حل لگاریتم با مثال های پایه های مختلف. فرمول های لاگ

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم به شما استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را ساده تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید افزایش یابد تا \(8\) به دست آید. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

مثال ها:	\(\log_(5)(25)=2\)	زیرا \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	زیرا \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	زیرا \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

برهان و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این مدخل به این صورت خوانده می شود: «لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج».

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه تا چه حد باید افزایش یابد؟

مثلا، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) \(4\) باید به چه قدرتی برود؟ بدیهی است که دومی از همین رو:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ و چه درجه ای هر عددی را واحد می کند؟ البته صفر!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ در اول - هر عددی در درجه اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای بدست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از ما می دانیم که یک توان کسری است، به این معنی ریشه دومدرجه \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		باید مقدار لگاریتم را پیدا کنیم، بیایید آن را x نشان دهیم. حالا بیایید از تعریف لگاریتم استفاده کنیم: \(\log_(a)(c)=b\) \(\فلش راست چپ\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		چه پیوندهایی \(4\sqrt(2)\) و \(8\) دارند؟ دو، زیرا هر دو عدد را می توان با دو نشان داد: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		در سمت چپ، از ویژگی های درجه استفاده می کنیم: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) و \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		مبانی برابر است، ما به سمت برابری شاخص ها پیش می رویم
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		دو طرف معادله را در \(\frac(2)(5)\) ضرب کنید
		ریشه حاصل مقدار لگاریتم است

پاسخ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا برابری عمل کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید x برابر چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین خواهد گفت: "X کمی کمتر از دو است." این عدد دقیقاً چگونه باید نوشته شود؟ برای پاسخ به این سوال، آنها لگاریتم را ارائه کردند. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تأکید کنم که \(\log_(3)(8)\) و همچنین هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم آن را به صورت اعشاری بنویسیم به این صورت می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) و \(10\) را نمی توان به یک پایه کاهش داد. بنابراین در اینجا شما نمی توانید بدون لگاریتم انجام دهید. بیایید از تعریف لگاریتم استفاده کنیم: \(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		معادله را برگردانید تا x در سمت چپ باشد
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		قبل از ما. \(4\) را به سمت راست حرکت دهید. و از لگاریتم نترسید، با آن مانند یک عدد معمولی رفتار کنید.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		معادله را بر 5 تقسیم کنید
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		ریشه ما اینجاست. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما پاسخ انتخاب نشده است.

پاسخ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم بیان شد، پایه آن می تواند هر عدد مثبتی باشد به جز یک \((a>0, a\neq1)\). و در بین همه پایه های ممکن، دو پایه وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه ویژه برای لگاریتم ها با آنها اختراع شده است:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (برابر تقریباً \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود).

به این معنا که، \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

به این معنا که، \(\lg(a)\) یکسان است با \(\log_(10)(a)\)، جایی که \(a\) تعدادی عدد است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "هویت لگاریتمی پایه" نام دارد و به شکل زیر است:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

این ویژگی مستقیماً از تعریف پیروی می کند. بیایید ببینیم این فرمول چگونه به وجود آمد.

تعریف کوتاه لگاریتم را به یاد بیاورید:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

بقیه خصوصیات لگاریتم را می توانید پیدا کنید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس می توانید به جای دو، \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر با \(2\) است، بنابراین می توانید \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسید. به طور مشابه با \(\log_(5)(25)\)، و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم این دو را به‌عنوان لگاریتم با هر پایه‌ای در هر جایی بنویسیم (حتی در یک معادله، حتی در یک عبارت، حتی در یک نابرابری) - ما فقط پایه مربع را به عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه گانه هم همینطور است - می توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \) ... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به عنوان یک لگاریتم با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : مقدار یک عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ : \(1\)

لگاریتم b (b > 0) به پایه a (a > 0، a ≠ 1)توانی است که برای بدست آوردن b باید عدد a را افزایش دهید.

لگاریتم پایه 10 b را می توان به صورت زیر نوشت ورود به سیستم (ب)، و لگاریتم به پایه e (لگاریتم طبیعی) - ln(b).

اغلب برای حل مسائل با لگاریتم استفاده می شود:

خواص لگاریتم ها

چهار اصلی وجود دارد خواص لگاریتم ها.

بگذارید a > 0، a ≠ 1، x > 0 و y > 0.

خاصیت 1. لگاریتم محصول

لگاریتم محصول برابر با مجموع استلگاریتم ها:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

خاصیت 2. لگاریتم ضریب

لگاریتم ضریببرابر است با اختلاف لگاریتم:

log a (x / y) = log a x – log a y

خاصیت 3. لگاریتم درجه

لگاریتم درجهبرابر است با حاصل ضرب درجه و لگاریتم:

اگر پایه لگاریتم در توان باشد، فرمول دیگری اعمال می شود:

خاصیت 4. لگاریتم ریشه

این ویژگی را می توان از خاصیت لگاریتم درجه به دست آورد، زیرا ریشه درجه n برابر با توان 1/n است:

فرمول رفتن از لگاریتم در یک پایه به لگاریتم در پایه دیگر

این فرمول همچنین اغلب هنگام حل وظایف مختلف برای لگاریتم استفاده می شود:

مورد خاص:

مقایسه لگاریتم ها (نابرابری ها)

فرض کنید 2 تابع f(x) و g(x) تحت لگاریتمی با پایه های یکسان داریم و بین آنها علامت نابرابری وجود دارد:

برای مقایسه آنها، ابتدا باید به پایه لگاریتم ها نگاه کنید:

اگر a > 0، آنگاه f(x) > g(x) > 0
اگر 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

نحوه حل مسائل با لگاریتم: مثال

وظایف با لگاریتمکه در USE در ریاضیات برای کلاس 11 در کار 5 و وظیفه 7 گنجانده شده است، می توانید وظایف با راه حل ها را در وب سایت ما در بخش های مربوطه پیدا کنید. همچنین، وظایف با لگاریتم در بانک وظایف در ریاضیات یافت می شود. با جستجو در سایت می توانید تمام نمونه ها را بیابید.

لگاریتم چیست

لگاریتم ها همیشه به عنوان یک مبحث دشوار در درس ریاضی مدرسه مطرح بوده اند. تعاریف مختلفی از لگاریتم وجود دارد، اما به دلایلی اکثر کتاب های درسی از پیچیده ترین و تاسف بارترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را ساده و واضح تعریف می کنیم. بیایید یک جدول برای این ایجاد کنیم:

بنابراین، ما دو قدرت داریم.

لگاریتم - خواص، فرمول ها، نحوه حل

اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را بالا ببرید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

پایه a آرگومان x توانی است که برای بدست آوردن عدد x باید عدد a را به آن افزایش داد.

علامت گذاری: log a x \u003d b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b در واقع همان چیزی است که لگاریتم برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). ممکن است 2 64 = 6 را نیز ثبت کنید، زیرا 2 6 = 64.

عمل یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه داده شده نامیده می شود. بنابراین بیایید یک ردیف جدید به جدول خود اضافه کنیم:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
گزارش 2 2 = 1	گزارش 2 4 = 2	گزارش 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی در نظر گرفته نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی از قطعه قرار گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند: اعداد بعد از نقطه اعشار را می توان به طور نامحدود نوشت و هرگز تکرار نمی شود. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این صورت رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می‌کنند که مبنا کجاست و بحث کجاست. برای جلوگیری سوء تفاهم های تاسف بارفقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم قدرت است، که برای دریافت استدلال باید پایه را به آن بالا ببرید. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی وجود ندارد.

نحوه شمارش لگاریتم ها

ما تعریف را فهمیدیم - باید یاد بگیریم که چگونه لگاریتم ها را بشماریم، یعنی. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشد. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، به دست می آید.
پایه باید با وحدت متفاوت باشد، زیرا یک واحد به هر قدرتی هنوز یک واحد است. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود محدوده معتبر(ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی بر روی عدد b (مقدار لگاریتم) اعمال نمی شود. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن ODZ لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط کامپایلرهای مشکلات در نظر گرفته شده است. اما وقتی معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DHS اجباری خواهند شد. در واقع، در مبنا و استدلال می‌تواند ساختارهای بسیار قوی داشته باشد که لزوماً با محدودیت‌های فوق مطابقت ندارد.

اکنون طرح کلی برای محاسبه لگاریتم را در نظر بگیرید. از سه مرحله تشکیل شده است:

پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با کوچکترین پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول راه، بهتر است از کسری اعشاری خلاص شوید.
معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، این در مرحله اول دیده می شود. این شرط که پایه بزرگتر از یک باشد بسیار مرتبط است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. شبیه به اعداد اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به معمولی ترجمه کنید، چندین برابر خطاهای کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با مثال های خاص چگونه کار می کند:

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان پنج نشان دهیم: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

پاسخ دریافت کرد: 2.

یک وظیفه. محاسبه لگاریتم:

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

بیایید پایه و آرگومان را به صورت توان دو نشان دهیم: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
پاسخ دریافت کرد: 3.

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو نشان دهیم: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
پاسخ دریافت کرد: 0.

یک وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان هفت نشان دهیم: 7 = 7 1 ; 14 به عنوان توان هفت نشان داده نمی شود، زیرا 7 1< 14 < 7 2 ;
از پاراگراف قبل بر می آید که لگاریتم در نظر گرفته نمی شود.
پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه مطمئن شویم که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده - فقط آن را به فاکتورهای اصلی تجزیه کنید. اگر حداقل دو عامل متمایز در انبساط وجود داشته باشد، عدد یک توان دقیق نیست.

یک وظیفه. دریابید که آیا توان های دقیق عدد عبارتند از: 8; 48; 81; 35; چهارده.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 توان دقیقی نیست زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - درجه دقیق؛
35 = 7 5 - باز هم درجه دقیقی نیست.
14 \u003d 7 2 - دوباره یک درجه دقیق نیست.

ما همچنین توجه داشته باشید که ما اعداد اولهمیشه قدرت های دقیق خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نام خاصی دارند.

از آرگومان x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن x باید 10 را افزایش داد. نامگذاری: lgx.

به عنوان مثال، log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این به بعد وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر شد، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر به چنین تعیینی عادت ندارید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای اعشار نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نماد خاص خود را دارد. به یک معنا، حتی مهمتر از اعشاری است. این لگاریتم طبیعی است.

آرگومان x لگاریتم پایه e است، یعنی. توانی که عدد e باید به آن افزایش یابد تا عدد x بدست آید. نامگذاری: lnx.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است ارزش دقیقیافتن و ثبت ناممکن است. در اینجا فقط اعداد اول هستند:
e = 2.718281828459…

ما به این نخواهیم پرداخت که این عدد چیست و چرا به آن نیاز است. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویا غیر منطقی است. به جز، البته، وحدت: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.

همچنین ببینید:

لگاریتم. خواص لگاریتم (قدرت لگاریتم).

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتم نشان دهیم؟

ما از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم.

لگاریتم نشانگر توانی است که برای بدست آوردن عدد زیر علامت لگاریتم، پایه باید به آن بلند شود.

بنابراین، برای نشان دادن یک عدد خاص c به عنوان لگاریتم به پایه a، باید درجه ای را با پایه لگاریتم زیر علامت لگاریتم قرار دهید و این عدد c را در توان بنویسید:

در قالب یک لگاریتم، می توانید مطلقاً هر عددی را نشان دهید - مثبت، منفی، صحیح، کسری، گویا، غیر منطقی:

برای اینکه الف و ج را در شرایط استرس زا آزمون یا امتحان اشتباه نگیرید، می توانید از قانون زیر برای یادآوری استفاده کنید:

آنچه در پایین است پایین می آید، آنچه در بالا است بالا می رود.

به عنوان مثال، شما می خواهید عدد 2 را به عنوان لگاریتم به پایه 3 نشان دهید.

ما دو عدد داریم - 2 و 3. این اعداد پایه و توان هستند که آنها را زیر علامت لگاریتم می نویسیم. باقی مانده است که مشخص شود کدام یک از این اعداد باید در پایه درجه و کدام - بالا در توان نوشته شود.

پایه 3 در رکورد لگاریتم در پایین است، به این معنی که وقتی دوس را به عنوان لگاریتم به پایه 3 نشان می دهیم، 3 را نیز به پایه می نویسیم.

2 بالاتر از 3 است. و در علامت درجه دو را بالای سه یعنی در توان می نویسیم:

لگاریتم ها سطح اول.

لگاریتم ها

لگاریتمعدد مثبت ببا دلیل آ، جایی که a > 0، a ≠ 1، توانی است که عدد باید به آن افزایش یابد. آ، بدست آوردن ب.

تعریف لگاریتممی توان به طور خلاصه اینگونه نوشت:

این برابری برای b > 0، a > 0، a ≠ 1.معمولا او را صدا می زنند هویت لگاریتمی
عمل یافتن لگاریتم یک عدد نامیده می شود لگاریتم

خواص لگاریتم:

لگاریتم محصول:

لگاریتم ضریب تقسیم:

جایگزینی پایه لگاریتم:

لگاریتم درجه:

لگاریتم ریشه:

لگاریتم با پایه قدرت:

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

لگاریتم اعشاریاعداد لگاریتم پایه 10 آن عدد را فراخوانی کرده و lg را بنویسند ب
لگاریتم طبیعیاعداد لگاریتم این عدد را به مبنا می خوانند ه، جایی که هعددی غیر منطقی است که تقریباً برابر با 2.7 است. در عین حال ln می نویسند ب.

نکات دیگر در مورد جبر و هندسه

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اساسی.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: log a x و log a y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر با لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا این است - همین زمینه ها. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول ها به شما کمک می کند محاسبه کنید بیان لگاریتمیحتی زمانی که بخش های جداگانه آن در نظر گرفته نمی شود (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

log 6 4 + log 6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بر اساس این واقعیت، بسیاری از اوراق تست. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی اوقات - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر لگاریتم ODZ مشاهده شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس، به کار ببرید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید طبق فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 72. ما داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم:

اجازه دهید لاگ لگاریتمی a x داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x قرار دهیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی اینکه چقدر راحت هستند فقط هنگام تصمیم گیری امکان پذیر است معادلات لگاریتمیو نابرابری ها

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود.

در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:

به راستی اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b در این درجه عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: این همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" هستند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان با همان پایه، ما گرفتیم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه ایالتی بود 🙂

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه می دهم که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه اینها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

log a a = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
log a 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

خواص اساسی.

logax + logay = log (x y);
logax − logay = log(x: y).

همین زمینه ها

log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر لگاریتم ODZ رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان 2.7 و دو برابر سال تولد لئو تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

مثال هایی برای لگاریتم ها

لگاریتم عبارات را بگیرید

مثال 1
آ). x=10ac^2 (a>0، c>0).

با خواص 3،5 محاسبه می کنیم

4. جایی که .

مثال 2 اگر x را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: لوگوکس و لوگای. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

logax + logay = log (x y);
logax − logay = log(x: y).

این فرمول‌ها به محاسبه عبارت لگاریتمی کمک می‌کنند حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شود (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی اوقات - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

یک وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید طبق فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتم لگاریتم ها نمونه هایی از راه حل ها هستند.

آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x قرار دهیم، به دست می آید:

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

یک وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان ها با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه ایالتی بود 🙂

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

همچنین ببینید:

لگاریتم عدد b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن چنین توانی x () است که در آن برابری درست است

ویژگی های اصلی لگاریتم

ویژگی های فوق باید شناخته شوند، زیرا، بر اساس آنها، تقریباً تمام مسائل و مثال ها بر اساس لگاریتم حل می شوند. خواص عجیب و غریب باقی مانده را می توان با دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول های مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها مواجه می شوند. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج لگاریتم هایی هستند که در آنها پایه حتی ده است، نمایی یا دس.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم پایه ده نامیده می شود و به سادگی lg(x) نشان داده می شود.

از سوابق می توان دریافت که اصول اولیه در کارنامه نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که مبنای آن توان است (با ln(x) نشان داده می شود).

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان 2.7 و دو برابر سال تولد لئو تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم پایه دو مهم دیگر است

مشتق لگاریتم تابع برابر است با یک تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با وابستگی تعیین می شود

مطالب فوق برای شما کافی است تا کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. به منظور درک مطالب، من فقط چند مثال رایج از آن را بیان می کنم برنامه آموزشی مدرسهو دانشگاه ها

مثال هایی برای لگاریتم ها

لگاریتم عبارات را بگیرید

مثال 1
آ). x=10ac^2 (a>0، c>0).

با خواص 3،5 محاسبه می کنیم

2.
با ویژگی تفاوت لگاریتم ها، داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

4. جایی که .

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از یک سری قوانین به شکل ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتم

مثال 2 اگر x را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، خواص 5 و 13 را تا آخرین ترم اعمال می کنیم

جانشین در ثبت و عزاداری

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

اجازه دهید مقدار لگاریتم ها داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: لگاریتم متغیر را در نظر بگیرید تا لگاریتم را از مجموع عبارت ها بنویسید

این تازه شروع آشنایی با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانش کسب شده برای حل معادلات لگاریتمی نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را برای دیگری گسترش خواهیم داد موضوع مهم- نابرابری های لگاریتمی ...

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: لوگوکس و لوگای. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

logax + logay = log (x y);
logax − logay = log(x: y).

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

حذف توان از لگاریتم

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید طبق فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

انتقال به یک پایه جدید

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x قرار دهیم، به دست می آید:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

یک وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه ایالتی بود 🙂

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

همه ما با معادلات آشنا هستیم. دبستان. حتی در آنجا ما یاد گرفتیم که ساده ترین مثال ها را حل کنیم و باید پذیرفت که آنها حتی در ریاضیات بالاتر نیز کاربرد خود را پیدا می کنند. همه چیز با معادلات ساده است، از جمله معادلات مربع. اگر با این موضوع مشکل دارید، اکیداً توصیه می کنیم آن را دوباره امتحان کنید.

لگاریتم هایی که احتمالا قبلاً هم گذرانده اید. با این وجود، ما مهم می دانیم که بگوییم برای کسانی که هنوز نمی دانند چیست. لگاریتم برابر با توانی است که برای بدست آوردن عدد سمت راست علامت لگاریتم، پایه باید به آن بلند شود. بیایید مثالی بزنیم که بر اساس آن همه چیز برای شما روشن می شود.

اگر 3 را به توان چهارم برسانید، 81 می گیرید. حالا اعداد را با قیاس جایگزین کنید، و در نهایت متوجه خواهید شد که چگونه لگاریتم ها حل می شوند. اکنون تنها ترکیب دو مفهوم در نظر گرفته شده باقی مانده است. در ابتدا، وضعیت بسیار دشوار به نظر می رسد، اما با بررسی دقیق تر، وزن در جای خود قرار می گیرد. مطمئنیم بعد از این مقاله کوتاه هیچ مشکلی در این قسمت از آزمون نخواهید داشت.

امروزه راه های زیادی برای حل چنین سازه هایی وجود دارد. ما در مورد ساده ترین، موثرترین و کاربردی ترین در مورد وظایف USE صحبت خواهیم کرد. حل معادلات لگاریتمی باید از همان ابتدا شروع شود. یک مثال ساده. ساده ترین معادلات لگاریتمی از یک تابع و یک متغیر در آن تشکیل شده است.

توجه به این نکته ضروری است که x داخل آرگومان است. A و b باید اعداد باشند. در این حالت به سادگی می توانید تابع را بر حسب یک عدد در توان بیان کنید. به نظر می رسد این است.

البته حل معادله لگاریتمی به این روش شما را به پاسخ صحیح می رساند. اما مشکل اکثریت قریب به اتفاق دانش آموزان در این مورد این است که نمی فهمند از چه چیزی و از کجا می آید. در نتیجه باید اشتباهات را تحمل کنید و امتیاز دلخواه را کسب نکنید. توهین آمیزترین اشتباه این است که حروف را در جاهایی با هم مخلوط کنید. برای حل معادله به این روش، باید این فرمول استاندارد مدرسه را حفظ کنید، زیرا درک آن دشوار است.

برای آسان تر کردن آن، می توانید به روش دیگری متوسل شوید - شکل متعارف. ایده فوق العاده ساده است. دوباره به کار توجه کنید. به یاد داشته باشید که حرف a یک عدد است نه یک تابع یا یک متغیر. A برابر یک نیست و بزرگتر از صفر است. هیچ محدودیتی در مورد b وجود ندارد. اکنون از تمام فرمول ها، یکی را به یاد می آوریم. B را می توان به صورت زیر بیان کرد.

از این نتیجه می شود که تمام معادلات اصلی با لگاریتم را می توان به صورت زیر نشان داد:

اکنون می توانیم لگاریتم ها را کنار بگذاریم. نتیجه یک ساخت و ساز ساده است که قبلاً دیده بودیم.

راحتی این فرمول در این واقعیت نهفته است که می توان از آن در موارد مختلفی استفاده کرد و نه فقط برای ساده ترین طرح ها.

نگران OOF نباشید!

بسیاری از ریاضیدانان با تجربه متوجه خواهند شد که ما به حوزه تعریف توجه نکرده ایم. این قانون به این واقعیت خلاصه می شود که F(x) لزوماً بزرگتر از 0 است. خیر، ما این نکته را از دست نداده ایم. اکنون ما در مورد یکی دیگر از مزایای جدی شکل متعارف صحبت می کنیم.

هیچ ریشه اضافی در اینجا وجود نخواهد داشت. اگر متغیر فقط در یک مکان رخ دهد، دامنه لازم نیست. به طور خودکار اجرا می شود. برای تأیید این قضاوت، حل چند مثال ساده را در نظر بگیرید.

نحوه حل معادلات لگاریتمی با پایه های مختلف

اینها از قبل معادلات لگاریتمی پیچیده هستند و رویکرد حل آنها باید خاص باشد. در اینجا به ندرت ممکن است خود را به شکل بدنام متعارف محدود کنیم. بیایید داستان مفصل خود را شروع کنیم. ما ساخت زیر را داریم.

به کسر توجه کنید. این شامل لگاریتم است. اگر این را در کار می بینید، ارزش دارد یک ترفند جالب را به خاطر بسپارید.

چه مفهومی داره؟ هر لگاریتم را می توان به صورت ضریبی از دو لگاریتم با پایه مناسب بیان کرد. و این فرمول حالت خاصی دارد که برای این مثال قابل اجراست (منظور ما اگر c=b است).

این دقیقاً همان چیزی است که در مثال خود می بینیم. به این ترتیب.

در واقع کسر را برگرداندند و بیان راحت تری به دست آوردند. این الگوریتم را به خاطر بسپارید!

حال نیاز داریم که معادله لگاریتمی دارای پایه های مختلف نباشد. بیایید پایه را به صورت کسری نشان دهیم.

در ریاضیات قانونی وجود دارد که بر اساس آن می توانید مدرک را از پایه خارج کنید. به نظر می رسد ساخت و ساز زیر است.

به نظر می رسد اکنون چه چیزی ما را از تبدیل بیان خود به صورت متعارف و حل ابتدایی آن باز می دارد؟ نه چندان ساده قبل از لگاریتم نباید کسری وجود داشته باشد. بیایید این وضعیت را درست کنیم! کسری به عنوان مدرک مجاز است.

به ترتیب.

اگر پایه ها یکسان باشند، می توانیم لگاریتم ها را حذف کرده و خود عبارات را معادل سازی کنیم. بنابراین وضعیت چندین برابر آسان تر از آنچه بود خواهد شد. یک معادله ابتدایی وجود خواهد داشت که هر یک از ما می دانستیم چگونه آن را در کلاس هشتم یا حتی هفتم حل کنیم. شما می توانید محاسبات را خودتان انجام دهید.

ما تنها ریشه واقعی این معادله لگاریتمی را بدست آوردیم. مثال هایی از حل معادله لگاریتمی بسیار ساده هستند، درست است؟ اکنون قادر خواهید بود به طور مستقل حتی با سخت ترین کارها برای آماده سازی و قبولی در آزمون مقابله کنید.

نتیجه چیست؟

در مورد هر معادله لگاریتمی، از یک خیلی شروع می کنیم قانون مهم. باید به گونه ای عمل کرد که بیان را به حداکثر رساند دید ساده. در این صورت نه تنها برای حل صحیح مشکل، بلکه به ساده ترین و منطقی ترین روش نیز شانس بیشتری خواهید داشت. ریاضیدانان همیشه اینگونه کار می کنند.

ما اکیداً توصیه نمی کنیم که به دنبال مسیرهای دشوار بگردید، به خصوص در این مورد. چند تا را به خاطر بسپار قوانین ساده، که به شما امکان می دهد هر عبارتی را تغییر دهید. به عنوان مثال، دو یا سه لگاریتم را به یک پایه بیاورید یا یک توان از پایه بگیرید و بر روی آن برنده شوید.

همچنین شایان ذکر است که در حل معادلات لگاریتمی باید دائماً تمرین کنید. به تدریج به سمت ساختارهای پیچیده تر خواهید رفت و این شما را به سمت آن سوق می دهد تصمیم مطمئنهمه گزینه ها برای وظایف در امتحان. از قبل برای امتحانات خود آماده شوید و موفق باشید!