با استفاده از ویژگی های تابع نمایی، علامت عبارت را تعیین کنید. یک تابع نمایی، خواص و نمودار آن - هایپر مارکت دانش

1.تابع نماییتابعی از شکل y(x) =a x، بسته به توان x، با مقدار ثابت پایه درجه a است، که در آن a > 0، a ≠ 0، xϵR (R مجموعه اعداد واقعی است) .

در نظر گرفتن نمودار تابع اگر پایه شرط را برآورده نکند: a>0
الف) الف< 0
اگر یک< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

اگر a = 0 باشد، تابع y = تعریف شده و دارد مقدار ثابت 0

ج) a \u003d 1
اگر a = 1 - تابع y = تعریف شده است و مقدار ثابت آن 1 است

2. تابع نمایی را با جزئیات بیشتر در نظر بگیرید:

0

دامنه تابع (OOF)

ناحیه مقادیر تابع مجاز (ODZ)

3. صفرهای تابع (y = 0)

4. نقاط تقاطع با محور y (x = 0)

5. افزایش، کاهش عملکرد

اگر، تابع f(x) افزایش می یابد
اگر، تابع f(x) کاهش می یابد
تابع y=، در 0 تابع y \u003d برای a> 1 به طور یکنواخت افزایش می یابد
این از ویژگی های یکنواختی یک درجه با توان واقعی ناشی می شود.

6. توابع زوج و فرد

تابع y = نسبت به محور 0y و مبدا متقارن نیست، بنابراین نه زوج است و نه فرد. (عملکرد عمومی)

7. تابع y \u003d هیچ اکسترومومی ندارد

8. ویژگی های یک درجه با توان واقعی:

بگذارید a > 0; a≠1
b > 0; b≠1

سپس برای x εR; yεR:

ویژگی های یکنواختی درجه:

اگر پس از آن
مثلا:

اگر a> 0، پس.
تابع نمایی در هر نقطه ϵ R پیوسته است.

9. مکان نسبی تابع

هرچه پایه a بزرگتر باشد به محورهای x و y نزدیکتر است

a > 1، a = 20

اگر a0 باشد، تابع نمایی شکلی نزدیک به y = 0 می گیرد.
اگر a1، پس از محورهای x و y و نمودار شکلی نزدیک به تابع y \u003d 1 می گیرد.

مثال 1
نمودار y=

درس #2

موضوع: یک تابع نمایی، خواص و نمودار آن.

هدف:کیفیت جذب مفهوم "تابع نمایی" را بررسی کنید. ایجاد مهارت در تشخیص یک تابع نمایی، در استفاده از خواص و نمودارهای آن، آموزش استفاده از اشکال تحلیلی و گرافیکی برای ثبت یک تابع نمایی. محیط کار را در کلاس فراهم کنید.

تجهیزات:تابلو، پوستر

فرم درس: کلاس درس

نوع درس: درس عملی

نوع درس: درس مهارت آموزی

طرح درس

1. لحظه سازمانی

2. کار مستقل و بررسی تکالیف

3. حل مسئله

4. جمع بندی

5. تکالیف

در طول کلاس ها.

1. لحظه سازمانی :

سلام. دفترچه ها را باز کنید، تاریخ امروز و موضوع درس "تابع نمایی" را یادداشت کنید. امروز ما به مطالعه تابع نمایی، خواص و نمودار آن ادامه خواهیم داد.

2. کار مستقل و بررسی تکالیف .

هدف:کیفیت جذب مفهوم "تابع نمایی" را بررسی کنید و انجام بخش نظری تکلیف را بررسی کنید.

روش:تکلیف آزمایشی، بررسی پیشانی

به عنوان تکلیف، اعدادی از کتاب مسائل و یک پاراگراف از کتاب درسی به شما داده شد. ما اکنون اجرای اعداد را از کتاب درسی بررسی نمی کنیم، اما شما در پایان درس دفترچه های خود را تحویل می دهید. اکنون این نظریه در قالب یک آزمون کوچک مورد آزمایش قرار خواهد گرفت. کار برای همه یکسان است: لیستی از توابع به شما داده می شود، باید دریابید که کدام یک از آنها نشانگر هستند (زیر آنها را خط بکشید). و در کنار تابع نمایی باید بنویسید که در حال افزایش یا کاهش است.

انتخاب 1

پاسخ

ب)

د) - تصاعدی، کاهشی

گزینه 2

پاسخ

د) - تصاعدی، کاهشی

د) - نشان دهنده، افزایشی

گزینه 3

پاسخ

ولی) - نشان دهنده، افزایشی

ب) - تصاعدی، کاهشی

گزینه 4

پاسخ

ولی) - تصاعدی، کاهشی

AT) - نشان دهنده، افزایشی

حالا بیایید با هم به یاد بیاوریم که چه تابعی را نمایی می نامند؟

تابعی از شکل , Where and , تابع نمایی نامیده می شود.

دامنه این عملکرد چیست؟

همه اعداد واقعی

محدوده تابع نمایی چقدر است؟

همه اعداد حقیقی مثبت

اگر پایه بزرگتر از صفر اما کمتر از یک باشد کاهش می یابد.

چه زمانی یک تابع نمایی در دامنه خود کاهش می یابد؟

اگر پایه بزرگتر از یک باشد افزایش می یابد.

3. حل مسئله

هدف: ایجاد مهارت در تشخیص تابع نمایی، در استفاده از خواص و نمودارهای آن، آموزش استفاده از اشکال تحلیلی و گرافیکی ثبت تابع نمایی به دانش آموزان.

روش: نمایش حل مسائل معمولی توسط معلم، کار شفاهی، کار روی تخته سیاه، کار در دفترچه یادداشت، گفتگوی معلم با دانش آموزان.

هنگام مقایسه 2 یا چند عدد می توان از ویژگی های تابع نمایی استفاده کرد. به عنوان مثال: شماره 000. مقادیر را مقایسه کنید و اگر a) ..gif" width="37" height="20 src=">، پس این کار بسیار مشکلی است: ما باید ریشه مکعبی 3 و 9 را بگیریم و آنها را با هم مقایسه کنیم. اما می دانیم که افزایش می یابد، این است در صف خود به این معنی است که وقتی آرگومان افزایش می‌یابد، مقدار تابع افزایش می‌یابد، یعنی کافی است مقادیر آرگومان را با یکدیگر مقایسه کنیم و بدیهی است که (را می توان روی پوستری با تابع نمایی افزایشی نشان داد). و همیشه هنگام حل چنین مثال هایی ابتدا پایه تابع نمایی را تعیین کنید، با 1 مقایسه کنید، یکنواختی را تعیین کنید و به مقایسه آرگومان ها بپردازید. در مورد تابع نزولی: با افزایش آرگومان، مقدار تابع کاهش می‌یابد، بنابراین، هنگام حرکت از نامساوی بودن آرگومان‌ها به نامساوی توابع، علامت نابرابری تغییر می‌کند. سپس به صورت شفاهی حل می کنیم: ب)

AT)

ز)

- شماره 000. اعداد: الف) و

بنابراین، تابع در حال افزایش است

چرا ؟

افزایش عملکرد و

بنابراین، تابع در حال کاهش است، سپس

هر دو تابع در کل دامنه تعریف خود افزایش می یابند، زیرا با پایه بزرگتر از یک نمایی هستند.

معنی آن چیست؟

ما نمودارها را می سازیم:

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر رشد می کند https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر کاهش می یابد https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص بیشترین مقدار را دارد؟

د)، https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. ابتدا بیایید دامنه این توابع را دریابیم. مصادف شدن؟

بله دامنه این توابع همه اعداد حقیقی هستند.

محدوده هر یک از این توابع را نام ببرید.

محدوده این توابع منطبق است: همه اعداد حقیقی مثبت.

نوع یکنواختی هر یک از توابع را تعیین کنید.

هر سه تابع در کل دامنه تعریف خود کاهش می یابند، زیرا با پایه کمتر از یک و بزرگتر از صفر نمایی هستند.

نقطه مفرد نمودار یک تابع نمایی چیست؟

معنی آن چیست؟

پایه درجه یک تابع نمایی هر چه باشد، اگر توان آن 0 باشد، مقدار این تابع 1 است.

ما نمودارها را می سازیم:

بیایید نمودارها را تحلیل کنیم. نمودارهای تابع چند نقطه تقاطع دارند؟

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر کاهش می یابد؟ https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر رشد می کند؟ https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص بیشترین مقدار را دارد؟

چرا توابع نمایی با پایه های مختلف فقط یک نقطه تقاطع دارند؟

توابع نمایی در کل دامنه تعریف خود کاملاً یکنواخت هستند، بنابراین آنها فقط می توانند در یک نقطه قطع شوند.

کار بعدی بر روی استفاده از این ویژگی متمرکز خواهد بود. № 000. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع معین را در یک بازه معین a) بیابید. به یاد داشته باشید که یک تابع کاملاً یکنواخت مقادیر حداقل و حداکثر خود را در انتهای یک بازه معین می گیرد. و اگر تابع در حال افزایش باشد، بزرگترین مقدار آن در انتهای سمت راست بخش، و کوچکترین مقدار آن در انتهای سمت چپ بخش خواهد بود (نمایش روی پوستر، با استفاده از تابع نمایی به عنوان مثال). اگر تابع در حال کاهش باشد، بزرگترین مقدار آن در انتهای سمت چپ بخش، و کوچکترین مقدار آن در انتهای سمت راست بخش خواهد بود (نمایش روی پوستر، با استفاده از تابع نمایی به عنوان مثال). تابع در حال افزایش است، زیرا، بنابراین، کوچکترین مقدار تابع در نقطه https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" خواهد بود. >. نکات ب ) ، که در) د) دفترچه ها را خودتان حل کنید، ما آن را به صورت شفاهی بررسی می کنیم.

دانش آموزان مسئله را در دفترچه خود حل می کنند

عملکرد کاهشی

بزرگترین مقدار تابع در بخش

کوچکترین مقدار تابع در بخش

افزایش عملکرد

کوچکترین مقدار تابع در بخش

بزرگترین مقدار تابع در بخش

- 000 №. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع معین را در بازه معین a) بیابید. . این کار تقریباً مشابه کار قبلی است. اما در اینجا نه یک قطعه، بلکه یک پرتو داده می شود. ما می دانیم که تابع در حال افزایش است و در کل خط اعداد نه بزرگترین و نه کوچکترین مقدار را دارد https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">، و به سمت میل می کند، یعنی روی پرتو، تابع در به 0 میل می کند، اما کوچکترین مقدار خود را ندارد، اما بیشترین مقدار را در نقطه دارد. . نکات ب) ، که در) ، G) دفترچه های خود را حل کنید، ما آن را به صورت شفاهی بررسی می کنیم.

تابع نمایی

تابع شکل y = a ایکس در جایی که a بزرگتر از صفر باشد و a برابر یک نباشد تابع نمایی نامیده می شود. ویژگی های اصلی تابع نمایی:

1. دامنه تابع نمایی مجموعه اعداد حقیقی خواهد بود.

2. محدوده تابع نمایی مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت خواهد بود. گاهی اوقات این مجموعه برای اختصار با R+ نشان داده می شود.

3. اگر در یک تابع نمایی، پایه a بزرگتر از یک باشد، آنگاه تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. اگر تابع نمایی برای پایه a شرط زیر 0 را برآورده کند

4. تمام خصوصیات پایه درجات معتبر خواهد بود. ویژگی های اصلی درجه ها با برابری های زیر نشان داده می شود:

آ ایکس *آ y = a (x+y) ;

(آ ایکس )/(آ y ) = الف (x-y) ;

(الف*ب) ایکس = (الف ایکس )*(آ y );

(الف/ب) ایکس = a ایکس /ب ایکس ;

(آ ایکس ) y = a (x*y) .

این برابری ها برای تمام مقادیر واقعی x و y معتبر خواهند بود.

5. نمودار تابع نمایی همیشه از نقطه ای با مختصات (0;1) عبور می کند.

6. بسته به افزایش یا کاهش تابع نمایی، نمودار آن یکی از دو نوع خواهد بود.

شکل زیر نمودار یک تابع نمایی افزایشی را نشان می دهد: a>0.

شکل زیر نمودار یک تابع نمایی کاهشی است: 0

هم نمودار تابع نمایی افزایشی و هم نمودار تابع نمایی نزولی، با توجه به ویژگی توضیح داده شده در بند پنجم، از نقطه (0؛ 1) عبور می کنند.

7. یک تابع نمایی دارای نقاط منتهی نیست، به عبارت دیگر دارای حداقل و حداکثر نقاط تابع نیست. اگر تابع را در هر بخش خاصی در نظر بگیریم، آنگاه تابع در انتهای این بازه مقدار حداقل و حداکثر را خواهد گرفت.

8. تابع زوج یا فرد نیست. تابع نمایی یک تابع کلی است. این را می توان از نمودارها نیز مشاهده کرد، هیچ کدام از آنها در مورد محور Oy یا در مورد مبدا متقارن نیستند.

لگاریتم

لگاریتم ها همیشه به عنوان یک مبحث دشوار در درس ریاضی مدرسه مطرح بوده اند. تعاریف مختلفی از لگاریتم وجود دارد، اما به دلایلی اکثر کتاب های درسی از پیچیده ترین و تاسف بارترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را ساده و واضح تعریف می کنیم. بیایید یک جدول برای این ایجاد کنیم:

بنابراین، ما دو قدرت داریم. اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را بالا ببرید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

تعریف

لگاریتمپایه a را از آرگومان x قدرتی است که عدد باید به آن افزایش یابدآ برای دریافت شمارهایکس.

تعیین

ورود به سیستم a x = b
جایی که a پایه است، x آرگومان، b لگاریتم دقیقا چیست؟

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). ممکن است 2 64 = 6 را نیز ثبت کنید، زیرا 2 6 = 64.

عمل یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه داده شده نامیده می شودلگاریتم . بنابراین بیایید یک ردیف جدید به جدول خود اضافه کنیم:

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی در نظر گرفته نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی از قطعه قرار گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند: اعداد بعد از نقطه اعشار را می توان به طور نامحدود نوشت و هرگز تکرار نمی شود. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این صورت رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می‌کنند که مبنا کجاست و بحث کجاست. برای جلوگیری از سوء تفاهم های آزار دهنده، کافی است به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. به یاد داشته باشید: لگاریتم یک توان است ، که برای دریافت استدلال باید پایه را به آن بالا ببرید.این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی وجود ندارد.

ما تعریف را فهمیدیم - باید یاد بگیریم که چگونه لگاریتم ها را بشماریم، یعنی. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، توجه می کنیم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشد. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، به دست می آید.

پایه باید با وحدت متفاوت باشد، زیرا یک واحد به هر قدرتی هنوز یک واحد است.به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هاییتماس گرفت محدوده معتبر(ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه کنید که بدون محدودیت در تعدادب (مقدار لگاریتمی) همپوشانی ندارد. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن ODZ لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط کامپایلرهای مشکلات در نظر گرفته شده است. اما وقتی معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DHS اجباری خواهند شد. در واقع، در مبنا و استدلال می‌تواند ساختارهای بسیار قوی داشته باشد که لزوماً با محدودیت‌های فوق مطابقت ندارد.

اکنون ژنرال را در نظر بگیرید طرحی برای محاسبه لگاریتم از سه مرحله تشکیل شده است:

بنیاد را ارسال کنید a و آرگومان x به عنوان توانی با کوچکترین پایه ممکن بزرگتر از یک. در طول راه، بهتر است از کسری اعشاری خلاص شوید.

در مورد یک متغیر تصمیم بگیریدمعادله b: x = a b ;

شماره دریافت شده b پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، این در مرحله اول دیده می شود. این شرط که پایه بزرگتر از یک باشد بسیار مرتبط است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. به طور مشابه با کسرهای اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به کسرهای معمولی تبدیل کنید، چندین برابر خطاهای کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با مثال های خاص چگونه کار می کند:

لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان پنج نشان دهیم: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

پاسخ دریافت کرد: 2.

محاسبه لگاریتم:

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان سه نشان دهیم: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:

جواب گرفتم: -4.

−4

لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

بیایید پایه و آرگومان را به صورت توان دو نشان دهیم: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

پاسخ دریافت شد: 3.

لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو نشان دهیم: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

پاسخ دریافت کرد: 0.

لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان هفت نشان دهیم: 7 = 7 1 ; 14 به عنوان توان هفت نشان داده نمی شود، زیرا 7 1< 14 < 7 2 ;

از پاراگراف قبل بر می آید که لگاریتم در نظر گرفته نمی شود.

پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

ثبت 7 14

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه مطمئن شویم که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده - فقط آن را به فاکتورهای اصلی تجزیه کنید. اگر حداقل دو عامل متمایز در انبساط وجود داشته باشد، عدد یک توان دقیق نیست.

دریابید که آیا توان های دقیق عدد عبارتند از: 8; 48; 81; 35; چهارده.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 توان دقیقی نیست زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
35 = 7 5 - باز هم درجه دقیقی نیست.
14 \u003d 7 2 - دوباره یک درجه دقیق نیست.

8، 81 - درجه دقیق؛ 48، 35، 14 - شماره.

همچنین توجه داشته باشید که خود اعداد اول همیشه توانهای دقیق خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نام خاصی دارند.

تعریف

لگاریتم اعشاریاز آرگومان x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. قدرتی که برای بدست آوردن عدد باید عدد 10 را به آن بیاوریدایکس.

تعیین

ال جی ایکس

به عنوان مثال، log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این به بعد وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر شد، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر به چنین تعیینی عادت ندارید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نماد خاص خود را دارد. به یک معنا، حتی مهمتر از اعشاری است. این لگاریتم طبیعی است.

تعریف

لگاریتم طبیعیاز آرگومان x لگاریتم پایه استه ، یعنی قدرتی که عدد باید به آن افزایش یابده برای دریافت شمارهایکس.

تعیین

ln x

بسیاری خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است، مقدار دقیق آن را نمی توان یافت و یادداشت کرد. در اینجا فقط اعداد اول هستند:
e = 2.718281828459...

ما به این نخواهیم پرداخت که این عدد چیست و چرا به آن نیاز است. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
لوگاریتم x = log e x

بنابراین ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویا غیر منطقی است. به جز، البته، وحدت: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که به آنها ویژگی های اساسی می گویند.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: log x و y را ثبت کنید . سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

ورود به سیستمتبر +logیک سال = ورودآ ( ایکس · y );

ورود به سیستمتبر -ورودیک سال = ورودآ ( ایکس : y ).

بنابراین، مجموع لگاریتم ها برابر با لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است.لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا همان پایه ها است. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند که عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های مجزای آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (درس را ببینید " "). به نمونه ها نگاهی بیندازید - و ببینید:

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 6 4 + log 6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، آن کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان با توجه به قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته اگر لگاریتم ODZ رعایت شود همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0 می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید طبق فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 72. ما داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم:

قضیه

اجازه دهید لگاریتم ثبت شودتبر . سپس برای هر عددی c به گونه ای که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به ویژه اگر قرار دهیم c = x، دریافت می کنیم:

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در مورد اول، شماره n مبدل برهان می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:هویت لگاریتمی پایه.

به راستی اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b در این درجه عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: این همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" می شوند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه

مقدار عبارت را پیدا کنید:

راه حل

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان ها با پایه یکسان، به دست می آوریم:

200

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از امتحان بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه می دهم که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه اینها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

log a a = 1 است واحد لگاریتمی. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایهآ از این پایه خود برابر با یک است.

log a 1 = 0 است صفر لگاریتمی. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد - لگاریتم صفر است! زیرایک 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید!

هایپر مارکت دانش >>ریاضی >>ریاضی پایه دهم >>

تابع نمایی، خواص و نمودار آن

عبارت 2x را در نظر بگیرید و مقادیر آن را برای مقادیر مختلف منطقی متغیر x بیابید، به عنوان مثال برای x=2.

به طور کلی، مهم نیست که چه مقدار منطقی به متغیر x می دهیم، همیشه می توانیم مقدار عددی متناظر عبارت 2x را محاسبه کنیم. بنابراین، می توان از یک نمایی صحبت کرد کارکرد y=2 x بر روی مجموعه Q از اعداد گویا تعریف شده است:

بیایید برخی از ویژگی های این تابع را در نظر بگیریم.

ملک 1.یک تابع افزایشی است. ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم.
مرحله اول.اجازه دهید ثابت کنیم که اگر r یک عدد گویا مثبت است، آنگاه 2 r>1 است.
دو مورد ممکن است: 1) r - عدد طبیعی r = n; 2) غیر قابل کاهش معمولی کسر,

در سمت چپ آخرین نابرابری ما داریم و در سمت راست 1. بنابراین، آخرین نابرابری را می توان به صورت بازنویسی کرد.

بنابراین، در هر صورت، نابرابری 2 r > 1 در صورت لزوم برقرار است.

فاز دوم.بگذارید x 1 و x 2 اعداد باشند و x 1 و x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(تفاوت x 2 -x 1 را با حرف r نشان دادیم).

از آنجایی که r یک عدد گویا مثبت است، پس با آنچه در مرحله اول ثابت شد، 2 r > 1، یعنی: 2 r -1 > 0. عدد 2x" نیز مثبت است، به این معنی که حاصلضرب 2 x-1 (2 Г -1) نیز مثبت است، بنابراین ما ثابت کردیم که نابرابری 2 Xr -2x "\u003e 0.

بنابراین، از نابرابری x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

ملک 2.محدود از پایین و نه محدود از بالا.
مرزبندی تابع از زیر از نابرابری 2 x > 0 حاصل می شود که برای هر مقدار x از دامنه تابع معتبر است. در عین حال، مهم نیست که چه عدد مثبت M گرفته می شود، همیشه می توان چنین نشانگر x را انتخاب کرد که نابرابری 2 x > M برآورده شود - که نامحدود بودن تابع را از بالا مشخص می کند. بیایید چند مثال بزنیم.

ملک 3.نه مقدار حداقل و نه حداکثر دارد.

چی عملکرد داده شدهبدیهی است که بیشترین اهمیت را ندارد، زیرا همانطور که قبلاً دیدیم از بالا محدود نمی شود. ولی از پایین محدود شده چرا کمترین ارزش رو نداره؟

بیایید فرض کنیم که 2 گرم - کوچکترین ارزشتوابع (r مقداری توان گویا است). یک عدد گویا q را در نظر بگیرید<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

شما می گویید همه اینها خوب است، اما چرا تابع y-2 x را فقط روی مجموعه اعداد گویا در نظر می گیریم، چرا آن را مانند سایر توابع شناخته شده در کل خط اعداد یا در برخی بازه های پیوسته در نظر نمی گیریم. خط اعداد؟ چه چیزی ما را متوقف می کند؟ بیایید به وضعیت فکر کنیم.

خط اعداد نه تنها شامل اعداد گویا، بلکه غیر منطقی نیز می شود. برای توابع مورد مطالعه قبلی، این ما را اذیت نکرد. به عنوان مثال، ما مقادیر تابع y \u003d x 2 را برای مقادیر منطقی و غیرمنطقی x به یک اندازه به راحتی پیدا کردیم: کافی بود مقدار داده شده x را مربع کنیم.

اما با تابع y \u003d 2 x ، وضعیت پیچیده تر است. اگر به آرگومان x یک مقدار منطقی داده شود، در اصل x را می توان محاسبه کرد (به ابتدای پاراگراف برگردید، جایی که ما دقیقاً این کار را انجام دادیم). و اگر به آرگومان x مقدار غیر منطقی داده شود؟ مثلا چگونه محاسبه کنیم؟ ما هنوز این را نمی دانیم.
ریاضیدانان راهی برای خروج پیدا کرده اند. اینطوری صحبت کردند

مشخص است که دنباله ای از اعداد گویا را در نظر بگیرید - تقریب اعشاری یک عدد با کمبود:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

واضح است که 1.732 = 1.7320 و 1.732050 = 1.73205. برای جلوگیری از چنین تکراری، آن دسته از اعضای دنباله ای را که به عدد 0 ختم می شوند، کنار می گذاریم.

سپس یک دنباله افزایشی بدست می آوریم:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

به همین ترتیب، توالی نیز افزایش می یابد.

همه اعضای این دنباله اعداد مثبت کمتر از 22 هستند، یعنی. این دنباله محدود است با قضیه وایرشتراس (نگاه کنید به § 30)، اگر دنباله ای در حال افزایش و محدود باشد، آنگاه همگرا می شود. علاوه بر این، از § 30 می دانیم که اگر یک دنباله همگرا شود، تنها به یک حد می رسد. این محدودیت واحد به عنوان مقدار یک عبارت عددی در نظر گرفته شد. و مهم نیست که یافتن حتی یک مقدار تقریبی عبارت عددی 2 بسیار دشوار است. مهم این است که این یک عدد خاص باشد (بالاخره، ما ترسی نداشتیم که بگوییم که، به عنوان مثال، ریشه یک معادله منطقی است، ریشه معادله مثلثاتی، بدون اینکه واقعاً به این اعداد فکر کنید که دقیقاً چه هستند:
بنابراین، متوجه شدیم که ریاضیدانان چه معنایی را در نماد 2 ^ قرار می دهند. به طور مشابه، می توان تعیین کرد که a چیست و به طور کلی چیست، که در آن a یک عدد غیر منطقی و a > 1 است.
اما وقتی 0 باشد<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
اکنون می‌توان نه تنها در مورد قدرت‌هایی با شارح‌های عقلانی دلخواه، بلکه در مورد قدرت‌هایی با شارحان واقعی دلخواه صحبت کرد. ثابت شده است که درجه هایی با هر توان واقعی دارای تمام خصوصیات معمول درجه ها هستند: هنگام ضرب درجه با پایه های یکسان، توان ها اضافه می شوند، وقتی تقسیم می شوند، آنها کم می شوند، هنگام افزایش درجه به توان، ضرب می شوند و غیره. . اما مهمترین چیز این است که اکنون می توانیم در مورد تابع y-ax تعریف شده در مجموعه همه اعداد واقعی صحبت کنیم.
بیایید به تابع y \u003d 2 x برگردیم، نمودار آن را بسازیم. برای انجام این کار، جدولی از مقادیر تابع با 2 x را جمع آوری می کنیم:

بیایید نقاط روی صفحه مختصات را یادداشت کنیم (شکل 194)، آنها یک خط مشخص را ترسیم می کنند، آن را ترسیم می کنند (شکل 195).

ویژگی های تابع y - 2 x:
1)
2) نه زوج است و نه فرد. 248
3) افزایش می یابد؛

5) نه بزرگترین و نه کوچکترین مقادیر را دارد.
6) پیوسته؛
7)
8) محدب به پایین.

اثبات دقیق ویژگی های فهرست شده تابع y-2 x در درس ریاضیات عالی آورده شده است. برخی از این خصوصیات را که قبلاً به یک درجه یا دیگری مورد بحث قرار دادیم، برخی از آنها به وضوح توسط نمودار ساخته شده نشان داده شده اند (شکل 195 را ببینید). به عنوان مثال، عدم وجود برابری یا عجیب بودن یک تابع از نظر هندسی به عدم تقارن نمودار، به ترتیب، در مورد محور y یا در مورد مبدا مربوط می شود.

هر تابعی به شکل y=a x، که در آن a > 1، خواص مشابهی دارد. روی انجیر 196 در یک سیستم مختصات ساخته شده است، نمودارهای توابع y=2 x، y=3 x، y=5 x.

حالا بیایید تابع را در نظر بگیریم، بیایید یک جدول از مقادیر برای آن ایجاد کنیم:

بیایید نقاط روی صفحه مختصات را علامت گذاری کنیم (شکل 197)، آنها یک خط مشخص را ترسیم می کنند، آن را ترسیم می کنند (شکل 198).

ویژگی های تابع

1)
2) نه زوج است و نه فرد.
3) کاهش می یابد؛
4) از بالا محدود نمی شود، از پایین محدود می شود.
5) نه بزرگترین و نه کوچکترین مقادیر وجود دارد.
6) پیوسته؛
7)
8) محدب به پایین.
هر تابعی به شکل y \u003d a x، جایی که O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
لطفا توجه داشته باشید: نمودارهای تابع آن ها y \u003d 2 x، متقارن در مورد محور y (شکل 201). این نتیجه عبارت کلی است (نگاه کنید به § 13): نمودارهای توابع y = f(x) و y = f(-x) در مورد محور y متقارن هستند. به طور مشابه، نمودارهای توابع y \u003d 3 x و

با خلاصه کردن آنچه گفته شد، تعریفی از تابع نمایی ارائه می دهیم و مهمترین ویژگی های آن را برجسته می کنیم.

تعریف.تابع view را تابع نمایی می نامند.
ویژگی های اصلی تابع نمایی y \u003d a x

نمودار تابع y \u003d a x برای a> 1 در شکل نشان داده شده است. 201 و برای 0<а < 1 - на рис. 202.

منحنی نشان داده شده در شکل. 201 یا 202 توان نامیده می شود. در واقع، ریاضیدانان معمولاً خود تابع نمایی را y = a x می نامند. بنابراین اصطلاح "نما" به دو معنا به کار می رود: هم برای نام تابع نمایی و هم برای نام نمودار تابع نمایی. معمولاً از نظر معنا مشخص است که در مورد تابع نمایی صحبت می کنیم یا نمودار آن.

به ویژگی هندسی نمودار تابع نمایی y \u003d ax توجه کنید: محور x مجانب افقی نمودار است. درست است، این بیانیه معمولاً به شرح زیر اصلاح می شود.
محور x مجانب افقی نمودار تابع است

به عبارت دیگر

اولین نکته مهم دانش‌آموزان اغلب اصطلاحات را اشتباه می‌گیرند: تابع قدرت، تابع نمایی. مقایسه کنید:

اینها نمونه هایی از توابع قدرت هستند.

نمونه هایی از توابع نمایی هستند.

به طور کلی، y \u003d x r، جایی که r یک عدد خاص است، یک تابع توان است (آگومان x در پایه درجه موجود است).
y \u003d a"، که در آن a یک عدد خاص است (مثبت و متفاوت از 1)، یک تابع نمایی است (آگومان x در توان موجود است).

یک تابع "عجیب" مهاجم مانند y = x" نه نمایی و نه قانون قدرت در نظر گرفته می شود (گاهی اوقات به آن تابع توان نمایی نیز می گویند).

نکته مهم دوم معمولاً یک تابع نمایی با پایه a = 1 یا با پایه a که نابرابری a را برآورده کند در نظر نمی گیرد.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0و a واقعیت این است که اگر a \u003d 1، پس برای هر مقدار x برابری Ix \u003d 1 درست است. بنابراین، تابع نمایی y \u003d a "برای a \u003d 1" به یک تابع ثابت y \ تبدیل می شود. u003d 1 - این جالب نیست. اگر a \u003d 0، برای هر مقدار مثبت x 0x \u003d 0 است، یعنی تابع y \u003d 0 تعریف شده برای x\u003e 0 را دریافت می کنیم - این نیز جالب نیست.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

قبل از اینکه به حل مثال‌ها بپردازیم، توجه می‌کنیم که تابع نمایی با تمام توابعی که تاکنون مطالعه کرده‌اید تفاوت قابل‌توجهی دارد. برای مطالعه کامل یک شی جدید، باید آن را از زوایای مختلف، در موقعیت های مختلف در نظر بگیرید، بنابراین نمونه های زیادی وجود خواهد داشت.
مثال 1

راه حل، الف) با رسم نمودارهای توابع y \u003d 2 x و y \u003d 1 در یک سیستم مختصات ، متوجه می شویم (شکل 203) که آنها یک نقطه مشترک دارند (0؛ 1). بنابراین معادله 2x = 1 دارای یک ریشه واحد x = 0 است.

بنابراین، از معادله 2x = 2 °، x = 0 را دریافت می کنیم.

ب) با ساختن نمودارهای توابع y \u003d 2 x و y \u003d 4 در یک سیستم مختصات ، متوجه می شویم (شکل 203) که آنها یک نقطه مشترک دارند (2؛ 4). بنابراین معادله 2x = 4 دارای یک ریشه واحد x = 2 است.

بنابراین، از معادله 2 x \u003d 2 2 به x \u003d 2 رسیدیم.

ج) و د) بر اساس همین ملاحظات، نتیجه می گیریم که معادله 2 x \u003d 8 یک ریشه دارد و برای یافتن آن، نمودارهای توابع مربوطه ممکن است ساخته نشوند.

واضح است که x=3، زیرا 2 3 = 8. به همین ترتیب، ما تنها ریشه معادله را پیدا می کنیم

بنابراین، از معادله 2x = 2 3، x = 3 و از معادله 2 x = 2 x، x = -4 را دریافت می کنیم.
ه) نمودار تابع y \u003d 2 x در بالای نمودار تابع y \u003d 1 برای x\u003e 0 قرار دارد - این به خوبی در شکل خوانده شده است. 203. از این رو، راه حل نابرابری 2x > 1 بازه است
f) نمودار تابع y \u003d 2 x در زیر نمودار تابع y \u003d 4 در x قرار دارد<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
احتمالاً متوجه شده اید که اساس تمام نتیجه گیری هایی که هنگام حل مثال 1 انجام می شود خاصیت یکنواختی (افزایش) تابع y \u003d 2 x است. استدلال مشابه به ما امکان می دهد اعتبار دو قضیه زیر را تأیید کنیم.

راه حل.می توانید به این صورت عمل کنید: نموداری از تابع y-3 x بسازید، سپس آن را از محور x با ضریب 3 بکشید و سپس نمودار حاصل را 2 واحد مقیاس به بالا ببرید. اما استفاده از این واقعیت راحت تر است که 3- 3 * \u003d 3 * + 1، و بنابراین، تابع y \u003d 3 x * 1 + 2 را رسم کنید.

بیایید، همانطور که بارها در چنین مواردی انجام داده‌ایم، به یک سیستم مختصات کمکی با مبدأ در نقطه (-1؛ 2) برویم - خطوط نقطه‌دار x = - 1 و 1x = 2 در شکل. 207. بیایید تابع y=3* را به یک سیستم مختصات جدید "ضمیمه" کنیم. برای انجام این کار، نقاط کنترل را برای تابع انتخاب می کنیم ، اما ما آنها را نه در سیستم مختصات قدیمی، بلکه در سیستم مختصات جدید خواهیم ساخت (این نقاط در شکل 207 مشخص شده اند). سپس یک توان را با نقاط می سازیم - این نمودار مورد نیاز خواهد بود (شکل 207 را ببینید).
برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر عملکرد داده شدهدر بخش [-2، 2]، از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که تابع داده شده در حال افزایش است، و بنابراین کوچکترین و بزرگترین مقادیر خود را به ترتیب در انتهای چپ و راست قطعه می گیرد.
بنابراین:

مثال 4حل معادله و نامساوی:

راه حل، الف) بیایید نمودارهای توابع y=5* و y=6-x را در یک سیستم مختصات بسازیم (شکل 208). آنها در یک نقطه تلاقی می کنند. با قضاوت بر اساس نقاشی، این نکته (1؛ 5) است. بررسی نشان می دهد که در واقع نقطه (1؛ 5) هم معادله y = 5* و هم معادله y=6x را برآورده می کند. آبسیسا این نقطه به عنوان تنها ریشه معادله داده شده عمل می کند.

بنابراین، معادله 5 x = 6-x دارای یک ریشه واحد x = 1 است.

ب) و ج) توان y-5x بالای خط مستقیم y=6-x قرار دارد، اگر x>1، - این به وضوح در شکل دیده می شود. 208. از این رو، حل نابرابری 5*>6-x را می توان به صورت زیر نوشت: x>1. و حل نابرابری 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
پاسخ: الف) x = 1; ب) x> 1; ج) x<1.

مثال 5یک تابع داده شده است ثابت کنیم که
راه حل.به شرطی که داریم.

توابع نمایی و لگاریتمی VIII

§ 179 ویژگی های اساسی تابع نمایی

در این قسمت به بررسی خواص اصلی تابع نمایی می پردازیم

y = a ایکس (1)

به یاد بیاورید که زیر آ در فرمول (1) منظور هر عدد مثبت ثابتی غیر از 1 است.

ملک 1. دامنه تابع نمایی مجموعه تمام اعداد حقیقی است.

در واقع، برای مثبت آ اصطلاح آ ایکس برای هر عدد واقعی تعریف شده است ایکس .

ملک 2. تابع نمایی فقط مقادیر مثبت می گیرد.

در واقع، اگر ایکس > 0، پس، همانطور که در § 176 ثابت شد،

آ ایکس > 0.

اگر ایکس <. 0, то

آ ایکس =

جایی که - ایکس در حال حاضر بزرگتر از صفر است. از همین رو آ - ایکس > 0. اما پس از آن

آ ایکس = > 0.

در نهایت، در ایکس = 0

آ ایکس = 1.

خاصیت دوم تابع نمایی یک تفسیر گرافیکی ساده دارد. در این واقعیت نهفته است که نمودار این تابع (شکل 246 و 247 را ببینید) کاملاً بالای محور x قرار دارد.

ملک 3. اگر یک آ >1, سپس در ایکس > 0 آ ایکس > 1, و در ایکس < 0 آ ایکس < 1. اگر آ < 1, тاوه، برعکس، ایکس > 0 آ ایکس < 1, و در ایکس < 0 آ ایکس > 1.

این ویژگی تابع نمایی همچنین امکان تفسیر هندسی ساده را فراهم می کند. در آ > 1 (شکل 246) منحنی y = a ایکس واقع در بالای خط در = 1 در ایکس > 0 و زیر خط مستقیم در = 1 در ایکس < 0.

اگر آ < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a ایکس در زیر خط قرار دارد در = 1 در ایکس > 0 و بالاتر از این خط مستقیم در ایکس < 0.

اجازه دهید یک اثبات دقیق از ویژگی سوم ارائه دهیم. اجازه دهید آ > 1 و ایکس یک عدد مثبت دلخواه است. بگذارید این را نشان دهیم

آ ایکس > 1.

اگر شماره ایکس گویا ( ایکس = متر / n ) ، سپس آ ایکس = آ متر / n = n √آ متر .

از آنجا که آ > 1، سپس آ متر > 1، اما ریشه یک عدد بزرگتر از یک بدیهی است که از 1 نیز بزرگتر است.

اگر یک ایکس غیر منطقی است، سپس اعداد گویا مثبت وجود دارد ایکس" و ایکس" ، که به عنوان تقریب اعشاری اعداد عمل می کنند ایکس :

ایکس"< х < х" .

اما پس از آن، با تعریف درجه ای با توان غیرمنطقی

آ ایکس" < آ ایکس < آ ایکس"" .

همانطور که در بالا نشان داده شده است، تعداد آ ایکس" بیش از یکی. بنابراین، تعداد آ ایکس ، بیشتر از آ ایکس" ، همچنین باید بزرگتر از 1 باشد،

بنابراین، ما این را نشان دادیم آ >1 و مثبت دلخواه ایکس

آ ایکس > 1.

اگر شماره ایکس منفی بود، پس ما خواهیم داشت

آ ایکس =

جایی که شماره است ایکس مثبت خواهد بود از همین رو آ - ایکس > 1. بنابراین،

آ ایکس = < 1.

بنابراین، در آ > 1 و منفی دلخواه ایکس

آ ایکس < 1.

مورد زمانی که 0< آ < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

ملک 4. اگر x = 0, سپس بدون توجه به الف آ ایکس =1.

این از تعریف درجه صفر به دست می آید. توان صفر هر عددی غیر از صفر برابر است با 1. از نظر گرافیکی، این ویژگی در این واقعیت بیان می شود که برای آ منحنی در = آ ایکس (نگاه کنید به شکل 246 و 247) از محور عبور می کند در در نقطه ای با دستور 1.

ملک 5. در آ >1 تابع نمایی = آ ایکس به طور یکنواخت در حال افزایش است و برای الف < 1 - یکنواخت کاهش می یابد.

این ویژگی همچنین امکان تفسیر هندسی ساده را فراهم می کند.

در آ > 1 (شکل 246) منحنی در = آ ایکس با رشد ایکس بالاتر و بالاتر می رود و آ < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

اجازه دهید یک اثبات دقیق از ویژگی پنجم ارائه دهیم.

اجازه دهید آ > 1 و ایکس 2 > ایکس یکی . بگذارید این را نشان دهیم

آ ایکس 2 > آ ایکس 1

از آنجا که ایکس 2 > ایکس 1.، سپس ایکس 2 = ایکس 1 + د ، جایی که د یک عدد مثبت است از همین رو

آ ایکس 2 - آ ایکس 1 = آ ایکس 1 + د - آ ایکس 1 = آ ایکس 1 (آ د - 1)

با توجه به خاصیت 2 تابع نمایی آ ایکس 1 > 0. از آنجا که د > 0، سپس با خاصیت 3 تابع نمایی آ د > 1. هر دو عامل در محصول آ ایکس 1 (آ د - 1) مثبت هستند، بنابراین این محصول خود مثبت است. به معنای، آ ایکس 2 - آ ایکس 1 > 0 یا آ ایکس 2 > آ ایکس 1 که قرار بود ثابت شود.

بنابراین، در آ > 1 تابع در = آ ایکس یکنواخت در حال افزایش است. به همین ترتیب ثابت می شود که آ < 1 функция در = آ ایکس یکنواخت در حال کاهش است.

نتیجه. اگر دو توان از یک عدد مثبت غیر از 1 برابر باشند، توان آنها نیز برابر است.

به عبارت دیگر، اگر

آ ب = آ ج (آ > 0 و آ =/= 1),

b = c .

در واقع، اگر اعداد ب و با به دلیل یکنواختی تابع، برابر نبودند در = آ ایکس اکثر آنها مطابقت دارند آ > 1 بزرگتر است و در آ < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или آ ب > آ ج ، یا آ ب < آ ج . هر دوی اینها با شرط تناقض دارند آ ب = آ ج . باقی مانده است که تشخیص داده شود b = c .

ملک 6. اگر یک > 1, سپس با افزایش نامحدود استدلال ایکس (ایکس -> ∞ ) مقادیر تابع در = آ ایکس نیز به طور نامحدود رشد می کنند (در -> ∞ ). با کاهش نامحدود در استدلال ایکس (ایکس -> -∞ ) مقادیر این تابع به سمت صفر گرایش دارند، در حالی که مثبت باقی می مانند (در->0; در > 0).

با در نظر گرفتن یکنواختی تابع فوق اثبات شده در = آ ایکس ، می توان گفت که در مورد مورد بررسی تابع در = آ ایکس یکنواخت از 0 به افزایش می یابد ∞ .

اگر یک 0 <آ < 1, سپس با افزایش نامحدود در آرگومان x (x -> ∞)، مقادیر تابع y \u003d a x به صفر می‌رسد، در حالی که مثبت باقی می‌ماند. (در->0; در > 0). با کاهش نامحدود در آرگومان x (ایکس -> -∞ ) مقادیر این تابع به طور نامحدود رشد می کند (در -> ∞ ).

به دلیل یکنواختی عملکرد y = تبر می توان گفت که در این مورد تابع در = آ ایکس یکنواخت کاهش می یابد از ∞ به 0.

خاصیت ششم تابع نمایی به وضوح در شکل های 246 و 247 منعکس شده است.

ما فقط باید محدوده تابع نمایی را تعیین کنیم y = تبر (آ > 0, آ =/= 1).

در بالا ثابت کردیم که تابع y = تبر فقط مقادیر مثبت را می گیرد و یا به صورت یکنواخت از 0 به افزایش می یابد ∞ (در آ > 1)، یا به طور یکنواخت کاهش می یابد ∞ به 0 (در 0< آ <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = تبر وقتی هر پرش را تغییر می دهید؟ آیا ارزش مثبتی دارد؟ به این سوال پاسخ مثبت داده می شود. اگر آ > 0 و آ =/= 1، سپس هر عدد مثبت باشد در 0 باید پیدا شود ایکس 0، به طوری که

آ ایکس 0 = در 0 .

(به دلیل یکنواختی عملکرد y = تبر مقدار مشخص شده ایکس البته 0 تنها مورد خواهد بود.)

اثبات این واقعیت از حوصله برنامه ما خارج است. تفسیر هندسی آن این است که برای هر ارزش مثبت در نمودار تابع 0 y = تبر باید با خط قطع شود در = در 0 و علاوه بر این، فقط در یک نقطه (شکل 248).