حل عبارات لگاریتمی لگاریتم طبیعی، تابع ln x

لگاریتم چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

لگاریتم چیست؟ چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟ این سوالات بسیاری از فارغ التحصیلان را سردرگم می کند. به طور سنتی، موضوع لگاریتم پیچیده، غیرقابل درک و ترسناک در نظر گرفته می شود. به خصوص - معادلات با لگاریتم.

این مطلقا درست نیست. کاملا! باور نمی کنی؟ خوب اکنون، برای حدود 10 تا 20 دقیقه شما:

1. درک کنید لگاریتم چیست.

2. حل یک کلاس کامل را یاد بگیرید معادلات نمایی. حتی اگر نام آنها را نشنیده باشید.

3. محاسبه لگاریتم های ساده را یاد بگیرید.

علاوه بر این، برای این کار فقط باید جدول ضرب را بدانید و بدانید که چگونه یک عدد به توان می رسد ...

من احساس می کنم شما شک دارید ... خوب، زمان را نگه دارید! برو!

ابتدا معادله زیر را در ذهن خود حل کنید:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

خصوصیات اصلی لگاریتم، نمودار لگاریتم، دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، فرمول های اساسی، افزایش و کاهش آورده شده است. یافتن مشتق لگاریتم در نظر گرفته شده است. و همچنین انتگرال، بسط در سری پاورو نمایش با استفاده از اعداد مختلط.

تعریف لگاریتم

لگاریتم با پایه aتابع y است (x) = ورود x، معکوس تابع نمایی با پایه a: x (y) = a y.

لگاریتم اعشاریلگاریتم قاعده عدد است 10 : log x ≡ log 10 x.

لگاریتم طبیعیلگاریتم به پایه e است: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

نمودار لگاریتم از نمودار تابع نمایی به دست می آید تصویر آینه اینسبت به خط مستقیم y = x. در سمت چپ نمودارهای تابع y وجود دارد (x) = ورود xبرای چهار مقدار پایه های لگاریتم:a= 2 ، a = 8 ، a = 1/2 و a = 1/8 . نمودار نشان می دهد که برای یک > 1 لگاریتم به طور یکنواخت در حال افزایش است. با افزایش x، رشد به میزان قابل توجهی کاهش می یابد. در 0 < a < 1 لگاریتم به طور یکنواخت در حال کاهش است.

ویژگی های لگاریتم

دامنه، مجموعه مقادیر، صعودی، نزولی

لگاریتم یک تابع یکنواخت است، بنابراین هیچ اکسترومومی ندارد. ویژگی های اصلی لگاریتم در جدول ارائه شده است.


دامنه	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
محدوده ارزش ها	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
یکنواخت	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
صفر، y= 0	x= 1	x= 1
نقاط تقاطع با محور y، x = 0	خیر	خیر
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

ارزش های خصوصی

لگاریتم پایه 10 نامیده می شود لگاریتم اعشاریو به این صورت مشخص شده است:

لگاریتم پایه هتماس گرفت لگاریتم طبیعی:

فرمول های لگاریتمی پایه

خواص لگاریتم که از تعریف تابع معکوس به دست می آید:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

لگاریتمعملیات ریاضی گرفتن لگاریتم است. هنگام گرفتن لگاریتم، حاصلضرب عوامل به مجموع ترم ها تبدیل می شود.

تقویتعملیات ریاضی معکوس لگاریتم است. هنگام تقویت، پایه داده شده به قدرت عبارتی که تقویت بر روی آن انجام می شود، افزایش می یابد. در این حالت، مجموع عبارت ها به محصول عوامل تبدیل می شود.

اثبات فرمول های پایه لگاریتم

فرمول های مربوط به لگاریتم از فرمول های توابع نمایی و از تعریف تابع معکوس به دست می آیند.

ویژگی تابع نمایی را در نظر بگیرید
.
سپس
.
خاصیت تابع نمایی را اعمال کنید
:
.

اجازه دهید فرمول تغییر پایه را ثابت کنیم.
;
.
با تنظیم c = b، داریم:

تابع معکوس

متقابل پایه یک لگاریتم است تابع نماییبا توان A.

اگر پس از آن

مشتق لگاریتم

مشتق مدول لگاریتم x :
.
مشتق از مرتبه n:
.
اشتقاق فرمول ها > > >

برای یافتن مشتق لگاریتم، باید آن را به پایه تقلیل داد ه.
;
.

انتگرال

انتگرال لگاریتم با انتگرال گیری توسط قطعات محاسبه می شود: .
بنابراین،

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابع اعداد مختلط را در نظر بگیرید z:
.
بیان عدد مختلط zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
سپس با استفاده از خواص لگاریتم داریم:
.
یا

با این حال، استدلال φ به وضوح تعریف نشده است. اگر قرار دهیم
، جایی که n یک عدد صحیح است،
سپس برای متفاوت همان عدد خواهد بود n.

بنابراین، لگاریتم، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

برای ، بسط صورت می گیرد:

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.

ویدئوهای نهایی از یک سری طولانی از آموزش های مربوط به راه حل معادلات لگاریتمی. این بار ما در درجه اول با لگاریتم ODZ کار خواهیم کرد - دقیقاً به دلیل حسابداری نادرست (یا حتی نادیده گرفتن) دامنه تعریف است که اکثر خطاها هنگام حل چنین مشکلاتی رخ می دهد.

در این فیلم آموزشی کوتاه، کاربرد فرمول های جمع و تفریق لگاریتم ها را تحلیل می کنیم و همچنین به معادلات گویا کسری می پردازیم که بسیاری از دانش آموزان نیز با آن مشکل دارند.

چه چیزی مورد بحث قرار خواهد گرفت؟ فرمول اصلی که می خواهم با آن برخورد کنم به این صورت است:

log a (f g ) = log a f + log a g

آی تی انتقال استاندارداز حاصل ضرب به مجموع لگاریتم ها و بالعکس. این فرمول را احتمالا از همان ابتدای مطالعه لگاریتم می دانید. با این حال، یک مشکل در اینجا وجود دارد.

تا زمانی که متغیرهای a، f و g اعداد معمولی باشند، مشکلی وجود ندارد. این فرمول عالی عمل می کند.

با این حال، به محض ظاهر شدن توابع به جای f و g، مشکل گسترش یا محدود کردن دامنه تعریف، بسته به اینکه از کدام راه تبدیل شود، ایجاد می‌شود. خودتان قضاوت کنید: در لگاریتم نوشته شده در سمت چپ دامنه تعریف به صورت زیر است:

fg > 0

اما در مجموع نوشته شده در سمت راست، دامنه تعریف تا حدودی متفاوت است:

f > 0

g > 0

این مجموعه از الزامات سختگیرانه تر از مورد اصلی است. در حالت اول به گزینه f بسنده می کنیم< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 در حال اجراست).

بنابراین، هنگام عبور از ساختار چپ به سمت راست، دامنه تعریف محدودتر می شود. اگر در ابتدا یک جمع داشتیم و آن را به عنوان یک محصول بازنویسی می کردیم، دامنه تعریف گسترش می یابد.

به عبارت دیگر، در حالت اول، می‌توانیم ریشه‌ها را از دست بدهیم، و در حالت دوم، می‌توانیم ریشه‌های اضافی دریافت کنیم. این باید هنگام حل معادلات لگاریتمی واقعی در نظر گرفته شود.

بنابراین اولین وظیفه این است:

[شرح تصویر]

در سمت چپ مجموع لگاریتم ها را در همان پایه می بینیم. بنابراین، این لگاریتم ها را می توان اضافه کرد:

[شرح تصویر]

همانطور که می بینید، در سمت راست، صفر را با فرمول جایگزین کرده ایم:

a = log b b a

بیایید معادله خود را کمی بیشتر تنظیم کنیم:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

قبل از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، می‌توانیم علامت لاگ را خط بزنیم و آرگومان‌ها را برابر کنیم:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

توجه کنید: ماژول از کجا آمده است؟ به شما یادآوری می کنم که ریشه مربع دقیق دقیقاً برابر مدول است:

[شرح تصویر]

سپس معادله کلاسیک را با مدول حل می کنیم:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ± 1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

در اینجا دو نامزد برای پاسخ وجود دارد. آیا آنها راه حلی برای معادله لگاریتمی اصلی هستند؟ به هیچ وجه!

ما حق نداریم همه چیز را همینطور رها کنیم و جواب را بنویسیم. نگاهی به مرحله ای بیندازید که مجموع لگاریتم ها را با یک لگاریتمی از حاصل ضرب آرگومان ها جایگزین می کنیم. مشکل اینجاست که در عبارات اصلی توابع داریم. بنابراین، باید مورد نیاز باشد:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

هنگامی که ما محصول را تبدیل کردیم و یک مربع دقیق بدست آوردیم، الزامات تغییر کردند:

(x − 5) 2 > 0

چه زمانی این الزام برآورده می شود؟ بله، تقریباً همیشه! به جز موردی که x − 5 = 0. یعنی نابرابری به یک نقطه سوراخ کاهش می یابد:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

همانطور که می بینید دامنه تعریف گسترش یافته است که در همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردیم. بنابراین، ریشه های اضافی نیز ممکن است ظاهر شوند.

چگونه از ظهور این ریشه های اضافی جلوگیری کنیم؟ این بسیار ساده است: ما به ریشه های به دست آمده خود نگاه می کنیم و آنها را با دامنه معادله اصلی مقایسه می کنیم. بیا بشماریم:

x (x − 5) > 0

ما با استفاده از روش فاصله حل خواهیم کرد:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

اعداد دریافتی را روی خط مستقیم علامت گذاری می کنیم. همه نقاط سوراخ می شوند زیرا نابرابری شدید است. هر عددی بزرگتر از 5 را می گیریم و جایگزین می کنیم:

[شرح تصویر]

ما به فواصل (-∞؛ 0) ∪ (5؛ ∞) علاقه مندیم. اگر ریشه های خود را روی قطعه علامت گذاری کنیم، خواهیم دید که x = 4 برای ما مناسب نیست، زیرا این ریشه خارج از دامنه معادله لگاریتمی اصلی قرار دارد.

به جمعیت باز می گردیم، ریشه x \u003d 4 را خط زده و پاسخ را یادداشت می کنیم: x \u003d 6. این پاسخ نهایی معادله لگاریتمی اصلی است. همه چیز، کار حل شده است.

به معادله لگاریتمی دوم می رویم:

[شرح تصویر]

حلش می کنیم. توجه داشته باشید که جمله اول یک کسری است و دومی همان کسری است اما معکوس. از عبارت lgx نترسید - این فقط یک لگاریتم پایه 10 است، می توانیم بنویسیم:

lgx = log 10 x

از آنجایی که ما دو کسر معکوس داریم، پیشنهاد می کنم یک متغیر جدید معرفی کنیم:

[شرح تصویر]

بنابراین، معادله ما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

همانطور که می بینید، صورت کسر یک مربع دقیق است. کسری وقتی صفر است که صورت آن صفر و مخرج آن غیر صفر باشد:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

معادله اول را حل می کنیم:

t - 1 = 0;

t = 1.

این مقدار نیاز دوم را برآورده می کند. بنابراین، می توان ادعا کرد که معادله خود را کاملاً حل کرده ایم، اما فقط با توجه به متغیر t. حالا بیایید به یاد بیاوریم که t چیست:

[شرح تصویر]

نسبت را گرفتیم:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx - lgx = -1

logx = -1

این معادله را به شکل متعارف می آوریم:

lgx = lg 10-1

x = 10-1 = 0.1

در نتیجه، ما تنها ریشه را به دست آوردیم که در تئوری، حل معادله اصلی است. با این حال، بیایید آن را ایمن بازی کنیم و دامنه معادله اصلی را بنویسیم:

[شرح تصویر]

بنابراین، ریشه ما تمام الزامات را برآورده می کند. ما یک راه حل برای معادله لگاریتمی اصلی پیدا کرده ایم. پاسخ: x = 0.1. مشکل حل شد.

در درس امروز فقط یک نکته کلیدی وجود دارد: هنگام استفاده از فرمول انتقال از محصول به جمع و بالعکس، حتماً به خاطر داشته باشید که دامنه تعریف بسته به جهتی که انتقال انجام می شود، می تواند محدود یا گسترش یابد.

چگونه بفهمیم چه اتفاقی می افتد: انقباض یا انبساط؟ بسیار ساده. اگر قبلاً توابع با هم بودند و اکنون از هم جدا شده اند ، دامنه تعریف محدود شده است (زیرا الزامات بیشتری وجود دارد). اگر در ابتدا توابع جداگانه بودند و اکنون با هم هستند، دامنه تعریف گسترش می یابد (الزامات کمتری بر محصول تحمیل می شود تا عوامل فردی).

با توجه به این نکته، می‌خواهم توجه داشته باشم که معادله لگاریتمی دوم اصلاً به این تبدیل‌ها نیاز ندارد، یعنی هیچ جا آرگومان‌ها را جمع یا ضرب نمی‌کنیم. با این حال، در اینجا می خواهم توجه شما را به ترفند فوق العاده دیگری جلب کنم که به شما امکان می دهد راه حل را به طور قابل توجهی ساده کنید. این در مورد استدر مورد تغییر متغیر

با این حال، به یاد داشته باشید که هیچ جایگزینی ما را از محدوده آزاد نمی کند. به همین دلیل است که پس از یافتن همه ریشه ها، ما خیلی تنبل نبودیم و برای یافتن ODZ آن به معادله اصلی بازگشتیم.

اغلب هنگام تغییر یک متغیر، زمانی که دانش آموزان مقدار t را پیدا می کنند و فکر می کنند که راه حل تمام شده است، یک اشتباه آزاردهنده رخ می دهد. به هیچ وجه!

وقتی مقدار t را پیدا کردید، باید به معادله اصلی برگردید و ببینید دقیقاً چه چیزی را با این حرف نشان می‌دهیم. در نتیجه باید یک معادله دیگر را حل کنیم که البته بسیار ساده تر از معادله اصلی خواهد بود.

این دقیقاً هدف معرفی یک متغیر جدید است. ما معادله اصلی را به دو معادله میانی تقسیم می کنیم که هر کدام بسیار راحت تر حل می شود.

چگونه معادلات لگاریتمی "تودرتو" را حل کنیم

امروز ما به مطالعه معادلات لگاریتمی و تجزیه و تحلیل ساختارها زمانی که یک لگاریتم تحت علامت لگاریتم دیگری است، ادامه می دهیم. ما هر دو معادله را با استفاده از فرم متعارف حل خواهیم کرد.

امروز ما به مطالعه معادلات لگاریتمی و تجزیه و تحلیل ساختارها زمانی که یک لگاریتم تحت علامت لگاریتم دیگری است، ادامه می دهیم. ما هر دو معادله را با استفاده از فرم متعارف حل خواهیم کرد. اجازه دهید یادآوری کنم که اگر ساده ترین معادله لگاریتمی شکل log a f (x) \u003d b را داشته باشیم، برای حل چنین معادله ای مراحل زیر را انجام می دهیم. ابتدا باید عدد b را جایگزین کنیم:

b = ورود a a b

توجه داشته باشید که a b یک آرگومان است. به طور مشابه، در معادله اصلی، آرگومان تابع f(x) است. سپس معادله را بازنویسی می کنیم و این ساختار را بدست می آوریم:

log a f(x) = log a a b

پس از آن، می توانیم مرحله سوم را انجام دهیم - از علامت لگاریتم خلاص شویم و به سادگی بنویسیم:

f(x) = a b

در نتیجه یک معادله جدید بدست می آوریم. در این حالت هیچ محدودیتی برای تابع f(x) اعمال نمی شود. به عنوان مثال، در جای خود نیز می تواند یک تابع لگاریتمی باشد. و سپس دوباره یک معادله لگاریتمی بدست می آوریم که دوباره آن را به ساده ترین حالت کاهش می دهیم و از طریق شکل متعارف حل می کنیم.

اما شعر بس است. بیایید مشکل واقعی را حل کنیم. بنابراین وظیفه شماره 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

همانطور که می بینید، ما یک معادله لگاریتمی ساده داریم. نقش f (x) ساخت 1 + 3 log 2 x است و عدد b عدد 2 است (نقش a نیز دو است). بیایید این دو را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

درک این نکته مهم است که دو دس اول از پایه لگاریتم به ما رسیده است، یعنی اگر در معادله اصلی 5 وجود داشته باشد، آن 2 = log 5 5 2 به دست می آید. به طور کلی، پایه صرفاً به لگاریتمی بستگی دارد که در ابتدا در مسئله آورده شده است. و در مورد ما این عدد 2 است.

بنابراین، ما معادله لگاریتمی خود را بازنویسی می کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که این دو، که در سمت راست هستند، در واقع یک لگاریتمی هستند. ما گرفتیم:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

بیایید به ادامه مطلب برویم آخرین مرحلهطرح ما، ما از شر شکل متعارف خلاص می شویم. می توانیم بگوییم، فقط علائم ورود به سیستم را خط بزنید. با این حال، از نقطه نظر ریاضیات، "خارج کردن ورود" غیرممکن است - صحیح تر است که بگوییم ما به سادگی استدلال ها را برابر می کنیم:

1 + 3 log 2 x = 4

از اینجا به راحتی می توان 3 log 2 x را پیدا کرد:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

ما دوباره ساده ترین معادله لگاریتمی را دریافت کردیم، بیایید آن را به شکل متعارف برگردانیم. برای این کار باید تغییرات زیر را اعمال کنیم:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

چرا یک دوش در پایه وجود دارد؟ زیرا در ما معادله متعارفدر سمت چپ لگاریتم دقیقاً مطابق با پایه 2 است. ما با در نظر گرفتن این واقعیت مسئله را بازنویسی می کنیم:

log 2 x = log 2 2

باز هم از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم، یعنی به سادگی آرگومان ها را برابر می کنیم. ما حق داریم این کار را انجام دهیم، زیرا پایه ها یکسان هستند و هیچ اقدام اضافی دیگری در سمت راست یا چپ انجام نشده است:

همین! مشکل حل شد. ما یک راه حل برای معادله لگاریتمی پیدا کرده ایم.

توجه داشته باشید! اگرچه متغیر x در آرگومان وجود دارد (یعنی الزاماتی برای دامنه تعریف وجود دارد)، ما هیچ الزام اضافی ایجاد نخواهیم کرد.

همانطور که در بالا گفتم، اگر متغیر فقط در یک آرگومان از یک لگاریتم باشد، این بررسی اضافی است. در مورد ما، x واقعاً فقط در آرگومان و فقط زیر یک علامت log است. بنابراین نیازی به بررسی اضافی نیست.

