انجام یک مقطع آنلاین. بخش های موازی

خود کار معمولاً به این صورت است: "ساختن ظاهر طبیعیشکل های بخش". البته تصمیم گرفتیم این سوال را کنار نگذاریم و در صورت امکان سعی کنیم نحوه ساخت مقطع مایل را توضیح دهیم.

برای توضیح نحوه ساخت مقطع اریب چند مثال می زنم. البته از ابتدایی شروع می کنم و به تدریج پیچیدگی مثال ها را افزایش می دهم. امیدوارم که پس از تجزیه و تحلیل این نمونه های نقاشی بخش، نحوه انجام این کار را درک کنید و بتوانید خودتان وظیفه یادگیری خود را تکمیل کنید.

یک "آجر" با ابعاد 40x60x80 میلی متر دلخواه را در نظر بگیرید سطح شیب دار. هواپیمای برش آن را در امتداد نقاط 1-2-3-4 برش می دهد. فکر می کنم اینجا همه چیز روشن است.

بیایید به ساخت یک شکل طبیعی از شکل مقطعی برویم.
1. اول از همه، محور مقطع را رسم می کنیم. محور باید موازی با صفحه مقطع ترسیم شود - موازی با خطی که صفحه در نمای اصلی به آن کشیده شده است - معمولاً روی نمای اصلی است که وظیفه تعیین می شود. ساخت یک مقطع اریب(من همیشه به آن اشاره خواهم کرد نمای اصلی، با در نظر گرفتن این که تقریباً همیشه در نقاشی های آموزشی چنین است).
2. روی محور، طول مقطع را کنار می گذاریم. در طراحی من به عنوان L مشخص شده است. اندازه L در نمای اصلی تعیین می شود و برابر است با فاصله از نقطه ورود برش به قسمت تا نقطه خروج.
3. از دو نقطه به دست آمده روی محور عمود بر آن، عرض های مقطع را در این نقاط کنار می گذاریم. عرض مقطع در نقطه ورود به قطعه و در نقطه خروج از قطعه در نمای بالا قابل تعیین است. در این حالت هر دو قطعه 1-4 و 2-3 برابر با 60 میلی متر هستند. همانطور که در تصویر بالا می بینید، لبه های بخش مستقیم هستند، بنابراین ما به سادگی دو بخش حاصل را به هم وصل می کنیم و یک مستطیل 1-2-3-4 به دست می آوریم. این است - نمای طبیعی شکل از بخش آجر ما با یک صفحه شیبدار.

حالا بیایید جزئیات خود را پیچیده کنیم. بیایید یک آجر روی پایه 120x80x20 میلی متر بگذاریم و سفت کننده ها را به شکل اضافه کنیم. بیایید یک صفحه برش را طوری بکشیم که از هر چهار عنصر شکل (از پایه، آجر و دو سفت کننده) عبور کند. در تصویر زیر سه نما و تصویری واقعی از این قسمت را مشاهده می کنید.

بیایید سعی کنیم یک نمای طبیعی از این بخش شیبدار ایجاد کنیم. بیایید دوباره با محور مقطع شروع کنیم: آن را موازی با صفحه مقطع نشان داده شده در نمای اصلی بکشید. روی آن طول قسمت را کنار می گذاریم برابر A-E. نقطه A نقطه ورود مقطع به قطعه و در یک مورد خاص نقطه ورود مقطع به پایه است. نقطه خروج از پایه نقطه B است. نقطه B را روی محور مقطع علامت گذاری می کنیم. به طور مشابه، نقاط ورود و خروج را به لبه، به "آجر" و به لبه دوم علامت گذاری می کنیم. از نقاط A و B عمود بر محور، بخش هایی را به اندازه عرض پایه کنار می گذاریم (در هر طرف محور، 40، فقط 80 میلی متر). اتصال نقاط افراطی- یک مستطیل به دست می آوریم که نمای طبیعی قسمت پایه قطعه است.

حالا نوبت ساخت یک قطعه است که قسمتی از لبه قطعه است. از نقاط B و C، عمودهای 5 میلی متری را در هر جهت کنار می گذاریم - بخش های 10 میلی متری به دست می آوریم. نقاط انتهایی را به هم وصل کنید و سطح مقطع دنده را بدست آورید.

از نقاط C و D بخش های عمود بر عرض "آجر" را کنار می گذاریم - کاملاً مشابه مثال اول این درس.

با کنار گذاشتن عمودها از نقاط D و E برابر با عرض لبه دوم و اتصال نقاط انتهایی، نمای طبیعی از مقطع آن را به دست می آوریم.

باقی مانده است که جامپرهای بین را پاک کنید عناصر جداگانهبخش به دست آمده و اعمال تفریخ. شما باید چیزی شبیه به این دریافت کنید:

اگر طبق یک بخش، شکل را تقسیم کنیم، نمای زیر را خواهیم دید:

امیدوارم پاراگراف های خسته کننده شرح الگوریتم شما را مرعوب نکند. اگر همه موارد بالا را خوانده اید و هنوز به طور کامل متوجه نشده اید، نحوه رسم مقطعاکیداً به شما توصیه می کنم که یک تکه کاغذ و یک مداد در دست بگیرید و سعی کنید تمام مراحل را بعد از من تکرار کنید - این تقریباً 100٪ به شما کمک می کند مطالب را یاد بگیرید.

یک بار قول ادامه این مقاله را دادم. در انتها آماده هستم تا ساخت گام به گام یک مقطع اریب از یک قطعه را به سطح تکلیف نزدیکتر به شما تقدیم کنم. علاوه بر این، قسمت مایل در نمای سوم تعریف شده است (قسمت مایل در نمای چپ تعریف شده است)

یاشماره تلفن ما را یادداشت کنید و به دوستان خود در مورد ما بگویید - احتمالاً کسی به دنبال راهی برای ایجاد نقاشی است

یایادداشتی در مورد درس های ما در صفحه یا وبلاگ خود ایجاد کنید - و شخص دیگری می تواند بر نقاشی مسلط شود.

بله، همه چیز خوب است، اما می خواهم ببینم در قسمت پیچیده تر، مثلاً با پخ ها و سوراخ های مخروطی، همین کار چگونه انجام می شود.

متشکرم. اما آیا سفت کننده ها روی برش ها دریچه نشده اند؟
دقیقا. آنها هستند که از تخم بیرون نمی آیند. چون هستند قوانین عمومیایجاد برش با این حال، آنها معمولاً هنگام ایجاد برش در برجستگی های آکسونومتری - ایزومتری، دیمتری و غیره، دریچه می شوند. هنگام اجرای مقاطع شیبدار، ناحیه مربوط به سفت کننده نیز سایه می اندازد.

ممنون خیلی در دسترسه.میشه بگید قسمت مایل رو میشه در نمای بالا انجام داد یا در نمای چپ؟اگه میشه ساده ترین مثال رو ببینم لطفا.

امکان ایجاد چنین برش هایی وجود دارد. اما متاسفانه در حال حاضر نمونه ای در دست ندارم. و یک نکته جالب دیگر وجود دارد: از یک طرف، چیز جدیدی در آنجا وجود ندارد، اما از طرف دیگر، در عمل، ترسیم چنین بخش هایی واقعا دشوارتر است. به دلایلی، همه چیز در سر شروع به گیج شدن می کند و اکثر دانش آموزان با مشکلاتی روبرو می شوند. اما تسلیم نشو!

بله، همه چیز خوب است، اما دوست دارم ببینم همین کار چگونه انجام می شود، اما با سوراخ (از طریق و غیر از طریق)، وگرنه هرگز در سرم به بیضی تبدیل نمی شوند.

به من در مورد یک مشکل پیچیده کمک کنید

حیف که اینجا نوشتی ما در نامه می نویسیم - شاید بتوانیم برای بحث در مورد همه چیز وقت داشته باشیم.

خوب توضیح دادی اگر یکی از اضلاع قطعه نیم دایره باشد چه؟ همچنین سوراخ هایی در قسمت وجود دارد.

ایلیا از درس هندسه تشریحی "قطع استوانه با صفحه شیبدار" استفاده کنید. با آن، می توانید بفهمید که با سوراخ ها (آنها نیز در واقع استوانه هستند) و با یک طرف نیم دایره چه باید کرد.

من از نویسنده برای مقاله تشکر می کنم، مختصر و قابل درک، حدود 20 سال پیش من خودم گرانیت علم را می خوردم، اکنون به پسرم کمک می کنم. من خیلی چیزها را فراموش کردم، اما مقاله شما یک درک اساسی از موضوع را نشان داد مقطع اریباستوانه برای درک)

نظر خود را اضافه کنید

همانطور که می دانید، هر امتحانی در ریاضیات شامل حل مسئله به عنوان بخش اصلی است. توانایی حل مسائل، شاخص اصلی سطح پیشرفت ریاضی است.

اغلب در امتحانات مدارس و همچنین در امتحاناتی که در دانشگاه ها و دانشکده های فنی برگزار می شود، مواردی پیش می آید که دانش آموزانی که در زمینه تئوری نتایج خوبی از خود نشان می دهند، که تمام تعاریف و قضایای لازم را می دانند، هنگام حل مسائل بسیار ساده دچار سردرگمی می شوند.

در طول سال های تحصیل، هر دانش آموز تصمیم می گیرد عدد بزرگوظایف، اما در عین حال، وظایف برای همه دانش آموزان یکسان است. و اگر برخی از دانش آموزان قوانین و روش های کلی برای حل مسائل را یاد بگیرند، برخی دیگر که با مشکلی از نوع ناآشنا مواجه شده اند، حتی نمی دانند چگونه به آن نزدیک شوند.

یکی از دلایل این وضعیت این است که اگر برخی از دانش‌آموزان در فرآیند حل مسئله غوطه‌ور شوند و سعی کنند تکنیک‌ها و روش‌های کلی حل آن‌ها را درک و درک کنند، برخی دیگر به آن فکر نمی‌کنند و سعی می‌کنند مسائل پیشنهادی را حل کنند. در سریع ترین زمان ممکن

بسیاری از دانش آموزان وظایفی را که باید حل شوند تجزیه و تحلیل نمی کنند، تکنیک ها و روش های کلی را برای حل آنها مشخص نمی کنند. در چنین مواردی، تکالیف فقط به خاطر به دست آوردن پاسخ مورد نظر حل می شوند.

بنابراین، به عنوان مثال، بسیاری از دانش آموزان حتی نمی دانند که ماهیت حل مشکلات ساختمان چیست. ولی ساختن وظایفهستند وظایف اجباریدر دوره استریومتری این مشکلات نه تنها در روش های حل خود زیبا و بدیع هستند، بلکه ارزش عملی زیادی نیز دارند.

به لطف وظایف ساخت و ساز، توانایی تصور ذهنی این یا آن شکل هندسی، تفکر فضایی را توسعه می دهد، تفکر منطقیو همچنین شهود هندسی. کارهای ساخت و ساز مهارت های عملی حل مسئله را توسعه می دهند.

وظایف ساخت و ساز ساده نیستند، زیرا هیچ قانون یا الگوریتم واحدی برای حل آنها وجود ندارد. هر یک وظیفه جدیدمنحصر به فرد است و نیاز به یک رویکرد فردی برای راه حل دارد.

فرآیند حل هر کار ساخت و ساز، دنباله ای از ساخت و سازهای میانی است که به هدف منجر می شود.

ساخت مقاطع چند وجهی بر اساس بدیهیات زیر است:

1) اگر دو نقطه از یک خط در یک صفحه معین قرار داشته باشد، کل خط در صفحه معین قرار دارد.

