حل معادلات فرمول مثلثاتی. نحوه حل معادلات مثلثاتی

روش های حل معادلات مثلثاتی

مقدمه 2

روش های حل معادلات مثلثاتی 5

جبری 5

حل معادلات با استفاده از شرط تساوی توابع مثلثاتی همنام 7

فاکتورینگ 8

تقلیل به یک معادله همگن 10

معرفی زاویه کمکی 11

تبدیل محصول به مجموع 14

تعویض جهانی 14

نتیجه گیری 17

مقدمه

تا کلاس دهم، ترتیب اقدامات بسیاری از تمرینات منجر به هدف، به طور معمول، بدون ابهام تعریف شده است. به عنوان مثال، معادلات و نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسریو معادلات قابل تقلیل به درجه دوم و غیره بدون تجزیه و تحلیل دقیق اصل حل هر یک از مثال های ذکر شده، کلیاتی را که برای حل موفقیت آمیز آنها ضروری است، متذکر می شویم.

در بیشتر موارد، شما باید تعیین کنید که چه نوع وظیفه ای است، دنباله اقداماتی که منجر به هدف می شود را به خاطر بسپارید و این اقدامات را انجام دهید. بدیهی است که موفقیت یا عدم موفقیت دانش آموز در تسلط بر روش های حل معادلات عمدتاً به این بستگی دارد که چقدر بتواند نوع معادله را به درستی تعیین کند و دنباله تمام مراحل حل آن را به خاطر بسپارد. البته، فرض بر این است که دانش آموز مهارت انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان را دارد.

زمانی که دانش آموز با معادلات مثلثاتی مواجه می شود، وضعیت کاملاً متفاوتی رخ می دهد. در عین حال، اثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است دشوار نیست. هنگام یافتن مسیری که منجر به نتیجه مثبت می شود، مشکلات به وجود می آیند. و در اینجا دانش آموز با دو مشکل مواجه می شود. توسط ظاهرتعیین نوع معادلات دشوار است. و بدون اطلاع از نوع، انتخاب فرمول مورد نظر از بین چندین ده موجود تقریبا غیرممکن است.

برای کمک به دانش آموزان برای یافتن راه خود در هزارتوی پیچیده معادلات مثلثاتی، ابتدا با معادلاتی آشنا می شوند که پس از معرفی یک متغیر جدید، معادلات به مربع تقلیل می یابد. سپس معادلات همگن را حل کنید و به آنها تقلیل دهید. همه چیز، به عنوان یک قاعده، با معادلاتی به پایان می رسد، که برای حل آنها باید سمت چپ را فاکتور گرفت، سپس هر یک از عوامل را با صفر برابر کرد.

معلم با درک اینکه یک و نیم دوجین معادله تجزیه و تحلیل شده در درس ها به وضوح کافی نیست تا دانش آموز به طور مستقل روی "دریا" مثلثاتی حرکت کند، چند توصیه دیگر از خود اضافه می کند.

برطرف كردن معادله مثلثاتیشما باید سعی کنید:

تمام توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.

معادله را به "توابع یکسان" بیاورید.

سمت چپ معادله و غیره را فاکتورسازی کنید.

اما علیرغم آگاهی از انواع اصلی معادلات مثلثاتی و چندین اصل برای یافتن جواب آنها، هنوز بسیاری از دانش آموزان در مقابل هر معادله در بن بست قرار می گیرند که کمی با معادلاتی که قبلا حل شده اند متفاوت است. مشخص نیست که با داشتن یک یا آن معادله، برای چه چیزی باید تلاش کرد، چرا در یک مورد لازم است فرمول های زاویه مضاعف، در مورد دیگر - نیم زاویه، و در مورد سوم - فرمول های جمع و غیره اعمال شود.

تعریف 1.معادله مثلثاتی معادله ای است که در آن مجهول تحت علامت توابع مثلثاتی قرار می گیرد.

تعریف 2.به معادله مثلثاتی گفته می شود که دارای زوایای یکسان است اگر همه توابع مثلثاتی موجود در آن آرگومان های مساوی داشته باشند. معادله مثلثاتی اگر فقط یکی از توابع مثلثاتی را داشته باشد، توابع یکسانی دارد.

تعریف 3.درجه یک تک جمله ای حاوی توابع مثلثاتی مجموع توان های توابع مثلثاتی است که در آن گنجانده شده است.

تعریف 4.معادله ای همگن نامیده می شود که همه تک جملات آن دارای درجه یکسانی باشند. به این درجه ترتیب معادله می گویند.

تعریف 5.معادله مثلثاتی که فقط شامل توابع است گناهو cosدر صورتی همگن نامیده می شود که همه تک جمله ها نسبت به توابع مثلثاتی دارای درجه یکسانی باشند و خود توابع مثلثاتی دارای زوایای مساوی باشند و تعداد تک جمله ها 1 بزرگتر از ترتیب معادله باشد.

روش های حل معادلات مثلثاتی.

حل معادلات مثلثاتی شامل دو مرحله است: تبدیل معادله برای به دست آوردن ساده ترین شکل آن و حل ساده ترین معادله مثلثاتی حاصل. هفت روش اساسی برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد.

من. روش جبریاین روش از جبر به خوبی شناخته شده است. (روش جایگزینی و جایگزینی متغیرها).

حل معادلات

بیایید نماد را معرفی کنیم ایکس=2 گناه3 تی، ما گرفتیم

با حل این معادله بدست می آوریم:
یا

آن ها می توان نوشت

هنگام نوشتن راه حل به دست آمده به دلیل وجود علائم درجه
نوشتن فایده ای ندارد

پاسخ:

مشخص کن

یک معادله درجه دوم بدست می آوریم
. ریشه آن اعداد است
و
. بنابراین، این معادله به ساده ترین معادلات مثلثاتی کاهش می یابد
و
. با حل آنها، متوجه می شویم که
یا
.

پاسخ:
;
.

مشخص کن

شرط را برآورده نمی کند

به معنای

پاسخ:

بیایید سمت چپ معادله را تبدیل کنیم:

بنابراین، این معادله اولیه را می توان به صورت زیر نوشت:

، یعنی

دلالت می کند
، ما گرفتیم
با حل این معادله درجه دوم داریم:

شرط را برآورده نمی کند

حل معادله اصلی را می نویسیم:

پاسخ:

تعویض
این معادله را به یک معادله درجه دوم کاهش می دهد
. ریشه آن اعداد است
و
. زیرا
، پس معادله داده شده ریشه ندارد.

پاسخ: بدون ریشه.

II. حل معادلات با استفاده از شرط تساوی توابع مثلثاتی همنام.

آ)
، اگر

ب)
، اگر

که در)
، اگر

با استفاده از این شرایط، حل معادلات زیر را در نظر بگیرید:

با استفاده از آنچه در مورد الف گفته شد، در می یابیم که معادله یک راه حل دارد اگر و فقط اگر
.

با حل این معادله، متوجه می شویم
.

ما دو گروه راه حل داریم:

.

7) معادله را حل کنید:
.

با استفاده از شرط قسمت ب) نتیجه می گیریم که
.

با حل این معادلات درجه دوم به دست می آید:

8) معادله را حل کنید
.

از این معادله استنباط می کنیم که . با حل این معادله درجه دوم، متوجه می شویم که

.

III. فاکتورسازی

این روش را با مثال هایی در نظر می گیریم.

9) معادله را حل کنید
.

راه حل. بیایید تمام عبارت های معادله را به سمت چپ منتقل کنیم: .

عبارت سمت چپ معادله را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:
.

1)
2)

زیرا
و
مقدار را null نگیرید

در همان زمان، سپس هر دو قسمت را جدا می کنیم

معادلات برای
,

پاسخ:

10) معادله را حل کنید:

راه حل.

یا

پاسخ:

11) معادله را حل کنید

راه حل:

1)
2)
3)

پاسخ:

IV. کاهش به یک معادله همگن.

برطرف كردن معادله همگنلازم:

تمام اعضای آن را به سمت چپ حرکت دهید.

همه عوامل رایج را خارج از پرانتز قرار دهید.

همه فاکتورها و براکت ها را با صفر برابر کنید.

پرانتزهای برابر با صفر معادله ای همگن با درجه کمتر به دست می دهند که باید تقسیم بر
(یا
) در مقطع ارشد؛

حل دریافت شد معادله جبریبه طور نسبی
.

نمونه هایی را در نظر بگیرید:

12) معادله را حل کنید:

راه حل.

دو طرف معادله را تقسیم بر
,

معرفی نماد
، نام

ریشه های این معادله عبارتند از:

از اینجا 1)
2)

پاسخ:

13) معادله را حل کنید:

راه حل. با استفاده از فرمول های زاویه دوتایی و هویت مثلثاتی پایه، این معادله را به یک آرگومان نیمه تقلیل می دهیم:

پس از کاهش اصطلاحات مشابه، داریم:

تقسیم آخرین معادله همگن بر
، ما گرفتیم

من تعیین خواهم کرد
، معادله درجه دوم را بدست می آوریم
، که ریشه آن اعداد است

به این ترتیب

اصطلاح
ناپدید می شود در
، یعنی در
,
.

راه حل ما برای معادله این اعداد را شامل نمی شود.

پاسخ:
, .

V. معرفی یک زاویه کمکی.

معادله ای از فرم را در نظر بگیرید

جایی که الف، ب، ج- ضرایب، ایکس- ناشناس.

دو طرف این معادله را تقسیم بر

حال ضرایب معادله دارای خاصیت سینوس و کسینوس هستند، یعنی: مدول هر کدام از آنها از یک تجاوز نمی کند و مجموع مجذورهای آنها برابر با 1 است.

سپس می توانیم آنها را بر اساس آن برچسب گذاری کنیم
(اینجا - زاویه کمکی) و معادله ما به شکل: .

سپس

و تصمیم او

توجه داشته باشید که نماد معرفی شده قابل تعویض است.

14) معادله را حل کنید:

راه حل. اینجا
، بنابراین هر دو طرف معادله را بر تقسیم می کنیم

پاسخ:

15) معادله را حل کنید

راه حل. زیرا
، پس این معادله معادل معادله است

زیرا
، سپس زاویه ای وجود دارد که
,
(آنها
).

ما داریم

زیرا
، سپس در نهایت دریافت می کنیم:

توجه داشته باشید که یک معادله فرم دارای راه حل اگر و فقط اگر است

16) معادله را حل کنید:

برای حل این معادله، توابع مثلثاتی را با آرگومان های مشابه گروه بندی می کنیم

دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنید

مجموع توابع مثلثاتی را به یک محصول تبدیل می کنیم:

پاسخ:

VI. تبدیل محصول به جمع

فرمول های مربوطه در اینجا استفاده می شود.

17) معادله را حل کنید:

راه حل. بیایید سمت چپ را به جمع تبدیل کنیم:

VII.جایگزینی جهانی

این فرمول ها برای همه صادق است

تعویض
جهانی نامیده می شود.

18) معادله را حل کنید:

راه حل: جایگزین کنید و
به بیان آنها از طریق
و نشان دهند
.

ما گرفتیم معادله منطقی
، که به مربع تبدیل می شود
.

ریشه های این معادله اعداد هستند
.

بنابراین، مسئله به حل دو معادله خلاصه شد
.

ما آن را پیدا می کنیم
.

مشاهده ارزش
معادله اصلی را برآورده نمی کند، که با بررسی - جایگزینی مقدار داده شده تأیید می شود تیبه معادله اصلی

پاسخ:
.

اظهار نظر. معادله 18 را می توان به روش دیگری حل کرد.

دو طرف این معادله را بر 5 تقسیم کنید (یعنی بر
):
.

زیرا
، سپس یک عدد وجود دارد
، چی
و
. بنابراین معادله تبدیل می شود:
یا
. از اینجا متوجه می شویم که
جایی که
.

19) معادله را حل کنید
.

راه حل. از آنجایی که توابع
و
دارند بالاترین ارزشبرابر 1 است، سپس مجموع آنها برابر 2 است اگر
و
، در عین حال، یعنی
.

پاسخ:
.

هنگام حل این معادله از مرزبندی توابع و استفاده شد.

نتیجه.

با کار بر روی موضوع "حل معادلات مثلثاتی"، برای هر معلم مفید است که توصیه های زیر را دنبال کند:

روش های حل معادلات مثلثاتی را سیستماتیک کنید.

مراحل انجام تجزیه و تحلیل معادله و نشانه های مصلحت استفاده از یک یا آن روش حل را برای خود انتخاب کنید.

فکر کردن به راههای خودکنترلی فعالیت در اجرای روش.

یاد بگیرید که معادلات "خود" را برای هر یک از روش های مورد مطالعه بسازید.

برنامه شماره 1

معادلات همگن یا تقلیل پذیر را حل کنید.

1.	هرزه.
	هرزه.

	هرزه.
5.	هرزه.
	هرزه.
7.	هرزه.
	هرزه.

حل ساده ترین معادلات مثلثاتی

حل معادلات مثلثاتی با هر سطح از پیچیدگی در نهایت به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی ختم می شود. و در این، دایره مثلثاتی دوباره بهترین کمک کننده است.

تعاریف کسینوس و سینوس را به یاد بیاورید.

کسینوس یک زاویه، آبسیسا (یعنی مختصات در امتداد محور) یک نقطه روی دایره واحد مربوط به چرخش در یک زاویه معین است.

سینوس یک زاویه مختصات (یعنی مختصات در امتداد محور) یک نقطه از دایره واحد مربوط به چرخش با یک زاویه معین است.

جهت مثبت حرکت در امتداد دایره مثلثاتی حرکت در خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود. چرخش 0 درجه (یا 0 رادیان) مربوط به نقطه ای با مختصات (1; 0) است.

ما از این تعاریف برای حل ساده ترین معادلات مثلثاتی استفاده می کنیم.

1. معادله را حل کنید

این معادله با تمام مقادیر زاویه چرخش که با نقاط دایره مطابقت دارد که ترتیب آنها برابر است برآورده می شود.

بیایید نقطه ای را با ارتجاع روی محور y مشخص کنیم:

خرج کنیم خط افقیبه موازات محور x تا زمانی که با دایره قطع شود. با قرار گرفتن روی یک دایره و داشتن یک ترتیب، دو نقطه به دست خواهیم آورد. این نقاط با زاویه چرخش و رادیان مطابقت دارند:

اگر نقطه مربوط به زاویه چرخش بر رادیان را ترک کرده باشیم، دور یک دایره کامل بچرخیم، به نقطه ای می رسیم که با زاویه چرخش در هر رادیان مطابقت دارد و دارای همان مختصات است. یعنی این زاویه چرخش معادله ما را نیز برآورده می کند. ما می توانیم هر تعداد که دوست داریم چرخش "بیکار" انجام دهیم و به همان نقطه برگردیم و همه این مقادیر زاویه معادله ما را برآورده می کند. تعداد دورهای "بیکار" با حرف (یا) نشان داده می شود. از آنجایی که می‌توانیم این انقلاب‌ها را در دو جهت مثبت و منفی انجام دهیم، (یا ) می‌توانیم هر مقدار صحیحی را به خود بگیرد.

یعنی اولین سری از راه حل های معادله اصلی به شکل زیر است:

, , - مجموعه اعداد صحیح (1)

به طور مشابه، سری دوم راه حل ها به شکل زیر است:

، جایی که ، . (2)

همانطور که حدس زدید، این سری از راه حل ها بر اساس نقطه دایره مربوط به زاویه چرخش با .

این دو سری راه حل را می توان در یک ورودی ترکیب کرد:

اگر این ورودی (یعنی زوج) را در نظر بگیریم، اولین سری از راه حل ها را دریافت خواهیم کرد.

اگر این ورودی (یعنی فرد) را در نظر بگیریم، سری دوم راه حل ها را به دست خواهیم آورد.

2. حالا بیایید معادله را حل کنیم

از آنجایی که ابسیسا نقطه واحد دایره با چرخش زاویه به دست می آید، نقطه ای را با ابسیسا روی محور مشخص می کنیم:

یک خط عمودی به موازات محور بکشید تا زمانی که با دایره قطع شود. ما دو نقطه دراز کشیدن روی یک دایره و داشتن یک آبسیسا به دست خواهیم آورد. این نقاط با زوایای چرخش و رادیان مطابقت دارند. به یاد بیاورید که هنگام حرکت در جهت عقربه های ساعت، زاویه چرخش منفی دریافت می کنیم:

ما دو سری راه حل را می نویسیم:

(با عبور از دایره کامل اصلی به نقطه درست میرسیم.

بیایید این دو سریال را در یک پست ترکیب کنیم:

3. معادله را حل کنید

خط مماس از نقطه ای با مختصات (1,0) دایره واحد موازی با محور OY می گذرد.

یک نقطه روی آن را با ترتیبی برابر با 1 مشخص کنید (به دنبال مماس آن هستیم که زاویه آن 1 است):

این نقطه را با یک خط مستقیم به مبدا وصل کنید و نقاط تلاقی خط را با دایره واحد مشخص کنید. نقاط تقاطع خط و دایره مطابق با زوایای چرخش روی و:

از آنجایی که نقاط مربوط به زوایای چرخشی که معادله ما را برآورده می کنند، از هم فاصله دارند، می توانیم جواب را به صورت زیر بنویسیم:

4. معادله را حل کنید

خط کوتانژانت ها از نقطه ای می گذرد که مختصات دایره واحد موازی با محور است.

نقطه ای را با آبسیسا -1 روی خط کوتانژانت ها مشخص می کنیم:

این نقطه را به مبدا خط مستقیم وصل کنید و آن را تا زمانی که با دایره قطع شود ادامه دهید. این خط دایره را در نقاط مربوط به زوایای چرخش و رادیان قطع می کند:

از آنجایی که این نقاط با فاصله ای برابر از یکدیگر جدا می شوند، پس تصمیم مشترکمی توانیم این معادله را به صورت زیر بنویسیم:

در مثال های داده شده، برای نشان دادن حل ساده ترین معادلات مثلثاتی، از مقادیر جدولی توابع مثلثاتی استفاده شده است.

با این حال، اگر یک مقدار غیر جدولی در سمت راست معادله وجود داشته باشد، آنگاه مقدار را در جواب کلی معادله جایگزین می کنیم:

راه حل های ویژه:

نقاط روی دایره ای که مختصات آن 0 است علامت بزنید:

یک نقطه از دایره را مشخص کنید که ترتیب آن برابر با 1 است:

یک نقطه از دایره را مشخص کنید که ترتیب آن برابر با 1- است:

از آنجایی که مرسوم است که مقادیر نزدیک به صفر را نشان دهیم، راه حل را به صورت زیر می نویسیم:

نقاط دایره ای را که ابسیسا 0 است علامت بزنید:

5.
بیایید یک نقطه از دایره را که ابسیسا برابر با 1 است مشخص کنیم:

یک نقطه از دایره را علامت بزنید که ابسیسا برابر با 1- است:

و چند مثال پیچیده تر:

سینوس یکی است اگر استدلال باشد

استدلال سینوس ما این است، پس به دست می آوریم:

دو طرف معادله را بر 3 تقسیم کنید:

پاسخ:

اگر آرگومان کسینوس باشد، کسینوس صفر است

استدلال کسینوس ما این است، پس به دست می آوریم:

بیان می کنیم، برای این ابتدا با علامت مخالف به سمت راست حرکت می کنیم:

سمت راست را ساده کنید:

هر دو قسمت را بر -2 تقسیم کنید:

توجه داشته باشید که علامت قبل از عبارت تغییر نمی کند، زیرا k می تواند هر مقدار صحیح را بگیرد.

پاسخ:

و در خاتمه آموزش تصویری "انتخاب ریشه در معادله مثلثاتی با استفاده از دایره مثلثاتی" را مشاهده کنید.

این گفتگو در مورد حل ساده ترین معادلات مثلثاتی به پایان می رسد. دفعه بعد در مورد نحوه حل صحبت خواهیم کرد.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

معادلات مثلثاتی ساده ترین موضوع نیستند. به طور دردناکی آنها متنوع هستند.) به عنوان مثال، اینها:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

و غیره...

اما این هیولاهای مثلثاتی (و دیگر) دو ویژگی مشترک و اجباری دارند. اول - باور نمی کنید - توابع مثلثاتی در معادلات وجود دارد.) دوم: تمام عبارات با x هستند. در همین توابعو فقط آنجا! اگر x در جایی ظاهر شود خارج از،مثلا، sin2x + 3x = 3،این معادله خواهد بود نوع مختلط. چنین معادلاتی نیاز به رویکرد فردی دارد. در اینجا ما آنها را در نظر نخواهیم گرفت.

معادلات شیطانی را هم در این درس حل نمی کنیم.) در اینجا به آن می پردازیم ساده ترین معادلات مثلثاتیچرا؟ بله، به دلیل این تصمیم هرمعادلات مثلثاتی شامل دو مرحله است. در مرحله اول، معادله شر با تبدیل های مختلف به یک معادله ساده کاهش می یابد. در مورد دوم - این ساده ترین معادله حل می شود. راه دیگری نیست.

بنابراین، اگر در مرحله دوم مشکل دارید، مرحله اول چندان منطقی نیست.)

معادلات مثلثاتی ابتدایی چگونه هستند؟

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

اینجا آ مخفف هر عددی است. هر

به هر حال، در داخل تابع ممکن است یک x خالص نباشد، بلکه نوعی عبارت وجود داشته باشد، مانند:

cos(3x+π /3) = 1/2

و غیره. این زندگی را پیچیده می کند، اما روش حل معادله مثلثاتی را تحت تأثیر قرار نمی دهد.

چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنیم؟

معادلات مثلثاتی را می توان به دو روش حل کرد. راه اول: با استفاده از منطق و دایره مثلثاتی. در اینجا این مسیر را بررسی خواهیم کرد. راه دوم - استفاده از حافظه و فرمول - در درس بعدی بررسی خواهد شد.

راه اول واضح، قابل اعتماد و به سختی فراموش می شود.) برای حل معادلات مثلثاتی، نابرابری ها و انواع مثال های غیر استاندارد مشکل ساز خوب است. منطق قوی تر از حافظه است!

معادلات را با استفاده از دایره مثلثاتی حل می کنیم.

ما منطق ابتدایی و توانایی استفاده از دایره مثلثاتی را شامل می‌شویم. نمیتونی!؟ با این حال... در مثلثات برای شما سخت خواهد بود...) اما مهم نیست. نگاهی به دروس "دایره مثلثاتی ...... چیست؟" و «شمارش زوایا روی دایره مثلثاتی». آنجا همه چیز ساده است. برخلاف کتاب های درسی...)

آه، میدونی!؟ و حتی به "کار عملی با دایره مثلثاتی" مسلط شد!؟ تبریک بپذیرید این موضوع برای شما نزدیک و قابل درک خواهد بود.) چیزی که به خصوص خوشایند است این است که دایره مثلثاتی اهمیتی نمی دهد که کدام معادله را حل کنید. سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت - همه چیز برای او یکسان است. اصل راه حل یکسان است.

بنابراین هر معادله مثلثاتی ابتدایی را می گیریم. حداقل این:

cosx = 0.5

من باید X را پیدا کنم. صحبت کردن به زبان انسانی، شما نیاز دارید زاویه (x) را پیدا کنید که کسینوس آن 0.5 است.

قبلاً چگونه از دایره استفاده می کردیم؟ گوشه ای روی آن کشیدیم. بر حسب درجه یا رادیان. و بلافاصله مشاهده گردید توابع مثلثاتی این زاویه حالا برعکس عمل کنیم. روی دایره و بلافاصله یک کسینوس مساوی 0.5 بکشید خواهیم دید گوشه. فقط نوشتن پاسخ باقی می ماند.) بله، بله!

دایره ای رسم می کنیم و کسینوس را برابر با 0.5 علامت گذاری می کنیم. البته در محور کسینوس. مثل این:

حالا بیایید زاویه ای را که این کسینوس به ما می دهد ترسیم کنیم. ماوس خود را روی تصویر نگه دارید (یا تصویر را در رایانه لوحی لمس کنید)، و دیدنهمین گوشه ایکس.

کسینوس کدام زاویه 0.5 است؟

x \u003d π / 3

cos 60 درجه= cos( π /3) = 0,5

بعضی ها شکاکانه غرغر خواهند کرد، بله... می گویند آیا ارزش این را داشت که دایره را حصار بکشی، وقتی همه چیز روشن است... البته می توانی غرغر کنی...) اما واقعیت این است که این یک اشتباه است. پاسخ. یا بهتر است بگوییم ناکافی است. خبره های دایره می دانند که هنوز یک دسته کامل از زاویه ها وجود دارد که کسینوس برابر با 0.5 را نیز می دهد.

اگر سمت متحرک OA را بچرخانید برای یک چرخش کامل، نقطه A به موقعیت اولیه خود باز می گردد. با کسینوس یکسان برابر با 0.5. آن ها زاویه تغییر خواهد کرد 360 درجه یا 2π رادیان، و کسینوس نیست.زاویه جدید 60° + 360° = 420° نیز راه حلی برای معادله ما خواهد بود، زیرا

چنین انقلاب های کاملشما می توانید مجموعه ای بی نهایت بسازید... و همه این زوایای جدید راه حل هایی برای معادله مثلثاتی ما خواهند بود. و همه آنها باید به نحوی یادداشت شوند. همه.در غیر این صورت، تصمیم در نظر گرفته نمی شود، بله ...)

ریاضیات می تواند این کار را به سادگی و زیبایی انجام دهد. در یک پاسخ کوتاه، یادداشت کنید مجموعه بی نهایتراه حل ها در اینجا به نظر می رسد معادله ما:

x = π /3 + 2π n، n ∈ Z

رمزگشایی خواهم کرد. هنوز بنویس معنی دارزیباتر از کشیدن احمقانه چند حروف مرموز است، درست است؟)

π /3 همان زاویه ای است که ما ارهروی دایره و مشخصمطابق جدول کسینوس

2π یک دور کامل بر حسب رادیان است.

n - این تعداد کامل است، یعنی. کلانقلاب. واضح است که n می تواند 0، 1±، 2±، 3±... و غیره باشد. همانطور که در ورودی کوتاه نشان داده شده است:

n ∈ Z

n متعلق ( ∈ ) به مجموعه اعداد صحیح ( ز ). اتفاقا به جای نامه n می توان از حروف استفاده کرد k، m، t و غیره.

این نماد به این معنی است که شما می توانید هر عدد صحیح را بگیرید n . حداقل -3، حداقل 0، حداقل +55. چه چیزی می خواهید. اگر آن عدد را به پاسخ خود متصل کنید، زاویه خاصی دریافت می کنید که مطمئنا راه حل معادله سخت ما خواهد بود.)

یا به عبارت دیگر x \u003d π / 3 تنها ریشه یک مجموعه نامتناهی است. برای به دست آوردن تمام ریشه های دیگر، کافی است هر تعداد دور کامل را به π / 3 اضافه کنید ( n ) به رادیان. آن ها 2πn رادیان

همه چيز؟ خیر من به طور خاص لذت را گسترش می دهم. برای اینکه بهتر به خاطر بسپاریم.) ما فقط بخشی از پاسخ های معادله خود را دریافت کردیم. این قسمت اول راه حل را به صورت زیر می نویسم:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 1 - نه یک ریشه، یک سری ریشه کامل است که به صورت کوتاه نوشته شده است.

اما زوایای دیگری نیز وجود دارند که کسینوس برابر با 0.5 می دهند!

برگردیم به تصویر خود که با توجه به آن پاسخ را یادداشت کردیم. او آنجاست:

موس را روی تصویر ببرید و دیدنگوشه ای دیگر که همچنین کسینوس 0.5 می دهد.به نظر شما برابر با چه چیزی است؟ مثلث ها هم همینطور... بله! برابر با زاویه است ایکس ، فقط در جهت منفی ترسیم شده است. این گوشه است -ایکس. اما ما قبلا x را محاسبه کرده ایم. π /3 یا 60 درجه بنابراین، می توانیم با خیال راحت بنویسیم:

x 2 \u003d - π / 3

و البته تمام زوایایی که از طریق چرخش کامل به دست می آیند را اضافه می کنیم:

x 2 = - π /3 + 2π n، n ∈ Z

اکنون تمام است.) در یک دایره مثلثاتی، ما اره(البته کی میفهمه)) همهزوایایی که کسینوس برابر با 0.5 می دهند. و این زوایا را به اختصار یادداشت کرد فرم ریاضی. جواب دو سری بی نهایت ریشه است:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n، n ∈ Z

این جواب درست است.

امید، اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتیبا کمک یک دایره قابل درک است. کسینوس (سینوس، مماس، کوتانژانت) را روی دایره علامت گذاری می کنیم معادله داده شدهگوشه های مربوط به آن را بکشید و پاسخ را یادداشت کنید.البته، شما باید بفهمید که ما چه نوع گوشه هایی هستیم ارهروی دایره گاهی اوقات آنقدر واضح نیست. خوب، همانطور که گفتم، منطق در اینجا لازم است.)

به عنوان مثال، بیایید یک معادله مثلثاتی دیگر را تحلیل کنیم:

لطفاً توجه داشته باشید که عدد 0.5 تنها عدد ممکن در معادلات نیست!) نوشتن آن از ریشه و کسر برای من راحت‌تر است.

ما طبق اصل کلی کار می کنیم. یک دایره می کشیم، علامت گذاری می کنیم (البته روی محور سینوس!) 0.5. همه زوایای مربوط به این سینوس را به یکباره رسم می کنیم. ما این تصویر را دریافت می کنیم:

بیایید ابتدا به زاویه بپردازیم. ایکس در سه ماهه اول جدول سینوس ها را به یاد می آوریم و مقدار این زاویه را تعیین می کنیم. موضوع ساده است:

x \u003d π / 6

نوبت های کامل را به یاد می آوریم و با وجدانی آرام، سری اول پاسخ ها را یادداشت می کنیم:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

نیمی از کار انجام شده است. حالا باید تعریف کنیم گوشه دوم...این مشکل تر از کسینوس است، بله... اما منطق ما را نجات خواهد داد! نحوه تعیین زاویه دوم از طریق x؟ بله آسان! مثلث های تصویر یکسان هستند و گوشه قرمز رنگ ایکس برابر با زاویه ایکس . فقط از زاویه π در جهت منفی شمارش می شود. به همین دلیل قرمز است.) و برای پاسخ، به زاویه ای نیاز داریم که به درستی از نیم محور مثبت OX اندازه گیری شود، یعنی. از زاویه 0 درجه

مکان نما را روی تصویر ببرید و همه چیز را ببینید. گوشه اول را برداشتم تا تصویر پیچیده نشود. زاویه مورد علاقه ما (به رنگ سبز کشیده شده) برابر خواهد بود با:

π - x

x ما آن را می دانیم π /6 . بنابراین زاویه دوم به صورت زیر خواهد بود:

π - π /6 = 5π /6

مجدداً اضافه شدن چرخش های کامل را به یاد می آوریم و سری دوم پاسخ ها را می نویسیم:

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

همین. یک پاسخ کامل شامل دو سری ریشه است:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

معادلات با مماس و کتانژانت را می توان با استفاده از همان اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتی به راحتی حل کرد. مگر اینکه بدانید چگونه مماس و کتانژانت را روی یک دایره مثلثاتی رسم کنید.

در مثال های بالا از مقدار جدولی سینوس و کسینوس استفاده کردم: 0.5. آن ها یکی از آن معانی که دانش آموز می داند باید.حالا بیایید توانایی های خود را گسترش دهیم تمام ارزش های دیگرتصمیم بگیر پس تصمیم بگیر!)

بنابراین، فرض کنید باید معادله مثلثاتی زیر را حل کنیم:

این مقدار کسینوس در جداول خلاصهنه ما با خونسردی این واقعیت وحشتناک را نادیده می گیریم. دایره ای رسم می کنیم و روی محور کسینوس 2/3 علامت می زنیم و زوایای مربوطه را می کشیم. ما این عکس را دریافت می کنیم.

ما برای شروع، با زاویه در کوارتر اول درک می کنیم. برای اینکه بدانند x برابر است بلافاصله جواب را یادداشت می کردند! نمی دانیم... شکست!؟ آرام! ریاضیات خودش را در دردسر نمی گذارد! او کسینوس های قوسی را برای این مورد اختراع کرد. نمیدانم؟ بیهوده. پیدا کنید. خیلی ساده تر از آن چیزی است که فکر می کنید. با توجه به این لینک، یک طلسم حیله گر در مورد "توابع مثلثاتی معکوس" وجود ندارد ... در این تاپیک اضافی است.

اگر می دانید، فقط به خود بگویید: "X زاویه ای است که کسینوس آن 2/3 است." و بلافاصله، صرفاً با تعریف آرکوزین، می توانیم بنویسیم:

ما در مورد چرخش های اضافی به یاد می آوریم و با آرامش اولین سری از ریشه های معادله مثلثاتی خود را یادداشت می کنیم:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

سری دوم ریشه ها نیز تقریبا به صورت خودکار، برای زاویه دوم نوشته می شود. همه چیز یکسان است، فقط x (arccos 2/3) با منهای خواهد بود:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

و همه چیز! این جواب درست است. حتی ساده تر از مقادیر جدولی. لازم نیست چیزی را به خاطر بسپارید.) به هر حال، بیشترین توجه متوجه خواهد شد که این تصویر با راه حل از طریق کسینوس قوس اساساً با تصویر معادله cosx = 0.5 تفاوتی ندارد.

دقیقا! اصل کلی بر آن و کلی! من به طور خاص دو تصویر تقریباً یکسان کشیدم. دایره زاویه را به ما نشان می دهد ایکس توسط کسینوس آن این یک کسینوس جدولی است یا نه - دایره نمی داند. این چه نوع زاویه است، π / 3، یا اینکه چه نوع کسینوس قوس به ما بستگی دارد که تصمیم بگیریم.

با یک سینوس همان آهنگ. مثلا:

دوباره یک دایره می کشیم، سینوس را برابر با 1/3 علامت گذاری می کنیم، گوشه ها را می کشیم. این عکس معلوم می شود:

و دوباره تصویر تقریباً مشابه معادله است sinx = 0.5.باز هم در کوارتر اول از کرنر شروع می کنیم. اگر سینوس آن 1/3 باشد x برابر با چه مقدار است؟ مشکلی نیست!

بنابراین اولین بسته ریشه آماده است:

x 1 = آرکسین 1/3 + 2π n، n ∈ Z

بیایید نگاهی به زاویه دوم بیندازیم. در مثال با مقدار جدول 0.5 برابر بود با:

π - x

بنابراین اینجا دقیقاً همینطور خواهد بود! فقط x متفاوت است، arcsin 1/3. پس چی!؟ می توانید با خیال راحت بسته دوم ریشه ها را بنویسید:

x 2 = π - آرکسین 1/3 + 2π n، n ∈ Z

این یک پاسخ کاملا صحیح است. اگرچه چندان آشنا به نظر نمی رسد. اما قابل درک است، امیدوارم.)

به این ترتیب معادلات مثلثاتی با استفاده از دایره حل می شوند. این مسیر روشن و قابل درک است. این اوست که در معادلات مثلثاتی با انتخاب ریشه ها در یک بازه معین، در نابرابری های مثلثاتی صرفه جویی می کند - آنها معمولاً تقریباً همیشه در یک دایره حل می شوند. به طور خلاصه، در هر کاری که کمی پیچیده تر از کارهای استاندارد است.

عملی کردن دانش؟

حل معادلات مثلثاتی:

در ابتدا ساده تر است، مستقیماً در این درس.

الان سخت تره

نکته: در اینجا باید به دایره فکر کنید. شخصا.)

و اکنون ظاهراً بی تکلف ... آنها نیز موارد خاص نامیده می شوند.

سینکس = 0

سینکس = 1

cosx = 0

cosx = -1

نکته: در اینجا باید در یک دایره بفهمید که کجا دو سری پاسخ وجود دارد، و کجا یک ... و چگونه به جای دو سری پاسخ، یکی را یادداشت کنید. بله، به طوری که حتی یک ریشه از تعداد نامتناهی گم نمی شود!)

خوب، کاملا ساده):

سینکس = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

نکته: در اینجا باید بدانید که آرکسین، آرکوزین چیست؟ مماس قوس، مماس قوس چیست؟ ساده ترین تعاریف اما نیازی نیست مقادیر جدولی را به خاطر بسپارید!)

پاسخ ها البته به هم ریخته است:

x 1= arcsin0،3 + 2πn، n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. دوباره درس را بخوانید. فقط متفکرانه(همچین چیزی وجود دارد کلمه منسوخ...) و لینک ها را دنبال کنید. لینک های اصلی در مورد دایره هستند. بدون آن در مثلثات - چگونه از جاده با چشم بسته عبور کنیم. گاهی اوقات کار می کند.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

درس و ارائه با موضوع: "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین "Integral" برای درجه 10 از 1C
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف تعاملی برای ساخت و ساز در فضا
محیط نرم افزار "1C: Mathematical constructor 6.1"

چه چیزی را مطالعه خواهیم کرد:
1. معادلات مثلثاتی چیست؟

3. دو روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی.
4. معادلات مثلثاتی همگن.
5. مثال ها.

معادلات مثلثاتی چیست؟

بچه ها، ما قبلاً آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت را مطالعه کرده ایم. حال بیایید به طور کلی معادلات مثلثاتی را بررسی کنیم.

معادلات مثلثاتی - معادلاتی که در آنها متغیر تحت علامت تابع مثلثاتی قرار می گیرد.

شکل حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را تکرار می کنیم:

1) اگر |а|≤ 1 باشد، معادله cos(x) = a یک راه حل دارد:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) اگر |а|≤ 1 باشد، معادله sin(x) = a یک راه حل دارد:

3) اگر |a| > 1، سپس معادله sin(x) = a و cos(x) = a هیچ راه حلی ندارند 4) معادله tg(x)=a یک راه حل دارد: x=arctg(a)+ πk

5) معادله ctg(x)=a یک راه حل دارد: x=arcctg(a)+ πk

برای همه فرمول ها، k یک عدد صحیح است

ساده ترین معادلات مثلثاتی به شکل: Т(kx+m)=a، T- هر تابع مثلثاتی است.

مثال.

حل معادلات: الف) sin(3x)= √3/2

راه حل:

الف) 3x=t را نشان می دهیم، سپس معادله خود را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

راه حل این معادله خواهد بود: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

از جدول مقادیر بدست می آوریم: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

بیایید به متغیر خود برگردیم: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn،

سپس x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

پاسخ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، که در آن n یک عدد صحیح است. (-1)^n - منهای یک به توان n.

نمونه های بیشتری از معادلات مثلثاتی.

معادلات را حل کنید: الف) cos(x/5)=1 ب) tg(3x- π/3)= √3

راه حل:

الف) این بار مستقیماً به محاسبه ریشه های معادله می رویم:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. سپس x/5= πk => x=5πk

پاسخ: x=5πk که k یک عدد صحیح است.

ب) به شکل می نویسیم: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. می دانیم که: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

پاسخ: x=2π/9 + πk/3 که k یک عدد صحیح است.

حل معادلات: cos(4x)= √2/2. و تمام ریشه ها را در بخش پیدا کنید.

راه حل:

در آن تصمیم خواهیم گرفت نمای کلیمعادله ما: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

حالا بیایید ببینیم چه ریشه هایی در بخش ما می افتد. برای k برای k=0، x= π/16، ما در بخش داده شده هستیم.
با k=1 x= π/16+ π/2=9π/16 دوباره ضربه می زنند.
برای k=2، x= π/16+ π=17π/16، اما در اینجا ما ضربه ای نزدیم، به این معنی که برای k بزرگ هم نخواهیم زد.

پاسخ: x= π/16، x= 9π/16

دو روش اصلی راه حل

ما ساده ترین معادلات مثلثاتی را در نظر گرفته ایم، اما معادلات پیچیده تری نیز وجود دارد. برای حل آنها از روش معرفی متغیر جدید و روش فاکتورسازی استفاده می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

بیایید معادله را حل کنیم:

راه حل:
برای حل معادله خود از روش معرفی یک متغیر جدید استفاده می کنیم که نشان داده می شود: t=tg(x).

در نتیجه جایگزینی، به دست می آوریم: t 2 + 2t -1 = 0

بیایید ریشه ها را پیدا کنیم معادله درجه دوم: t=-1 و t=1/3

سپس tg(x)=-1 و tg(x)=1/3، ساده ترین معادله مثلثاتی را بدست آوردیم، بیایید ریشه های آن را پیدا کنیم.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

پاسخ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

نمونه ای از حل معادله

حل معادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

راه حل:

بیایید از هویت استفاده کنیم: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

معادله ما می شود: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

بیایید جایگزین t=cos(x) را معرفی کنیم: 2t 2 -3t - 2 = 0

راه حل معادله درجه دوم ما ریشه ها هستند: t=2 و t=-1/2

سپس cos(x)=2 و cos(x)=-1/2.

زیرا کسینوس نمی تواند مقادیر بیشتر از یک بگیرد، پس cos(x)=2 ریشه ندارد.

برای cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

پاسخ: x= ±2π/3 + 2πk

معادلات مثلثاتی همگن.

تعریف: معادله ای به شکل a sin(x)+b cos(x) معادلات مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شوند.

معادلات فرم

معادلات مثلثاتی همگن درجه دوم

برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول، آن را بر cos(x) تقسیم می کنیم: اگر برابر با صفر باشد، تقسیم بر کسینوس غیرممکن است، بیایید مطمئن شویم که اینطور نیست:
اجازه دهید cos(x)=0، سپس asin(x)+0=0 => sin(x)=0، اما سینوس و کسینوس همزمان با صفر برابر نیستند، یک تناقض دریافت کردیم، بنابراین می‌توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم. با صفر

معادله را حل کنید:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

راه حل:

فاکتور مشترک را حذف کنید: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

سپس باید دو معادله را حل کنیم:

cos(x)=0 و cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 برای x= π/2 + πk;

معادله cos(x)+sin(x)=0 را در نظر بگیرید معادله ما را بر cos(x) تقسیم کنید:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

پاسخ: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

چگونه معادلات مثلثاتی همگن درجه دو را حل کنیم؟
بچه ها، همیشه به این قوانین پایبند باشید!

1. ببینید ضریب a برابر با چه چیزی است، اگر a \u003d 0 باشد، معادله ما به شکل cos (x) (bsin (x) + ccos (x) خواهد بود که نمونه ای از حل آن در حالت قبلی است. اسلاید

2. اگر a≠0، پس باید هر دو بخش معادله را بر مجذور کسینوس تقسیم کنید، به دست می‌آید:

با تغییر متغیر t=tg(x) معادله بدست می آید: