بیایید نحوه ساختن یک بخش از هرم را با استفاده از مثال های خاص بررسی کنیم. از آنجایی که هیچ صفحه موازی در هرم وجود ندارد، ساخت خط تقاطع (ردپای) صفحه برش با صفحه صورت اغلب شامل کشیدن یک خط مستقیم از طریق دو نقطه واقع در صفحه این وجه است.

در ساده ترین مسائل، شما باید بخشی از یک هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط معینی می گذرد که قبلاً روی همان صورت قرار دارند.

مثال.

ساخت بخش هواپیما (MNP)

مثلث MNP - بخش هرم

نقاط M و N در یک صفحه ABS قرار دارند، بنابراین، می‌توانیم یک خط مستقیم از میان آنها رسم کنیم. رد این خط قطعه MN است. قابل مشاهده است، یعنی M و N را با یک خط ثابت به هم وصل می کنیم.

نقاط M و P در یک صفحه ACS قرار دارند، بنابراین یک خط مستقیم از میان آنها می کشیم. Trace یک قطعه MP است. ما آن را نمی بینیم، بنابراین قطعه MP را با یک ضربه ترسیم می کنیم. ما ردیابی PN را به همین ترتیب می سازیم.

Triangle MNP بخش مورد نیاز است.

اگر نقطه ای که می خواهید یک بخش را از طریق آن رسم کنید نه روی یک لبه، بلکه روی یک چهره باشد، آنگاه انتهای قطعه ردیابی نخواهد بود.

مثال. قسمتی از هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط B، M و N می گذرد، جایی که نقاط M و N به ترتیب به وجوه ABS و BCS تعلق دارند.

در اینجا نقاط B و M روی یک صفحه ABS قرار دارند، بنابراین می توانیم یک خط مستقیم از بین آنها رسم کنیم.

به همین ترتیب از نقاط B و P یک خط مستقیم می کشیم. به ترتیب آثار BK و BL را به دست آورده ایم.

نقاط K و L روی یک صفحه ACS قرار دارند، بنابراین می‌توانیم یک خط مستقیم از میان آنها رسم کنیم. ردپای آن قطعه KL است.

مثلث BKL بخش مورد نیاز است.

با این حال، همیشه نمی توان یک خط مستقیم را از طریق داده ها در شرایط نقطه ترسیم کرد. در این مورد، باید نقطه ای را پیدا کنید که روی خط تقاطع صفحات حاوی چهره ها قرار دارد.

مثال. قسمتی از هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط M، N، P می گذرد.

نقاط M و N در یک صفحه ABS قرار دارند، بنابراین می توان یک خط مستقیم از میان آنها رسم کرد. ما رد MN را دریافت می کنیم. به همین ترتیب - NP. هر دو علامت قابل مشاهده هستند، بنابراین آنها را با یک خط ثابت وصل می کنیم.

نقاط M و P در صفحات مختلف قرار دارند. بنابراین، ما نمی توانیم آنها را با یک خط مستقیم وصل کنیم.

بیایید خط مستقیم NP را ادامه دهیم.

در صفحه صورت BCS قرار دارد. NP فقط با خطوطی که در همان صفحه قرار دارند تلاقی می کند. ما سه خط مستقیم داریم: BS، CS و BC. خطوط BS و CS از قبل دارای نقاط تقاطع هستند - اینها فقط N و P هستند. این بدان معنی است که ما به دنبال تقاطع NP با خط BC هستیم.

نقطه تقاطع (بیایید آن را H بنامیم) با ادامه خطوط NP و BC تا تقاطع به دست می آید.

این نقطه H هم به صفحه (BCS) تعلق دارد، زیرا روی خط NP قرار دارد و هم به صفحه (ABC) زیرا روی خط BC قرار دارد.

بنابراین، نقطه دیگری از هواپیمای برش در هواپیما (ABC) را دریافت کردیم.

ما می توانیم یک خط مستقیم از طریق H و یک نقطه M که در همان صفحه قرار دارد رسم کنیم.

ما رد MT را دریافت می کنیم.

T نقطه تلاقی خطوط MH و AC است.

از آنجایی که T متعلق به خط AC است، می‌توانیم خطی از آن و نقطه P بکشیم، زیرا هر دو در یک صفحه قرار دارند (ACS).

MNPT 4 ضلعی بخش مورد نظر هرم توسط صفحه ای است که از نقاط داده شده M,N,P می گذرد.

ما با خط NP کار کردیم و آن را گسترش دادیم تا نقطه تقاطع صفحه برش با صفحه (ABC) را پیدا کنیم. اگر با MN مستقیم کار کنیم به همان نتیجه می رسیم.

ما اینگونه استدلال می کنیم: خط MN در صفحه (ABS) قرار دارد، بنابراین فقط می تواند با خطوطی که در همان صفحه قرار دارند قطع شود. ما سه خط داریم: AB، BS و AS. اما با خطوط مستقیم AB و BS از قبل نقاط تقاطع وجود دارد: M و N.

این بدان معنی است که با گسترش MN، به دنبال نقطه تقاطع آن با خط مستقیم AS هستیم. بیایید این نقطه را R بنامیم.

نقطه R روی خط AS قرار دارد، به این معنی که در صفحه (ACS) که خط AS به آن تعلق دارد نیز قرار دارد.

از آنجایی که نقطه P در صفحه (ACS) قرار دارد، می توانیم یک خط مستقیم از طریق R و P رسم کنیم. ما ردی از PT دریافت می کنیم.

نقطه T در صفحه (ABC) قرار دارد، بنابراین می توانیم یک خط مستقیم از آن بکشیم و نقطه M را نشان دهیم.

بنابراین، ما همان مقطع MNPT را به دست آوردیم.

بیایید نمونه دیگری از این نوع را بررسی کنیم.

قسمتی از هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط M، N، P می گذرد.

یک خط مستقیم از نقاط M و N که در یک صفحه قرار دارند رسم کنید (BCS). ما رد MN (قابل مشاهده) را دریافت می کنیم.

یک خط مستقیم از نقاط N و P که در یک صفحه قرار دارند رسم کنید (ACS). ما یک رد PN (نامرئی) دریافت می کنیم.

ما نمی توانیم از طریق نقاط M و P یک خط مستقیم بکشیم.

1) خط MN در صفحه (BCS) قرار دارد، که در آن سه خط دیگر وجود دارد: BC، SC و SB. خطوط SB و SC از قبل دارای نقاط تقاطع هستند: M و N. بنابراین، ما به دنبال نقطه تقاطع MN با BC هستیم. با ادامه این خطوط به نقطه L می رسیم.

نقطه L متعلق به خط BC است، به این معنی که در صفحه (ABC) قرار دارد. بنابراین، می‌توانیم یک خط مستقیم از طریق L و P رسم کنیم که آن هم در صفحه (ABC) قرار دارد. دنباله او PF است.

F روی خط AB و در نتیجه در صفحه (ABS) قرار دارد. بنابراین از طریق F و نقطه M که در صفحه (ABS) نیز قرار دارد، یک خط مستقیم رسم می کنیم. دنباله او FM است. MNPF چهار ضلعی بخش مورد نیاز است.

2) راه دیگر ادامه مستقیم PN است. در صفحه (ACS) قرار دارد و خطوط AC و CS واقع در این صفحه را در نقاط P و N قطع می کند.

به این معنی که ما به دنبال نقطه تلاقی PN با سومین خط مستقیم این صفحه - با AS هستیم. AS و PN را ادامه می‌دهیم، در تقاطع نقطه E می‌گیریم. از آنجایی که نقطه E روی خط AS که متعلق به صفحه (ABS) است، می‌توانیم یک خط مستقیم از طریق E و نقطه M رسم کنیم که در (ABS) نیز قرار دارد. . دنباله او FM است. نقاط P و F روی صفحه آب قرار دارند (ABC)، یک خط مستقیم از بین آنها بکشید و یک PF (نامرئی) به دست آورید.

هرم شش ضلعی منتظم که توسط یک صفحه بیرون زده از جلو قطع شده است R،در شکل نشان داده شده است. 180.

مانند نمونه های قبلی، برجستگی پیشانی برش با قسمت جلویی منطبق است

خانه Pvسطح. پیش بینی های افقی و نیم رخ یک شکل مقطع با استفاده از نقاطی که نقاط تقاطع صفحه هستند ساخته می شوند. آربا لبه های هرمی

ظاهر واقعی شکل بخش در این مثال با روش ثبت تعیین می شود.

توسعه سطح جانبی یک هرم کوتاه با شکل مقطعی و شکل پایه در شکل نشان داده شده است. 180، ب

ابتدا یک اسکن از یک هرم غیرقطعی ساخته می شود که تمام صورت های مثلثی شکل آن یکسان هستند. یک نقطه در هواپیما علامت بزنید s l(بالای هرم) و از آن، مانند از مرکز، یک کمان دایره با شعاع بکشید. R،برابر با طول واقعی لبه کناری هرم است. طول واقعی لبه را می توان از پیش بینی پروفیل هرم، به عنوان مثال، بخش ها تعیین کرد. s"e"یا s"b"،زیرا این لبه ها موازی با صفحه هستند دبلیوو با طول واقعی روی آن تصویر شده اند. بعد، در امتداد قوس دایره از هر نقطه، به عنوان مثال یک، 1، شش بخش یکسان، برابر با طول واقعی ضلع شش ضلعی - پایه هرم، کنار گذاشته می شود. طول واقعی ضلع قاعده هرم بر روی برآمدگی افقی (قطعه) به دست می آید اب).نکته ها آ 1 ...f 1توسط خطوط مستقیم به راس s 1 متصل می شود. سپس از بالا یک 1در این خطوط مستقیم طول واقعی قطعات لبه تا صفحه برش رسم می شود.

روی پروفیل یک هرم کوتاه طول واقعی فقط دو عدد وجود دارد

تیز - s"5و s"2.طول واقعی قطعات باقیمانده با روش چرخش آنها حول محوری عمود بر صفحه تعیین می شود. نو عبور از راس s. به عنوان مثال، با چرخش قطعه s"6"در مورد محور به موقعیتی موازی با صفحه W،طول واقعی آن را در این صفحه بدست می آوریم. برای انجام این کار، از طریق نقطه کافی است 6" یک خط افقی بکشید تا زمانی که با طول واقعی لبه تلاقی کند S.E.یا SB.بخش خط s"6 0"(شکل 180 را ببینید).

امتیاز دریافت کرد 1 1 2 1 , 3 1 ، و غیره. با خطوط مستقیم وصل کنید و شکل های پایه و مقطع را با استفاده از روش مثلثی وصل کنید. خطوط چین روی توسعه به صورت یک خط خط تیره با دو نقطه ترسیم شده است.

ساخت یک برجستگی ایزومتریک از یک هرم کوتاه با ساخت یک برجستگی ایزومتریک از قاعده هرم با توجه به ابعاد برگرفته از برجستگی افقی نقشه پیچیده آغاز می شود. سپس بر روی صفحه پایه با توجه به مختصات نقاط 1...6 یک طرح افقی از بخش ایجاد کنید (خطوط آبی نازک را در شکل 180 ببینید، الف، ج).از رئوس شش ضلعی حاصل، خطوط مستقیم عمودی ترسیم می شود که روی آن مختصات گرفته شده از پیش بینی های جلویی یا نمایه منشور ترسیم می شود، به عنوان مثال، قطعات K (، K 2، K 3و غیره. امتیاز دریافت کرد 1...6 ما متصل می شویم، یک شکل بخش می گیریم. اتصال نقطه ها 1...6 با رئوس شش ضلعی، قاعده هرم، یک برآمدگی ایزومتریک از هرم بریده به دست می آوریم. لبه های نامرئی با خطوط چین نشان داده شده اند.

نمونه ای از بخش مثلثی هرم منظمصفحه پیش بینی جلویی در شکل نشان داده شده است. 181.

تمام لبه ها در سه صفحه طرح ریزی با اعوجاج به تصویر کشیده شده اند. طرح افقی

پایه نمایانگر ظاهر واقعی آن است، زیرا پایه هرم روی یک صفحه قرار دارد ن.

نمای معتبر 1 0 , 2 0 , 3 0 شکل مقطع با تغییر صفحات طرح ریزی به دست می آید. در این مثال، صفحه طرح افقی نبا صفحه جدیدی که موازی با هواپیما است جایگزین می شود R;محور جدید x 1همراه با ردیابی پی وی(شکل 181، آ).

توسعه سطح هرم به شرح زیر ساخته شده است. با استفاده از روش چرخش، طول واقعی لبه های هرم و بخش های آنها از پایه تا صفحه برش پیدا می شود. آر.

به عنوان مثال، طول واقعی لبه S.C.و بخش آن شمال غربیبه ترتیب برابر با طول برآمدگی جلویی است s"c"لبه ها و قطعه c 1 " 3 1 بعد از نوبت

سپس آنها توسعه یک هرم نامنظم مثلثی را می سازند (شکل 181، ج). برای انجام این کار، از یک نقطه دلخواه اسیک خط مستقیم به گربه بکشید، طول واقعی دنده را علامت بزنید S.A.از نقطه سیک بریدگی با شعاع ایجاد کنید R1،برابر با طول واقعی لبه است SB،و از نقطه یک بریدگی با شعاع R2،برابر با ضلع قاعده هرم است AB،منجر به یک نقطه ب 1و لبه s 1 b 1 a 1 .سپس از نقاط سو ب 1از مرکز، سری هایی با شعاع برابر با طول واقعی لبه درست کنید S.C.و جانبی آفتابلبه را بدست آورید s 1 b 1 s 1اهرام. لبه نیز ساخته شده است s 1 s 1 a 1.

از نقاط a 1 b 1و از 1طول واقعی بخش‌های دنده‌ها را که روی برجستگی جلویی گرفته شده‌اند (بخش‌ها) مشخص کنید a 1 ′1 1′, b 1 ′2 1, s 1 ′3 1). با استفاده از روش مثلث بندی، شکل پایه و مقطع متصل می شود.

برای ساختن یک برجستگی ایزومتریک از یک هرم کوتاه (شکل 181، b)، یک محور ایزومتریک رسم کنید. ایکس.با مختصات تیو پساختن پایه هرم ABC.سمت پایه ACموازی با محور ایکسیا با محور منطبق است ایکس.همانطور که در مثال قبل، یک طرح ایزومتریک از طرح افقی شکل مقطع ساخته شده است 1 2 2 2 3 2 (با استفاده از نقاط I، III و IV). از این نقاط، خطوط مستقیم عمودی ترسیم می شود، که بر روی آنها قطعات برگرفته از نمای جلویی یا نمایه منشور گذاشته می شود. K 1، K 2و K 3.امتیاز دریافت کرد 1 , 2, 3 توسط خطوط مستقیم به یکدیگر و به رئوس قاعده متصل می شوند.

معرفی

وقتی شروع به مطالعه فیگورهای استریومتریک کردیم، موضوع "هرم" را لمس کردیم. ما این موضوع را دوست داشتیم زیرا هرم اغلب در معماری استفاده می شود. و از مال ما حرفه آیندهمعمار، با الهام از این چهره، فکر می کنیم که او می تواند ما را به سمت پروژه های بزرگ سوق دهد.

استحکام سازه های معماری مهمترین کیفیت آنهاست. پیوند استحکام، اولاً با موادی که از آنها ایجاد شده‌اند و ثانیاً با ویژگی‌های راه‌حل‌های طراحی، معلوم می‌شود که استحکام یک سازه مستقیماً با شکل هندسی که برای آن اساسی است مرتبط است.

به عبارت دیگر، ما در مورددر مورد آن شکل هندسی که می توان آن را الگویی از فرم معماری مربوطه در نظر گرفت. به نظر می رسد که شکل هندسی نیز استحکام یک ساختار معماری را تعیین می کند.

از زمان های قدیم، اهرام مصر به عنوان بادوام ترین سازه های معماری در نظر گرفته شده اند. همانطور که می دانید، آنها شکل اهرام چهار گوش منظم دارند.

این شکل هندسی است که به دلیل مساحت پایه بزرگ، بیشترین ثبات را ایجاد می کند. از سوی دیگر، شکل هرم تضمین می کند که با افزایش ارتفاع از سطح زمین، جرم کاهش می یابد. این دو ویژگی است که هرم را در شرایط گرانش پایدار و در نتیجه قوی می کند.

هدف پروژه: چیز جدیدی در مورد اهرام بیاموزید، دانش خود را عمیق تر کنید و کاربرد عملی پیدا کنید.

برای رسیدن به این هدف، حل وظایف زیر ضروری بود:

· اطلاعات تاریخی در مورد هرم بیاموزید

· هرم را به عنوان در نظر بگیرید شکل هندسی

· کاربرد در زندگی و معماری پیدا کنید

· شباهت ها و تفاوت های بین اهرام واقع در آن را بیابید بخش های مختلفسوتا

بخش نظری

اطلاعات تاریخی

آغاز هندسه هرم در مصر باستان و بابل گذاشته شد، اما به طور فعال در سال توسعه یافت. یونان باستان. اولین کسی که حجم هرم را تعیین کرد دموکریتوس بود و ائودوکسوس از کنیدوس آن را ثابت کرد. ریاضیدان یونانی باستان اقلیدس دانش در مورد هرم را در جلد دوازدهم "عناصر" خود سیستماتیک کرد و همچنین اولین تعریف از هرم را به دست آورد: یک شکل جامد محدود شده توسط صفحاتی که از یک صفحه به یک نقطه همگرا می شوند.

مقبره های فراعنه مصر. بزرگترین آنها - اهرام خئوپس، خفره و میکرین در ال جیزه - یکی از عجایب هفتگانه جهان در دوران باستان به حساب می آمدند. ساختن هرم، که در آن یونانیان و رومیان قبلاً بنای یادبودی از غرور بی‌سابقه پادشاهان و ظلم را دیدند که تمام مردم مصر را محکوم به ساخت‌وساز بی‌معنی کرد، مهمترین عمل مذهبی بود و ظاهراً قرار بود بیانگر هویت عرفانی کشور و حاکم آن. جمعیت کشور در بخشی از سال فارغ از کار کشاورزی در ساخت آرامگاه کار می کردند. تعدادی از متون گواهی بر توجه و عنایتی است که خود پادشاهان (البته در زمان های بعد) به ساختن آرامگاه خود و سازندگان آن داشته اند. همچنین در مورد افتخارات فرقه خاصی که به خود هرم داده می شد نیز شناخته شده است.

مفاهیم اساسی

هرمچند ضلعی نامیده می شود که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند.

آپوتم- ارتفاع وجه جانبی یک هرم منظم که از راس آن کشیده شده است.

صورت های جانبی- مثلث ها در یک راس قرار می گیرند.

دنده های کناری- طرف های مشترک وجه های جانبی؛

بالای هرم- نقطه ای که دنده های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.

ارتفاع- یک بخش عمودی که از بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده شده است (انتهای این بخش بالای هرم و قاعده عمود است).

بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب پایه عبور می کند.

پایه- چند ضلعی که به راس هرم تعلق ندارد.

ویژگی های اساسی یک هرم معمولی

لبه های جانبی، وجه های جانبی و آپوتم ها به ترتیب برابر هستند.

زوایای دو وجهی در پایه برابر است.

زوایای دو وجهی در لبه های جانبی برابر است.

هر نقطه ارتفاع از تمام رئوس قاعده فاصله دارد.

هر نقطه ارتفاع از تمام وجوه جانبی به یک اندازه فاصله دارد.

فرمول های اساسی هرم

ناحیه جانبی و سطح کاملاهرام.

مساحت سطح جانبی هرم (کامل و ناقص) مجموع مساحت تمام وجوه جانبی آن است، مساحت سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه آن است.

قضیه: مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم هرم است.

پ- محیط پایه؛

ساعت- فریضه.

مساحت سطوح جانبی و کامل یک هرم ناقص.

ص 1، پ 2 - محیط های پایه؛

ساعت- فریضه.

آر- سطح کل یک هرم منقطع منظم؛

سمت S- مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم؛

S 1 + S 2- مساحت پایه

حجم هرم

فرم حجم ula برای هر نوع هرم استفاده می شود.

اچ- ارتفاع هرم

گوشه های هرم

زوایای تشکیل شده توسط وجه جانبی و قاعده هرم را زوایای دو وجهی در قاعده هرم می گویند.

یک زاویه دو وجهی از دو عمود تشکیل می شود.

برای تعیین این زاویه، اغلب باید از قضیه سه عمود بر هم استفاده کنید.

زوایای تشکیل شده توسط لبه جانبی و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه نامیده می شود زوایای بین لبه جانبی و صفحه پایه.

زاویه تشکیل شده توسط دو لبه جانبی نامیده می شود زاویه دو وجهی در لبه جانبی هرم.

زاویه ای که توسط دو لبه جانبی یک وجه هرم ایجاد می شود نامیده می شود زاویه در بالای هرم.

بخش های هرمی

سطح یک هرم سطح یک چند وجهی است. هر یک از وجوه آن یک صفحه است، بنابراین بخشی از یک هرم که با یک صفحه برش تعریف می شود، یک خط شکسته است که از خطوط مستقیم منفرد تشکیل شده است.

بخش مورب

قسمتی از هرم که توسط صفحه ای که از دو لبه جانبی که روی یک وجه قرار ندارند می گذرد نامیده می شود. بخش مورباهرام.

بخش های موازی

قضیه:

اگر هرم با صفحه ای موازی با قاعده قطع شود، لبه های جانبی و ارتفاعات هرم توسط این صفحه به قسمت های متناسب تقسیم می شود.

بخش این صفحه چند ضلعی شبیه به قاعده است.

مساحت های مقطع و قاعده به عنوان مجذور فاصله آنها از راس به یکدیگر مرتبط هستند.

انواع هرم

هرم درست- هرمی که قاعده آن است چند ضلعی منظم، و بالای هرم به سمت مرکز پایه پیش بینی شده است.

برای یک هرم معمولی:

1. دنده های جانبی برابر هستند

2. صورت های جانبی برابر است

3. آپوتم ها مساوی هستند

4. زوایای دو وجهی در پایه برابر است

5. زوایای دو وجهی در لبه های جانبی برابر است

6. هر نقطه از ارتفاع از تمام رئوس قاعده فاصله دارد

7. هر نقطه ارتفاع از تمام لبه های جانبی فاصله دارد

هرم کوتاه شده- بخشی از هرم که بین پایه آن و صفحه برش موازی با پایه محصور شده است.

قاعده و بخش مربوط به یک هرم بریده شده نامیده می شود پایه های یک هرم کوتاه.

عمودی که از هر نقطه از یک قاعده به صفحه قاعده دیگر کشیده می شود نامیده می شود ارتفاع یک هرم کوتاه

وظایف

شماره 1. در یک هرم چهار گوش منتظم نقطه O مرکز قاعده SO=8 سانتی متر، BD=30 سانتی متر است. لبه جانبی SA را پیدا کنید.

حل مسئله

شماره 1. در یک هرم منظم، تمام وجوه و لبه ها با هم برابرند.

OSB را در نظر بگیرید: OSB یک مستطیل مستطیل شکل است، زیرا.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

هرم در معماری

هرم یک سازه تاریخی به شکل یک منظم معمولی است هرم هندسی، که در آن اضلاع در یک نقطه همگرا می شوند. اهرام با توجه به هدف عملکردی خود، در دوران باستان محل دفن یا عبادت مذهبی بودند. قاعده هرم می تواند به شکل مثلث، چهار گوش یا چند ضلعی با تعداد دلخواه رئوس باشد، اما رایج ترین نسخه، پایه چهار گوش است.

تعداد قابل توجهی از اهرام ساخته شده است فرهنگ های مختلف دنیای باستانعمدتاً به عنوان معابد یا بناهای تاریخی. اهرام بزرگ شامل اهرام مصر است.

در سرتاسر زمین می توانید سازه های معماری را به شکل اهرام مشاهده کنید. ساختمان های هرمی یادآور دوران باستان هستند و بسیار زیبا به نظر می رسند.

اهرام مصربزرگترین بناهای معماری مصر باستانکه یکی از «عجایب هفتگانه جهان» هرم خئوپس است. از پا تا بالا به 137.3 متر می رسد و قبل از اینکه قله را گم کند، ارتفاع آن 146.7 متر بوده است.

ساختمان ایستگاه رادیویی در پایتخت اسلواکی، شبیه یک هرم وارونه، در سال 1983 ساخته شد. علاوه بر دفاتر و اماکن خدماتی، داخل حجم نسبتاً بزرگی وجود دارد. سالن کنسرتکه یکی از بزرگترین اندام ها را در اسلواکی دارد.

موزه لوور که "مانند یک هرم ساکت و با شکوه است" در طول قرن ها قبل از تبدیل شدن، دستخوش تغییرات بسیاری شده است. بزرگترین موزهصلح این قلعه به عنوان یک قلعه متولد شد که توسط فیلیپ آگوستوس در سال 1190 ساخته شد و به زودی به اقامتگاه سلطنتی تبدیل شد. در سال 1793 این کاخ به موزه تبدیل شد. مجموعه ها از طریق وصیت یا خرید غنی می شوند.

معرفی. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. مفهوم چند وجهی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. هرم. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

خواص هرم. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. هرم کوتاه شده. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . 8

2.3. ساخت یک هرم و بخشهای مسطح آن. . . .9

3. منشور. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . یازده

3.1. تصویر یک منشور و ساخت آن

بخش ها . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. موازی شکل. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 برخی از خصوصیات یک متوازی الاضلاع. . . . . . . 16

5. قضیه اویلر در مورد چند وجهی. . . . . . . . . . . . . . . 18

6. تشابه چندوجهی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. چند وجهی منظم. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1. جدول خلاصه چند وجهی. . . . . . . . . . . 22

نتیجه. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

کتابشناسی - فهرست کتب. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

معرفی

بلز پاسکال یک بار گفت: "موضوع ریاضیات آنقدر جدی است که خوب است فرصت را از دست ندهیم تا آن را کمی سرگرم کننده تر کنیم." از این موضع سعی می کنیم استریومتری را که یکی از شاخه های هندسه است در نظر بگیریم. استریومتری خصوصیات شکل ها را در فضا مطالعه می کند. به عنوان مثال، قطرات مایع در گرانش صفر شکل می گیرند بدنه هندسی، توپ نامیده می شود. یک توپ تنیس کوچک مانند اجسام بزرگتر - سیاره ما و بسیاری دیگر از اجرام فضایی - شکل مشابهی دارد. و یک قوطی حلبی یک استوانه است.

استریومتری پیرامون ما: در زندگی روزمره و در فعالیت حرفه ای. ما البته نمی‌توانیم علم را «ببینیم»، اما می‌توانیم هر روز به اجسام حجمی در فضایی که آن را مطالعه می‌کند، فکر کنیم. جالب نیست از هر طرف در آینه به خود نگاه کنی؟ ولی شکل انسانی- این نیز یک شی حجیم است.

برای حل بسیاری از مسائل هندسی مربوط به چهار وجهی و متوازی الاضلاع، باید بتوان مقاطع آنها را در صفحات مختلف رسم کرد. اجازه دهید صفحه برش را به هر صفحه ای که در دو طرف آن نقاط یک شکل معین وجود دارد، بنامیم. یک صفحه برش چهره یک شکل را در امتداد بخش ها قطع می کند. به چند ضلعی که اضلاع آن این پاره ها هستند، مقطعی از شکل نامیده می شود. از آنجایی که یک چهار وجهی دارای چهار وجه است، بخش های آن فقط می توانند مثلث و چهارگوش باشند. متوازی الاضلاع شش وجه دارد. بخش های آن می تواند مثلث، چهار گوش، پنج ضلعی و شش ضلعی باشد.

1. مفهوم چند وجهی

چند وجهی- یک جسم فضایی هندسی که از همه طرف با تعداد محدودی از چندضلعی های مسطح محدود شده است. لبه ها از یک چند وجهی، چند ضلعی هایی که چند وجهی را محدود می کنند نامیده می شوند (چهره ها - ABCD، MEFN، ABEM، BEFC، CDNF، ADMN). دنده از یک چند وجهی، اضلاع مشترک وجه های مجاور نامیده می شود (لبه ها - AB، BC، CD، AD، BE، CF، AM، DN، ME، EF، FN، MN). قله ها یک چندوجهی رئوس زوایای چند وجهی است که توسط وجوه آن تشکیل شده و در یک نقطه همگرا می شوند. . مورب چند وجهی پاره خطی است که دو راس را که روی یک وجه قرار ندارند به هم متصل می کند (BN). صفحه مورب از یک چند وجهی صفحه ای است که از سه رأس چند وجهی می گذرد که روی یک وجه قرار ندارند (صفحه BEN).

چند وجهی نامیده می شود محدب ، اگر در یک طرف صفحه هر چندضلعی از سطح آن قرار گیرد. وجه های یک چند وجهی محدب فقط می توانند چند ضلعی محدب باشند (نمونه ای از چند وجهی محدب یک مکعب است، شکل 1).

اگر وجوه چند ضلعی خود را قطع کنند، چنین چندوجهی نامیده می شود غیر محدب (شکل 2).

بخشی از یک چند وجهی توسط یک صفحه، بخشی از این صفحه است، محدود به یک خطتقاطع سطح چند وجهی با این صفحه.

.

2. هرم

هرمچندوجهی است که یک وجه آن چندضلعی دلخواه است و وجه های باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند.

قاعده هرم یک چند وجهی است که در صفحه سکونت (ABCDE) به دست می آید. وجه های جانبی هرم مثلث های ASB، BSC، ... با راس مشترک S هستند که به آن راس هرم می گویند. لبه های جانبی هرم لبه هایی هستند که وجه های جانبی در امتداد آنها قطع می شوند. ارتفاع هرم عمودی است که از رئوس هرم به صفحه قاعده آن نزول می کند. علامت هرم ارتفاع وجه جانبی است که از بالای هرم پایین آمده است.

هرم نامیده می شود درست اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز این چند ضلعی برآمده باشد.

این را ثابت کنیم تمام لبه های جانبی هرم منظم با هم برابرند و وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین مساوی هستند.

هرم منظم PA 1 A 2 …A n را در نظر بگیرید. ابتدا ثابت می کنیم که تمام لبه های کناری این هرم با هم برابر هستند. هر لبه جانبی نشان دهنده هیپوتنوز است راست گوشهکه یک پایه آن ارتفاع PO هرم است و دیگری شعاع دایره ای است که در نزدیکی قاعده محصور شده است (مثلاً لبه جانبی PA 1 هیپوتنوز مثلث OPA 1 است که در آن OP = h، OA 1 = R). طبق قضیه فیثاغورث، هر لبه جانبی برابر است با √(h 2 +R 2)، بنابراین PA 1 =PA 2 =...= PA n.

ما ثابت کرده ایم که لبه های جانبی هرم منظم PA 1 A 2 ...A n با یکدیگر برابر هستند، بنابراین وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین. قاعده های این مثلث ها نیز با یکدیگر برابرند، زیرا A 1 A 2 ...A n یک چندضلعی منتظم است. در نتیجه، طبق معیار سوم برای تساوی مثلث ها، وجه های جانبی برابر هستند، که همان چیزی بود که باید ثابت می شد.

بخشی از هرم با صفحه موازی با صفحه قاعده نامیده می شود مقطع هرم .

خواص هرم

ویژگی های مقطع هرم

1. اگر هرم را با صفحه ای موازی با قاعده قطع کنید، آنگاه:

· لبه های جانبی و ارتفاع هرم توسط این صفحه به بخش های متناسب تقسیم می شود.

· در مقطع عرضی، چند ضلعی مشابه چند ضلعی که در پایه قرار دارد، دریافت خواهید کرد.

سطح مقطع و پایه ها به عنوان مربع فاصله آنها از بالای هرم به یکدیگر مربوط می شود:

S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2

2. اگر دو هرم با ارتفاع مساوی با صفحاتی موازی با قاعده ها، در فاصله یکسان از بالا، قطع شوند، سطح مقطع با مساحت پایه ها متناسب خواهد بود.

مساحت سطح جانبی (یا به سادگی سطح جانبی) یک هرم مجموع مساحت وجوه جانبی آن است.

سطح کل(یا به سادگی کل سطح) هرم حاصل جمع مساحت سطح جانبی آن و مساحت قاعده است.

ویژگی های ارتفاع هرم

1. اگر وجه جانبی هرم بر صفحه قاعده عمود باشد، ارتفاع هرم در صفحه این وجه قرار دارد.

2. اگر دو لبه کناری هرم با هم برابر باشند، قاعده ارتفاع هرم روی عمودی است که از وسط آن طرف قاعده کشیده شده است که این لبه های کناری از انتهای آن بیرون می زند.

3. اگر دو وجه اضلاع مجاور هرم به طور مساوی به صفحه قاعده متمایل شوند، قاعده ارتفاع هرم روی نیمساز زاویه تشکیل شده توسط آن اضلاع قاعده قرار می گیرد که این وجه های جانبی از آن عبور می کنند.

4. اگر لبه کناری هرم با دو ضلع قاعده مجاور آن زوایای مساوی ایجاد کند، قاعده ارتفاع هرم روی نیمساز زاویه تشکیل شده توسط این اضلاع قاعده قرار می گیرد.

5. اگر لبه کناری هرم بر ضلع قاعده ای که با آن تلاقی می کند عمود باشد، قاعده ارتفاع هرم بر روی عمود ترمیم شده (در صفحه قاعده هرم) به این طرف قرار دارد. از نقطه تلاقی آن با این لبه جانبی.

توجه داشته باشید: اگر هرم دارای دو مورد از این ویژگی ها باشد، می توان نقطه ای را که قاعده ارتفاع هرم است به طور واضح نشان داد.

شکل قطعه‌ای از یک هرم زغال‌سنگ n منظم SABCD... را نشان می‌دهد که در آن SH ارتفاع هرم است. SK - آپوتم. اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: زاویه آلفا ( ά ) - زاویه بین لبه کناری هرم و صفحه قاعده. بتا (β) - زاویه بین لبه جانبی و صفحه پایه. زاویه (γ) - زاویه بین لبه های جانبی مجاور. زاویه فی (φ) - زاویه بین وجوه جانبی مجاور.

اگر یکی از این زاویه ها در یک هرم منتظم شناخته شود، آنگاه می توان سه زاویه دیگر را پیدا کرد. شش رابطه در جدول نشان داده شده است:

حجم هرمبا فرمول پیدا می شود:

V=1/3S پایه H،

جایی که پایه S مساحت پایه است، H ارتفاع است.

سطح جانبییک هرم منظم به صورت زیر بیان می شود:

سمت S = 1/2Ph،

جایی که P محیط پایه است، h ارتفاع لبه کناری است

2.2. هرم کوتاه شده.

هرم کوتاه شدهبه قسمتی از هرم که بین قاعده آن و صفحه برش موازی با قاعده محصور شده است، به عنوان مثال، هرم ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 نامیده می شود.

قاعده های یک هرم ناقص وجه های موازی ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 هستند (ABCD قاعده پایینی است و A 1 B 1 C 1 D 1 قاعده بالایی است).

ارتفاعهرم کوتاه - یک بخش مستقیم عمود بر پایه ها و محصور بین صفحات آنها.

هرم کوتاه شده درست در صورتی که پایه های آن چند ضلعی منتظم باشد و خط مستقیمی که مرکز پایه ها را به هم متصل می کند عمود بر صفحه قاعده ها باشد.

علامت هرم ناقص ارتفاع وجه جانبی آن است.

سطح جانبیهرم بریده مجموع مساحت وجوه جانبی آن است. سطح کل هرم ناقص برابر است با مجموع سطح جانبی و مساحت قاعده ها.

یک هرم بریده از یک هرم با بریدن قسمت بالایی آن با صفحه ای موازی با پایه به دست می آید. پایه های یک هرم کوتاه چند ضلعی های مشابه هستند، وجه های جانبی ذوزنقه هستند.

جلدهرم کوتاه شده با فرمول پیدا می شود:

V=1/3H(S+ √ SS 1 + S 1)،

که در آن S و S1 مساحت پایه ها و H ارتفاع است.

سطح جانبییک هرم منقطع منظم به صورت زیر بیان می شود:

سمت S = 1/2 (P+P 1)h،

که در آن P و P1 محیط قاعده ها هستند، h ارتفاع وجه جانبی (یا ابهام یک هرم منقطع منظم) است.

2.3. ساخت یک هرم و بخشهای مسطح آن

مطابق با قوانین طراحی موازی، تصویر هرم به صورت زیر ساخته شده است. ابتدا فونداسیون ساخته می شود. این چند ضلعی مسطح خواهد بود. سپس بالای هرم مشخص می شود که توسط دنده های کناری به نوک پایه متصل می شود.

بخش هایی از هرم توسط صفحاتی که از راس آن عبور می کنند مثلث هستند (شکل a). به طور خاص، مقاطع مورب نیز مثلث هستند. اینها مقاطع با صفحاتی هستند که از دو لبه جانبی غیر مجاور هرم عبور می کنند (شکل b).

قسمتی از یک هرم توسط صفحه ای با ردی معین g در صفحه قاعده به همان شکلی ساخته شده است که یک برش از یک منشور ساخته شده است.

برای ساختن مقطعی از هرم با صفحه کافی است که محل تلاقی وجوه جانبی آن با صفحه برش ساخته شود.

اگر روی وجهی غیر موازی با رد g نقطه A مشخص شود که متعلق به مقطع است، ابتدا محل تلاقی رد g صفحه برش با صفحه این وجه ساخته می شود - نقطه D در شکل ( V). نقطه D با یک خط مستقیم به نقطه A متصل می شود. سپس قطعه ای از این خط متعلق به صورت محل تلاقی این وجه با صفحه برش است. اگر نقطه A روی وجهی موازی با رد g قرار گیرد، آنگاه صفحه برش این وجه را در امتداد یک قطعه موازی با خط g قطع می کند. با حرکت به وجه جانبی مجاور، تقاطع آن را با صفحه برش و غیره می سازند که در نتیجه مقطع مورد نیاز هرم به دست می آید.

هرم. هرم کوتاه شده

هرمچند وجهی است که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن برابر است نامیده می شود چهار وجهی .

دنده جانبیهرم آن طرف وجه جانبی است که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه قاعده است. تمام لبه های جانبی هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین هستند. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود حکم . بخش مورب به قسمتی از هرم گفته می شود که صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

سطح جانبیهرم مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده نامیده می شود.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

2. اگر تمام لبه های کناری هرم دارای طول مساوی باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

3. اگر تمام وجوه در هرم به طور مساوی به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که در قاعده حک شده است بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح این است:

جایی که V- جلد؛

پایه S- مساحت پایه؛

اچ- ارتفاع هرم

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر صحیح است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

پایه S- مساحت پایه؛

V- حجم یک هرم منظم.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم ناقص منظم به بخشی از یک هرم منظم که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است.

دلایلهرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ها ارتفاع یک هرم کوتاه فاصله بین پایه های آن است. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را که روی یک صورت قرار ندارند به هم متصل می کند. بخش مورب بخشی از یک هرم ناقص است که توسط صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

برای یک هرم کوتاه فرمول های زیر معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2 – نواحی بالا و پایه های پایین تر;

اس پر- سطح کل؛

سمت S- سطح جانبی؛

اچ- ارتفاع؛

V- حجم یک هرم کوتاه

برای یک هرم کوتاه معمولی فرمول صحیح است:

جایی که پ 1 , پ 2 – محیط پایه ها

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1.در سمت راست هرم مثلثیزاویه دو وجهی در پایه 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).

هرم درست است یعنی در قاعده مثلث متساوی الاضلاعو تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین مساوی هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه است آبین دو عمود: و غیره بالای هرم در مرکز مثلث پیش بینی شده است (مرکز دایره دایره و دایره محاط شده مثلث ABC). زاویه شیب لبه جانبی (به عنوان مثال S.B.) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده S.B.این زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو O.B.. طول قطعه را بگذارید BDبرابر 3 آ. نقطه در بارهبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2.حجم کوتاه شده صحیح را پیدا کنید هرم چهار گوشدر صورتی که قطرهای پایه های آن برابر با سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب برابر با 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است یعنی مساحت پایه ها و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم:

پاسخ: 112 سانتی متر 3.

مثال 3.مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده های آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).

وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه و ارتفاع آن را بدانید. پایه ها با توجه به شرایط داده شده است، فقط ارتفاع نامعلوم باقی مانده است. از کجا پیداش میکنیم آ 1 Eعمود بر یک نقطه آ 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 D- عمود بر آ 1 در هر AC. آ 1 E= 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای پیدا کردن DEبیایید یک نقاشی اضافی ایجاد کنیم که نمای بالایی را نشان می دهد (شکل 20). نقطه در باره- برآمدگی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوب– شعاع حک شده در دایره و OM- شعاع حک شده در یک دایره:

MK = DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:

پاسخ:

مثال 4.در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر با مجموع مساحت و مساحت ذوزنقه است آ ب پ ت.

اجازه دهید از این جمله استفاده کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده کشیده می شود. نقطه در باره- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایگاه با استفاده از قضیه مساحت طرح متعامد یک شکل مسطح، به دست می آوریم:

همینطور معنی داره بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. بیایید یک ذوزنقه بکشیم آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه در باره– مرکز دایره ای که در ذوزنقه حک شده است.

از آنجایی که یک دایره را می توان در ذوزنقه حک کرد، پس یا از قضیه فیثاغورث داریم