معادله مماس بر نمودار تابع برابر است با. درس "معادله مماس بر نمودار تابع"

در مرحله کنونی توسعه آموزش، یکی از وظایف اصلی آن شکل گیری شخصیت خلاق متفکر است. توانایی خلاقیت در دانش آموزان تنها در صورتی می تواند توسعه یابد که آنها به طور سیستماتیک در اصول اولیه فعالیت های پژوهشی شرکت داشته باشند. شالوده استفاده از نیروهای خلاق، توانایی ها و استعدادهای دانش آموزان، دانش و مهارت های تمام عیار است. در این راستا مشکل تشکیل نظام دانش و مهارت های پایه برای هر مبحث درس ریاضی مدرسه اهمیت کمی ندارد. در عین حال، مهارت های تمام عیار باید هدف آموزشی نه وظایف فردی، بلکه سیستم دقیق فکر شده آنها باشد. در گسترده‌ترین مفهوم، یک سیستم به عنوان مجموعه‌ای از عناصر متقابل به هم مرتبط که دارای یکپارچگی و ساختاری پایدار است، درک می‌شود.

روشی را برای آموزش نحوه ترسیم معادله مماس بر نمودار تابع در نظر بگیرید. در اصل، تمام وظایف برای یافتن معادله مماس به نیاز به انتخاب از مجموعه (شف، خانواده) خطوط کاهش می یابد که یک نیاز خاص را برآورده می کنند - آنها بر نمودار یک تابع خاص مماس هستند. در این مورد، مجموعه خطوطی که انتخاب از آنها انجام می شود به دو صورت قابل تعیین است:

الف) نقطه ای که روی صفحه xOy قرار دارد (مداد مرکزی خطوط).
ب) ضریب زاویه ای (بسته موازی خطوط).

در این راستا، هنگام مطالعه مبحث "مماس بر نمودار یک تابع" به منظور جداسازی عناصر سیستم، دو نوع کار را شناسایی کردیم:

1) وظایف بر روی مماس داده شده توسط نقطه ای که از آن عبور می کند.
2) وظایف روی مماس داده شده توسط شیب آن.

یادگیری حل مسائل روی یک مماس با استفاده از الگوریتم ارائه شده توسط A.G انجام شد. موردکوویچ. به او تفاوت اساسیاز آنچه قبلاً شناخته شده است در این واقعیت نهفته است که آبسیسا نقطه مماس با حرف a (به جای x0) نشان داده می شود که در رابطه با آن معادله مماس شکل می گیرد.

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(مقایسه با y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). این تکنیک روش شناختی، به نظر ما، به دانش آموزان اجازه می دهد تا به سرعت و به راحتی متوجه شوند که مختصات نقطه فعلی کجا نوشته شده است. در معادله مماس کلی، و نقاط تماس کجا هستند.

الگوریتم کامپایل معادله مماس بر نمودار تابع y = f(x)

1. با حرف a ابسیسا نقطه تماس را مشخص کنید.
2. f(a) را پیدا کنید.
3. f "(x) و f "(a) را پیدا کنید.
4. اعداد یافت شده a، f (a)، f "(a) را در معادله کلی مماس y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) جایگزین کنید.

این الگوریتم را می توان بر اساس انتخاب مستقل دانش آموزان از عملیات و ترتیب اجرای آنها تدوین کرد.

تمرین این را نشان داده است راه حل سازگارهر یک از وظایف کلیدی با کمک الگوریتم به شما امکان می دهد توانایی نوشتن معادله مماس بر نمودار تابع را در مراحل ایجاد کنید و مراحل الگوریتم به عنوان نقاط قوی برای اقدامات عمل می کنند. این رویکرد مطابق با نظریه شکل گیری تدریجی اعمال ذهنی است که توسط P.Ya توسعه یافته است. گالپرین و N.F. تالیزینا.

در نوع اول وظایف، دو وظیفه کلیدی شناسایی شد:

• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار دارد (مسئله 1).
• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی نیست (مساله 2).

وظیفه 1. مماس بر نمودار تابع را برابر کنید در نقطه M(3; – 2).

تصمیم. نقطه M(3; – 2) نقطه تماس است، زیرا

1. a = 3 - آبسیس نقطه لمس.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4، f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3)، y \u003d 5x - 17 معادله مماس است.

وظیفه 2. معادلات همه مماس ها بر نمودار تابع y = - x 2 - 4x + 2 را که از نقطه M(- 3; 6) عبور می کند، بنویسید.

تصمیم. نقطه M(- 3; 6) یک نقطه مماس نیست، زیرا f(-3) 6 (شکل 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4، f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - معادله مماس.

مماس از نقطه M(- 3; 6) عبور می کند، بنابراین، مختصات آن معادله مماس را برآورده می کند.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a)
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4، a 2 = - 2.

اگر a = – 4 باشد، معادله مماس y = 4x + 18 است.

اگر a \u003d - 2 باشد، معادله مماس به شکل y \u003d 6 است.

در نوع دوم، وظایف کلیدی به شرح زیر خواهد بود:

• مماس موازی با یک خط مستقیم است (مسئله 3).
• مماس در یک زاویه به خط داده شده می گذرد (مسئله 4).

وظیفه 3. معادلات همه مماس ها را به نمودار تابع y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 موازی با خط y \u003d 9x + 1 بنویسید.

1. الف - آبسیسه نقطه لمس.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x، f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

اما، از سوی دیگر، f "(a) \u003d 9 (شرط موازی). بنابراین، ما باید معادله 3a 2 - 6a \u003d 9 را حل کنیم. ریشه های آن a \u003d - 1، a \u003d 3 (شکل . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 معادله مماس است.

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 معادله مماس است.

وظیفه 4. معادله مماس بر نمودار تابع y = 0.5x 2 - 3x + 1 را بنویسید که با زاویه 45 درجه از خط مستقیم y = 0 عبور می کند (شکل 4).

تصمیم. از شرط f "(a) \u003d tg 45 درجه a را پیدا می کنیم: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - آبسیس نقطه لمس.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - معادله مماس.

به راحتی می توان نشان داد که راه حل هر مشکل دیگری به حل یک یا چند مسئله کلیدی خلاصه می شود. دو مشکل زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید.

1. معادلات مماس ها به سهمی y = 2x 2 - 5x - 2 را بنویسید، اگر مماس ها در یک زاویه قائمه قطع شوند و یکی از آنها سهمی را در نقطه ای با آبسیسا 3 لمس کند (شکل 5).

تصمیم. از آنجایی که آبسیسا نقطه تماس داده شده است، بخش اول راه حل به مسئله کلیدی 1 کاهش می یابد.

1. a = 3 - آبسیس نقطه تماس یکی از طرفین زاویه راست.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5، f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3)، y \u003d 7x - 20 - معادله اولین مماس.

a شیب اولین مماس باشد. از آنجایی که مماس ها عمود هستند، پس زاویه میل مماس دوم است. از معادله y = 7x – 20 مماس اول tg a = 7 داریم. پیدا کنید

این بدان معنی است که شیب مماس دوم است.

راه حل بیشتر به وظیفه کلیدی 3 کاهش می یابد.

فرض کنید B(c؛ f(c)) نقطه مماس خط دوم باشد، پس

1. - آبسیس نقطه تماس دوم.
2.
3.
4.
معادله مماس دوم است.

توجه داشته باشید. اگر دانش آموزان نسبت ضرایب خطوط عمود بر k 1 k 2 = - 1 را بدانند، ضریب زاویه ای مماس را می توان آسان تر یافت.

2. معادلات تمام مماس های مشترک بر نمودارهای تابع را بنویسید

تصمیم. کار به یافتن ابسیساهای نقاط تماس مماس های مشترک، یعنی حل مسئله کلیدی 1 به صورت کلی، تدوین یک سیستم معادلات و سپس حل آن خلاصه می شود (شکل 6).

1. فرض کنید a آبسیسا نقطه لمسی باشد که روی نمودار تابع y = x 2 + x + 1 قرار دارد.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. فرض کنید c ابسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع باشد.
2.
3. f "(c) = c.
4.

از آنجایی که مماس ها مشترک هستند، پس

بنابراین y = x + 1 و y = - 3x - 3 مماس های مشترک هستند.

هدف اصلی وظایف در نظر گرفته شده این است که دانش آموزان را برای خودشناسی نوع کار کلیدی در هنگام حل وظایف پیچیده تری که به مهارت های تحقیقاتی خاصی نیاز دارد (توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، ارائه فرضیه و غیره) آماده کند. چنین وظایفی شامل هر وظیفه ای است که وظیفه کلیدی به عنوان یک جزء در آن گنجانده شده است. اجازه دهید به عنوان مثال مسئله (معکوس مسئله 1) یافتن تابعی از خانواده مماس های آن را در نظر بگیریم.

3. برای کدام b و c خطوط y \u003d x و y \u003d - 2x مماس بر نمودار تابع y \u003d x 2 + bx + c هستند؟

فرض کنید t ابسیسا نقطه تماس خط y = x با سهمی y = x 2 + bx + c باشد. p ابسیسا نقطه تماس خط y = - 2x با سهمی y = x 2 + bx + c است. سپس معادله مماس y = x به شکل y = (2t + b)x + c - t 2 و معادله مماس y = - 2x به شکل y = (2p + b)x + c - p 2 خواهد بود. .

یک سیستم معادلات بسازید و حل کنید

پاسخ:

مماس یک خط مستقیم است ، که نمودار تابع را در یک نقطه لمس می کند و تمام نقاط آن در کمترین فاصله از نمودار تابع قرار دارند. بنابراین مماس مماس بر نمودار تابع در یک زاویه مشخص می گذرد و چندین مماس نمی توانند در زوایای مختلف از نقطه مماس عبور کنند. معادلات مماس و معادلات نرمال به نمودار تابع با استفاده از مشتق جمع‌آوری می‌شوند.

معادله مماس از معادله خط مستقیم به دست می آید .

معادله مماس و سپس معادله نرمال به نمودار تابع را استخراج می کنیم.

y = kx + ب .

در او ک- ضریب زاویه ای

از اینجا ورودی زیر را دریافت می کنیم:

y - y 0 = ک(ایکس - ایکس 0 ) .

ارزش مشتق f "(ایکس 0 ) کارکرد y = f(ایکس) در نقطه ایکس0 برابر با شیب ک= tg φ مماس بر نمودار تابعی که از یک نقطه ترسیم شده است م0 (ایکس 0 , y 0 ) ، جایی که y0 = f(ایکس 0 ) . این چیزی است که حس هندسیمشتق .

بنابراین، ما می توانیم جایگزین کنیم کبر f "(ایکس 0 ) و موارد زیر را دریافت کنید معادله مماس بر نمودار تابع :

y - y 0 = f "(ایکس 0 )(ایکس - ایکس 0 ) .

در کارهای کامپایل معادله مماس بر نمودار یک تابع (و به زودی به سراغ آنها خواهیم رفت) لازم است معادله به دست آمده از فرمول بالا را به معادله کلی یک خط مستقیم. برای این کار باید تمام حروف و اعداد را به سمت چپ معادله منتقل کنید و در سمت راست صفر را رها کنید.

حالا در مورد معادله نرمال. طبیعی خط مستقیمی است که از نقطه مماس بر نمودار تابع عمود بر مماس عبور می کند. معادله نرمال :

(ایکس - ایکس 0 ) + f "(ایکس 0 )(y - y 0 ) = 0

برای گرم کردن مثال اول، از شما خواسته می شود خودتان آن را حل کنید و سپس به راه حل نگاه کنید. دلایل زیادی وجود دارد که امیدوار باشیم این وظیفه برای خوانندگان ما "دوش آب سرد" نباشد.

مثال 0.معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را در یک نقطه بسازید. م (1, 1) .

مثال 1معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بسازید اگر آبسیسا نقطه لمس باشد .

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

اکنون ما همه چیزهایی را داریم که باید در ورودی ارائه شده در مرجع نظری جایگزین شود تا معادله مماس را بدست آوریم. ما گرفتیم

در این مثال، ما خوش شانس بودیم: شیب برابر با صفر است، بنابراین به طور جداگانه معادله را به نمای کلینیازی نداشت حالا می توانیم معادله عادی را بنویسیم:

در شکل زیر: نمودار تابع بورگوندی، مماس رنگ سبز، معمولی نارنجی است.

مثال بعدی نیز پیچیده نیست: تابع، مانند مورد قبلی، نیز چند جمله ای است، اما ضریب شیب برابر با صفر نخواهد بود، بنابراین یک مرحله دیگر اضافه می شود - معادله را به یک فرم کلی می رساند.

مثال 2

تصمیم. بیایید ترتیب نقطه تماس را پیدا کنیم:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

.

بیایید مقدار مشتق را در نقطه تماس، یعنی شیب مماس پیدا کنیم:

تمام داده های به دست آمده را با "فرمول خالی" جایگزین می کنیم و معادله مماس را بدست می آوریم:

معادله را به شکل کلی در می آوریم (همه حروف و اعداد غیر از صفر را در سمت چپ جمع می کنیم و در سمت راست صفر می گذاریم):

معادله نرمال را می سازیم:

مثال 3معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بسازید اگر آبسیسا نقطه تماس باشد.

تصمیم. بیایید ترتیب نقطه تماس را پیدا کنیم:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

.

بیایید مقدار مشتق را در نقطه تماس، یعنی شیب مماس پیدا کنیم:

.

معادله مماس را پیدا می کنیم:

قبل از آوردن معادله به یک فرم کلی، باید آن را کمی "ترکیب" کنید: جمله به جمله را در 4 ضرب کنید. این کار را انجام می دهیم و معادله را به یک فرم کلی می آوریم:

معادله نرمال را می سازیم:

مثال 4معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بسازید اگر آبسیسا نقطه تماس باشد.

تصمیم. بیایید ترتیب نقطه تماس را پیدا کنیم:

.

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

بیایید مقدار مشتق را در نقطه تماس، یعنی شیب مماس پیدا کنیم:

.

معادله مماس را بدست می آوریم:

معادله را به شکل کلی در می آوریم:

معادله نرمال را می سازیم:

یک اشتباه رایج هنگام نوشتن معادلات مماس و نرمال این است که متوجه پیچیده بودن تابع ارائه شده در مثال نمی شوید و مشتق آن را به عنوان مشتق یک تابع ساده محاسبه می کنید. نمونه های زیر در حال حاضر هستند توابع پیچیده(درس مربوطه در یک پنجره جدید باز می شود).

مثال 5معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بسازید اگر آبسیسا نقطه تماس باشد.

تصمیم. بیایید ترتیب نقطه تماس را پیدا کنیم:

توجه! این تابع- پیچیده، زیرا برهان مماس (2 ایکس) خود یک تابع است. بنابراین، مشتق یک تابع را به عنوان مشتق تابع مختلط می یابیم.

مماسخط مستقیمی است که از نقطه ای از منحنی می گذرد و در این نقطه تا مرتبه اول با آن منطبق است (شکل 1).

تعریف دیگر: این موقعیت حدی سکنت در Δ است ایکس→0.

توضیح: خطی را در نظر بگیرید که منحنی را در دو نقطه قطع می کند: وو ب(تصویر را ببینید). این یک سکانت است. ما آن را در جهت عقربه های ساعت می چرخانیم تا زمانی که فقط یک عدد داشته باشد نقطه مشترکبا یک منحنی بنابراین یک مماس بدست می آوریم.

تعریف دقیق مماس:

نمودار مماس بر تابع f، قابل تمایز در یک نقطه ایکسدر باره، خطی است که از نقطه عبور می کند ( ایکسدر باره; f(ایکسدر باره)) و داشتن شیب f′( ایکسدر باره).

شیب دارای یک خط مستقیم است y=kx +ب. ضریب کو است فاکتور شیباین خط مستقیم

ضریب زاویه ای برابر با مماس است زاویه حادتوسط این خط مستقیم با محور آبسیسا تشکیل شده است:

ک = tgα

در اینجا زاویه α زاویه بین خط است y=kx +بو جهت مثبت (یعنی خلاف جهت عقربه های ساعت) محور x. نامیده می شود زاویه شیب مستقیم(شکل 1 و 2).

اگر زاویه میل مستقیم باشد y=kx +بحاد، سپس شیب یک عدد مثبت است. نمودار افزایش می یابد (شکل 1).

اگر زاویه میل مستقیم باشد y=kx +بمات، سپس شیب یک عدد منفی است. نمودار در حال کاهش است (شکل 2).

اگر خط موازی با محور x باشد، شیب خط صفر است. در این حالت شیب خط نیز صفر است (چون مماس صفر صفر است). معادله خط مستقیم شبیه y = b خواهد بود (شکل 3).

اگر زاویه میل یک خط مستقیم 90 درجه (π/2) باشد، یعنی بر محور x عمود باشد، خط مستقیم با تساوی به دست می آید. x=ج، جایی که ج- تعدادی عدد واقعی (شکل 4).

معادله مماس بر نمودار تابعy = f(ایکس) در نقطه ایکسدر باره:

مثال : بیایید معادله را پیدا کنیممماس بر نمودار تابع f(ایکس) = ایکس 3 – 2ایکس 2 + 1 در نقطه با آبسیسا 2.

تصمیم .

الگوریتم را دنبال می کنیم.

1) نقطه لمس ایکسدر بارهبرابر 2. محاسبه کنید f(ایکسدر باره):

f(ایکسدر باره) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) پیدا کنید f′( ایکس). برای این کار از فرمول های تمایز که در قسمت قبل توضیح داده شد استفاده می کنیم. با توجه به این فرمول ها، ایکس 2 = 2ایکس، آ ایکس 3 = 3ایکس 2. به معنای:

f′( ایکس) = 3ایکس 2 – 2 ∙ 2ایکس = 3ایکس 2 – 4ایکس.

حالا با استفاده از مقدار به دست آمده f′( ایکس)، محاسبه f′( ایکسدر باره):

f′( ایکسدر باره) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) بنابراین، ما تمام داده های لازم را داریم: ایکسدر باره = 2, f(ایکسدر باره) = 1, f ′( ایکسدر باره) = 4. این اعداد را جایگزین معادله مماس می کنیم و جواب نهایی را پیدا می کنیم:

y= f(ایکسدر باره) + f′( ایکسدر باره) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

پاسخ: y \u003d 4x - 7.

مثال 1یک تابع داده شده است f(ایکس) = 3ایکس 2 + 4ایکس– 5. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) در نقطه نمودار با آبسیسا ایکس 0 = 1.

تصمیم.مشتق تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید آن را پیدا کنیم:

= (3ایکس 2 + 4ایکس– 5) = 6 ایکس + 4.

سپس f(ایکس 0) = f(1) = 2; (ایکس 0) = = 10. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (ایکس 0) (ایکس – ایکس 0) + f(ایکس 0),

y = 10(ایکس – 1) + 2,

y = 10ایکس – 8.

پاسخ. y = 10ایکس – 8.

مثال 2یک تابع داده شده است f(ایکس) = ایکس 3 – 3ایکس 2 + 2ایکس+ 5. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) موازی با خط y = 2ایکس – 11.

تصمیم.مشتق تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 3 – 3ایکس 2 + 2ایکس+ 5) = 3 ایکس 2 – 6ایکس + 2.

از آنجایی که مماس بر نمودار تابع f(ایکس) در نقطه با آبسیسا ایکس 0 موازی خط است y = 2ایکس- 11، سپس شیب آن 2 است، یعنی ( ایکس 0) = 2. این آبسیسا را ​​از شرط 3 پیدا کنید ایکس– 6ایکس 0 + 2 = 2. این برابری فقط برای ایکس 0 = 0 و ایکس 0 = 2. از آنجایی که در هر دو مورد f(ایکس 0) = 5، سپس خط مستقیم y = 2ایکس + بنمودار تابع را در نقطه (0; 5) یا در نقطه (2; 5) لمس می کند.

در حالت اول، برابری عددی 5 = 2×0 + درست است ب، جایی که ب= 5، و در مورد دوم، برابری عددی درست است 5 = 2 × 2 + ب، جایی که ب = 1.

بنابراین دو مماس وجود دارد y = 2ایکس+ 5 و y = 2ایکس+ 1 به نمودار تابع f(ایکس) موازی با خط y = 2ایکس – 11.

پاسخ. y = 2ایکس + 5, y = 2ایکس + 1.

مثال 3یک تابع داده شده است f(ایکس) = ایکس 2 – 6ایکس+ 7. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) عبور از نقطه آ (2; –5).

تصمیم.زیرا f(2) -5، سپس نقطه آبه نمودار تابع تعلق ندارد f(ایکس). بگذار باشد ایکس 0 - آبسیسه نقطه لمس.

مشتق تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 2 – 6ایکس+ 1) = 2 ایکس – 6.

سپس f(ایکس 0) = ایکس– 6ایکس 0 + 7; (ایکس 0) = 2ایکس 0 - 6. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (2ایکس 0 – 6)(ایکس – ایکس 0) + ایکس– 6ایکس+ 7,

y = (2ایکس 0 – 6)ایکس– ایکس+ 7.

از آنجا که نقطه آمتعلق به مماس است، پس برابری عددی درست است

–5 = (2ایکس 0 – 6)×2– ایکس+ 7,

جایی که ایکس 0 = 0 یا ایکس 0 = 4. این بدان معنی است که از طریق نقطه آمی توان دو مماس بر روی نمودار تابع رسم کرد f(ایکس).

اگر ایکس 0 = 0، سپس معادله مماس شکل دارد y = –6ایکس+ 7. اگر ایکس 0 = 4، سپس معادله مماس شکل دارد y = 2ایکس – 9.

پاسخ. y = –6ایکس + 7, y = 2ایکس – 9.

مثال 4توابع داده شده f(ایکس) = ایکس 2 – 2ایکس+ 2 و g(ایکس) = –ایکس 2 - 3. معادله مماس مشترک بر نمودارهای این توابع را بنویسیم.

تصمیم.بگذار باشد ایکس 1 - آبسیسه نقطه تماس خط مورد نظر با نمودار تابع f(ایکس)، آ ایکس 2 - آبسیسه نقطه تماس همان خط با نمودار تابع g(ایکس).

مشتق تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 2 – 2ایکس+ 2) = 2 ایکس – 2.

سپس f(ایکس 1) = ایکس– 2ایکس 1 + 2; (ایکس 1) = 2ایکس 1 - 2. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (2ایکس 1 – 2)(ایکس – ایکس 1) + ایکس– 2ایکس 1 + 2,

y = (2ایکس 1 – 2)ایکس – ایکس+ 2. (1)

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم g(ایکس):

= (–ایکس 2 – 3)′ = –2 ایکس.

Y \u003d f (x) و اگر در این نقطه بتوان یک مماس به نمودار تابع رسم کرد که عمود بر محور x نیست، شیب مماس f "(a) است. ما قبلاً از این چند استفاده کرده‌ایم. به عنوان مثال، در § 33 مشخص شد که نمودار تابع y \u003d sin x (سینوسوئید) در مبدا زاویه 45 درجه با محور آبسیسا تشکیل می دهد (به طور دقیق تر مماس بر نمودار در مبدأ با جهت مثبت محور x زاویه 45 درجه ایجاد می کند، و در مثال 5 از § 33 نقطه در برنامه داده شده یافت شد. کارکرد، که در آن مماس موازی با محور x است. در مثال 2 § 33، معادله ای برای مماس بر نمودار تابع y \u003d x 2 در نقطه x \u003d 1 (به طور دقیق تر، در نقطه (1؛ 1) ترسیم شد، اما اغلب فقط مقدار ابسیسا نشان داده می شود، با این فرض که اگر مقدار ابسیسا مشخص باشد، می توان مقدار ابسیسا را ​​از معادله y = f(x) پیدا کرد. در این بخش الگوریتمی برای کامپایل معادله مماس بر نمودار هر تابع ایجاد می کنیم.

اجازه دهید تابع y \u003d f (x) و نقطه M (a; f (a)) داده شود و همچنین مشخص است که f "(a) وجود دارد. اجازه دهید معادله مماس بر نمودار را بسازیم. عملکرد داده شدهدر یک نقطه معین این معادله، مانند معادله هر خط مستقیمی که با محور y موازی نیست، به شکل y = kx + m است، بنابراین مشکل یافتن مقادیر ضرایب k و m است.

هیچ مشکلی با شیب k وجود ندارد: ما می دانیم که k \u003d f "(a). برای محاسبه مقدار m، از این واقعیت استفاده می کنیم که خط مورد نظر از نقطه M عبور می کند (a; f (a)). این بدان معنی است که اگر نقاط مختصات M را در معادله یک خط مستقیم جایگزین کنیم، برابری صحیح را بدست می آوریم: f (a) \u003d ka + m، از آنجا متوجه می شویم که m \u003d f (a) - ka.
باقی مانده است که مقادیر یافت شده ضرایب نهنگ را جایگزین کنیم معادلهسر راست:

ما معادله مماس بر نمودار تابع y \u003d f (x) را در نقطه x \u003d a به دست آورده ایم.
اگر بگو
با جایگزینی در معادله (1) مقادیر یافت شده a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2 دریافت می کنیم: y \u003d 1 + 2 (x-f)، یعنی y \u003d 2x -1.
این نتیجه را با نتیجه به دست آمده در مثال 2 از § 33 مقایسه کنید. طبیعتاً همین اتفاق افتاد.
اجازه دهید معادله مماس بر نمودار تابع y \u003d tg x در مبدا بسازیم. ما داریم: بنابراین cos x f "(0) = 1. با جایگزینی مقادیر یافت شده a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 در معادله (1) به دست می آوریم: y \u003d x .
به همین دلیل است که ما مماس را در § 15 (نگاه کنید به شکل 62) از طریق مبدأ مختصات در زاویه 45 درجه نسبت به محور آبسیسا ترسیم کردیم.
حل اینها کافی است مثال های ساده، در واقع از الگوریتم خاصی استفاده کردیم که در فرمول (1) تعبیه شده است. بیایید این الگوریتم را صریح کنیم.

الگوریتم تشکیل معادله تابع مماس بر نمودار y \u003d f (x)

1) ابسیسا نقطه تماس را با حرف الف مشخص کنید.
2) 1 (الف) را محاسبه کنید.
3) f "(x) را پیدا کنید و f" (a) را محاسبه کنید.
4) اعداد a، f(a)، (a) را در فرمول (1) جایگزین کنید.

مثال 1معادله ای برای مماس بر نمودار تابع در نقطه x=1 بنویسید.
بیایید با توجه به اینکه در این مثال از الگوریتم استفاده کنیم

روی انجیر 126 یک هذلولی را نشان می دهد، یک خط مستقیم y \u003d 2x ساخته شده است.
نقاشی محاسبات فوق را تأیید می کند: در واقع، خط y \u003d 2-x هذلولی را در نقطه (1؛ 1) لمس می کند.

پاسخ: y \u003d 2-x.
مثال 2یک مماس بر نمودار تابع رسم کنید تا با خط مستقیم y \u003d 4x - 5 موازی شود.
اجازه دهید فرمول مسئله را اصلاح کنیم. شرط «رسم مماس» معمولاً به معنای «معادله ای برای مماس» است. این منطقی است، زیرا اگر شخصی بتواند معادله ای برای مماس ترسیم کند، بعید است که در ساختن آن مشکل داشته باشد. هواپیمای مختصاتخط مستقیم با توجه به معادله او.
بیایید از الگوریتم برای کامپایل معادله مماس استفاده کنیم، با توجه به اینکه در این مثال، بر خلاف مثال قبلی، در اینجا ابهام وجود دارد: آبسیسا نقطه مماس به صراحت نشان داده نشده است.
بیایید اینگونه صحبت را شروع کنیم. مماس مورد نظر باید موازی با خط مستقیم y \u003d 4x-5 باشد. دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که شیب آنها برابر باشد. این بدان معنی است که شیب مماس باید برابر با شیب خط مستقیم داده شده باشد: بنابراین ، می توانیم مقدار a را از معادله f "(a) \u003d 4 پیدا کنیم.
ما داریم:
از معادله بنابراین، دو مماس وجود دارد که شرایط مسئله را برآورده می کند: یکی در نقطه ای با آبسیسا 2، دیگری در نقطه ای با آبسیسا -2.
حالا می توانید طبق الگوریتم عمل کنید.

مثال 3از نقطه (0؛ 1) مماس بر نمودار تابع رسم کنید
بیایید از الگوریتم برای کامپایل معادله مماس استفاده کنیم، با توجه به اینکه در این مثال توجه داشته باشید که در اینجا، مانند مثال 2، ابسیسا نقطه مماس به صراحت نشان داده نشده است. با این وجود، ما طبق الگوریتم عمل می کنیم.

طبق شرط، مماس از نقطه (0؛ 1) عبور می کند. با جایگزینی معادله (2) مقادیر x = 0، y = 1، دریافت می کنیم:
همانطور که می بینید، در این مثال، تنها در مرحله چهارم الگوریتم موفق شدیم ابسیسا نقطه لمس را پیدا کنیم. با جایگزینی مقدار a \u003d 4 به معادله (2)، دریافت می کنیم:

روی انجیر 127 یک تصویر هندسی از مثال در نظر گرفته شده را نشان می دهد: نموداری از تابع

در بند 32 اشاره کردیم که برای یک تابع y = f(x)، که مشتقی در نقطه ثابت x دارد، برابری تقریبی برقرار است:

برای راحتی استدلال بیشتر، نماد را تغییر می دهیم: به جای x ما a را می نویسیم، در عوض x را می نویسیم و بر این اساس به جای آن x-a را می نویسیم. سپس برابری تقریبی نوشته شده در بالا به شکل زیر در می آید:

حالا به انجیر نگاهی بیندازید. 128. یک مماس به نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه M رسم می شود (a؛ f (a)). نقطه x در محور x نزدیک به a مشخص شده است. واضح است که f(x) ترتیب نمودار تابع در نقطه مشخص شده x است. و f (a) + f "(a) (x-a) چیست؟ این مماس مماس مربوط به همان نقطه x است - فرمول (1) را ببینید. معنای برابری تقریبی (3) چیست؟ مقدار تقریبی تابع را محاسبه کنید، مقدار مختصات مماس گرفته می شود.

مثال 4مقدار تقریبی عبارت عددی 1.02 7 را بیابید.
ما در مورد یافتن مقدار تابع y \u003d x 7 در نقطه x \u003d 1.02 صحبت می کنیم. با در نظر گرفتن اینکه در این مثال از فرمول (3) استفاده می کنیم
در نتیجه، دریافت می کنیم:

اگر از ماشین حساب استفاده کنیم، به دست می آید: 1.02 7 = 1.148685667...
همانطور که می بینید، دقت تقریبی کاملا قابل قبول است.
پاسخ: 1,02 7 =1,14.

A.G. جبر موردکوویچ درجه 10

برنامه ریزی تقویمی- موضوعی در ریاضیات، ویدئودر ریاضیات آنلاین دانلود ریاضی در مدرسه

محتوای درس خلاصه درسفن آوری های تعاملی از روش های شتاب دهنده ارائه درس پشتیبانی می کند تمرین تکالیف و تمرینات کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، کوئست ها سوالات بحث تکلیف سوالات بلاغی از دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس ها، تصاویر گرافیکی، جداول، طرح های طنز، حکایت ها، جوک ها، تمثیل های کمیک، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول ها افزونه ها چکیده هاتراشه های مقاله برای برگه های تقلب کنجکاو کتاب های درسی پایه و واژه نامه اضافی اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی بخشی در کتاب درسی عناصر نوآوری در درس جایگزین دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کامل طرح تقویمبرای یک سال دستورالعمل هابرنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی