عملیات با اعشار ضرب و تقسیم اعشار

من. برای تقسیم یک اعشار بر یک عدد طبیعی، باید کسر را بر این عدد تقسیم کنید. اعداد صحیحو وقتی تقسیم قسمت صحیح تمام شد، یک کاما خصوصی قرار دهید.

مثال ها.

تقسیم را اجرا کنید: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

راه حل.

مثال 1) 96,25: 5.

به همان روشی که اعداد طبیعی تقسیم می شوند، بر یک "گوشه" تقسیم می کنیم. بعد از اینکه عدد را پایین آوردیم 2 (عدد دهم اولین رقم بعد از اعشار در رکورد سود 96 است. 2 5) در ضریب کاما قرار دهید و تقسیم را ادامه دهید.

پاسخ: 19,25.

مثال 2) 4,78: 4.

همانطور که اعداد طبیعی را تقسیم می کنیم، تقسیم می کنیم. در خصوصی به محض اینکه تخریب کردیم کاما بگذارید 7 - اولین رقم بعد از نقطه اعشار در سود 4، 7 8. تقسیم را بیشتر ادامه می دهیم. با تفریق 38-36، 2 می گیریم، اما تقسیم تمام نشده است. حال ما چطور است؟ می دانیم که صفرها را می توان در انتهای کسر اعشاری اضافه کرد - این مقدار کسری را تغییر نمی دهد. ما صفر را اختصاص می دهیم و 20 را بر 4 تقسیم می کنیم. 5 می گیریم - تقسیم به پایان رسیده است.

پاسخ: 1,195.

مثال 3) 183,06: 45.

18306 را بر 45 تقسیم کنید. به محض اینکه شکل را پایین آوردیم، در ضریب یک کاما قرار دهید. 0 - اولین رقم بعد از نقطه اعشار در سود 183، 0 6. درست مانند مثال 2)، ما باید صفر را به عدد 36 اختصاص دهیم - تفاوت بین اعداد 306 و 270.

پاسخ: 4,068.

نتیجه: هنگام تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی در خصوصی گذاشتن کاما بلافاصله پس از اینکه رقم را در محل دهم سود تقسیم می کنیم. لطفا توجه داشته باشید: همه برجسته شده اند اعداد به رنگ قرمز در این سه مثال متعلق به دسته دهم سود سهام

II. برای تقسیم یک اعشار بر 10، 100، 1000 و غیره، باید کاما را به اعداد 1، 2، 3 و غیره به سمت چپ منتقل کنید.

مثال ها.

انجام تقسیم: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

راه حل.

انتقال کاما به چپ بستگی به این دارد که چند صفر بعد از یک در مقسوم علیه باشد. بنابراین، هنگام تقسیم یک کسر اعشاری بر 10 ما در بخش پذیر حمل خواهیم کرد کاما در سمت چپ با یک رقم; هنگام تقسیم بر 100 - کاما را حرکت دهید با دو رقم باقی مانده است; هنگام تقسیم بر 1000 انتقال در کسر اعشاری داده شده کاما سه رقمی در سمت چپ.

قانون تقسیم کسرهای اعشاریبه اعداد طبیعی

چهار اسباب بازی یکسان در مجموع 921 روبل 20 کوپک قیمت دارند. قیمت یک اسباب بازی چقدر است (شکل 1 را ببینید)؟

برنج. 1. تصویر برای مشکل

راه حل

برای یافتن هزینه یک اسباب بازی، باید این مقدار را بر چهار تقسیم کنید. بیایید مبلغ را به کوپک تبدیل کنیم:

پاسخ: هزینه یک اسباب بازی 23030 کوپک است، یعنی 230 روبل 30 کوپک یا 230.3 روبل.

شما می توانید این مشکل را بدون تبدیل روبل به کوپک حل کنید، یعنی کسر اعشاری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید:.

برای تقسیم یک کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی، باید کسر را بر این عدد تقسیم کنید، زیرا اعداد طبیعی تقسیم می شوند و وقتی تقسیم کل قسمت تمام شد، در یک کاما خصوصی قرار دهید.

همانطور که اعداد طبیعی را تقسیم می کنیم در یک ستون تقسیم می کنیم. بعد از اینکه عدد 2 را خراب کردیم (عدد دهم اولین رقم بعد از اعشار در رکورد سود 921.20 است) در ضریب کاما قرار داده و تقسیم را ادامه دهید:

پاسخ: 230.3 روبل.

همانطور که اعداد طبیعی را تقسیم می کنیم در یک ستون تقسیم می کنیم. بعد از اینکه عدد 6 را پایین آوردیم (تعداد دهم عدد بعد از اعشار در رکورد سود 437.6 است) در ضریب کاما قرار داده و تقسیم را ادامه دهید:

اگر سود سهام مقسوم علیه کمتر، سپس ضریب از صفر شروع می شود.

1 بر 19 بخش پذیر نیست، بنابراین در ضریب صفر قرار می دهیم. تقسیم عدد صحیح تمام شده است، در خصوصی ما یک کاما می گذاریم. 7 را خراب می کنیم. 17 بر 19 بخش پذیر نیست، در خصوصی صفر می نویسیم. 6 را خراب می کنیم و تقسیم را ادامه می دهیم:

همانطور که اعداد طبیعی را تقسیم می کنیم، تقسیم می کنیم. در ضریب، به محض اینکه 8 را پایین می آوریم، یک کاما قرار می دهیم - اولین رقم بعد از نقطه اعشار در سود 74.8. بیایید تقسیم را ادامه دهیم. با تفریق عدد 8 به دست می آید اما تقسیم بندی تمام نشده است. ما می دانیم که صفرها را می توان در انتهای یک کسر اعشاری اضافه کرد - این مقدار کسری را تغییر نمی دهد. ما صفر را اختصاص می دهیم و 80 را بر 10 تقسیم می کنیم. 8 می گیریم - تقسیم به پایان رسیده است.

برای تقسیم یک کسر اعشاری بر 10، 100، 1000 و غیره، باید کاما را در این کسری به تعداد صفرهای پس از یک در مقسوم‌گیرنده به سمت چپ ببرید.

در این درس یاد گرفتیم که چگونه یک کسر اعشاری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنیم. ما یک متغیر با یک عدد طبیعی معمولی و همچنین گونه‌ای را در نظر گرفتیم که در آن تقسیم بر یک واحد بیت اتفاق می‌افتد (10، 100، 1000، و غیره).

حل معادلات:

برای پیدا کردن یک مقسوم علیه ناشناخته، باید سود تقسیمی را بر ضریب تقسیم کنید. به این معنا که .

ما به یک ستون تقسیم می کنیم. بعد از اینکه عدد 4 را خراب کردیم (تعداد دهم اولین رقم بعد از اعشار در رکورد سود 134.4 است) در ضریب کاما قرار داده و تقسیم را ادامه دهید:

می دانید که تقسیم یک عدد طبیعی a بر عدد طبیعی b به معنای یافتن عدد طبیعی c است که با ضرب در b عدد a به دست می آید. اگر حداقل یکی از اعداد a، b، c یک کسر اعشاری باشد، این عبارت درست باقی می ماند.

چندین مثال را در نظر بگیرید که در آنها مقسوم علیه یک عدد طبیعی است.

1.2: 4 \u003d 0.3، از 0.3 * 4 \u003d 1.2؛

2.5: 5 \u003d 0.5، از 0.5 * 5 \u003d 2.5؛

1: 2 = 0.5 از 0.5 * 2 = 1.

اما در مواردی که تقسیم را نمی توان به صورت شفاهی انجام داد چطور؟

به عنوان مثال، چگونه 43.52 را بر 17 تقسیم می کنید؟

با افزایش 100 برابری سود سهام 43.52 عدد 4352 را بدست می آوریم. سپس مقدار عبارت 4352:17 100 برابر بیشتر از مقدار عبارت 43.52:17 است. پس از تقسیم با یک گوشه، به راحتی می توانید 4352 را تعیین کنید: 17 = 256. در اینجا سود سهام 100 برابر بزرگ می شود. بنابراین، 43.52: 17 = 2.56. توجه داشته باشید که 2.56 * 17 = 43.52، که صحت تقسیم را تأیید می کند.

ضریب 2.56 را می توان به طور متفاوت به دست آورد. 4352 را با صرف نظر از کاما بر 17 گوشه تقسیم می کنیم. در این مورد، کاما در خصوصی باید بلافاصله قبل از اولین رقم پس از استفاده از نقطه اعشار در سود تقسیمی قرار گیرد:

اگر سود سهام کمتر از مقسوم علیه باشد، قسمت صحیح ضریب صفر است. مثلا:

بیایید یک مثال دیگر را در نظر بگیریم. بیایید ضریب 3.1:5 را پیدا کنیم. ما داریم:

ما روند تقسیم را متوقف کردیم زیرا ارقام سود سهام تمام شد و در باقی مانده صفر نشدیم. می دانید که اعشار تغییر نمی کند اگر هر عدد صفر را در سمت راست آن اضافه کنید. سپس مشخص می شود که اعداد سود سهام نمی توانند تمام شوند. ما داریم:

اکنون می‌توانیم ضریب دو عدد طبیعی را زمانی پیدا کنیم که سود به طور مساوی بر مقسوم‌کننده بخش‌پذیر نباشد. برای مثال، بیایید ضریب 31:5 را پیدا کنیم. بدیهی است که عدد 31 بر 5 بخش پذیر نیست:

ما روند تقسیم را متوقف کردیم زیرا اعداد سود سهام تمام شده است. با این حال، اگر سود تقسیمی را به صورت کسری اعشاری نشان دهید، تقسیم را می توان ادامه داد.

ما داریم: 31: 5 \u003d 31.0: 5. بعد، بیایید تقسیم یک گوشه را انجام دهیم:

بنابراین، 31: 5 = 6.2.

در پاراگراف قبل متوجه شدیم که اگر کاما با 1، 2، 3 و غیره به سمت راست منتقل شود. اعداد، آنگاه کسر به ترتیب 10، 100، 1000 و غیره افزایش می یابد و اگر کاما با اعداد 1، 2، 3 و غیره به سمت چپ منتقل شود، کسر به ترتیب کاهش می یابد. 10، 100، 1000 و غیره بار.

بنابراین در مواردی که مقسوم علیه 10، 100، 1000 و ... باشد از قاعده زیر استفاده می شود.

برای تقسیم یک اعشار بر 10، 100، 1000 و غیره، باید نقطه اعشار را در این کسر به اعداد 1، 2، 3 و غیره به سمت چپ منتقل کنید..

به عنوان مثال: 4.23: 10 = 0.423; 2: 100 = 0.02; 58.63: 1000 = 0.05863.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که چگونه یک کسر اعشاری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنیم.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه تقسیم بر یک کسری اعشاری را می توان به تقسیم بر یک عدد طبیعی تقلیل داد.

$\frac(2)(5) km = 400 m$

,

$\frac(20)(50) km = 400 m$

,

$\frac(200)(500) km = 400 m$

.

ما آن را دریافت می کنیم

$\frac(2)(5) = \frac(20)(50) = \frac(200)(500)$

آن ها 2:5 = 20:50 = 200:500.

این مثال موارد زیر را نشان می دهد: اگر سود تقسیمی و تقسیم کننده به طور همزمان 10، 100، 1000 و غیره افزایش یابد. بار، سپس ضریب تغییر نخواهد کرد .

بیایید ضریب 43.52: 1.7 را پیدا کنیم.

بیایید هم سود سهام و هم تقسیم کننده را 10 برابر افزایش دهیم. ما داریم:

43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .

بیایید هم سود سهام و هم تقسیم کننده را 10 برابر افزایش دهیم. ما داریم: 43.52: 1.7 = 25.6.

برای تقسیم اعشار بر اعشار:

1) کاماها را در تقسیم کننده و در تقسیم کننده به سمت راست با تعداد ارقامی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم وجود دارد حرکت دهید.

2) تقسیم بر یک عدد طبیعی را انجام دهید.

مثال 1 . وانیا 140 کیلوگرم سیب و گلابی جمع آوری کرد که 0.24 آن گلابی بود. وانیا چند کیلوگرم گلابی جمع کرد؟

راه حل. ما داریم:

0.24$=\frac(24)(100)$

.

1) 140 : 100 = 1.4 (کیلوگرم) - است

سیب و گلابی.

2) 1.4 * 24 = 33.6 (کیلوگرم) - گلابی برداشت شد.

پاسخ: 33.6 کیلوگرم.

مثال 2 . وینی پو برای صبحانه 0.7 بشکه عسل خورد. اگر وینی پو 4.2 کیلوگرم می خورد چند کیلوگرم عسل در بشکه بود؟

راه حل. ما داریم:

0.7$=\frac(7)(10)$

.

1) 4.2: 7 = 0.6 (کیلوگرم) - است

عسل کامل.

2) 0.6 * 10 = 6 (کیلوگرم) - عسل در بشکه وجود داشت.

پاسخ: 6 کیلوگرم.

§ 107. جمع کسرهای اعشاری.

جمع اعشار مانند جمع اعداد کامل انجام می شود. بیایید این را با مثال ببینیم.

1) 0.132 + 2.354. بیایید شرایط را یکی زیر دیگری امضا کنیم.

در اینجا از جمع 2 هزارم با 4 هزارم، 6 هزارم به دست آمد.
از جمع 3 صدم با 5 صدم، 8 صدم به دست آمد.
از جمع 1 دهم با 3 دهم -4 دهم و
از اضافه کردن 0 عدد صحیح با 2 عدد صحیح - 2 عدد صحیح.

2) 5,065 + 7,83.

در دوره دوم هزارم وجود ندارد، بنابراین مهم است که هنگام امضای شرایط زیر یکدیگر اشتباه نکنید.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

در اینجا، هنگام جمع هزارم، 21 هزارم بدست می آید. ما 1 را زیر هزارم نوشتیم و 2 را به صدم ها اضافه کردیم، بنابراین در مکان صدم عبارت های زیر را به دست آوردیم: 2 + 3 + 6 + 8 + 0. در مجموع 19 صدم می دهند، ما 9 تا زیر صدم امضا کردیم و 1 دهم حساب شد و غیره.

بنابراین، هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، ترتیب زیر باید رعایت شود: کسری ها یکی زیر دیگری امضا می شوند، به طوری که در تمام عبارات، ارقام یکسان زیر یکدیگر و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار می گیرند. در سمت راست ارقام اعشار برخی از عبارت‌ها، حداقل از نظر ذهنی، آن‌قدر عدد صفر را نسبت می‌دهند که همه عبارت‌های بعد از اعشار دارای تعداد یکسانی هستند. سپس، جمع با ارقام انجام می شود، از سمت راست شروع می شود، و در مجموع حاصل، کاما را در همان ستون عمودی که در این شرایط وجود دارد، قرار می دهند.

§ 108. تفریق کسرهای اعشاری.

تفریق اعداد اعشاری مانند تفریق اعداد صحیح انجام می شود. بیایید این را با مثال هایی نشان دهیم.

1) 9.87 - 7.32. بیایید زیر خط زیر را امضا کنیم تا واحدهای یک رقم زیر یکدیگر قرار گیرند:

2) 16.29 - 4.75. بیایید مانند مثال اول، زیرنویس را در زیر مینیوند امضا کنیم:

برای تفریق یک دهم، باید یک واحد کامل از 6 برداشت و به دهم تقسیم کرد.

3) 14.0213-5.350712. بیایید زیرنویس زیر را امضا کنیم:

تفریق به صورت زیر انجام شد: از آنجایی که نمی‌توانیم 2 میلیونیم از 0 کم کنیم، باید به نزدیک‌ترین رقم سمت چپ یعنی صد هزارم مراجعه کنیم، اما به جای صدهزارم صفر نیز وجود دارد، بنابراین 1 را می‌گیریم. ده هزارم از 3 ده هزارم و آن را به صد هزارم تقسیم می کنیم، 10 صد هزارم به دست می آید که 9 صد هزارم در دسته صد هزارم باقی می ماند و 1 صد هزارم به میلیونم خرد می شود. ما 10 میلیونیم می گیریم. بنابراین، در سه رقم آخر، به دست آوردیم: میلیونیم 10، صد هزارم 9، ده هزارم 2. برای وضوح و راحتی بیشتر (فراموش نشود)، این اعداد در بالای ارقام کسری مربوطه نوشته می شوند. حالا می توانیم شروع به تفریق کنیم. از 10 میلیونیم 2 میلیونیم کم می کنیم، 8 میلیونیم می گیریم. 1 صد هزارم را از 9 صد هزارم کم می کنیم، 8 صد هزارم می گیریم و غیره.

بنابراین، هنگام تفریق کسرهای اعشاری، ترتیب زیر مشاهده می شود: زیرمجموعه زیر کاهش می یابد به طوری که ارقام یکسان یکی زیر دیگری و همه کاماها در یک ستون عمودی قرار می گیرند. در سمت راست، حداقل از نظر ذهنی، آنقدر صفر را در کاهش یا تفریق نسبت می‌دهند تا تعداد ارقام یکسانی داشته باشند، سپس با اعداد از سمت راست شروع می‌کنند و در اختلاف حاصل یک کاما در علامت می‌گذارند. همان ستون عمودی که در آن در کاهش و تفریق قرار دارد.

§ 109. ضرب کسرهای اعشاری.

چند مثال از ضرب کسرهای اعشاری را در نظر بگیرید.

برای یافتن حاصلضرب این اعداد، می‌توانیم به این صورت استدلال کنیم: اگر ضریب ۱۰ برابر شود، هر دو ضریب اعداد صحیح خواهند بود و می‌توانیم آنها را طبق قوانین ضرب اعداد صحیح ضرب کنیم. اما می دانیم که وقتی یکی از فاکتورها چندین برابر شود، محصول به همان میزان افزایش می یابد. یعنی عددی که از ضرب ضرایب صحیح یعنی 28 در 23 به دست می آید 10 برابر بزرگتر از حاصل ضرب واقعی است و برای بدست آوردن کار واقعی، باید محصول یافت شده را 10 برابر کاهش دهید. بنابراین، در اینجا باید یک بار ضرب در 10 و یک بار تقسیم بر 10 انجام دهید، اما ضرب و تقسیم بر 10 با حرکت دادن کاما به راست و چپ با یک علامت انجام می شود. بنابراین، شما باید این کار را انجام دهید: در ضریب، کاما را با یک علامت به سمت راست حرکت دهید، از این مقدار برابر با 23 خواهد بود، سپس باید اعداد صحیح حاصل را ضرب کنید:

این محصول 10 برابر بزرگتر از نمونه واقعی است. بنابراین باید 10 برابر کاهش یابد که برای آن کاما را یک کاراکتر به سمت چپ منتقل می کنیم. بنابراین، ما دریافت می کنیم

28 2,3 = 64,4.

برای تأیید، می توانید یک کسر اعشاری را با مخرج بنویسید و عملی را مطابق قانون ضرب کسرهای معمولی انجام دهید.

2) 12,27 0,021.

تفاوت این مثال با مثال قبلی در این است که در اینجا هر دو عامل با کسری اعشاری نشان داده می شوند. اما در اینجا در فرآیند ضرب به کاما توجه نخواهیم کرد، یعنی ضریب را موقتاً 100 برابر و ضریب را 1000 برابر می کنیم که حاصل ضرب را 100000 برابر می کنیم. بنابراین، با ضرب 1227 در 21، به دست می آید:

1 227 21 = 25 767.

با در نظر گرفتن اینکه محصول به دست آمده 100000 برابر بزرگتر از محصول واقعی است، اکنون باید با قرار دادن صحیح کاما آن را 100000 برابر کاهش دهیم، سپس دریافت می کنیم:

32,27 0,021 = 0,25767.

بیایید بررسی کنیم:

بنابراین، برای ضرب دو کسر اعشاری کافی است بدون توجه به کاما، آنها را به صورت اعداد صحیح ضرب کنیم و در حاصل ضرب با کاما در سمت راست به تعداد اعشار اعشاری که در ضرب و در ضرب وجود داشت از هم جدا شوند. عامل با هم

در مثال آخر، نتیجه حاصل یک محصول با پنج رقم اعشار است. اگر به چنین دقت بیشتری نیاز نباشد، گرد کردن کسر اعشاری انجام می شود. هنگام گرد کردن، باید از همان قاعده ای استفاده کنید که برای اعداد صحیح نشان داده شده است.

§ 110. ضرب با استفاده از جداول.

گاهی اوقات می توان با استفاده از جداول ضرب اعشار را انجام داد. برای این منظور می توانید به عنوان مثال از آن جداول ضرب استفاده کنید اعداد دو رقمی، که شرح آن قبلا داده شد.

1) عدد 53 را در 1.5 ضرب کنید.

ما 53 را در 15 ضرب می کنیم. در جدول، این حاصل برابر 795 است. ما حاصلضرب 53 را در 15 پیدا کردیم، اما ضریب دوم ما 10 برابر کمتر بود، به این معنی که حاصلضرب باید 10 برابر کاهش یابد، i.e.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 را در 4.7 ضرب کنید.

اول، بیایید حاصل ضرب 53 در 47 را در جدول پیدا کنیم، 2491 خواهد بود. اما از آنجایی که ضریب و ضریب را در مجموع 100 برابر افزایش دادیم، پس حاصل ضرب حاصل 100 برابر بزرگتر از آنچه باید باشد است. بنابراین باید این محصول را 100 ضریب کاهش دهیم:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 را در 7.4 ضرب کنید.

ابتدا در جدول حاصل ضرب 53 در 74 را می یابیم. این می شود 3922. اما از آنجایی که ما ضریب را 100 برابر و ضریب را 10 برابر کرده ایم، حاصلضرب 1000 برابر شده است. بنابراین اکنون باید آن را با ضریب 1000 کاهش دهیم:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. تقسیم اعشار.

تقسیم اعشاری را به ترتیب زیر بررسی خواهیم کرد:

1. تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد صحیح،

1. تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد صحیح.

1) 2.46 را بر 2 تقسیم کنید.

ابتدا بر 2 عدد صحیح، سپس دهم و در نهایت صدم تقسیم کردیم.

2) 32.46 را بر 3 تقسیم کنید.

32,46: 3 = 10,82.

ما 3 ده را بر 3 تقسیم کردیم، سپس شروع به تقسیم 2 واحد بر 3 کردیم. از آنجایی که تعداد واحدهای سود سهام (2) از مقسوم علیه (3) کمتر است، باید 0 را در ضریب قرار دهیم. علاوه بر این، ما 4 دهم را تخریب کردیم و 24 دهم را بر 3 تقسیم کردیم. به صورت خصوصی 8 دهم و در نهایت 6 صدم را تقسیم کرد.

3) 1.2345 را بر 5 تقسیم کنید.

1,2345: 5 = 0,2469.

در اینجا، در وهله اول، اعداد صحیح صفر به دست آمد، زیرا یک عدد صحیح بر 5 بخش پذیر نیست.

4) 13.58 را بر 4 تقسیم کنید.

ویژگی این مثال این است که وقتی 9 صدم را به صورت خصوصی دریافت کردیم، سپس باقیمانده ای معادل 2 صدم پیدا شد، این باقیمانده را به هزارم تقسیم کردیم، 20 هزارم گرفتیم و تقسیم را به پایان رساندیم.

قانون.تقسیم یک کسری اعشاری به یک عدد صحیح به همان روشی که تقسیم اعداد صحیح انجام می شود، انجام می شود و باقی مانده های حاصل به کسری اعشاری تبدیل می شوند، هر چه بیشتر کوچکتر. تقسیم تا زمانی که باقیمانده صفر شود ادامه می یابد.

2. تقسیم کسری اعشاری بر کسری اعشاری.

1) 2.46 را بر 0.2 تقسیم کنید.

ما قبلاً می دانیم که چگونه یک کسر اعشاری را بر یک عدد صحیح تقسیم کنیم. بیایید فکر کنیم که آیا این مورد جدید تقسیم را نیز می توان به مورد قبلی تقلیل داد؟ در یک زمان، ما ویژگی قابل توجه ضریب را در نظر گرفتیم، که شامل این واقعیت است که بدون تغییر باقی می ماند در حالی که سود و تقسیم کننده را به همان تعداد بار افزایش یا کاهش می دهیم. اگر مقسوم علیه یک عدد صحیح بود، به راحتی تقسیم اعدادی را که به ما پیشنهاد می شود انجام می دادیم. برای این کار کافی است آن را 10 برابر کنید و برای به دست آوردن ضریب صحیح باید سود سهام را به همان تعداد یعنی 10 برابر افزایش دهید. سپس تقسیم این اعداد با تقسیم این اعداد جایگزین می شود:

و نیازی به اصلاح در خصوصی نیست.

بیایید این تقسیم بندی را انجام دهیم:

بنابراین 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1.25 را بر 1.6 تقسیم کنید.

مقسوم علیه (1.6) را 10 برابر افزایش می دهیم. به طوری که ضریب تغییر نکند، سود سهام را 10 برابر افزایش می دهیم. 12 عدد صحیح بر 16 بخش پذیر نیستند، پس در ضریب 0 می نویسیم و 125 دهم را بر 16 تقسیم می کنیم، ضریب 7 دهم و باقیمانده 13 می شود. با اختصاص صفر 13 دهم را به صدم تقسیم کرده و 130 صدم را بر 16 تقسیم می کنیم. به موارد زیر توجه کنید:

الف) هنگامی که اعداد صحیح در ضریب به دست نمی آیند، آنگاه اعداد صحیح صفر به جای آنها نوشته می شود.

ب) هنگامی که پس از گرفتن رقم سود به باقیمانده، عددی به دست می آید که بر مقسوم علیه تقسیم نمی شود، آنگاه در ضریب صفر نوشته می شود.

ج) هنگامی که پس از حذف آخرین رقم سود تقسیم به پایان نرسید، با اختصاص صفر به باقی مانده، تقسیم ادامه می یابد.

د) اگر سود سهام یک عدد صحیح باشد ، هنگام تقسیم آن بر کسری اعشاری ، افزایش آن با اختصاص صفر به آن انجام می شود.

بنابراین، برای تقسیم یک عدد بر کسری اعشاری، باید یک کاما را در مقسوم‌گیرنده کنار بگذارید و سپس به اندازه‌ای که مقسوم‌گیرنده در آن کاهش یافت، سود را افزایش دهید و سپس تقسیم را مطابق با آن انجام دهید. قانون تقسیم کسر اعشاری بر یک عدد صحیح

§ 112. نصاب تقریبی.

در پاراگراف قبل، تقسیم کسرهای اعشاری را در نظر گرفتیم و در تمام مثال هایی که حل کردیم، تقسیم به پایان رسید، یعنی یک ضریب دقیق به دست آمد. با این حال، در بیشتر موارد نمی توان ضریب دقیق را به دست آورد، مهم نیست که چقدر تقسیم را گسترش دهیم. در اینجا یکی از این موارد وجود دارد: 53 را بر 101 تقسیم کنید.

ما قبلاً پنج رقم در ضریب دریافت کرده‌ایم، اما تقسیم هنوز به پایان نرسیده است و امیدی نیست که هرگز به پایان برسد، زیرا اعدادی که قبلاً ملاقات کرده‌ایم در بقیه ظاهر می‌شوند. اعداد نیز در ضریب تکرار خواهند شد: بدیهی است که بعد از عدد 7 عدد 5 ظاهر می شود و سپس 2 و به همین ترتیب بدون پایان. در چنین مواردی، تقسیم قطع می شود و به چند رقم اول ضریب محدود می شود. این خصوصی نامیده می شود تقریبی.نحوه انجام تقسیم در این مورد را با مثال هایی نشان خواهیم داد.

بگذارید 25 را بر 3 تقسیم کنیم. بدیهی است که ضریب دقیق را که به صورت یک عدد صحیح یا کسری اعشاری بیان می شود نمی توان از چنین تقسیمی بدست آورد. بنابراین، ما به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

25: 3 = 8 و باقیمانده 1

ضریب تقریبی 8 است. البته کمتر از ضریب دقیق است، زیرا باقیمانده 1 وجود دارد. برای بدست آوردن ضریب دقیق، باید کسری را که از تقسیم باقی مانده به دست می آید، به ضریب تقریبی یافت شده، یعنی به 8 اضافه کنید. برابر با 1 در 3; کسری 1/3 خواهد بود. این بدان معنی است که ضریب دقیق به صورت یک عدد مختلط 8 1 / 3 بیان می شود. از آنجایی که 1/3 کسر مناسب است، یعنی کسری، کمتر از یک، پس با دور انداختن آن، فرض می کنیم خطا، که کمتر از یک. خصوصی 8 اراده ضریب تقریبی تا یک با یک نقطه ضعف.اگر به جای 8، 9 را بگیریم، خطای کمتر از یک را نیز مجاز می کنیم، زیرا نه یک واحد کامل، بلکه 2/3 را اضافه می کنیم. چنین اراده خصوصی ضریب تقریبی تا یک با مازاد.

حالا یک مثال دیگر بزنیم. بگذارید 27 بر 8 تقسیم شود. از آنجایی که در اینجا یک ضریب دقیق بیان شده به صورت یک عدد صحیح دریافت نمی کنیم، به دنبال یک ضریب تقریبی خواهیم بود:

27: 8 = 3 و باقیمانده 3.

در اینجا خطا 3/8 است، کمتر از یک است، به این معنی که ضریب تقریبی (3) تا یک با یک اشکال پیدا می شود. ما تقسیم را ادامه می دهیم: باقی مانده 3 را به دهم تقسیم می کنیم، 30 دهم می گیریم. بیایید آنها را بر 8 تقسیم کنیم.

ما در یک دهم 3 و در بقیه b دهم به صورت خصوصی رفتیم. اگر به طور خاص خود را به عدد 3.3 محدود کنیم و 6 باقیمانده را کنار بگذاریم، خطای کمتر از یک دهم را مجاز می‌کنیم. چرا؟ زیرا ضریب دقیق زمانی بدست می آید که حاصل تقسیم 6 دهم بر 8 را به 3.3 اضافه کنیم. از این تقسیم 6/80 می شود که کمتر از یک دهم است. (بررسی کنید!) بنابراین، اگر خود را به یک دهم در ضریب محدود کنیم، می توانیم بگوییم که ضریب را پیدا کرده ایم. دقیق به یک دهم(با معایب).

بیایید تقسیم را ادامه دهیم تا یک رقم اعشار دیگر پیدا کنیم. برای این کار، 6 دهم را به صدم تقسیم می کنیم و 60 صدم بدست می آوریم. بیایید آنها را بر 8 تقسیم کنیم.

در خصوصی در جایگاه سوم 7 و در بقیه 4 صدم قرار گرفت. اگر آنها را کنار بگذاریم، خطای کمتر از یک صدم را مجاز می‌کنیم، زیرا 4 صدم تقسیم بر 8 کمتر از یک صدم است. در چنین مواردی گفته می شود که ضریب پیدا می شود. دقیق به یک صدم(با معایب).

در مثالی که اکنون در نظر می گیریم، می توانید ضریب دقیق را که به صورت کسری اعشاری بیان می شود، بدست آورید. برای این کار کافی است آخرین باقیمانده یعنی 4 صدم را به هزارم تقسیم کنید و بر 8 تقسیم کنید.

با این حال، در اکثریت قریب به اتفاق موارد، به دست آوردن یک ضریب دقیق غیرممکن است و فرد باید خود را به مقادیر تقریبی آن محدود کند. اکنون چنین مثالی را در نظر خواهیم گرفت:

40: 7 = 5,71428571...

نقطه های انتهای عدد نشان می دهد که تقسیم کامل نشده است، یعنی تساوی تقریبی است. معمولاً برابری تقریبی به این صورت نوشته می شود:

40: 7 = 5,71428571.

ما ضریب را با هشت رقم اعشار گرفتیم. اما اگر به چنین دقت بالایی نیاز نباشد، می توان خود را محدود کرد کل بخشخصوصی، یعنی عدد 5 (به طور دقیق تر 6)؛ برای دقت بیشتر، می توان دهم ها را در نظر گرفت و ضریب را برابر با 5.7 در نظر گرفت. اگر به دلایلی این دقت کافی نیست، می‌توانیم روی صدم توقف کنیم و 5.71 و غیره را بگیریم. بیایید ضریب‌های فردی را بنویسیم و نام ببریم.

اولین ضریب تقریبی تا یک 6.

دوم » » » به یک دهم 5.7.

سوم » » » تا یک صدم 5.71.

چهارم » » » تا یک هزارم 5.714.

بنابراین، برای یافتن یک ضریب تقریبی با دقت چند، مثلاً رقم سوم اعشار (یعنی تا یک هزارم)، به محض یافتن این علامت، تقسیم متوقف می شود. در این مورد، باید قاعده مندرج در § 40 را به خاطر بسپارید.

§ 113. ساده ترین مسائل برای علاقه.

پس از مطالعه کسرهای اعشاری، چند مشکل درصدی دیگر را حل خواهیم کرد.

این مسائل مشابه مسائلی است که ما در بخش کسرهای معمولی حل کردیم. اما اکنون صدم ها را به صورت کسر اعشاری می نویسیم، یعنی بدون مخرج مشخص.

اول از همه، شما باید بتوانید به راحتی از آن جابجا شوید کسر مشترکبه اعشار با مخرج 100. برای این کار، صورت را بر مخرج تقسیم کنید:

جدول زیر نشان می دهد که چگونه یک عدد با نماد % (درصد) با یک اعشار با مخرج 100 جایگزین می شود:

اکنون چند مشکل را در نظر می گیریم.

1. یافتن درصدهای یک عدد معین.

وظیفه 1.تنها 1600 نفر در یک روستا زندگی می کنند. تعداد فرزندان سن مدرسه 25 درصد است تعداد کلساکنان. چند کودک در سن مدرسه در این روستا هستند؟

در این مشکل باید 25% یا 0.25 از 1600 را پیدا کنید. مشکل با ضرب کردن حل می شود:

1600 0.25 = 400 (کودکان).

بنابراین، 25 درصد از 1600، 400 است.

برای درک واضح این وظیفه، یادآوری این نکته مفید است که به ازای هر صد نفر از جمعیت، 25 کودک در سن مدرسه وجود دارد. بنابراین، برای یافتن تعداد تمام کودکان در سن مدرسه، ابتدا می توانید تعداد صدها را در عدد 1600 (16) دریابید و سپس عدد 25 را در تعداد صدها ضرب کنید (25 x 16 = 400). از این طریق می توانید اعتبار راه حل را بررسی کنید.

وظیفه 2.بانک های پس انداز سالانه 2 درصد از درآمد را به سپرده گذاران می دهند. چه مقدار درآمد در سال توسط سپرده گذار دریافت می شود که واریز کرده است: الف) 200 روبل؟ ب) 500 روبل؟ ج) 750 روبل؟ د) 1000 روبل؟

در هر چهار مورد، برای حل مشکل، باید 0.02 از مقادیر ذکر شده محاسبه شود، یعنی هر یک از این اعداد باید در 0.02 ضرب شوند. بیایید آن را انجام دهیم:

الف) 200 0.02 = 4 (روبل)،

ب) 500 0.02 = 10 (روبل)،

ج) 750 0.02 = 15 (روبل)،

د) 1000 0.02 = 20 (روبل).

هر یک از این موارد را می توان با ملاحظات زیر تأیید کرد. بانک های پس انداز 2 درصد از درآمد را به سپرده گذاران می دهند، یعنی 0.02 از مبلغی که در پس انداز گذاشته می شود. اگر مبلغ 100 روبل بود، 0.02 از آن 2 روبل خواهد بود. این بدان معنی است که هر صد 2 روبل برای سپرده گذار به ارمغان می آورد. درآمد. بنابراین، در هر یک از موارد در نظر گرفته شده، کافی است بفهمیم که در یک عدد معین چند صد است و 2 روبل را در این تعداد صدها ضرب کنیم. در مثال الف) صدها 2، بنابراین

2 2 \u003d 4 (روبل).

در مثال د) صدها 10 هستند که به این معنی است

2 10 \u003d 20 (روبل).

2. یافتن یک عدد با درصد آن.

وظیفه 1.در بهار این مدرسه 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد کل دانش آموزان را تشکیل می دهد. چند دانش آموز در گذشته در مدرسه بودند سال تحصیلی?

اجازه دهید ابتدا معنای این مشکل را روشن کنیم. این مدرسه 54 دانش آموز فارغ التحصیل کرد که 6 درصد کل دانش آموزان یا به عبارتی 6 صدم (0.06) کل دانش آموزان مدرسه است. این بدان معناست که بخشی از دانش آموزان را که با عدد (54) و کسری (0.06) بیان می شود، می دانیم و از این کسر باید عدد کامل را پیدا کنیم. بنابراین، یک مشکل معمولی برای یافتن یک عدد با کسر آن وجود دارد (§ 90 ص 6). مشکلات این نوع با تقسیم حل می شود:

یعنی 900 دانش آموز در مدرسه بودند.

بررسی چنین مسائلی با حل مسئله معکوس مفید است، یعنی پس از حل مسئله، باید حداقل در ذهن خود، مسئله نوع اول (درصد یافتن یک عدد معین) را حل کنید: عدد پیدا شده را بگیرید ( 900) همانطور که داده شد و درصد مشخص شده در مسئله حل شده را از آن بیابید، یعنی:

900 0,06 = 54.

وظیفه 2.خانواده در طول ماه 780 روبل برای غذا خرج می کنند که 65 درصد درآمد ماهانه پدر است. درآمد ماهانه او را مشخص کنید.

این وظیفه همان معنای قبلی را دارد. بخشی از درآمد ماهانه را به روبل (780 روبل) نشان می دهد و نشان می دهد که این بخش 65٪ یا 0.65 از کل درآمد است. و مورد نظر کل درآمد است:

780: 0,65 = 1 200.

بنابراین، درآمد مورد نظر 1200 روبل است.

3. یافتن درصد اعداد.

وظیفه 1. AT کتابخانه ی مدرسهفقط 6000 کتاب در میان آنها 1200 کتاب در زمینه ریاضیات وجود دارد. چند درصد از کتاب های ریاضی، تعداد کل کتاب های کتابخانه را تشکیل می دهند؟

ما قبلاً (§97) مسائلی از این دست را در نظر گرفتیم و به این نتیجه رسیدیم که برای محاسبه درصد دو عدد، باید نسبت این اعداد را پیدا کرده و در 100 ضرب کنیم.

در وظیفه خود باید درصد اعداد 1200 و 6000 را پیدا کنیم.

ابتدا نسبت آنها را پیدا می کنیم و سپس آن را در 100 ضرب می کنیم:

به این ترتیب درصد اعداد 1200 و 6000 برابر با 20 است به عبارت دیگر کتاب های ریاضی 20 درصد از تعداد کل کتاب ها را تشکیل می دهند.

برای بررسی، مسئله معکوس را حل می کنیم: 20٪ از 6000 را پیدا کنید:

6 000 0,2 = 1 200.

وظیفه 2.کارخانه باید 200 تن زغال سنگ دریافت کند. تاکنون 80 تن تحویل داده شده است چند درصد زغال سنگ به کارخانه تحویل داده شده است؟

این مسئله می پرسد که چند درصد یک عدد (80) از عدد دیگر (200) است. نسبت این اعداد 80/200 خواهد بود. بیایید آن را در 100 ضرب کنیم:

یعنی 40 درصد زغال سنگ تحویل داده شده است.

دیر یا زود، همه کودکان در مدرسه شروع به یادگیری کسری می کنند: جمع، تقسیم، ضرب و همه آنها. اقدامات ممکن، که فقط با کسری امکان پذیر است. برای ارائه کمک مناسب به کودک، خود والدین نباید فراموش کنند که چگونه اعداد کامل به کسری تقسیم می شوند، در غیر این صورت، به هیچ وجه نمی توانید به او کمک کنید، بلکه فقط او را گیج می کنید. اگر لازم است به خاطر بسپارید این اقدام، اما نمی توانید تمام اطلاعات موجود در ذهن خود را در یک قانون واحد بیاورید، سپس این مقاله به شما کمک می کند: یاد خواهید گرفت که چگونه یک عدد را بر کسری تقسیم کنید و نمونه های گویا را ببینید.

چگونه یک عدد را به کسری تقسیم کنیم

مثال خود را روی یک پیش نویس بنویسید تا بتوانید یادداشت برداری کنید و لکه برداری کنید. به یاد داشته باشید که یک عدد صحیح بین سلول ها، درست در محل تقاطع آنها، و اعداد کسری نوشته می شود - هر کدام در خانه خود.

• در این روش باید کسر را وارونه کنید، یعنی مخرج را به صورت، و صورت را به مخرج بنویسید.
• علامت تقسیم باید به ضرب تبدیل شود.
• اکنون فقط باید ضرب را طبق قوانین قبلاً مطالعه شده انجام دهید: صورت در یک عدد صحیح ضرب می شود و مخرج لمس نمی شود.

مسلماً در نتیجه چنین اقدامی بسیار به دست خواهید آورد عدد بزرگدر شمارشگر ترک کسری در این حالت غیرممکن است - معلم به سادگی این پاسخ را نمی پذیرد. با تقسیم صورت بر مخرج کسر را کاهش دهید. عدد صحیح به دست آمده را در سمت چپ کسر در وسط سلول ها بنویسید و باقیمانده، عددساز جدید خواهد بود. مخرج بدون تغییر باقی می ماند.

این الگوریتم حتی برای یک کودک بسیار ساده است. پس از تکمیل پنج یا شش بار، نوزاد این روش را به خاطر می‌آورد و می‌تواند آن را روی هر کسری اعمال کند.

چگونه یک عدد را بر اعشار تقسیم کنیم

انواع دیگری از کسری وجود دارد - اعشاری. تقسیم به آنها طبق یک الگوریتم کاملاً متفاوت اتفاق می افتد. اگر با چنین مثالی روبرو هستید، دستورالعمل ها را دنبال کنید:

• ابتدا هر دو عدد را به اعشار تبدیل کنید. انجام این کار آسان است: مقسوم‌گیرنده شما قبلاً به صورت کسری نشان داده می‌شود و عدد طبیعی قابل بخش‌پذیر را با کاما جدا می‌کنید و یک کسری اعشاری به دست می‌آورید. یعنی اگر سود سهام عدد 5 بود، کسری از 5.0 دریافت می کنید. شما باید عدد را با تعداد ارقامی که بعد از نقطه اعشار و مقسوم‌گیرنده است جدا کنید.
• پس از آن، باید هر دو کسر اعشاری را اعداد طبیعی بسازید. در ابتدا، ممکن است این مورد کمی گیج کننده باشد، اما این بیشتر است راه سریعتقسیم، که بعد از چند تمرین چند ثانیه طول می کشد. کسری از 5.0 به عدد 50 تبدیل می شود و کسری از 6.23 می شود 623.
• تقسیم را انجام دهید. اگر معلوم شد که اعداد بزرگ هستند، یا تقسیم با یک باقی مانده رخ می دهد، آن را در یک ستون انجام دهید. بنابراین شما به وضوح تمام اعمال این مثال را خواهید دید. شما نیازی به قرار دادن کاما ندارید، زیرا در فرآیند تقسیم به یک ستون ظاهر می شود.

این نوع تقسیم در ابتدا خیلی گیج کننده به نظر می رسد، زیرا باید تقسیم کننده و مقسوم علیه را به کسری تبدیل کنید و سپس به اعداد طبیعی برگردید. اما پس از یک آموزش کوتاه، بلافاصله شروع به دیدن اعدادی خواهید کرد که فقط باید آنها را بر یکدیگر تقسیم کنید.

به یاد داشته باشید که توانایی تقسیم صحیح کسرها و اعداد صحیح به آنها می تواند بیش از یک بار در زندگی مفید باشد، بنابراین، کودک باید این قوانین و اصول ساده را به طور ایده آل بداند تا در کلاس های بزرگتر به یک مانع تبدیل نشوند. کودک نمی تواند وظایف پیچیده تری را تصمیم بگیرد.