حل مثال های پیچیده با لگاریتم طبیعی عبارات لگاریتمی

ما به مطالعه لگاریتم ها ادامه می دهیم. در این مقاله در مورد آن صحبت خواهیم کرد محاسبه لگاریتم، این فرآیند نامیده می شود لگاریتم. ابتدا به محاسبه لگاریتم بر اساس تعریف می پردازیم. سپس، در نظر بگیرید که چگونه مقادیر لگاریتم ها با استفاده از ویژگی های آنها پیدا می شوند. پس از آن، ما در محاسبه لگاریتم ها از طریق مقادیر اولیه داده شده سایر لگاریتم ها صحبت خواهیم کرد. در نهایت، بیایید نحوه استفاده از جداول لگاریتم را بیاموزیم. کل تئوری با مثال هایی همراه با راه حل های دقیق ارائه شده است.

پیمایش صفحه.

محاسبه لگاریتم بر اساس تعریف

در ساده ترین موارد، انجام سریع و آسان امکان پذیر است یافتن لگاریتم بر اساس تعریف. بیایید نگاهی دقیق تر به نحوه انجام این فرآیند بیندازیم.

ماهیت آن این است که عدد b را به شکل a c نشان دهد، از این رو، با تعریف لگاریتم، عدد c مقدار لگاریتم است. یعنی یافتن لگاریتم طبق تعریف با زنجیره برابری های زیر مطابقت دارد: log a b=log a a c =c .

بنابراین، محاسبه لگاریتم، طبق تعریف، به یافتن چنین عددی ختم می شود که a c \u003d b، و خود عدد c مقدار مورد نظر لگاریتم است.

با توجه به اطلاعات پاراگراف های قبلی، وقتی عدد زیر علامت لگاریتم با درجه ای از پایه لگاریتم داده می شود، می توانید بلافاصله نشان دهید که لگاریتم برابر است - آن مساوی بادرجه. بیایید نمونه هایی را نشان دهیم.

مثال.

log 2 2 −3 را پیدا کنید و لگاریتم طبیعی e 5.3 را نیز محاسبه کنید.

راه حل.

تعریف لگاریتم به ما این امکان را می دهد که فوراً بگوییم که log 2 2 −3 = −3. در واقع، عدد زیر علامت لگاریتم برابر است با پایه 2 به توان -3.

به طور مشابه، لگاریتم دوم را پیدا می کنیم: lne 5.3 = 5.3.

پاسخ:

log 2 2 −3 = −3 و lne 5.3 =5.3.

اگر عدد b در زیر علامت لگاریتم به عنوان توان پایه لگاریتم داده نشده است، باید به دقت در نظر بگیرید که آیا می توان عدد b را به شکل a c ارائه کرد یا خیر. اغلب این نمایش کاملاً آشکار است، به خصوص زمانی که عدد زیر علامت لگاریتم برابر با پایه به توان 1، یا 2، یا 3، ...

مثال.

لگاریتم log 5 25 و .

راه حل.

به راحتی می توان فهمید که 25=5 2، این به شما امکان می دهد اولین لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25=log 5 5 2 =2.

ما به محاسبه لگاریتم دوم ادامه می دهیم. یک عدد را می توان به عنوان توان 7 نشان داد: (در صورت لزوم ببینید). در نتیجه، .

بیایید لگاریتم سوم را به شکل زیر بازنویسی کنیم. اکنون می توانید آن را ببینید ، از آنجا نتیجه می گیریم که . بنابراین، با تعریف لگاریتم .

به طور خلاصه، راه حل را می توان به صورت زیر نوشت:

پاسخ:

log 5 25=2 , و .

هنگامی که یک مقدار به اندازه کافی بزرگ در زیر علامت لگاریتم وجود دارد عدد طبیعی، سپس تجزیه آن به عوامل اولیه ضرری ندارد. اغلب به نشان دادن عددی به عنوان مقداری توان پایه لگاریتم و بنابراین محاسبه این لگاریتم با تعریف کمک می کند.

مثال.

مقدار لگاریتم را پیدا کنید.

راه حل.

برخی از ویژگی های لگاریتم به شما امکان می دهد بلافاصله مقدار لگاریتم ها را مشخص کنید. این ویژگی ها شامل ویژگی لگاریتم یک و خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با پایه است: log 1 1=log a a 0 =0 و log a a=log a a 1 =1 . یعنی وقتی عدد 1 یا عدد a زیر علامت لگاریتم برابر با پایه لگاریتم باشد، در این موارد لگاریتم ها به ترتیب 0 و 1 هستند.

مثال.

لگاریتم و lg10 چیست؟

راه حل.

از آنجایی که از تعریف لگاریتم به دست می آید .

در مثال دوم عدد 10 در زیر علامت لگاریتم با پایه آن منطبق است، بنابراین لگاریتم اعشاری ده برابر با یک است، یعنی lg10=lg10 1 =1 .

پاسخ:

و lg10=1.

توجه داشته باشید که محاسبه لگاریتم ها بر اساس تعریف (که در پاراگراف قبلی در مورد آن صحبت کردیم) مستلزم استفاده از ثبت تساوی a a p =p است که یکی از ویژگی های لگاریتم است.

در عمل، زمانی که عدد زیر علامت لگاریتم و پایه لگاریتم به راحتی به عنوان توان یک عدد نشان داده شود، استفاده از فرمول بسیار راحت است. ، که با یکی از ویژگی های لگاریتم مطابقت دارد. مثالی از یافتن لگاریتم را در نظر بگیرید که استفاده از این فرمول را نشان می دهد.

مثال.

لگاریتم را محاسبه کنید.

راه حل.

پاسخ:

.

از خواص لگاریتمی که در بالا ذکر نشده است نیز در محاسبه استفاده می شود، اما در پاراگراف های بعدی در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

یافتن لگاریتم بر حسب لگاریتم های شناخته شده دیگر

اطلاعات این پاراگراف در ادامه مبحث استفاده از خواص لگاریتم ها در محاسبه آنها می باشد. اما در اینجا تفاوت اصلی این است که از خواص لگاریتم ها برای بیان لگاریتم اصلی بر حسب لگاریتم دیگری استفاده می شود که مقدار آن مشخص است. برای روشن شدن مطلب مثالی بزنیم. فرض کنید که log 2 3≈1.584963 را می دانیم، سپس می توانیم برای مثال، log 2 6 را با انجام یک تبدیل کوچک با استفاده از خواص لگاریتم پیدا کنیم: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

در مثال بالا کافی بود از خاصیت لگاریتم محصول استفاده کنیم. با این حال، اغلب شما باید از زرادخانه وسیع تری از خواص لگاریتم استفاده کنید تا لگاریتم اصلی را بر حسب موارد داده شده محاسبه کنید.

مثال.

اگر معلوم است که log 60 2=a و log 60 5=b، لگاریتم 27 تا مبنای 60 را محاسبه کنید.

راه حل.

بنابراین باید log 60 27 را پیدا کنیم. به راحتی می توان دریافت که 27=3 3، و لگاریتم اصلی، به دلیل خاصیت لگاریتم درجه، می تواند به صورت 3·log 60 3 بازنویسی شود.

حال بیایید ببینیم که چگونه log 60 3 را می توان بر حسب لگاریتم های شناخته شده بیان کرد. خاصیت لگاریتم یک عدد مساوی با پایه به شما امکان می دهد تا لاگ تساوی 60 60=1 را بنویسید. از سوی دیگر، log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . به این ترتیب، 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. در نتیجه، log 60 3=1-2 log 60 2-log 60 5=1-2 a-b.

در نهایت لگاریتم اصلی را محاسبه می کنیم: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1-2 a-b)=3-6 a-3 ب.

پاسخ:

log 60 27=3 (1-2 a-b)=3-6 a-3 b.

به طور جداگانه، لازم است به معنای فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم فرم اشاره شود. . این به شما امکان می دهد از لگاریتم با هر پایه به لگاریتم با یک پایه خاص بروید که مقادیر آنها مشخص است یا امکان یافتن آنها وجود دارد. معمولاً از لگاریتم اصلی، طبق فرمول انتقال، آنها به لگاریتم در یکی از پایه های 2، e یا 10 سوئیچ می کنند، زیرا برای این پایه ها جداولی از لگاریتم وجود دارد که امکان محاسبه مقادیر آنها را با درجه مشخصی فراهم می کند. از دقت در بخش بعدی نحوه انجام این کار را نشان خواهیم داد.

جداول لگاریتم، کاربرد آنها

برای محاسبه تقریبی مقادیر لگاریتم ها می توان از جداول لگاریتمی. متداول ترین آنها جدول لگاریتم پایه 2، جدول لگاریتم طبیعی و جدول لگاریتم اعشاری هستند. هنگام کار در سیستم اعداد اعشاری، استفاده از جدول لگاریتم برای پایه ده راحت است. با کمک آن، ما یاد خواهیم گرفت که مقادیر لگاریتم ها را پیدا کنیم.

جدول ارائه شده اجازه می دهد تا با دقت یک ده هزارم، مقادیر لگاریتم اعشاری اعداد از 1.000 تا 9.999 (با سه رقم اعشار) را پیدا کنید. ما اصل یافتن مقدار لگاریتم را با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری با استفاده از یک مثال خاص تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - واضح تر است. بیایید lg1,256 را پیدا کنیم.

در ستون سمت چپ جدول لگاریتم های اعشاری، دو رقم اول عدد 1.256 را پیدا می کنیم، یعنی 1.2 را پیدا می کنیم (این عدد برای وضوح به رنگ آبی دایره شده است). سومین رقم عدد 1.256 (شماره 5) در اولین یا آخرین سطر سمت چپ خط دوتایی قرار دارد (این عدد به رنگ قرمز دایره شده است). چهارمین رقم از شماره اصلی 1.256 (شماره 6) در اولین یا آخرین سطر سمت راست خط دوتایی قرار دارد (این عدد به رنگ سبز دایره شده است). اکنون اعداد را در خانه های جدول لگاریتم در تقاطع سطر مشخص شده و ستون های علامت گذاری شده پیدا می کنیم (این اعداد برجسته شده اند. نارنجی). مجموع اعداد علامت گذاری شده مقدار مورد نظر لگاریتم اعشاری را تا رقم چهارم اعشار به دست می دهد، یعنی: log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

آیا می توان با استفاده از جدول فوق، مقادیر لگاریتم اعشاری اعدادی را که بیش از سه رقم بعد از نقطه اعشار دارند و همچنین از حدود 1 تا 9.999 فراتر می روند، پیدا کرد؟ بله، تو میتونی. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.

بیایید lg102.76332 را محاسبه کنیم. ابتدا باید بنویسید شماره در فرم استاندارد: 102.76332=1.0276332 10 2 . پس از آن، مانتیس باید تا سومین رقم اعشار گرد شود 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، در حالی که لگاریتم اعشاری اصلی تقریباً برابر با لگاریتم عدد حاصل است، یعنی lg102.76332≈lg1.028·10 2 را می گیریم. حالا خواص لگاریتم را اعمال کنید: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. در نهایت، مقدار لگاریتم lg1.028 را مطابق جدول لگاریتم های اعشاری lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 پیدا می کنیم. در نتیجه، کل فرآیند محاسبه لگاریتم به صورت زیر است: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

در خاتمه شایان ذکر است که با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری می توانید مقدار تقریبی هر لگاریتمی را محاسبه کنید. برای انجام این کار، کافی است از فرمول انتقال برای رفتن به لگاریتم های اعشاری، یافتن مقادیر آنها در جدول و انجام محاسبات باقی مانده استفاده کنید.

برای مثال، بیایید log 2 3 را محاسبه کنیم. با توجه به فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم، داریم. از جدول لگاریتم های اعشاری lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010 را پیدا می کنیم. به این ترتیب، .

کتابشناسی - فهرست کتب.

• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه های 10-11 موسسات آموزشی عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (دستورالعملی برای متقاضیان آموزشکده فنی).

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

لگاریتم یک عدد مثبت b به پایه a (a> 0، a برابر با 1 نیست) یک عدد c است به طوری که a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0، a ≠ 1، b > 0)       

توجه داشته باشید که لگاریتم یک عدد غیر مثبت تعریف نشده است. همچنین پایه لگاریتم باید یک عدد مثبت باشد نه مساوی 1 مثلا اگر 2- را مربع کنیم عدد 4 را بدست می آوریم اما این به این معنی نیست که لگاریتم پایه 2- 4 برابر 2 باشد.

هویت لگاریتمی پایه

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

مهم است که دامنه های تعریف قسمت راست و چپ این فرمول متفاوت باشد. سمت چپ فقط برای b>0، a>0 و a ≠ 1 تعریف شده است. قسمت سمت راستبرای هر b تعریف شده است، اما اصلاً به a وابسته نیست. بنابراین، استفاده از "هویت" لگاریتمی پایه در حل معادلات و نابرابری ها می تواند منجر به تغییر در DPV شود.

دو نتیجه آشکار از تعریف لگاریتم

ورود a a = 1 (a > 0، a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

در واقع، وقتی عدد a را به توان اول می‌بریم، همان عدد را می‌گیریم و وقتی آن را به توان صفر می‌رسانیم، یک می‌گیریم.

لگاریتم حاصلضرب و لگاریتم ضریب

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

من می خواهم به دانش آموزان در مورد استفاده بی رویه از این فرمول ها هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها هشدار دهم. وقتی از چپ به راست استفاده می‌شوند، ODZ باریک می‌شود، و زمانی که از مجموع یا اختلاف لگاریتم‌ها به لگاریتم محصول یا ضریب حرکت می‌کنیم، ODZ گسترش می‌یابد.

در واقع، عبارت log a (f (x) g (x)) در دو حالت تعریف می شود: زمانی که هر دو تابع کاملاً مثبت هستند یا زمانی که f(x) و g(x) هر دو کمتر از صفر هستند.

با تبدیل این عبارت به مجموع log a f (x) + log a g (x) ، مجبور می شویم خودمان را فقط به حالتی محدود کنیم که f(x)> 0 و g(x)> 0 باشد. باریک شدن دامنه مقادیر قابل قبول وجود دارد و این کاملا غیرقابل قبول است، زیرا می تواند منجر به از دست دادن راه حل ها شود. مشکل مشابهی برای فرمول (6) وجود دارد.

درجه را می توان از علامت لگاریتم خارج کرد

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

و دوباره می خواهم برای دقت تماس بگیرم. به مثال زیر توجه کنید:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

سمت چپ تساوی به وضوح برای همه مقادیر f(x) به جز صفر تعریف شده است. سمت راست فقط برای f(x)>0 است! با گرفتن توان از لگاریتم، دوباره ODZ را باریک می کنیم. روش معکوس منجر به گسترش دامنه مقادیر مجاز می شود. همه این اظهارات نه تنها در مورد توان 2، بلکه در مورد هر قدرت زوج نیز صدق می کند.

فرمول انتقال به یک پایگاه جدید

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

آن مورد نادر که ODZ در طول تبدیل تغییر نمی کند. اگر پایه c را هوشمندانه انتخاب کرده اید (مثبت و مساوی 1 نیست)، فرمول انتقال به یک پایه جدید کاملاً امن است.

اگر عدد b را به عنوان پایه جدید c انتخاب کنیم، یک مورد خاص مهم از فرمول (8) بدست می آوریم:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

چند مثال ساده با لگاریتم

مثال 1 محاسبه کنید: lg2 + lg50.
راه حل. lg2 + lg50 = lg100 = 2. از فرمول جمع لگاریتم ها (5) و تعریف لگاریتم اعشاری استفاده کردیم.

مثال 2 محاسبه کنید: lg125/lg5.
راه حل. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. ما از فرمول انتقال پایه جدید (8) استفاده کردیم.

جدول فرمول های مربوط به لگاریتم

a log a b = b (a > 0، a ≠ 1)

ورود a a = 1 (a > 0، a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0، a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b - log a c (a > 0، a ≠ 1، b > 0، c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0، a ≠ 1، b > 0، b ≠ 1)

با این ویدیو، من یک سری درس طولانی در مورد معادلات لگاریتمی شروع می کنم. اکنون سه مثال در یک زمان دارید که بر اساس آنها بیشتر حل کردن را یاد خواهیم گرفت کارهای ساده، که نامیده می شوند تک یاخته ها.

log 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

به شما یادآوری می کنم که ساده ترین معادله لگاریتمی به صورت زیر است:

log a f(x) = b

مهم است که متغیر x فقط در داخل آرگومان وجود داشته باشد، یعنی فقط در تابع f(x). و اعداد a و b فقط اعداد هستند و در هیچ موردی توابعی حاوی متغیر x نیستند.

روش های اصلی راه حل

راه های زیادی برای حل چنین ساختارهایی وجود دارد. به عنوان مثال، اکثر معلمان در مدرسه این راه را پیشنهاد می کنند: فوراً تابع f (x) را با استفاده از فرمول بیان کنید. f( x) = الف ب . یعنی هنگامی که با ساده ترین ساخت و ساز روبرو می شوید، می توانید بلافاصله بدون اقدامات و ساخت و سازهای اضافی به راه حل بروید.

بله، البته، تصمیم درست خواهد بود. با این حال، مشکل این فرمول این است که اکثر دانش آموزان نمی فهمم، از کجا می آید و چرا دقیقاً حرف a را به حرف b می آوریم.

در نتیجه، من اغلب خطاهای بسیار توهین آمیزی را مشاهده می کنم، مثلاً وقتی این حروف با هم عوض می شوند. این فرمول یا باید درک شود یا حفظ شود، و روش دوم منجر به خطا در نامناسب ترین و حساس ترین لحظات می شود: در امتحانات، تست ها و غیره.

به همین دلیل است که من به همه دانش آموزانم پیشنهاد می کنم که فرمول مدرسه استاندارد را کنار بگذارند و از روش دوم برای حل معادلات لگاریتمی استفاده کنند که همانطور که احتمالاً از نام آن حدس زدید به نام شکل متعارف.

ایده شکل متعارف ساده است. بیایید دوباره به وظیفه خود نگاه کنیم: در سمت چپ ما log a داریم، در حالی که حرف a دقیقاً به معنای عدد است و در هیچ موردی تابع حاوی متغیر x نیست. بنابراین، این نامه مشمول تمام محدودیت هایی است که بر اساس لگاریتم اعمال می شود. برای مثال:

1 ≠ a > 0

از طرف دیگر، از همان معادله، می بینیم که لگاریتم باید برابر با عدد b باشد و هیچ محدودیتی برای این حرف اعمال نمی شود، زیرا می تواند هر مقداری را - اعم از مثبت و منفی - بگیرد. همه چیز به مقادیری بستگی دارد که تابع f(x) می گیرد.

و در اینجا قانون شگفت انگیز خود را به یاد می آوریم که هر عدد b را می توان به صورت لگاریتمی در پایه a از a به توان b نشان داد:

b = ورود a a b

چگونه این فرمول را به خاطر بسپاریم؟ بله خیلی ساده بیایید ساختار زیر را بنویسیم:

b = b 1 = b log a a

البته در این مورد تمام محدودیت هایی که در ابتدا یادداشت کردیم به وجود می آید. و حالا بیایید از ویژگی اصلی لگاریتم استفاده کنیم و ضریب b را به عنوان توان a وارد کنیم. ما گرفتیم:

b = b 1 = b log a a = log a a b

در نتیجه معادله اصلی به شکل زیر بازنویسی می شود:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

همین. ویژگی جدیددیگر شامل لگاریتم نیست و با تکنیک های استاندارد جبری حل می شود.

البته، اکنون کسی اعتراض خواهد کرد: چرا اصلاً لازم بود که نوعی فرمول متعارف ارائه شود، چرا دو مرحله غیر ضروری اضافی انجام شود، اگر امکان داشت بلافاصله از ساخت اولیه به فرمول نهایی برویم؟ بله، فقط به این دلیل که اکثر دانش‌آموزان نمی‌دانند این فرمول از کجا آمده است و در نتیجه مرتباً هنگام استفاده از آن اشتباه می‌کنند.

اما چنین دنباله ای از اقدامات، متشکل از سه مرحله، به شما امکان می دهد معادله لگاریتمی اصلی را حل کنید، حتی اگر متوجه نباشید که فرمول نهایی از کجا آمده است. به هر حال، این ورودی فرمول متعارف نامیده می شود:

log a f(x) = log a a b

راحتی فرم متعارف نیز در این واقعیت نهفته است که می توان از آن برای حل یک کلاس بسیار گسترده از معادلات لگاریتمی استفاده کرد، و نه فقط ساده ترین آنها را که امروز در نظر می گیریم.

نمونه های راه حل

حالا بیایید به نمونه های واقعی نگاه کنیم. پس بیایید تصمیم بگیریم:

log 0.5 (3x - 1) = -3

بیایید آن را اینگونه بازنویسی کنیم:

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

بسیاری از دانش آموزان عجله دارند و سعی می کنند بلافاصله عدد 0.5 را به توانی که از مشکل اصلی به ما رسیده است، برسانند. و در واقع، هنگامی که در حل چنین مشکلاتی به خوبی آموزش دیده اید، می توانید بلافاصله این مرحله را انجام دهید.

با این حال، اگر اکنون تازه شروع به مطالعه این موضوع کرده اید، بهتر است در جایی عجله نکنید تا مرتکب اشتباهات توهین آمیز نشوید. بنابراین ما شکل متعارف را داریم. ما داریم:

3x - 1 = 0.5 -3

این دیگر یک معادله لگاریتمی نیست، بلکه یک معادله خطی با توجه به متغیر x است. برای حل آن ابتدا به عدد 0.5 به توان 3- می پردازیم. توجه داشته باشید که 0.5 برابر 1/2 است.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

همه اعداد اعشاریوقتی معادله لگاریتمی را حل می کنید به نرمال تبدیل کنید.

بازنویسی می کنیم و می گیریم:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

همه ما جواب گرفتیم تکلیف اول حل شد.

وظیفه دوم

بریم سراغ کار دوم:

همانطور که می بینید، این معادله دیگر ساده ترین معادله نیست. اگر فقط به این دلیل که تفاوت در سمت چپ است و نه یک لگاریتم در یک پایه.

بنابراین، شما باید به نحوی از شر این تفاوت خلاص شوید. در این مورد، همه چیز بسیار ساده است. بیایید نگاهی دقیق تر به پایه ها بیندازیم: در سمت چپ عدد زیر ریشه است:

توصیه کلی: در تمام معادلات لگاریتمی سعی کنید از شر رادیکال ها یعنی ورودی های دارای ریشه خلاص شوید و به ادامه مطلب بروید. توابع قدرت، صرفاً به این دلیل که نماهای این توان ها به راحتی از علامت لگاریتم خارج می شوند و در نهایت چنین نمادی محاسبات را بسیار ساده و سرعت می بخشد. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

اکنون ویژگی قابل توجه لگاریتم را به یاد می آوریم: از استدلال، و همچنین از پایه، می توانید درجه ها را بردارید. در مورد پایه ها، موارد زیر رخ می دهد:

log a k b = 1/k loga b

به عبارت دیگر عددی که در درجه پایه ایستاده است جلو آمده و در عین حال برگردانده می شود یعنی به صورت متقابل عدد می شود. در مورد ما، درجه ای از پایه با شاخص 1/2 وجود داشت. بنابراین، می توانیم آن را به عنوان 2/1 خارج کنیم. ما گرفتیم:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

لطفا توجه داشته باشید: به هیچ وجه نباید در این مرحله از لگاریتم خلاص شوید. به ریاضی کلاس 4-5 و ترتیب عملکردها فکر کنید: ابتدا ضرب انجام می شود و تنها پس از آن جمع و تفریق انجام می شود. در این حالت یکی از همان عناصر را از 10 عنصر کم می کنیم:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

اکنون معادله ما به نظر می رسد که باید باشد. این ساده ترین ساخت است و ما آن را با استفاده از فرم متعارف حل می کنیم:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

همین. مشکل دوم حل شد.

مثال سوم

بریم سراغ کار سوم:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

فرمول زیر را به خاطر بیاورید:

log b = log 10 b

اگر به دلایلی با نوشتن lg b گیج شده اید، پس هنگام انجام تمام محاسبات، می توانید به سادگی log 10 b را بنویسید. می‌توانید با لگاریتم‌های اعشاری مانند سایرین کار کنید: قدرت‌ها را بردارید، اضافه کنید و هر عددی را به صورت lg 10 نشان دهید.

دقیقاً از این خصوصیات است که اکنون برای حل مسئله استفاده خواهیم کرد، زیرا ساده ترین موردی که در همان ابتدای درس خود نوشتیم نیست.

برای شروع، توجه داشته باشید که ضریب 2 قبل از lg 5 را می توان وارد کرد و به توان پایه 5 تبدیل می شود. علاوه بر این، عبارت آزاد 3 نیز می تواند به عنوان یک لگاریتم نمایش داده شود - مشاهده این از نماد ما بسیار آسان است.

خودتان قضاوت کنید: هر عددی را می توان به عنوان log به پایه 10 نشان داد:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

بیایید با در نظر گرفتن تغییرات دریافتی، مشکل اصلی را بازنویسی کنیم:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

قبل از ما دوباره شکل متعارف است و ما آن را با دور زدن مرحله تبدیل ها به دست آوردیم، یعنی ساده ترین معادله لگاریتمی در جایی به دست نیامد.

این همان چیزی بود که من در همان ابتدای درس صحبت می کردم. شکل متعارف امکان حل یک کلاس وسیع تری از مسائل را نسبت به فرمول استاندارد مدرسه، که توسط اکثر معلمان مدرسه ارائه می شود، می دهد.

این همه است، ما از شر علامت لگاریتم اعشاری خلاص می شویم و یک ساختار خطی ساده می گیریم:

x + 3 = 25000
x = 24997

همه! مشکل حل شد.

نکته ای در مورد دامنه

در اینجا می خواهم یک نکته مهم را در مورد حوزه تعریف بیان کنم. مطمئناً اکنون دانش آموزان و معلمانی هستند که می گویند: "وقتی عبارات را با لگاریتم حل می کنیم، لازم است به یاد داشته باشیم که آرگومان f (x) باید بزرگتر از صفر باشد!" در این راستا، یک سوال منطقی مطرح می شود: چرا در هیچ یک از مسائل در نظر گرفته شده، نیاز به ارضای این نابرابری نداشتیم؟

نگران نباش. هیچ ریشه اضافی در این موارد ظاهر نمی شود. و این یک ترفند عالی دیگر است که به شما امکان می دهد راه حل را سرعت بخشید. فقط بدانید که اگر در مشکل، متغیر x فقط در یک مکان (یا بهتر است بگوییم، در آرگومان واحد و تنها لگاریتم یک و تنها) رخ دهد و در هیچ جای دیگری در مورد ما متغیر x وجود نداشته باشد، دامنه را بنویسید. نیازی نیستزیرا به طور خودکار اجرا می شود.

خودتان قضاوت کنید: در معادله اول دریافتیم که 3x - 1، یعنی آرگومان باید برابر با 8 باشد. این به طور خودکار به این معنی است که 3x - 1 بزرگتر از صفر خواهد بود.

با همین موفقیت، می‌توانیم بنویسیم که در حالت دوم، x باید برابر با 5 2 باشد، یعنی قطعاً بزرگ‌تر از صفر است. و در مورد سوم، که در آن x + 3 = 25000، یعنی دوباره، آشکارا بزرگتر از صفر است. به عبارت دیگر، دامنه خودکار است، اما تنها در صورتی که x فقط در آرگومان یک لگاریتم رخ دهد.

این تنها چیزی است که برای حل مشکلات ساده باید بدانید. این قانون به تنهایی، همراه با قوانین تبدیل، به شما امکان می دهد تا طبقه بسیار گسترده ای از مسائل را حل کنید.

اما بیایید صادق باشیم: برای اینکه در نهایت با این تکنیک مقابله کنیم، تا یاد بگیریم چگونه فرم متعارف را اعمال کنیم. معادله لگاریتمیفقط تماشای یک فیلم آموزشی کافی نیست. بنابراین همین حالا گزینه های یک راه حل مستقل را که ضمیمه این فیلم آموزشی است دانلود کنید و شروع به حل حداقل یکی از این دو کار مستقل کنید.

فقط چند دقیقه طول می کشد. اما تأثیر چنین آموزشی در مقایسه با تماشای این فیلم آموزشی بسیار بیشتر خواهد بود.

امیدوارم این درس به شما در درک معادلات لگاریتمی کمک کند. فرم متعارف را اعمال کنید، عبارات را با استفاده از قوانین کار با لگاریتم ها ساده کنید - و از هیچ کاری نمی ترسید. و این تمام چیزی است که برای امروز دارم.

در نظر گرفتن محدوده

حالا بیایید در مورد دامنه صحبت کنیم تابع لگاریتمیو همچنین چگونگی تأثیر این امر بر حل معادلات لگاریتمی. ساختاری از فرم را در نظر بگیرید

log a f(x) = b

چنین عبارتی ساده ترین نامیده می شود - فقط یک تابع دارد و اعداد a و b فقط اعداد هستند و در هیچ موردی تابعی نیستند که به متغیر x بستگی دارد. خیلی ساده حل میشه شما فقط باید از فرمول استفاده کنید:

b = ورود a a b

این فرمول یکی از ویژگی‌های کلیدی لگاریتم است و هنگام جایگزینی با عبارت اصلی، موارد زیر را دریافت می‌کنیم:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

این یک فرمول آشنا از کتاب های درسی مدرسه. احتمالاً بسیاری از دانش‌آموزان این سؤال را خواهند داشت: از آنجایی که تابع f (x) در عبارت اصلی زیر علامت log است، محدودیت‌های زیر بر روی آن اعمال می‌شود:

f(x) > 0

این محدودیت معتبر است زیرا لگاریتم اعداد منفی وجود ندارد. بنابراین، شاید به دلیل این محدودیت، باید یک چک برای پاسخ معرفی کنید؟ شاید باید آنها را در منبع جایگزین کرد؟

خیر، در ساده ترین معادلات لگاریتمی، بررسی اضافی غیرضروری است. و به همین دلیل. به فرمول نهایی ما نگاهی بیندازید:

f(x) = a b

واقعیت این است که عدد a در هر صورت بزرگتر از 0 است - این الزام نیز توسط لگاریتم اعمال می شود. عدد a پایه است. در این صورت محدودیتی برای عدد b اعمال نمی شود. اما این مهم نیست، زیرا هر درجه ای که یک عدد مثبت را افزایش دهیم، باز هم در خروجی یک عدد مثبت خواهیم داشت. بنابراین، شرط f (x) > 0 به طور خودکار برآورده می شود.

چیزی که واقعا ارزش بررسی دارد محدوده عملکرد زیر علامت گزارش است. طرح‌های کاملاً پیچیده‌ای می‌تواند وجود داشته باشد، و در روند حل آنها، باید حتماً آنها را دنبال کنید. اجازه بدید ببینم.

وظیفه اول:

مرحله اول: کسر سمت راست را تبدیل کنید. ما گرفتیم:

ما از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم و معادله غیرمنطقی معمول را بدست می آوریم:

از ریشه های به دست آمده، فقط اولین مورد مناسب ما است، زیرا ریشه دوم کمتر از صفر است. تنها جواب عدد 9 خواهد بود. همین، مشکل حل شد. هیچ بررسی اضافی وجود ندارد که عبارت زیر علامت لگاریتم بزرگتر از 0 باشد، زیرا نه تنها بزرگتر از 0 است، بلکه با شرط معادله برابر با 2 است. بنابراین، شرط "بزرگتر از صفر" به طور خودکار انجام می شود. برآورده شد.

بریم سراغ کار دوم:

اینجا همه چیز یکسان است. ما ساخت و ساز را بازنویسی می کنیم و سه گانه را جایگزین می کنیم:

از شر علائم لگاریتم خلاص می شویم و یک معادله غیرمنطقی می گیریم:

هر دو قسمت را با در نظر گرفتن محدودیت ها مربع می کنیم و به دست می آوریم:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16-4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

معادله حاصل را از طریق تفکیک حل می کنیم:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

اما x = −6 برای ما مناسب نیست، زیرا اگر این عدد را با نامساوی خود جایگزین کنیم، به دست می‌آییم:

−6 + 4 = −2 < 0

در مورد ما، لازم است که بزرگتر از 0 یا در موارد شدید، برابر باشد. اما x = -1 برای ما مناسب است:

−1 + 4 = 3 > 0

تنها پاسخ در مورد ما x = -1 است. این همه راه حل است. بیایید به همان ابتدای محاسبات خود برگردیم.

نتیجه اصلی از این درس این است که نیازی به بررسی حدود یک تابع در ساده ترین معادلات لگاریتمی نیست. زیرا در فرآیند حل تمامی محدودیت ها به صورت خودکار اجرا می شوند.

با این حال، این به هیچ وجه به این معنی نیست که شما می توانید تأیید را به طور کلی فراموش کنید. در فرآیند کار بر روی یک معادله لگاریتمی، ممکن است به یک معادله غیرمنطقی تبدیل شود، که محدودیت ها و الزامات خاص خود را برای سمت راست خواهد داشت، که امروز در دو مثال مختلف دیده ایم.

با خیال راحت چنین مشکلاتی را حل کنید و اگر ریشه ای در بحث وجود دارد، به ویژه مراقب باشید.

معادلات لگاریتمی با پایه های مختلف

ما به مطالعه معادلات لگاریتمی ادامه می دهیم و دو ترفند نسبتا جالب دیگر را تجزیه و تحلیل می کنیم که با آنها حل ساختارهای پیچیده تر مد است. اما ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین کارها حل می شوند:

log a f(x) = b

در این نماد a و b فقط اعداد هستند و در تابع f (x) باید متغیر x وجود داشته باشد و فقط در آنجا، یعنی x باید فقط در آرگومان باشد. ما چنین معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف تبدیل خواهیم کرد. برای این، ما توجه می کنیم که

b = ورود a a b

و a b فقط یک استدلال است. بیایید این عبارت را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

log a f(x) = log a a b

این دقیقاً همان چیزی است که ما سعی می کنیم به آن برسیم، به طوری که هم در سمت چپ و هم در سمت راست لگاریتمی به پایه a وجود دارد. در این صورت، می‌توانیم به‌طور مجازی نشانه‌های لاگ را خط بزنیم و از دیدگاه ریاضیات، می‌توانیم بگوییم که استدلال‌ها را به سادگی برابر می‌کنیم:

f(x) = a b

در نتیجه، یک عبارت جدید دریافت می کنیم که بسیار راحت تر حل می شود. بیایید این قانون را امروز در وظایف خود اعمال کنیم.

بنابراین اولین طرح:

اول از همه، توجه می کنم که کسری در سمت راست وجود دارد که مخرج آن log است. هنگامی که عبارتی مانند این را می بینید، ارزش دارد که خاصیت شگفت انگیز لگاریتم ها را به خاطر بسپارید:

ترجمه به روسی، به این معنی است که هر لگاریتمی را می توان به عنوان ضریب دو لگاریتمی با هر پایه c نشان داد. البته 0< с ≠ 1.

بنابراین: این فرمول یک مورد خاص فوق العاده دارد که متغیر c برابر با متغیر باشد ب در این مورد، ساختاری از فرم دریافت می کنیم:

این ساختاری است که ما از علامت سمت راست در معادله خود مشاهده می کنیم. بیایید این ساختار را با log a b جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

به عبارت دیگر، در مقایسه با تکلیف اصلی، آرگومان و پایه لگاریتم را عوض کرده ایم. در عوض، باید کسر را برگردانیم.

یادآوری می کنیم که طبق قانون زیر می توان هر مدرکی را از پایه خارج کرد:

به عبارت دیگر ضریب k که درجه پایه است به صورت کسر معکوس خارج می شود. بیایید آن را به صورت کسری معکوس دربیاوریم:

ضریب کسری را نمی توان جلوتر گذاشت، زیرا در این صورت ما نمی توانیم این مدخل را به عنوان یک شکل متعارف نشان دهیم (بالاخره، در شکل متعارف، هیچ عامل اضافی در مقابل لگاریتم دوم وجود ندارد). بنابراین، کسری 1/4 را در استدلال به عنوان توان قرار می دهیم:

حال استدلال هایی را که مبانی آنها یکسان است (و ما واقعاً پایه های یکسانی داریم) یکسان می کنیم و می نویسیم:

x + 5 = 1

x = -4

همین. جواب معادله لگاریتمی اول را گرفتیم. توجه کنید: در مسئله اصلی، متغیر x فقط در یک log وجود دارد و در آرگومان آن وجود دارد. بنابراین، نیازی به بررسی دامنه نیست، و عدد x = -4 ما در واقع پاسخ است.

حالا بریم سراغ عبارت دوم:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

در اینجا، علاوه بر لگاریتم های معمول، باید با lg f (x) کار کنیم. چگونه می توان چنین معادله ای را حل کرد؟ ممکن است برای یک دانش آموز ناآماده به نظر برسد که این نوعی قلع است، اما در واقع همه چیز به طور ابتدایی حل می شود.

به اصطلاح lg 2 log 2 7 با دقت نگاه کنید. در مورد آن چه می توانیم بگوییم؟ مبانی و آرگومان های log و lg یکسان است و این باید سرنخ هایی به دست دهد. بیایید یک بار دیگر به یاد بیاوریم که چگونه درجات از زیر علامت لگاریتم خارج می شوند:

log a b n = n log a b

به عبارت دیگر، قدرت عدد b در آرگومان به عاملی در مقابل خود log تبدیل می شود. بیایید این فرمول را برای عبارت lg 2 log 2 7 اعمال کنیم. از lg 2 نترسید - این رایج ترین عبارت است. می توانید آن را به این صورت بازنویسی کنید:

برای او، تمام قوانینی که برای هر لگاریتم دیگری اعمال می شود معتبر است. به ویژه عامل پیش رو را می توان به قدرت استدلال وارد کرد. بیا بنویسیم:

خیلی اوقات، دانش آموزان نقطه خالی این عمل را نمی بینند، زیرا خوب نیست که یک گزارش را زیر علامت دیگری وارد کنید. در واقع هیچ جرمی در این مورد وجود ندارد. علاوه بر این، اگر یک قانون مهم را به خاطر داشته باشید، فرمولی دریافت می کنیم که محاسبه آن آسان است:

این فرمول را می توان هم به عنوان تعریف و هم به عنوان یکی از ویژگی های آن در نظر گرفت. در هر صورت، اگر معادله لگاریتمی را تبدیل می کنید، باید این فرمول را مانند نمایش هر عددی به صورت log بدانید.

ما به وظیفه خود برمی گردیم. ما آن را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی می کنیم که اولین عبارت سمت راست علامت مساوی به سادگی برابر با lg 7 خواهد بود.

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

بیایید lg 7 را به سمت چپ حرکت دهیم، دریافت می کنیم:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

عبارات سمت چپ را کم می کنیم زیرا پایه یکسانی دارند:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

حالا بیایید به معادله ای که داریم نگاهی دقیق بیندازیم. این عملاً شکل متعارف است، اما ضریب -3 در سمت راست وجود دارد. بیایید آن را در آرگومان مناسب lg قرار دهیم:

lg 8 = lg (x + 4) −3

قبل از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین علائم lg را خط زده و استدلال ها را برابر می کنیم:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

همین! معادله لگاریتمی دوم را حل کردیم. در این مورد، هیچ بررسی اضافی مورد نیاز نیست، زیرا در مسئله اصلی x تنها در یک آرگومان وجود داشت.

بگذارید نکات کلیدی این درس را مرور کنم.

فرمول اصلی که در تمام دروس این صفحه که به حل معادلات لگاریتمی اختصاص داده شده است، فرم متعارف است. و از این واقعیت که اکثر کتاب های درسی مدرسه به شما یاد می دهند که چگونه این نوع مشکلات را متفاوت حل کنید، ناامید نشوید. این ابزار بسیار کارآمد عمل می کند و به شما امکان می دهد کلاس بسیار گسترده تری از مسائل را نسبت به ساده ترین مواردی که در همان ابتدای درس مطالعه کردیم حل کنید.

علاوه بر این، برای حل معادلات لگاریتمی، دانستن خواص پایه مفید خواهد بود. برای مثال:

1. فرمول انتقال به یک پایه و یک مورد خاص وقتی لاگ را برگردانیم (این در کار اول برای ما بسیار مفید بود).
2. فرمول وارد کردن و خارج کردن نیروها از زیر علامت لگاریتم. در اینجا، بسیاری از دانش‌آموزان گیر می‌کنند و نقطه خالی نمی‌بینند که برق خارج‌شده و وارد شده خود می‌تواند حاوی log f (x) باشد. ایرادی نداره می‌توانیم یک لاگ را با توجه به علامت دیگری معرفی کنیم و در عین حال حل مسئله را به طور قابل توجهی ساده کنیم، چیزی که در مورد دوم مشاهده می‌کنیم.

در خاتمه اضافه می کنم که در هر یک از این موارد نیازی به بررسی دامنه نیست، زیرا در همه جا متغیر x تنها در یک علامت log وجود دارد و در عین حال در آرگومان آن قرار دارد. در نتیجه، تمام الزامات دامنه به طور خودکار برآورده می شوند.

مشکلات با پایه متغیر

امروز معادلات لگاریتمی را در نظر خواهیم گرفت که برای بسیاری از دانش‌آموزان غیراستاندارد به نظر می‌رسند، اگر نگوییم کاملاً غیرقابل حل. ما در مورد عباراتی صحبت می کنیم که نه بر اساس اعداد، بلکه بر اساس متغیرها و حتی توابع هستند. ما چنین ساختارهایی را با استفاده از تکنیک استاندارد خود، یعنی از طریق فرم متعارف حل خواهیم کرد.

برای شروع، بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین مسائل، که بر اساس اعداد معمولی هستند، حل می شوند. بنابراین، ساده ترین ساخت و ساز نامیده می شود

log a f(x) = b

برای حل چنین مشکلاتی می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

b = ورود a a b

ما عبارت اصلی خود را بازنویسی می کنیم و دریافت می کنیم:

log a f(x) = log a a b

سپس آرگومان ها را برابر می کنیم، یعنی می نویسیم:

f(x) = a b

بنابراین، ما از شر علامت ورود به سیستم خلاص می شویم و مشکل معمول را حل می کنیم. در این صورت، ریشه های به دست آمده در محلول، ریشه های معادله لگاریتمی اصلی خواهند بود. علاوه بر این، رکورد، زمانی که هر دو سمت چپ و راست روی یک لگاریتم با پایه یکسان باشند، شکل متعارف نامیده می شود. به این رکورد است که سعی خواهیم کرد ساخت و سازهای امروزی را کاهش دهیم. پس بزن بریم.

وظیفه اول:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1 را با log x − 2 (x − 2) 1 جایگزین کنید. درجه ای که در استدلال مشاهده می کنیم، در واقع عدد b است که در سمت راست علامت مساوی قرار داشت. پس بیایید بیان خود را بازنویسی کنیم. ما گرفتیم:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

ما چه می بینیم؟ پیش از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین می توانیم با خیال راحت استدلال ها را معادل سازی کنیم. ما گرفتیم:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

اما راه حل به همین جا ختم نمی شود، زیرا این معادله معادل معادله اصلی نیست. از این گذشته، ساختار حاصل از توابعی تشکیل شده است که در کل خط اعداد تعریف شده اند و لگاریتم های اصلی ما در همه جا و نه همیشه تعریف شده اند.

بنابراین باید حوزه تعریف را جداگانه بنویسیم. بیایید عاقل تر نباشیم و ابتدا همه الزامات را بنویسیم:

ابتدا آرگومان هر یک از لگاریتم ها باید بزرگتر از 0 باشد:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

ثانیا، پایه نه تنها باید بزرگتر از 0 باشد، بلکه باید با 1 نیز متفاوت باشد:

x − 2 ≠ 1

در نتیجه، سیستم را دریافت می کنیم:

اما نگران نباشید: هنگام پردازش معادلات لگاریتمی، چنین سیستمی می تواند تا حد زیادی ساده شود.

خودتان قضاوت کنید: از یک طرف ما را ملزم می کنیم که تابع درجه دوم بزرگتر از صفر باشد و از طرف دیگر این تابع درجه دوم معادل یک عبارت خطی مشخص است که بزرگتر از صفر نیز لازم است.

در این صورت، اگر x − 2 > 0 را بخواهیم، ​​آنگاه شرط 2x 2 − 13x + 18 > 0 به طور خودکار برآورده می‌شود. بنابراین، می‌توانیم با خیال راحت نابرابری حاوی تابع درجه دوم. بنابراین، تعداد عبارات موجود در سیستم ما به سه کاهش می یابد.

البته ممکن است ما هم خط بکشیم نابرابری خطی، یعنی x − 2 > 0 را خط بزنید و به 2x 2 − 13x + 18 > 0 نیاز داشته باشید. اما باید قبول کنید که حل ساده‌ترین نابرابری خطی بسیار سریع‌تر و آسان‌تر از این سیستم است که همان ریشه‌ها را دریافت می‌کنیم.

به طور کلی سعی کنید تا حد امکان محاسبات را بهینه کنید. و در مورد معادلات لگاریتمی، سخت ترین نابرابری ها را خط بزنید.

بیایید سیستم خود را بازنویسی کنیم:

در اینجا چنین سیستمی از سه عبارت وجود دارد که ما در واقع دو مورد از آنها را قبلاً کشف کرده ایم. بیایید جداگانه بنویسیم معادله درجه دومو حلش کن:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

قبل از ما یک مثلث مربع کاهش یافته است و بنابراین، می توانیم از فرمول های Vieta استفاده کنیم. ما گرفتیم:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

اکنون، به سیستم خود بازگردیم، متوجه می‌شویم که x = 2 برای ما مناسب نیست، زیرا ما باید x را به شدت بزرگتر از 2 داشته باشیم.

اما x \u003d 5 به خوبی برای ما مناسب است: عدد 5 بزرگتر از 2 است و در عین حال 5 برابر با 3 نیست. تنها راه حلاین سیستم x=5 خواهد بود.

همه چیز، کار حل شده است، از جمله با در نظر گرفتن ODZ. بریم سراغ معادله دوم. در اینجا ما منتظر محاسبات جالب و معنادارتری هستیم:

مرحله اول: مانند دفعه قبل، همه این تجارت را به شکل متعارفی درآوریم. برای این کار می توانیم عدد 9 را به صورت زیر بنویسیم:

پایه با ریشه را نمی توان لمس کرد، اما بهتر است استدلال را تغییر دهید. بیایید از ریشه به سمت قدرت با یک توان منطقی حرکت کنیم. بیا بنویسیم:

اجازه دهید کل معادله لگاریتمی بزرگ خود را بازنویسی نکنم، بلکه بلافاصله آرگومان ها را معادل سازی کنم:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

قبل از ما یک مثلث مربع کاهش یافته است، از فرمول های Vieta استفاده می کنیم و می نویسیم:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

بنابراین، ما ریشه ها را به دست آوردیم، اما هیچکس به ما تضمین نداد که آنها با معادله لگاریتمی اصلی مطابقت دارند. پس از همه، علائم ورود به سیستم محدودیت های اضافی را اعمال می کنند (در اینجا ما باید سیستم را یادداشت کنیم، اما به دلیل دست و پا گیر بودن کل ساختار، تصمیم گرفتم دامنه تعریف را جداگانه محاسبه کنم).

اول از همه، به یاد داشته باشید که آرگومان ها باید بزرگتر از 0 باشند، یعنی:

اینها الزامات تحمیل شده توسط حوزه تعریف هستند.

ما فوراً متذکر می شویم که از آنجایی که دو عبارت اول سیستم را با یکدیگر یکسان می کنیم، می توانیم هر یک از آنها را خط بزنیم. بیایید اولی را خط بکشیم زیرا از دومی خطرناک تر به نظر می رسد.

علاوه بر این، توجه داشته باشید که راه حل های نابرابری های دوم و سوم همان مجموعه ها خواهد بود (مکعب برخی از اعداد بزرگتر از صفر است، اگر این عدد خود بزرگتر از صفر باشد؛ به طور مشابه با ریشه درجه سوم - این نابرابری ها هستند. کاملاً مشابه است، بنابراین می توانیم یکی از آنها را خط بزنیم).

اما با نابرابری سوم، این کار نخواهد کرد. بیایید از علامت رادیکال در سمت چپ خلاص شویم، که برای آن هر دو قسمت را به یک مکعب بالا می بریم. ما گرفتیم:

بنابراین ما شرایط زیر را دریافت می کنیم:

−2 ≠ x > −3

کدام یک از ریشه های ما: x 1 = -3 یا x 2 = -1 این الزامات را برآورده می کند؟ بدیهی است که فقط x = -1 است، زیرا x = -3 نابرابری اول را برآورده نمی کند (زیرا نابرابری ما شدید است). در مجموع، با بازگشت به مسئله خود، یک ریشه دریافت می کنیم: x = -1. همین، مشکل حل شد

یک بار دیگر نکات کلیدی این کار:

1. به راحتی می توانید معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف اعمال و حل کنید. دانش‌آموزانی که چنین رکوردی می‌سازند، و مستقیماً از مسئله اصلی به ساختاری مانند log a f ( x) = b نمی‌روند، نسبت به دانش‌آموزانی که در جایی عجله دارند و از مراحل میانی محاسبات رد می‌شوند، خطاهای بسیار کمتری مرتکب می‌شوند.
2. به محض اینکه یک پایه متغیر در لگاریتم ظاهر شد، مشکل از ساده‌ترین حالت خود خارج می‌شود. بنابراین، هنگام حل آن، باید دامنه تعریف را در نظر گرفت: آرگومان ها باید بزرگتر از صفر باشند و مبانی نه تنها نباید بزرگتر از 0 باشند، بلکه نباید برابر با 1 باشند.

شما می توانید آخرین الزامات را به روش های مختلف بر پاسخ های نهایی تحمیل کنید. به عنوان مثال، می توان یک سیستم کامل را که شامل تمام الزامات دامنه است، حل کرد. از طرف دیگر، می توانید ابتدا خود مسئله را حل کنید و سپس دامنه تعریف را به خاطر بسپارید، آن را به طور جداگانه در قالب یک سیستم کار کنید و روی ریشه های به دست آمده اعمال کنید.

اینکه کدام راه را هنگام حل یک معادله لگاریتمی خاص انتخاب کنید به شما بستگی دارد. در هر صورت پاسخ یکسان خواهد بود.

خصوصیات اصلی لگاریتم، نمودار لگاریتم، دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، فرمول های اساسی، افزایش و کاهش آورده شده است. یافتن مشتق لگاریتم در نظر گرفته شده است. و همچنین بسط و نمایش انتگرال سری توانی با استفاده از اعداد مختلط.

تعریف لگاریتم

لگاریتم با پایه aتابع y است (x) = ورود x، معکوس تابع نمایی با پایه a: x (y) = a y.

لگاریتم اعشاریلگاریتم قاعده عدد است 10 : log x ≡ log 10 x.

لگاریتم طبیعیلگاریتم به پایه e است: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

نمودار لگاریتم از نمودار تابع نمایی به دست می آید انعکاس آینهنسبت به خط مستقیم y = x. در سمت چپ نمودارهای تابع y وجود دارد (x) = ورود xبرای چهار مقدار پایه های لگاریتم:a= 2 ، a = 8 ، a = 1/2 و a = 1/8 . نمودار نشان می دهد که برای یک > 1 لگاریتم به طور یکنواخت در حال افزایش است. با افزایش x، رشد به میزان قابل توجهی کاهش می یابد. در 0 < a < 1 لگاریتم به طور یکنواخت در حال کاهش است.

ویژگی های لگاریتم

دامنه، مجموعه مقادیر، صعودی، نزولی

لگاریتم یک تابع یکنواخت است، بنابراین هیچ اکسترومومی ندارد. ویژگی های اصلی لگاریتم در جدول ارائه شده است.

دامنه	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
محدوده ارزش ها	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
یکنواخت	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
صفر، y= 0	x= 1	x= 1
نقاط تقاطع با محور y، x = 0	خیر	خیر
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

ارزش های خصوصی

لگاریتم پایه 10 نامیده می شود لگاریتم اعشاریو به این صورت مشخص شده است:

لگاریتم پایه هتماس گرفت لگاریتم طبیعی :

فرمول های لگاریتمی پایه

خواص لگاریتم که از تعریف تابع معکوس به دست می آید:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

لگاریتمعملیات ریاضی گرفتن لگاریتم است. هنگام گرفتن لگاریتم، حاصلضرب عوامل به مجموع ترم ها تبدیل می شود.

تقویتعملیات ریاضی معکوس لگاریتم است. هنگام تقویت، پایه داده شده به قدرت عبارتی که تقویت بر روی آن انجام می شود، افزایش می یابد. در این حالت، مجموع عبارت ها به محصول عوامل تبدیل می شود.

اثبات فرمول های پایه لگاریتم

فرمول های مربوط به لگاریتم از فرمول های توابع نمایی و از تعریف تابع معکوس به دست می آیند.

ویژگی تابع نمایی را در نظر بگیرید
.
سپس
.
خاصیت تابع نمایی را اعمال کنید
:
.

اجازه دهید فرمول تغییر پایه را ثابت کنیم.
;
.
با تنظیم c = b، داریم:

تابع معکوس

متقابل پایه یک لگاریتم است تابع نماییبا توان A.

اگر پس از آن

اگر پس از آن

مشتق لگاریتم

مشتق مدول لگاریتم x :
.
مشتق از مرتبه n:
.
اشتقاق فرمول ها > > >

برای یافتن مشتق لگاریتم، باید آن را به پایه تقلیل داد ه.
;
.

انتگرال

انتگرال لگاریتم با انتگرال گیری توسط قطعات محاسبه می شود: .
بنابراین،

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابع اعداد مختلط را در نظر بگیرید z:
.
بیان عدد مختلط zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
سپس با استفاده از خواص لگاریتم داریم:
.
یا

با این حال، استدلال φ به وضوح تعریف نشده است. اگر قرار دهیم
، جایی که n یک عدد صحیح است،
سپس برای متفاوت همان عدد خواهد بود n.

بنابراین، لگاریتم، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

برای ، بسط صورت می گیرد:

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.