرب می کنیم. :

لازم به ذکر است که این ماتریس با سیستم معادلات خطی مطابقت دارد

که زودتر پس از حرکت مستقیم به دست آمد.

وقت آن است که به عقب برگردیم. در شکل ماتریسی نماد، مسیر معکوس روش گاوس شامل چنین تبدیلی از ماتریس حاصل است به طوری که ماتریس مشخص شده در شکل

مورب شد، یعنی شکل گرفت

تعدادی اعداد کجا هستند

این تبدیل‌ها شبیه به روش گاوس است، اما نه از خط اول به آخر، بلکه از آخرین خط به اول انجام می‌شود.

به عناصر ردیف های سوم، دوم و اول، عناصر مربوط به ردیف آخر را ضرب کنید. ، در و در به ترتیب:

حالا بیایید به عناصر ردیف دوم و اول عناصر مربوط به ردیف سوم را اضافه کنیم که به ترتیب در و در ضرب می شوند:

در آخرین مرحلهاز حرکت معکوس روش گاوسی، به عناصر ردیف اول، عناصر مربوط به ردیف دوم را ضرب می کنیم:

ماتریس حاصل با سیستم معادلات مطابقت دارد ، که از آن متغیرهای مجهول را پیدا می کنیم.

پاسخ:

توجه داشته باشید.

هنگام استفاده از روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، باید از محاسبات تقریبی خودداری شود، زیرا این امر می تواند منجر به نتایج کاملاً نادرست شود. توصیه می کنیم اعشار را گرد نکنید. بهتر از کسرهای اعشاریبه کسرهای معمولی تغییر دهید.

مثال.

حل سیستم سه معادله با روش گاوسی .

راه حل.

توجه داشته باشید که در این مثال، متغیرهای مجهول دارای نام متفاوتی هستند (نه x 1، x 2، x 3، بلکه x، y، z). بیایید به کسرهای معمولی برویم:

x مجهول را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنید:

در سیستم حاصل، متغیر مجهولی y در معادله دوم وجود ندارد و y در معادله سوم وجود دارد، بنابراین، معادله دوم و سوم را با هم عوض می کنیم:

در این مرحله، دوره مستقیم روش گاوس به پایان رسیده است (نیازی نیست y را از معادله سوم حذف کنید، زیرا این متغیر ناشناخته دیگر وجود ندارد).

بیا برگردیم.

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ,
از ماقبل آخر


از اولین معادله ای که داریم

پاسخ:

X=10، y=5، z=-20.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منحط است به روش گاوس.

سیستم‌هایی از معادلات که ماتریس اصلی آنها مستطیل یا مربع است ممکن است هیچ جوابی نداشته باشند، ممکن است یک جواب واحد داشته باشند یا ممکن است تعداد بی‌نهایت جواب داشته باشند.

اکنون خواهیم فهمید که چگونه روش گاوس به شما امکان می دهد سازگاری یا ناسازگاری یک سیستم معادلات خطی را تعیین کنید و در صورت سازگاری آن، همه راه حل ها (یا یک راه حل واحد) را تعیین کنید.

در اصل، روند حذف متغیرهای ناشناخته در مورد چنین SLAE ها یکسان است. با این حال، ارزش آن را دارد که به طور مفصل در مورد برخی از موقعیت هایی که ممکن است رخ دهد صحبت کنیم.

بیایید به مهمترین مرحله برویم.

بنابراین، فرض می کنیم که سیستم معادلات جبری خطی پس از اتمام حرکت رو به جلو روش گاوس به شکل و هیچ یک از معادلات به (در این مورد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است). یک سوال منطقی مطرح می شود: "بعد چه باید کرد"؟

متغیرهای مجهولی را که در وهله اول تمام معادلات سیستم حاصل قرار دارند، می نویسیم:

در مثال ما، اینها x 1، x 4 و x 5 هستند. در قسمت‌های سمت چپ معادلات سیستم، فقط عبارت‌هایی را می‌گذاریم که حاوی متغیرهای مجهول نوشته شده x 1، x 4 و x 5 هستند، باقی‌مانده‌ها را با علامت مخالف به سمت راست معادلات منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید مقادیر دلخواه را به متغیرهای مجهول که در سمت راست معادلات قرار دارند، اختصاص دهیم، جایی که - اعداد دلخواه:

پس از آن، اعداد در قسمت های سمت راست تمام معادلات SLAE ما پیدا می شوند و می توانیم به مسیر معکوس روش گاوس برویم.

از آخرین معادله سیستمی که داریم، از معادله ماقبل آخری که پیدا می کنیم، از معادله اول به دست می آوریم.

راه حل سیستم معادلات مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول است

دادن اعداد معانی مختلف، دریافت خواهیم کرد راه حل های مختلفسیستم های معادلات یعنی سیستم معادلات ما بی نهایت راه حل دارد.

پاسخ:

جایی که - اعداد دلخواه

برای ادغام مطالب، راه حل های چندین مثال دیگر را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

تصميم گرفتن سیستم همگنمعادلات جبری خطی روش گاوسی

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به ترتیب به قسمت های چپ و راست معادله دوم، قسمت های چپ و راست معادله اول را ضرب کنید و به قسمت های چپ و راست معادله سوم - قسمت های چپ و راست معادله را اضافه کنید. معادله اول ضرب در:

اکنون y را از معادله سوم سیستم معادلات حاصل حذف می کنیم:

SLAE حاصل معادل سیستم است .

فقط عبارت‌های حاوی متغیرهای مجهول x و y را در سمت چپ معادلات سیستم می‌گذاریم و عبارت‌های دارای متغیر مجهول z را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس.فرض کنید باید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم nمعادلات خطی با nمتغیرهای ناشناخته
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است: اول، the x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم، سپس x2از تمام معادلات، از معادله سوم شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. x n. چنین فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوس مستقیم. پس از اتمام حرکت رو به جلو روش گاوس، از آخرین معادله پیدا می کنیم x n، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخر محاسبه می شود xn-1و به همین ترتیب، از معادله اول پیدا می شود x 1. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود روش گاوس معکوس.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر ناشناخته را حذف کنید x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم. برای این کار، معادله اول ضرب در معادله دوم سیستم را اضافه کنید، اولین ضرب در معادله سوم و به همین ترتیب به n-thمعادله اول را با ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف .

اگر بیان می کردیم به همین نتیجه می رسیدیم x 1از طریق سایر متغیرهای ناشناخته در معادله اول سیستم و عبارت حاصل با تمام معادلات جایگزین شد. بنابراین متغیر x 1از تمام معادلات، از معادلات دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، ما به طور مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم به دست آمده، که در شکل مشخص شده است

برای این کار، دوم ضرب در معادله سوم سیستم را اضافه کنید، دومی ضرب شده در را به معادله چهارم اضافه کنید و به همین ترتیب. n-thمعادله دوم را با ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف . بنابراین متغیر x2از تمام معادلات، از معادله سوم حذف شده است.

در ادامه به حذف مجهولات می پردازیم x 3، در حالی که با قسمتی از سیستم که در شکل مشخص شده است به طور مشابه عمل می کنیم

بنابراین سیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، مسیر معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: محاسبه می کنیم x nاز آخرین معادله به عنوان، با استفاده از مقدار به دست آمده x nپیدا کردن xn-1از معادله ماقبل آخر و غیره پیدا می کنیم x 1از معادله اول

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوسی

در این مقاله روش به عنوان روشی برای حل سیستم معادلات خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است. این روش تحلیلی است، یعنی به شما امکان می دهد یک الگوریتم راه حل را در آن بنویسید نمای کلیو سپس مقادیری را از نمونه های خاص در آنجا جایگزین کنید. برخلاف روش ماتریسی یا فرمول‌های کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس، می‌توانید با آن‌هایی که بی‌نهایت راه‌حل دارند نیز کار کنید. یا اصلاً ندارند.

گاوس به چه معناست؟

ابتدا باید سیستم معادلات ما را در It به نظر می رسد بنویسید. سیستم گرفته شده است:

ضرایب در قالب یک جدول و در سمت راست در یک ستون جداگانه - اعضای آزاد نوشته شده است. ستون با اعضای آزاد برای راحتی از هم جدا شده است ماتریسی که شامل این ستون است Extended نامیده می شود.

علاوه بر این، ماتریس اصلی با ضرایب باید به شکل مثلث بالایی کاهش یابد. این نکته اصلی حل سیستم با روش گاوس است. به عبارت ساده، پس از دستکاری های خاص، ماتریس باید به این شکل باشد، به طوری که در قسمت پایین سمت چپ آن فقط صفر باشد:

سپس، اگر دوباره ماتریس جدید را به عنوان یک سیستم معادلات بنویسید، متوجه خواهید شد که آخرین ردیف قبلاً حاوی مقدار یکی از ریشه ها است که سپس به معادله بالا جایگزین می شود، ریشه دیگری پیدا می شود و غیره.

این توضیح از راه حل با روش گاوس در بیشتر است به طور کلی. و اگر سیستم به طور ناگهانی راه حلی نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ یا تعداد آنها بی نهایت است؟ برای پاسخ به این سوالات و بسیاری از سوالات دیگر، لازم است تمام عناصر به کار رفته در حل به روش گاوس به طور جداگانه در نظر گرفته شود.

ماتریس ها، خواص آنها

هیچ یک معنای پنهاندر ماتریس نیست این فقط یک راه راحت برای ضبط داده ها برای عملیات های بعدی است. حتی بچه های مدرسه هم نباید از آنها بترسند.

ماتریس همیشه مستطیل شکل است، زیرا راحت تر است. حتی در روش گاوس، جایی که همه چیز به ساخت یک ماتریس مثلثی خلاصه می‌شود، یک مستطیل در ورودی ظاهر می‌شود، فقط در جایی که هیچ عددی وجود ندارد، صفر است. صفرها را می توان حذف کرد، اما آنها ضمنی هستند.

ماتریس یک اندازه دارد. "عرض" آن تعداد ردیف ها (m) و "طول" آن تعداد ستون ها (n) است. سپس اندازه ماتریس A (معمولاً برای نشان دادن آنها از حروف بزرگ استفاده می شود) نامه ها) با A m×n نشان داده می شود. اگر m=n، این ماتریس مربع است و m=n ترتیب آن است. بر این اساس، هر عنصر ماتریس A را می توان با تعداد سطر و ستون آن نشان داد: a xy ; x - شماره ردیف، تغییرات، y - شماره ستون، تغییرات.

B نکته اصلی راه حل نیست. در اصل ، همه عملیات را می توان مستقیماً با خود معادلات انجام داد ، اما نمادگذاری بسیار دست و پا گیرتر می شود و در آن گیج شدن بسیار آسان تر خواهد بود.

تعیین کننده

ماتریس یک تعیین کننده نیز دارد. این یک ویژگی بسیار مهم است. فهمیدن معنای آن اکنون ارزش آن را ندارد، می توانید به سادگی نحوه محاسبه آن را نشان دهید و سپس بگویید که چه ویژگی های ماتریس را تعیین می کند. ساده ترین راه برای یافتن دترمینال از طریق قطرها است. مورب های خیالی در ماتریس رسم می شوند. عناصر واقع در هر یک از آنها ضرب می شوند و سپس محصولات به دست آمده اضافه می شوند: مورب با شیب به سمت راست - با علامت "به علاوه"، با شیب به سمت چپ - با علامت "منهای".

توجه به این نکته بسیار مهم است که تعیین کننده فقط برای یک ماتریس مربع قابل محاسبه است. برای ماتریس مستطیل شکلمی توانید کارهای زیر را انجام دهید: از بین تعداد ردیف ها و تعداد ستون ها، کوچکترین را انتخاب کنید (بگذارید k باشد)، و سپس به طور تصادفی k ستون و k ردیف را در ماتریس علامت گذاری کنید. عناصر واقع در تقاطع ستون ها و ردیف های انتخاب شده یک ماتریس مربع جدید را تشکیل می دهند. اگر تعیین کننده چنین ماتریسی عددی غیر از صفر باشد، آن را پایه مینور ماتریس مستطیلی اصلی می نامند.

قبل از شروع حل سیستم معادلات با روش گاوس، محاسبه دترمینان ضرری ندارد. اگر معلوم شد که صفر است، بلافاصله می توانیم بگوییم که ماتریس یا تعداد بی نهایت راه حل دارد یا اصلاً وجود ندارد. در چنین مورد غم انگیز، شما باید بیشتر بروید و از رتبه ماتریس مطلع شوید.

طبقه بندی سیستم

چیزی به نام رتبه یک ماتریس وجود دارد. این حداکثر ترتیب تعیین کننده غیر صفر آن است (با به یاد آوردن مینور پایه، می توانیم بگوییم که رتبه یک ماتریس، ترتیب پایه مینور است).

با توجه به وضعیت رتبه، SLAE را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

• مشترک. دردر سیستم های مشترک، رتبه ماتریس اصلی (شامل فقط ضرایب) با رتبه ماتریس توسعه یافته (با ستونی از عبارت های آزاد) منطبق است. چنین سیستم هایی یک راه حل دارند، اما نه لزوماً، بنابراین علاوه بر این سیستم های مشترکتقسیم شده به:
• - مسلم - قطعی- داشتن یک راه حل منحصر به فرد در سیستم های خاص، رتبه ماتریس و تعداد مجهولات (یا تعداد ستون ها که یکسان است) برابر است.
• - نامعین -با تعداد بی نهایت راه حل رتبه ماتریس برای چنین سیستم هایی کمتر از تعداد مجهولات است.
• ناسازگار. درچنین سیستم هایی، رتبه های ماتریس های اصلی و توسعه یافته منطبق نیستند. سیستم های ناسازگار راه حلی ندارند.

روش گاوس از این نظر خوب است که به شخص اجازه می دهد یا یک اثبات روشن از ناسازگاری سیستم (بدون محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ) یا یک راه حل کلی برای سیستمی با تعداد بی نهایت راه حل در طول حل به دست آورد.

تحولات ابتدایی

قبل از شروع مستقیم به حل سیستم، می توان آن را برای محاسبات کمتر و راحت تر کرد. این از طریق دگرگونی های ابتدایی حاصل می شود - به گونه ای که اجرای آنها به هیچ وجه پاسخ نهایی را تغییر نمی دهد. لازم به ذکر است که برخی از تبدیل های ابتدایی فوق فقط برای ماتریس هایی معتبر است که منبع آنها دقیقاً SLAE بوده است. در اینجا لیستی از این تحولات آمده است:

1. جایگشت رشته بدیهی است که اگر ترتیب معادلات را در رکورد سیستم تغییر دهیم، این امر به هیچ وجه روی جواب تاثیری نخواهد داشت. در نتیجه، امکان تعویض ردیف ها در ماتریس این سیستم نیز وجود دارد، البته در مورد ستون اعضای آزاد نیز فراموش نمی شود.
2. ضرب تمام عناصر یک رشته در یک فاکتور. بسیار مفید! می توان از آن برای کوتاه کردن استفاده کرد اعداد بزرگدر ماتریس یا حذف صفرها. مجموعه راه حل ها، طبق معمول، تغییر نمی کند و انجام عملیات بیشتر راحت تر می شود. نکته اصلی این است که ضریب برابر با صفر نیست.
3. ردیف هایی با ضرایب متناسب را حذف کنید. این تا حدی از پاراگراف قبل ناشی می شود. اگر دو یا چند ردیف در ماتریس دارای ضرایب متناسب باشند، پس هنگام ضرب / تقسیم یکی از ردیف ها بر ضریب تناسب، دو (یا، دوباره، بیشتر) ردیف کاملاً یکسان به دست می آید، و می توانید موارد اضافی را حذف کنید، تنها باقی می ماند. یکی
4. حذف خط تهی اگر در جریان تبدیل ها، رشته ای در جایی به دست آید که در آن همه عناصر، از جمله عضو آزاد، صفر باشند، آنگاه می توان چنین رشته ای را صفر نامید و از ماتریس خارج کرد.
5. افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر (در ستون های مربوطه)، ضرب در یک ضریب خاص. مبهم ترین و مهم ترین تحول. ارزش آن را دارد که با جزئیات بیشتری در مورد آن صحبت کنیم.

اضافه کردن یک رشته ضرب در یک ضریب

برای سهولت درک، ارزش آن را دارد که این فرآیند را مرحله به مرحله جدا کنید. دو ردیف از ماتریس گرفته شده است:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ب 2

فرض کنید باید اولی را به دومی ضرب کنید در ضریب "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

سپس در ماتریس ردیف دوم با یک ردیف جدید جایگزین می شود و ردیف اول بدون تغییر باقی می ماند.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

لازم به ذکر است که ضریب ضرب را می توان به گونه ای انتخاب کرد که در نتیجه جمع دو رشته، یکی از عناصر رشته جدید برابر با صفر شود. بنابراین، می توان معادله ای را در سیستم به دست آورد که در آن یک مجهول کمتر وجود داشته باشد. و اگر دو معادله از این قبیل بدست آورید، می توان عملیات را دوباره انجام داد و معادله ای بدست آورد که از قبل حاوی دو مجهول کمتر باشد. و اگر هر بار برای تمام سطرهایی که کمتر از ضریب اصلی هستند به صفر یک برسیم، می‌توانیم مانند مراحل، به انتهای ماتریس برویم و معادله‌ای با یک مجهول به دست آوریم. به این می گویند حل سیستم با استفاده از روش گاوسی.

به طور کلی

بگذار یک سیستم وجود داشته باشد. دارای m معادله و n ریشه مجهول است. می توانید آن را به صورت زیر بنویسید:

ماتریس اصلی از ضرایب سیستم کامپایل شده است. ستونی از اعضای آزاد به ماتریس توسعه یافته اضافه می شود و برای راحتی توسط یک نوار از هم جدا می شود.

• ردیف اول ماتریس با ضریب k = (-a 21 / a 11) ضرب می شود.
• اولین ردیف اصلاح شده و ردیف دوم ماتریس اضافه می شوند.
• به جای ردیف دوم، نتیجه اضافه از پاراگراف قبلی در ماتریس درج می شود.
• اکنون ضریب اول در دوم جدیدخط 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 است.

اکنون همان سری تبدیل ها انجام می شود، فقط ردیف اول و سوم درگیر است. بر این اساس، در هر مرحله از الگوریتم، عنصر a 21 با یک 31 جایگزین می شود. سپس همه چیز برای 41 , ... m1 تکرار می شود . نتیجه ماتریسی است که در آن اولین عنصر در ردیف ها برابر با صفر است. اکنون باید خط شماره یک را فراموش کنیم و همان الگوریتم را با شروع از خط دوم اجرا کنیم:

• ضریب k \u003d (-a 32 / a 22)؛
• دومین خط اصلاح شده به خط "جاری" اضافه می شود.
• نتیجه اضافه در خطوط سوم، چهارم و غیره جایگزین می شود، در حالی که اولین و دومین بدون تغییر باقی می مانند.
• در ردیف های ماتریس، دو عنصر اول از قبل برابر با صفر هستند.

الگوریتم باید تا زمانی که ضریب k = (-a m,m-1 /a mm) ظاهر شود تکرار شود. این بدان معنی است که در آخرین بارالگوریتم فقط برای معادله پایین انجام شد. اکنون ماتریس شبیه یک مثلث است یا شکل پلکانی دارد. خط پایین حاوی برابری a mn × x n = b m است. ضریب و جمله آزاد مشخص هستند و ریشه از طریق آنها بیان می شود: x n = b m /a mn. ریشه حاصل در ردیف بالا جایگزین می شود تا x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . و به همین ترتیب بر اساس قیاس: در هر خط بعدی یک ریشه جدید وجود دارد و با رسیدن به "بالای" سیستم، می توانید راه حل های زیادی پیدا کنید. تنها خواهد بود.

زمانی که هیچ راه حلی وجود ندارد

اگر در یکی از ردیف های ماتریس، همه عناصر، به جز جمله آزاد، برابر با صفر باشند، معادله مربوط به این ردیف مانند 0 = b به نظر می رسد. راه حلی ندارد. و از آنجایی که چنین معادله ای در سیستم گنجانده شده است، پس مجموعه راه حل های کل سیستم خالی است، یعنی منحط است.

زمانی که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد

ممکن است معلوم شود که در ماتریس مثلثی کاهش یافته هیچ ردیفی با یک عنصر - ضریب معادله و یکی - یک عضو آزاد وجود ندارد. فقط رشته هایی هستند که وقتی بازنویسی شوند، شبیه معادله ای با دو یا چند متغیر به نظر می رسند. این بدان معنی است که سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است. در این صورت می توان پاسخ را در قالب یک راه حل کلی داد. چگونه انجامش بدهیم؟

تمامی متغیرهای ماتریس به دو دسته اصلی و آزاد تقسیم می شوند. اساسی - اینها کسانی هستند که "روی لبه" ردیف ها در ماتریس پله ای ایستاده اند. بقیه رایگان هستند. در حل کلی، متغیرهای پایه بر حسب آزاد نوشته می شوند.

برای راحتی، ماتریس ابتدا در یک سیستم معادلات بازنویسی می شود. سپس در آخرین آنها، جایی که دقیقاً فقط یک متغیر اساسی باقی مانده است، در یک طرف باقی می ماند و بقیه چیزها به طرف دیگر منتقل می شود. این برای هر معادله با یک متغیر اساسی انجام می شود. سپس در بقیه معادلات در حد امکان به جای متغیر پایه عبارت بدست آمده برای آن جایگزین می شود. اگر در نتیجه، عبارتی دوباره ظاهر شد که فقط یک متغیر اساسی داشت، دوباره از آنجا بیان می‌شود و به همین ترتیب تا زمانی که هر متغیر پایه به‌عنوان عبارتی با متغیرهای آزاد نوشته شود. این راه حل کلی SLAE است.

شما همچنین می توانید راه حل اصلی سیستم را پیدا کنید - به متغیرهای رایگان هر مقداری بدهید و سپس برای این مورد خاص مقادیر متغیرهای اساسی را محاسبه کنید. بی نهایت راه حل های خاص وجود دارد.

راه حل با مثال های خاص

اینجا سیستم معادلات است.

برای راحتی، بهتر است بلافاصله ماتریس آن را ایجاد کنید

مشخص است که هنگام حل با روش گاوس، معادله مربوط به ردیف اول در پایان تبدیل ها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اگر عنصر سمت چپ بالای ماتریس کوچکترین باشد، سود بیشتری خواهد داشت - سپس اولین عناصر ردیف های باقی مانده پس از عملیات به صفر تبدیل می شوند. این بدان معنی است که در ماتریس کامپایل شده، قرار دادن دومی به جای ردیف اول سودمند خواهد بود.

خط دوم: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

خط سوم: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

حال برای اینکه گیج نشویم لازم است ماتریس را با نتایج میانی تبدیل ها یادداشت کنیم.

بدیهی است که با کمک برخی عملیات می توان چنین ماتریسی را برای درک راحت تر کرد. به عنوان مثال، می توانید با ضرب هر عنصر در "-1" تمام "منهای" را از خط دوم حذف کنید.

همچنین شایان ذکر است که در ردیف سوم همه عناصر مضرب سه هستند. سپس می توانید رشته را با این عدد کوتاه کنید و هر عنصر را در "-1/3" ضرب کنید (منهای - در همان زمان، برای حذف مقادیر منفی).

خیلی قشنگتر به نظر میرسه حالا باید خط اول را رها کنیم و با خط دوم و سوم کار کنیم. وظیفه این است که ردیف دوم را به ردیف سوم اضافه کنید، در ضریب ضرب شده ای که عنصر a 32 برابر با صفر شود.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 کسر مشترکو تنها پس از دریافت پاسخ ها، تصمیم بگیرید که آیا جمع آوری شده و به شکل دیگری از رکورد ترجمه شود)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

ماتریس دوباره با مقادیر جدید نوشته می شود.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

همانطور که می بینید، ماتریس حاصل از قبل یک فرم پلکانی دارد. بنابراین، تغییرات بیشتر سیستم با روش گاوس مورد نیاز نیست. کاری که در اینجا می توان انجام داد حذف ضریب کلی "-1/7" از خط سوم است.

حالا همه چیز زیباست. نکته کوچک است - دوباره ماتریس را به شکل یک سیستم معادلات بنویسید و ریشه ها را محاسبه کنید

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

الگوریتمی که اکنون ریشه ها را با آن پیدا می کنند، حرکت معکوس در روش گاوس نامیده می شود. معادله (3) حاوی مقدار z است:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

و معادله اول به شما امکان می دهد x را پیدا کنید:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

ما حق داریم چنین سیستمی را مشترک و حتی قطعی بنامیم، یعنی داشتن راه حل منحصر به فرد. پاسخ به شکل زیر نوشته شده است:

x 1 \u003d -2/3، y \u003d -65/9، z \u003d 61/9.

نمونه ای از سیستم نامعین

نوع حل یک سیستم معین به روش گاوس مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است، اکنون باید این مورد را در نظر گرفت که سیستم نامشخص است، یعنی بی نهایت راه حل های زیادی برای آن یافت می شود.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

شکل سیستم در حال حاضر هشدار دهنده است، زیرا تعداد مجهولات n = 5 است، و رتبه ماتریس سیستم در حال حاضر دقیقاً کمتر از این عدد است، زیرا تعداد ردیف ها m = 4 است، یعنی، بزرگترین مرتبه تعیین کننده مربع 4 است. این به این معنی است که تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد و باید شکل کلی آن را جستجو کرد. روش گاوس برای معادلات خطی این امکان را می دهد.

ابتدا طبق معمول ماتریس تقویت شده کامپایل می شود.

خط دوم: ضریب k = (-a 21 / a 11) = -3. در خط سوم، اولین عنصر قبل از تبدیل ها است، بنابراین لازم نیست چیزی را لمس کنید، باید آن را همانطور که هست رها کنید. خط چهارم: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

با ضرب عناصر ردیف اول در هر یک از ضرایب آنها و اضافه کردن آنها به ردیف های مورد نظر، ماتریسی به شکل زیر بدست می آید:

همانطور که می بینید ردیف های دوم، سوم و چهارم از عناصری تشکیل شده اند که متناسب با یکدیگر هستند. دوم و چهارم به طور کلی یکسان هستند، بنابراین یکی از آنها را می توان بلافاصله حذف کرد، و بقیه را در ضریب "-1" ضرب کرد و خط شماره 3 را دریافت کرد. و دوباره، یکی از دو خط یکسان را ترک کنید.

چنین ماتریسی معلوم شد. این سیستم هنوز نوشته نشده است، در اینجا لازم است متغیرهای اساسی را تعیین کنید - با ضرایب 11 \u003d 1 و 22 \u003d 1 و رایگان - بقیه.

معادله دوم فقط یک متغیر اساسی دارد - x 2 . از این رو، می توان آن را از آنجا بیان کرد، با نوشتن از طریق متغیرهای x 3 , x 4 , x 5 که آزاد هستند.

عبارت به دست آمده را در معادله اول جایگزین می کنیم.

معادله ای به دست آمد که در آن تنها متغیر اصلی x 1 است. بیایید همان کار را با x 2 انجام دهیم.

همه متغیرهای اساسی که دوتا از آنها وجود دارد بر حسب سه متغیر آزاد بیان می شوند، اکنون می توانید پاسخ را به صورت کلی بنویسید.

همچنین می توانید یکی از راه حل های خاص سیستم را مشخص کنید. برای چنین مواردی، به عنوان یک قاعده، صفرها به عنوان مقادیر برای متغیرهای آزاد انتخاب می شوند. سپس پاسخ این خواهد بود:

16, 23, 0, 0, 0.

نمونه ای از یک سیستم ناسازگار

حل سیستم های معادلات ناسازگار با روش گاوس سریع ترین است. به محض اینکه در یکی از مراحل معادله ای به دست می آید که جوابی ندارد به پایان می رسد. یعنی مرحله با محاسبه ریشه که کاملا طولانی و کسالت بار است از بین می رود. سیستم زیر در نظر گرفته شده است:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

طبق معمول، ماتریس کامپایل شده است:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

و به شکل پلکانی تقلیل می یابد:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

پس از اولین تبدیل، خط سوم شامل یک معادله از فرم است

بدون راه حل بنابراین، سیستم ناسازگار است و پاسخ مجموعه خالی است.

مزایا و معایب روش

اگر روش حل SLAE را روی کاغذ با قلم انتخاب کنید، روشی که در این مقاله در نظر گرفته شده است جذاب ترین به نظر می رسد. در تبدیل‌های ابتدایی، گیج شدن بسیار دشوارتر از آن است که شما به صورت دستی به دنبال تعیین کننده یا ماتریس معکوس پیچیده باشید. با این حال، اگر از برنامه هایی برای کار با داده هایی از این نوع، به عنوان مثال، صفحات گسترده استفاده می کنید، معلوم می شود که چنین برنامه هایی قبلاً حاوی الگوریتم هایی برای محاسبه پارامترهای اصلی ماتریس ها - تعیین کننده، جزئی، معکوس و غیره هستند. و اگر مطمئن هستید که ماشین خودش این مقادیر را محاسبه می کند و اشتباه نمی کند، بهتر است از روش ماتریس یا فرمول های کرامر استفاده کنید، زیرا کاربرد آنها با محاسبه عوامل تعیین کننده شروع و پایان می یابد. ماتریس های معکوس.

کاربرد

از آنجایی که راه حل گاوسی یک الگوریتم است و ماتریس در واقع یک آرایه دو بعدی است، می توان از آن در برنامه نویسی استفاده کرد. اما از آنجایی که مقاله خود را به عنوان یک راهنمای "برای ساختگی ها" قرار می دهد، باید گفت که ساده ترین مکان برای قرار دادن روش در صفحات گسترده، به عنوان مثال، اکسل است. مجدداً، هر SLAE وارد شده در جدول به شکل ماتریس توسط اکسل به عنوان یک آرایه دو بعدی در نظر گرفته می شود. و برای عملیات با آنها، دستورات خوبی وجود دارد: جمع (شما فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید!)، ضرب در یک عدد، ضرب ماتریس (همچنین با محدودیت های خاص)، پیدا کردن ماتریس های معکوس و جابجا شده و از همه مهمتر ، محاسبه دترمینان. اگر این کار وقت گیر با یک فرمان جایگزین شود، تعیین رتبه یک ماتریس و در نتیجه تعیین سازگاری یا ناسازگاری آن بسیار سریعتر است.

امروز به روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی می پردازیم. در مقاله قبلی که به حل همان SLAE با روش کرامر اختصاص داده شده است، می توانید در مورد اینکه این سیستم ها چیستند. روش گاوس به دانش خاصی نیاز ندارد، فقط به دقت و ثبات نیاز است. علیرغم اینکه از نظر ریاضی، آمادگی مدرسه برای به کارگیری آن کافی است، تسلط بر این روش اغلب دانش آموزان را با مشکل مواجه می کند. در این مقاله سعی می کنیم آنها را به هیچ کاهش دهیم!

روش گاوس

م روش گاوس- اکثر روش عمومیراه حل های SLAE (به استثنای، خوب، بسیار سیستم های بزرگ). برخلاف آنچه قبلاً بحث شد، نه تنها برای سیستم هایی که راه حل منحصر به فرد دارند، بلکه برای سیستم هایی که تعداد بی نهایت راه حل دارند نیز مناسب است. در اینجا سه ​​گزینه وجود دارد.

1. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نیست).
2. این سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.
3. هیچ راه حلی وجود ندارد، سیستم ناسازگار است.

بنابراین، ما یک سیستم داریم (اجازه دهید یک راه حل داشته باشد)، و می خواهیم آن را با استفاده از روش گاوسی حل کنیم. چگونه کار می کند؟

روش گاوسی شامل دو مرحله است - مستقیم و معکوس.

روش گاوس مستقیم

ابتدا ماتریس افزوده شده سیستم را می نویسیم. برای این کار، ستونی از اعضای آزاد را به ماتریس اصلی اضافه می کنیم.

تمام ماهیت روش گاوسی این است که این ماتریس را با استفاده از دگرگونی های ابتدایی به شکل پلکانی (یا همانطور که می گویند مثلثی) کاهش دهیم. در این شکل، فقط باید صفرها در زیر (یا بالاتر) قطر اصلی ماتریس وجود داشته باشد.

چه کاری می توان انجام داد:

1. شما می توانید ردیف های ماتریس را دوباره مرتب کنید.
2. اگر ردیف های یکسان (یا متناسب) در ماتریس وجود دارد، می توانید همه آنها را به جز یکی حذف کنید.
3. شما می توانید یک رشته را در هر عددی ضرب یا تقسیم کنید (به جز صفر).
4. خطوط صفر حذف می شوند.
5. می توانید یک رشته ضرب در یک عدد غیر صفر به یک رشته اضافه کنید.

روش گاوس معکوس

بعد از اینکه سیستم را به این شکل تبدیل کردیم، یک ناشناخته xn معلوم می شود و می توان تمام مجهولات باقیمانده را به ترتیب معکوس پیدا کرد و x های شناخته شده را تا اولین معادلات سیستم جایگزین کرد.

هنگامی که اینترنت همیشه در دسترس است، می توانید سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوس حل کنید برخط .تنها کاری که باید انجام دهید این است که شانس ها را در ماشین حساب آنلاین وارد کنید. اما باید اعتراف کنید، درک این موضوع بسیار خوشایندتر است که این مثال توسط یک برنامه رایانه ای حل نشده است، بلکه توسط مغز خود شما حل شده است.

نمونه ای از حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس

و اکنون - یک مثال، به طوری که همه چیز واضح و قابل درک شود. اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود و حل آن با روش گاوس ضروری است:

ابتدا بیایید ماتریس تقویت شده را بنویسیم:

حال بیایید نگاهی به تحولات بیندازیم. به یاد داشته باشید که ما باید به شکل مثلثی از ماتریس برسیم. ردیف اول را در (3) ضرب کنید. ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید ردیف 2 را به ردیف 1 اضافه کنیم و دریافت کنیم:

سپس ردیف سوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:

ردیف اول را در (6) ضرب کنید. ردیف دوم را در (13) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

Voila - سیستم به فرم مناسب آورده می شود. باقی مانده است که مجهولات را پیدا کنیم:

سیستم در این مثال یک راه حل منحصر به فرد دارد. حل سیستم هایی با مجموعه بی نهایت راه حل را در مقاله ای جداگانه بررسی خواهیم کرد. شاید در ابتدا ندانید که با تبدیل ماتریس از کجا شروع کنید، اما پس از تمرین مناسب به آن دست خواهید یافت و مانند آجیل بر روی SLAE Gaussian کلیک خواهید کرد. و اگر به طور ناگهانی با یک SLOW مواجه شدید، که معلوم می شود نیز همینطور است مهره سختبا نویسندگان ما تماس بگیرید! می توانید با گذاشتن یک برنامه در مکاتبات. با هم هر مشکلی را حل خواهیم کرد!

روش گاوس آسان است!چرا؟ یوهان کارل فردریش گاوس، ریاضیدان معروف آلمانی، در طول زندگی خود، به عنوان بزرگترین ریاضیدان تمام دوران، یک نابغه شناخته شد و حتی لقب "پادشاه ریاضیات" را دریافت کرد. و همه چیز مبتکرانه، همانطور که می دانید، ساده است!به هر حال، نه تنها مکنده ها، بلکه نابغه ها نیز به پول می افتند - پرتره گاوس بر روی اسکناس 10 مارک آلمانی (قبل از معرفی یورو) به نمایش گذاشته شد و گاوس هنوز به طور مرموزی از روی تمبرهای پستی معمولی به آلمانی ها لبخند می زند.

روش گاوس از این جهت ساده است که دانش یک دانش آموز کلاس پنجم برای تسلط بر آن کافی است. باید قادر به جمع و ضرب باشد!تصادفی نیست که روش حذف متوالی مجهولات اغلب توسط معلمان در درس های انتخابی ریاضی مدرسه مورد توجه قرار می گیرد. این یک پارادوکس است، اما روش گاوس بیشترین مشکلات را برای دانش آموزان ایجاد می کند. هیچ چیز تعجب آور نیست - همه چیز در مورد روش است و من سعی خواهم کرد به شکلی در دسترس در مورد الگوریتم روش بگویم.

ابتدا دانش مربوط به سیستم های معادلات خطی را کمی نظام مند می کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

روش گاوس قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد یا ناسازگار است نامناسب هستند. روشی برای حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ هدایت کنید! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله برای موقعیت های شماره 2-3 محفوظ است. متذکر می شوم که خود الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند.

بازگشت به ساده ترین سیستماز درس چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟
و با استفاده از روش گاوسی حل کنید.

اولین قدم نوشتن است سیستم ماتریس توسعه یافته:
. ضرایب با چه اصولی ثبت می شود، فکر می کنم همه می توانند ببینند. خط عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - این فقط یک خط خطی برای سهولت طراحی است.

ارجاع :توصیه می کنم به خاطر بسپارید مقرراتجبر خطی. ماتریس سیستمماتریسی است که فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال، ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافتههمان ماتریس سیستم به اضافه ستونی از عبارات آزاد است، در این مورد: . هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

پس از اینکه ماتریس توسعه یافته سیستم نوشته شد، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آنها نیز گفته می شود. تحولات ابتدایی.

تحولات ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید با خیال راحت ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر در ماتریس سطرهای متناسب (یا ظاهر شده) متناسب (به عنوان حالت خاص - یکسان) وجود داشته باشد، از آن پیروی می کند. حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید . در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف. من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن فقط صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)برای هر شماره غیر صفر. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: . این اقدامبسیار مفید است زیرا تبدیل های بیشتر ماتریس را ساده می کند.

5) این دگرگونی بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است. ماتریس ما را از در نظر بگیرید مطالعه موردی: . ابتدا، من تحول را با جزئیات کامل شرح خواهم داد. ردیف اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه می کنیم: . اکنون خط اول را می توان "بازگشت" به -2 تقسیم کرد: . همانطور که می بینید، خطی که اضافه شده است LI – تغییر نکرده است. همیشه ... هستخط تغییر کرده است که به آن اضافه شده است UT.

البته، در عمل، آنها با این جزئیات نقاشی نمی کنند، اما کوتاه تر می نویسند:

بار دیگر: به خط دوم ردیف اول ضرب در -2 را اضافه کرد. خط معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که دوره ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

ماتریس را بازنویسی می کنم و ردیف اول را بازنویسی می کنم: »

اول ستون اول در زیر باید صفر بگیرم. بنابراین، واحد بالا را در -2: ضرب می کنم و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (-2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

اکنون ستون دوم. بالای -1 برابر -2: . اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را به خط دوم می نویسم: »

و ستون سوم. بالای -5 برابر -2: . خط اول را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً به دقت در مورد این مثال فکر کنید و الگوریتم محاسبه متوالی را درک کنید، اگر این را درک می کنید، روش گاوس عملاً "در جیب شما" است. اما، البته، ما همچنان روی این تحول کار می کنیم.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه: دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" ماتریس هابه هیچ وجه نباید چیزی را در داخل ماتریس ها تنظیم مجدد کنید!

بیایید به سیستم خود برگردیم. او عملاً تکه تکه شده است.

اجازه دهید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش دهیم نمای پلکانی:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. و دوباره: چرا ردیف اول را در -2 ضرب می کنیم؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی – تبدیل ماتریس به فرم مرحله ای: . در طراحی کار مستقیماً تأکید می کنند با یک مداد ساده"نردبان"، و همچنین اعدادی را که در "پله ها" قرار دارند دور بزنید. اصطلاح "نمای پلکانی" به خودی خود کاملاً نظری نیست، در علم و ادبیات آموزشیاغلب نامیده می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آورده ایم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "پیچیده" شود - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوس معکوس.

در معادله پایین، نتیجه نهایی را داریم: .

اولین معادله سیستم را در نظر بگیرید و از قبل آن را جایگزین کنید ارزش شناخته شده"یگ":

رایج ترین وضعیتی را در نظر بگیرید که روش گاوسی برای حل مورد نیاز است سهمعادلات خطی در سه مجهول

مثال 1

حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس:

بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید:

و تکرار می کنم، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. از کجا باید اقدام کرد؟

ابتدا به شماره بالا سمت چپ نگاه کنید:

تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد. به طور کلی، -1 (و گاهی اوقات اعداد دیگر) نیز مناسب است، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که معمولا یک واحد در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد تمام شده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

حالا خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند. حالا خوبه

واحد در بالا سمت چپ سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

صفرها فقط با کمک یک تبدیل "سخت" به دست می آیند. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای بدست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ نیاز داشتن به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب می کنیم: (-2، -4، 2، -18). و ما پیوسته (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه در خط دوم نوشته شده است:

به همین ترتیب با خط سوم (3، 2، -5، -1) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب می کنیم: (-3، -6، 3، -27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه می کنیم:

نتیجه در خط سوم نوشته شده است:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله نوشته می شود:

نیازی نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید. ترتیب محاسبات و "درج" نتایج استوارو معمولاً به این صورت است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را آرام پف می کنیم - به طور مداوم و با دقت:


و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا در نظر گرفته ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است، ما خط دوم را بر 5- تقسیم می کنیم (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در عین حال خط سوم را بر 2- تقسیم می کنیم، زیرا چه کمتر از عدد، موضوعات راه حل ساده تر:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، یک صفر دیگر باید در اینجا به دست آید:

برای این به خط سوم، خط دوم را در 2- ضرب می کنیم:


سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و جمع را انجام دهید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد:

سرد.

اکنون مسیر معکوس روش گاوسی وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز می شوند".

در معادله سوم، نتیجه نهایی را داریم:

بیایید به معادله دوم نگاه کنیم: . معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت معادله اول: . «ی» و «ز» معلوم است، موضوع کوچک است:

پاسخ:

همانطور که بارها اشاره شد، برای هر سیستم معادلات، بررسی راه حل یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه این کار دشوار و سریع نیست.

مثال 2

این یک مثال برای حل خود، نمونه اتمام و پاسخ در پایان درس است.

لازم به ذکر است که شما دوره عملممکن است با مسیر عمل من مطابقت نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است. اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را انجام دادم:
(1) به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. کسانی که می خواهند 1+ بگیرند می توانند یک حرکت اضافی انجام دهند: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) ردیف اول ضرب در 5 به ردیف دوم اضافه شد و ردیف اول ضرب در 3 به ردیف سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

(4) خط دوم ضرب در 2 به خط سوم اضافه شد.

(5) ردیف سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده یک خطای محاسباتی است (کمتر یک اشتباه تایپی) یک خط پایانی "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه زیر بدست آوریم و بر این اساس ، پس با درجه احتمال بالایی می توان استدلال کرد که در جریان تحولات ابتدایی خطایی رخ داده است.

ما حرکت معکوس را شارژ می کنیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". معکوس، یادآوری می کنم، از پایین به بالا کار می کند. بله، این یک هدیه است:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

این نمونه ای برای یک راه حل مستقل است، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. راه حل کاملو نمونه طراحی در پایان درس. راه حل شما ممکن است با من متفاوت باشد.

در بخش آخر به بررسی برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم.
اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال:

چگونه ماتریس افزوده شده سیستم را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی. در ماتریس توسعه یافته سیستم، صفرها را به جای متغیرهای گمشده قرار می دهیم:

اتفاقاً کاملاً است مثال آسان، از آنجایی که قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم این است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. ممکن است اعداد دیگری وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما یک دوش داریم. اما ما متوجه این واقعیت هستیم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بدون باقی مانده بخش پذیر هستند - و دو و شش دیگر. و دوسه در بالا سمت چپ مناسب ما خواهد بود! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به این ترتیب، صفرهای مورد نظر را در ستون اول به دست خواهیم آورد.

یا مثل این مثال شرطی: . در اینجا، سه گانه در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: به خط سوم، خط دوم را ضرب در -4 اضافه کنید، در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. با اطمینان یاد بگیرید که سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریسی) می تواند به معنای واقعی کلمه اولین بار باشد - یک الگوریتم بسیار دقیق وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا ممکن است سردرگمی، اشتباه در محاسبات وجود داشته باشد و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییزی بیرون از پنجره .... بنابراین، برای همه بیشتر مثال پیچیدهبرای راه حل مستقل:

مثال 5

یک سیستم چهار معادله خطی با چهار مجهول را با استفاده از روش گاوس حل کنید.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم که حتی قوری که این صفحه را با جزئیات مطالعه کرده است، الگوریتم حل چنین سیستمی را به طور مستقیم درک می کند. اساساً یکسان است - فقط اقدام بیشتر.

مواردی که سیستم راه حلی نداشته باشد (ناسازگار) یا بی نهایت راه حل دارد در درس سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل کلی در نظر گرفته می شود. در آنجا می توانید الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس را اصلاح کنید.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های اولیه، آن را به شکل پلکانی برسانیم.


تحولات ابتدایی را انجام داد:
(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1. توجه!در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من اکیداً تفریق را توصیه نمی کنم - خطر خطا به شدت افزایش می یابد. ما فقط تا می کنیم!
(2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در 1-). خط دوم و سوم عوض شده است. توجه داشته باشیدکه در "پله ها" ما نه تنها با یک، بلکه با -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است.
(3) به خط سوم، خط دوم را در 5 ضرب کنید.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم بر 14 تقسیم شد.

حرکت معکوس:

پاسخ: .

مثال 4: راه حل : ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

تبدیل های انجام شده:
(1) خط دوم به خط اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" بالا سمت چپ سازماندهی شده است.
(2) ردیف اول ضرب در 7 به ردیف دوم اضافه شد و ردیف اول ضرب در 6 به ردیف سوم اضافه شد.

با "گام" دوم همه چیز بدتر است ، "نامزدهای" آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود

(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.
(4) خط سوم ضرب در 3- به خط دوم اضافه شد.
(3) خط دوم ضرب در 4 به خط سوم اضافه شد و خط دوم ضرب در -1 به خط چهارم اضافه شد.
(4) علامت خط دوم تغییر کرده است. خط چهارم بر 3 تقسیم شد و به جای خط سوم قرار گرفت.
(5) خط سوم ضرب در 5- به خط چهارم اضافه شد.

حرکت معکوس: