محدودیت های تابع lim. محدودیت توالی و عملکرد

عملکرد y=f (ایکس)قانون (قاعده) نامیده می شود که بر اساس آن، هر عنصر x از مجموعه X با یک و تنها یک عنصر y از مجموعه Y مرتبط است.

عنصر x ∈ Xتماس گرفت آرگومان تابعیا متغیر مستقل.
عنصر y ∈ Yتماس گرفت مقدار تابعیا متغیر وابسته.

مجموعه X نامیده می شود محدوده عملکرد.
مجموعه ای از عناصر y ∈ Y، که دارای پیش تصویر در مجموعه X هستند، نامیده می شود ناحیه یا مجموعه ای از مقادیر تابع.

تابع واقعی نامیده می شود محدود از بالا (از پایین)اگر چنین عددی M وجود داشته باشد که نابرابری زیر برای همه برقرار باشد:
.
تابع عددیتماس گرفت محدود، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای همه:
.

صورت بالایا حد بالایی دقیقتابع real به کوچکترین اعدادی گفته می شود که دامنه مقادیر آن را از بالا محدود می کند. یعنی این یک عدد s است که برای همه و برای هر یک چنین آرگومانی وجود دارد که مقدار تابع آن از s′ : .
کران بالای تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

به ترتیب صورت پایینیا کران پایینی دقیقتابع واقعی به بزرگترین اعدادی گفته می شود که دامنه مقادیر آن را از زیر محدود می کند. یعنی این عدد i است که برای همه و برای هر یک چنین آرگومانی وجود دارد که مقدار تابعی که از آن کمتر از i است: .
کران پایین یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

تعیین حد یک تابع

تعریف حد کوشی یک تابع

محدودیت های تابع محدود در نقاط پایانی

اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های نقطه پایانی تعریف شود، به جز، شاید، برای خود نقطه. در نقطه , اگر برای هر یک وجود داشته باشد , بسته به , که برای همه x , که برای آن , نابرابری
.
حد یک تابع به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

محدودیت های یک طرفه
حد چپ در نقطه (محدودیت سمت چپ):
.
حد راست در یک نقطه (محدودیت سمت راست):
.
محدودیت های سمت چپ و راست اغلب به صورت زیر مشخص می شوند:
; .

محدودیت های محدود یک تابع در نقاط بی نهایت

محدودیت ها در نقاط بی نهایت دور به روشی مشابه تعریف می شوند.
.
.
.
اغلب به آنها اشاره می شود:
; ; .

استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه

اگر مفهوم همسایگی سوراخ شده یک نقطه را معرفی کنیم، می‌توانیم یک تعریف واحد از حد محدود یک تابع در نقاط محدود و بی‌نهایت ارائه دهیم:
.
اینجا برای نقاط پایانی
; ;
.
هر همسایگی از نقاط در بی نهایت سوراخ می شود:
; ; .

محدودیت عملکرد بی نهایت

تعریف
اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های سوراخ شده یک نقطه (محدود یا در بی نهایت) تعریف شود. حد تابع f (ایکس)به صورت x → x 0 برابر است با بی نهایت، در صورت وجود، خودسرانه تعداد زیادیم > 0 ، یک عدد δ M وجود دارد > 0 بسته به M، که برای همه x متعلق به یک محله δ M سوراخ شده نقطه:، نابرابری زیر برقرار است:
.
حد بی نهایت به صورت زیر تعریف می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد نامتناهی یک تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

همچنین می توان تعاریفی از حدود نامتناهی نشانه های معینی برابر با و ارائه کرد:
.
.

تعریف جهانی حد یک تابع

با استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه، می توان یک تعریف جهانی از حد متناهی و نامتناهی یک تابع ارائه داد که هم برای نقاط متناهی (دو طرفه و یک طرفه) و هم برای نقاط بی نهایت دور قابل استفاده است:
.

تعریف حد تابع از نظر هاینه

اجازه دهید تابع در مجموعه ای از X تعریف شود:
عدد a حد تابع نامیده می شوددر نقطه:
,
اگر برای هر دنباله ای همگرا به x 0 :
,
که عناصر آن به مجموعه X تعلق دارند:
.

ما این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول می نویسیم:
.

اگر به عنوان مجموعه X همسایگی سمت چپ نقطه x را در نظر بگیریم 0 ، سپس تعریف حد چپ را دریافت می کنیم. اگر راست دست باشد، تعریف حد راست را می گیریم. اگر همسایگی یک نقطه در بینهایت را به عنوان مجموعه X در نظر بگیریم، تعریف حد یک تابع در بینهایت را بدست می آوریم.

قضیه
تعاریف کوشی و هاینه از حد یک تابع معادل هستند.
اثبات

خواص و قضایای حد یک تابع

علاوه بر این، فرض می کنیم که توابع مورد بررسی در همسایگی متناظر نقطه تعریف می شوند که یک عدد متناهی یا یکی از نمادها است: . همچنین می تواند یک نقطه حد یک طرفه باشد، یعنی فرم یا . محله برای حد دو طرفه دو طرفه و برای یک طرفه یک طرفه است.

خواص اساسی

اگر مقادیر تابع f (ایکس)در تعداد محدودی از نقاط x تغییر دهید (یا نامشخص کنید). 1 , x 2 , x 3 , ... x n، آنگاه این تغییر بر وجود و مقدار حد تابع در نقطه دلخواه x تأثیری نخواهد داشت 0 .

اگر یک حد محدود وجود داشته باشد، آنگاه یک همسایگی سوراخ شده از نقطه x وجود دارد 0 ، که بر روی آن تابع f (ایکس)محدود:
.

اجازه دهید تابع در نقطه x باشد 0 حد پایانی غیر از صفر:
.
سپس، برای هر عدد c از بازه، چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0 برای چی،
، اگر ؛
، اگر .

اگر در برخی از محله های سوراخ شده نقطه ثابت باشد، پس .

اگر حدود محدودی وجود داشته باشد و روی برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه x وجود داشته باشد 0
,
سپس .

اگر، و در برخی از محله های نقطه
,
سپس .
به ویژه، اگر در برخی از محله از نقطه
,
سپس اگر , آنگاه و ;
اگر ، پس و .

اگر در محله سوراخ شده نقطه x 0 :
,
و حدهای مساوی متناهی (یا نامتناهی از یک علامت معین) وجود دارد:
، سپس
.

اثبات خواص اصلی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های اساسی حدود یک تابع".

خواص حسابی حد یک تابع

اجازه دهید توابع و در برخی از محله های سوراخ شده از نقطه تعریف شوند. و بگذارید محدودیت های محدودی وجود داشته باشد:
و .
و C یک ثابت باشد، یعنی یک عدد معین. سپس
;
;
;
، اگر .

اگر پس از آن .

اثبات خواص حسابی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های حسابی حدود یک تابع".

معیار کوشی برای وجود حد یک تابع

قضیه
به منظور تابعی که بر روی برخی از همسایگی های سوراخ شده یک محدود یا در نقطه بینهایت x تعریف شده است 0 ، در این نقطه حد محدودی داشت، لازم و کافی است که برای هر ε > 0 چنین محله سوراخ شده ای از نقطه x وجود داشت 0 ، که برای هر نقطه و از این همسایگی، نابرابری زیر برقرار است:
.

محدودیت عملکرد پیچیده

قضیه حد تابع پیچیده
اجازه دهید تابع یک حد داشته باشد و محله سوراخ شده نقطه را روی همسایگی سوراخ شده نقطه ترسیم کنید. اجازه دهید تابع در این محله تعریف شود و محدودیتی در آن وجود داشته باشد.
اینجا - نقاط پایانی یا بی نهایت دور: . محله ها و حدود مربوط به آنها می تواند دو طرفه یا یک طرفه باشد.
سپس حدی از تابع مختلط وجود دارد و برابر است با:
.

قضیه حد تابع مختلط زمانی اعمال می شود که تابع در نقطه ای تعریف نشده باشد یا مقداری غیر از مقدار حدی داشته باشد. برای اعمال این قضیه، باید یک همسایگی سوراخ شده از نقطه ای وجود داشته باشد که مجموعه مقادیر تابع حاوی این نقطه نباشد:
.

اگر تابع در نقطه پیوسته باشد، می توان علامت حد را به آرگومان اعمال کرد عملکرد پیوسته:
.
در زیر یک قضیه مربوط به این مورد است.

قضیه حد تابع پیوسته یک تابع
اجازه دهید حدی از تابع g وجود داشته باشد (t)به عنوان t → t 0 ، و برابر با x است 0 :
.
در اینجا نقطه t 0 می تواند متناهی یا در بی نهایت باشد: .
و اجازه دهید تابع f (ایکس)پیوسته در x 0 .
سپس حدی از تابع ترکیبی f وجود دارد (g(t))، و برابر با f است (x0):
.

برهان قضایا در صفحه آورده شده است
"محدودیت و تداوم یک تابع پیچیده".

توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ

توابع بی نهایت کوچک

تعریف
تابعی را برای if می نامند بی نهایت کوچک
.

مجموع، تفاوت و محصولتعداد محدودی از توابع بی نهایت کوچک برای یک تابع بینهایت کوچک برای است.

حاصل ضرب یک تابع محدود شده استدر برخی از محله های سوراخ شده نقطه، به یک بی نهایت کوچک برای یک تابع بی نهایت کوچک از for است.

برای اینکه یک تابع حد محدودی داشته باشد، کافی و لازم است که
,
که در آن یک تابع بی نهایت کوچک برای .

"خواص توابع بی نهایت کوچک".

توابع بی نهایت بزرگ

تعریف
تابع بی نهایت بزرگ برای if نامیده می شود
.

مجموع یا تفاضل یک تابع محدود، در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه، و یک تابع بی نهایت بزرگ در بی نهایت است. ویژگی عالیدر .

اگر تابع بی‌نهایت بزرگ باشد و تابع در یک محل سوراخ‌شده نقطه محدود باشد، آنگاه
.

اگر تابع، در یک محله سوراخ شده از نقطه، نابرابری را برآورده کند:
,
و تابع بی نهایت کوچک است برای:
، و (در برخی از محله های سوراخ شده نقطه)، سپس
.

مدارک مربوط به اموال در بخش ذکر شده است
"خواص توابع بی نهایت بزرگ".

رابطه بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

ارتباط بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک از دو ویژگی قبلی حاصل می شود.

اگر تابع در بی نهایت بزرگ باشد، آنگاه تابع در بی نهایت کوچک است.

اگر تابع بی نهایت کوچک برای و باشد، آنگاه تابع برای بی نهایت بزرگ است.

رابطه بین یک بی نهایت کوچک و یک تابع بی نهایت بزرگ را می توان بیان کرد به صورت نمادین:
, .

اگر یک تابع بینهایت کوچک علامت مشخصی داشته باشد، یعنی مثبت (یا منفی) در محله سوراخ شده نقطه باشد، این واقعیت را می توان به صورت زیر بیان کرد:
.
به طور مشابه، اگر یک تابع بی‌نهایت بزرگ علامت مشخصی داشته باشد، می‌نویسند:
.

سپس ارتباط نمادین بین توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ را می توان با روابط زیر تکمیل کرد:
, ,
, .

فرمول های اضافی مربوط به نمادهای بی نهایت را می توان در صفحه یافت
"نقاط در بی نهایت و خواص آنها".

حدود توابع یکنواخت

تعریف
تابعی که روی مجموعه ای از اعداد حقیقی X تعریف شده است فراخوانی می شود به شدت افزایش می یابد، اگر برای همه به گونه ای باشد که نابرابری زیر برقرار باشد:
.
بر این اساس، برای به شدت در حال کاهش استتابع، نابرابری زیر برقرار است:
.
برای بدون کاهش:
.
برای غیر افزایشی:
.

این به این معنی است که یک تابع کاملاً افزایشی نیز غیرکاهشی است. یک تابع کاملاً کاهشی نیز غیرافزاینده است.

تابع فراخوانی می شود یکنواختاگر غیر کاهشی یا غیر افزایشی باشد.

قضیه
اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد.
اگر از بالا با عدد M محدود شود، آنگاه یک حد محدود وجود دارد. اگر در بالا محدود نشده است، پس.
اگر از پایین با عدد m محدود شود، آنگاه یک حد محدود وجود دارد. اگر به زیر محدود نمی شود، پس .

اگر نقاط a و b در بی نهایت باشند، در عبارات علائم حد به این معنی است که .
این قضیه را می توان فشرده تر فرموله کرد.

اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد. سپس در نقاط a و b محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

یک قضیه مشابه برای یک تابع غیر افزایشی.

اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن افزایش نمی یابد. سپس محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

اثبات قضیه در صفحه بیان شده است
"محدودیت های توابع یکنواخت".

منابع:
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.

نظریه حدود یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مسئله حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل حدود وجود دارد انواع مختلف. ده ها تفاوت ظریف و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد یک محدودیت را حل کنید. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما ابتدا یک پیشینه تاریخی مختصر. روزی روزگاری آگوستین لوئی کوشی فرانسوی در قرن نوزدهم وجود داشت که پایه‌های تحلیل ریاضی را پایه‌ریزی کرد و تعاریف دقیق و به ویژه تعریف حد را ارائه کرد. باید گفت که همین کوشی در کابوس های همه دانشجویان دانشکده های فیزیکی و ریاضی خواب می بیند، خواب می بیند و خواهد دید، زیرا او تعداد زیادی از قضایای آنالیز ریاضی را ثابت کرده است و یک قضیه از دیگری نفرت انگیزتر است. در این راستا، تعریف دقیقی از حد در نظر نخواهیم گرفت، بلکه سعی خواهیم کرد دو کار انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. حل انواع اصلی محدودیت ها را بیاموزید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای یک قوری قابل درک باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و بلافاصله مثالی از این که چرا مادربزرگ خود را خم کنید ....

هر محدودیتی از سه قسمت تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد محدودیت، در این مورد. ورودی به عنوان "x تمایل به وحدت دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "x" در عمل متغیرهای دیگری وجود دارد. در کارهای عملی، به جای یک واحد، می تواند مطلقاً هر عدد و همچنین بی نهایت () وجود داشته باشد.
3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود رکورد به این صورت می‌خواند: "محدودیت تابع زمانی که x تمایل به وحدت دارد."

بیایید سؤال مهم بعدی را تجزیه و تحلیل کنیم - عبارت "x به دنبالبه وحدت؟ و به هر حال "تلاش" چیست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، به اصطلاح، پویا. بیایید یک دنباله بسازیم: ابتدا، سپس، ...، , ….
یعنی عبارت «x به دنبالبه یک" باید به صورت زیر درک شود - "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که بی نهایت به وحدت نزدیک بوده و عملاً با آن منطبق است.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید واحد را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

بنابراین اولین قانون این است: وقتی محدودیتی در نظر گرفته شد، ابتدا فقط سعی کنید عدد را به عملکرد وصل کنید.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفتیم، اما چنین مواردی در عمل نیز یافت می شوند، و نه به ندرت!

مثال بی نهایت:

فهمیدن چیست؟ این در صورتی است که به طور نامحدود افزایش یابد، یعنی: اول، سپس، سپس، و غیره تا بی نهایت.

و در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، آنگاه تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، بی نهایت را به جای "x" جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: برای، تابع به طور نامحدود افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را برای خودتان تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین نوع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر شکی در جایی وجود داشت، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که سعی کنید دنباله , , را بسازید . اگر پس از آن ، ، .

توجه: به بیان دقیق، این رویکرد با ساخت دنباله های چند اعداد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی داده شود تعداد زیادیدر بالا، حتی با یک میلیون: پس مهم نیست ، زیرا دیر یا زود "x" چنان ارزش های غول پیکری به خود می گیرد که یک میلیون در مقایسه با آنها یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید به خاطر داشت و از موارد فوق فهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا سعی می کنیم یک عدد را جایگزین تابع کنیم.

2) شما باید ساده ترین محدودیت ها را بفهمید و فوراً حل کنید، مانند ، ، و غیره.

حال گروه حدود را در نظر می گیریم، زمانی که، و تابع یک کسری است که در صورت و مخرج آن چند جمله ای هستند.

مثال:

محاسبه حد

طبق قاعده ما سعی می کنیم بی نهایت را با یک تابع جایگزین کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما به اصطلاح نامتعین شکل را داریم. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در مورد کلیاصلاً اینطور نیست و باید راه حلی اعمال شود که اکنون به بررسی آن می پردازیم.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

بالاترین توان در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و بالاترین درجه را نیز پیدا می کنیم:

بالاترین توان مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به این صورت است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را به بالاترین درجه تقسیم کرد.

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی در تصمیم گیری ضروری است؟

ابتدا عدم قطعیت را در صورت وجود نشان می دهیم.

ثانیاً، مطلوب است که راه حل برای توضیحات میانی قطع شود. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً، در حد مطلوب است که مشخص شود چه چیزی و به کجا تمایل دارد. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است:

برای یادداشت بهتر است از یک مداد ساده استفاده کنید.

البته، شما نمی توانید هیچ کاری از این کار انجام دهید، اما پس از آن، شاید معلم کاستی های موجود در راه حل را یادداشت کند یا شروع به پرسیدن سوالات اضافی در مورد تکلیف کند. و آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداکثر مدرک در صورت حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای آشکار کردن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
یک تکلیف کامل ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "x" در صورتگر: 2
حداکثر توان "x" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . یک راه حل تمیز ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

رکورد به معنای تقسیم بر صفر نیست (تقسیم بر صفر غیرممکن است) بلکه به معنای تقسیم بر یک عدد بی نهایت کوچک است.

بنابراین، هنگام افشای عدم قطعیت فرم، می توانیم دریافت کنیم عدد محدود، صفر یا بی نهایت.

محدودیت ها با عدم قطعیت نوع و روشی برای حل آنها

گروه بعدی از حدود تا حدودی شبیه به حدود در نظر گرفته شده است: چند جمله ای در صورت و مخرج وجود دارد، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت می رود. شماره نهایی.

مثال 4

حد را حل کنید
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را در کسری جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی : اگر چند جمله ای در صورت و مخرج وجود داشته باشد و شکل آن نامشخص باشد، برای افشای آن صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب تصمیم گیری لازم است معادله درجه دومو/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شد، از صفحه بازدید کنید فرمول ها و جداول ریاضیو بررسی کنید مواد روش شناختی فرمول های ریاضی مدرسه داغ. به هر حال، بهتر است آن را چاپ کنید، اغلب مورد نیاز است و اطلاعات کاغذ بهتر جذب می شود.

پس بیایید حد خود را حل کنیم

فاکتورگیری از صورت و مخرج

برای فاکتورسازی عدد، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

ابتدا وجه تمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن: .

اگر تمایز بزرگ باشد، برای مثال 361، از یک ماشین حساب، تابع استخراج استفاده می کنیم ریشه دومروی ساده ترین ماشین حساب است.

! اگر ریشه به طور کامل استخراج نشود (عدد کسری با کاما به دست می آید) به احتمال بسیار زیاد ممیز اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود دارد.

در مرحله بعد، ریشه ها را پیدا می کنیم:

به این ترتیب:

همه چيز. شمارنده فاکتور گرفته می شود.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده سازی آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به صورت زیر خلاصه کرد:

حالا در عبارتی که در زیر علامت حد باقی می ماند -1 را جایگزین می کنیم:

به طور طبیعی، در کنترل کار، در آزمون، امتحان، تصمیم هرگز با این جزئیات ترسیم نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 5

محاسبه حد

اول، یک راه حل "پاک".

بیایید صورت و مخرج را فاکتورسازی کنیم.

صورت کسر:
مخرج:



,

در این مثال چه چیزی مهم است؟
ابتدا باید به خوبی بفهمید که چگونه شماره‌گذار آشکار می‌شود، ابتدا عدد 2 را در پرانتز قرار دادیم و سپس از فرمول تفاوت مربع‌ها استفاده کردیم. این فرمولی است که باید بدانید و ببینید.

برای کسانی که می خواهند یاد بگیرند که چگونه محدودیت ها را پیدا کنند در این مقاله در مورد آن صحبت خواهیم کرد. ما به این نظریه نمی پردازیم، معمولاً در سخنرانی های معلمان ارائه می شود. بنابراین "نظریه خسته کننده" باید در دفترچه یادداشت شما مشخص شود. اگر نه، پس می توانید کتاب های درسی گرفته شده از کتابخانه را بخوانید موسسه تحصیلییا سایر منابع آنلاین

بنابراین، مفهوم حد در مطالعه درس ریاضیات عالی بسیار مهم است، به خصوص زمانی که به حساب انتگرال برخورد می کنید و رابطه بین حد و انتگرال را درک می کنید. در مواد فعلی در نظر گرفته خواهد شد مثال های سادهو همچنین راه های حل آنها.

نمونه های راه حل

مثال 1

a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $ را محاسبه کنید. b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

راه حل

الف) $$ \lim \limits_(x \تا 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ ما اغلب این محدودیت‌ها را برای ما ارسال می‌کنیم تا برای حل آن کمک بخواهیم. ما تصمیم گرفتیم آنها را به عنوان یک مثال جداگانه برجسته کنیم و توضیح دهیم که این محدودیت ها به عنوان یک قاعده به سادگی باید به خاطر بسپارند. اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما یک راه حل دقیق ارائه خواهیم کرد. شما می توانید با پیشرفت محاسبات آشنا شوید و اطلاعات را جمع آوری کنید. این به شما کمک می کند تا به موقع از معلم امتیاز بگیرید!

پاسخ

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

با عدم قطعیت فرم چه باید کرد: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

مثال 3

حل $ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1) (x+1) $

راه حل

مثل همیشه، با جایگزین کردن مقدار $ x $ در عبارت زیر علامت حد شروع می کنیم. $$ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ بعدش چی؟ نتیجه چه باید باشد؟ از آنجایی که این یک عدم قطعیت است، این هنوز پاسخی نیست و ما به محاسبه ادامه می دهیم. از آنجایی که ما یک چند جمله ای در اعداد داریم، آن را با استفاده از فرمول آشنا $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ به عواملی تجزیه می کنیم. به یاد آورد؟ عالی! حالا بروید و آن را با آهنگ اعمال کنید :) دریافت می کنیم که صورت حساب $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ با توجه به تبدیل فوق به حل ادامه می دهیم: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+1 )) (x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \ به -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

پاسخ

$$ \lim \limits_(x \ به -1) \frac(x^2-1) (x+1) = -2 $$

بیایید حد دو مثال آخر را تا بی نهایت در نظر بگیریم و عدم قطعیت را در نظر بگیریم: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

مثال 5

محاسبه $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

راه حل

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ چه باید کرد؟ چگونه بودن؟ وحشت نکنید، زیرا غیرممکن ها ممکن است. لازم است پرانتزها را هم در صورت و هم در مخرج X بردارید و سپس آن را کاهش دهید. پس از آن، سعی کنید حد را محاسبه کنید. تلاش ... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ با استفاده از تعریف مثال 2 و جایگزینی بی نهایت به جای x، به دست می آوریم: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

پاسخ

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

الگوریتم محاسبه حدود

بنابراین، بیایید به طور خلاصه مثال های تجزیه و تحلیل شده را خلاصه کنیم و یک الگوریتم برای حل حدود ایجاد کنیم:

1. نقطه x را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید. اگر معلوم شود تعداد معین، یا بی نهایت، سپس حد به طور کامل حل می شود. در غیر این صورت عدم قطعیت داریم: "صفر تقسیم بر صفر" یا "بی نهایت تقسیم بر بی نهایت" و به پاراگراف های بعدی دستورالعمل ادامه دهید.
2. برای از بین بردن عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر" باید صورت و مخرج را فاکتورسازی کنید. مشابه را کاهش دهید. نقطه x را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنید.
3. اگر عدم قطعیت "بی نهایت تقسیم بر بی نهایت" باشد، هم در صورت و هم در مخرج x بزرگترین درجه را خارج می کنیم. x ها را کوتاه می کنیم. مقادیر x را از زیر حد به عبارت باقی‌مانده جایگزین می‌کنیم.

در این مقاله با مبانی حل حد که اغلب در دوره استفاده می شود آشنا شدید. تجزیه و تحلیل ریاضی. البته اینها همه انواع مشکلات ارائه شده توسط ممتحنین نیستند، بلکه فقط ساده ترین محدودیت ها هستند. در مقالات بعدی در مورد انواع دیگر وظایف صحبت خواهیم کرد، اما ابتدا باید این درس را یاد بگیرید تا ادامه دهید. در مورد اینکه در صورت وجود ریشه ها، درجات، چه کاری باید انجام دهیم، توابع معادل بی نهایت کوچک، حدود شگفت انگیز، قانون L'Hopital را مطالعه خواهیم کرد.

اگر به تنهایی نمی توانید محدودیت ها را تشخیص دهید، نترسید. یاریدادن همواره مایهی خرسندی ماست!

مفاهیم حدود توالی ها و توابع. هنگامی که لازم است حد یک دنباله را پیدا کنید، به صورت زیر نوشته می شود: lim xn=a. در چنین دنباله ای از دنباله ها، xn به a و n به بی نهایت میل می کند. یک دنباله معمولاً به صورت یک سری نشان داده می شود، به عنوان مثال:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
توالی ها به صعودی و نزولی تقسیم می شوند. مثلا:
xn=n^2 - توالی افزایشی
yn=1/n - دنباله
بنابراین، برای مثال، حد دنباله xn=1/n^:
lim1/n^2=0

x→∞
این حد صفر است زیرا n→∞ و دنباله 1/n^2 به صفر تمایل دارد.

معمولا متغیر x به حد محدود a تمایل دارد، علاوه بر این، x دائما به a نزدیک می شود و مقدار a ثابت است. این به صورت زیر نوشته می شود: limx = a، در حالی که n می تواند هم به صفر و هم به بی نهایت تمایل داشته باشد. توابع بی نهایت وجود دارد، برای آنها حد به بی نهایت میل می کند. در موارد دیگر، زمانی که، برای مثال، عملکرد کاهش سرعت قطار، ممکن است برای یک حد تمایل به صفر است.
محدودیت ها دارای تعدادی ویژگی هستند. به عنوان یک قاعده، هر تابع فقط یک محدودیت دارد. این ویژگی اصلی حد است. سایر موارد در زیر ذکر شده است:
* محدودیت مبلغ برابر با مجموع استمحدودیت ها:
lim(x+y)=limx+limy
* حد محصول برابر است با حاصل ضرب حدود:
lim(xy)=limx*limy
* حد نصاب برابر است با نصاب حدود:
lim(x/y)=lim x/lim y
* ضریب ثابت از علامت حد خارج می شود:
lim(Cx)=C lim x
با توجه به تابع 1 /x که در آن x →∞، حد آن صفر است. اگر x← 0 باشد، حد چنین تابعی برابر با ∞ است.
برای توابع مثلثاتی از این قوانین وجود دارد. از آنجایی که تابع sin x با نزدیک شدن به صفر همیشه به یک تمایل دارد، هویت برای آن برقرار است:
lim sin x/x=1

در تعدادی از توابع، هنگام محاسبه حدودی که عدم قطعیت ایجاد می شود - وضعیتی که در آن حد قابل محاسبه نیست. تنها راه برون رفت از این وضعیت L'Hopital است. دو نوع عدم قطعیت وجود دارد:
* عدم قطعیت فرم 0/0
* عدم قطعیت شکل ∞/∞
به عنوان مثال، با توجه به حدی از شکل زیر: lim f(x)/l(x)، علاوه بر این، f(x0)=l(x0)=0. در این حالت عدم قطعیت فرم 0/0 وجود دارد. برای حل چنین مشکلی، هر دو تابع متمایز می شوند، پس از آن حد نتیجه پیدا می شود. برای عدم قطعیت های فرم 0/0، حد این است:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (به عنوان x→0)
همین قانون برای عدم قطعیت های نوع ∞/∞ نیز صادق است. اما در این حالت برابری زیر صادق است: f(x)=l(x)=∞
با استفاده از قانون L'Hospital، می توانید مقادیر هر محدودیتی را که در آن عدم قطعیت ظاهر می شود، بیابید. شرط لازمدر

حجم - عدم وجود خطا در یافتن مشتقات. بنابراین، برای مثال، مشتق تابع (x^2)" برابر با 2x است. از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت:
f"(x)=nx^(n-1)

توابع ابتدایی اصلی مرتب شده اند.

هنگام انتقال به توابع با فرم پیچیده تر، قطعاً با عباراتی روبرو خواهیم شد که مقدار آنها تعریف نشده است. چنین عباراتی نامیده می شود عدم قطعیت ها.

بیایید همه چیز را فهرست کنیم انواع اصلی عدم قطعیت: صفر تقسیم بر صفر (0 بر 0)، بی نهایت تقسیم بر بی نهایت، صفر ضربدر بی نهایت، بی نهایت منهای بی نهایت، یک به توان بی نهایت، صفر به توان صفر، بی نهایت به توان صفر.

تمام عبارات دیگر غیر قطعی نیستند و یک مقدار متناهی یا نامتناهی کاملاً خاص را می گیرند.

عدم قطعیت ها را آشکار کنیداجازه می دهد:

• ساده سازی شکل یک تابع (تبدیل یک عبارت با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری، فرمول های مثلثاتی، ضرب با عبارات مزدوج و به دنبال آن کاهش و غیره).
• استفاده از محدودیت های قابل توجه؛
• اعمال قانون L'Hospital;
• استفاده از جایگزینی یک عبارت بینهایت کوچک با معادل آن (با استفاده از جدولی از بینهایت کوچکهای معادل).

ما عدم قطعیت ها را به گروه بندی می کنیم جدول عدم قطعیت. برای هر نوع عدم قطعیت، روش افشای آن (روش یافتن حد) را در متناظر قرار می دهیم.

این جدول به همراه جدول حدود توابع ابتدایی پایه ابزار اصلی شما در یافتن هر حدی خواهد بود.

بیایید چند مثال بزنیم زمانی که همه چیز بلافاصله پس از جایگزینی مقدار به دست می آید و عدم قطعیت ایجاد نمی شود.

مثال.

محاسبه حد

راه حل.

ما مقدار را جایگزین می کنیم:

و بلافاصله جواب گرفتیم.

پاسخ:

مثال.

محاسبه حد

راه حل.

مقدار x=0 را با پایه تابع توان نمایی خود جایگزین می کنیم:

یعنی حد را می توان به صورت بازنویسی کرد

حال بیایید نگاهی به شاخص بیندازیم. این یک تابع قدرت است. اجازه دهید به جدول حدود توابع توان با توان منفی بپردازیم. از آنجا داریم و بنابراین، می توانیم بنویسیم .

بر این اساس، حد ما را می توان به صورت زیر نوشت:

دوباره به جدول محدودیت ها می پردازیم، اما برای توابع نماییبا پایه بزرگتر از یک، از این رو داریم:

پاسخ:

بیایید به مثال هایی با تصمیمات دقیق افشای ابهامات با تبدیل عبارات.

اغلب، عبارت زیر علامت حد نیاز به تغییر کمی دارد تا از ابهامات خلاص شود.

مثال.

محاسبه حد

راه حل.

ما مقدار را جایگزین می کنیم:

به عدم قطعیت رسید. برای انتخاب روش حل به جدول عدم قطعیت ها نگاه می کنیم. بیایید سعی کنیم بیان را ساده کنیم.

پاسخ:

مثال.

محاسبه حد

راه حل.

ما مقدار را جایگزین می کنیم:

به عدم قطعیت رسید (0 در 0). برای انتخاب روش حل به جدول عدم قطعیت ها نگاه می کنیم و سعی می کنیم بیان را ساده کنیم. هم صورت و هم مخرج را در عبارت مزدوج به مخرج ضرب می کنیم.

برای مخرج، عبارت الحاقی است

مخرج را ضرب کردیم تا بتوانیم فرمول ضرب اختصاری - اختلاف مربع ها را اعمال کنیم و سپس عبارت حاصل را کاهش دهیم.

پس از یک سری تحولات، عدم قطعیت ناپدید شد.

پاسخ:

اظهار نظر:برای محدودیت هایی از این نوع، روش ضرب با عبارات مزدوج معمولی است، بنابراین از آن استفاده کنید.

مثال.

محاسبه حد

راه حل.

ما مقدار را جایگزین می کنیم:

به عدم قطعیت رسید. برای انتخاب روش حل به جدول عدم قطعیت ها نگاه می کنیم و سعی می کنیم بیان را ساده کنیم. از آنجایی که صورت و مخرج هر دو در x=1 ناپدید می شوند، اگر این عبارات را بتوان کاهش داد (x-1) عدم قطعیت ناپدید می شود.

بیایید کسر را فاکتورسازی کنیم:

بیایید مخرج را فاکتورسازی کنیم:

محدودیت ما به شکل زیر خواهد بود:

پس از تحول، عدم قطعیت آشکار شد.

پاسخ:

محدودیت های بی نهایت عبارات قدرت را در نظر بگیرید. اگر توان های عبارت نمایی مثبت باشند، حد در بی نهایت نامحدود است. علاوه بر این، مقدار اصلی دارای بیشترین درجه است، بقیه را می توان دور انداخت.

مثال.

مثال.

اگر عبارت زیر علامت حد کسری باشد و صورت و مخرج هر دو عبارات توانی هستند (m توان صورت و n توان مخرج است)، در این صورت وقتی عدم قطعیت شکل بی نهایت وجود دارد. در این مورد با بی نهایت عدم قطعیت آشکار می شودتقسیم و صورت و مخرج بر

مثال.

محاسبه حد