یک معادله منطقی کسری را به صورت آنلاین حل کنید. سیستم معادلات چگونه حل می شود؟ روش های حل سیستم معادلات
ما دو نوع سیستم حل معادلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:
1. حل سیستم به روش جایگزینی.
2. حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم.
به منظور حل سیستم معادلات روش تعویضشما باید یک الگوریتم ساده را دنبال کنید:
1. بیان می کنیم. از هر معادله ای یک متغیر را بیان می کنیم.
2. جایگزین. به جای متغیر بیان شده، مقدار حاصل را در معادله دیگری جایگزین می کنیم.
3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل می کنیم. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.
برطرف كردن سیستم با جمع ترم به ترم (تفریق)نیاز داشتن:
1. متغیری را انتخاب کنید که برای آن ضرایب یکسانی ایجاد کنیم.
2. معادلات را جمع یا کم می کنیم، در نتیجه معادله ای با یک متغیر به دست می آید.
3. معادله خطی حاصل را حل می کنیم. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.
راه حل سیستم، نقاط تقاطع نمودارهای تابع است.
اجازه دهید راه حل سیستم ها را با استفاده از مثال ها با جزئیات در نظر بگیریم.
مثال شماره 1:
بیایید با روش جایگزینی حل کنیم
حل سیستم معادلات به روش جایگزینی2x+5y=1 (1 معادله)
x-10y=3 (معادله دوم)
1. بیان کنید
مشاهده می شود که در معادله دوم یک متغیر x با ضریب 1 وجود دارد، بنابراین مشخص می شود که بیان متغیر x از معادله دوم ساده ترین است.
x=3+10y
2. پس از بیان، به جای متغیر x، 3 + 10y را در معادله اول جایگزین می کنیم.
2(3+10y)+5y=1
3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل می کنیم.
2(3+10y)+5y=1 (پرانتز باز)
6 + 20 سال + 5 سال = 1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
راه حل سیستم معادله، نقاط تلاقی نمودارها است، بنابراین باید x و y را پیدا کنیم، زیرا نقطه تقاطع از x و y تشکیل شده است، بیایید x را پیدا کنیم، در اولین پاراگراف که بیان کردیم، y را در آنجا جایگزین می کنیم.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
مرسوم است که در مرحله اول امتیاز می نویسیم، متغیر x و در مرحله دوم متغیر y.
پاسخ: (1؛ -0.2)
مثال شماره 2:
بیایید با جمع ترم (تفریق) حل کنیم.
حل سیستم معادلات با روش جمع3x-2y=1 (1 معادله)
2x-3y=-10 (معادله دوم)
1. یک متغیر را انتخاب کنید، فرض کنید x را انتخاب می کنیم. در معادله اول، متغیر x دارای ضریب 3 است، در دومی - 2. ما باید ضرایب را یکسان کنیم، برای این ما حق داریم معادلات را ضرب کنیم یا بر هر عددی تقسیم کنیم. معادله اول را در 2 و دومی را در 3 ضرب می کنیم و ضریب کل 6 به دست می آید.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. از معادله اول، دومی را کم کنید تا از شر متغیر x خلاص شوید. معادله خطی را حل کنید.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. x را پیدا کنید. y یافت شده را در هر یک از معادلات، مثلاً در معادله اول، جایگزین می کنیم.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
نقطه تقاطع x=4.6 خواهد بود. y=6.4
پاسخ: (4.6؛ 6.4)
آیا می خواهید برای امتحانات به صورت رایگان آماده شوید؟ معلم آنلاین رایگان است. شوخی نکن.
I. ax 2 \u003d 0 – ناقص معادله درجه دوم (b=0، c=0 ). راه حل: x=0. پاسخ: 0.
حل معادلات
2x·(x+3)=6x-x 2 .
راه حل.براکت ها را با ضرب باز کنید 2 برابربرای هر ترم داخل پرانتز:
2x2 +6x=6x-x2 ; انتقال عبارت ها از سمت راست به سمت چپ:
2x2 +6x-6x+x2=0; در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
3x 2 = 0، بنابراین x=0.
پاسخ: 0.
II. ax2+bx=0 –ناقص معادله درجه دوم (s=0 ). راه حل: x (ax+b)=0 → x 1 =0 یا ax+b=0 → x 2 =-b/a. پاسخ: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
راه حل.عامل مشترک را حذف کنید ایکسبرای براکت:
x(5x-26)=0; هر عامل می تواند صفر باشد:
x=0یا 5x-26=0← 5x=26، دو طرف تساوی را بر تقسیم کنید 5 و دریافت می کنیم: x \u003d 5.2.
پاسخ: 0; 5,2.
مثال 3 64x+4x2=0.
راه حل.عامل مشترک را حذف کنید 4 برابربرای براکت:
4x(16+x)=0. ما سه عامل داریم، 4≠0، بنابراین، یا x=0یا 16+x=0. از آخرین برابری x=-16 بدست می آوریم.
پاسخ: -16; 0.
مثال 4(x-3) 2 +5x=9.
راه حل.با اعمال فرمول مربع اختلاف دو عبارت، پرانتزها را باز کنید:
x 2 -6x+9+5x=9; تبدیل به شکل: x 2 -6x+9+5x-9=0; در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
x2-x=0; تحمل کن ایکسخارج از پرانتز، دریافت می کنیم: x (x-1)=0. از اینجا یا x=0یا x-1=0→ x=1.
پاسخ: 0; 1.
III. ax2+c=0 –ناقص معادله درجه دوم (b=0 ) راه حل: تبر 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
اگر یک (-c/a)<0 ، پس هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. اگر یک (-s/a)>0
مثال 5 x 2 -49=0.
راه حل.
x 2 \u003d 49، از اینجا x=±7. پاسخ:-7; 7.
مثال 6 9x2-4=0.
راه حل.
اغلب شما نیاز دارید که مجموع مربع ها (x 1 2 + x 2 2) یا مجموع مکعب ها (x 1 3 + x 2 3) از ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید، در موارد کمتر - مجموع متقابل های مجذورات ریشه یا مجموع محاسبات ریشه های مربعاز ریشه های معادله درجه دوم:
قضیه ویتا می تواند در این مورد کمک کند:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
بیان از طریق پو q:
1) مجموع مجذورات ریشه های معادله x2+px+q=0;
2) مجموع مکعب های ریشه های معادله x2+px+q=0.
راه حل.
1) اصطلاح x 1 2 + x 2 2از دو طرف معادله بدست می آید x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; پرانتزها را باز کنید: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; مقدار مورد نظر را بیان می کنیم: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. ما یک معادله مفید داریم: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) اصطلاح x 1 3 + x 2 3با فرمول مجموع مکعب ها به شکل زیر نمایش دهید:
(x 1 3 + x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = - p (p 2 -2q-q) = - p (p 2 -3q ).
یک معادله مفید دیگر: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
مثال ها.
3) x 2 -3x-4=0.بدون حل معادله، مقدار عبارت را محاسبه کنید x 1 2 + x 2 2.
راه حل.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3،و کار x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dدر مثال 1) برابری:
x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.ما داریم -پ=x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. سپس x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
پاسخ: x 1 2 + x 2 2 = 17.
4) x 2 -2x-4=0.محاسبه کنید: x 1 3 + x 2 3 .
راه حل.
بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه های این معادله درجه دوم کاهش یافته است x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2،و کار x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-چهار اجازه دهید آنچه را که به دست آورده ایم اعمال کنیم ( در مثال 2) برابری: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
پاسخ: x 1 3 + x 2 3 = 32.
سوال: اگر یک معادله درجه دوم غیر کاهش یافته به ما داده شود چه؟ پاسخ: همیشه می توان آن را با تقسیم جمله بر جمله بر ضریب اول "کاهش" داد.
5) 2x2 -5x-7=0.بدون حل، محاسبه کنید: x 1 2 + x 2 2.
راه حل.به ما یک معادله درجه دوم کامل داده می شود. دو طرف معادله را بر 2 (ضریب اول) تقسیم کنید و معادله درجه دوم زیر را بدست آورید: x 2 -2.5x-3.5 \u003d 0.
بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه ها برابر است 2,5 ; محصول ریشه است -3,5 .
ما به همان روش به عنوان مثال حل می کنیم 3) با استفاده از برابری: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
پاسخ: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0.پیدا کردن:
اجازه دهید این برابری را تغییر دهیم و با جایگزین کردن مجموع ریشه ها بر اساس قضیه ویتا، -پ، و محصول ریشه از طریق q، فرمول مفید دیگری بدست می آوریم. هنگام استخراج فرمول، از برابری 1 استفاده کردیم: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
در مثال ما x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. این مقادیر را در فرمول به دست آمده جایگزین کنید:
7) x 2 -13x+36=0.پیدا کردن:
بیایید این مجموع را تبدیل کنیم و فرمولی به دست آوریم که با آن می توان مجموع ریشه های مربع حسابی را از ریشه های یک معادله درجه دوم پیدا کرد.
ما داریم x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. این مقادیر را با فرمول مشتق شده جایگزین کنید:
مشاوره : همیشه امکان یافتن ریشه یک معادله درجه دوم را به روش مناسب بررسی کنید، زیرا 4 بررسی شده فرمول های مفیدبه شما این امکان را می دهد که اول از همه در مواردی که متمایز کننده یک عدد "ناخوشایند" است، کار را به سرعت انجام دهید. در همه موارد ساده، ریشه ها را پیدا کنید و آنها را عمل کنید. به عنوان مثال، در آخرین مثال، ریشه ها را با استفاده از قضیه Vieta انتخاب می کنیم: مجموع ریشه ها باید برابر باشد. 13 ، و محصول ریشه 36 . این اعداد چیست؟ البته، 4 و 9.حالا مجموع جذر این اعداد را محاسبه کنید: 2+3=5. خودشه!
I. قضیه ویتابرای معادله درجه دوم کاهش یافته.
مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته است x 2 +px+q=0برابر ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
ریشه های معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا بیابید.
مثال 1) x 2 -x-30=0.این معادله درجه دوم کاهش یافته است ( x 2 +px+q=0)، ضریب دوم p=-1، و مدت آزاد q=-30.ابتدا مطمئن شوید که معادله داده شده دارای ریشه است و ریشه ها (در صورت وجود) به صورت اعداد صحیح بیان می شوند. برای این کار کافی است که ممیز مربع کامل یک عدد صحیح باشد.
پیدا کردن ممیز D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
حال، طبق قضیه ویتا، مجموع ریشه ها باید برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته می شود، یعنی. ( -پ، و حاصلضرب برابر با عبارت آزاد است، یعنی. ( q). سپس:
x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.باید چنین دو عدد را طوری انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر باشد -30 ، و مجموع آن است واحد. این اعداد هستند -5 و 6 . پاسخ: -5; 6.
مثال 2) x 2 +6x+8=0.معادله درجه دوم کاهش یافته را با ضریب دوم داریم p=6و عضو رایگان q=8. مطمئن شوید که ریشه های عدد صحیح وجود دارد. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . متمایز D 1 مربع کامل عدد است 1 ، بنابراین ریشه های این معادله اعداد صحیح هستند. ما ریشه ها را با توجه به قضیه Vieta انتخاب می کنیم: مجموع ریشه ها برابر است با –p=-6، و محصول ریشه است q=8. این اعداد هستند -4 و -2 .
در واقع: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. پاسخ: -4; -2.
مثال 3) x 2 +2x-4=0. در این معادله درجه دوم کاهش یافته، ضریب دوم p=2، و مدت آزاد q=-4. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم D1، زیرا ضریب دوم یک عدد زوج است. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. ممیز یک مربع کامل از یک عدد نیست، بنابراین ما این کار را می کنیم نتیجه: ریشه های این معادله اعداد صحیح نیستند و با استفاده از قضیه ویتا نمی توان آنها را یافت.بنابراین، این معادله را طبق فرمول ها (در این مورد، طبق فرمول ها) طبق معمول حل می کنیم. ما گرفتیم:
مثال 4).معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید x 1 \u003d -7، x 2 \u003d 4.
راه حل.معادله مورد نظر به شکل زیر نوشته می شود: x 2 +px+q=0علاوه بر این، بر اساس قضیه Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . سپس معادله به شکل زیر در می آید: x2 +3x-28=0.
مثال 5).یک معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید اگر:
II. قضیه ویتابرای معادله درجه دوم کامل ax2+bx+c=0.
مجموع ریشه ها منهای است بتقسیم بر آ، محصول ریشه است باتقسیم بر آ:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
مثال 6).مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم را بیابید 2x2 -7x-11=0.
راه حل.
ما متقاعد شده ایم که این معادله ریشه خواهد داشت. برای این کار کافی است یک عبارت برای ممیز بنویسید و بدون محاسبه آن فقط دقت کنید که ممیز بزرگتر از صفر باشد. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . و حالا بیایید استفاده کنیم قضیه ویتابرای معادلات درجه دوم کامل
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
مثال 7). حاصل ضرب ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید 3x2 +8x-21=0.
