رتبه یک ماتریس با 5 ستون را پیدا کنید. محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل های ابتدایی

فرض کنید A ماتریسی از ابعاد m\ بار n و k باشد عدد طبیعی، از m و n تجاوز نمی کند: k\leqslant\min\(m;n\). مرتبه k-ام جزئیماتریس A تعیین کننده ماتریس مرتبه k است که توسط عناصری در تقاطع k ردیف و k ستون ماتریس A که به طور دلخواه انتخاب شده اند تشکیل شده است. با نشان دادن مینورها، اعداد سطرهای انتخاب شده با شاخص های بالا و اعداد ستون های انتخاب شده با شاخص های پایین نشان داده می شوند و آنها را به ترتیب صعودی مرتب می کنند.

مثال 3.4.مینورهای ترتیبات ماتریس های مختلف را بنویسید

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

راه حل.ماتریس A دارای ابعاد 3\times4 است. دارای: 12 مینور درجه 1، به عنوان مثال، مینور M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; به عنوان مثال، 18 خردسال درجه 2، M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; به عنوان مثال، 4 خردسال درجه 3،

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

در m\times n ماتریس A، مینور مرتبه r فراخوانی می شود پایه ای، اگر غیر صفر باشد و همه مینورها (r + 1) -ro برابر با صفر باشند یا اصلا وجود نداشته باشند.

رتبه ماتریسیمرتبه پایه مینور نامیده می شود. هیچ پایه جزئی در ماتریس صفر وجود ندارد. بنابراین، رتبه یک ماتریس صفر، طبق تعریف، صفر در نظر گرفته می شود. رتبه یک ماتریس A مشخص می شود \operatorname(rg)A.

مثال 3.5.همه مینورهای پایه و رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

راه حل.همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا ردیف سوم این تعیین کننده ها صفر است. بنابراین، فقط یک مینور مرتبه دوم که در دو ردیف اول ماتریس قرار دارد، می تواند پایه باشد. با گذر از 6 مینور ممکن، غیر صفر را انتخاب می کنیم

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!،\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12)) = \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!،\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

هر یک از این پنج خردسال پایه هستند. بنابراین، رتبه ماتریس 2 است.

اظهارات 3.2

1. اگر در ماتریس همه مینورهای مرتبه k برابر با صفر باشند، مینورهای مرتبه بالاتر نیز برابر با صفر هستند. در واقع، با گسترش (k + 1)-ro مینور بر روی هر ردیف، مجموع حاصلضرب عناصر این ردیف را با مینورهای مرتبه k به دست می آوریم و آنها برابر با صفر هستند.

2. رتبه یک ماتریس برابر است با بزرگترین مرتبه مینور غیر صفر این ماتریس.

3. اگر یک ماتریس مربع غیر منحط باشد، رتبه آن برابر با ترتیب آن است. اگر یک ماتریس مربع منحط باشد، رتبه آن کمتر از مرتبه آن است.

4. از عناوین برای رتبه نیز استفاده می شود \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rank)A,~ \operatorname(rank)A.

5. رتبه ماتریس بلوکبه عنوان رتبه یک ماتریس معمولی (عددی) تعریف می شود، یعنی. صرف نظر از ساختار بلوکی آن. در این حالت، رتبه ماتریس بلوک کمتر از رتبه بلوک های آن نیست: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Aو \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B، از آنجایی که تمام مینورهای ماتریس A (یا B ) نیز جزئی های ماتریس بلوک (A\mid B) هستند.

قضایا بر اساس مینور و بر اساس رتبه یک ماتریس

اجازه دهید قضایای اصلی را در نظر بگیریم که ویژگی‌های وابستگی خطی و استقلال خطی ستون‌ها (ردیف‌ها) یک ماتریس را بیان می‌کنند.

قضیه 3.1 در مینور پایه.در یک ماتریس دلخواه A، هر ستون (ردیف) ترکیبی خطی از ستون‌ها (ردیف‌ها) است که پایه جزئی در آن قرار دارد.

در واقع، بدون از دست دادن کلیت، فرض می‌کنیم که در m\times n ماتریس A، مینور پایه در اولین ردیف‌های r و اولین ستون‌های r قرار دارد. تعیین کننده را در نظر بگیرید

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix)،

که با انتساب به مینور پایه ماتریس A متناظر به دست می آید عناصر s-thسطر و ستون k. توجه داشته باشید که برای هر 1\leqslant s\leqslant mو این تعیین کننده صفر است. اگر s\leqslant r یا k\leqslant r باشد، دترمینان D شامل دو سطر یکسان یا دو ستون یکسان است. اگر s>r و k>r باشد، دترمینال D برابر با صفر است، زیرا جزئی از مرتبه (r+l)-ro است. با گسترش دترمینان روی ردیف آخر، به دست می آوریم

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0،

جایی که D_(r+1\,j) - اضافات جبریعناصر خط آخر توجه داشته باشید که D_(r+1\,r+1)\ne0، زیرا این یک مینور اولیه است. از همین رو

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr)، جایی که \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1))،~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

آن ها ستون k -ام (برای هر 1\leqslant k\leqslant n) ترکیبی خطی از ستون های مینور اصلی است که قرار بود اثبات شود.

قضیه جزئی پایه در خدمت اثبات قضایای مهم زیر است.

شرط مساوی بودن دترمینان

قضیه 3.2 (ضروری و شرایط کافیناپدید شدن عامل تعیین کننده).برای اینکه یک تعیین کننده برابر با صفر باشد، لازم و کافی است که یکی از ستون های آن (یکی از ردیف های آن) ترکیبی خطی از بقیه ستون ها (ردیف ها) باشد.

در واقع، این ضرورت از قضیه جزئی اساسی ناشی می شود. اگر تعیین کننده یک ماتریس مربع از مرتبه n برابر با صفر باشد، رتبه آن کمتر از n است، یعنی. حداقل یک ستون در پایه جزئی گنجانده نشده است. سپس این ستون انتخاب شده، توسط قضیه 3.1، ترکیبی خطی از ستون‌های حاوی مینور پایه است. با اضافه کردن ستون های دیگر با ضرایب صفر در صورت لزوم به این ترکیب، به این نتیجه می رسیم که ستون انتخابی ترکیبی خطی از ستون های باقیمانده ماتریس است. کفایت از خواص تعیین کننده حاصل می شود. اگر مثلاً آخرین ستون A_n تعیین کننده باشد \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)به صورت خطی بر حسب بقیه بیان می شود

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1)،

سپس ستون A_1 ضرب در (-\lambda_1) را به A_n اضافه می کنیم، سپس ستون A_2 را در (-\lambda_2) ضرب می کنیم و به همین ترتیب. ستون A_(n-1) ضرب در (-\lambda_(n-1)) تعیین می شود \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)با یک ستون صفر که برابر با صفر است (خاصیت 2 تعیین کننده).

تغییر ناپذیری رتبه ماتریس تحت تبدیل های ابتدایی

قضیه 3.3 (در مورد عدم تغییر رتبه تحت تبدیل های ابتدایی). تحت تبدیل های ابتدایی ستون ها (ردیف ها) یک ماتریس، رتبه آن تغییر نمی کند.

در واقع، اجازه دهید. فرض کنید در نتیجه یک تبدیل ابتدایی ستون‌های ماتریس A، ماتریس A را به دست آوردیم. اگر یک تبدیل نوع I انجام شود (جایگشت دو ستون)، آنگاه هر جزئی (r + l)-ro از ترتیب ماتریس A" یا برابر با مینور مربوطه (r + l ) -ro از ترتیب ماتریس A است یا از نظر علامت با آن متفاوت است (خاصیت 3 تعیین کننده). اگر تبدیل نوع II انجام شده باشد (ضرب ستون در عدد \lambda\ne0)، آنگاه هر مینور (r+l)-ro از مرتبه ماتریس A" یا برابر با مینور مربوطه (r+l) است. ro از ترتیب ماتریس A است، یا با ضریب آن \lambda\ne0 متفاوت است (ویژگی 6 تعیین کننده). اگر یک تبدیل نوع III انجام شده باشد (به یک ستون از ستون دیگر ضرب در عدد \Lambda شود)، سپس هر مینور از (r + 1) امین مرتبه ماتریس A" یا برابر با مینور متناظر (r + 1) -امین مرتبه ماتریس A (خاصیت 9 تعیین کننده) است، یا برابر با مجموع استدو مینور (r+l)-ro از ترتیب ماتریس A (خاصیت 8 تعیین کننده). بنابراین، تحت یک تبدیل ابتدایی از هر نوع، همه مینورها (r + l) - ro از مرتبه ماتریس A برابر با صفر هستند، زیرا همه مینورها (r + l) - ro از ترتیب ماتریس A هستند. برابر با صفر است.بنابراین ثابت می‌شود که تحت تبدیل‌های ابتدایی ستون‌ها، ماتریس‌های رتبه نمی‌توانند افزایش پیدا کنند. از آنجایی که تبدیل‌های معکوس به ابتدایی ابتدایی هستند، رتبه یک ماتریس نمی‌تواند تحت تبدیل‌های ابتدایی ستون‌ها کاهش یابد، یعنی تغییر نمی‌کند. به طور مشابه ثابت می شود که رتبه یک ماتریس تحت تبدیل های ابتدایی ردیف ها تغییر نمی کند.

نتیجه 1. اگر یک سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای دیگر آن (ستون) باشد، این سطر (ستون) را می توان بدون تغییر رتبه آن از ماتریس حذف کرد.

در واقع، چنین رشته ای را می توان با استفاده از تبدیل های ابتدایی تهی کرد و رشته تهی را نمی توان در مینور اصلی گنجاند.

نتیجه 2. اگر ماتریس به ساده ترین شکل خود (1.7) کاهش یابد، پس

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

در واقع، ماتریس ساده‌ترین شکل (1.7) دارای پایه مینور از مرتبه rام است.

نتیجه 3. هر ماتریس مربع غیرمفرد، ابتدایی است، به عبارت دیگر، هر ماتریس مربع غیرمفرد معادل ماتریس هویت همان مرتبه است.

در واقع، اگر A یک ماتریس مربع غیرمفرد از مرتبه n باشد، آنگاه \operatorname(rg)A=n(نگاه کنید به نکته 3 از اظهارات 3.2). بنابراین، با کاهش ماتریس A به ساده ترین شکل (1.7) با تبدیل های ابتدایی، ماتریس هویت \Lambda=E_n را به دست می آوریم، زیرا \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(به نتیجه 2 مراجعه کنید). بنابراین، ماتریس A معادل ماتریس هویت E_n است و می توان از آن در نتیجه تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی به دست آورد. این بدان معناست که ماتریس A ابتدایی است.

قضیه 3.4 (در رتبه یک ماتریس). رتبه یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی این ماتریس است.

در واقع، اجازه دهید \operatorname(rg)A=r. سپس ماتریس A دارای r ردیف های مستقل خطی است. اینها خطوطی هستند که مینور اصلی در آنها قرار دارد. اگر آنها به صورت خطی وابسته بودند، آنگاه این جزئی با قضیه 3.2 برابر با صفر خواهد بود و رتبه ماتریس A برابر با r نخواهد بود. اجازه دهید نشان دهیم که r حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی است، یعنی. هر ردیف p به صورت خطی به p>r وابسته است. در واقع، ما یک ماتریس B از این ردیف‌های p تشکیل می‌دهیم. از آنجایی که ماتریس B بخشی از ماتریس A است، پس \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

این بدان معنی است که حداقل یک ردیف از ماتریس B در مینور اصلی این ماتریس گنجانده نشده است. سپس با قضیه مینور مبنا برابر است با ترکیب خطی ردیف هایی که پایه مینور در آن قرار دارد. بنابراین، ردیف های ماتریس B به صورت خطی وابسته هستند. بنابراین، ماتریس A حداکثر دارای r ردیف مستقل خطی است.

نتیجه 1. حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی در یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد ستون‌های مستقل خطی:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

اگر در ردیف‌های ماتریس جابجا شده اعمال شود و در نظر گرفته شود که مینورها با جابجایی تغییر نمی‌کنند، از قضیه 3.4 نتیجه می‌شود.

نتیجه 2. تحت تبدیل های ابتدایی ردیف های یک ماتریس، وابستگی خطی (یا استقلال خطی) هر سیستم از ستون های این ماتریس حفظ می شود.

در واقع، ما هر k ستون از ماتریس A را انتخاب می کنیم و ماتریس B را از آنها تشکیل می دهیم. بگذارید در نتیجه تبدیل‌های ابتدایی ردیف‌های ماتریس A، ماتریس A به دست آمد و در نتیجه همان تبدیل‌های ردیف‌های ماتریس B، ماتریس B به دست آمد. توسط قضیه 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. بنابراین، اگر ستون‌های ماتریس B مستقل خطی باشند، یعنی. k=\operatorname(rg)B(به نتیجه 1 مراجعه کنید)، سپس ستون های ماتریس B" نیز به صورت خطی مستقل هستند، زیرا k=\نام اپراتور(rg)B". اگر ستون های ماتریس B به صورت خطی وابسته بودند (k>\operatorname(rg)B)، سپس ستون های ماتریس B" نیز به صورت خطی وابسته هستند (k>\operatorname(rg)B"). بنابراین، برای هر ستونی از ماتریس A، وابستگی خطی یا استقلال خطی تحت تبدیل‌های ردیف ابتدایی حفظ می‌شود.

اظهارات 3.3

1. بر اساس نتیجه 1 قضیه 3.4، ویژگی ستون نشان داده شده در نتیجه 2 نیز برای هر سیستمی از ردیف های ماتریسی معتبر است اگر تبدیل های اولیه فقط روی ستون های آن انجام شود.

2. نتیجه 3 قضیه 3.3 را می توان به شرح زیر اصلاح کرد: هر ماتریس مربع غیرمفرد، با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی فقط ردیف‌هایش (یا فقط ستون‌های آن)، می‌تواند به یک ماتریس هویت با همان ترتیب کاهش یابد.

در واقع، تنها با استفاده از تبدیل‌های ردیف ابتدایی، هر ماتریس A را می‌توان به شکل ساده شده لامبدا کاهش داد (شکل 1.5) (به قضیه 1.1 مراجعه کنید). از آنجایی که ماتریس A غیر منفرد است (\det(A)\ne0)، ستون های آن به صورت خطی مستقل هستند. از این رو، ستون های ماتریس لامبدا نیز به صورت خطی مستقل هستند (نتیجه 2 قضیه 3.4). بنابراین، شکل ساده شده \Lambda ماتریس غیر مفرد A با ساده‌ترین شکل آن مطابقت دارد (شکل 1.6) و ماتریس هویت \Lambda=E است (به نتیجه 3 قضیه 3.3 مراجعه کنید). بنابراین، با تبدیل تنها ردیف‌های یک ماتریس غیرمفرد، می‌توان آن را به یک ماتریس همسان تقلیل داد. استدلال مشابه برای تبدیل‌های ابتدایی ستون‌های یک ماتریس غیرتکین نیز معتبر است.

رتبه محصول و مجموع ماتریس ها

قضیه 3.5 (در مورد رتبه حاصلضرب ماتریس ها). رتبه حاصلضرب ماتریس ها از رتبه عوامل تجاوز نمی کند:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

در واقع، اجازه دهید ماتریس‌های A و B دارای اندازه‌های m\ برابر p و p\times n باشند. اجازه دهید ماتریس را به ماتریس A نسبت دهیم C=AB\colon\,(A\mid C). ناگفته نماند که \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg) (A\mid C)، زیرا C بخشی از ماتریس (A\mid C) است (به مورد 5 از تبصره 3.2 مراجعه کنید). توجه داشته باشید که هر ستون از C_j، با توجه به عملیات ضرب ماتریس، ترکیبی خطی از ستون ها است. A_1،A_2،\ldots،A_pماتریس ها A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj)،\quad j=1,2,\ldots,n.

چنین ستونی را می توان بدون تغییر رتبه آن از ماتریس (A\mid C) حذف کرد (نتیجه 1 قضیه 3.3). با خط زدن تمام ستون‌های ماتریس C، دریافت می‌کنیم: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. از اینجا، \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که شرط \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B، و در مورد اعتبار قضیه نتیجه گیری کنید.

نتیجه. اگر یک پس A یک ماتریس مربع غیر منحط است \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)Bو \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C، یعنی رتبه یک ماتریس وقتی در سمت چپ یا راست در یک ماتریس مربع غیرمفرد ضرب شود تغییر نمی کند.

قضیه 3.6 در مورد رتبه مجموع ماتریس ها. رتبه مجموع ماتریس ها از مجموع رتبه های عبارات تجاوز نمی کند:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

در واقع، بیایید یک ماتریس ایجاد کنیم (A+B\mid A\mid B). توجه داشته باشید که هر ستون از ماتریس A+B ترکیبی خطی از ستون های ماتریس های A و B است. از همین رو \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). با توجه به اینکه تعداد ستون های مستقل خطی در ماتریس (A\mid B) از \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B، آ \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(به مورد 5 از اظهارات 3.2 مراجعه کنید)، نابرابری لازم را بدست می آوریم.

ابتداییتبدیل های ماتریسی زیر نامیده می شوند:

1) جایگشت هر دو سطر (یا ستون)،

2) ضرب یک ردیف (یا ستون) در یک عدد غیر صفر،

3) افزودن به یک سطر (یا ستون) سطر (یا ستون) دیگر ضرب در تعدادی.

دو ماتریس نامیده می شوند معادل، اگر یکی از آنها با کمک مجموعه ای متناهی از تبدیل های ابتدایی از دیگری به دست آید.

ماتریس های معادل، به طور کلی، برابر نیستند، اما رتبه های آنها برابر است. اگر ماتریس های A و B معادل باشند، به صورت A ~ B نوشته می شود.

ابتداییماتریس ماتریسی است که دارای چندین 1 در یک ردیف در ابتدای مورب اصلی است (تعداد آنها ممکن است صفر باشد) و همه عناصر دیگر برابر با صفر هستند، برای مثال،

با کمک تبدیل های ابتدایی ردیف ها و ستون ها، هر ماتریسی را می توان به یک ماتریس متعارف کاهش داد. رتبه یک ماتریس متعارف برابر است با تعداد یک ها در مورب اصلی آن.

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A=

و آن را به شکل متعارف برسانید.

راه حل.سطر اول را از ردیف دوم کم کنید و این ردیف ها را دوباره مرتب کنید:

.

حالا از ردیف دوم و سوم، ردیف اول را به ترتیب در 2 و 5 ضرب کنید:

;

ردیف اول را از ردیف سوم کم کنید. ماتریس را می گیریم

B = ,

که معادل ماتریس A است، زیرا با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از آن به دست می آید. بدیهی است که رتبه ماتریس B 2 است و از این رو r(A)=2 است. ماتریس B را می توان به راحتی به ماتریس متعارف کاهش داد. با کم کردن ستون اول، ضرب در اعداد مناسب، از تمام ستون های بعدی، تمام عناصر ردیف اول به جز اولین را صفر می کنیم و عناصر سطرهای باقی مانده تغییر نمی کنند. سپس، با کم کردن ستون دوم، ضرب در اعداد مناسب، از همه موارد بعدی، تمام عناصر ردیف دوم به جز دوم را صفر می کنیم و ماتریس متعارف را بدست می آوریم:

.

قضیه کرونکر - کاپلی- معیار سازگاری سیستم خطی معادلات جبری:

به سیستم خطیسازگار است، لازم و کافی است که رتبه ماتریس توسعه یافته این سیستم باشد برابر با رتبهماتریس اصلی آن

اثبات (شرایط سازگاری سیستم)

نیاز داشتن

اجازه دهید سیستممفصل سپس اعدادی وجود دارد که . بنابراین، ستون ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است. از آنجایی که رتبه یک ماتریس در صورت حذف سیستم ردیف‌ها (ستون‌های) آن یا اختصاص یک ردیف (ستون) که ترکیبی خطی از سایر ردیف‌ها (ستون‌ها) است، تغییر نمی‌کند، نتیجه می‌شود که .

کفایت

اجازه دهید . بیایید مقداری جزئی اساسی در ماتریس در نظر بگیریم. از آنجایی که , پس از آن نیز مینور پایه ماتریس خواهد بود . سپس با توجه به قضیه مبنا جزئی، آخرین ستون ماتریس ترکیبی خطی از ستون های پایه، یعنی ستون های ماتریس خواهد بود. بنابراین ستون اعضای آزاد سیستم ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است.

عواقب

تعداد متغیرهای اصلی سیستم هایبرابر با رتبه سیستم

مشترک سیستمتعیین خواهد شد (آن راه حل منحصر به فرد است) اگر رتبه سیستم برابر با تعداد همه متغیرهای آن باشد.

سیستم معادلات همگن

جمله15 . 2 سیستم معادلات همگن

همیشه مشارکتی است

اثبات. برای این سیستم، مجموعه اعداد،،، راه حل است.

در این قسمت از نماد ماتریسی سیستم استفاده می کنیم: .

جمله15 . 3 مجموع جواب های یک سیستم همگن معادلات خطی راه حل این سیستم است. جواب ضرب در عدد نیز راه حل است.

اثبات. اجازه دهید و به عنوان راه حل های سیستم خدمت کنید. سپس و . اجازه دهید . سپس

از آنجا که، پس یک راه حل است.

اجازه دهید یک عدد دلخواه باشد، . سپس

از آنجا که، پس یک راه حل است.

نتیجه15 . 1 اگر یک سیستم همگن معادلات خطیراه حل غیر صفر دارد، سپس بی نهایت راه حل های مختلف دارد.

در واقع، با ضرب یک راه حل غیر صفر در اعداد مختلف، جواب های متفاوتی بدست می آوریم.

تعریف15 . 5 خواهیم گفت که راه حل ها سیستم ها شکل می گیرند سیستم تصمیم گیری اساسیاگر ستون ها یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند و هر راه حلی برای سیستم ترکیبی خطی از این ستون ها است.

و همچنین یک کاربرد عملی مهم از موضوع را در نظر بگیرید: مطالعه یک سیستم معادلات خطی برای سازگاری.

رتبه یک ماتریس چقدر است؟

کتیبه طنز مقاله حاوی مقدار زیادی حقیقت است. خود کلمه "رتبه" معمولاً با نوعی سلسله مراتب همراه است، اغلب با نردبان شغلی. هر چه انسان دانش، تجربه، توانایی، ارتباطات و ... بیشتر باشد. - موقعیت و دامنه فرصت های او بالاتر است. در اصطلاح جوانی، رتبه به درجه کلی "سختی" اشاره دارد.

و برادران ریاضی ما نیز بر اساس همین اصول زندگی می کنند. بیایید چند دلخواه قدم بزنیم ماتریس های صفر:

بیایید فکر کنیم اگر در ماتریس است فقط صفرها، پس از چه رتبه ای می توانیم صحبت کنیم؟ همه با عبارت غیررسمی «صفر کل» آشنا هستند. در جامعه ماتریسی، همه چیز دقیقاً یکسان است:

رتبه ماتریس صفرهر اندازه ای صفر است.

توجه داشته باشید : ماتریس تهی نشان داده شده است نامه یونانی"تتا"

برای درک بهتر رتبه ماتریس، از این پس بر روی مواد ترسیم خواهم کرد هندسه تحلیلی. صفر را در نظر بگیرید بردارفضای سه بعدی ما که جهت خاصی را تعیین نمی کند و برای ساختن بی فایده است پایه وابسته. از دیدگاه جبری، مختصات یک بردار معین در نوشته می شود ماتریس"یک به سه" و منطقی (به معنای هندسی مشخص شده)فرض کنید که رتبه این ماتریس صفر است.

حالا به چند مورد نگاه می کنیم غیر صفر بردارهای ستونیو بردارهای ردیف:


هر نمونه حداقل یک عنصر غیر تهی دارد و این چیزی است!

رتبه هر بردار ردیف غیر صفر (بردار ستونی) برابر با یک است

و به طور کلی - اگر در ماتریس باشد اندازه های دلخواهحداقل یک عنصر غیر صفر دارد، سپس رتبه آن نه کمترواحدها.

بردارهای ردیف و ستون جبری تا حدی انتزاعی هستند، بنابراین اجازه دهید دوباره به ارتباط هندسی بپردازیم. غیر صفر بردارجهت مشخصی را در فضا تعیین می کند و برای ساخت و ساز مناسب است اساس، بنابراین رتبه ماتریس برابر با یک در نظر گرفته می شود.

پیش زمینه نظری : در جبر خطی، بردار عنصری از فضای برداری است (تعریف شده از طریق 8 بدیهیات)، که به طور خاص، می تواند یک ردیف (یا ستون) مرتب از اعداد واقعی با عملیات جمع و ضرب در یک عدد واقعی تعریف شده باشد. برای آنها. با بیشتر اطلاعات دقیقدر مورد بردارها را می توان در مقاله یافت تبدیلات خطی.

وابسته به خط(از طریق یکدیگر بیان می شود). از نقطه نظر هندسی، خط دوم شامل مختصات بردار خطی است ، که موضوع را در ساختمان پیش نبرد پایه سه بعدی، زائد بودن از این نظر. بنابراین، رتبه این ماتریس نیز برابر با یک است.

مختصات بردارها را در ستون ها بازنویسی می کنیم ( ماتریس را جابجا کنید):

چه چیزی از نظر رتبه تغییر کرده است؟ هیچ چی. ستون ها متناسب هستند، به این معنی که رتبه برابر با یک است. ضمناً توجه داشته باشید که هر سه خط نیز متناسب هستند. آنها را می توان با مختصات شناسایی کرد سهبردارهای خطی صفحه، که از آنها فقط یکیبرای ساختن یک پایه "مسطح" مفید است. و این با ما کاملا مطابقت دارد حس هندسیرتبه

یک جمله مهم از مثال بالا به دست می آید:

رتبه یک ماتریس بر اساس ردیف برابر است با رتبه یک ماتریس بر اساس ستون. قبلاً در درس مؤثر به این موضوع اشاره کردم روش های محاسبه دترمینان.

توجه داشته باشید : وابستگی خطی سطرها منجر به وابستگی خطی ستون ها می شود (و بالعکس). اما برای صرفه جویی در زمان و از روی عادت، تقریبا همیشه در مورد وابستگی خطی رشته ها صحبت خواهم کرد.

بیایید به آموزش حیوان خانگی عزیزمان ادامه دهیم. مختصات یک بردار خطی دیگر را به ماتریس ردیف سوم اضافه کنید :

آیا او در ساختن یک پایه سه بعدی به ما کمک کرد؟ البته که نه. هر سه بردار در یک مسیر به جلو و عقب حرکت می کنند و رتبه ماتریس یک است. شما می توانید هر تعداد بردار خطی که دوست دارید، مثلاً 100 بردارید، مختصات آنها را در یک ماتریس 100 در 3 قرار دهید، و رتبه چنین آسمان خراشی همچنان یک باقی خواهد ماند.

بیایید با ماتریسی که ردیف های آن آشنا شویم مستقل خطی. یک جفت بردار غیر خطی برای ساخت پایه سه بعدی مناسب است. رتبه این ماتریس دو است.

رتبه ماتریس چقدر است؟ خطوط متناسب به نظر نمی رسند ... بنابراین، در تئوری، سه. با این حال، رتبه این ماتریس نیز برابر با دو است. دو خط اول را اضافه کردم و نتیجه را در پایین نوشتم، یعنی. به صورت خطی بیان شده استخط سوم از دو خط اول. از نظر هندسی، ردیف های ماتریس با مختصات سه مطابقت دارد بردارهای همسطح، و در بین این سه گانه یک جفت رفیق غیر خطی وجود دارد.

همانطور که می بینید وابستگی خطیدر ماتریس در نظر گرفته شده واضح نیست، و امروز ما فقط یاد خواهیم گرفت که چگونه آن را به "آب تمیز" برسانیم.

من فکر می کنم خیلی ها حدس می زنند که رتبه یک ماتریس چقدر است!

ماتریسی را در نظر بگیرید که ردیف های آن مستقل خطی. بردارها شکل می گیرند پایه وابسته، و رتبه این ماتریس سه است.

همانطور که می دانید، هر بردار چهارم، پنجم، دهم فضای سه بعدی به صورت خطی بر حسب بردارهای پایه بیان می شود. بنابراین، اگر هر تعداد ردیف به ماتریس اضافه شود، رتبه آن هنوز سه خواهد بود.

استدلال مشابهی را می توان برای ماتریس هایی با اندازه های بزرگتر (به وضوح، در حال حاضر بدون معنای هندسی) انجام داد.

تعریف : رتبه ماتریسی است بیشترین مقدارردیف های مستقل خطی. یا: رتبه یک ماتریس حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی است. بله، آنها همیشه مطابقت دارند.

یک دستورالعمل عملی مهم از موارد فوق ناشی می شود: رتبه یک ماتریس از حداقل ابعاد آن تجاوز نمی کند. به عنوان مثال، در ماتریس چهار سطر و پنج ستون حداقل بعد چهار است، بنابراین، رتبه این ماتریس مطمئناً از 4 بیشتر نخواهد شد.

نشانه گذاری: در تئوری و عمل جهانی هیچ استاندارد پذیرفته شده ای برای تعیین رتبه ماتریس وجود ندارد، رایج ترین آن را می توان یافت: - همانطور که می گویند، یک انگلیسی یک چیز می نویسد، یک آلمانی چیز دیگر. بنابراین، بر اساس حکایت معروف در مورد جهنم آمریکایی و روسی، بیایید رتبه ماتریس را با یک کلمه بومی تعیین کنیم. مثلا: . و اگر ماتریس "بی نام" است، که تعداد زیادی از آن وجود دارد، می توانید به سادگی بنویسید.

چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از مینورها پیدا کنیم؟

اگر مادربزرگ ما یک ستون پنجم در ماتریس داشت، باید مرتبه چهارم دیگری ("آبی"، "تمشک" + ستون 5) محاسبه می شد.

نتیجه: حداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر سه است، بنابراین .

شاید همه این عبارت را به طور کامل درک نکرده باشند: مرتبه چهارم مینور برابر با صفر است، اما در بین مینورهای مرتبه 3 یک غیر صفر وجود دارد - بنابراین حداکثر مرتبه غیر صفرجزئی و برابر با سه.

این سوال پیش می آید که چرا بلافاصله تعیین کننده را محاسبه نمی کنیم؟ خوب، اولا، در اکثر وظایف، ماتریس مربع نیست، و ثانیا، حتی اگر یک مقدار غیر صفر دریافت کنید، آنگاه کار با احتمال زیاد رد می شود، زیرا معمولاً به معنای یک "پایین به بالا" استاندارد است. راه حل. و در مثال در نظر گرفته شده، تعیین کننده صفر مرتبه 4 حتی به ما امکان می دهد ادعا کنیم که رتبه ماتریس فقط کمتر از چهار است.

باید اعتراف کنم که برای توضیح بهتر روش مرزبندی خردسالان به مشکل تحلیل شده خودم رسیدم. در عمل واقعی، همه چیز ساده تر است:

مثال 2

رتبه یک ماتریس را با روش فرینگ مینورها پیدا کنید

راه حل و پاسخ در پایان درس.

چه زمانی الگوریتم سریعتر اجرا می شود؟ برگردیم به همان ماتریس چهار در چهار . بدیهی است که راه حل در مورد "خوب" کوتاه ترین خواهد بود. خردسالان گوشه ای:

و اگر، پس، در غیر این صورت - .

تفکر به هیچ وجه فرضی نیست - مثال های زیادی وجود دارد که در آن همه چیز فقط به خردسالان زاویه ای محدود می شود.

با این حال، در برخی موارد، روش دیگری موثرتر و ارجح تر است:

چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از روش گاوس پیدا کنیم؟

این بخش برای خوانندگانی است که قبلاً با آن آشنا هستند روش گاوسو کم کم به دستشان رسید.

از نقطه نظر فنی، روش جدید نیست:

1) با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به کاهش می دهیم نمای پلکانی;

2) رتبه ماتریس برابر با تعداد سطرها است.

کاملا واضح است که استفاده از روش گاوس رتبه ماتریس را تغییر نمی دهدو جوهر در اینجا بسیار ساده است: طبق الگوریتم، در جریان تبدیلات ابتدایی، تمام خطوط متناسب غیر ضروری (وابسته خطی) شناسایی و حذف می شوند، در نتیجه یک "بقایای خشک" باقی می ماند - حداکثر تعداد خطوط مستقل خطی

بیایید ماتریس آشنای قدیمی را با مختصات سه بردار خطی تبدیل کنیم:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد.

(2) خطوط صفر حذف می شوند.

بنابراین یک خط باقی مانده است، از این رو . نیازی به گفتن نیست که این بسیار سریعتر از محاسبه 9 صفر مینور درجه 2 و نتیجه گیری است.

این را به خودی خود یادآوری می کنم ماتریس جبریهیچ چیز را نمی توان تغییر داد و تحولات فقط به منظور یافتن رتبه انجام می شود! به هر حال، اجازه دهید دوباره به این سوال بپردازیم که چرا نه؟ ماتریس منبع حامل اطلاعاتی است که اساساً با اطلاعات ماتریسی و ردیفی متفاوت است. در برخی مدل های ریاضی(بدون اغراق) تفاوت در یک عدد می تواند امری مرگ و زندگی باشد. ... یاد معلم های ریاضی مدرسه ابتدایی و راهنمایی افتادم که برای کوچکترین نادرستی یا انحراف از الگوریتم بی رحمانه نمره را 1-2 قطع می کردند. و زمانی که به جای "پنج" به ظاهر تضمین شده، "خوب" یا حتی بدتر شد، بسیار ناامید کننده بود. درک بسیار دیرتر به دست آمد - چگونه می توان ماهواره ها، کلاهک های هسته ای و نیروگاه ها را به شخص واگذار کرد؟ اما نگران نباشید من در این زمینه ها کار نمی کنم =)

بیایید به سمت کارهای معنی دارتر برویم، جایی که، در میان چیزهای دیگر، با تکنیک های محاسباتی مهم آشنا خواهیم شد. روش گاوس:

مثال 3

رتبه یک ماتریس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنید

راه حل: یک ماتریس چهار در پنج داده می شود، به این معنی که رتبه آن مطمئناً بیش از 4 نیست.

در ستون اول، 1 یا -1 وجود ندارد، بنابراین، برای به دست آوردن حداقل یک واحد، مراحل اضافی لازم است. در طول کل سایت، بارها این سوال از من پرسیده شده است: "آیا می توان ستون ها را در طول تحولات ابتدایی مرتب کرد؟". در اینجا - تنظیم مجدد ستون اول یا دوم، و همه چیز خوب است! در اکثر وظایف که در آن روش گاوس، ستون ها را واقعاً می توان دوباره مرتب کرد. اما نکن. و نکته حتی اشتباه احتمالی با متغیرها نیست، نکته این است که در درس کلاسیک ریاضیات عالی این اقدامبه طور سنتی در نظر گرفته نمی شود، بنابراین، به چنین کوتاهی بسیار کج بینانه نگاه می شود (یا حتی مجبور می شود همه چیز را دوباره انجام دهد).

نکته دوم مربوط به اعداد است. در طول تصمیم گیری، مفید است که با قانون کلی زیر هدایت شوید: در صورت امکان، تبدیل‌های ابتدایی باید اعداد ماتریس را کاهش دهند. در واقع، کار با یک-دو-سه بسیار ساده تر از مثلاً با 23، 45 و 97 است. و اولین اقدام نه تنها به دست آوردن یک واحد در ستون اول، بلکه حذف اعداد نیز انجام می شود. 7 و 11.

اولین راه حل کامل، سپس نظرات:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در 3. و به پشته: خط 1، ضرب در -1، به خط 4 اضافه شد.

(2) سه خط آخر متناسب هستند. خط 3 و 4 حذف شد، خط دوم به رتبه اول منتقل شد.

(3) ردیف اول در 3- ضرب به ردیف دوم اضافه شد.

ماتریسی که به شکل پلکانی کاهش یافته است دارای دو ردیف است.

پاسخ:

حالا نوبت شماست که ماتریس چهار در چهار را شکنجه کنید:

مثال 4

رتبه یک ماتریس را با استفاده از روش گاوسی پیدا کنید

این را به شما یادآوری می کنم روش گاوسبه معنای استحکام بدون ابهام نیست و راه حل شما به احتمال زیاد با راه حل من متفاوت خواهد بود. نمونه مختصرتکلیف در پایان درس

برای یافتن رتبه یک ماتریس از چه روشی استفاده کنیم؟

در عمل اغلب اصلاً گفته نمی شود که از کدام روش برای یافتن رتبه استفاده شود. در چنین شرایطی، باید شرایط را تجزیه و تحلیل کرد - برای برخی از ماتریس ها، انجام راه حل از طریق خردسالان منطقی تر است، در حالی که برای دیگران استفاده از تبدیل های اولیه بسیار سودمندتر است:

مثال 5

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل: راه اول به نوعی بلافاصله ناپدید می شود =)

کمی بالاتر، توصیه کردم که ستون های ماتریس را لمس نکنید، اما وقتی یک ستون صفر، یا ستون های متناسب / مطابق وجود دارد، هنوز ارزش قطع کردن را دارد:

(1) ستون پنجم صفر است، آن را از ماتریس حذف می کنیم. بنابراین، رتبه ماتریس حداکثر چهار است. ردیف اول در -1 ضرب می شود. این یکی دیگر از مشخصه های روش گاوسی است که عمل زیر را به یک پیاده روی دلپذیر تبدیل می کند:

(2) به تمام خطوط، با شروع از دوم، خط اول اضافه شد.

(3) ردیف اول در -1 ضرب شد، ردیف سوم تقسیم بر 2، ردیف چهارم تقسیم بر 3 شد. ردیف دوم ضرب در -1 به ردیف پنجم اضافه شد.

(4) خط سوم ضرب در 2- به خط پنجم اضافه شد.

(5) دو خط آخر متناسب هستند، پنجمین را حذف می کنیم.

نتیجه 4 ردیف است.

پاسخ:

ساختمان استاندارد پنج طبقه برای کاوش شخصی:

مثال 6

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

لازم به ذکر است که عبارت "رتبه ماتریسی" در عمل چندان رایج نیست و در اکثر مشکلات می توانید بدون آن کار کنید. اما یک وظیفه وجود دارد که در آن مفهوم مورد بررسی اصلی ترین است. بازیگر، و در پایان مقاله به این کاربرد عملی خواهیم پرداخت:

چگونه سیستم معادلات خطی را برای سازگاری بررسی کنیم؟

اغلب علاوه بر حل کردن سیستم های معادلات خطیطبق شرط، ابتدا باید از نظر سازگاری بررسی شود، یعنی ثابت شود که اصلاً راه حلی وجود دارد. نقش کلیدی در این راستی آزمایی توسط قضیه کرونکر-کاپلی، که به شکل مورد نیاز فرموله خواهم کرد:

اگر رتبه ماتریس های سیستمبرابر با رتبه سیستم ماتریس تقویت شده، آنگاه سیستم سازگار است و اگر عدد داده شده با تعداد مجهولات منطبق باشد، پس راه حل منحصر به فرد است.

بنابراین، برای مطالعه سیستم از نظر سازگاری، لازم است برابری آن بررسی شود ، جایی که - ماتریس سیستم(اصطلاحات درس را به خاطر بسپارید روش گاوس)، آ - سیستم ماتریس تقویت شده(یعنی ماتریس با ضرایب در متغیرها + ستون عبارات آزاد).

اجازه دهید مقداری ماتریس داده شود:

.

در این ماتریس انتخاب کنید خطوط دلخواه و ستون های دلخواه
. سپس تعیین کننده مرتبه ام، از عناصر ماتریسی تشکیل شده است
واقع در تقاطع سطرها و ستون های انتخاب شده، مینور نامیده می شود ماتریس مرتبه -ام
.

تعریف 1.13.رتبه ماتریسی
بزرگترین مرتبه مینور غیر صفر این ماتریس است.

برای محاسبه رتبه یک ماتریس، باید تمام مینورهای آن را با کوچکترین مرتبه در نظر گرفت و اگر حداقل یکی از آنها غیر صفر بود، به در نظر گرفتن مینورهای بالاترین مرتبه اقدام کرد. این رویکرد برای تعیین رتبه یک ماتریس، روش مرزی (یا روش فرعی مرزی) نامیده می شود.

وظیفه 1.4.با روش مرزبندی مینورها، رتبه یک ماتریس را تعیین کنید
.

.

برای مثال مرزبندی مرتبه اول را در نظر بگیرید
. سپس به بررسی برخی حاشیه های مرتبه دوم می پردازیم.

مثلا،
.

در نهایت اجازه دهید مرزبندی مرتبه سوم را تحلیل کنیم.

.

بنابراین بالاترین ترتیب یک مینور غیر صفر 2 است، بنابراین
.

هنگام حل مسئله 1.4، می توان متوجه شد که سری های فرعی مرزی مرتبه دوم غیر صفر هستند. در این رابطه، تصور زیر صورت می گیرد.

تعریف 1.14.مینور پایه یک ماتریس هر مینور غیر صفر است که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس باشد.

قضیه 1.2.(قضیه جزئی پایه). ردیف های اصلی (ستون های اصلی) به صورت خطی مستقل هستند.

توجه داشته باشید که سطرها (ستون‌های) یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از آنها را بتوان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد.

قضیه 1.3.تعداد ردیف‌های ماتریس مستقل خطی برابر با تعداد ستون‌های ماتریس مستقل خطی و برابر با رتبه ماتریس است.

قضیه 1.4.(شرط لازم و کافی برای اینکه تعیین کننده برابر با صفر باشد). به منظور تعیین کننده - مرتبه برابر با صفر است، لازم و کافی است که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

محاسبه رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف آن بسیار دشوار است. این امر به ویژه برای ماتریس های مرتبه بالا مهم می شود. در این راستا، در عمل، رتبه یک ماتریس بر اساس استفاده از قضایای 10.2 - 10.4 و همچنین استفاده از مفاهیم هم ارزی ماتریس و تبدیل های ابتدایی محاسبه می شود.

تعریف 1.15.دو ماتریس
و معادل نامیده می شوند اگر رتبه های آنها مساوی باشد، یعنی.
.

اگر ماتریس ها
و معادل هستند، سپس علامت گذاری کنید
 .

قضیه 1.5.رتبه یک ماتریس از تبدیل های ابتدایی تغییر نمی کند.

ما تبدیلات ابتدایی ماتریس را می نامیم
هر یک از اقدامات زیر در ماتریس:

جایگزینی ردیف ها با ستون ها و ستون ها با ردیف های مربوطه.

جایگشت ردیف های ماتریس.

عبور از خطی که همه عناصر آن برابر با صفر هستند.

ضرب هر رشته در یک عدد غیر صفر.

افزودن عناصر یک ردیف به عناصر یک ردیف دیگر ضرب در همان عدد
.

نتیجه قضیه 1.5.اگر ماتریس
به دست آمده از ماتریس با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی، سپس ماتریس ها
و معادل هستند.

هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی به شکل ذوزنقه ای کاهش یابد.

تعریف 1.16.هنگامی که در مینور حاشیه بزرگ‌ترین مرتبه غیر از صفر، همه عناصر زیر عناصر مورب ناپدید شوند، چنین شکلی از نمایش ماتریس را ذوزنقه می‌نامیم. مثلا:

.

اینجا
، عناصر ماتریس
به صفر تبدیل شود سپس شکل نمایش چنین ماتریسی ذوزنقه ای خواهد بود.

به عنوان یک قاعده، ماتریس ها با استفاده از الگوریتم گاوسی به شکل ذوزنقه ای کاهش می یابند. ایده الگوریتم گاوسی این است که با ضرب عناصر ردیف اول ماتریس در فاکتورهای مربوطه، به این نتیجه می رسند که تمام عناصر ستون اول در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. سپس با ضرب عناصر ستون دوم در ضریب های مربوطه، به این نتیجه می رسیم که تمام عناصر ستون دوم در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. ادامه به طور مشابه ادامه دهید.

وظیفه 1.5.رتبه یک ماتریس را با کاهش آن به شکل ذوزنقه ای تعیین کنید.

.

برای راحتی اعمال الگوریتم گاوسی، می توانید ردیف اول و سوم را با هم عوض کنید.








.

بدیهی است اینجا
. با این حال، برای به ارمغان آوردن نتیجه به شکل ظریف تر، تغییرات بیشتر بر روی ستون ها را می توان ادامه داد.










.

عدد r را رتبه ماتریس A می نامند اگر:
1) ماتریس A حاوی یک مینور غیر صفر از مرتبه r است.
2) تمام مینورهای مرتبه (r + 1) و بالاتر، در صورت وجود، برابر با صفر هستند.
در غیر این صورت، رتبه یک ماتریس بالاترین مرتبه مینور غیر صفر است.
نام‌گذاری‌ها: rangA، r A یا r.
از تعریف بر می آید که r یک عدد صحیح مثبت است. برای یک ماتریس تهی، رتبه صفر در نظر گرفته می شود.

واگذاری خدمات. ماشین حساب آنلاین برای پیدا کردن طراحی شده است رتبه ماتریسی. راه حل در قالب Word و Excel ذخیره شده است. مثال راه حل را ببینید

دستورالعمل. بعد ماتریس را انتخاب کنید، روی Next کلیک کنید.

تعریف . اجازه دهید ماتریسی از رتبه r داده شود. هر ماتریس مینور غیر از صفر و از مرتبه r را پایه و سطرها و ستون های اجزای آن را سطرها و ستون های پایه می نامند.
با توجه به این تعریف، ماتریس A می تواند دارای چندین مینور پایه باشد.

رتبه ماتریس هویت E n (تعداد ردیف) است.

مثال 1. با توجه به دو ماتریس، و خردسالان آنها , . کدام یک از آنها را می توان مبنای قرار داد؟
راه حل. مینور M 1 = 0، بنابراین نمی تواند مبنایی برای هیچ یک از ماتریس ها باشد. Minor M 2 =-9≠0 و دارای مرتبه 2 است، بنابراین می توان آن را به عنوان ماتریس های پایه A یا / و B در نظر گرفت، مشروط بر اینکه دارای رتبه هایی برابر با 2 باشند. از آنجایی که detB=0 (به عنوان یک تعیین کننده با دو ستون متناسب)، پس rangB=2 و M 2 را می توان به عنوان مینور پایه ماتریس B در نظر گرفت. رتبه ماتریس A 3 است، با توجه به این واقعیت که detA=-27≠ 0 و بنابراین، ترتیب مینور پایه این ماتریس باید 3 باشد، یعنی M 2 مبنایی برای ماتریس A نیست. توجه داشته باشید که ماتریس A دارای پایه منحصر به فرد مینور برابر با تعیین کننده ماتریس A است.

قضیه (بر اساس جزئی). هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) است.
پیامدهای قضیه.

1. هر ستون (r+1) (ردیف) از یک ماتریس با رتبه r به صورت خطی وابسته هستند.
2. اگر رتبه ماتریس کمتر از عددردیف‌های آن (ستون‌ها)، سپس ردیف‌ها (ستون‌های) آن به صورت خطی وابسته هستند. اگر RangA برابر با تعداد سطرها (ستون) آن باشد، سطرها (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند.
3. تعیین کننده یک ماتریس A برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.
4. اگر سطر دیگری (ستون) ضرب در هر عددی غیر از صفر به سطر (ستون) ماتریس اضافه شود، رتبه ماتریس تغییر نخواهد کرد.
5. اگر یک ردیف (ستون) را در ماتریس خط بکشید که ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) است، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.
6. رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی آن (ستون).
7. حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی با حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی برابر است.

مثال 2. رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .
راه حل. بر اساس تعریف رتبه ماتریس، ما به دنبال مینور خواهیم بود بالاترین مرتبه، متفاوت از صفر است. ابتدا ماتریس را به بیشتر تبدیل می کنیم دید ساده. برای این کار، ردیف اول ماتریس را در (-2) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید، سپس آن را در (-1) ضرب کرده و به ردیف سوم اضافه کنید.