فرمول های لگاریتمی لگاریتم 3 st p 4. لگاریتم

لگاریتم یک عدد ن با دلیل آ توان نامیده می شود ایکس ، که باید آن را مطرح کنید آ برای دریافت شماره ن

به شرطی که
,
,

از تعریف لگاریتم بر می آید که
، یعنی
- این برابری هویت لگاریتمی اساسی است.

لگاریتم های پایه 10 را لگاریتم اعشاری می نامند. بجای
نوشتن
.

لگاریتم های پایه ه طبیعی نامیده می شوند و نشان داده می شوند
.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم وحدت برای هر پایه صفر است

لگاریتم محصول برابر با مجموع استلگاریتم عوامل

3) لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها

عامل
مدول انتقال از لگاریتم در پایه نامیده می شود آ به لگاریتم در پایه ب .

با استفاده از ویژگی های 2-5، اغلب می توان لگاریتم یک عبارت پیچیده را به نتیجه عملیات ساده حسابی روی لگاریتم کاهش داد.

مثلا،

به چنین تبدیل های لگاریتم لگاریتم می گویند. تبدیل های متقابل لگاریتم ها را تقویت می گویند.

فصل 2. عناصر ریاضیات عالی.

1. محدودیت ها

محدودیت عملکرد
یک عدد محدود A است اگر، در هنگام تلاش xx 0 برای هر از پیش تعیین شده
، یک عدد وجود دارد
که به محض
، سپس
.

تابعی که حدی دارد به مقدار بی نهایت کوچک با آن تفاوت دارد:
، جایی که - b.m.w., i.e.
.

مثال. تابع را در نظر بگیرید
.

هنگام تلاش
، عملکرد y به صفر می رسد:

1.1. قضایای اساسی در مورد حدود

حد یک مقدار ثابت برابر با این مقدار ثابت است

.

حد مجموع (تفاوت) تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع (تفاوت) حدود این توابع.

حد حاصلضرب تعداد محدودی از توابع برابر است با حاصلضرب حدود این توابع.

حد نصاب دو تابع برابر است با نصاب حدود این توابع در صورتی که حد مخرج برابر با صفر نباشد.

محدودیت های قابل توجه

,
، جایی که

1.2. مثال های محاسبه حد

با این حال، همه محدودیت ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. بیشتر اوقات، محاسبه حد به افشای عدم قطعیت نوع کاهش می یابد: یا .

.

2. مشتق یک تابع

اجازه دهید یک تابع داشته باشیم
، پیوسته بر روی قطعه
.

بحث و جدل کمی تقویت شد
. سپس تابع افزایش می یابد
.

مقدار استدلال با مقدار تابع مطابقت دارد
.

مقدار استدلال
با مقدار تابع مطابقت دارد.

در نتیجه، .

اجازه دهید حد این رابطه را در پیدا کنیم
. اگر این حد وجود داشته باشد، آن را مشتق تابع داده شده می نامند.

تعریف مشتق 3 یک تابع معین
با استدلال حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان، زمانی که افزایش آرگومان خودسرانه به صفر میل می کند، نامیده می شود.

مشتق تابع
را می توان به صورت زیر نشان داد:

; ; ; .

تعریف 4عملیات یافتن مشتق تابع نامیده می شود تفکیک.

2.1. معنای مکانیکی مشتق.

حرکت مستقیم یک جسم صلب یا نقطه مادی را در نظر بگیرید.

اجازه دهید در یک نقطه از زمان نقطه متحرک
در فاصله ای بود از موقعیت شروع
.

بعد از مدتی
او فاصله ای را طی کرد
. نگرش =- سرعت متوسط ​​یک نقطه مادی
. اجازه دهید با در نظر گرفتن آن، حد این نسبت را پیدا کنیم
.

در نتیجه، تعیین سرعت لحظه ای یک نقطه مادی به یافتن مشتق مسیر با توجه به زمان کاهش می یابد.

2.2. ارزش هندسی مشتق

فرض کنید ما یک تابع تعریف شده گرافیکی داریم
.

برنج. 1. معنای هندسی مشتق

اگر یک
، سپس نکته
، در امتداد منحنی حرکت می کند و به نقطه نزدیک می شود
.

در نتیجه
، یعنی مقدار مشتق با توجه به مقدار آرگومان از نظر عددی برابر است با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس در یک نقطه معین با جهت مثبت محور
.

2.3. جدول فرمول های تمایز پایه.

تابع توان

تابع نمایی

تابع لگاریتمی

تابع مثلثاتی

تابع مثلثاتی معکوس

2.4. قوانین تمایز

مشتق از

مشتق مجموع (تفاوت) توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع

مشتق ضریب دو تابع

2.5. مشتق از تابع پیچیده.

اجازه دهید تابع
به طوری که می توان آن را به عنوان نشان داد

و
، جایی که متغیر پس یک استدلال میانی است

مشتق یک تابع مختلط برابر است با حاصل ضرب مشتق تابع داده شده نسبت به آرگومان میانی توسط مشتق استدلال میانی نسبت به x.

مثال 1.

مثال 2.

3. دیفرانسیل عملکرد.

بذار باشه
، در برخی فاصله ها قابل تمایز است
رهایش کن در این تابع یک مشتق دارد

,

سپس می توانید بنویسید

(1),

جایی که - یک کمیت بی نهایت کوچک،

زیرا در

ضرب تمام شرایط برابری (1) در
ما داریم:

جایی که
- b.m.v. مرتبه بالاتر.

ارزش
دیفرانسیل تابع نامیده می شود
و نشان داد

.

3.1. مقدار هندسی دیفرانسیل.

اجازه دهید تابع
.

شکل 2. معنای هندسی دیفرانسیل.

.

بدیهی است که دیفرانسیل تابع
برابر است با افزایش مختصات مماس در نقطه داده شده.

3.2. مشتقات و دیفرانسیل از سفارشات مختلف.

اگر وجود دارد
، سپس
مشتق اول نامیده می شود.

مشتق مشتق اول را مشتق مرتبه دوم می گویند و نوشته می شود
.

مشتق از مرتبه n تابع
مشتق نظم (n-1) نامیده می شود و نوشته می شود:

.

دیفرانسیل دیفرانسیل یک تابع را دیفرانسیل دوم یا دیفرانسیل مرتبه دوم می گویند.

.

.

3.3 حل مسائل بیولوژیکی با استفاده از تمایز.

وظیفه 1. مطالعات نشان داده است که رشد یک کلنی از میکروارگانیسم ها از قانون پیروی می کند
، جایی که ن - تعداد میکروارگانیسم ها (به هزار) تی - زمان (روزها).

ب) آیا جمعیت کلنی در این مدت افزایش می یابد یا کاهش می یابد؟

پاسخ. اندازه کلنی رشد خواهد کرد.

وظیفه 2. آب دریاچه به طور دوره ای برای کنترل محتوای باکتری های بیماری زا آزمایش می شود. از طریق تی روز پس از آزمایش، غلظت باکتری ها با نسبت تعیین می شود

.

چه زمانی حداقل غلظت باکتری ها به دریاچه می رسد و می توان در آن شنا کرد؟

راه حل یک تابع زمانی به max یا min می رسد که مشتق آن صفر باشد.

,

بیایید تعیین کنیم حداکثر یا حداقل در 6 روز خواهد بود. برای انجام این کار، مشتق دوم را می گیریم.

پاسخ: پس از 6 روز حداقل غلظت باکتری وجود خواهد داشت.

یکی از عناصر جبر سطح ابتدایی لگاریتم است. نام از یونانیاز کلمه "عدد" یا "قدرت" گرفته شده است و به معنای قدرتی است که برای یافتن عدد نهایی باید عدد را در پایه بالا برد.

انواع لگاریتم

• log a b لگاریتم عدد b به پایه a است (a > 0، a ≠ 1، b > 0).
• lg b - لگاریتم اعشاری (پایه لگاریتم 10، a = 10)؛
• ln b - لگاریتم طبیعی (پایه لگاریتم e، a = e).

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

لگاریتم عدد b به پایه a یک توان است که مستلزم آن است که پایه a به عدد b افزایش یابد. نتیجه به این صورت تلفظ می شود: "لگاریتم b به پایه a". راه حل مسائل لگاریتمی این است که باید درجه داده شده را با اعداد با اعداد مشخص شده تعیین کنید. قوانین اساسی برای تعیین یا حل لگاریتم و همچنین تبدیل خود نماد وجود دارد. با استفاده از آنها راه حلی ساخته می شود معادلات لگاریتمی، مشتقات پیدا می شوند، انتگرال ها حل می شوند و بسیاری از عملیات های دیگر انجام می شوند. اساساً راه حل خود لگاریتم نماد ساده شده آن است. در زیر فرمول ها و خواص اصلی آورده شده است:

برای هر یک ; a > 0; a ≠ 1 و برای هر x ; y > 0.

• a log a b = b هویت لگاریتمی پایه است
• ثبت یک = 0
• ورود a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x، برای k≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - فرمول انتقال به یک پایه جدید
• log a x = 1/log x a

نحوه حل لگاریتم - دستورالعمل گام به گام برای حل

• ابتدا معادله مورد نیاز را یادداشت کنید.

لطفا توجه داشته باشید: اگر لگاریتم پایه 10 باشد، رکورد کوتاه می شود، لگاریتم اعشاری به دست می آید. اگه ارزش داره عدد طبیعی e، سپس می نویسیم، کاهش به لگاریتم طبیعی. به این معنی که حاصل تمام لگاریتم ها توانی است که عدد پایه به آن افزایش می یابد تا عدد b به دست آید.

به طور مستقیم، راه حل در محاسبه این درجه نهفته است. قبل از حل یک عبارت با لگاریتم، باید طبق قاعده، یعنی با استفاده از فرمول، آن را ساده کرد. با کمی برگشت در مقاله می توانید هویت های اصلی را پیدا کنید.

جمع و تفریق لگاریتم با دو عدد متفاوت اما با همین زمینه ها، به ترتیب حاصل ضرب یا تقسیم اعداد b و c را با یک لگاریتم جایگزین کنید. در این مورد، می توانید فرمول انتقال را به پایه دیگری اعمال کنید (به بالا مراجعه کنید).

اگر از عبارات برای ساده کردن لگاریتم استفاده می کنید، محدودیت هایی وجود دارد که باید از آنها آگاه باشید. و آن این است: پایه لگاریتم a فقط یک عدد مثبت است، اما برابر با یک نیست. عدد b نیز مانند a باید بزرگتر از صفر باشد.

مواردی وجود دارد که با ساده کردن عبارت، نمی توانید لگاریتم را به صورت عددی محاسبه کنید. این اتفاق می افتد که چنین عبارتی معنی ندارد، زیرا بسیاری از درجات اعداد غیر منطقی هستند. در این شرایط، توان عدد را به عنوان لگاریتم بگذارید.

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را ساده تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید افزایش یابد تا \(8\) به دست آید. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

برهان و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این مدخل به این صورت خوانده می شود: «لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج».

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه تا چه حد باید افزایش یابد؟

مثلا، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) \(4\) باید به چه قدرتی برود؟ بدیهی است که دومی از همین رو:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ و چه درجه ای هر عددی را واحد می کند؟ البته صفر!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ در اول - هر عددی در درجه اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای بدست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از ما می دانیم که یک توان کسری است، به این معنی ریشه دومدرجه \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

پاسخ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا برابری عمل کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید x برابر چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین خواهد گفت: "X کمی کمتر از دو است." این عدد دقیقاً چگونه باید نوشته شود؟ برای پاسخ به این سوال، آنها لگاریتم را ارائه کردند. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تأکید کنم که \(\log_(3)(8)\) و همچنین هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم آن را در فرم بنویسیم کسر اعشاری، پس به این شکل می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

پاسخ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم بیان شد، پایه آن می تواند هر عدد مثبتی باشد به جز یک \((a>0, a\neq1)\). و در بین همه پایه های ممکن، دو پایه وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه ویژه برای لگاریتم ها با آنها اختراع شده است:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (برابر تقریباً \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود).

به این معنا که، \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

به این معنا که، \(\lg(a)\) یکسان است با \(\log_(10)(a)\)، جایی که \(a\) تعدادی عدد است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "هویت لگاریتمی پایه" نام دارد و به شکل زیر است:

این ویژگی مستقیماً از تعریف پیروی می کند. بیایید ببینیم این فرمول چگونه به وجود آمد.

تعریف کوتاه لگاریتم را به یاد بیاورید:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

بقیه خصوصیات لگاریتم را می توانید پیدا کنید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس می توانید به جای دو، \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر است با \(2\)، بنابراین می توانید \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسید. به طور مشابه با \(\log_(5)(25)\)، و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم این دو را به‌عنوان لگاریتم با هر پایه‌ای در هر جایی بنویسیم (حتی در یک معادله، حتی در یک عبارت، حتی در یک نابرابری) - ما فقط پایه مربع را به عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه گانه هم همینطور است - می توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \) ... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به عنوان یک لگاریتم با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : مقدار یک عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ : \(1\)

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، توان آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b * a c = a b + c). این قانون ریاضیتوسط ارشمیدس مشتق شد، و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان Virasen جدولی از شاخص های اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را تقریباً در همه جا می‌توان یافت، جایی که لازم است ضرب دست و پا گیر به جمع ساده ساده شود. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. زبان ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" با پایه "a" آن توان "c" در نظر گرفته می شود. ، که باید پایه "a" را به آن بالا برد تا در پایان مقدار "b" به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید چنین مدرکی پیدا کنید که از 2 تا مدرک مورد نیاز، 8 بگیرید. با انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و به درستی چون 2 به توان 3 عدد 8 را در جواب می دهد.

انواع لگاریتم ها

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع، لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع متمایز از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b به پایه a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، باید ویژگی های آنها و ترتیب اعمال را در تصمیم گیری های آنها به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده ـ محدودیت وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده اند، یعنی قابل بحث نیستند و صادق هستند. برای مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه یک درجه زوج را از اعداد منفی استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی یاد بگیرید که چگونه با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ کار کنید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و در عین حال برابر با 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه برابر با مقادیر خود هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، با توجه به وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x \u003d 100. بسیار آسان است، شما باید چنین توانی را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به 100 می رسیم. البته این 10 2 است. \u003d 100.

حال بیایید این عبارت را به صورت لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم ها، همه اقدامات عملاً با یافتن درجه ای که پایه لگاریتم باید وارد شود تا یک عدد معین را وارد کنیم، همگرا می شوند.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر شما ذهنیت فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارند. حتی برای کسانی که در مباحث پیچیده ریاضی اصلاً چیزی نمی فهمند می توانند از آن استفاده کنند. ستون سمت چپ شامل اعداد است (مبنای a)، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می‌یابد. در محل تقاطع سلول ها، مقادیر اعداد تعیین می شود که پاسخ (a c =b) است. به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرایان نیز متوجه خواهند شد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط خاص، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک معادله لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم 81 تا پایه 3 نوشت که چهار است (log 3 81 = 4). برای توان های منفی، قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 به عنوان لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، مبحث "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و راه حل های معادلات را کمی پایین تر در نظر خواهیم گرفت. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

عبارتی از شکل زیر داده می شود: log 2 (x-1) > 3 - it is نابرابری لگاریتمی، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شوند: لگاریتم عدد مورد نظر در پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها در این است که معادلات با لگاریتم (مثلا لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری، هر دو محدوده مقادیر قابل قبول و نقاط شکستن این تابع. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد فردی نیست، مانند پاسخ معادله، بلکه سری پیوستهیا مجموعه ای از اعداد

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف اولیه برای یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه با مثال هایی از معادلات آشنا می شویم، اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری تحلیل کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط در صورتی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان در فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. پيش نيازاست: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتم، با مثال و یک راه حل، اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2 , سپس a f1 = s 1 , a f2 = s 2. دریافت می کنیم که s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه ) و در ادامه با تعریف: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که قرار بود ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر فرضیه های منظم استوار است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

بگذارید a b \u003d t را وارد کنید، معلوم می شود t \u003d b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانید: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل لگاریتمی مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین در بخش اجباری امتحانات ریاضی گنجانده شده اند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در آزمون های ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه چنین کارهایی را به درستی حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما می توان از هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی استفاده کرد. قوانین خاص. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده یا کاهش داد نمای کلی. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید به زودی با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، لازم است تعیین کنیم که چه نوع لگاریتمی در پیش داریم: یک مثال از یک عبارت ممکن است حاوی یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که باید درجه ای را تعیین کنید که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید هویت لگاریتمی یا ویژگی های آنها را اعمال کرد. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید نمونه هایی از استفاده از قضایای اصلی در لگاریتم ها را بررسی کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم محصول می توان در کارهایی که نیاز به گسترش است استفاده کرد پراهمیتاعداد b به عوامل ساده تر مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید، با اعمال چهارمین خاصیت درجه لگاریتم، در نگاه اول موفق شدیم یک عبارت پیچیده و غیرقابل حل را حل کنیم. فقط باید پایه را فاکتورسازی کرد و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کرد.

وظایف از امتحان

لگاریتم اغلب در کنکور یافت می شود، به خصوص بسیاری از مشکلات لگاریتمی در امتحان ( آزمون دولتیبرای همه فارغ التحصیلان دبیرستان). معمولاً این کارها نه تنها در بخش A (آسان ترین بخش آزمایشی امتحان) بلکه در قسمت C (سخت ترین و پرحجم ترین کارها) وجود دارد. این آزمون مستلزم آگاهی دقیق و کامل از مبحث "لگاریتم های طبیعی" است.

مثال ها و راه حل های مشکل از رسمی گرفته شده است از گزینه های استفاده کنید. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم، دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• همه لگاریتم ها بهتر است به یک پایه کاهش داده شوند تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم به عنوان مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگام خارج کردن توان نشان بیان، که زیر علامت لگاریتم و به عنوان پایه آن است، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

عبارات لگاریتمی، حل مثال ها. در این مقاله به بررسی مسائل مربوط به حل لگاریتم می پردازیم. تکالیف پرسش از یافتن ارزش عبارت را مطرح می کند. لازم به ذکر است که مفهوم لگاریتم در بسیاری از کارها استفاده می شود و درک معنای آن بسیار مهم است. در مورد USE، لگاریتم در حل معادلات، در مسائل کاربردی و همچنین در کارهای مربوط به مطالعه توابع استفاده می شود.

در اینجا مثال هایی برای درک معنای لگاریتم آورده شده است:

هویت لگاریتمی پایه:

خواص لگاریتم که همیشه باید به خاطر بسپارید:

*لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل.

* * *

* لگاریتم ضریب (کسری) برابر است با اختلاف لگاریتم عوامل.

* * *

* لگاریتم درجه برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم پایه آن.

* * *

* انتقال به پایگاه جدید

* * *

خواص بیشتر:

* * *

محاسبه لگاریتم ارتباط نزدیکی با استفاده از ویژگی‌های توان دارد.

ما تعدادی از آنها را فهرست می کنیم:

ماهیت این ویژگی این است که هنگام انتقال صورت به مخرج و بالعکس، علامت توان به مخالف تغییر می کند. مثلا:

پیامد این خاصیت:

* * *

هنگام افزایش توان به توان، پایه ثابت می ماند، اما توان ها ضرب می شوند.

* * *

همانطور که می بینید، مفهوم لگاریتم ساده است. نکته اصلی این است که تمرین خوب مورد نیاز است، که مهارت خاصی را می دهد. مسلما دانش فرمول ها واجب است. اگر مهارت در تبدیل لگاریتم های ابتدایی شکل نگیرد، هنگام حل کارهای ساده، به راحتی می توان اشتباه کرد.

تمرین کنید، ابتدا ساده ترین مثال های درس ریاضی را حل کنید، سپس به سراغ نمونه های پیچیده تر بروید. در آینده، من قطعا نشان خواهم داد که چگونه لگاریتم های "زشت" حل می شوند، چنین مواردی در امتحان وجود نخواهد داشت، اما آنها مورد علاقه هستند، آن را از دست ندهید!

همین! موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ

P.S: اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی بگویید ممنون می شوم.