نمودارهای مثال های تابع نمایی. تابع نمایی - خواص، نمودارها، فرمول ها

درس #2

موضوع: تابع نمایی، خواص و نمودار آن.

هدف:کیفیت جذب مفهوم "تابع نمایی" را بررسی کنید. ایجاد مهارت در تشخیص یک تابع نمایی، در استفاده از خواص و نمودارهای آن، آموزش استفاده از اشکال تحلیلی و گرافیکی برای ثبت یک تابع نمایی. محیط کار را در کلاس فراهم کنید.

تجهیزات:تابلو، پوستر

فرم درس: کلاس درس

نوع درس: درس عملی

نوع درس: درس مهارت آموزی

طرح درس

1. لحظه سازمانی

2. کار مستقلو بررسی مشق شب

3. حل مسئله

4. جمع بندی

5. تکالیف

در طول کلاس ها.

1. لحظه سازمانی :

سلام. دفترچه ها را باز کنید، تاریخ امروز و موضوع درس "تابع نمایی" را یادداشت کنید. امروز ما به مطالعه تابع نمایی، خواص و نمودار آن ادامه خواهیم داد.

2. کار مستقل و بررسی تکالیف .

هدف:کیفیت جذب مفهوم "تابع نمایی" را بررسی کنید و انجام بخش نظری تکلیف را بررسی کنید.

روش:تکلیف آزمایشی، بررسی پیشانی

به عنوان تکلیف، اعدادی از کتاب مسائل و یک پاراگراف از کتاب درسی به شما داده شد. ما اکنون اجرای اعداد را از کتاب درسی بررسی نمی کنیم، اما شما در پایان درس دفترچه های خود را تحویل می دهید. اکنون این نظریه در قالب یک آزمون کوچک مورد آزمایش قرار خواهد گرفت. کار برای همه یکسان است: لیستی از توابع به شما داده می شود، باید دریابید که کدام یک از آنها نشانگر هستند (زیر آنها را خط بکشید). و در کنار تابع نمایی باید بنویسید که در حال افزایش یا کاهش است.

حالا بیایید با هم به یاد بیاوریم که چه تابعی را نمایی می نامند؟

تابعی از شکل , Where and , تابع نمایی نامیده می شود.

دامنه این عملکرد چیست؟

همه اعداد واقعی

محدوده تابع نمایی چقدر است؟

همه اعداد حقیقی مثبت

اگر پایه بزرگتر از صفر اما کمتر از یک باشد کاهش می یابد.

چه زمانی یک تابع نمایی در دامنه خود کاهش می یابد؟

اگر پایه بزرگتر از یک باشد افزایش می یابد.

3. حل مسئله

هدف: ایجاد مهارت در تشخیص تابع نمایی، در استفاده از خواص و نمودارهای آن، آموزش استفاده از اشکال تحلیلی و گرافیکی ثبت تابع نمایی به دانش آموزان.

روش: نمایش حل مسائل معمولی توسط معلم، کار شفاهی، کار روی تخته سیاه، کار در دفترچه یادداشت، گفتگوی معلم با دانش آموزان.

هنگام مقایسه 2 یا چند عدد می توان از ویژگی های تابع نمایی استفاده کرد. به عنوان مثال: شماره 000. مقادیر را مقایسه کنید و اگر a) ..gif" width="37" height="20 src=">، پس این کار بسیار مشکلی است: ما باید ریشه مکعبی 3 و 9 را بگیریم و آنها را با هم مقایسه کنیم. اما می دانیم که افزایش می یابد، این است در صف خود به این معنی است که وقتی آرگومان افزایش می‌یابد، مقدار تابع افزایش می‌یابد، یعنی کافی است مقادیر آرگومان را با یکدیگر مقایسه کنیم و بدیهی است که (را می توان روی پوستری با تابع نمایی افزایشی نشان داد). و همیشه هنگام حل چنین مثال هایی ابتدا پایه تابع نمایی را تعیین کنید، با 1 مقایسه کنید، یکنواختی را تعیین کنید و به مقایسه آرگومان ها بپردازید. در مورد تابع نزولی: با افزایش آرگومان، مقدار تابع کاهش می‌یابد، بنابراین هنگام حرکت از نامساوی بودن آرگومان‌ها به نامساوی توابع، علامت نابرابری تغییر می‌کند. سپس به صورت شفاهی حل می کنیم: ب)

-

AT)

-

ز)

-

- شماره 000. اعداد: الف) و

بنابراین، تابع در حال افزایش است

چرا ؟

افزایش عملکرد و

بنابراین، تابع در حال کاهش است، سپس

هر دو تابع در کل دامنه تعریف خود افزایش می یابند، زیرا با پایه بزرگتر از یک نمایی هستند.

معنی آن چیست؟

ما نمودارها را می سازیم:

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر رشد می کند https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر کاهش می یابد https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص بیشترین مقدار را دارد؟

د)، https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. ابتدا بیایید دامنه این توابع را دریابیم. مصادف شدن؟

بله دامنه این توابع همه اعداد حقیقی هستند.

محدوده هر یک از این توابع را نام ببرید.

محدوده این توابع منطبق است: همه اعداد حقیقی مثبت.

نوع یکنواختی هر یک از توابع را تعیین کنید.

هر سه تابع در کل دامنه تعریف خود کاهش می یابند، زیرا با پایه کمتر از یک و بزرگتر از صفر نمایی هستند.

نقطه مفرد نمودار یک تابع نمایی چیست؟

معنی آن چیست؟

پایه درجه یک تابع نمایی هر چه باشد، اگر توان آن 0 باشد، مقدار این تابع 1 است.

ما نمودارها را می سازیم:

بیایید نمودارها را تحلیل کنیم. نمودارهای تابع چند نقطه تقاطع دارند؟

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر کاهش می یابد؟ https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر رشد می کند؟ https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص بیشترین مقدار را دارد؟

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص بیشترین مقدار را دارد؟

چرا توابع نمایی با زمینه های مختلففقط یک نقطه تقاطع دارید؟

توابع نمایی در کل دامنه تعریف خود کاملاً یکنواخت هستند، بنابراین آنها فقط می توانند در یک نقطه قطع شوند.

کار بعدی بر روی استفاده از این ویژگی متمرکز خواهد بود. شماره 000. بزرگترین و کوچکترین مقدار را پیدا کنید عملکرد داده شدهدر یک بازه معین a). به یاد داشته باشید که یک تابع کاملاً یکنواخت مقادیر حداقل و حداکثر خود را در انتهای یک بازه معین می گیرد. و اگر تابع در حال افزایش است، پس آن است بالاترین ارزشدر انتهای سمت راست بخش، و کوچکترین آن در انتهای سمت چپ بخش خواهد بود (نمایش روی پوستر، با استفاده از تابع نمایی به عنوان مثال). اگر تابع در حال کاهش باشد، بزرگترین مقدار آن در انتهای سمت چپ بخش، و کوچکترین مقدار آن در انتهای سمت راست بخش خواهد بود (نمایش روی پوستر، با استفاده از تابع نمایی به عنوان مثال). تابع در حال افزایش است، زیرا، بنابراین، کوچکترین مقدار تابع در نقطه https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" خواهد بود. >. نکات ب ) ، که در) د) دفترچه ها را خودتان حل کنید، ما آن را به صورت شفاهی بررسی می کنیم.

دانش آموزان مسئله را در دفترچه خود حل می کنند

- 000 №. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع معین را در بازه معین a) بیابید. . این کار تقریباً مشابه کار قبلی است. اما در اینجا نه یک قطعه، بلکه یک پرتو داده می شود. ما می دانیم که تابع در حال افزایش است و در کل خط اعداد نه بزرگترین و نه کوچکترین مقدار را دارد https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">، و به سمت میل می کند، یعنی روی پرتو، تابع at به 0 میل می کند، اما تابع خود را ندارد. کوچکترین مقدار، اما بیشترین مقدار را در آن نقطه دارد . نکات ب) ، که در) ، G) دفترچه های خود را حل کنید، ما آن را به صورت شفاهی بررسی می کنیم.

داده های مرجع در مورد تابع نمایی داده شده است - ویژگی های اساسی، نمودارها و فرمول ها. سؤالات زیر در نظر گرفته می شوند: دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، یکنواختی، تابع معکوس، مشتق، انتگرال، بسط در سری پاورو نمایش با استفاده از اعداد مختلط.

تعریف

تابع نماییتعمیم حاصل ضرب n عدد برابر با a است:
y (n) = a n = a a a a,
به مجموعه اعداد حقیقی x :
y (x) = x.
در اینجا a یک عدد واقعی ثابت است که نامیده می شود پایه تابع نمایی.
تابع نمایی با پایه a نیز نامیده می شود نمایی به پایه a.

تعمیم به شرح زیر انجام می شود.
برای x طبیعی 1, 2, 3,... ، تابع نمایی حاصل ضرب ضرایب x است:
.
علاوه بر این، دارای ویژگی های (1.5-8) () است که از قوانین ضرب اعداد ناشی می شود. در صفر و مقادیر منفیاعداد صحیح، تابع نمایی با فرمول (1.9-10) تعیین می شود. برای مقادیر کسری x = m/n اعداد گویا، با فرمول (1.11) تعیین می شود. برای واقعی، تابع نمایی به صورت تعریف شده است محدودیت توالی:
,
جایی که یک دنباله دلخواه از اعداد گویا به x همگرا می شود: .
با این تعریف، تابع نمایی برای همه تعریف می شود و ویژگی های (1.5-8) و همچنین برای x طبیعی را برآورده می کند.

یک فرمول دقیق ریاضی از تعریف تابع نمایی و اثبات خواص آن در صفحه «تعریف و اثبات خواص یک تابع نمایی» آورده شده است.

ویژگی های تابع نمایی

تابع نمایی y = a x دارای ویژگی های زیر در مجموعه اعداد حقیقی () است:
(1.1) تعریف شده و پیوسته است، برای، برای همه ;
(1.2) وقتی یک ≠ 1 معانی زیادی دارد؛
(1.3) به شدت افزایش می یابد، به شدت کاهش می یابد،
ثابت است در ;
(1.4) در ;
در ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

سایر فرمول های مفید
.
فرمول تبدیل به تابع نمایی با پایه توان متفاوت:

برای b = e ، بیان تابع نمایی را بر حسب توان بدست می آوریم:

ارزش های خصوصی

, , , , .

شکل نمودارهای تابع نمایی را نشان می دهد
y (x) = x
برای چهار مقدار پایه های درجه:a= 2 ، a = 8 ، a = 1/2 و a = 1/8 . مشاهده می شود که برای یک > 1 تابع نمایی به طور یکنواخت در حال افزایش است. هرچه پایه درجه a بزرگتر باشد، رشد قوی تر است. در 0 < a < 1 تابع نمایی به صورت یکنواخت در حال کاهش است. هر چه توان a کوچکتر باشد، کاهش قوی تر است.

صعودی، نزولی

تابع نمایی در به شدت یکنواخت است، بنابراین هیچ گزافی ندارد. خواص اصلی آن در جدول ارائه شده است.

تابع معکوس

متقابل یک تابع نمایی با پایه درجه a، لگاریتم به پایه a است.

اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.

تمایز تابع نمایی

برای متمایز کردن یک تابع نمایی، پایه آن باید به عدد e کاهش یابد، جدول مشتقات و قانون تمایز اعمال شود. تابع پیچیده.

برای این کار باید از خاصیت لگاریتم استفاده کنید
و فرمول از جدول مشتقات:
.

اجازه دهید یک تابع نمایی داده شود:
.
ما آن را به پایه e می آوریم:

ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم. برای این کار یک متغیر معرفی می کنیم

سپس

از جدول مشتقات داریم (متغیر x را با z جایگزین کنید):
.
از آنجایی که یک ثابت است، مشتق z نسبت به x است
.
طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده:
.

مشتق تابع نمایی

.
مشتق از مرتبه n:
.
اشتقاق فرمول ها > > >

مثالی از افتراق یک تابع نمایی

مشتق یک تابع را پیدا کنید
y= 35 x

راه حل

پایه تابع نمایی را بر حسب عدد e بیان می کنیم.
3 = e log 3
سپس
.
یک متغیر معرفی می کنیم
.
سپس

از جدول مشتقات در می یابیم:
.
از آنجا که 5ln 3یک ثابت است، پس مشتق z نسبت به x برابر است با:
.
طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده، داریم:
.

پاسخ

انتگرال

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابع را در نظر بگیرید عدد مختلط z:
f (ز) = از
جایی که z = x + iy ; من 2 = - 1 .
ثابت مختلط a را بر حسب مدول r و آرگومان φ بیان می کنیم:
a = r e i φ
سپس


.
آرگومان φ منحصراً تعریف نشده است. به طور کلی
φ = φ 0 + 2 pn,
که در آن n یک عدد صحیح است. بنابراین تابع f (ز)نیز مبهم است. اغلب اهمیت اصلی آن در نظر گرفته می شود
.

گسترش به صورت سری

.

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.

تابع نمایی

تابع شکل y = a ایکس در جایی که a بزرگتر از صفر باشد و a برابر یک نباشد تابع نمایی نامیده می شود. ویژگی های اصلی تابع نمایی:

1. دامنه تابع نمایی مجموعه اعداد حقیقی خواهد بود.

2. محدوده تابع نمایی مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت خواهد بود. گاهی اوقات این مجموعه برای اختصار با R+ نشان داده می شود.

3. اگر در یک تابع نمایی، پایه a بزرگتر از یک باشد، آنگاه تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. اگر تابع نمایی برای پایه a شرط زیر 0 را برآورده کند

4. تمام خصوصیات پایه درجات معتبر خواهد بود. ویژگی های اصلی درجه ها با برابری های زیر نشان داده می شود:

آ ایکس *آ y = a (x+y) ;

(آ ایکس )/(آ y ) = الف (x-y) ;

(الف*ب) ایکس = (الف ایکس )*(آ y );

(الف/ب) ایکس = a ایکس /ب ایکس ;

(آ ایکس ) y = a (x*y) .

این برابری ها برای تمام مقادیر واقعی x و y معتبر خواهند بود.

5. نمودار تابع نمایی همیشه از نقطه ای با مختصات (0;1) عبور می کند.

6. بسته به افزایش یا کاهش تابع نمایی، نمودار آن یکی از دو نوع خواهد بود.

شکل زیر نمودار یک تابع نمایی افزایشی را نشان می دهد: a>0.

شکل زیر نمودار یک تابع نمایی کاهشی است: 0

هم نمودار تابع نمایی افزایشی و هم نمودار تابع نمایی نزولی، با توجه به ویژگی توضیح داده شده در بند پنجم، از نقطه (0؛ 1) عبور می کنند.

7. یک تابع نمایی دارای نقاط منتهی نیست، به عبارت دیگر دارای حداقل و حداکثر نقاط تابع نیست. اگر تابع را در هر بخش خاصی در نظر بگیریم، آنگاه تابع در انتهای این بازه مقدار حداقل و حداکثر را خواهد گرفت.

8. تابع زوج یا فرد نیست. تابع نمایی یک تابع است نمای کلی. این را می توان از نمودارها نیز مشاهده کرد، هیچ کدام از آنها در مورد محور Oy یا در مورد مبدا متقارن نیستند.

لگاریتم

لگاریتم ها همیشه به عنوان یک مبحث دشوار در درس ریاضی مدرسه مطرح بوده اند. تعاریف مختلفی از لگاریتم وجود دارد، اما به دلایلی اکثر کتاب های درسی از پیچیده ترین و تاسف بارترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را ساده و واضح تعریف می کنیم. بیایید یک جدول برای این ایجاد کنیم:

بنابراین، ما دو قدرت داریم. اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را بالا ببرید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

تعریف

لگاریتمپایه a را از آرگومان x قدرتی است که عدد باید به آن افزایش یابدآ برای دریافت شمارهایکس.

تعیین

ورود به سیستم a x = b
جایی که a پایه است، x آرگومان، b لگاریتم دقیقا چیست؟

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). ممکن است 2 64 = 6 را نیز ثبت کنید، زیرا 2 6 = 64.

عمل یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه داده شده نامیده می شودلگاریتم . بنابراین بیایید یک ردیف جدید به جدول خود اضافه کنیم:

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی در نظر گرفته نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی از قطعه قرار گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند: اعداد بعد از نقطه اعشار را می توان به طور نامحدود نوشت و هرگز تکرار نمی شود. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این صورت رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می‌کنند که مبنا کجاست و بحث کجاست. برای جلوگیری سوء تفاهم های تاسف بارفقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. به یاد داشته باشید: لگاریتم یک توان است ، که برای دریافت استدلال باید پایه را به آن بالا ببرید.این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی وجود ندارد.

ما تعریف را فهمیدیم - باید یاد بگیریم که چگونه لگاریتم ها را بشماریم، یعنی. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، توجه می کنیم که دو واقعیت مهم از تعریف به دست می آید:

آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشد. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، به دست می آید.

پایه باید با وحدت متفاوت باشد، زیرا یک واحد به هر قدرتی هنوز یک واحد است.به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هاییتماس گرفت محدوده معتبر(ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه کنید که بدون محدودیت در تعدادب (مقدار لگاریتمی) همپوشانی ندارد. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن ODZ لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط کامپایلرهای مشکلات در نظر گرفته شده است. اما وقتی معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DHS اجباری خواهند شد. در واقع، در مبنا و استدلال می‌تواند ساختارهای بسیار قوی داشته باشد که لزوماً با محدودیت‌های فوق مطابقت ندارد.

اکنون ژنرال را در نظر بگیرید طرحی برای محاسبه لگاریتم از سه مرحله تشکیل شده است:

بنیاد را ارسال کنید a و آرگومان x به عنوان توانی با کوچکترین پایه ممکن بزرگتر از یک. در طول راه، بهتر است از کسری اعشاری خلاص شوید.

در مورد یک متغیر تصمیم بگیریدمعادله b: x = a b ;

شماره دریافت شده b پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، این در مرحله اول دیده می شود. این شرط که پایه بزرگتر از یک باشد بسیار مرتبط است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. شبیه به اعداد اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به معمولی ترجمه کنید، چندین برابر خطاهای کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با مثال های خاص چگونه کار می کند:

لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان پنج نشان دهیم: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

پاسخ دریافت کرد: 2.

محاسبه لگاریتم:

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان سه نشان دهیم: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:

جواب گرفتم: -4.

−4

لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

بیایید پایه و آرگومان را به صورت توان دو نشان دهیم: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

پاسخ دریافت شد: 3.

لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو نشان دهیم: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

پاسخ دریافت کرد: 0.

لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان هفت نشان دهیم: 7 = 7 1 ; 14 به عنوان توان هفت نشان داده نمی شود، زیرا 7 1< 14 < 7 2 ;

از پاراگراف قبل بر می آید که لگاریتم در نظر گرفته نمی شود.

پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

ثبت 7 14

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه مطمئن شویم که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده - فقط آن را به فاکتورهای اصلی تجزیه کنید. اگر حداقل دو عامل متمایز در انبساط وجود داشته باشد، عدد یک توان دقیق نیست.

دریابید که آیا توان های دقیق عدد عبارتند از: 8; 48; 81; 35; چهارده.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 توان دقیقی نیست زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
35 = 7 5 - باز هم درجه دقیقی نیست.
14 \u003d 7 2 - دوباره یک درجه دقیق نیست.

8، 81 - درجه دقیق؛ 48، 35، 14 - شماره.

ما همچنین توجه داشته باشید که ما اعداد اولهمیشه قدرت های دقیق خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نام خاصی دارند.

تعریف

لگاریتم اعشاریاز آرگومان x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. قدرتی که برای بدست آوردن عدد باید عدد 10 را به آن بیاوریدایکس.

تعیین

ال جی ایکس

به عنوان مثال، log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این به بعد وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر شد، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر به چنین تعیینی عادت ندارید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نماد خاص خود را دارد. به یک معنا، حتی مهمتر از اعشاری است. این لگاریتم طبیعی است.

تعریف

لگاریتم طبیعیاز آرگومان x لگاریتم پایه استه ، یعنی قدرتی که عدد باید به آن افزایش یابده برای دریافت شمارهایکس.

تعیین

ln x

بسیاری خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است ارزش دقیقیافتن و ثبت ناممکن است. در اینجا فقط اعداد اول هستند:
e = 2.718281828459...

ما به این نخواهیم پرداخت که این عدد چیست و چرا به آن نیاز است. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
لوگاریتم x = log e x

بنابراین ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویا غیر منطقی است. به جز، البته، وحدت: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که به آنها ویژگی های اساسی می گویند.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: log x و y را ثبت کنید . سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

ورود به سیستمتبر +logیک سال = ورودآ ( ایکس · y );

ورود به سیستمتبر -ورودیک سال = ورودآ ( ایکس : y ).

بنابراین، مجموع لگاریتم ها برابر با لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است.لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا همان پایه ها است. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول ها به شما کمک می کند محاسبه کنید بیان لگاریتمیحتی زمانی که بخش های جداگانه آن در نظر گرفته نمی شود (به درس مراجعه کنید " "). به نمونه ها نگاهی بیندازید - و ببینید:

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 6 4 + log 6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بر اساس این واقعیت، بسیاری از اوراق تست. بله، آن کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان از علامت لگاریتم در خارج کرد قوانین زیر:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته اگر لگاریتم ODZ رعایت شود همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0 می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید طبق فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 72. ما داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم:

قضیه

اجازه دهید لگاریتم ثبت شودتبر . سپس برای هر عددی c به گونه ای که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به ویژه اگر قرار دهیم c = x، دریافت می کنیم:

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. فقط هنگام تصمیم گیری می توان میزان راحتی آنها را ارزیابی کرد معادلات لگاریتمیو نابرابری ها

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در مورد اول، شماره n مبدل برهان می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:هویت لگاریتمی پایه.

به راستی اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b در این درجه عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: این همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" می شوند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه

مقدار عبارت را پیدا کنید:

راه حل

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان با همان پایه، ما گرفتیم:

200

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از امتحان بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه می دهم که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه اینها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

log a a = 1 است واحد لگاریتمی. یک بار برای همیشه به خاطر بسپارید: لگاریتم به هر پایهآ از این پایه خود برابر با یک است.

log a 1 = 0 است صفر لگاریتمی. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد - لگاریتم صفر است! زیرایک 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید!