تقریب داده های تجربی. روش حداقل مربعات

کار دوره

رشته: انفورماتیک

موضوع: تقریب یک تابع با یک روش کمترین مربعات

مقدمه

1. بیان مسئله

2. فرمول های محاسبه

محاسبه با استفاده از جداول ساخته شده توسط ابزار مایکروسافت اکسل

طرح الگوریتم

محاسبه در MathCad

نتایج خطی

ارائه نتایج در قالب نمودار

مقدمه

هدف مقاله ترمتعمیق دانش در علوم کامپیوتر، توسعه و تثبیت مهارت ها در کار با پردازنده صفحه گسترده مایکروسافت اکسل و محصول نرم افزار MathCAD و کاربرد آنها برای حل مشکلات با استفاده از رایانه از حوزه موضوعی مرتبط با تحقیق است.

تقریب (از لاتین "approximare" - "رویکرد") - عبارت تقریبی از هر شیء ریاضی (به عنوان مثال، اعداد یا توابع) از طریق دیگر ساده تر، راحت تر برای استفاده یا به سادگی شناخته شده تر. در تحقیقات علمی، تقریب برای توصیف، تجزیه و تحلیل، تعمیم و استفاده بیشتر از نتایج تجربی استفاده می شود.

همانطور که مشخص است، زمانی که یک مقدار آرگومان با یک مقدار خاص مطابقت دارد، می تواند یک ارتباط دقیق (عملکردی) بین مقادیر وجود داشته باشد، و زمانی که یک مقدار خاص از آرگومان با یک مقدار تقریبی مطابقت دارد، یک ارتباط کمتر دقیق (همبستگی) وجود داشته باشد. یا مجموعه ای از مقادیر تابع که کم و بیش به هم نزدیک هستند. هنگام تجویز تحقیق علمی، پردازش نتایج مشاهده یا آزمایش معمولاً با گزینه دوم سروکار دارد.

هنگام مطالعه وابستگی های کمی شاخص های مختلف، که مقادیر آنها به صورت تجربی تعیین می شود، به عنوان یک قاعده، مقداری تنوع وجود دارد. این تا حدی توسط ناهمگونی اشیاء مورد مطالعه از طبیعت بی جان و به ویژه زنده و تا حدی با خطای مشاهده و پردازش کمی مواد تعیین می شود. حذف کامل آخرین جزء همیشه امکان پذیر نیست، تنها با انتخاب دقیق روش تحقیق کافی و دقت کار می توان آن را به حداقل رساند. بنابراین، هنگام انجام هر کار تحقیقاتی، مشکل شناسایی ماهیت واقعی وابستگی شاخص های مورد مطالعه، این یا آن درجه که با غفلت از تغییرپذیری پوشانده شده است، ایجاد می شود: ارزش ها. برای این، از تقریب استفاده می شود - یک توصیف تقریبی از وابستگی همبستگی متغیرها توسط یک معادله وابستگی عملکردی مناسب که روند اصلی وابستگی (یا "روند" آن) را منتقل می کند.

هنگام انتخاب یک تقریب، باید از وظیفه خاص مطالعه پیش رفت. معمولاً هر چه معادله برای تقریب ساده تر باشد، توصیف به دست آمده از وابستگی تقریبی تر است. بنابراین، مهم است که بخوانید چقدر و چه چیزی باعث انحراف مقادیر خاص از روند حاصل شده است. هنگام توصیف وابستگی مقادیر تجربی تعیین شده، دقت بسیار بیشتری را می توان با استفاده از معادله پیچیده تر و چند پارامتری به دست آورد. با این حال، تلاش برای انتقال انحرافات تصادفی مقادیر در یک سری خاص از داده های تجربی با حداکثر دقت، فایده ای ندارد. گرفتن الگوی کلی بسیار مهمتر است که در این حالت منطقی ترین و با دقت قابل قبولی دقیقاً توسط معادله دو پارامتری بیان می شود. تابع توان. بنابراین، هنگام انتخاب یک روش تقریبی، محقق همیشه مصالحه می کند: او تصمیم می گیرد که در این مورد تا چه حد مصلحت و مناسب است که جزئیات را "قربانی" کند و بر این اساس، وابستگی متغیرهای مقایسه شده تا چه حد تعمیم داده شود. همراه با شناسایی الگوهای مبدل انحرافات تصادفیداده های تجربی از الگوی کلی، تقریب همچنین به شما امکان می دهد بسیاری از مشکلات مهم دیگر را حل کنید: وابستگی یافت شده را رسمی کنید. مقادیر ناشناخته متغیر وابسته را با درون یابی یا در صورت امکان برون یابی بیابید.

در هر کار، شرایط کار، داده های اولیه، فرم صدور نتایج، اصلی تنظیم می شود وابستگی های ریاضیبرای حل مشکل. مطابق با روش حل مسئله، یک الگوریتم راه حل ایجاد شده است که به صورت گرافیکی ارائه شده است.

1. بیان مسئله

1. با استفاده از روش حداقل مربعات، تابع ارائه شده در جدول را تقریب بزنید:

الف) چند جمله ای درجه اول؛

ب) چند جمله ای درجه دوم؛

ج) وابستگی نمایی.

برای هر وابستگی، ضریب جبر را محاسبه کنید.

ضریب همبستگی (فقط در مورد الف) را محاسبه کنید.

برای هر وابستگی یک خط روند رسم کنید.

با استفاده از تابع LINEST محاسبه کنید ویژگی های عددیوابسته به.

محاسبات خود را با نتایج به دست آمده با استفاده از تابع LINEST مقایسه کنید.

تصمیم بگیرید کدام یک از فرمول ها بهترین راهتابع را تقریبی می کند.

برنامه ای را به یکی از زبان های برنامه نویسی بنویسید و نتایج محاسبات را با نتایج به دست آمده در بالا مقایسه کنید.

گزینه 3. تابع در جدول آورده شده است. یکی

میز 1.

xyxyxyxyxy0.281.052.349.113.3329.434.2386.445.55187.540.872.872.6516.863.4137.454.8390.856.32200.451.656.432.7717.973.5542.444.9299.066.66212.971.998.962.8318.993.8556.945.14120.457.13275.742.088.083.0623.754.0175.085.23139.657. 25321.43

2. فرمول های محاسبه

اغلب، هنگام تجزیه و تحلیل داده های تجربی، یافتن یک رابطه عملکردی بین مقادیر x و y که در نتیجه تجربه یا اندازه گیری به دست می آیند ضروری می شود.

Xi (مقدار مستقل) توسط آزمایشگر تنظیم می شود و yi که مقادیر تجربی یا تجربی نامیده می شود، در نتیجه آزمایش به دست می آید.

شکل تحلیلی رابطه عملکردی که بین مقادیر x و y وجود دارد معمولا ناشناخته است، بنابراین، یک کار عملی مهم ایجاد می شود - پیدا کردن یک فرمول تجربی.

(پارامترها کجا هستند)، که مقادیر آنها احتمالاً با مقادیر تجربی تفاوت کمی دارد.

بر اساس روش حداقل مربعات بهترین شانسمواردی در نظر گرفته می شوند که مجموع انحرافات مجذور تابع تجربی یافت شده از مقادیر داده شده تابع حداقل خواهد بود.

با استفاده از شرط لازم برای حداکثر یک تابع از چندین متغیر - برابری با صفر مشتقات جزئی، مجموعه ای از ضرایب پیدا می شود که حداقل تابع تعریف شده با فرمول (2) را ارائه می دهد و یک سیستم نرمال برای تعیین ضرایب به دست می آید. :

بنابراین، یافتن ضرایب به حل سیستم (3) کاهش می یابد.

نوع سیستم (3) به کلاس فرمول های تجربی بستگی دارد که ما به دنبال وابستگی از آن هستیم (1). در مورد وابستگی خطی، سیستم (3) به شکل زیر خواهد بود:

در مورد وابستگی درجه دوم، سیستم (3) به شکل زیر خواهد بود:

در برخی موارد، به عنوان یک فرمول تجربی، تابعی در نظر گرفته می شود که ضرایب نامشخص به صورت غیر خطی وارد می شود. در این مورد، گاهی اوقات می توان مشکل را خطی کرد، به عنوان مثال. کاهش به خطی از جمله این وابستگی ها، وابستگی نمایی است

که در آن a1 و a2 ضرایب تعریف نشده هستند.

خطی سازی با گرفتن لگاریتم برابری (6) حاصل می شود و پس از آن رابطه را بدست می آوریم

به ترتیب با و، و سپس وابستگی (6) را می توان به شکلی نوشت که به ما امکان می دهد فرمول (4) را با a1 جایگزین شده با و با استفاده کنیم.

نمودار وابستگی عملکردی بازیابی شده y(x) بر اساس نتایج اندازه گیری ها (xi, yi), i=1,2,…,n منحنی رگرسیون نامیده می شود. برای بررسی تطابق منحنی رگرسیون ساخته شده با نتایج آزمایش، معمولاً مشخصه های عددی زیر معرفی می شوند: ضریب همبستگی (وابستگی خطی)، رابطه همبستگیو ضریب جبر.

ضریب همبستگی معیاری از رابطه خطی بین وابسته است متغیرهای تصادفی: نشان می دهد که به طور متوسط ​​چقدر می توان یکی از کمیت ها را به عنوان تابعی خطی از دیگری نشان داد.

ضریب همبستگی با فرمول زیر محاسبه می شود:

میانگین کجاست مقدار حسابیبه ترتیب در x، y.

ضریب همبستگی بین متغیرهای تصادفی در مقدار مطلق از 1 تجاوز نمی کند هر چه به 1 نزدیکتر باشد، رابطه خطی بین x و y نزدیکتر است.

در مورد یک همبستگی غیر خطی، مقادیر میانگین شرطی در نزدیکی خط منحنی قرار دارند. در این مورد، توصیه می شود از نسبت همبستگی به عنوان مشخصه قدرت اتصال استفاده شود که تفسیر آن به نوع وابستگی مورد مطالعه بستگی ندارد.

نسبت همبستگی با فرمول محاسبه می شود:

که در آن یک عددگر پراکندگی میانگین‌های شرطی را در اطراف میانگین غیرشرطی مشخص می‌کند.

همیشه ... هست. برابری = مربوط به متغیرهای تصادفی غیر همبسته است. = اگر و فقط اگر یک رابطه عملکردی دقیق بین x و y وجود داشته باشد. در مورد وابستگی خطی y به x، نسبت همبستگی با مجذور ضریب همبستگی منطبق است. مقدار به عنوان شاخصی برای انحراف رگرسیون از خطی بودن استفاده می شود.

نسبت همبستگی معیاری از همبستگی yc x در هر شکلی است، اما نمی تواند ایده ای از درجه نزدیکی داده های تجربی به یک فرم خاص ارائه دهد. برای فهمیدن اینکه منحنی ساخته شده تا چه حد دقیق داده های تجربی را منعکس می کند، یک مشخصه دیگر معرفی می شود - ضریب جبر.

که در آن Sres = - مجموع باقیمانده مربع ها که انحراف داده های تجربی از داده های نظری را مشخص می کند.

مجموع رگرسیون مربع های مشخص کننده گسترش داده ها.

هر چه مجموع باقیمانده مربع ها در مقایسه با مقدار کلمربع، مقدار ضریب جبر r2 بیشتر است، که نشان می دهد معادله به دست آمده با استفاده از چقدر خوب است. تجزیه و تحلیل رگرسیون، روابط بین متغیرها را توضیح می دهد. اگر برابر با 1 باشد، یک همبستگی کامل با مدل وجود دارد، یعنی. تفاوتی بین مقادیر y واقعی و تخمینی وجود ندارد. در غیر این صورت، اگر ضریب جبر 0 باشد، معادله رگرسیون نمی تواند مقادیر y را پیش بینی کند.

ضریب جبر همیشه از نسبت همبستگی تجاوز نمی کند. در موردی که برابری درست باشد، می‌توان فرض کرد که فرمول تجربی ساخته‌شده، داده‌های تجربی را با دقت بیشتری منعکس می‌کند.

3. محاسبه با استفاده از جداول ساخته شده با استفاده از Microsoft Excel

برای محاسبات، توصیه می شود که داده ها را در قالب جدول 2 با استفاده از ابزارهای صفحه گسترده مایکروسافت اکسل مرتب کنید.

جدول 2

ABCDEFGHI10,281,050,07840,2940,0219520,0061470,082320,048790,01366120,872,870,75692,49690,6585030,5728982,1723031,0543120,91725131,656,432,722510,60954,4921257,41200617,505681,8609753,07060841, 998,963,960117,83047,88059915,6823935,48252,192774,36361352,088,084,326416,80648,99891218,7177434,957312,0893924,34593562,349,115,475621,317412,812929,982249,882722,2093735,16993272,6516, 867,022544,67918,6096349,31551118,39942,8249447,48610182,7717,977,672949,776921,2539358,87339137,8822,8887048,00170992,8318,998,008953,741722,6651964,14248152,0892,9439138, 331272103,0623,759,363672,67528,6526287,677222,38553,1675839,692803113,3329,4311,088998,001936,92604122,9637326,34633,38201511,26211123,4137,4511,6281127,704539,65182135,2127435, 47233,62300712,35445133,5542,4412,6025150,66244,73888158,823534,85013,74809113,30572143,8556,9414,8225219,21957,06663219,7065843,99324,04199815,56169154,0175,0816,0801301,070864, 4812258,56961207,2944,31855417,3174164,2386,4417,8929365,641275,68697320,15591546,6624,45945 118,86348174,8390,8523,3289438,8055112,6786544,23762119,4314,5092121,77948184,9299,0624,2064487,3752119,0955585,94982397,8864,59572622,61097195,14120,4526,4196619,113135,7967697, 99533182,2414,79123524,62695205,23139,6527,3529730,3695143,0557748,18113819,8324,93913925,8317215,55187,5430,80251040,847170,9539948,7945776,7015,23399229,04866226,32200,4539,94241266, 844252,4361595,3958006,4545,30056533,49957236,66212,9744,35561418,38295,40831967,4199446,4125,36115135,70527247,13275,7450,83691966,026362,46712584,3914017,775,61945840,06674257,25321, 4352.56252330.368381.07812762.81616895.165.7727841.852652695.932089.99453.310511850.652417.52741.652417.5681.65241850.652417.5681.5271.568.00 اجازه دهید توضیح دهیم که چگونه جدول 2 کامپایل شده است.

مرحله 1. در سلول های A1:A25 مقادیر xi را وارد می کنیم.

مرحله 2. در سلول های B1:B25 مقادیر yi را وارد می کنیم.

مرحله 3. در سلول C1، فرمول = A1 ^ 2 را وارد کنید.

مرحله 4. این فرمول در سلول های C1:C25 کپی می شود.

مرحله 5. در سلول D1، فرمول = A1 * B1 را وارد کنید.

مرحله 6. این فرمول در سلول های D1:D25 کپی می شود.

مرحله 7. در سلول F1 فرمول = A1 ^ 4 را وارد کنید.

مرحله 8. در سلول های F1:F25، این فرمول کپی می شود.

مرحله 9. در سلول G1، فرمول =A1^2*B1 را وارد کنید.

مرحله 10. این فرمول در سلول های G1:G25 کپی می شود.

مرحله 11. در سلول H1، فرمول = LN (B1) را وارد کنید.

مرحله 12. این فرمول در سلول های H1:H25 کپی می شود.

مرحله 13. در سلول I1، فرمول = A1 * LN (B1) را وارد کنید.

مرحله 14. این فرمول در سلول های I1:I25 کپی می شود.

ما مراحل زیر را با استفاده از autosummation انجام می دهیم اس .

مرحله 15. در سلول A26، فرمول = SUM (A1: A25) را وارد کنید.

مرحله 16. در سلول B26، فرمول = SUM (B1: B25) را وارد کنید.

مرحله 17. در سلول C26، فرمول = SUM (C1: C25) را وارد کنید.

مرحله 18. در سلول D26، فرمول = SUM (D1: D25) را وارد کنید.

مرحله 19. در سلول E26، فرمول = SUM (E1: E25) را وارد کنید.

مرحله 20. در سلول F26، فرمول = SUM (F1: F25) را وارد کنید.

مرحله 21. در سلول G26، فرمول = SUM (G1: G25) را وارد کنید.

مرحله 22. در سلول H26، فرمول = SUM(H1:H25) را وارد کنید.

مرحله 23. در سلول I26، فرمول = SUM(I1:I25) را وارد کنید.

تابع را تقریب می کنیم تابع خطی. برای تعیین ضرایب از سیستم (4) استفاده می کنیم. با استفاده از مجموعات جدول 2، واقع در سلول های A26، B26، C26 و D26، سیستم (4) را به صورت زیر می نویسیم.

حل آن، به دست می آوریم و.

سیستم با روش کرامر حل شد. که ماهیت آن به شرح زیر است. سیستمی از n جبری را در نظر بگیرید معادلات خطیبا n مجهول:

تعیین کننده سیستم، تعیین کننده ماتریس سیستم است:

نشان دهید - تعیین کننده ای که از تعیین کننده سیستم Δ با جایگزینی ستون j با ستون به دست می آید.

بنابراین، تقریب خطی شکل دارد

ما سیستم (11) را با استفاده از ابزارهای مایکروسافت اکسل حل می کنیم. نتایج در جدول 3 ارائه شده است.

جدول 3

ABCDE282595.932089.992995.93453.310511850.653031

در جدول 3، سلول های A32:B33 حاوی فرمول (=MOBR(A28:B29)) هستند.

سلول های E32:E33 حاوی فرمول (=MULTI(A32:B33)،(C28:C29)) هستند.

در مرحله بعد، تابع را تقریبی می کنیم تابع درجه دوم. برای تعیین ضرایب a1، a2 و a3 از سیستم (5) استفاده می کنیم. با استفاده از مجموع جدول 2، واقع در سلول های A26، B26، C26، D26، E26، F26، G26، سیستم (5) را به صورت زیر می نویسیم.

با حل آن، a1=10.663624 به دست می آید و

بنابراین، تقریب درجه دوم شکل دارد

ما سیستم (16) را با استفاده از ابزارهای Microsoft Excel حل می کنیم. نتایج در جدول 4 ارائه شده است.

جدول 4

ABCDEF362595,93453,31052089,993795,93453,31052417,56811850,65538453,31052417,56813982,9971327,3453940Обратная матрица410,632687-0,314390,033846a1=10,66362442-0,314390,184534-0,021712a2=-18, 924512430.033846-0.021710.002728a3=8.0272305

در جدول 4، سلول های A41:C43 حاوی فرمول (=MOBR(A36:C38)) هستند.

سلول های F41:F43 حاوی فرمول (=MMULT(A41:C43),(D36:D38)) هستند.

حالا تابع را تقریبی می کنیم تابع نمایی. برای تعیین ضرایب و گرفتن لگاریتم مقادیر و با استفاده از مجموع جدول 2 واقع در سلول های A26، C26، H26 و I26، سیستم را بدست می آوریم.

حل سیستم (18)، به دست می آید و.

پس از تقویت، می گیریم

بنابراین، تقریب نمایی شکل دارد

ما سیستم (18) را با استفاده از ابزارهای مایکروسافت اکسل حل می کنیم. نتایج در جدول 5 ارائه شده است.

جدول 5

BCDEF462595.9390.977134795.93453.3105415.07974849 ماتریس معکوس=0.667679 500.212802-0.04503a2=0.774360=0.774360 5510.774368 5510.774.510.510.510.510.14.

سلول های A50:B51 حاوی فرمول (=MOBR(A46:B47)) هستند.

سلول E51 حاوی فرمول=EXP(E49) است.

میانگین حسابی را با فرمول های زیر محاسبه کنید:

نتایج محاسبات و ابزارهای Microsoft Excel در جدول 6 ارائه شده است.

جدول 6

BC54Xav=3.837255Yav=83.5996

سلول B54 حاوی فرمول =A26/25 است.

سلول B55 حاوی فرمول = B26/25 است

جدول 7

ABJKLMNO10,281,05293,645412,653676814,4365987,97624,444081,88177520,872,87239,54098,8042766517,2682774,7226,7334610,91071731,656,43168,78534,7838445955,147448,035726,395820,32073741, 998,96137,87433,4121485571,0770,7358817,368220,02062652,088,08132,7033,0877525703,2112,138714,2039422,82478262,349,11111,52582,2416085548,70151,488211,4985887,99584272,6516, 8679,233251,4094444454,174178,5730,000622,83382582,7717,9770,039911,1389164307,244311,46313,4777091,73059692,8318,9965,074791,0144524174,4373,4915,7914362,382273103,0623,7546, 515110,604043581,975620,344117,375498,423061113,3329,4327,474820,2572522934,346983,819852,2462113,94466123,4137,4519,715110,18252129,786725,90914,090409102,2541133,5542,4411,821040, 0824841694,113797,89844,861044143,3219143,8556,94-0,341240,000164710,7343741,750,023142342,3946154,0175,08-1,472190,0298672,58358265,3212126,0007996,9257164,2386,441, 1157090.1542928.067872219.6288148.75781214.778174.8390.857 1,172456239,0241103,718163,9776121,868195,14120,4548,00871,6972881357,952471,908425,17881258,6007205,23139,6578,0671,9398923141,64743,1629470,45155769,9408215,55187,54178,02912, 93368410803,61725,38421200,5291951,06226,32200,45290,11626,16429613654,0227,28786126,28273577,409236,66212,97365,18687,968216736,76,038755767,788515795,87247,13275,74632,679910,8425336917, 931944,47565,1469344766,92257,25321,43811,667611,647256563,37121,842677,966445516,82695,932089,93830,94585,207919964427404,823786,286115678,1С у м м ыОстаточные суммыXY نوردهی مربع خطی

بیایید نحوه ساخت آن را توضیح دهیم.

سلول های A1:A26 و B1:B26 قبلا پر شده اند.

مرحله 1. در سلول J1، فرمول = (A1-$B$54)*(B1-$B$55) را وارد کنید.

مرحله 2. این فرمول در سلول های J2:J25 کپی می شود.

مرحله 3. در سلول K1، فرمول = (A1-$B$54)^2 را وارد کنید.

مرحله 4. این فرمول در سلول های k2:K25 کپی می شود.

مرحله 5. در سلول L1، فرمول = (B1-$B$55)^2 را وارد کنید.

مرحله 6. این فرمول در سلول های L2:L25 کپی می شود.

مرحله 7. در سلول M1، فرمول = ($E$32+$E$33*A1-B1)^2 را وارد کنید.

مرحله 8. این فرمول در سلول های M2:M25 کپی می شود.

مرحله 9. در سلول N1، فرمول = ($F$41+$F$42*A1+$F$43*A1^2-B1)^2 را وارد کنید.

مرحله 10. در سلول های N2:N25، این فرمول کپی می شود.

مرحله 11. در سلول O1، فرمول = ($E$51*EXP($E$50*A1)-B1)^2 را وارد کنید.

مرحله 12. در سلول های O2:O25، این فرمول کپی می شود.

مراحل زیر را با استفاده از جمع بندی خودکار انجام می دهیم اس .

مرحله 13. در سلول J26، فرمول = SUM (J1: J25) را وارد کنید.

مرحله 14. در سلول K26، فرمول = SUM(K1:K25) را وارد کنید.

مرحله 15. در سلول L26، فرمول = SUM (L1: L25) را وارد کنید.

مرحله 16. در سلول M26، فرمول = SUM(M1:M25) را وارد کنید.

مرحله 17. در سلول N26، فرمول = SUM(N1:N25) را وارد کنید.

مرحله 18. در سلول O26، فرمول = SUM (O1: O25) را وارد کنید.

حال بیایید ضریب همبستگی را با استفاده از فرمول (8) (فقط برای تقریب خطی) و ضریب جبر را با استفاده از فرمول (10) محاسبه کنیم. نتایج محاسبات با استفاده از Microsoft Excel در جدول 8 ارائه شده است.

جدول 8

ضریب همبستگی AB57 0.92883358 ضریب جبر (تقریبا خطی) 0.8627325960 ضریب جبر (تقریبا درجه دوم) 0.9810356162 ضریب جبر (تقریبا نمایی 706435) سلول E57 حاوی فرمول =J26/(K26*L26)^(1/2) است.

سلول E59 حاوی فرمول=1-M26/L26 است.

سلول E61 حاوی فرمول=1-N26/L26 است.

سلول E63 حاوی فرمول=1-O26/L26 است.

تجزیه و تحلیل نتایج محاسبات نشان می دهد که تقریب درجه دوم به بهترین وجه داده های تجربی را توصیف می کند.

طرح الگوریتم

برنج. 1. طرح الگوریتم برای برنامه محاسبه.

5. محاسبه در MathCad

رگرسیون خطی

· خط (x، y) - بردار دو عنصری (b، a) از ضرایب رگرسیون خطی b+ax;

· x بردار داده های واقعی آرگومان است.

· y بردار مقادیر داده واقعی با همان اندازه است.

شکل 2.

رگرسیون چند جمله ای به معنای برازش داده های (x1, y1) با یک چند جمله ای است درجه k-امبرای k=i، چند جمله ای یک خط مستقیم، برای k=2 سهمی، برای k=3 سهمی مکعبی و غیره است. به عنوان یک قاعده، ک<5.

· رگرسیون (x,y,k) - بردار ضرایب برای ساخت رگرسیون داده های چند جمله ای.

· interp (s,x,y,t) - نتیجه رگرسیون چند جمله ای.

· s=regress(x,y,k);

· x بردار داده های آرگومان واقعی است که عناصر آن به ترتیب صعودی مرتب شده اند.

· y بردار مقادیر داده واقعی با همان اندازه است.

· k درجه چند جمله ای رگرسیون (یک عدد صحیح مثبت) است.

· t مقدار آرگومان چند جمله ای رگرسیون است.

شکل 3

علاوه بر موارد در نظر گرفته شده، چندین نوع دیگر از رگرسیون سه پارامتری در Mathcad تعبیه شده است که اجرای آنها تا حدودی با گزینه های رگرسیون فوق متفاوت است، زیرا برای آنها، علاوه بر آرایه داده، نیاز به تنظیم مقادیر اولیه است. از ضرایب a,b,c. اگر ایده خوبی از اینکه چه وابستگی آرایه داده شما را توصیف می کند، از نوع مناسب رگرسیون استفاده کنید. هنگامی که نوع رگرسیون به خوبی توالی داده ها را منعکس نمی کند، نتیجه آن اغلب رضایت بخش نیست و بسته به انتخاب مقادیر اولیه حتی بسیار متفاوت است. هر یک از توابع یک بردار از پارامترهای تصفیه شده a، b، c تولید می کند.

نتایج LINEST

هدف تابع LINEST را در نظر بگیرید.

این تابع از روش حداقل مربعات برای محاسبه خط مستقیمی استفاده می کند که بهترین تناسب را با داده های موجود دارد.

تابع آرایه ای را برمی گرداند که خط حاصل را توصیف می کند. معادله یک خط مستقیم:

M1x1 + m2x2 + ... + b یا y = mx + b،

الگوریتم جدولی نرم افزار مایکروسافت

برای به دست آوردن نتایج، باید یک فرمول صفحه گسترده ایجاد کنید که شامل 5 سطر و 2 ستون باشد. این فاصله زمانی را می توان در هر نقطه از کاربرگ قرار داد. در این بازه باید تابع LINEST را وارد کنید.

در نتیجه، تمام سلول های فاصله A65:B69 باید پر شوند (همانطور که در جدول 9 نشان داده شده است).

جدول 9

АВ6544,95997-88,9208663,73946615,92346670,86273234,5183168144,55492369172239,227404,82

اجازه دهید هدف برخی از مقادیر موجود در جدول 9 را توضیح دهیم.

مقادیر موجود در سلول های A65 و B65 به ترتیب شیب و شیفت را مشخص می کنند - ضریب جبر - مقدار F-مشاهده شده - تعداد درجات آزادی.

ارائه نتایج در قالب نمودار

برنج. 4. نمودار تقریب خطی

برنج. 5. نمودار تقریب درجه دوم

برنج. 6. نمودار تقریب نمایی

نتیجه گیری

اجازه دهید بر اساس نتایج حاصل از داده های به دست آمده نتیجه گیری کنیم.

تجزیه و تحلیل نتایج محاسبات نشان می دهد که تقریب درجه دوم به بهترین شکل داده های تجربی را توصیف می کند، زیرا خط روند برای آن دقیقاً رفتار تابع را در این منطقه نشان می دهد.

با مقایسه نتایج به دست آمده با استفاده از تابع LINEST، می بینیم که آنها کاملاً با محاسبات انجام شده در بالا مطابقت دارند. این نشان می دهد که محاسبات صحیح است.

نتایج به دست آمده با استفاده از برنامه MathCad کاملاً با مقادیر داده شده در بالا مطابقت دارد. این نشان دهنده صحت محاسبات است.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. B.P. دمیدویچ، I.A. مارون. مبانی ریاضیات محاسباتی. م: انتشارات دولتی ادبیات فیزیکی و ریاضی.
2. انفورماتیک: کتاب درسی، ویرایش. پروفسور N.V. ماکاروا. م: امور مالی و آمار، 2007.
3. انفورماتیک: کارگاه آموزشی فناوری کامپیوتر، ویرایش. پروفسور N.V. ماکاروا. م: امور مالی و آمار، 2010.
4. V.B. کومیاژین. برنامه نویسی در اکسل در ویژوال بیسیک. م: رادیو و ارتباطات، 1386.
5. ن. نیکول، آر. آلبرشت. برتری داشتن. صفحات گسترده م: اد. "ECOM"، 2008.
6. دستورالعمل اجرای دوره های درسی در علوم کامپیوتر (برای دانشجویان بخش مکاتبات همه تخصص ها)، ویرایش. Zhurova G. N.، SPbGGI (TU)، 2011.

کار دوره

تقریب یک تابع با روش حداقل مربعات

مقدمه

تقریب تجربی mathcad

هدف از این دوره، تعمیق دانش علوم کامپیوتر، توسعه و تثبیت مهارت ها در کار با صفحه گسترده Microsoft Excel و MathCAD است. کاربرد آنها برای حل مسائل با کمک رایانه از حوزه موضوعی مرتبط با تحقیق.

در هر کار، شرایط مسئله، داده های اولیه، فرم صدور نتایج فرموله می شود، وابستگی های ریاضی اصلی برای حل مسئله نشان داده می شود. محاسبه کنترل به شما امکان می دهد عملکرد صحیح برنامه را تأیید کنید.

مفهوم تقریب بیان تقریبی برخی از اشیاء ریاضی (مثلاً اعداد یا توابع) از طریق برخی دیگر است که ساده‌تر، راحت‌تر برای استفاده یا به سادگی شناخته شده‌تر هستند. در تحقیقات علمی، تقریب برای توصیف، تجزیه و تحلیل، تعمیم و استفاده بیشتر از نتایج تجربی استفاده می شود.

همانطور که مشخص است، زمانی که یک مقدار آرگومان با یک مقدار خاص مطابقت دارد، می تواند یک ارتباط دقیق (عملکردی) بین مقادیر وجود داشته باشد، و زمانی که یک مقدار خاص از آرگومان با یک مقدار تقریبی مطابقت دارد، یک ارتباط کمتر دقیق (همبستگی) وجود داشته باشد. یا مجموعه ای از مقادیر تابع که کم و بیش به هم نزدیک هستند. هنگام انجام تحقیقات علمی، پردازش نتایج یک مشاهده یا آزمایش، معمولاً باید با گزینه دوم سر و کار داشته باشید. هنگام مطالعه وابستگی های کمی شاخص های مختلف، که مقادیر آنها به صورت تجربی تعیین می شود، به عنوان یک قاعده، مقداری تنوع وجود دارد. این تا حدی توسط ناهمگونی اشیاء مورد مطالعه از طبیعت بی جان و به خصوص زنده تعیین می شود، تا حدی به دلیل خطای مشاهده و پردازش کمی مواد. حذف کامل آخرین جزء همیشه امکان پذیر نیست، تنها با انتخاب دقیق روش تحقیق کافی و دقت کار می توان آن را به حداقل رساند.

متخصصان در زمینه اتوماسیون فرآیندها و تولیدات فناوری با حجم زیادی از داده های تجربی سروکار دارند که برای پردازش آنها از رایانه استفاده می شود. داده های اولیه و نتایج به دست آمده از محاسبات را می توان با استفاده از پردازشگرهای صفحه گسترده (صفحه گسترده) و به ویژه اکسل به صورت جدولی ارائه کرد. کار درسی در علوم کامپیوتر به دانش آموز اجازه می دهد تا مهارت های کار با کمک فن آوری های رایانه ای اساسی را در حل مشکلات در زمینه فعالیت حرفه ای ادغام و توسعه دهد - یک سیستم جبر رایانه ای از کلاس سیستم های طراحی به کمک رایانه، با تمرکز بر آماده سازی از اسناد تعاملی با محاسبات و پشتیبانی بصری، استفاده و استفاده از آن برای کار گروهی آسان است.

1. اطلاعات کلی

اغلب اوقات، به ویژه هنگام تجزیه و تحلیل داده های تجربی، یافتن صریح رابطه عملکردی بین کمیت ها ضروری می شود. ایکسو در، که در نتیجه اندازه گیری ها به دست می آیند.

در یک مطالعه تحلیلی از رابطه بین دو کمیت x و y، یک سری مشاهدات انجام شده و نتیجه جدولی از مقادیر است:

xx1 ایکس1 ایکسمنایکسnyy1 y1 yمنYn

این جدول معمولاً در نتیجه برخی آزمایشات به دست می آید که در آن ایکس،(مقدار مستقل) توسط آزمایشگر تنظیم می شود و y،در نتیجه تجربه به دست آمده است. بنابراین، این ارزش ها y،مقادیر تجربی یا تجربی نامیده خواهند شد.

یک رابطه عملکردی بین مقادیر x و y وجود دارد، اما شکل تحلیلی آن معمولا ناشناخته است، بنابراین یک کار عملی مهم ایجاد می شود - پیدا کردن یک فرمول تجربی.

y=f (x; a 1، آ 2،…، صبح ), (1)

(جایی که آ1 ، آ2 ،…، آمتر- پارامترها)، مقادیر آنها در x=x،احتمالاً تفاوت کمی با مقادیر تجربی دارد y، (i = 1,2,…, پ).

معمولاً کلاسی از توابع (مثلاً مجموعه ای از خطی، توانی، نمایی و غیره) که تابع از آن انتخاب می شود را نشان می دهد. f(x)، و سپس بهترین مقادیر پارامترها تعیین می شود.

اگر در فرمول تجربی (1) اولیه را جایگزین کنیم ایکس،سپس مقادیر نظری را بدست می آوریم

Yتیمن= f (ایکسمن; آ 1، آ 2……آمتر) ، جایی که من = 1,2,…, n.

تفاوت yمنتی- درمن, انحراف نامیده می شوند و نشان دهنده فواصل عمودی از نقاط هستند ممنبه نمودار تابع تجربی.

بر اساس روش حداقل مربعات، بهترین ضرایب آ1 ، آ2 ،…، آمترمواردی در نظر گرفته می شوند که مجموع مجذور انحرافات تابع تجربی یافت شده از مقادیر داده شده تابع

حداقل خواهد بود.

اجازه دهید معنای هندسی روش حداقل مربعات را توضیح دهیم.

هر جفت عدد ( ایکسمن, yمن) از جدول منبع یک نقطه را تعریف می کند ممنروی سطح XOY.با استفاده از فرمول (1) برای مقادیر مختلف ضرایب آ1 ، آ2 ،…، آمترمی توان یک سری منحنی ساخت که نمودارهای تابع (1) هستند. مشکل تعیین ضرایب است آ1 ، آ2 ،…، آمتربه طوری که مجموع مجذورات فواصل عمودی از نقاط ممن (ایکسمن, yمن) به نمودار تابع (1) کوچکترین بود (شکل 1).

ساخت یک فرمول تجربی شامل دو مرحله است: یافتن شکل کلی این فرمول و تعیین بهترین پارامترهای آن.

اگر ماهیت رابطه بین مقادیر داده شده x و y، سپس شکل وابستگی تجربی دلخواه است. اولویت به فرمول های ساده با دقت خوب داده می شود. انتخاب موفقیت آمیز یک فرمول تجربی تا حد زیادی به دانش محقق در حوزه موضوعی بستگی دارد که با استفاده از آن می تواند کلاس توابع را از ملاحظات نظری نشان دهد. نمایش داده های به دست آمده در سیستم های مختصات دکارتی یا ویژه (نیمه لگاریتمی، لگاریتمی و غیره) از اهمیت بالایی برخوردار است. با توجه به موقعیت نقاط، می توان به طور تقریبی شکل کلی وابستگی را با ایجاد شباهت بین نمودار ساخته شده و نمونه های منحنی های شناخته شده حدس زد.

تعیین بهترین شانس آ1 ، آ2,…, آمتردر فرمول تجربی تولید شده با روش های تحلیلی شناخته شده گنجانده شده است.

برای پیدا کردن مجموعه ای از ضرایب آ1 ، آ2 …..آمتر, که حداقل تابع S تعریف شده با فرمول (2) را ارائه می دهد، از شرط لازم برای حداکثر یک تابع از چندین متغیر استفاده می کنیم - برابری با صفر مشتقات جزئی.

در نتیجه یک سیستم نرمال برای تعیین ضرایب بدست می آوریم آمن(من = 1,2,…, م):

بنابراین، پیدا کردن ضرایب آمنبه سیستم حل تقلیل می دهد (3). اگر فرمول تجربی (1) با توجه به پارامترها خطی باشد، این سیستم ساده می شود آمن، سپس سیستم (3) خطی خواهد بود.

1.1 رابطه خطی

شکل خاص سیستم (3) به کلاس فرمول های تجربی بستگی دارد که ما به دنبال وابستگی از آن هستیم (1). در مورد رابطه خطی y=a1 +a2 ایکسسیستم (3) به شکل زیر خواهد بود:

این سیستم خطی را می توان با هر روش شناخته شده ای حل کرد (روش گاوس، تکرارهای ساده، فرمول های کرامر).

1.2 وابستگی درجه دوم

در مورد وابستگی درجه دوم y=a1 +a2 x + a3ایکس 2سیستم (3) به شکل زیر خواهد بود:

1.3 وابستگی نمایی

در برخی موارد، به عنوان یک فرمول تجربی، تابعی در نظر گرفته می شود که ضرایب نامشخص به صورت غیر خطی وارد می شود. در این مورد، گاهی اوقات می توان مشکل را خطی کرد، به عنوان مثال. کاهش به خطی از جمله این وابستگی ها، وابستگی نمایی است

y=a1 *هa2x (6)

جایی که a 1و آ 2، ضرایب تعریف نشده.

خطی سازی با گرفتن لگاریتم برابری (6) حاصل می شود و پس از آن رابطه را بدست می آوریم

ln y = ln a 1+a 2ایکس (7)

ln را نشان دهید درو ln آایکسبه ترتیب از طریق تیو ج، سپس وابستگی (6) را می توان به صورت نوشتاری نوشت t = a1 +a2 ایکس، که به ما امکان می دهد فرمول (4) را با جایگزینی اعمال کنیم آ1 بر روی جو درمنبر روی تیمن

1.4 عناصر نظریه همبستگی

طرح وابستگی عملکردی بازسازی شده y(x)با توجه به نتایج اندازه گیری ها (x من, درمن),i = 1.2، K, nمنحنی رگرسیون نامیده می شود. برای بررسی تطابق منحنی رگرسیون ساخته شده با نتایج آزمایش، معمولاً مشخصه های عددی زیر معرفی می شوند: ضریب همبستگی (وابستگی خطی)، نسبت همبستگی و ضریب جبر. در این حالت، نتایج معمولاً گروه بندی شده و در قالب یک جدول همبستگی ارائه می شوند. در هر خانه از این جدول، اعداد آورده شده است nآی جی - آن جفت ها (x y)، که اجزای آن در فواصل گروه بندی مربوط به هر متغیر قرار می گیرند. با فرض اینکه طول فواصل گروه بندی (برای هر متغیر) با یکدیگر برابر باشند، مراکز x را انتخاب کنید. من(به ترتیب درمن) از این فواصل و تعداد nآی جی- به عنوان مبنای محاسبات

ضریب همبستگی معیاری از رابطه خطی بین متغیرهای تصادفی وابسته است: نشان می‌دهد که به طور متوسط ​​چقدر می‌توان یکی از متغیرها را به عنوان تابع خطی دیگری نشان داد.

ضریب همبستگی با فرمول زیر محاسبه می شود:

که و به ترتیب میانگین حسابی هستند ایکسو در.

ضریب همبستگی بین متغیرهای تصادفی در مقدار مطلق از 1 تجاوز نمی کند. به 1، رابطه خطی بین x و نزدیکتر است y

در مورد یک همبستگی غیر خطی، مقادیر میانگین شرطی در نزدیکی خط منحنی قرار دارند. در این مورد، توصیه می شود از نسبت همبستگی به عنوان مشخصه قدرت اتصال استفاده شود که تفسیر آن به نوع وابستگی مورد مطالعه بستگی ندارد.

نسبت همبستگی با فرمول محاسبه می شود:

جایی که nمن = , nf= و شمارنده پراکندگی میانگین های شرطی را مشخص می کند y،در مورد میانگین بی قید و شرط y.

همیشه ... هست. برابری = 0 مربوط به متغیرهای تصادفی غیر همبسته است. = 1 اگر و تنها در صورتی که یک رابطه عملکردی دقیق بین وجود داشته باشد yو x. در مورد رابطه خطی yاز x، نسبت همبستگی با مجذور ضریب همبستگی منطبق است. ارزش - ? 2 به عنوان شاخص انحراف رگرسیون از خطی بودن استفاده می شود.

نسبت همبستگی معیاری از همبستگی است yبا ایکسبه هر شکل، اما نمی تواند ایده ای از درجه تقریب داده های تجربی به یک فرم خاص ارائه دهد. برای فهمیدن اینکه منحنی ساخته شده تا چه حد دقیق داده های تجربی را منعکس می کند، یک مشخصه دیگر معرفی می شود - ضریب جبر.

برای توصیف آن، مقادیر زیر را در نظر بگیرید. مجموع مجذورات است، میانگین کجاست.

می توانیم برابری زیر را ثابت کنیم

جمله اول برابر است با Sres = و جمع باقیمانده مربع ها نامیده می شود. این انحراف تجربی از نظری را مشخص می کند.

جمله دوم برابر با Sreg = 2 است و مجموع رگرسیون مربع ها نامیده می شود و مشخص کننده گسترش داده ها است.

بدیهی است که برابری زیر S پر = اس ost + S reg.

ضریب جبر با فرمول تعیین می شود:

هرچه مجموع باقیمانده مربع ها در مقایسه با مجموع مجموع مربع ها کوچکتر باشد، مقدار ضریب جبر بیشتر است. r2 ، که نشان می دهد معادله ایجاد شده توسط تحلیل رگرسیون چقدر روابط بین متغیرها را توضیح می دهد. اگر برابر با 1 باشد، یک همبستگی کامل با مدل وجود دارد، یعنی. تفاوتی بین مقادیر y واقعی و تخمینی وجود ندارد. در غیر این صورت، اگر ضریب جبر 0 باشد، معادله رگرسیون نمی تواند مقادیر y را پیش بینی کند.

ضریب جبر همیشه از نسبت همبستگی تجاوز نمی کند. در صورتی که برابری r 2 = پس می توانیم فرض کنیم که فرمول تجربی ساخته شده با دقت بیشتری داده های تجربی را منعکس می کند.

2. بیان مسئله

1. با استفاده از روش حداقل مربعات، تابع مشخص شده در جدول تقریبی می شود

الف) چند جمله ای درجه اول؛

ب) چند جمله ای درجه دوم؛

ج) وابستگی نمایی.

برای هر وابستگی، ضریب جبر را محاسبه کنید.

ضریب همبستگی (فقط در مورد الف) را محاسبه کنید.

برای هر وابستگی یک خط روند رسم کنید.

با استفاده از تابع LINEST، مشخصه های عددی وابستگی به را محاسبه کنید.

محاسبات خود را با نتایج به دست آمده با استفاده از تابع LINEST مقایسه کنید.

نتیجه گیری کنید که کدام یک از فرمول های به دست آمده بهترین تقریب تابع را دارد.

برنامه ای را به یکی از زبان های برنامه نویسی بنویسید و نتایج محاسبات را با نتایج به دست آمده در بالا مقایسه کنید.

3. داده های اولیه

تابع در شکل 1 آورده شده است.

4. محاسبه تقریب ها در صفحه گسترده Excel

برای محاسبات، توصیه می شود از صفحه گسترده مایکروسافت اکسل استفاده کنید. و داده ها را مطابق شکل 2 مرتب کنید.

برای این وارد می کنیم:

· در سلول های A6:A30 مقادیر xi را وارد می کنیم .

· در سلول های B6:B30 مقادیر رابط کاربری را وارد می کنیم .

· در سلول C6 فرمول =A6^ را وارد کنید 2.

· این فرمول در سلول های C7:C30 کپی می شود.

· در سلول D6 فرمول =A6*B6 را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های D7:D30 کپی می شود.

· در سلول F6 فرمول =A6^4 را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های F7:F30 کپی می شود.

· در سلول G6 فرمول =A6^2*B6 را وارد می کنیم.

· این فرمول در سلول های G7:G30 کپی می شود.

· در سلول H6 فرمول =LN(B6) را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های H7:H30 کپی می شود.

· در سلول I6 فرمول =A6*LN(B6) را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های I7:I30 کپی می شود. ما مراحل زیر را با استفاده از autosummation انجام می دهیم

· در سلول A33، فرمول = SUM (A6: A30) را وارد کنید.

· در سلول B33، فرمول = SUM (B6: B30) را وارد کنید.

· در سلول C33، فرمول = SUM (C6: C30) را وارد کنید.

· در سلول D33 فرمول = SUM (D6: D30) را وارد کنید.

· در سلول E33 فرمول =SUM (E6:E30) را وارد کنید.

· در سلول F33 فرمول = SUM (F6: F30) را وارد کنید.

· در سلول G33، فرمول = SUM (G6: G30) را وارد کنید.

· در سلول H33، فرمول = SUM (H6: H30) را وارد کنید.

· در سلول I33 فرمول = SUM (I6: I30) را وارد کنید.

تابع را تقریب می کنیم y=f(x) تابع خطی y=a1 +a2ایکس. برای تعیین ضرایب a 1و الف 2ما از سیستم (4) استفاده می کنیم. با استفاده از مجموع جدول 2، واقع در سلول های A33، B33، C33 و D33، سیستم (4) را به صورت می نویسیم.

با حل آن، a را دریافت می کنیم 1= -24.7164 و a2 = 11,63183

بنابراین، تقریب خطی شکل دارد y= -24.7164 + 11.63183x (12)

سیستم (11) با استفاده از مایکروسافت اکسل حل شد. نتایج در شکل 3 ارائه شده است:

در جدول، سلول های A38:B39 حاوی فرمول (=NBR (A35:B36)) هستند. سلول های E38:E39 حاوی فرمول (=MULTI(A38:B39, C35:C36)) هستند.

در مرحله بعد، تابع را تقریبی می کنیم y=f(x) تابع درجه دوم y=a1 +a2 x + a3 ایکس2. برای تعیین ضرایب a 1، آ 2و الف 3ما از سیستم (5) استفاده می کنیم. با استفاده از مجموع جدول 2، واقع در سلول های A33، B33، C33، D33، E33، F33 و G33، سیستم (5) را به صورت زیر می نویسیم:

با حل آن به a می رسیم 1= 1.580946، الف 2= -0.60819 و a3 = 0,954171 (14)

بنابراین، تقریب درجه دوم به شکل زیر است:

y \u003d 1.580946 -0.60819x + 0.954171 x2

سیستم (13) با استفاده از مایکروسافت اکسل حل شد. نتایج در شکل 4 ارائه شده است.

در جدول، سلول های A46:C48 حاوی فرمول (=NBR (A41:C43)) هستند. سلول های F46:F48 حاوی فرمول (=MULTI(A41:C43, D46:D48)) هستند.

حالا تابع را تقریبی می کنیم y=f(x) تابع نمایی y=a1 هa2x. برای تعیین ضرایب آ1 و آ2 لگاریتم مقادیر را بگیرید yمنو با استفاده از مجموع جدول 2، واقع در سلول های A26، C26، H26 و I26، سیستم را بدست می آوریم:

جایی که с = ln(a1 ).

حل سیستم (10) را پیدا می کنیم c =0.506435، a2 = 0.409819.

پس از تقویت، a1 به دست می آید = 1,659365.

بنابراین، تقریب نمایی شکل دارد y = 1.659365*e0.4098194x

سیستم (15) با استفاده از Microsoft Excel حل شد. نتایج در شکل 5 نشان داده شده است.

در جدول، سلول های A55:B56 حاوی فرمول (=NBR (A51:B52)) هستند. سلول های E54:E56 حاوی فرمول (=MULTIPLE(A51:B52, C51:C52)) هستند. سلول E56 حاوی فرمول =EXP(E54) است.

میانگین حسابی x و y را با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کنید:

نتایج محاسبه x و yابزارهای Microsoft Excel در شکل 6 نشان داده شده است.

سلول B58 حاوی فرمول =A33/25 است. سلول B59 حاوی فرمول =B33/25 است.

جدول 2

اجازه دهید نحوه تنظیم جدول شکل 7 را توضیح دهیم.

سلول های A6:A33 و B6:B33 قبلا پر شده اند (شکل 2 را ببینید).

· در سلول J6، فرمول =(A6-$B$58)*(B6-$B$59) را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های J7:J30 کپی می شود.

· در سلول K6، فرمول =(A6-$B$58)^ را وارد کنید 2.

· این فرمول در سلول های K7:K30 کپی می شود.

· در سلول L6، فرمول =(B1-$B$59)^2 را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های L7:L30 کپی می شود.

· در سلول M6 فرمول =($E$38+$E$39*A6-B6)^2 را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های M7:M30 کپی می شود.

· در سلول N6، فرمول =($F$46 +$F$47*A6 +$F$48*A6 L6-B6)^2 را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های N7:N30 کپی می شود.

· در سلول O6، فرمول =($E$56*EXP ($E$55*A6) - B6)^2 را وارد کنید.

· این فرمول در سلول های O7:O30 کپی می شود.

مراحل بعدی با استفاده از خلاصه خودکار انجام می شود.

· در سلول J33 فرمول =CYMM (J6:J30) را وارد کنید.

· در سلول K33، فرمول = SUM (K6: K30) را وارد کنید.

· در سلول L33، فرمول =CYMM (L6:L30) را وارد کنید.

· در سلول M33 فرمول = SUM (M6: M30) را وارد کنید.

· در سلول N33 فرمول = SUM (N6: N30) را وارد کنید.

· در سلول O33، فرمول = SUM (06:030) را وارد کنید.

حال بیایید ضریب همبستگی را با استفاده از فرمول (8) (فقط برای تقریب خطی) و ضریب جبر را با استفاده از فرمول (10) محاسبه کنیم. نتایج محاسبات با استفاده از Microsoft Excel در شکل 7 نشان داده شده است.

در جدول 8، سلول B61 حاوی فرمول =J33/(K33*L33^(1/2) است. سلول B62 حاوی فرمول =1 - M33/L33 است. سلول B63 حاوی فرمول =1 - N33/L33 است. سلول B64 حاوی فرمول است. فرمول = 1 - O33/L33.

تجزیه و تحلیل نتایج محاسبات نشان می دهد که تقریب درجه دوم به بهترین وجه داده های تجربی را توصیف می کند.

4.1 نمودار در اکسل

بیایید سلول های A1:A25 را انتخاب کنیم، پس از آن به جادوگر نمودار می رویم. بیایید طرح پراکندگی را انتخاب کنیم. پس از ساخت نمودار، روی خط نمودار کلیک راست کرده و یک خط روند (به ترتیب خطی، نمایی، توان و چند جمله ای درجه دوم) را انتخاب کنید.

نمودار تقریب خطی

طرح تقریب درجه دوم

طرح برازش نمایی.

5. تقریب یک تابع با استفاده از MathCAD

تقریب داده ها با در نظر گرفتن پارامترهای آماری آنها به مشکلات رگرسیونی اشاره دارد. آنها معمولاً در طول پردازش داده های تجربی به دست آمده در نتیجه اندازه گیری فرآیندها یا پدیده های فیزیکی که ماهیت آماری دارند (مانند اندازه گیری در رادیومتری و ژئوفیزیک هسته ای) یا در سطح بالایی از تداخل (نویز) به وجود می آیند. وظیفه تحلیل رگرسیون انتخاب فرمول های ریاضی است که داده های تجربی را به بهترین شکل توصیف می کند.

.1 رگرسیون خطی

رگرسیون خطی در سیستم Mathcad بر روی بردارهای آرگومان انجام می شود ایکسو قرائت ها Yکارکرد:

رهگیری (x,y)- پارامتر را محاسبه می کند آ1 , تغییر عمودی خط رگرسیون (شکل را ببینید)

شیب (x, y)- پارامتر را محاسبه می کند آ2 , شیب خط رگرسیون (شکل را ببینید)

y(x) = a1+a2*x

عملکرد corr(y، y(x))محاسبه می کند ضریب همبستگی پیرسون.هر چه او به او نزدیک تر است 1, داده های پردازش شده با دقت بیشتری با یک رابطه خطی مطابقت دارند (شکل را ببینید).

.2 رگرسیون چند جمله ای

رگرسیون چند جمله ای یک بعدی با درجه دلخواه n از چند جمله ای و با مختصات نمونه دلخواه در Mathcad توسط توابع انجام می شود:

رگرسیون (x, y, n)- یک بردار را محاسبه می کند اس،که شامل ضرایب می باشد اوچند جمله ای nدرجه هفتم؛

مقادیر ضرایب اومی توان از بردار استخراج کرد اسعملکرد زیرماتریس (S، 3، طول (S) - 1، 0، 0).

مقادیر بدست آمده از ضرایب در معادله رگرسیون استفاده می شود

y(x) = a1+a2*x+a3*x2 (به تصویر مراجعه کنید.)

.3 رگرسیون غیرخطی

برای فرمول های تقریب استاندارد ساده، تعدادی توابع رگرسیون غیر خطی ارائه شده است که در آنها پارامترهای تابع توسط برنامه Mathcad انتخاب می شوند.

از جمله آنها عملکرد است expfit (x، y، s)،که یک بردار حاوی ضرایب را برمی گرداند a1، a2و a3تابع نمایی

y(x) = a1 ^exp (a2x) + a3.بردار V اسمقادیر اولیه ضرایب وارد می شود a1، a2و a3تقریب اول

نتیجه

تجزیه و تحلیل نتایج محاسبات نشان می دهد که تقریب خطی به بهترین وجه داده های تجربی را توصیف می کند.

نتایج به دست آمده با استفاده از برنامه MathCAD کاملاً با مقادیر به دست آمده با استفاده از Excel مطابقت دارد. این نشان دهنده صحت محاسبات است.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. انفورماتیک: کتاب درسی / ویرایش. پروفسور N.V. ماکاروا. M.: امور مالی و آمار 2007
2. انفورماتیک: کارگاه فناوری کامپیوتر / زیر. اد. پروفسور N.V. ماکاروا. ام مالی و آمار، 2011.
3. N.S. پیسکونوف. حساب دیفرانسیل و انتگرال، 2010.
4. انفورماتیک، تقریب با روش حداقل مربعات، دستورالعمل، سن پترزبورگ، 2009.

تدریس خصوصی

برای یادگیری یک موضوع به کمک نیاز دارید؟

کارشناسان ما در مورد موضوعات مورد علاقه شما مشاوره یا خدمات آموزشی ارائه خواهند کرد.
درخواست ارسال کنیدنشان دادن موضوع در حال حاضر برای اطلاع از امکان اخذ مشاوره.

تقریب یک تابع با کمترین روش

مربع

1. هدف کار

2. دستورالعمل

2.2 بیان مشکل

2.3 روش برای انتخاب یک تابع تقریبی

2.4 تکنیک حل کلی

2.5 تکنیک برای حل معادلات عادی

2.7 روش محاسبه ماتریس معکوس

3. حساب دستی

3.1 داده های اولیه

3.2 سیستم معادلات عادی

3.3 حل سیستم ها به روش ماتریس معکوس

4. طرح الگوریتم ها

5. متن برنامه

6. نتایج محاسبه ماشین

1. هدف کار

این کار درسی آخرین بخش از رشته «ریاضیات محاسباتی و برنامه‌نویسی» است و دانش‌آموز را ملزم به حل تکالیف زیر در فرآیند اجرای آن می‌کند:

الف) توسعه عملی روشهای محاسباتی معمولی انفورماتیک کاربردی؛ ب) بهبود مهارت های توسعه الگوریتم ها و ساختن برنامه ها در یک زبان سطح بالا.

اجرای عملی کار دوره شامل حل مسائل مهندسی معمولی پردازش داده ها با استفاده از روش های جبر ماتریسی، حل سیستم های معادلات جبری خطی ادغام عددی است. مهارت های کسب شده در فرآیند تکمیل کار درسی، مبنایی برای استفاده از روش های محاسباتی ریاضیات کاربردی و تکنیک های برنامه نویسی در فرآیند مطالعه کلیه رشته های بعدی در دوره و پروژه های فارغ التحصیلی است.

2. دستورالعمل

2.2 بیان مشکل

هنگام مطالعه وابستگی‌های بین کمیت‌ها، یک کار مهم نمایش تقریبی (تقریبی) این وابستگی‌ها با استفاده از توابع شناخته شده یا ترکیبات آنها است که به روشی مناسب انتخاب شده است. رویکرد به چنین مشکلی و روش خاص برای حل آن با انتخاب معیار کیفیت تقریبی مورد استفاده و شکل ارائه داده های اولیه تعیین می شود.

2.3 روش برای انتخاب یک تابع تقریبی

تابع تقریبی از یک خانواده معین از توابع انتخاب می شود که شکل تابع برای آنها داده شده است، اما پارامترهای آن تعریف نشده باقی می مانند (و باید تعیین شوند)، یعنی.

تعریف تابع تقریبی φ به دو مرحله اصلی تقسیم می شود:

انتخاب یک نوع عملکرد مناسب؛

یافتن پارامترهای آن مطابق با معیار حداقل مربعات.

انتخاب نوع تابع یک مسئله پیچیده است که با تقریب های آزمایشی و متوالی حل می شود. داده های اولیه ارائه شده به صورت گرافیکی (خانواده نقاط یا منحنی ها) با یک خانواده از نمودارهای تعدادی از توابع معمولی که معمولاً برای اهداف تقریبی استفاده می شوند مقایسه می شوند. برخی از انواع توابع مورد استفاده در مقاله ترم در جدول 1 نشان داده شده است.

اطلاعات دقیق تر در مورد رفتار توابع که می توانند در مسائل تقریبی استفاده شوند را می توان در ادبیات مرجع یافت. در اکثر وظایف دوره، نوع تابع تقریبی آورده شده است.

2.4 تکنیک حل کلی

پس از انتخاب نوع تابع تقریبی (یا تنظیم این تابع) و در نتیجه تعیین وابستگی عملکردی (1)، لازم است مطابق با الزامات LSM، مقادیر پارامترها را پیدا کنید. С 1 , С 2 , …, С m . همانطور که قبلا ذکر شد، پارامترها باید به گونه ای تعیین شوند که مقدار معیار در هر یک از مسائل مورد بررسی در مقایسه با مقدار آن برای سایر مقادیر ممکن پارامترها کوچکترین باشد.

برای حل مشکل، عبارت (1) را جایگزین عبارت مربوطه می کنیم و عملیات لازم جمع یا ادغام (بسته به نوع I) را انجام می دهیم. در نتیجه، مقدار I، که از این پس به عنوان معیار تقریب نامیده می شود، با تابعی از پارامترهای مورد نظر نشان داده می شود.

موارد زیر به یافتن حداقل این تابع از متغیرهای С k خلاصه می شود. تعیین مقادیر C k =C k * , k = 1, m مربوط به این عنصر I و هدف حل مسئله است.

انواع توابع جدول 1

نوع عملکرد	نام تابع
Y=C 1 + C 2 x	خطی
Y \u003d C 1 + C 2 x + C 3 x 2	درجه دوم (پارابولیک)
Y=	گویا (چند جمله ای درجه n)
Y=C1 +C2	نسبت معکوس
Y=C1 +C2	توان کسری گویا
Y=	کسری-عقلی (درجه اول)
Y=C 1 + C 2 X C3	قدرت
Y=C 1 + C 2 a C3 x	تظاهرات
Y=C 1 +C 2 log a x	لگاریتمی
Y \u003d C 1 + C 2 X n (0	غیر منطقی، جبری
Y=C 1 sinx+C 2 cosx	توابع مثلثاتی (و معکوس آنها)

دو روش زیر برای حل این مشکل امکان پذیر است: استفاده از شرایط شناخته شده برای حداقل یک تابع از چندین متغیر یا یافتن مستقیم حداقل نقطه تابع توسط هر یک از روش های عددی.

برای اجرای اولین مورد از این رویکردها، از شرط حداقل لازم برای تابع (1) چندین متغیر استفاده می کنیم که بر اساس آن مشتقات جزئی این تابع با توجه به همه آرگومان های آن باید در نقطه حداقل برابر با صفر باشد.

برابری های m حاصل را باید به عنوان سیستمی از معادلات با توجه به C 1 , С 2 ,…, С m مورد نظر در نظر گرفت. برای یک شکل دلخواه از وابستگی تابعی (1)، معادله (3) با توجه به مقادیر C k غیر خطی است و حل آنها نیاز به استفاده از روش‌های عددی تقریبی دارد.

استفاده از برابری (3) فقط شرایط لازم، اما ناکافی را برای حداقل (2) فراهم می کند. بنابراین، باید روشن شود که آیا مقادیر یافت شده C k * دقیقاً حداقل تابع را ارائه می دهند . در حالت کلی، چنین پالایشی خارج از محدوده این کار درسی است و وظایف پیشنهادی برای کار درسی به گونه ای انتخاب می شوند که راه حل یافت شده سیستم (3) دقیقاً با حداقل I مطابقت داشته باشد. اما از آنجایی که مقدار I غیر منفی است (به عنوان مجموع مربع ها) و حد پایین آن 0 است (I=0)، سپس اگر یک راه حل منحصر به فرد برای سیستم (3) وجود داشته باشد، دقیقاً با حداقل I مطابقت دارد.

هنگامی که تابع تقریبی با عبارت کلی (1) نشان داده می شود، معادلات نرمال مربوطه (3) نسبت به Cc مورد نظر غیر خطی هستند. حل آنها می تواند با مشکلات قابل توجهی همراه باشد. در چنین مواردی، جستجوی مستقیم برای حداقل تابع ترجیح داده می شود در محدوده مقادیر ممکن آرگومان های آن C k، که به استفاده از روابط مربوط نمی شود (3). ایده کلی چنین جستجویی این است که مقادیر آرگومان های C را تغییر داده و در هر مرحله مقدار مربوط به تابع I را به حداقل یا به اندازه کافی نزدیک به آن محاسبه کنید.

2.5 تکنیک برای حل معادلات عادی

یکی از راه های ممکن برای به حداقل رساندن معیار تقریب (2) شامل حل سیستم معادلات عادی (3) است. هنگامی که یک تابع خطی از پارامترهای مورد نظر به عنوان یک تابع تقریبی انتخاب می شود، معادلات عادی سیستمی از معادلات جبری خطی هستند.

سیستمی از n معادله خطی به شکل کلی:

(4) را می توان با استفاده از نماد ماتریس به شکل زیر نوشت: A X=B،

; ; (5)

ماتریس مربع A نامیده می شود ماتریس سیستمو به ترتیب بردارهای X و B بردار ستونی سیستم های ناشناختهو بردار ستون اعضای آزاد آن .

به صورت ماتریسی، سیستم اصلی n معادله خطی را نیز می توان به صورت زیر نوشت:

حل یک سیستم معادلات خطی به یافتن مقادیر عناصر بردار ستون (x i) کاهش می یابد که ریشه های سیستم نامیده می شود. برای اینکه این سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، معادله n آن باید مستقل خطی باشد. شرط لازم و کافی برای این کار این است که تعیین کننده سیستم برابر با صفر نباشد، یعنی. ∆=detA≠0.

الگوریتم حل یک سیستم معادلات خطی به دو دسته مستقیم و تکراری تقسیم می شود. در عمل هیچ روشی نمی تواند بی نهایت باشد. برای به دست آوردن یک راه حل دقیق، روش های تکراری به تعداد بی نهایت عملیات حسابی نیاز دارند. در عمل، این عدد باید متناهی در نظر گرفته شود، و بنابراین، راه حل، در اصل، دارای مقداری خطا است، حتی اگر از خطاهای گرد کردن که اکثر محاسبات را همراهی می کنند، غفلت کنیم. در مورد روش های مستقیم، حتی با تعداد محدودی از عملیات، در اصل، اگر وجود داشته باشد، می توانند یک راه حل دقیق ارائه دهند.

روش های مستقیم و متناهی یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات را در تعداد محدودی از مراحل ممکن می سازد. اگر تمام فواصل محاسباتی با دقت محدود انجام شود، این راه حل دقیق خواهد بود.

2.7 روش محاسبه ماتریس معکوس

یکی از روش های حل سیستم معادلات خطی (4) که به شکل ماتریس A·X=B می نویسیم، با استفاده از ماتریس معکوس A -1 همراه است. در این صورت حل سیستم معادلات به صورت به دست می آید

که در آن A -1 ماتریسی است که به صورت زیر تعریف شده است.

فرض کنید A یک ماتریس مربع n x n با دترمینان غیر صفر detA≠0 باشد. سپس یک ماتریس معکوس R=A -1 وجود دارد که با شرط A R=E تعریف شده است.

که در آن Е یک ماتریس هویت است که تمام عناصر مورب اصلی آن برابر با I است و عناصر خارج از این قطر -0، Е=، که E i بردار ستونی است. ماتریس K یک ماتریس مربع به اندازه n x n است.

که در آن Rj یک بردار ستونی است.

ستون اول R=(r 11, r 21 ,…, r n 1) T را در نظر بگیرید که T به معنای جابجایی است. به راحتی می توان بررسی کرد که حاصلضرب A·R برابر با ستون اول E 1 =(1, 0, ..., 0) T ماتریس هویت E است. بردار R 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات خطی A R 1 = E 1 در نظر گرفت. به همین ترتیب، m-امین ستون ماتریس R , Rm, 1≤ m ≤ n, راه حلی برای معادله A Rm است. =Em، که در آن Em=(0، …، 1، 0) T m ستون ماتریس هویت Е است.

بنابراین، ماتریس معکوس R مجموعه ای از راه حل های n سیستم معادلات خطی است

A Rm=Em، 1≤ m ≤ n.

برای حل این سیستم ها می توان از هر روشی که برای حل معادلات جبری توسعه داده شده است استفاده کرد. با این حال، روش گاوس امکان حل همه این n سیستم را به طور همزمان، اما مستقل از یکدیگر فراهم می کند. در واقع، تمام این سیستم های معادلات فقط در سمت راست متفاوت هستند و تمام تبدیل هایی که در روند مستقیم روش گاوس انجام می شود به طور کامل توسط عناصر ماتریس ضرایب (ماتریس A) تعیین می شود. بنابراین، در طرح های الگوریتم ها، تنها بلوک های مرتبط با تبدیل بردار B در معرض تغییر هستند.در مورد ما، n بردار Em، 1 ≤ m ≤ n، به طور همزمان تبدیل می شوند. نتیجه حل نیز نه یک بردار، بلکه n بردار Rm، 1≤ m ≤ n خواهد بود.

3. حساب دستی

3.1 داده های اولیه

شی	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1
یی	1,2	0,7	0,3	-0,3	-1,4

3.2 سیستم معادلات عادی

3.3 حل سیستم ها به روش ماتریس معکوس

معادله خطی تابع مربع تقریبی

5 3,5 2,6 0,5 5 3,5 2,6 0,5

3,5 2,85 2,43 -0,89 0 0,4 0,61 -1,24

2,56 2,43 2,44 -1,86 0 0,638 1,109 -2,116

0 0,4 0,61 -1,24

0 0 0,136 -0,138

نتایج محاسبات:

C 1 = 1.71; C 2 = -1.552; C 3 \u003d -1.015؛

تابع تقریب:

4 . متن برنامه

جرم=آرایه واقعی;

mass1=آرایه واقعی;

mass2=آرایه واقعی;

X، Y، E، y1، دلتا: جرم.

بزرگ، r، جمع، دما، حداکثر، Q: واقعی.

i,j,k,l,num: byte;

ProcedureVOD(var E: mass);

برای i: = 1 تا 5 انجام دهید

تابع FI(i ,k: integer): real;

اگر i=1 پس FI:=1;

اگر i=2 سپس FI:=Sin(x[k]);

اگر i=3 سپس FI:=Cos(x[k]);

رویه PEREST(i:integer;var a:mass1;var b:mass2);

برای l:= من تا 3 انجام دهید

اگر abs(a) > بزرگ است

بزرگ:=a; writeln(big:6:4);

writeln ("معادلات جابجایی")؛

اگر شماره<>من سپس

برای j:=i تا 3 انجام دهید

a:=a;

writeln("مقادیر X را وارد کنید");

writeln("_________________");

writeln("مقدار Y را وارد کنید");

writeln ("___________________");

برای i: = 1 تا 3 انجام دهید

برای j: = 1 تا 3 انجام دهید

برای k:=1 تا 5 انجام دهید

شروع A:= A+FI(i,k)*FI(j,k); نوشتن (a:7:5); پایان؛

writeln("_______________________");

writeln("ضریب MatrixAi,j");

برای i: = 1 تا 3 انجام دهید

برای j: = 1 تا 3 انجام دهید

نوشتن (A:5:2، "");

برای i: = 1 تا 3 انجام دهید

برای j: = 1 تا 5 انجام دهید

B[i]:=B[i]+Y[j]*FI(i,j);

writeln("____________________");

writeln("ضریب ماتریس Bi")؛

برای i: = 1 تا 3 انجام دهید

نوشتن (B[i]:5:2، "");

برای i:=1 تا 2 انجام دهید

برای k:=i+1 تا 3 انجام دهید

Q:=a/a; writeln("g=",Q);

برای j:=i+1 تا 3 انجام دهید

a:=a-Q*a; writeln("a=",a);

b[k]:=b[k]-Q*b[i]; writeln("b=",b[k]);

x1[n]:=b[n]/a;

برای i:=2 تا 1 انجام

برای j:=i+1 تا 3 انجام دهید

sum:=sum-a*x1[j];

x1[i]:=sum/a;

writeln("____________________");

writeln("مقدار ضرایب");

writeln ("_________________________");

برای i:=1 تا 3 انجام دهید

writeln("C",i,"=",x1[i]);

برای i:=1 تا 5 انجام دهید

y1[i]:= x1[k]*FI(k,i) + x1*FI(k+1,i) + x1*FI(k+2,i);

delta[i]:=abs(y[i]-y1[i]);

writeln(y1[i]);

برای i:=1 تا 3 انجام دهید

write(x1[i]:7:3);

برای i:=1 تا 5 انجام دهید

اگر delta[i]>maxD آنگاه maxD:=delta;

writeln("max Delta= ", maxD:5:3);

5 . نتایج محاسبه ماشین

C 1 \u003d 1.511; C 2 = -1.237; C 3 = -1.11;

نتیجه

در روند تکمیل کار دوره خود، من عملاً بر روش های محاسباتی معمولی ریاضیات کاربردی مسلط شدم، مهارت های خود را در توسعه الگوریتم ها و ساختن برنامه ها در زبان های سطح بالا بهبود بخشیدم. دریافت مهارت هایی که مبنای استفاده از روش های محاسباتی ریاضیات کاربردی و تکنیک های برنامه نویسی در فرآیند مطالعه کلیه رشته های بعدی در دوره و پروژه های فارغ التحصیلی می باشد.

تقریب داده‌های تجربی روشی مبتنی بر جایگزینی داده‌های به‌دست‌آمده تجربی با یک تابع تحلیلی است که در نقاط گره‌ای با مقادیر اولیه (داده‌های به‌دست‌آمده در طول آزمایش یا آزمایش) نزدیک‌ترین عبور یا مطابقت دارد. در حال حاضر دو روش برای تعریف یک تابع تحلیلی وجود دارد:

با ساختن چند جمله ای درون یابی n درجه که عبور می کند مستقیماً از طریق تمام نقاطآرایه داده شده در این مورد، تابع تقریبی به صورت زیر نمایش داده می شود: یک چند جمله ای درون یابی به شکل لاگرانژ یا یک چند جمله ای درون یابی به شکل نیوتن.

با ساختن چند جمله ای تقریبی n درجه که می گذرد نزدیک به نقاطاز آرایه داده داده شده بنابراین، تابع تقریبی تمام نویزها (یا خطاهای) تصادفی را که ممکن است در طول آزمایش رخ دهد صاف می کند: مقادیر اندازه گیری شده در طول آزمایش به عوامل تصادفی بستگی دارد که مطابق قوانین تصادفی خود (خطاهای اندازه گیری یا ابزار، عدم دقت یا تجربی) در نوسان هستند. خطاها). در این حالت، تابع تقریبی با روش حداقل مربعات تعیین می شود.

روش حداقل مربعات(در ادبیات انگلیسی Ordinary Least Squares، OLS) یک روش ریاضی مبتنی بر تعریف یک تابع تقریبی است که در نزدیکترین مجاورت به نقاط از یک آرایه داده‌های تجربی ساخته شده است. نزدیکی توابع اولیه و تقریبی F(x) با یک اندازه گیری عددی تعیین می شود، یعنی: مجموع انحرافات مجذور داده های تجربی از منحنی تقریبی F(x) باید کوچکترین باشد.

منحنی برازش با روش حداقل مربعات ساخته شده است

از روش حداقل مربعات استفاده می شود:

برای حل سیستم های معادلات بیش از حد تعیین شده زمانی که تعداد معادلات از تعداد مجهولات بیشتر باشد.

برای جستجوی راه حل در مورد سیستم های معادلات غیرخطی معمولی (نه بیش از حد تعیین شده).

برای تقریب مقادیر نقاط توسط برخی از تابع های تقریبی.

تابع تقریبی با روش حداقل مربعات از شرط حداقل مجموع مجذور انحرافات تابع تقریبی محاسبه شده از یک آرایه داده شده از داده های تجربی تعیین می شود. این معیار روش حداقل مربعات به صورت عبارت زیر نوشته می شود:

مقادیر تابع تقریبی محاسبه شده در نقاط گرهی،

آرایه مشخص داده های تجربی در نقاط گرهی.

یک معیار درجه دوم دارای تعدادی ویژگی "خوب" است، مانند تمایز پذیری، که یک راه حل منحصر به فرد برای مسئله تقریب با توابع تقریبی چند جمله ای ارائه می دهد.

بسته به شرایط مسئله، تابع تقریبی چند جمله ای درجه m است

درجه تابع تقریبی به تعداد نقاط گرهی بستگی ندارد، اما بعد آن باید همیشه کمتر از بعد (تعداد نقاط) آرایه داده شده از داده های تجربی باشد.

∙ اگر درجه تابع تقریبی m=1 باشد، تابع جدول را با یک خط مستقیم تقریب می زنیم (رگرسیون خطی).

∙ اگر درجه تابع تقریبی m=2 باشد، تابع جدول را با سهمی درجه دوم تقریب می کنیم (تقریبا درجه دوم).

∙ اگر درجه تابع تقریبی m=3 باشد، تابع جدول را با سهمی مکعبی تقریب می کنیم (تقریبا مکعب).

در حالت کلی، زمانی که نیاز به ساخت چند جمله ای تقریبی درجه m برای مقادیر جدولی داده شده باشد، شرط حداقل مجموع مجذور انحرافات روی تمام نقاط گرهی به شکل زیر بازنویسی می شود:

- ضرایب مجهول چند جمله ای تقریبی درجه m.

تعداد مقادیر جدول مشخص شده

شرط لازم برای وجود حداقل یک تابع، برابری با صفر مشتقات جزئی آن نسبت به متغیرهای مجهول است. . در نتیجه سیستم معادلات زیر را بدست می آوریم:

بیایید سیستم خطی معادلات حاصل را تبدیل کنیم: پرانتزها را باز کنید و عبارت های آزاد را به سمت راست عبارت منتقل کنید. در نتیجه، سیستم حاصل از عبارات جبری خطی به شکل زیر نوشته می شود:

این سیستم از عبارات جبری خطی را می توان به صورت ماتریسی بازنویسی کرد:

در نتیجه سیستمی از معادلات خطی با ابعاد m + 1 به دست آمد که از مجهولات m + 1 تشکیل شده است. این سیستم را می توان با استفاده از هر روشی برای حل معادلات جبری خطی (مثلاً روش گاوس) حل کرد. در نتیجه حل، پارامترهای ناشناخته تابع تقریبی پیدا می شود که حداقل مجذور انحرافات تابع تقریبی را از داده های اصلی ارائه می دهد. بهترین تقریب درجه دوم ممکن است. لازم به یادآوری است که اگر حتی یک مقدار از داده های اولیه تغییر کند، همه ضرایب مقادیر خود را تغییر می دهند، زیرا آنها کاملاً توسط داده های اولیه تعیین می شوند.

تقریب داده های اولیه با وابستگی خطی

(رگرسیون خطی)

به عنوان مثال، روش تعیین تابع تقریبی را در نظر بگیرید که به صورت یک رابطه خطی ارائه شده است. مطابق با روش حداقل مربعات، شرط حداقل مجموع مجذور انحرافات به صورت زیر نوشته می شود:

مختصات نقاط گرهی جدول؛

ضرایب ناشناخته تابع تقریبی که به صورت یک رابطه خطی آورده شده است.

شرط لازم برای وجود حداقل یک تابع، برابری با صفر مشتقات جزئی آن نسبت به متغیرهای مجهول است. در نتیجه سیستم معادلات زیر را بدست می آوریم:

اجازه دهید سیستم خطی معادلات حاصل را تبدیل کنیم.

ما سیستم معادلات خطی حاصل را حل می کنیم. ضرایب تابع تقریبی در شکل تحلیلی به صورت زیر تعیین می شود (روش کرامر):

این ضرایب ساخت یک تابع تقریبی خطی را مطابق با معیار کمینه سازی مجموع مجذورهای تابع تقریبی از مقادیر جدولی داده شده (داده های تجربی) فراهم می کند.

الگوریتم اجرای روش حداقل مربعات

1. داده های اولیه:

با توجه به آرایه ای از داده های تجربی با تعداد اندازه گیری N

درجه چند جمله ای تقریبی (m) داده شده است

2. الگوریتم محاسبه:

2.1. ضرایب برای ساخت یک سیستم معادلات با بعد تعیین می شود

ضرایب سیستم معادلات (سمت چپ معادله)

- شاخص شماره ستون ماتریس مربع سیستم معادلات

اعضای آزاد سیستم معادلات خطی (سمت راست معادله)

- شاخص شماره ردیف ماتریس مربع سیستم معادلات

2.2. تشکیل سیستم معادلات خطی با بعد .

2.3. حل یک سیستم معادلات خطی به منظور تعیین ضرایب مجهول چند جمله ای تقریبی درجه m.

2.4 تعیین مجموع انحرافات مجذور چند جمله ای تقریبی از مقادیر اولیه در تمام نقاط گرهی

مقدار یافت شده مجموع مجذور انحرافات حداقل ممکن است.

تقریب با سایر توابع

لازم به ذکر است که هنگام تقریب داده های اولیه مطابق با روش حداقل مربعات، گاهی اوقات از یک تابع لگاریتمی، یک تابع نمایی و یک تابع توان به عنوان یک تابع تقریبی استفاده می شود.

تقریب گزارش

موردی را در نظر بگیرید که تابع تقریبی با یک تابع لگاریتمی به شکل زیر داده می شود:

تقریب (از لاتین "تقریبی" - "رویکرد") - بیان تقریبی از هر شیء ریاضی (به عنوان مثال، اعداد یا توابع) از طریق دیگر ساده تر، راحت تر برای استفاده یا به سادگی بهتر شناخته شده است. در تحقیقات علمی، تقریب برای توصیف، تجزیه و تحلیل، تعمیم و استفاده بیشتر از نتایج تجربی استفاده می شود.

همانطور که مشخص است، زمانی که یک مقدار خاص با یک مقدار آرگومان مطابقت داشته باشد، می تواند یک ارتباط دقیق (عملکردی) بین مقادیر وجود داشته باشد.

هنگام انتخاب یک تقریب، باید از وظیفه خاص مطالعه پیش رفت. معمولاً هر چه معادله برای تقریب ساده تر باشد، توصیف به دست آمده از وابستگی تقریبی تر است. بنابراین، مهم است که بخوانید چقدر و چه چیزی باعث انحراف مقادیر خاص از روند حاصل شده است. هنگام توصیف وابستگی مقادیر تجربی تعیین شده، دقت بسیار بیشتری را می توان با استفاده از معادله پیچیده تر و چند پارامتری به دست آورد. با این حال، تلاش برای انتقال انحرافات تصادفی مقادیر در یک سری خاص از داده های تجربی با حداکثر دقت، فایده ای ندارد. هنگام انتخاب روش تقریبی، محقق همیشه مصالحه می کند: او تصمیم می گیرد که در این مورد تا چه حد مصلحت و مناسب است که جزئیات را "قربانی" کند و بر این اساس، وابستگی متغیرهای مقایسه شده تا چه حد تعمیم داده شود. همراه با آشکار کردن الگوهای داده‌های تجربی که با انحرافات تصادفی از الگوی عمومی پوشانده شده‌اند، تقریب همچنین اجازه می‌دهد تا بسیاری از مسائل مهم دیگر را حل کند: رسمی کردن وابستگی یافت شده. مقادیر ناشناخته متغیر وابسته را با درون یابی یا در صورت امکان برون یابی بیابید.

هدف از این کار درسی بررسی مبانی نظری تقریب یک تابع جدول بندی شده با روش حداقل مربعات و با استفاده از دانش نظری، یافتن چند جمله ای های تقریبی است. یافتن چند جمله ای های تقریبی در چارچوب این کار درسی با نوشتن برنامه ای به زبان پاسکال انجام می شود که الگوریتم توسعه یافته برای یافتن ضرایب چند جمله ای تقریبی را پیاده سازی می کند و همین مسئله را با استفاده از MathCad حل می کند.

در این کار دوره، برنامه پاسکال در پوسته PascalABC نسخه 1.0 بتا توسعه یافته است. حل مشکل در محیط MathCad در Mathcad نسخه 14.0.0.163 انجام شد.

فرمول بندی مسئله

در این دوره آموزشی باید موارد زیر را انجام دهید:

1. الگوریتمی برای یافتن ضرایب سه چند جمله ای (چند جمله ای) تقریبی شکل ایجاد کنید.

برای تابع جدول بندی شده y=f(x):

برای درجه چند جمله ای ها n=2، 4، 5.

2. یک بلوک دیاگرام از الگوریتم بسازید.

3. یک برنامه پاسکال ایجاد کنید که الگوریتم توسعه یافته را پیاده سازی کند.

5. نمودارهای 3 توابع تقریبی به دست آمده را در یک سیستم مختصات بسازید. نمودار نیز باید حاوی نقاط شروع باشد. (ایکس من , y من ) .

6. مشکل را با استفاده از MathCAD حل کنید.

نتایج حل مسئله با استفاده از برنامه ایجاد شده در زبان پاسکال و در محیط MathCAD باید در قالب سه چند جمله ای ساخته شده با استفاده از ضرایب یافت شده ارائه شود. جدولی حاوی مقادیر تابع به دست آمده با استفاده از چند جمله ای های یافت شده در نقاط xi و انحرافات استاندارد.

ساخت فرمول های تجربی به روش حداقل مربعات

اغلب اوقات، به ویژه هنگام تجزیه و تحلیل داده های تجربی، یافتن صریح رابطه عملکردی بین مقادیر x و y که در نتیجه اندازه گیری ها به دست می آیند ضروری است.

در یک مطالعه تحلیلی از رابطه بین دو کمیت x و y، یک سری مشاهدات انجام شده و نتیجه جدولی از مقادیر است:

ایکس			¼		¼
y			¼		¼

این جدول معمولاً در نتیجه برخی آزمایشات به دست می آید که در آن