راه حل.
بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم D1از ضریب دوم ( 8 ) یک عدد زوج است. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . معادله درجه دوم دارد 2 ریشه، طبق قضیه Vieta، حاصل ضرب ریشه ها است x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0یک معادله درجه دوم کلی است
ممیز D=b 2 - 4ac.
اگر یک D> 0، پس ما دو ریشه واقعی داریم:
اگر یک D=0، سپس یک ریشه داریم (یا دو ریشه مساوی) x=-b/(2a).
اگر D<0, то действительных корней нет.
مثال 1) 2x2 +5x-3=0.
راه حل. آ=2; ب=5; ج=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 ریشه واقعی
4x2 +21x+5=0.
راه حل. آ=4; ب=21; ج=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 ریشه واقعی
II. ax2+bx+c=0 – معادله درجه دوم ویژه برای یک ثانیه حتی
ضریب ب
مثال 3) 3x2 -10x+3=0.
راه حل. آ=3; ب\u003d -10 (عدد زوج)؛ ج=3.
مثال 4) 5x2-14x-3=0.
راه حل. آ=5; ب= -14 (عدد زوج)؛ ج=-3.
مثال 5) 71x2 +144x+4=0.
راه حل. آ=71; ب= 144 (عدد زوج)؛ ج=4.
مثال 6) 9x 2 -30x+25=0.
راه حل. آ=9; ب\u003d -30 (عدد زوج)؛ ج=25.
III. ax2+bx+c=0 – معادله درجه دوم نوع خصوصی، ارائه شده است: a-b+c=0.
ریشه اول همیشه منهای یک است و ریشه دوم منهای است باتقسیم بر آ:
x 1 \u003d -1، x 2 \u003d - c / a.
مثال 7) 2x2+9x+7=0.
راه حل. آ=2; ب=9; ج=7. بیایید برابری را بررسی کنیم: a-b+c=0.ما گرفتیم: 2-9+7=0 .
سپس x 1 \u003d -1، x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5.پاسخ: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – معادله درجه دوم یک فرم خاص تحت شرایط : a+b+c=0.
ریشه اول همیشه برابر یک و ریشه دوم برابر است باتقسیم بر آ:
x 1 \u003d 1، x 2 \u003d c / a.
مثال 8) 2x2 -9x+7=0.
راه حل. آ=2; ب=-9; ج=7. بیایید برابری را بررسی کنیم: a+b+c=0.ما گرفتیم: 2-9+7=0 .
سپس x 1 \u003d 1، x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5.پاسخ: 1; 3,5.
صفحه 1 از 1 1
ماشین حساب رایگان ارائه شده به شما دارای زرادخانه غنی از امکانات برای محاسبات ریاضی است. این به شما امکان می دهد از ماشین حساب آنلاین استفاده کنید زمینههای مختلففعالیت ها: آموزشی, حرفه ایو تجاری. البته استفاده از ماشین حساب آنلاین از محبوبیت خاصی برخوردار است دانش آموزانو دانش آموزان، انجام محاسبات مختلف را برای آنها بسیار آسان می کند.
در عین حال، ماشین حساب می تواند ابزار مفیدی در برخی از زمینه های کسب و کار و برای افراد باشد. حرفه های مختلف. البته نیاز به استفاده از ماشین حساب در تجارت یا کار در درجه اول با توجه به خود نوع فعالیت تعیین می شود. اگر تجارت و حرفه با محاسبات و محاسبات ثابت همراه باشد، ارزش آن را دارد که یک ماشین حساب الکترونیکی را امتحان کنید و میزان سودمندی آن را برای یک تجارت خاص ارزیابی کنید.
این ماشین حساب آنلاین می تواند
- توابع ریاضی استاندارد نوشته شده در یک خط را به درستی اجرا کنید مانند - 12*3-(7/2) و می‌تواند اعداد بزرگتر از اعداد بزرگ را در یک ماشین‌حساب آنلاین محاسبه کند. ما حتی نمی‌دانیم چگونه با چنین شماره‌ای به درستی تماس بگیریم ( 34 کاراکتر وجود دارد و این به هیچ وجه محدودیت نیست).
- بجز مماس, کسینوس, سینوسیو سایر توابع استاندارد - ماشین حساب از عملیات محاسبه پشتیبانی می کند مماس قوسی, مماس قوسیو دیگران.
- موجود در زرادخانه لگاریتم ها, فاکتوریل هاو سایر ویژگی های جالب
- این ماشین حساب آنلاین می تواند نمودار بسازد!!!
برای رسم نمودارها، این سرویس از یک دکمه مخصوص (گراف خاکستری ترسیم شده است) یا نمایش تحت اللفظی این تابع (Plot) استفاده می کند. برای ساخت یک نمودار در یک ماشین حساب آنلاین، کافی است یک تابع بنویسید: plot(tan(x))،x=-360..360.
ساده ترین نمودار را برای مماس گرفتیم و بعد از نقطه اعشار، محدوده متغیر X را از 360- تا 360 نشان دادیم.
شما می توانید مطلقاً هر تابعی را با هر تعداد متغیر بسازید، به عنوان مثال: نمودار(cos(x)/3z، x=-180..360،z=4)یا حتی پیچیده تر از چیزی که فکرش را بکنید. ما به رفتار متغیر X توجه می کنیم - فاصله از و به با استفاده از دو نقطه نشان داده شده است.
تنها منفی (اگرچه دشوار است که آن را منفی نامید) این ماشین حساب آنلایناین است که او قادر به ساختن کره و غیره نیست فیگورهای سه بعدی- فقط یک هواپیما
نحوه کار با ماشین حساب ریاضی
1. نمایشگر (صفحه ماشین حساب) عبارت وارد شده و نتیجه محاسبه آن را همانطور که روی کاغذ می نویسیم با حروف معمولی نمایش می دهد. این فیلد صرفاً برای مشاهده عملیات جاری است. زمانی که یک عبارت ریاضی را در خط ورودی تایپ می کنید، ورودی روی نمایشگر نمایش داده می شود.
2. فیلد ورودی عبارت برای نوشتن عبارت مورد محاسبه در نظر گرفته شده است. در اینجا لازم به ذکر است که نمادهای ریاضی مورد استفاده در برنامه های کامپیوتری همیشه با نمادهایی که معمولاً روی کاغذ استفاده می کنیم مطابقت ندارند. در نمای کلی هر یک از عملکردهای ماشین حساب، تعیین صحیح یک عملیات خاص و نمونه هایی از محاسبات را در ماشین حساب خواهید یافت. در این صفحه زیر لیستی از تمام عملیات های ممکن در ماشین حساب وجود دارد که همچنین املای صحیح آنها را نشان می دهد.
3. نوار ابزار - اینها دکمه های ماشین حساب هستند که جایگزین ورودی دستی نمادهای ریاضی می شوند که عملیات مربوطه را نشان می دهد. برخی از دکمه‌های ماشین حساب (توابع اضافی، مبدل واحد، حل ماتریس‌ها و معادلات، نمودارها) نوار وظیفه را با فیلدهای جدیدی تکمیل می‌کنند که در آن داده‌های یک محاسبه خاص وارد می‌شود. فیلد "تاریخچه" شامل نمونه هایی از نوشتن عبارات ریاضی و همچنین شش ورودی آخر شما است.
لطفاً توجه داشته باشید که وقتی دکمه‌های فراخوانی توابع اضافی، مبدل مقادیر، حل ماتریس‌ها و معادلات، رسم نمودارها را فشار می‌دهید، کل صفحه ماشین حساب به سمت بالا حرکت می‌کند و بخشی از نمایشگر را می‌پوشاند. فیلدهای مورد نیاز را پر کنید و کلید "I" (که در شکل با رنگ قرمز مشخص شده است) را فشار دهید تا نمایشگر را در اندازه کامل ببینید.
4. صفحه کلید عددی حاوی اعداد و علائم حسابی است. دکمه "C" کل ورودی را در قسمت ورودی عبارت حذف می کند. برای حذف یک به یک کاراکترها، باید از فلش سمت راست خط ورودی استفاده کنید.
سعی کنید همیشه پرانتزها را در انتهای عبارت ببندید. برای اکثر عملیات، این مهم نیست، ماشین حساب آنلاین همه چیز را به درستی محاسبه می کند. با این حال، در برخی موارد خطا ممکن است. به عنوان مثال، هنگام افزایش به توان کسری، براکت های بسته نشده باعث می شود که مخرج کسری در توان به مخرج پایه برود. روی صفحه نمایش، براکت بسته شدن به رنگ خاکستری کم رنگ نشان داده شده است، پس از اتمام ضبط باید بسته شود.
| کلید | نماد | عمل |
|---|---|---|
| پی | پی | پی ثابت |
| ه | ه | شماره اویلر |
| % | % | درصد |
| () | () | باز کردن/بستن براکت ها |
| , | , | کاما |
| گناه | گناه (؟) | سینوس یک زاویه |
| cos | cos(؟) | کسینوس |
| برنزه | قهوهای مایل به زرد (y) | مماس |
| گناه | sinh() | سینوس هایپربولیک |
| پول نقد | cosh() | کسینوس هایپربولیک |
| tanh | tanh() | مماس هایپربولیک |
| گناه-1 | asin() | سینوس معکوس |
| cos-1 | acos() | کسینوس معکوس |
| tan-1 | قهوهای مایل به زرد() | مماس معکوس |
| sinh-1 | asinh() | سینوس هذلولی معکوس |
| cosh-1 | acosh() | کسینوس هذلولی معکوس |
| tanh-1 | atanh() | مماس هذلولی معکوس |
| x2 | ^2 | مربع کردن |
| x 3 | ^3 | مکعب |
| x y | ^ | توانمندی |
| 10 x | 10^() | توان در پایه 10 |
| سابق | exp() | نمایی از عدد اویلر |
| vx | sqrt(x) | ریشه دوم |
| 3vx | sqrt3 (x) | ریشه درجه 3 |
| yvx | مربع (x,y) | استخراج ریشه |
| log 2 x | log2 (x) | لگاریتم باینری |
| ورود به سیستم | ورود به سیستم (x) | لگاریتم اعشاری |
| لوگاریتم | ورود به سیستم (x) | لگاریتم طبیعی |
| log yx | log (x,y) | لگاریتم |
| I / II | به حداقل رساندن / فراخوانی توابع اضافی | |
| واحد | مبدل واحد | |
| ماتریس | ماتریس ها | |
| حل | معادلات و سیستم های معادلات | |
| توطئه | ||
| عملکردهای اضافی (تماس با کلید II) | ||
| مد | مد | تقسیم با باقیمانده |
| ! | ! | فاکتوریل |
| i/j | i/j | واحد خیالی |
| Re | Re() | انتخاب کل قسمت واقعی |
| من هستم | من هستم() | حذف قسمت واقعی |
| |x| | abs() | قدر مطلق یک عدد |
| ارگ | arg() | آرگومان تابع |
| nCr | ncr() | ضریب دو جمله ای |
| gcd | gcd() | GCD |
| lcm | lcm() | NOC |
| مجموع | جمع () | مقدار مجموع همه راه حل ها |
| صورت | factorize() | فاکتورسازی اولیه |
| تفاوت | diff() | تفکیک |
| درجه | درجه | |
| راد | رادیان | |
در این ویدئو، مجموعه کاملی از معادلات خطی را که با استفاده از همان الگوریتم حل می شوند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.
برای شروع، اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک از آنها را باید ساده ترین نامید؟
معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط در درجه اول وجود داشته باشد.
ساده ترین معادله به معنای ساخت است:
تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین آنها کاهش می یابد:
- در صورت وجود، پرانتزها را باز کنید.
- عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
- عبارت های مشابه را در سمت چپ و راست علامت مساوی بیاورید.
- معادله به دست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.
البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی پس از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:
- معادله اصلاً راه حلی ندارد. به عنوان مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ دریافت می کنید، یعنی. در سمت چپ صفر و در سمت راست یک عدد غیر صفر است. در ویدیوی زیر به چند دلیل برای امکان پذیر بودن این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
- راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته باشد. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح
و اکنون بیایید ببینیم که چگونه همه اینها بر روی مثال مشکلات واقعی کار می کند.
نمونه هایی از حل معادلات
امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سروکار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.
چنین سازه هایی تقریباً به همان روش حل می شوند:
- اول از همه، باید پرانتزها را در صورت وجود باز کنید (مانند نمونه آخر ما).
- سپس مشابه بیاورید
- در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - به یک طرف منتقل می شود و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند به طرف دیگر منتقل می شود.
سپس، به عنوان یک قاعده، باید در هر طرف برابری حاصل مشابه بیاورید، و پس از آن فقط تقسیم بر ضریب "x" باقی می ماند و ما پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.
از نظر تئوری، زیبا و ساده به نظر می رسد، اما در عمل، حتی دانش آموزان دبیرستانی با تجربه نیز می توانند اشتباهات توهین آمیز را به نسبت ساده مرتکب شوند. معادلات خطی. معمولاً یا هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام شمارش «مضافات» و «منهای» اشتباه می شود.
علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی نداشته باشد، یا به طوری که راه حل کل خط اعداد باشد، یعنی. هر عددی این ظرافت ها را در درس امروز تحلیل خواهیم کرد. اما همانطور که قبلاً فهمیدید، ما با بیشترین مقدار شروع خواهیم کرد کارهای ساده.
طرحی برای حل معادلات خطی ساده
برای شروع، اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:
- در صورت وجود، پرانتز را باز کنید.
- جدا کردن متغیرها، به عنوان مثال هر چیزی که حاوی "x" باشد به یک طرف و بدون "x" - به طرف دیگر منتقل می شود.
- ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
- همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.
البته این طرح همیشه جواب نمی دهد، ظرافت ها و ترفندهای خاصی دارد و اکنون با آنها آشنا می شویم.
حل مثال های واقعی معادلات خطی ساده
وظیفه شماره 1
در مرحله اول باید براکت ها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را ایزوله کنیم. توجه داشته باشید: ما داریم صحبت می کنیمفقط در مورد شرایط فردی بیا بنویسیم:
ما عبارت‌های مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می‌کنیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
اینجا جواب گرفتیم
وظیفه شماره 2
در این کار، می‌توانیم براکت‌ها را مشاهده کنیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:
هم در سمت چپ و هم در سمت راست، تقریباً یک ساختار را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. متغیرهای sequester:
در اینجا مواردی مانند:
این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.
وظیفه شماره 3
معادله خطی سوم در حال حاضر جالب تر است:
\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]
در اینجا چندین براکت وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، فقط علائم مختلفی در جلوی خود دارند. بیایید آنها را تجزیه کنیم:
ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
بیایید محاسبه کنیم:
اجرا می کنیم آخرین مرحله- همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم کنید:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید
اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می‌خواهم موارد زیر را بگویم:
- همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
- حتی اگر ریشه‌هایی وجود داشته باشد، صفر می‌تواند در میان آنها وارد شود - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.
صفر همان عدد بقیه است، شما نباید به نوعی آن را متمایز کنید یا فرض کنید که اگر صفر دریافت کنید، پس کار اشتباهی انجام داده اید.
ویژگی دیگر مربوط به گسترش پرانتز است. لطفا توجه داشته باشید: وقتی یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علائم را به تغییر می دهیم مقابل. و سپس می توانیم آن را طبق الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست خواهیم آورد.
درک این موضوع واقعیت سادهزمانی که انجام چنین کارهایی بدیهی تلقی می شود، شما را از انجام اشتباهات احمقانه و آزاردهنده در دبیرستان باز می دارد.
حل معادلات خطی پیچیده
بیایید به ادامه مطلب برویم معادلات پیچیده. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، شما نباید از این بترسید، زیرا اگر طبق قصد نویسنده، معادله خطی را حل کنیم، در فرآیند تبدیل، همه یکپارچه های حاوی تابع درجه دوم لزوما کاهش می یابد.
مثال شماره 1
بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:
حالا بیایید حریم خصوصی را در نظر بگیریم:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
در اینجا مواردی مانند:
بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین در پاسخ به صورت زیر می نویسیم:
\[\تنوع \]
یا بدون ریشه
مثال شماره 2
ما همین مراحل را انجام می دهیم. گام اول:
بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:
در اینجا مواردی مانند:
بدیهی است که این معادله خطی هیچ راه حلی ندارد، بنابراین آن را به صورت زیر می نویسیم:
\[\varnothing\]،
یا بدون ریشه
تفاوت های ظریف راه حل
هر دو معادله کاملا حل شده است. در مثال این دو عبارت، ما یک بار دیگر مطمئن شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز می تواند چندان ساده نباشد: می تواند یکی باشد، یا هیچ، یا بی نهایت زیاد. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، در هر دو به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
اما من می خواهم توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب کنم: نحوه کار با براکت ها و نحوه گسترش آنها در صورت وجود علامت منفی در مقابل آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:
قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "x" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب کنید هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب شده است.
و تنها پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توان براکت را از این نظر باز کرد که بعد از آن علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها انجام شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز زیر فقط علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.
همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:
تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. از آنجا که حل معادلات همیشه دنباله ای از تبدیلات ابتدایی است، که در آن ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره حل چنین معادلات ساده ای را یاد می گیرند.
البته، روزی فرا می رسد که این مهارت ها را به سمت خودکارسازی ارتقا دهید. دیگر لازم نیست هر بار این همه تبدیل انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.
حل معادلات خطی حتی پیچیده تر
چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان است.
وظیفه شماره 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:
بیایید عقب نشینی کنیم:
در اینجا مواردی مانند:
بیایید آخرین مرحله را انجام دهیم:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، اما آنها متقابلاً لغو شدند، که باعث می شود معادله دقیقاً خطی باشد، نه مربع.
وظیفه شماره 2
\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]
بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر در براکت اول را در هر عنصر در دومی ضرب کنید. در مجموع، چهار عبارت جدید باید پس از تبدیل به دست آید:
و اکنون ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهید:
بیایید اصطلاحات را با "x" به سمت چپ و بدون - به راست منتقل کنیم:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
ما پاسخ قطعی دریافت کرده ایم.
تفاوت های ظریف راه حل
مهم ترین نکته در مورد این دو معادله این است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی کنیم که در آنها یک جمله بزرگتر از آن وجود دارد، آنگاه این کار مطابق با آن انجام می شود. قانون بعدی: جمله اول را از اولی می گیریم و در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از عنصر دوم ضرب می کنیم. در نتیجه چهار ترم به دست می آید.
در مجموع جبری
با آخرین مثال، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور از 1 تا 7 دلار یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم می کنیم. در جبر، منظور ما از این است که: به عدد "یک" یک عدد دیگر، یعنی "منهای هفت" اضافه می کنیم. این مجموع جبری با مجموع حسابی معمول متفاوت است.
به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، می کنید، به سادگی هنگام کار با چند جمله ای ها و معادلات هیچ مشکلی در جبر نخواهید داشت.
در پایان، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اخیراً به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها، باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.
حل معادلات با کسری
برای حل چنین کارهایی، یک مرحله دیگر باید به الگوریتم ما اضافه شود. اما ابتدا الگوریتم خود را یادآوری می کنم:
- پرانتزها را باز کنید.
- متغیرها را جدا کنید
- مشابه بیاورید
- تقسیم بر یک ضریب.
افسوس که این الگوریتم فوق العاده با همه کارایی که دارد، زمانی که کسری در مقابل خود داریم کاملا مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله یک کسری در سمت چپ و راست داریم.
در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل از اولین اقدام و هم بعد از آن، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین، الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:
- از شر کسری خلاص شوید.
- پرانتزها را باز کنید.
- متغیرها را جدا کنید
- مشابه بیاورید
- تقسیم بر یک ضریب.
منظور از "خلاص شدن از کسری" چیست؟ و چرا هم بعد از اولین مرحله استاندارد و هم قبل از آن می توان این کار را انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها از نظر مخرج عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین، اگر هر دو قسمت معادله را در این عدد ضرب کنیم، از شر کسر خلاص خواهیم شد.
مثال شماره 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]
بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot چهار\]
لطفاً توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که شما دو براکت دارید به این معنی نیست که باید هر یک از آنها را در "چهار" ضرب کنید. بیا بنویسیم:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
حالا بیایید آن را باز کنیم:
ما جداسازی یک متغیر را انجام می دهیم:
ما کاهش شرایط مشابه را انجام می دهیم:
\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
ما جواب نهایی را دریافت کردیم، به معادله دوم می رویم.
مثال شماره 2
\[\frac(\left(1-x \راست)\left(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]
در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
مشکل حل شد.
این در واقع تمام چیزی است که امروز می خواستم بگویم.
امتیاز کلیدی
یافته های کلیدی به شرح زیر است:
- الگوریتم حل معادلات خطی را بدانید.
- قابلیت باز کردن براکت ها
- اگر جایی دارید نگران نباشید توابع درجه دوم، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی، آنها کاهش خواهند یافت.
- ریشه ها در معادلات خطی، حتی ساده ترین آنها، سه نوع هستند: یک ریشه، کل خط اعداد یک ریشه است، اصلاً ریشه وجود ندارد.
امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید، مثال های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!
بارگذاری...