با این حال، اگر اعتماد ندارید این روش، سپس می توانید به راحتی تأیید کنید که x = 2 واقعاً یک ریشه است. کافی است این عدد را جایگزین معادله اصلی کنید.

بیایید به معادله دوم برویم، کمی جالب تر است:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

اگر عبارت داخل لگاریتم بزرگ را با تابع f (x) نشان دهیم، ساده ترین معادله لگاریتمی را که درس ویدیویی امروز را با آن شروع کردیم، بدست می آوریم. بنابراین، می توان از فرم متعارف استفاده کرد، که برای آن لازم است واحد را به شکل log 2 2 1 = log 2 2 نشان دهیم.

بازنویسی معادله بزرگ ما:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

ما از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم و آرگومان ها را برابر می کنیم. ما حق داریم این کار را انجام دهیم، زیرا پایه ها در سمت چپ و راست یکسان هستند. همچنین توجه داشته باشید که log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

قبل از ما دوباره ساده ترین معادله لگاریتمی شکل log a f (x) \u003d b است. ما به شکل متعارف عبور می کنیم، یعنی صفر را در فرم log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 نشان می دهیم.

معادله خود را بازنویسی می کنیم و با معادل سازی آرگومان ها از شر علامت ورود خلاص می شویم:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

باز هم بلافاصله پاسخ دریافت کردیم. هیچ بررسی اضافی لازم نیست، زیرا در معادله اصلی، تنها یک لگاریتم حاوی تابع در آرگومان است.

بنابراین نیازی به بررسی اضافی نیست. به جرات می توان گفت که x = 1 تنها ریشه این معادله است.

اما اگر در لگاریتم دوم به جای چهار تابع x وجود داشته باشد (یا 2x در آرگومان نباشد، بلکه در پایه باشد) - آنگاه لازم است دامنه تعریف بررسی شود. در غیر این صورت، شانس زیادی برای برخورد با ریشه های اضافی وجود دارد.

این ریشه های اضافی از کجا می آیند؟ این نکته باید خیلی واضح درک شود. به معادلات اصلی نگاه کنید: همه جا تابع x زیر علامت لگاریتم است. بنابراین، از آنجایی که ما log 2 x را نوشته‌ایم، به طور خودکار نیاز x > 0 را تنظیم می‌کنیم. در غیر این صورت، این رکورد به سادگی معنا ندارد.

با این حال، همانطور که معادله لگاریتمی را حل می کنیم، از شر تمام نشانه های لاگ خلاص می شویم و ساختارهای ساده ای به دست می آوریم. اینجا دیگر محدودیتی وجود ندارد، زیرا تابع خطیبرای هر مقدار x تعریف شده است.

این مشکل است، وقتی تابع نهایی همه جا و همیشه تعریف می شود و تابع اولیه به هیچ وجه در همه جا و نه همیشه وجود دارد، به همین دلیل است که ریشه های اضافی اغلب در حل معادلات لگاریتمی ظاهر می شوند.

اما یک بار دیگر تکرار می کنم: این فقط در شرایطی اتفاق می افتد که تابع یا در چندین لگاریتم یا در پایه یکی از آنها باشد. در مسائلی که امروز مد نظر ماست، اصولاً هیچ مشکلی برای گسترش دامنه تعریف وجود ندارد.

موارد از زمینه های مختلف

این درس به ساختارهای پیچیده تر اختصاص دارد. لگاریتم های موجود در معادلات امروزی دیگر "خالی" حل نمی شوند - ابتدا باید برخی از تبدیل ها را انجام دهید.

حل معادلات لگاریتمی را با مبانی کاملا متفاوت شروع می کنیم که قدرت های دقیق یکدیگر نیستند. از چنین کارهایی نترسید - آنها دشوارتر از ساده ترین طرح هایی که در بالا تحلیل کردیم حل نمی شوند.

اما قبل از شروع مستقیم به مسائل، اجازه دهید فرمول حل ساده ترین معادلات لگاریتمی با استفاده از فرم متعارف را به شما یادآوری کنم. مشکلی مانند این را در نظر بگیرید:

log a f(x) = b

مهم است که تابع f (x) فقط یک تابع باشد و اعداد a و b باید دقیقاً اعداد باشند (بدون هیچ متغیر x). البته به معنای واقعی کلمه در یک دقیقه ما چنین مواردی را نیز در نظر خواهیم گرفت که به جای متغیرهای a و b توابعی وجود دارد، اما اکنون در مورد آن نیست.

همانطور که به یاد داریم، عدد b باید با یک لگاریتمی در همان پایه a که در سمت چپ است جایگزین شود. این کار بسیار ساده انجام می شود:

b = ورود a a b

البته کلمات "هر عدد b" و "هر عدد a" به معنای مقادیری هستند که دامنه تعریف را برآورده می کنند. به ویژه، این معادله فقط با پایه a > 0 و a ≠ 1 سروکار دارد.

با این حال، این شرط به طور خودکار برآورده می شود، زیرا مسئله اصلی از قبل دارای یک لگاریتم به پایه a است - مطمئناً بزرگتر از 0 خواهد بود و برابر با 1 نخواهد بود. بنابراین، حل معادله لگاریتمی را ادامه می دهیم:

log a f(x) = log a a b

چنین نمادی شکل متعارف نامیده می شود. راحتی آن این است که می توانیم بلافاصله با معادل سازی آرگومان ها از شر علامت log خلاص شویم:

f(x) = a b

اکنون از این تکنیک برای حل معادلات لگاریتمی با پایه متغیر استفاده خواهیم کرد. پس بزن بریم!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0.5 0.125

بعدش چی؟ اکنون یکی می گوید که باید لگاریتم درست را محاسبه کنید یا آنها را به یک پایه یا چیز دیگری کاهش دهید. و در واقع، اکنون باید هر دو پایه را به یک شکل بیاورید - یا 2 یا 0.5. اما بیایید قانون زیر را یک بار برای همیشه یاد بگیریم:

اگر در معادله لگاریتمی کسرهای اعشاری وجود دارد، حتماً این کسرها را از نماد اعشاری به معمولی تبدیل کنید. چنین تحولی می تواند راه حل را به طور قابل توجهی ساده کند.

چنین انتقالی باید فوراً انجام شود، حتی قبل از انجام هرگونه عمل و دگرگونی. اجازه بدید ببینم:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ می توانیم 1/2 و 1/8 را به عنوان یک توان منفی نشان دهیم:

[شرح تصویر]

ما شکل متعارف را داریم. استدلال ها را برابر کنید و کلاسیک را بدست آورید معادله درجه دوم:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

قبل از ما معادله درجه دوم داده شده است که با استفاده از فرمول های Vieta به راحتی حل می شود. شما باید محاسبات مشابه را در دبیرستان به معنای واقعی کلمه شفاهی ببینید:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

همین! معادله لگاریتمی اصلی حل شده است. ما دو ریشه داریم.

اجازه دهید یادآوری کنم که در این مورد نیازی به تعریف محدوده نیست، زیرا تابع با متغیر x تنها در یک آرگومان وجود دارد. بنابراین، محدوده به طور خودکار انجام می شود.

بنابراین معادله اول حل می شود. بریم سراغ مورد دوم:

log 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9-1

و اکنون توجه داشته باشید که آرگومان لگاریتم اول را می توان به صورت توانی با توان منفی نیز نوشت: 1/2 = 2 −1. سپس می توانید قدرت های هر دو طرف معادله را بردارید و همه چیز را بر 1- تقسیم کنید:

[شرح تصویر]

و اکنون یک مرحله بسیار مهم در حل معادله لگاریتمی را تکمیل کرده ایم. شاید کسی متوجه چیزی نشده باشد، بگذارید توضیح دهم.

به معادله ما نگاه کنید: log در سمت چپ و راست است، اما لگاریتم پایه 2 در سمت چپ و لگاریتم پایه 3 در سمت راست درجه است.

بنابراین، اینها لگاریتم هایی با پایه های مختلف هستند که با توان ساده به یکدیگر کاهش نمی یابند. تنها راه حل چنین مسائلی خلاص شدن از شر یکی از این لگاریتم هاست. در این مورد، از آنجایی که ما هنوز کاملاً در حال بررسی هستیم کارهای ساده، لگاریتم سمت راست به سادگی محاسبه شد و ما ساده ترین معادله را به دست آوردیم - دقیقاً همان چیزی که در همان ابتدای درس امروز در مورد آن صحبت کردیم.

بیایید عدد 2 را که در سمت راست است، به صورت log 2 2 2 = log 2 4 نشان دهیم. و سپس از علامت لگاریتم خلاص شویم، پس از آن فقط با یک معادله درجه دوم باقی می‌مانیم:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

قبل از ما معادله درجه دوم معمول است، اما کاهش نمی یابد، زیرا ضریب در x 2 با واحد متفاوت است. بنابراین، ما آن را با استفاده از تمایز حل خواهیم کرد:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (-9 - 11) / 10 \u003d -2

همین! ما هر دو ریشه را پیدا کردیم، به این معنی که حل معادله لگاریتمی اصلی را به دست آوردیم. در واقع، در مسئله اصلی، تابع با متغیر x تنها در یک آرگومان وجود دارد. در نتیجه، هیچ بررسی اضافی در حوزه تعریف مورد نیاز نیست - هر دو ریشه ای که ما پیدا کردیم مطمئناً تمام محدودیت های ممکن را برآورده می کنند.

این می تواند پایان آموزش ویدیویی امروز باشد، اما در پایان می خواهم دوباره بگویم: هنگام حل معادلات لگاریتمی حتماً همه کسرهای اعشاری را به معمولی تبدیل کنید. در بیشتر موارد، این راه حل آنها را بسیار ساده می کند.

به ندرت، بسیار به ندرت، مشکلاتی وجود دارد که خلاص شدن از کسری اعشاری فقط محاسبات را پیچیده می کند. با این حال، در چنین معادلاتی، به عنوان یک قاعده، در ابتدا مشخص است که نیازی به خلاص شدن از کسری اعشاری نیست.

در بیشتر موارد دیگر (مخصوصاً اگر تازه شروع به آموزش در حل معادلات لگاریتمی کرده اید)، با خیال راحت از شر کسرهای اعشاری خلاص شوید و آنها را به کسرهای معمولی ترجمه کنید. زیرا تمرین نشان می دهد که از این طریق راه حل و محاسبات بعدی را تا حد زیادی ساده خواهید کرد.

ظرافت ها و ترفندهای راه حل

امروز ما در حال حرکت به سمت مسائل پیچیده تری هستیم و معادله لگاریتمی را حل خواهیم کرد که نه بر اساس عدد، بلکه بر اساس یک تابع است.

و حتی اگر این تابع خطی باشد، باید تغییرات کوچکی در طرح حل ایجاد شود، که معنای آن به الزامات اضافی تحمیل شده بر دامنه تعریف لگاریتم خلاصه می شود.

وظایف دشوار

این درس بسیار طولانی خواهد بود. در آن، ما دو معادله لگاریتمی نسبتاً جدی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که در حل آنها بسیاری از دانش آموزان اشتباه می کنند. در طول تمرین خود به عنوان معلم خصوصی در ریاضیات، دائماً با دو نوع خطا مواجه می شدم:

ظهور ریشه های اضافی به دلیل گسترش دامنه تعریف لگاریتم. برای جلوگیری از انجام چنین اشتباهات توهین آمیزی، فقط مراقب هر تحول باشید.
از دست دادن ریشه ها به دلیل این واقعیت است که دانش آموز فراموش کرده است برخی موارد "لطیف" را در نظر بگیرد - امروز بر روی چنین موقعیت هایی تمرکز خواهیم کرد.

این آخرین درس در مورد معادلات لگاریتمی است. طولانی خواهد بود، ما معادلات لگاریتمی پیچیده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. خودت را راحت کن، برای خودت چای درست کن، و ما شروع می کنیم.

معادله اول کاملاً استاندارد به نظر می رسد:

log x + 1 (x - 0.5) = log x - 0.5 (x + 1)

بلافاصله توجه می کنیم که هر دو لگاریتم کپی معکوس یکدیگر هستند. بیایید فرمول فوق العاده را به خاطر بسپاریم:

log a b = 1/log b a

با این حال، این فرمول دارای تعدادی محدودیت است که اگر به جای اعداد a و b توابعی از متغیر x وجود داشته باشد، ایجاد می شود:

b > 0

1 ≠ a > 0

این الزامات بر اساس لگاریتم تحمیل می شوند. از طرف دیگر، در یک کسری، باید 1 ≠ a > 0 داشته باشیم، زیرا نه تنها متغیر a در آرگومان لگاریتم است (بنابراین، a > 0)، بلکه خود لگاریتم در مخرج است. کسر اما log b 1 = 0، و مخرج باید غیر صفر باشد، بنابراین a ≠ 1.

