هندسه علم آسانی نیست. می تواند برای هر دو مفید باشد برنامه آموزشی مدرسه، و همچنین در زندگی واقعی. دانستن بسیاری از فرمول ها و قضایا محاسبات هندسی را ساده می کند. یکی از مهمترین ارقام سادهدر هندسه یک مثلث است. یکی از انواع مثلث ها، متساوی الاضلاع، ویژگی های خاص خود را دارد.

ویژگی های مثلث متساوی الاضلاع

طبق تعریف، مثلث چند وجهی است که دارای سه زاویه و سه ضلع است. این یک شکل دوبعدی مسطح است که خواص آن در آن بررسی شده است دبیرستان. با توجه به نوع زاویه، مثلث های تند، منفرد و قائم الزاویه از هم متمایز می شوند. مثلث قائم الزاویه است شکل هندسیکه در آن یکی از زوایا 90 درجه است. چنین مثلثی دارای دو پایه است (آنها یک زاویه قائمه ایجاد می کنند) و یک هیپوتنوز (مقابل است). زاویه راست). بسته به مقدار شناخته شده، سه عدد وجود دارد راه های سادههیپوتانوس را محاسبه کنید راست گوشه.

راه اول یافتن هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه است. قضیه فیثاغورس

قضیه فیثاغورث قدیمی ترین روش برای محاسبه هر یک از اضلاع مثلث قائم الزاویه است. به نظر می رسد: "در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پا." بنابراین، برای محاسبه هیپوتانوس، باید استخراج کرد ریشه دوماز مجموع دو پایه در یک مربع. برای وضوح، فرمول ها و نمودار آورده شده است.

راه دوم. محاسبه هیپوتنوس با استفاده از 2 مقدار شناخته شده: ساق و زاویه مجاور

یکی از خواص مثلث قائم الزاویه می گوید که نسبت طول ساق به طول هیپوتنوز معادل کسینوس زاویه بین این پا و هیپوتنوز است. بیایید زاویه ای را که برای ما شناخته شده است α بنامیم. اکنون، به لطف تعریف شناخته شده، می توانیم به راحتی فرمولی برای محاسبه هیپوتنوز فرموله کنیم: Hypotenuse = leg/cos(α)

راه سوم. محاسبه هیپوتنوس با استفاده از 2 مقدار شناخته شده: ساق و زاویه مقابل

اگر زاویه مخالف مشخص باشد، می توان دوباره از خواص یک مثلث قائم الزاویه استفاده کرد. نسبت طول ساق و هیپوتونوس معادل سینوس زاویه مقابل است. بیا دوباره زنگ بزنیم زاویه معروفآ. اکنون برای محاسبات، فرمول کمی متفاوت را اعمال می کنیم:
Hypotenuse = leg/sin (α)

مثال هایی برای کمک به درک فرمول ها

برای درک عمیق تر از هر یک از فرمول ها، باید مثال های گویا را در نظر بگیرید. بنابراین، فرض کنید یک مثلث قائم الزاویه داده می شود، جایی که چنین داده هایی وجود دارد:

• پا - 8 سانتی متر.
• زاویه مجاور cosα1 0.8 است.
• زاویه مقابل sinα2 0.8 است.

طبق قضیه فیثاغورث: Hypotenuse \u003d ریشه مربع (36 + 64) \u003d 10 سانتی متر.
با اندازه پا و زاویه شامل: 8 / 0.8 \u003d 10 سانتی متر.
با اندازه پا و زاویه مخالف: 8 / 0.8 \u003d 10 سانتی متر.

با درک فرمول، می توانید به راحتی هیپوتانوس را با هر داده محاسبه کنید.

ویدئو: قضیه فیثاغورث

سطح متوسط

راست گوشه. راهنمای کامل مصور (2019)

راست گوشه. سطح اول.

در مشکلات، زاویه راست به هیچ وجه ضروری نیست - پایین سمت چپ، بنابراین باید یاد بگیرید که چگونه یک مثلث قائمه را به این شکل تشخیص دهید.

و در چنین

و در چنین

مثلث قائم الزاویه چیست؟ خوب... اول از همه، خاص وجود دارد نام های زیبابرای پهلوهایش

به نقاشی توجه کنید!

به یاد داشته باشید و اشتباه نگیرید: پاها - دو، و هیپوتنوز - فقط یک(تنها، منحصر به فرد و طولانی ترین)!

خوب، ما در مورد اسامی بحث کردیم، اکنون مهمترین چیز: قضیه فیثاغورث.

قضیه فیثاغورس.

این قضیه کلید حل بسیاری از مسائل مربوط به مثلث قائم الزاویه است. این توسط فیثاغورث در زمان های بسیار قدیم ثابت شد و از آن زمان تاکنون فواید بسیاری برای کسانی که آن را می شناسند به ارمغان آورده است. و بهترین چیز در مورد او این است که او ساده است.

بنابراین، قضیه فیثاغورس:

این لطیفه را به خاطر دارید: "شلوار فیثاغورثی از هر طرف برابر است!"؟

بیایید این شلوارهای فیثاغورثی را بکشیم و به آنها نگاه کنیم.

آیا واقعا شبیه شورت است؟ خوب، در کدام طرف و در کجا برابر هستند؟ چرا و این شوخی از کجا آمده است؟ و این لطیفه دقیقاً با قضیه فیثاغورث، به طور دقیق تر با روشی که خود فیثاغورث قضیه خود را فرموله کرد، مرتبط است. و آن را اینگونه بیان کرد:

"مجموع مساحت مربع ها، ساخته شده بر روی پاها، برابر است مساحت مربعبر روی هیپوتنوز ساخته شده است.

کمی متفاوت به نظر نمی رسد، اینطور نیست؟ و بنابراین، هنگامی که فیثاغورث بیانیه قضیه خود را ترسیم کرد، چنین تصویری به دست آمد.

در این تصویر مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با مساحت مربع بزرگ است. و برای اینکه بچه ها بهتر به یاد بیاورند که مجموع مربع های پاها برابر با مربع هیپوتونوس است ، شخصی شوخ طبع این شوخی را در مورد شلوار فیثاغورثی اختراع کرد.

چرا اکنون قضیه فیثاغورث را فرموله می کنیم؟

آیا فیثاغورث رنج کشید و در مورد مربع صحبت کرد؟

ببینید در زمان های قدیم ... جبر وجود نداشت! هیچ نشانه ای و غیره وجود نداشت. هیچ کتیبه ای وجود نداشت. آیا می توانید تصور کنید چقدر وحشتناک بود که دانش آموزان بیچاره باستانی همه چیز را با کلمات به خاطر بسپارند؟؟! و ما می توانیم خوشحال باشیم که یک فرمول ساده از قضیه فیثاغورث داریم. بیایید دوباره آن را تکرار کنیم تا بهتر به خاطر بسپاریم:

حالا باید آسان باشد:

مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

خوب، مهم ترین قضیه در مورد مثلث قائم الزاویه مورد بحث قرار گرفت. اگر به چگونگی اثبات آن علاقه دارید، سطوح بعدی تئوری را بخوانید و حالا بیایید به ... به جنگل تاریک ... مثلثات برویم! به کلمات وحشتناک سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه.

در واقع، همه چیز اصلاً ترسناک نیست. البته تعریف واقعی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را باید در مقاله بررسی کرد. اما شما واقعا نمی خواهید، نه؟ ما می توانیم خوشحال باشیم: برای حل مسائل مربوط به یک مثلث قائم الزاویه، می توانید به سادگی موارد ساده زیر را پر کنید:

چرا همه چیز در مورد گوشه است؟ گوشه کجاست؟ برای درک این موضوع، باید بدانید که عبارات 1 تا 4 چگونه در کلمات نوشته می شوند. نگاه کن، بفهم و به خاطر بسپار!

1.
در واقع به نظر می رسد این است:

در مورد زاویه چطور؟ آیا پایی هست که مقابل گوشه یعنی پای مقابل (برای گوشه) باشد؟ البته دارند! این یک کاتت است!

اما در مورد زاویه چطور؟ از نزدیک نگاه کن. کدام پا در مجاورت گوشه است؟ البته گربه. بنابراین، برای زاویه، پا مجاور است، و

و اکنون، توجه! ببین چی بدست آوردیم:

ببینید چقدر عالیه:

حال به سراغ مماس و کتانژانت می رویم.

حالا چگونه آن را در قالب کلمات بیان کنیم؟ ساق نسبت به گوشه چیست؟ البته در مقابل - روبروی گوشه "نهفته است". و کتت؟ مجاور گوشه. پس چی به دست آوردیم؟

ببینید که چگونه صورت و مخرج معکوس می شوند؟

و حالا دوباره گوشه ها و مبادله انجام شد:

خلاصه

بیایید به اختصار آنچه را که آموخته ایم بنویسیم.

قضیه فیثاغورس:

قضیه مثلث قائم الزاویه اصلی قضیه فیثاغورث است.

قضیه فیثاغورس

راستی، خوب به خاطر دارید که پاها و هیپوتونوس چیست؟ اگر نه، پس به تصویر نگاه کنید - دانش خود را تازه کنید

این کاملاً ممکن است که قبلاً بارها از قضیه فیثاغورث استفاده کرده باشید، اما آیا تا به حال فکر کرده اید که چرا چنین قضیه ای درست است. چگونه آن را ثابت می کنید؟ بیایید مانند یونانیان باستان رفتار کنیم. بیایید یک مربع با یک ضلع رسم کنیم.

می بینید که با چه حیله ای اضلاعش را به تکه های دراز و دراز تقسیم کردیم!

حالا بیایید نقاط مشخص شده را به هم وصل کنیم

با این حال، ما در اینجا به چیز دیگری اشاره کردیم، اما شما خودتان به تصویر نگاه می کنید و به دلیل آن فکر می کنید.

مساحت مربع بزرگتر چقدر است؟ به درستی، . در مورد منطقه کوچکتر چطور؟ البته، . مساحت کل چهار گوشه باقی مانده است. تصور کنید که ما دو تا از آنها را گرفتیم و با هیپوتنوس به هم تکیه دادیم. چی شد؟ دو مستطیل. بنابراین، مساحت "قله ها" برابر است.

حالا بیایید همه را کنار هم بگذاریم.

بیایید تبدیل کنیم:

بنابراین ما فیثاغورث را ملاقات کردیم - قضیه او را به روشی باستانی اثبات کردیم.

مثلث قائم الزاویه و مثلثات

برای مثلث قائم الزاویه، روابط زیر برقرار است:

سینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز

کسینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.

مماس یک زاویه تند برابر است با نسبت پای مقابل به پای مجاور.

کوتانژانت یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مجاور به پای مقابل.

و بار دیگر، همه اینها در قالب یک بشقاب:

خیلی راحته!

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه

I. روی دو پا

II. توسط پا و هیپوتانوز

III. توسط هیپوتانوز و زاویه حاد

IV. در امتداد ساق و زاویه حاد

آ)

ب)

توجه! در اینجا بسیار مهم است که پاها "مطابق" باشند. به عنوان مثال، اگر اینگونه باشد:

پس مثلث ها مساوی نیستند، با وجود این واقعیت که آنها یک زاویه حاد یکسان دارند.

نیاز به در هر دو مثلث پا مجاور بود، یا در هر دو - مخالف.

آیا دقت کرده اید که چگونه علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه با علائم معمول تساوی مثلث ها متفاوت است؟ به موضوع نگاه کنید و به این نکته توجه کنید که برای برابری مثلث های معمولی به برابری سه عنصر آنها نیاز دارید: دو ضلع و یک زاویه بین آنها، دو زاویه و یک ضلع بین آنها یا سه ضلع. اما برای برابری مثلث های قائم الزاویه، تنها دو عنصر متناظر کافی است. عالی است، درست است؟

تقریباً وضعیت مشابه با علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه

I. گوشه حاد

II. روی دو پا

III. توسط پا و هیپوتانوز

میانه در مثلث قائم الزاویه

چرا اینطور است؟

به جای مثلث قائم الزاویه، یک مستطیل کامل را در نظر بگیرید.

بیایید یک مورب رسم کنیم و یک نقطه را در نظر بگیریم - نقطه تقاطع مورب ها. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟

و چه چیزی از این نتیجه می شود؟

پس این اتفاق افتاد

1. - میانه:

این واقعیت را به خاطر بسپار! کمک زیادی می کند!

شگفت‌انگیزتر این است که عکس آن نیز صادق است.

چه فایده ای می توان از این واقعیت به دست آورد که میانه رسم شده به سمت هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتانوز است؟ بیایید به تصویر نگاه کنیم

از نزدیک نگاه کن. داریم: یعنی فواصل نقطه تا هر سه رأس مثلث برابر است. اما در یک مثلث فقط یک نقطه وجود دارد که فواصل آن تقریباً هر سه رأس مثلث برابر است و این مرکز محیط توصیف شده است. پس چه اتفاقی افتاده؟

پس بیایید با این «علاوه بر...» شروع کنیم.

بیایید به i نگاه کنیم.

اما در مثلث های مشابه همه زوایا با هم برابرند!

همین را می توان در مورد و نیز گفت

حالا بیایید آن را با هم ترسیم کنیم:

چه فایده ای می توان از این شباهت «سه گانه» گرفت.

خوب، برای مثال - دو فرمول برای ارتفاع مثلث قائم الزاویه

روابط طرف های مربوطه را می نویسیم:

برای پیدا کردن ارتفاع، نسبت را حل می کنیم و بدست می آوریم فرمول اول "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":

بنابراین، بیایید شباهت را اعمال کنیم: .

حالا چه خواهد شد؟

دوباره نسبت را حل می کنیم و فرمول دوم را می گیریم:

هر دوی این فرمول‌ها را باید به خوبی به خاطر بسپارید و استفاده از آن راحت‌تر باشد. بیایید دوباره آنها را بنویسیم.

قضیه فیثاغورس:

در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها:.

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:

• روی دو پا:
• در امتداد ساق و هیپوتنوز: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مجاور: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مقابل: یا
• توسط هیپوتانوز و زاویه حاد: یا.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه:

• یک گوشه تیز: یا
• از تناسب دو پا:
• از تناسب ساق و هیپوتنوز: یا.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه

• سینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت سمت مقابل به هیپوتونوس است:
• کسینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتونوس است:
• مماس یک زاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت پای مقابل به مجاور است:
• کتانژانت یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه، نسبت ساق مجاور به مخالف است:.

ارتفاع مثلث قائم الزاویه: یا.

در مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده از رأس زاویه قائمه برابر با نصف هیپوتانوس است: .

مساحت مثلث قائم الزاویه:

• از طریق کاتترها:

اندازه گیری مساحت اشکال هندسی.

§ 58. قضیه فیثاغورث 1.

__________
1 فیثاغورث دانشمند یونانی است که حدود 2500 سال پیش (564-473 قبل از میلاد) می زیسته است.
_________

یک مثلث قائم الزاویه داده شود که اضلاع آن آ, بو با(توسعه 267).

بیایید در دو طرف آن مربع بسازیم. مساحت این مربع ها به ترتیب می باشد آ 2 , ب 2 و با 2. این را ثابت کنیم با 2 = a 2 +b 2 .

بیایید دو مربع MKOR و M"K"O"R" بسازیم (شکل 268، 269)، برای ضلع هر یک از آنها قطعه ای برابر با مجموع پایه های یک مثلث قائم الزاویه ABC در نظر بگیریم.

پس از تکمیل ساختارهای نشان داده شده در نقشه های 268 و 269 در این مربع ها، خواهیم دید که مربع MKOR به دو مربع با مساحت تقسیم می شود. آ 2 و ب 2 و چهار مثلث قائم الزاویه که هر کدام برابر با مثلث قائم الزاویه ABC است. مربع M"K"O"R به یک چهار ضلعی (در رسم 269 سایه دار است) و چهار مثلث قائم الزاویه تقسیم می شود که هر یک از آنها نیز برابر با مثلث ABC است. چهارضلعی سایه دار یک مربع است، زیرا اضلاع آن مساوی است (هر کدام برابر است با افت مثلث ABC، یعنی. با) و زوایای آن راست است / 1 + / 2 = 90 درجه، از آنجا / 3 = 90 درجه).

بنابراین مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها (در نقشه 268 این مربع ها سایه دار هستند) برابر است با مساحت مربع MKOR بدون مجموع مساحت های چهار مثلث مساوی و مساحت . مربع ساخته شده روی فرضیه (در نقشه 269 این مربع نیز سایه دار است) برابر با مساحت مربع M "K" O "R" برابر مربع MKOR است، بدون مجموع مساحت های چهار مثلث مشابه بنابراین، مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها.

ما فرمول را دریافت می کنیم با 2 = a 2 +b 2، کجا با- هیپوتنوئوس، آو ب- پاهای یک مثلث قائم الزاویه

قضیه فیثاغورث را می توان به صورت زیر خلاصه کرد:

مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها.

از فرمول با 2 = a 2 +b 2 می توانید فرمول های زیر را دریافت کنید:

آ 2 = با 2 - ب 2 ;
ب 2 = با 2 - آ 2 .

از این فرمول ها می توان برای یافتن ضلع مجهول مثلث قائم الزاویه با توجه به دو ضلع آن استفاده کرد.
مثلا:

الف) اگر پاها داده شود آ= 4 سانتی متر، ب\u003d 3 سانتی متر، سپس می توانید هیپوتانوس را پیدا کنید ( با):
با 2 = a 2 +b 2، یعنی با 2 = 4 2 + 3 2 ; با 2 = 25، از آنجا با= √25 = 5 (سانتی متر)؛

ب) اگر هیپوتانوز داده شود با= 17 سانتی متر و پا آ= 8 سانتی متر، سپس می توانید یک پای دیگر پیدا کنید ( ب):

ب 2 = با 2 - آ 2، یعنی ب 2 = 17 2 - 8 2 ; ب 2 = 225، از آنجا ب= √225 = 15 (سانتی متر).

نتیجه: اگر در دو مثلث قائم الزاویه ABC و A 1 B 1 C 1 هیپوتانوز باو با 1 برابر هستند و ساق بمثلث ABC بزرگتر از ساق است ب 1 مثلث A 1 B 1 C 1,
سپس پا آمثلث ABC کمتر از ساق آ 1 مثلث A 1 B 1 C 1 . (نقاشی ایجاد کنید که این نتیجه را نشان می دهد.)

در واقع، بر اساس قضیه فیثاغورث، به دست می آوریم:

آ 2 = با 2 - ب 2 ,
آ 1 2 = با 1 2 - ب 1 2

در فرمول های نوشته شده، مینیوندها با هم برابرند، و فرعی در فرمول اول بزرگتر از فرعی در فرمول دوم است، بنابراین، تفاوت اول کمتر از دومی است.
یعنی آ 2 < آ 12 . جایی که آ< آ 1 .

تمرینات

1. با استفاده از رسم 270 قضیه فیثاغورث را برای مثلث قائم الزاویه ثابت کنید.

2. یک پایه مثلث قائم الزاویه 12 سانتی متر و دیگری 5 سانتی متر است طول هیپوتنوز این مثلث را حساب کنید.

3. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه 10 سانتی متر است، یکی از پایه ها 8 سانتی متر است طول ساقه دیگر این مثلث را محاسبه کنید.

4. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه 37 سانتی متر است، یکی از پایه های آن 35 سانتی متر است، طول ساق دیگر این مثلث را حساب کنید.

5. مربعی به اندازه دو برابر مساحت مربع بسازید.

6. مربعی بسازید، دو برابر مساحت مربع داده شده. دستورالعمل.نگه دارید مربع داده شدهمورب ها مربع های ساخته شده روی نیمه های این مورب ها مورد نظر خواهند بود.

7. ساق های یک مثلث قائم الزاویه به ترتیب 12 سانتی متر و 15 سانتی متر است طول هیپوتنوز این مثلث را با دقت 0.1 سانتی متر محاسبه کنید.

8. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه 20 سانتی متر است، یکی از پایه های آن 15 سانتی متر است، طول پای دیگر را به نزدیک ترین 0.1 سانتی متر حساب کنید.

9. در صورتی که انتهای پایینی نردبان باید 2.5 متر از ساختمان فاصله داشته باشد، نردبان چقدر باید باشد تا بتوان آن را به پنجره ای که در ارتفاع 6 متری قرار دارد متصل کرد؟ (لعنتی 271.)

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، برقراری رابطه

بین اضلاع مثلث قائم الزاویه

اعتقاد بر این است که توسط ریاضیدان یونانی فیثاغورث، که به نام او نامگذاری شده است، اثبات شده است.

فرمول هندسی قضیه فیثاغورث.

این قضیه در ابتدا به صورت زیر فرموله شد:

در مثلث قائم الزاویه، مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتانوس برابر است با مجموع مساحت مربع ها،

ساخته شده بر روی کاتتر

فرمول جبری قضیه فیثاغورث.

در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.

یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث از طریق ج، و طول پاها از طریق آو ب:

هر دو فرمولاسیون قضایای فیثاغورثمعادل هستند، اما فرمول دوم ابتدایی تر است، اینطور نیست

نیاز به مفهوم منطقه دارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد منطقه و

فقط با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه.

قضیه معکوس فیثاغورث.

اگر مربع یک ضلع مثلث برابر با مجموع مربع های دو ضلع دیگر باشد،

مثلث مستطیل است

یا به عبارت دیگر:

برای هر سه عدد از اعداد مثبت آ, بو ج، به طوری که

یک مثلث قائم الزاویه با پاها وجود دارد آو بو هیپوتانوز ج.

قضیه فیثاغورث برای مثلث متساوی الساقین.

قضیه فیثاغورث برای مثلث متساوی الاضلاع.

اثبات قضیه فیثاغورث.

در حال حاضر در ادبیات علمی 367 اثبات این قضیه ثبت شد. احتمالا قضیه

فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی

تنها با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه قابل توضیح است.

البته از نظر مفهومی می توان همه آنها را به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها:

اثبات روش منطقه, بدیهیو شواهد عجیب و غریب(مثلا،

با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

1. اثبات قضیه فیثاغورث بر حسب مثلث های مشابه.

اثبات فرمول جبری زیر ساده ترین برهان ساخته شده است

مستقیماً از بدیهیات به طور خاص، از مفهوم مساحت یک شکل استفاده نمی کند.

اجازه دهید ABCیک مثلث قائم الزاویه وجود دارد سی. بیایید یک ارتفاع از سیو نشان دهند

پایه و اساس آن از طریق اچ.

مثلث ACHشبیه مثلث AB C در دو گوشه به همین ترتیب، مثلث CBHمشابه ABC.

با معرفی نماد:

ما گرفتیم:

,

کدام منطبق است -

تا زدن آ 2 و ب 2، دریافت می کنیم:

یا، که قرار بود ثابت شود.

2. اثبات قضیه فیثاغورث با روش مساحت.

برهان های زیر، علیرغم سادگی ظاهری شان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها

از خصوصیات ناحیه استفاده کنید که اثبات آن از اثبات خود قضیه فیثاغورث پیچیده تر است.

• اثبات از طریق equicomplementation.

چهار مستطیل مساوی بچینید

مثلث همانطور که در تصویر نشان داده شده است

سمت راست

چهار ضلعی با اضلاع ج- مربع،

از مجموع دو گوشه های تیز 90 درجه، a

زاویه توسعه یافته 180 درجه است.

مساحت کل شکل از یک طرف،

مساحت مربع با ضلع ( a+b) و از طرفی مجموع مساحت ها چهار مثلثو

Q.E.D.

3. اثبات قضیه فیثاغورث با روش بینهایت کوچک.

​

با توجه به نقاشی نشان داده شده در شکل، و

تماشای تغییر سمتآ، ما میتوانیم

رابطه زیر را برای بی نهایت بنویسید

کم اهمیت افزایش های جانبیباو آ(با استفاده از شباهت

مثلثها):

با استفاده از روش جداسازی متغیرها متوجه می شویم:

یک عبارت کلی تر برای تغییر هیپوتونوس در مورد افزایش هر دو پا:

با ادغام این معادله و با استفاده از شرایط اولیه به دست می آوریم:

بنابراین به پاسخ مورد نظر می رسیم:

همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، وابستگی درجه دوم در فرمول نهایی به دلیل خطی ظاهر می شود

تناسب بین اضلاع مثلث و افزایش ها، در حالی که مجموع مربوط به مستقل است

کمک از افزایش پاهای مختلف.

اگر فرض کنیم که یکی از پاها افزایشی را تجربه نمی کند، می توان اثبات ساده تری به دست آورد.

(در این مورد، پا ب). سپس برای ثابت ادغام بدست می آوریم:

قضیه فیثاغورس

سرنوشت قضایا و مسائل دیگر عجیب است... چگونه می توان مثلاً چنین توجه استثنایی ریاضیدانان و ریاضیدانان را به قضیه فیثاغورث توضیح داد؟ چرا بسیاری از آنها به شواهد شناخته شده قانع نشدند، بلکه خود را یافتند و تعداد براهین را در بیست و پنج قرن نسبتاً قابل مشاهده به چند صد رساندند؟
چه زمانی ما داریم صحبت می کنیمدر مورد قضیه فیثاغورث، امر غیر معمول از قبل با نام آن شروع می شود. اعتقاد بر این است که به هیچ وجه فیثاغورث نبود که آن را برای اولین بار فرموله کرد. همچنین مشکوک است که او مدرکی به او داده باشد. اگر فیثاغورس یک شخص واقعی است (بعضی حتی در این مورد شک دارند!) پس به احتمال زیاد او در قرون 6-5 زندگی می کرده است. قبل از میلاد مسیح ه. او خودش چیزی ننوشت، او خود را فیلسوف نامید، که در درک او به معنای "آرزوی خرد" بود، اتحادیه فیثاغورث را تأسیس کرد که اعضای آن در موسیقی، ژیمناستیک، ریاضیات، فیزیک و نجوم مشغول بودند. ظاهراً او خطیب بزرگی نیز بود، همانطور که افسانه زیر مربوط به اقامت او در شهر کروتون نشان می دهد: وظایف مردان جوان را بیان کرد، که بزرگان شهر خواستند آنها را بدون تدریس ترک نکنند. ایشان در این سخنرانی دوم به قانونمندی و پاکی اخلاق به عنوان پایه های خانواده اشاره کردند. در دو مورد بعدی به کودکان و زنان پرداخت. نتیجه آخرین سخنرانی، که در آن او به ویژه تجمل را محکوم کرد، این بود که هزاران لباس گرانبها به معبد هرا تحویل داده شد، زیرا حتی یک زن دیگر جرأت نکرد خود را در آنها در خیابان نشان دهد ... "با این وجود، بازگشت در قرن دوم عصر ما یعنی بعد از 700 سال به طور کامل زندگی و کار کردند مردم واقعی، دانشمندان برجسته ای که به وضوح تحت تأثیر اتحادیه فیثاغورث قرار گرفتند و با احترام زیادی برای آنچه که طبق افسانه ها فیثاغورث ایجاد کرد.
همچنین شکی نیست که علاقه به قضیه نیز به این دلیل است که یکی از موارد را اشغال می کند مکان های مرکزیو رضایت نویسندگان شواهدی که بر مشکلات غلبه کردند، که شاعر رومی کوئینتوس هوراس فلاکوس، که قبل از عصر ما می زیست، به خوبی گفت: "بیان حقایق شناخته شده به خوبی دشوار است."
در ابتدا، این قضیه رابطه بین مساحت مربع های ساخته شده بر روی هیپوتنوس و پایه های یک مثلث قائم الزاویه را ایجاد کرد:
.
فرمول جبری:
در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.
یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث از طریق c و طول پاها از طریق a و b: a 2 + b 2 \u003d c 2. هر دو صورت‌بندی قضیه معادل هستند، اما صورت‌بندی دوم ابتدایی‌تر است، نیازی به مفهوم مساحت ندارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد مساحت و تنها با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تأیید کرد.
قضیه معکوس فیثاغورث. برای هر سه گانه از اعداد مثبت a، b و c به طوری که
a 2 + b 2 = c 2، یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a و b و هیپوتانوس c وجود دارد.

اثبات

در حال حاضر 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی را فقط می توان با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه توضیح داد.
البته از نظر مفهومی می توان همه آنها را به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها: اثبات با روش مساحت، اثبات بدیهی و عجیب و غریب (به عنوان مثال، با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

از طریق مثلث های مشابه

اثبات زیر برای فرمول جبری ساده ترین برهان است که مستقیماً از بدیهیات ساخته شده است. به طور خاص، از مفهوم مساحت یک شکل استفاده نمی کند.
فرض کنید ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه C باشد. ارتفاعی از C رسم کنید و قاعده آن را با H نشان دهید. مثلث ACH در دو زاویه شبیه مثلث ABC است.
به طور مشابه، مثلث CBH مشابه ABC است. معرفی نماد

ما گرفتیم

چه چیزی معادل است

اضافه کردن، دریافت می کنیم

یا

اثبات منطقه

برهان های زیر، علیرغم سادگی ظاهری شان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها از خواص منطقه استفاده می کنند که اثبات آن از اثبات خود قضیه فیثاغورث پیچیده تر است.

اثبات از طریق معادل سازی

1. چهار مثلث قائم الزاویه را مطابق شکل بچینید.
2. چهار ضلعی با ضلع c مربع است، زیرا مجموع دو زاویه تند 90 درجه و زاویه مستقیم 180 درجه است.
3. مساحت کل شکل از یک طرف برابر با مساحت مربع با ضلع (a + b) و از طرف دیگر مجموع مساحت های چهار مثلث و مربع داخلی



Q.E.D.

شواهد از طریق معادل سازی

نمونه ای از یکی از این اثبات ها در نقاشی سمت راست نشان داده شده است، جایی که مربع ساخته شده بر روی هیپوتانوس با جایگشت به دو مربع ساخته شده روی پاها تبدیل می شود.

برهان اقلیدس

ایده برهان اقلیدس به این صورت است: بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که نیمی از مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده روی پاها و سپس مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها. مربع بزرگ و دو مربع کوچک با هم برابرند. نقاشی سمت چپ را در نظر بگیرید. بر روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه مربع ساختیم و یک پرتو s از راس زاویه قائم C عمود بر فرضیه AB رسم کردیم، مربع ABIK را که روی هیپوتنوز ساخته شده است به دو مستطیل - BHJI و HAKJ برش دادیم. ، به ترتیب. معلوم می شود که مساحت این مستطیل ها دقیقاً برابر با مساحت مربع های ساخته شده روی پایه های مربوطه است. بیایید سعی کنیم ثابت کنیم که مساحت مربع DECA برابر با مساحت مستطیل AHJK است برای این کار از یک مشاهده کمکی استفاده می کنیم: مساحت مثلثی با ارتفاع و قاعده مشابه با داده شده. مستطیل برابر با نصف مساحت مستطیل داده شده است. این نتیجه تعریف مساحت مثلث به عنوان نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع است. از این مشاهدات نتیجه می شود که مساحت مثلث ACK برابر با مساحت مثلث AHK (نشان داده نشده) است که به نوبه خود برابر با نصف مساحت مستطیل AHJK است. اکنون ثابت کنیم که مساحت مثلث ACK نیز برابر با نصف مساحت مربع DECA است. تنها کاری که برای این کار باید انجام شود اثبات برابری مثلث های ACK و BDA است (زیرا مساحت مثلث BDA با ویژگی فوق برابر با نصف مساحت مربع است). این تساوی آشکار است، مثلث ها در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند. یعنی - AB=AK,AD=AC - برابری زوایای CAK و BAD با روش حرکت به راحتی قابل اثبات است: بیایید مثلث CAK را 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخانیم، سپس مشخص است که اضلاع متناظر دو مثلث در نظر گرفته شده است. منطبق خواهد شد (به دلیل این واقعیت است که زاویه در راس مربع 90 درجه است). بحث در مورد تساوی مساحت های مربع BCFG و مستطیل BHJI کاملاً مشابه است. بنابراین، ما ثابت کردیم که مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتنوس مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پاها است.

اثبات لئوناردو داوینچی

عناصر اصلی اثبات تقارن و حرکت است.

ترسیم را در نظر بگیرید، همانطور که از تقارن می توان دید، قطعه CI مربع ABHJ را به دو قسمت یکسان برش می دهد (از آنجایی که مثلث های ABC و JHI از نظر ساختاری برابر هستند). با استفاده از چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت، برابری ارقام سایه دار CAJI و GDAB را مشاهده می کنیم. اکنون مشخص است که مساحت شکلی که توسط ما سایه زده شده است برابر است با مجموع نصف مساحت مربع های ساخته شده روی پاها و مساحت مثلث اصلی. از سوی دیگر، برابر است با نصف مساحت مربع ساخته شده بر روی هیپوتانوس، به اضافه مساحت مثلث اصلی. آخرین مرحلهاثبات به خواننده واگذار می شود.