2) اگر دو هواپیما داشته باشند نقطه مشترک، سپس در امتداد یک خط مستقیم که از این نقطه می گذرد قطع می شوند.

قضیه:اگر دو صفحه موازی با صفحه سوم قطع شوند، خطوط تقاطع موازی هستند.

با صفحه ای که از نقاط A، B و C می گذرد، مقطعی از چند وجهی بسازید. مثال های زیر را در نظر بگیرید.

روش ردیابی

من.ساختن بخش منشورصفحه ای که از یک خط معین g (ردی) روی صفحه یکی از پایه های منشور و نقطه A می گذرد.

مورد 1

نقطه A متعلق به پایه دیگری از منشور (یا وجهی موازی با خط مستقیم g) است - صفحه برش این پایه (وجه) را در امتداد بخش BC موازی با رد g قطع می کند. .

مورد 2

نقطه A متعلق به وجه جانبی منشور است:

پاره BC خط مستقیم AD محل تلاقی این وجه با صفحه برش است.

مورد 3

ساختن مقطعی از منشور چهار گوش توسط صفحه ای که از خط g در صفحه می گذرد. پایه پایینمنشور و نقطه A در یکی از لبه های جانبی.

II.ساختن بخش یک هرمصفحه ای که از یک خط معین g (ردی) روی صفحه قاعده هرم و نقطه A می گذرد.

برای ساختن قسمتی از هرم توسط یک صفحه، کافی است محل تلاقی وجوه جانبی آن با صفحه برش ایجاد شود.

مورد 1

اگر نقطه A متعلق به وجهی موازی با خط g باشد، در این صورت صفحه متقاطع این وجه را در امتداد قطعه BC موازی با رد g قطع می کند.

مورد 2

اگر نقطه A متعلق به بخش روی وجهی غیر موازی با وجه به رد g قرار گیرد، آنگاه:

1) نقطه D ساخته شده است که در آن صفحه وجه رد داده شده g را قطع می کند.

2) یک خط مستقیم از طریق نقاط A و D کشیده می شود.

پاره BC خط مستقیم AD محل تلاقی این وجه با صفحه برش است.

انتهای قطعه BC نیز به وجوه همسایه تعلق دارد. بنابراین، با روش توصیف شده، می توان محل تلاقی این وجوه را با صفحه برش ساخت. و غیره.

مورد 3

ساختن قسمتی از هرم چهار گوش توسط صفحه ای که از کنار قاعده و نقطه A در یکی از لبه های کناری عبور می کند.

مشکلات ساخت مقاطع از طریق یک نقطه روی صورت

1. بخشی از چهار وجهی ABCD را با صفحه ای بسازید که از راس C و نقاط M و N به ترتیب روی وجه های ACD و ABC می گذرد.

نقاط C و M روی صورت ACD قرار دارند، به این معنی که خط CM نیز در صفحه این وجه قرار دارد. (عکس. 1).

فرض کنید P نقطه تقاطع خطوط CM و AD باشد. به طور مشابه، نقاط C و N در وجه ACB قرار دارند، به این معنی که خط CN در صفحه این وجه قرار دارد. فرض کنید Q نقطه تقاطع خطوط CN و AB باشد. نقاط P و Q هم به صفحه مقطع و هم به وجه ABD تعلق دارند. بنابراین، قطعه PQ سمت مقطع است. بنابراین، مثلث СРQ بخش مورد نیاز است.

2. قسمتی از چهار وجهی ABCD را با صفحه MPN بسازید، جایی که نقاط M، N، P به ترتیب روی لبه AD، در وجه BCD و در وجه ABC قرار دارند و MN با صفحه وجه ABC موازی نیست. (شکل 2).

آیا هیچ سوالی دارید؟ آیا نمی دانید چگونه یک مقطع از یک چند وجهی بسازید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

تعریف

مقطع، شکل مسطحی است که وقتی یک شکل سه بعدی با یک صفحه قطع می شود و مرز آن روی سطح شکل سه بعدی قرار می گیرد، تشکیل می شود.

اظهار نظر

برای ساختن بخش هایی از اشکال مختلف فضایی، لازم است تعاریف و قضایای اساسی در مورد موازی بودن و عمود بودن خطوط و صفحات و همچنین ویژگی های اشکال فضایی را به خاطر بسپارید. اجازه دهید حقایق اصلی را یادآوری کنیم.
برای بیشتر مطالعه دقیقپیشنهاد می شود مباحث «مقدمه ای بر استریومتری» را مطالعه کنید. موازی بودن» و «عمود بودن. زوایا و فواصل در فضا.

تعاریف مهم

1. دو خط در فضا موازی هستند اگر در یک صفحه قرار گیرند و قطع نشوند.

2. دو خط مستقیم در فضا قطع می شوند اگر نتوان یک صفحه را از میان آنها ترسیم کرد.

4. دو صفحه اگر نقاط مشترک نداشته باشند موازی هستند.

5. دو خط مستقیم در فضا اگر زاویه بین آنها \(90^\circ\) باشد عمود نامیده می شوند.

6. خطی را در صورتی عمود بر صفحه می گویند که بر هر خطی که در این صفحه قرار دارد عمود باشد.

7. دو صفحه اگر زاویه بین آنها \(90^\circ\) باشد عمود نامیده می شوند.

بدیهیات مهم

1. از سه نقطه ای که روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند، یک هواپیما و علاوه بر آن فقط یک خط عبور می کند.

2. هواپیما از یک خط و نقطه ای که روی آن قرار ندارد عبور می کند و علاوه بر آن فقط از یک.

3. یک هواپیما از دو خط متقاطع عبور می کند، و علاوه بر این، فقط از یک خط.

قضایای مهم

1. اگر یک خط \(a\) که در صفحه \(\pi\) قرار ندارد موازی با یک خط \(p\) باشد که در صفحه \(\pi\) قرار دارد، آنگاه با صفحه داده شده موازی است. .

2. بگذارید خط \(p\) موازی با صفحه \(\mu\) باشد. اگر صفحه \(\pi\) از خط \(p\) عبور کند و صفحه \(\mu\) را قطع کند، خط تقاطع صفحات \(\pi\) و \(\mu\) خط \(m\) است - موازی با خط \(p\) .

3. اگر دو خط متقاطع از یک صفحه موازی با دو خط متقاطع از صفحه دیگر باشند، چنین صفحاتی موازی خواهند بود.

4. اگر دو صفحه موازی \(\alpha\) و \(\beta\) با صفحه سوم \(\gamma\) قطع شوند، خطوط تقاطع صفحات نیز موازی هستند:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. بگذارید خط \(l\) در صفحه \(\lambda\) قرار بگیرد. اگر خط \(s\) صفحه \(\lambda\) را در نقطه \(S\) که روی خط \(l\) قرار ندارد قطع کند، خطوط \(l\) و \(s\) تقاطع

6. اگر یک خط عمود بر دو خط متقاطع واقع در یک صفحه معین باشد، آنگاه بر این صفحه عمود است.

7. قضیه سه عمود بر هم.

فرض کنید \(AH\) عمود بر صفحه \(\beta\) باشد. فرض کنید \(AB، BH\) یک مایل باشد و بر روی صفحه \(\beta\) ظاهر شود. سپس خط \(x\) در صفحه \(\بتا\) عمود بر خط مورب خواهد بود اگر و فقط اگر عمود بر طرح ریزی باشد.

8. اگر صفحه ای از یک خط مستقیم عمود بر صفحه دیگر عبور کند، آنگاه بر این صفحه عمود است.

اظهار نظر

واقعیت مهم دیگری که اغلب برای ساخت بخش ها استفاده می شود:

برای یافتن نقطه تلاقی یک خط و یک صفحه کافی است نقطه تلاقی یک خط معین و طرح ریزی آن بر روی این صفحه را پیدا کنید.

برای انجام این کار، از دو نقطه دلخواه \(A\) و \(B\) خط \(a\) عمود بر صفحه \(\mu\) – \(AA"\) و \(BB) رسم می کنیم. "\) (نقاط \ (A، B"\) پیش بینی نقاط \(A, B\) بر روی صفحه نامیده می شوند). سپس خط \(A"B"\) طرح خط \(a\) بر روی صفحه \(\mu\) است. نقطه \(M=a\cap A"B"\) نقطه تلاقی خط \(a\) و صفحه \(\mu\) است.

توجه داشته باشید که تمام نقاط \(A, B, A, B, M\) در یک صفحه قرار دارند.

مثال 1

با توجه به یک مکعب \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA"، \ KC=\dfrac15 CC"\). نقطه تقاطع خط \(PK\) و صفحه \(ABC\) را پیدا کنید.

راه حل

1) زیرا لبه های مکعب \(AA، CC"\) عمود بر \((ABC)\) هستند، سپس نقاط \(A\) و \(C\) پیش بینی نقاط \(P\) و \(K هستند. \) . سپس خط \(AC\) طرح خط \(PK\) بر روی صفحه \(ABC\) است. بخش های \(PK\) و \(AC\) را به ترتیب فراتر از نقاط \(K\) و \(C\) گسترش می دهیم و نقطه تقاطع خطوط - نقطه \(E\) را به دست می آوریم.

2) رابطه \(AC:EC\) را پیدا کنید. \(\مثلث PAE\sim \مثلث KCE\)دو گوشه ( \(\زاویه A=\زاویه C=90^\circ, \زاویه E\)- عمومی) یعنی \[\dfrac(PA)(KC)=\dfrac(EA)(EC)\]

اگر لبه مکعب را با \(a\) نشان دهیم، آنگاه \(PA=\dfrac34a، \ KC=\dfrac15a، \ AC=a\sqrt2\). سپس:

\[\dfrac(\frac34a)(\frac15a)=\dfrac(a\sqrt2+EC)(EC) \Rightarrow EC=\dfrac(4\sqrt2)(11)a \Rightarrow AC:EC=4:11\ ]

مثال 2

دانا درست میگه هرم مثلثی\(DABC\) با پایه \(ABC\) که ارتفاع آن برابر با ضلع پایه است. اجازه دهید نقطه \(M\) لبه کناری هرم را به نسبت \(1:4\) تقسیم کند و از بالای هرم بشماریم و \(N\) ارتفاع هرم را به نسبت \( 1:2\) ، از بالای هرم می شمرد. نقطه تقاطع خط \(MN\) با صفحه \(ABC\) را پیدا کنید.

راه حل

1) اجازه دهید \(DM:MA=1:4، \DN:NO=1:2\) (شکل را ببینید). زیرا هرم منظم است، سپس ارتفاع به نقطه \(O\) تقاطع وسط قاعده می رسد. طرح ریزی خط \(MN\) را روی صفحه \(ABC\) پیدا کنید. زیرا \(DO\perp (ABC)\) و سپس \(NO\perp (ABC)\) نیز همینطور است. بنابراین، \(O\) یک نقطه متعلق به این طرح است. نکته دوم را پیدا کنیم. اجازه دهید عمود \(MQ\) را از نقطه \(M\) به صفحه \(ABC\) رها کنیم. نقطه \(Q\) روی میانه \(AK\) قرار خواهد گرفت.
در واقع، از آن زمان \(MQ\) و \(NO\) بر \((ABC)\) عمود هستند، سپس موازی هستند (یعنی در یک صفحه قرار دارند). بنابراین، از آنجایی که نقاط \(M, N, O\) در همان صفحه \(ADK\) قرار دارند، سپس نقطه \(Q\) نیز در این صفحه قرار خواهد گرفت. اما همچنین (با ساخت) نقطه \(Q\) باید در صفحه \(ABC\) باشد، بنابراین روی خط تقاطع این صفحات قرار دارد و این \(AK\) است.

بنابراین، خط \(AK\) طرح خط \(MN\) بر روی صفحه \(ABC\) است. \(L\) نقطه تلاقی این خطوط است.

2) توجه داشته باشید که برای ترسیم درست نقاشی، باید موقعیت دقیق نقطه \(L\) را پیدا کنید (مثلاً در نقاشی ما نقطه \(L\) خارج از قطعه \(OK\) قرار دارد. ) ، اگرچه می تواند دروغ باشد و درون آن باشد؛ اما چگونه است؟).

زیرا با شرط، ضلع قاعده برابر با ارتفاع هرم باشد، سپس \(AB=DO=a\) را نشان می دهیم. سپس میانه \(AK=\dfrac(\sqrt3)2a\) است. به معنای، \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1(2\sqrt3)a\). بیایید طول قطعه \(OL\) را پیدا کنیم (سپس می‌توانیم بفهمیم که نقطه \(L\) داخل یا خارج از بخش \(OK\) است: اگر \(OL>OK\) - سپس خارج و در غیر این صورت - داخل).

آ) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\)دو گوشه ( \(\زاویه Q=\ زاویه O=90^\circ, \\زاویه A\)- عمومی). به معنای،

\[\dfrac(MQ)(DO)=\dfrac(AQ)(AO)=\dfrac(MA)(DA)=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a\]

به معنای، \(QK=\dfrac(\sqrt3)2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a=\dfrac7(10\sqrt3)a\).

ب) \(KL=x\) را نشان دهید.
\(\مثلث LMQ\sim \مثلث LNO\)دو گوشه ( \(\زاویه Q=\ زاویه O=90^\circ, \\زاویه L\)- عمومی). به معنای،

\[\dfrac(MQ)(NO)=\dfrac(QL)(OL) \Rightarrow \dfrac(\frac45 a)(\frac 23a) =\dfrac(\frac(7)(10\sqrt3)a+x )(\frac1(2\sqrt3)a+x) \Rightarrow x=\dfrac a(2\sqrt3) \Rightarrow OL=\dfrac a(\sqrt3)\]

بنابراین، \(OL>OK\)، به این معنی که نقطه \(L\) واقعاً خارج از بخش \(AK\) قرار دارد.

اظهار نظر

اگر هنگام حل یک مشکل مشابه، متوجه شدید که طول بخش منفی است، نترسید. اگر در شرایط مشکل قبلی دریافتیم که \(x\) منفی است، این فقط به این معنی است که موقعیت نقطه \(L\) را اشتباه انتخاب کرده ایم (یعنی داخل قطعه \(AK است. \)) .

مثال 3

دانا درست میگه هرم چهار گوش\(SABCD\) . بخش هرم را با صفحه \(\alpha\) که از نقطه \(C\) و نقطه وسط یال \(SA\) و خط موازی \(BD\) می گذرد پیدا کنید.

راه حل

1) نقطه وسط یال \(SA\) را با \(M\) نشان دهید. زیرا هرم منظم است، سپس ارتفاع \(SH\) هرم به نقطه تقاطع مورب های قاعده می رسد. هواپیمای \(SAC\) را در نظر بگیرید. پاره های \(CM\) و \(SH\) در این صفحه قرار دارند، اجازه دهید آنها را در نقطه \(O\) قطع کنند.

برای اینکه صفحه \(\alpha\) با خط \(BD\) موازی شود، باید مقداری خط موازی با \(BD\) داشته باشد. نقطه \(O\) همراه با خط \(BD\) در همان صفحه - در صفحه \(BSD\) قرار دارد. یک خط \(KP\موازی BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)) در این صفحه از نقطه \(O\) رسم کنید. سپس با اتصال نقاط \(C, P, M, K\) , برشی از هرم را با صفحه \(\alpha\) بدست می آوریم.

2) رابطه ای را پیدا کنید که در آن نقاط \(K\) و \(P\) یال های \(SB\) و \(SD\) را تقسیم می کنند. بنابراین، بخش ساخته شده را به طور کامل تعریف می کنیم.

توجه داشته باشید که از \(KP\موازی BD\) , پس با قضیه تالس \(\dfrac(SB)(SK)=\dfrac(SD)(SP)\). اما \(SB=SD\) و همچنین \(SK=SP\) . بنابراین فقط \(SP:PD\) را می توان پیدا کرد.

\(\مثلث ASC\) را در نظر بگیرید. \(CM، SH\) میانه‌های این مثلث هستند، بنابراین، نقطه تقاطع در رابطه \(2:1\) با شمارش از بالا تقسیم می‌شود، یعنی \(SO:OH=2:1\) .

اکنون توسط قضیه تالس از \(\مثلث BSD\): \(\dfrac(SP)(PD)=\dfrac(SO)(OH)=\dfrac21\).

3) توجه داشته باشید که با قضیه سه عمود، \(CO\perp BD\) به عنوان یک مایل (\(OH\) ​​عمود بر صفحه \(ABC\) است، \(CH\perp BD\) فرافکنی است). بنابراین \(CO\perp KP\) . بنابراین، یک مقطع یک چهار ضلعی \(CPMK\) است که قطرهای آن متقابلاً عمود هستند.

مثال 4

یک هرم مستطیل شکل \(DABC\) با لبه \(DB\) عمود بر صفحه \(ABC\) در نظر گرفته شده است. در پایه نهفته است راست گوشهبا \(\ زاویه B=90^\circ\) ، با \(AB=DB=CB\) . یک صفحه از خط \(AB\) عمود بر وجه \(DAC\) بکشید و قسمت هرم را با این صفحه پیدا کنید.

راه حل

1) صفحه \(\alpha\) بر وجه \(DAC\) عمود خواهد بود اگر دارای یک خط عمود بر \(DAC\) باشد. از نقطه \(B\) به صفحه \(DAC\) یک عمود بکشید - \(BH\) , \(H\in DAC\) .

قرعه کشی کمکی \(BK\) - میانه در \(\مثلث ABC\) و \(DK\) - میانه در \(\مثلث DAC\) .
زیرا \(AB=BC\) ، سپس \(\مثلث ABC\) متساوی الساقین است، بنابراین \(BK\) ارتفاع است، یعنی \(BK\perp AC\) .
زیرا \(AB=DB=CB\) و \(\زاویه ABD=\زاویه CBD=90^\circ\)، سپس \(\مثلث ABD=\مثلث CBD\)، از این رو \(AD=CD\) ، بنابراین \(\ مثلث DAC\) نیز متساوی الساقین و \(DK\perp AC\) است.

بیایید این قضیه را روی سه عمود اعمال کنیم: \(BH\) عمود بر \(DAC\) است. مورب \(BK\perp AC\)، از این رو طرح \(HK\perp AC\). اما ما قبلاً تعیین کرده ایم که \(DK\perp AC\) . بنابراین، نقطه \(H\) روی قطعه \(DK\) قرار دارد.

با اتصال نقاط \(A\) و \(H\) ، قطعه \(AN\) را بدست می آوریم که در امتداد آن صفحه \(\alpha\) با وجه \(DAC\) قطع می شود. سپس \(\مثلث ABN\) بخش مورد نظر هرم توسط صفحه \(\alpha\) است.

2) موقعیت دقیق نقطه \(N\) در لبه \(DC\) را تعیین کنید.

\(AB=CB=DB=x\) را نشان دهید. سپس \(BK\) ، همانطور که میانه از بالا پایین آمد زاویه راستدر \(\مثلث ABC\) \(\frac12 AC\) است، بنابراین \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

\(\مثلث BKD\) را در نظر بگیرید. رابطه \(DH:HK\) را پیدا کنید.

توجه داشته باشید که از زمان \(BH\perp (DAC)\) ، سپس \(BH\) بر هر خطی از این صفحه عمود است، بنابراین \(BH\) ارتفاع در \(\مثلث DBK\) است. سپس \(\مثلث DBH\sim \مثلث DBK\)، در نتیجه

\[\dfrac(DH)(DB)=\dfrac(DB)(DK) \Rightarrow DH=\dfrac(\sqrt6)3x \Rightarrow HK=\dfrac(\sqrt6)6x \Rightarrow DH:HK=2:1 \]

اکنون \(\مثلث ADC\) را در نظر بگیرید. میانه های یک مثلث تقاطع دقیق با شمارش از راس بر \(2:1\) تقسیم می شود. بنابراین، \(H\) نقطه تقاطع میانه ها در \(\مثلث ADC\) است (زیرا \(DK\) یک میانه است). یعنی \(AN\) نیز یک میانه است، بنابراین \(DN=NC\) .

معلم ریاضیات شاخه شچلکوفسکی موسسه آموزشی بودجه دولتی منطقه مسکو "کالج کراسنوگورسک" آرتمیف واسیلی ایلیچ.

مطالعه مبحث "حل مشکلات ساخت مقاطع" از پایه دهم یا در سال اول موسسات غیردولتی آغاز می شود. اگر کلاس ریاضیات مجهز به ابزارهای چند رسانه ای باشد، حل مشکل مطالعه با کمک برنامه های مختلف تسهیل می شود. یکی از این برنامه ها نرم افزار ریاضی پویا GeoGebra 4.0.12 است. برای یادگیری و یادگیری در هر مرحله از آموزش مناسب است، ایجاد را تسهیل می کند سازه های ریاضیو مدل هایی توسط دانش آموزان که امکان کاوش تعاملی را در حین حرکت اجسام و تغییر پارامترها فراهم می کند.

کاربرد این محصول نرم افزاری را در یک مثال خاص در نظر بگیرید.

یک وظیفه. قسمتی از هرم را با صفحه PQR بسازید، اگر نقطه P روی خط SA، نقطه Q روی خط SB و نقطه R روی خط SC قرار دارد.

راه حل. بیایید دو مورد را در نظر بگیریم. حالت 1. نقطه P متعلق به یال SA باشد.

1. با استفاده از ابزار Point، نقاط دلخواه A، B، C، D را علامت بزنید. روی نقطه D کلیک راست کرده، "Rename" را انتخاب کنید. نام D را به S تغییر دهید و موقعیت این نقطه را مطابق شکل 1 تنظیم کنید.

2. با استفاده از ابزار "Segment by two point" بخش های SA، SB، SC، AB، AC، BC را می سازیم.

3. بر روی بخش AB کلیک راست کرده و "Properties" - "Style" را انتخاب کنید. یک خط نقطه چین تنظیم کنید.

4. نقاط P، Q، R را در قسمت های SA، SB، CS علامت گذاری کنید.

5. از ابزار "Line by two point" برای ساخت یک خط PQ استفاده کنید.

6. خط PQ و نقطه R را در نظر بگیرید. سوال برای دانش آموزان: چند صفحه از خط PQ و نقطه R عبور می کنند؟ پاسخ را توجیه کنید. (جواب. هواپیما از خطی می گذرد و از نقطه ای که روی آن قرار ندارد و علاوه بر آن فقط از یک نقطه عبور می کند).

7. ما روابط عمومی و QR مستقیم می سازیم.

8. ابزار Polygon را انتخاب کرده و یکی یکی روی نقاط PQRP کلیک کنید.

9. از ابزار Move برای تغییر موقعیت نقاط و مشاهده تغییرات در قسمت استفاده کنید.

تصویر 1.

10. روی چند ضلعی کلیک راست کرده و "Properties" - "Color" را انتخاب کنید. چند ضلعی را با مقداری رنگ ملایم پر کنید.

11. در پنل شی، روی نشانگرها کلیک کنید و خطوط را پنهان کنید.

12. به عنوان یک کار اضافی، می توانید سطح مقطع را اندازه گیری کنید.

برای انجام این کار، ابزار "Area" را انتخاب کرده و روی چند ضلعی کلیک چپ کنید.

حالت 2. نقطه P روی خط SA قرار دارد. برای در نظر گرفتن حل مسئله برای این مورد می توانید از ترسیم مسئله قبلی استفاده کنید. بیایید فقط چند ضلعی و نقطه P را پنهان کنیم.

1. از ابزار "خط دو نقطه" برای ساخت یک خط مستقیم SA استفاده کنید.

2. همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است، یک نقطه P1 را در خط SA علامت گذاری کنید.

3. یک خط P1Q رسم کنید.

4. ابزار "تقاطع دو شی" را انتخاب کنید و روی خطوط مستقیم AB و P1Q کلیک چپ کنید. بیایید نقطه تقاطع آنها K را پیدا کنیم.

5. یک خط P1R رسم می کنیم. نقطه تقاطع M این خط را با خط AC پیدا کنید.

سوال برای دانش آموزان: چند صفحه را می توان از طریق خطوط P1Q و P1R ترسیم کرد؟ پاسخ را توجیه کنید. (پاسخ. هواپیما از دو خط متقاطع و علاوه بر آن فقط از یک خط عبور می کند).

6. بیایید KM و QR مستقیم را ترسیم کنیم. سوال برای دانش آموزان کدام صفحات به طور همزمان متعلق به نقاط K، M هستند؟ خط مستقیم KM تقاطع کدام صفحات است؟

7. چند ضلعی QRKMQ را بسازید. با رنگ ملایم پر کنید و خطوط کمکی را پنهان کنید.

شکل 2.

با استفاده از ابزار "Move" نقطه را در امتداد خط مستقیم AS حرکت می دهیم و موقعیت های مختلف صفحه مقطع را در نظر می گیریم.

وظایف ساخت بخش ها:

1. بخشی را بسازید که با خطوط موازی AA1 و CC1 تعریف شده است. چند صفحه از خطوط موازی عبور می کنند؟

2. بخشی را بسازید که از خطوط متقاطع عبور می کند. چند صفحه از خطوط متقاطع عبور می کنند؟

3. ساخت مقاطع با استفاده از خواص صفحات موازی:

الف) با صفحه ای که از نقطه M و خط AC می گذرد، مقطعی از متوازی الاضلاع بسازید.

ب) قسمتی از منشور را با صفحه ای که از لبه AB و وسط لبه B1C1 می گذرد بسازید.

ج) برشی از هرم را با صفحه ای که از نقطه K و موازی با صفحه قاعده های هرم می گذرد بسازید.

4. ساخت مقاطع به روش ردیابی:

الف) هرمی SABCD داده می شود. قسمتی از هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط P، Q و R می گذرد.

5) خط QF را رسم کرده و نقطه تقاطع H را با یال SB پیدا کنید.

6) بیایید مستقیم HR و PG را ترسیم کنیم.

7) بخش حاصل را با ابزار "Polygon" انتخاب کرده و رنگ پر را تغییر دهید.

ب) با صفحه ای که از نقاط P، K و M می گذرد، بخشی از ABCDA1B1C1D1 موازی را بسازید. فهرست منابع.

1. منبع الکترونیکی http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. منبع الکترونیکی http://geogebra.ru/www/index.php (سایت موسسه سیبری جئوجبرا)

3. منبع الکترونیکی http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. منبع الکترونیکی. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. منبع الکترونیکی http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(فروم GeoGebra برای معلمان و دانش آموزان).

6. منبع الکترونیکی www.geogebratube.org (مواد تعاملی برای کار با برنامه)

وظایف ساخت بخش های یک مکعب توسط یک هواپیما، به عنوان یک قاعده، ساده تر از، به عنوان مثال، وظایف برای بخش های یک هرم است.

اگر دو نقطه در یک صفحه قرار بگیرند، می توانیم از میان آنها خط بکشیم. هنگام ساخت بخش هایی از یک مکعب، یک گزینه دیگر برای ساخت ردی از یک صفحه برش امکان پذیر است. از آنجایی که صفحه سوم دو صفحه موازی را در امتداد خطوط مستقیم موازی قطع می کند، پس اگر قبلاً در یکی از وجوه یک خط مستقیم ساخته شده باشد و در دیگری نقطه ای وجود داشته باشد که بخش از آن عبور کند، می توانیم یک خط مستقیم از آن رسم کنیم. این نقطه موازی با نقطه داده شده است.

با استفاده از مثال‌های خاص، نحوه ساختن بخش‌هایی از یک مکعب توسط یک صفحه را در نظر بگیرید.

1) قسمتی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از نقاط A، C و M می گذرد.

مسائل از این نوع ساده ترین مسائل برای ساختن بخش های یک مکعب هستند. از آنجایی که نقاط A و C در یک صفحه قرار دارند (ABC)، می‌توانیم خطی از آنها رسم کنیم. ردپای آن قطعه AC است. نامرئی است، بنابراین ما AC را با یک ضربه به تصویر می کشیم. به طور مشابه، نقاط M و C را که در یک صفحه قرار دارند (CDD1) و نقاط A و M را که در همان صفحه قرار دارند (ADD1) به هم وصل می کنیم. مثلث ACM بخش مورد نیاز است.

2) برشی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از نقاط M، N، P می گذرد.

در اینجا فقط نقاط M و N در یک صفحه قرار دارند (ADD1)، بنابراین یک خط مستقیم از بین آنها رسم می کنیم و رد MN (نامرئی) را بدست می آوریم. از آنجایی که وجوه مخالف مکعب در صفحات موازی قرار دارند، صفحه برش صفحات موازی (ADD1) و (BCC1) را در امتداد خطوط موازی قطع می کند. ما قبلاً یکی از خطوط موازی را ساخته ایم - این MN است.

از طریق نقطه P خطی موازی با MN رسم می کنیم. این لبه BB1 را در نقطه S قطع می کند. PS رد صفحه سکونت در صورت (BCC1) است.

از میان نقاط M و S که در یک صفحه قرار دارند یک خط مستقیم می کشیم (ABB1). رد MS را دریافت کردم (قابل مشاهده).

صفحات (ABB1) و (CDD1) موازی هستند. از قبل یک خط MS در صفحه (ABB1) وجود دارد، بنابراین از طریق نقطه N در صفحه (CDD1) خطی موازی با MS رسم می کنیم. این خط لبه D1C1 را در نقطه L قطع می کند. رد آن NL (نامرئی) است. نقاط P و L در یک صفحه قرار دارند (A1B1C1)، بنابراین یک خط مستقیم از بین آنها رسم می کنیم.

پنتاگون MNLPS بخش مورد نیاز است.

3) برشی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از نقاط M، N، P می گذرد.

نقاط M و N در یک صفحه قرار دارند (BCC1)، بنابراین می توان یک خط مستقیم از میان آنها رسم کرد. ما رد MN (قابل مشاهده) را دریافت می کنیم. صفحه (BCC1) با صفحه (ADD1) موازی است، بنابراین از طریق نقطه P واقع در (ADD1) خطی موازی با MN رسم می کنیم. این لبه AD را در نقطه E قطع می کند. ما ردیابی PE (نامرئی) را دریافت کردیم.

دیگر هیچ نقطه ای در یک صفحه یا یک خط و یک نقطه در صفحات موازی وجود ندارد. بنابراین، برای به دست آوردن امتیاز اضافی، باید یکی از خطوط موجود را ادامه داد.

اگر خط MN را ادامه دهیم، از آنجایی که در صفحه (BCC1) قرار دارد، باید به دنبال نقطه تلاقی MN با یکی از خطوط این صفحه باشیم. در حال حاضر نقاط تقاطع با CC1 و B1C1 وجود دارد - اینها M و N هستند. خطوط BC و BB1 باقی می مانند. BC و MN را تا تقاطع نقطه K ادامه می دهیم. نقطه K روی خط BC قرار دارد، یعنی متعلق به صفحه (ABC) است، بنابراین می توانیم از طریق آن و نقطه E در این صفحه یک خط بکشیم. این سی دی لبه را در نقطه H قطع می کند. EH رد آن (نامرئی) است. از آنجایی که H و N در یک صفحه قرار دارند (CDD1)، می توان یک خط مستقیم از میان آنها رسم کرد. ما رد HN (نامرئی) را دریافت می کنیم.

صفحات (ABC) و (A1B1C1) موازی هستند. یکی از آنها شامل خط EH و دیگری حاوی نقطه M است. می توانیم خطی را از طریق M به موازات EH رسم کنیم. ما ردیابی MF (قابل مشاهده) را دریافت می کنیم. از نقاط M و F یک خط مستقیم می کشیم.

شش ضلعی MNHEPF بخش مورد نیاز است.

اگر خط MN را تا تقاطع با خط دیگری در صفحه (BCC1)، با BB1 ادامه دهیم، آنگاه یک نقطه G متعلق به صفحه (ABB1) به دست می‌آوریم. یعنی از طریق G و P می توان خطی رسم کرد که رد آن PF باشد. علاوه بر این، خطوط مستقیم را از طریق نقاطی که در صفحات موازی قرار دارند ترسیم می کنیم و به همان نتیجه می رسیم.

کار با PE خط مستقیم همان سطح مقطع MNHEPF را می دهد.

4) قسمتی از مکعب را با صفحه ای که از نقطه M, N, P می گذرد بسازید.

در اینجا می توانیم از طریق نقاط M و N که در یک صفحه قرار دارند یک خط مستقیم رسم کنیم (A1B1C1). رد پای او MN (قابل مشاهده) است. هیچ نقطه دیگری در یک صفحه یا در صفحات موازی وجود ندارد.

خط MN را ادامه می دهیم. در صفحه (A1B1C1) قرار دارد، بنابراین فقط می تواند با یکی از خطوط این صفحه قطع شود. در حال حاضر نقاط تقاطع با A1D1 و C1D1 - N و M وجود دارد. دو خط دیگر از این هواپیما A1B1 و B1C1 هستند. نقطه تقاطع A1B1 و MN S است. از آنجایی که روی خط A1B1 قرار دارد، متعلق به صفحه (ABB1) است، به این معنی که می توان یک خط از آن و نقطه P که در همان صفحه قرار دارد ترسیم کرد. خط PS لبه AA1 را در نقطه E قطع می کند. PE اثر آن (قابل مشاهده) است. از طریق نقاط N و E که در یک صفحه قرار دارند (ADD1) می توان یک خط مستقیم ترسیم کرد که رد آن NE (نامرئی) است. یک خط NE در صفحه (ADD1) و یک نقطه P در صفحه موازی با آن وجود دارد (BCC1) از طریق نقطه P می توانیم یک خط PL موازی با NE رسم کنیم. لبه CC1 را در نقطه L قطع می کند. PL رد این خط است (قابل مشاهده). نقاط M و L در یک صفحه قرار دارند (CDD1) که به این معنی است که می توان یک خط مستقیم از میان آنها رسم کرد. رد پای او ML (نامرئی) است. MLPEN پنج ضلعی بخش مورد نیاز است.

می‌توان خط NM را در هر دو جهت ادامه داد و به دنبال نقاط تقاطع آن نه تنها با خط A1B1، بلکه با خط B1C1، که در صفحه (A1B1C1) نیز قرار دارد، گشت. در این حالت، دو خط مستقیم از نقطه P می‌کشیم: یکی در صفحه (ABB1) از نقاط P و S و دیگری در صفحه (BCC1) از طریق نقاط P و R. پس از آن. ، باقی مانده است که نقاطی را که در همان صفحه قرار دارند وصل کنیم: M c L ، E - با N.