بنابراین، محدودیت های متغیر a حفظ می شود. اما چه اتفاقی برای متغیر b می افتد؟ از یک طرف، b > 0 از پایه، از طرف دیگر، متغیر b ≠ 1 به دست می آید، زیرا پایه لگاریتم باید با 1 متفاوت باشد. در مجموع، از سمت راست فرمول نتیجه می شود که 1 ≠ b > 0.

اما مشکل اینجاست: شرط دوم (b ≠ 1) در نابرابری اول در لگاریتم سمت چپ وجود ندارد. به عبارت دیگر، هنگام انجام این تبدیل، باید جداگانه چک کنیدکه آرگومان b با یک فرق دارد!

در اینجا، بیایید آن را بررسی کنیم. بیایید فرمول خود را اعمال کنیم:

[شرح تصویر]

1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

بنابراین ما از معادله لگاریتمی اصلی دریافتیم که a و b باید بزرگتر از 0 باشند و مساوی 1 نباشند. بنابراین، می توانیم به راحتی معادله لگاریتمی را برگردانیم:

من پیشنهاد می کنم یک متغیر جدید معرفی کنم:

log x + 1 (x − 0.5) = t

در این مورد، ساخت ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

(t 2 − 1)/t = 0

توجه داشته باشید که در صورت شمار اختلاف مربع ها را داریم. ما تفاوت مربع ها را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری نشان می دهیم:

(t - 1) (t + 1)/t = 0

کسری وقتی صفر است که صورت آن صفر و مخرج آن غیر صفر باشد. اما عدد شامل حاصلضرب است، بنابراین هر عامل را با صفر برابر می کنیم:

t1 = 1;

t2 = -1;

t ≠ 0.

همانطور که می بینید، هر دو مقدار متغیر t برای ما مناسب است. با این حال، راه حل به همین جا ختم نمی شود، زیرا ما باید نه t، بلکه مقدار x را پیدا کنیم. به لگاریتم برمی گردیم و می گیریم:

log x + 1 (x − 0.5) = 1;

log x + 1 (x - 0.5) = -1.

بیایید هر یک از این معادلات را به شکل متعارف در آوریم:

log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0.5) = log x + 1 (x + 1) -1

در حالت اول از علامت لگاریتم خلاص می شویم و آرگومان ها را برابر می کنیم:

x − 0.5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0.5;

چنین معادله ای ریشه ندارد، بنابراین اولین معادله لگاریتمی نیز ریشه ندارد. اما با معادله دوم، همه چیز بسیار جالب تر است:

(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)

نسبت را حل می کنیم - می گیریم:

(x − 0.5) (x + 1) = 1

به شما یادآوری می کنم که هنگام حل معادلات لگاریتمی، ارائه تمام کسرهای اعشاری رایج بسیار راحت تر است، بنابراین بیایید معادله خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(x − 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

قبل از ما معادله درجه دوم داده شده است، با استفاده از فرمول های Vieta به راحتی حل می شود:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 \u003d -1.5;

x2 = 1.

ما دو ریشه گرفتیم - آنها کاندیدای حل معادله لگاریتمی اصلی هستند. برای اینکه بفهمیم واقعاً چه ریشه‌هایی در پاسخ قرار می‌گیرند، اجازه دهید به مشکل اصلی بازگردیم. اکنون هر یک از ریشه های خود را بررسی می کنیم تا ببینیم آیا آنها با دامنه مطابقت دارند یا خیر:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > -1.

این الزامات معادل یک نابرابری مضاعف است:

1 ≠ x > 0.5

از اینجا بلافاصله می بینیم که ریشه x = -1.5 مناسب ما نیست، اما x = 1 کاملا راضی است. بنابراین x = 1 جواب نهایی معادله لگاریتمی است.

بریم سراغ کار دوم:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که همه لگاریتم ها هستند زمینه های مختلفو استدلال های مختلف با چنین سازه هایی چه باید کرد؟ ابتدا توجه داشته باشید که اعداد 25، 5 و 625 توان های 5 هستند:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

و اکنون از ویژگی قابل توجه لگاریتم استفاده خواهیم کرد. واقعیت این است که شما می توانید درجات را در قالب عوامل از استدلال خارج کنید:

log a b n = n ∙ log a b

زمانی که تابعی به جای b وجود داشته باشد محدودیت هایی نیز بر این تبدیل اعمال می شود. اما با ما b فقط یک عدد است و هیچ محدودیت اضافی ایجاد نمی شود. بیایید معادله خود را دوباره بنویسیم:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

معادله ای با سه جمله حاوی علامت ورود به سیستم دریافت کردیم. علاوه بر این، آرگومان های هر سه لگاریتم برابر هستند.

وقت آن است که لگاریتم ها را برگردانیم تا آنها را به یک پایه - 5 برسانیم. از آنجایی که متغیر b یک ثابت است، هیچ تغییری در دامنه وجود ندارد. ما فقط بازنویسی می کنیم:

[شرح تصویر]

همانطور که انتظار می‌رفت، همان لگاریتم‌ها در مخرج «خزیدن» بیرون آمدند. من پیشنهاد می کنم متغیر را تغییر دهید:

log 5 x = t

در این حالت معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

بیایید شماره را بنویسیم و پرانتزها را باز کنیم:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

به کسری خود برمی گردیم. عدد باید صفر باشد:

[شرح تصویر]

و مخرج با صفر متفاوت است:

t ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ -2

آخرین الزامات به طور خودکار برآورده می شوند، زیرا همه آنها به اعداد صحیح "گره خورده اند" و همه پاسخ ها غیر منطقی هستند.

بنابراین، معادله منطقی کسریحل شده، مقادیر متغیر t یافت می شود. ما به حل معادله لگاریتمی برمی گردیم و به یاد می آوریم که t چیست:

[شرح تصویر]

این معادله را به شکل متعارف می آوریم، عددی با درجه غیر منطقی به دست می آوریم. اجازه ندهید این شما را گیج کند - حتی چنین استدلال هایی را می توان یکسان دانست:

[شرح تصویر]

ما دو ریشه داریم. به طور دقیق تر، دو نامزد برای پاسخ - بیایید آنها را برای مطابقت با دامنه بررسی کنیم. از آنجایی که پایه لگاریتم متغیر x است، به موارد زیر نیاز داریم:

1 ≠ x > 0;

با همان موفقیت، ما ادعا می کنیم که x ≠ 1/125 است، در غیر این صورت پایه لگاریتم دوم به یک تبدیل می شود. در نهایت، x ≠ 1/25 برای لگاریتم سوم.

در مجموع، ما چهار محدودیت داریم:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

حال سؤال این است: آیا ریشه های ما این الزامات را برآورده می کند؟ حتما راضی! زیرا 5 به هر توانی بزرگتر از صفر خواهد بود و شرط x > 0 به طور خودکار برآورده می شود.

از طرفی 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3 یعنی این محدودیت ها برای ریشه های ما (که یادآوری کنم یک عدد غیر منطقی در شاخص) نیز برآورده می شوند و هر دو پاسخ راه حل هایی برای مشکل هستند.

بنابراین ما پاسخ نهایی را داریم. در این موضوع دو نکته کلیدی وجود دارد:

هنگام معکوس کردن لگاریتم زمانی که آرگومان و مبنا معکوس می شوند مراقب باشید. چنین دگرگونی هایی محدودیت های غیرضروری را در حوزه تعریف تحمیل می کند.
از تبدیل لگاریتم ها نترسید: شما نه تنها می توانید آنها را برگردانید، بلکه آنها را مطابق فرمول جمع باز کنید و به طور کلی آنها را با توجه به فرمول هایی که هنگام حل مطالعه کرده اید تغییر دهید. عبارات لگاریتمی. با این حال، همیشه به یاد داشته باشید که برخی از تحولات دامنه را گسترش می دهند و برخی آن را محدود می کنند.

لگاریتم b (b > 0) به پایه a (a > 0، a ≠ 1)توانی است که برای بدست آوردن b باید عدد a را افزایش دهید.

لگاریتم پایه 10 b را می توان به صورت زیر نوشت ورود به سیستم (ب)، و لگاریتم به پایه e (لگاریتم طبیعی) - ln(b).

اغلب برای حل مسائل با لگاریتم استفاده می شود:

خواص لگاریتم ها

چهار اصلی وجود دارد خواص لگاریتم ها.

بگذارید a > 0، a ≠ 1، x > 0 و y > 0.

خاصیت 1. لگاریتم محصول

لگاریتم محصول برابر با مجموع استلگاریتم ها:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

خاصیت 2. لگاریتم ضریب

لگاریتم ضریببرابر است با اختلاف لگاریتم:

log a (x / y) = log a x – log a y

خاصیت 3. لگاریتم درجه

لگاریتم درجهبرابر است با حاصل ضرب درجه و لگاریتم:

اگر پایه لگاریتم در توان باشد، فرمول دیگری اعمال می شود:

خاصیت 4. لگاریتم ریشه

این ویژگی را می توان از خاصیت لگاریتم درجه به دست آورد، زیرا ریشه درجه n برابر با توان 1/n است:

فرمول رفتن از لگاریتم در یک پایه به لگاریتم در پایه دیگر

این فرمول همچنین اغلب هنگام حل وظایف مختلف برای لگاریتم استفاده می شود:

مورد خاص:

مقایسه لگاریتم ها (نابرابری ها)

فرض کنید 2 تابع f(x) و g(x) تحت لگاریتمی با پایه های یکسان داریم و بین آنها علامت نابرابری وجود دارد:

برای مقایسه آنها، ابتدا باید به پایه لگاریتم ها نگاه کنید:

اگر a > 0، آنگاه f(x) > g(x) > 0
اگر 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

نحوه حل مسائل با لگاریتم: مثال

وظایف با لگاریتمکه در USE در ریاضیات برای کلاس 11 در کار 5 و وظیفه 7 گنجانده شده است، می توانید وظایف با راه حل ها را در وب سایت ما در بخش های مربوطه پیدا کنید. همچنین، وظایف با لگاریتم در بانک وظایف در ریاضیات یافت می شود. با جستجو در سایت می توانید تمام نمونه ها را بیابید.

لگاریتم چیست

لگاریتم ها همیشه به عنوان یک مبحث دشوار در درس ریاضی مدرسه مطرح بوده اند. تعاریف مختلفی از لگاریتم وجود دارد، اما به دلایلی اکثر کتاب های درسی از پیچیده ترین و تاسف بارترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را ساده و واضح تعریف می کنیم. بیایید یک جدول برای این ایجاد کنیم:

بنابراین، ما دو قدرت داریم.

لگاریتم - خواص، فرمول ها، نحوه حل

اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را بالا ببرید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

پایه a آرگومان x توانی است که برای بدست آوردن عدد x باید عدد a را به آن افزایش داد.

علامت گذاری: log a x \u003d b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b در واقع همان چیزی است که لگاریتم برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). ممکن است 2 64 = 6 را نیز ثبت کنید، زیرا 2 6 = 64.

عمل یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه داده شده نامیده می شود. بنابراین بیایید یک ردیف جدید به جدول خود اضافه کنیم:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
گزارش 2 2 = 1	گزارش 2 4 = 2	گزارش 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی در نظر گرفته نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی از قطعه قرار گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند: اعداد بعد از نقطه اعشار را می توان به طور نامحدود نوشت و هرگز تکرار نمی شود. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این صورت رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می‌کنند که مبنا کجاست و بحث کجاست. برای جلوگیری سوء تفاهم های تاسف بارفقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم قدرت است، که برای دریافت استدلال باید پایه را به آن بالا ببرید. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی وجود ندارد.

نحوه شمارش لگاریتم

ما تعریف را فهمیدیم - باید یاد بگیریم که چگونه لگاریتم ها را بشماریم، یعنی. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشد. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، به دست می آید.
پایه باید با وحدت متفاوت باشد، زیرا یک واحد به هر قدرتی هنوز یک واحد است. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود محدوده معتبر(ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی بر روی عدد b (مقدار لگاریتم) اعمال نمی شود. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن ODZ لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط کامپایلرهای مشکلات در نظر گرفته شده است. اما وقتی معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DHS اجباری خواهند شد. در واقع، در مبنا و استدلال می‌تواند ساختارهای بسیار قوی داشته باشد که لزوماً با محدودیت‌های فوق مطابقت ندارد.

اکنون طرح کلی برای محاسبه لگاریتم را در نظر بگیرید. از سه مرحله تشکیل شده است:

پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با کوچکترین پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول راه، بهتر است از کسری اعشاری خلاص شوید.
معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، این در مرحله اول دیده می شود. این شرط که پایه بزرگتر از یک باشد بسیار مرتبط است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. شبیه به اعداد اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به معمولی ترجمه کنید، چندین برابر خطاهای کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با مثال های خاص چگونه کار می کند:

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان پنج نشان دهیم: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

پاسخ دریافت کرد: 2.

یک وظیفه. محاسبه لگاریتم:

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

بیایید پایه و آرگومان را به صورت توان دو نشان دهیم: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
پاسخ دریافت کرد: 3.

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو نشان دهیم: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
پاسخ دریافت کرد: 0.

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان هفت نشان دهیم: 7 = 7 1 ; 14 به عنوان توان هفت نشان داده نمی شود، زیرا 7 1< 14 < 7 2 ;
از پاراگراف قبل بر می آید که لگاریتم در نظر گرفته نمی شود.
پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه مطمئن شویم که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده - فقط آن را به فاکتورهای اصلی تجزیه کنید. اگر حداقل دو عامل متمایز در انبساط وجود داشته باشد، عدد یک توان دقیق نیست.

یک وظیفه. دریابید که آیا توان های دقیق عدد عبارتند از: 8; 48; 81; 35; چهارده.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 توان دقیقی نیست زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
35 = 7 5 - باز هم درجه دقیقی نیست.
14 \u003d 7 2 - دوباره یک درجه دقیق نیست.

ما همچنین توجه داشته باشید که ما اعداد اولهمیشه قدرت های دقیق خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نام خاصی دارند.

از آرگومان x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن x باید 10 را افزایش داد. نامگذاری: lgx.

به عنوان مثال، log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این به بعد وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر شد، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر به چنین تعیینی عادت ندارید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نماد خاص خود را دارد. به یک معنا، حتی مهمتر از اعشاری است. این لگاریتم طبیعی است.

آرگومان x لگاریتم پایه e است، یعنی. توانی که عدد e باید به آن افزایش یابد تا عدد x بدست آید. نامگذاری: lnx.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است ارزش دقیقیافتن و ثبت ناممکن است. در اینجا فقط اعداد اول هستند:
e = 2.718281828459…

ما به این نخواهیم پرداخت که این عدد چیست و چرا به آن نیاز است. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویا غیر منطقی است. به جز، البته، وحدت: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.

همچنین ببینید:

لگاریتم. خواص لگاریتم (قدرت لگاریتم).

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتم نشان دهیم؟

ما از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم.

لگاریتم نشانگر توانی است که برای بدست آوردن عدد زیر علامت لگاریتم، پایه باید به آن بلند شود.

بنابراین، برای اینکه یک عدد c را به عنوان لگاریتم به پایه a نشان دهیم، باید درجه ای با پایه لگاریتم زیر علامت لگاریتم قرار داده و این عدد c را در توان بنویسیم:

در قالب یک لگاریتم، می توانید مطلقاً هر عددی را نشان دهید - مثبت، منفی، صحیح، کسری، گویا، غیر منطقی:

برای اینکه الف و ج را در شرایط استرس زا آزمون یا امتحان اشتباه نگیرید، می توانید از قانون زیر برای یادآوری استفاده کنید:

آنچه در پایین است پایین می آید، آنچه در بالا است بالا می رود.

به عنوان مثال، شما می خواهید عدد 2 را به عنوان لگاریتم به پایه 3 نشان دهید.

ما دو عدد داریم - 2 و 3. این اعداد پایه و توان هستند که آنها را زیر علامت لگاریتم می نویسیم. باقی مانده است که مشخص شود کدام یک از این اعداد باید در پایه درجه و کدام - بالا در توان نوشته شود.

پایه 3 در رکورد لگاریتم در پایین است، به این معنی که وقتی دوس را به عنوان لگاریتم به پایه 3 نشان می دهیم، 3 را نیز به پایه می نویسیم.

2 بالاتر از 3 است. و در علامت درجه دو را بالای سه یعنی در توان می نویسیم:

لگاریتم ها سطح اول.

لگاریتم ها

لگاریتمعدد مثبت ببا دلیل آ، جایی که a > 0، a ≠ 1، توانی است که عدد باید به آن افزایش یابد. آ، بدست آوردن ب.

تعریف لگاریتممی توان به طور خلاصه اینگونه نوشت:

این برابری برای b > 0، a > 0، a ≠ 1.معمولا او را صدا می زنند هویت لگاریتمی
عمل یافتن لگاریتم یک عدد نامیده می شود لگاریتم

خواص لگاریتم:

لگاریتم محصول:

لگاریتم ضریب تقسیم:

جایگزینی پایه لگاریتم:

لگاریتم درجه:

لگاریتم ریشه:

لگاریتم با پایه قدرت:

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

لگاریتم اعشاریاعداد لگاریتم پایه 10 آن عدد را فراخوانی کرده و lg را بنویسند ب
لگاریتم طبیعیاعداد لگاریتم این عدد را به مبنا می خوانند ه، جایی که هعددی غیر منطقی است که تقریباً برابر با 2.7 است. در عین حال ln می نویسند ب.

نکات دیگر در مورد جبر و هندسه

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اساسی.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: log a x و log a y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر با لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا این است - همین زمینه ها. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به محاسبه عبارت لگاریتمی کمک می‌کنند حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

log 6 4 + log 6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بر اساس این واقعیت، بسیاری از اوراق تست. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی اوقات - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر لگاریتم ODZ مشاهده شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید طبق فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 72. ما داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم:

اجازه دهید لاگ لگاریتمی a x داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x قرار دهیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید خلاص شویم لگاریتم اعشاری، انتقال به یک پایگاه جدید:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود.

در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:

به راستی اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b در این درجه عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: این همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" هستند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان با همان پایه، ما گرفتیم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه ایالتی بود 🙂

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه می دهم که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه اینها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

log a a = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
log a 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.