تمام وجوه یک هرم منتظم چند ضلعی منظم هستند. چه چیزی به ما اجازه می دهد که هرم را یک معجزه هندسی بدانیم

دانش آموزان مدت ها قبل از مطالعه هندسه با مفهوم هرم مواجه می شوند. عجایب مشهور مصری جهان را سرزنش کنید. بنابراین، با شروع مطالعه این چند وجهی شگفت انگیز، اکثر دانش آموزان به وضوح آن را تصور می کنند. تمام مناظر فوق در شکل صحیح هستند. چی هرم راستو اینکه چه خواصی دارد و در ادامه بحث خواهد شد.

در تماس با

تعریف

تعاریف زیادی از هرم وجود دارد. از زمان های قدیم بسیار محبوب بوده است.

به عنوان مثال، اقلیدس آن را به عنوان یک شکل جامد، متشکل از صفحات، که از یک شروع می شود، در نقطه خاصی همگرا می شوند، تعریف کرد.

هرون فرمول دقیق تری ارائه کرد. او اصرار داشت که این رقمی است که دارای قاعده و صفحاتی به شکل مثلث،در یک نقطه همگرایی

بر اساس تفسیر مدرن، هرم به عنوان یک چند وجهی فضایی، متشکل از یک k-gon و k شکل‌های مثلثی مسطح که یک نقطه مشترک دارند، ارائه می‌شود.

بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم، از چه عناصری تشکیل شده است؟

• k-gon اساس شکل در نظر گرفته می شود.
• فیگورهای 3 زاویه دار به عنوان طرفین قسمت کناری بیرون زده اند.
• قسمت بالایی که عناصر جانبی از آن سرچشمه می گیرند، بالا نامیده می شود.
• تمام بخش هایی که راس را به هم متصل می کنند لبه نامیده می شوند.
• اگر یک خط مستقیم از بالا به صفحه شکل با زاویه 90 درجه پایین بیاید، قسمتی که در فضای داخلی محصور شده است ارتفاع هرم است.
• در هر عنصر جانبی به سمت چند وجهی ما، می توانید یک عمود به نام آپوتم رسم کنید.

تعداد یال ها با استفاده از فرمول 2*k محاسبه می شود که k تعداد اضلاع k-gon است. چند وجهی یک چند وجهی مانند هرم را می توان با عبارت k + 1 تعیین کرد.

مهم!هرم فرم صحیحشکل استریومتری که صفحه پایه آن k-gon با اضلاع مساوی است نامیده می شود.

خواص اساسی

هرم درست خواص زیادی داردکه منحصر به او هستند بیایید آنها را فهرست کنیم:

1. پایه یک شکل از فرم صحیح است.
2. لبه های هرم، که عناصر جانبی را محدود می کند، دارای مقادیر عددی مساوی هستند.
3. عناصر جانبی - مثلث متساوی الساقین.
4. قاعده ارتفاع شکل به مرکز چند ضلعی می‌افتد، در حالی که به طور همزمان نقطه مرکزی حکاکی شده و توصیف شده است.
5. همه دنده های جانبی با یک زاویه به صفحه پایه متمایل می شوند.
6. تمام سطوح جانبی نسبت به پایه دارای زاویه شیب یکسانی هستند.

به لطف تمام ویژگی های ذکر شده، عملکرد محاسبات عناصر بسیار ساده شده است. بر اساس خواص فوق به آن توجه می کنیم دو نشانه:

1. در صورتی که چند ضلعی در یک دایره قرار گیرد، وجه های جانبی دارای زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.
2. هنگام توصیف یک دایره در اطراف یک چند ضلعی، تمام لبه های هرم که از رأس خارج می شوند دارای طول یکسان و زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.

مربع مستقر است

هرم چهار گوش منظم - چند ضلعی بر پایه مربع.

دارای چهار وجه جانبی است که از نظر ظاهری متساوی الساقین هستند.

در یک صفحه، یک مربع به تصویر کشیده شده است، اما آنها بر اساس تمام ویژگی های یک چهار ضلعی منظم هستند.

به عنوان مثال، اگر لازم است ضلع مربع را به قطر آن وصل کنیم، از فرمول زیر استفاده می شود: مورب برابر است با حاصلضرب ضلع مربع و جذر دو.

بر اساس یک مثلث منظم

هرم مثلثی منتظم چند وجهی است که قاعده آن 3 ضلعی منظم است.

اگر پایه باشد راست گوشه، و لبه های جانبی برابر با لبه های پایه است، سپس چنین شکلی چهار وجهی نامیده می شود.

تمام وجوه یک چهار وجهی 3 ضلعی متساوی الاضلاع هستند. در این مورد، شما باید نکاتی را بدانید و هنگام محاسبه زمان را روی آنها تلف نکنید:

• زاویه شیب دنده ها به هر پایه 60 درجه است.
• مقدار تمام چهره های داخلی نیز 60 درجه است.
• هر صورت می تواند به عنوان یک پایه عمل کند.
• ترسیم شده در داخل شکل عناصر مساوی هستند.

بخش های چند وجهی

در هر چند وجهی وجود دارد چندین نوع بخشسطح. اغلب در یک دوره هندسه مدرسه با دو کار می کنند:

• محوری؛
• مبنای موازی

یک مقطع محوری با تقاطع یک چند وجهی با صفحه ای که از راس، لبه های جانبی و محور می گذرد به دست می آید. در این حالت، محور ارتفاعی است که از راس گرفته شده است. صفحه برش توسط خطوط تقاطع با تمام وجوه محدود می شود و در نتیجه یک مثلث ایجاد می شود.

توجه!در یک هرم منظم، بخش محوری یک مثلث متساوی الساقین است.

اگر صفحه برش موازی با پایه باشد، نتیجه گزینه دوم است. در این مورد، ما در زمینه یک شکل شبیه به پایه داریم.

به عنوان مثال، اگر پایه مربع باشد، بخش موازی با پایه نیز یک مربع خواهد بود، فقط اندازه کوچکتر.

هنگام حل مسائل تحت این شرایط، از علائم و ویژگی های شباهت شکل ها استفاده می شود. بر اساس قضیه تالس. ابتدا باید ضریب تشابه را تعیین کرد.

اگر صفحه به موازات قاعده کشیده شود و قسمت بالایی چند وجهی را قطع کند، در قسمت پایین یک هرم منقطع منظم به دست می آید. سپس گفته می شود که پایه های چندوجهی کوتاه شده چندضلعی مشابه هستند. در این حالت، وجوه جانبی ذوزنقه ای متساوی الساقین هستند. قسمت محوری نیز متساوی الساقین است.

برای تعیین ارتفاع چند وجهی کوتاه، لازم است ارتفاع را در یک مقطع محوری، یعنی ذوزنقه ترسیم کنیم.

مناطق سطحی

عمده ترین مسائل هندسی که باید در درس هندسه مدرسه حل شوند عبارتند از پیدا کردن مساحت و حجم هرم

دو نوع سطح وجود دارد:

• ناحیه عناصر جانبی؛
• کل سطح

از خود عنوان مشخص است که در مورد چیست. سطح جانبیفقط شامل عناصر جانبی است. از این نتیجه می شود که برای پیدا کردن آن، فقط باید مناطق صفحات جانبی، یعنی مناطق متساوی الساقین 3 ضلعی را با هم جمع کنید. بیایید سعی کنیم فرمول مساحت عناصر جانبی را استخراج کنیم:

1. مساحت یک متساوی الساقین 3 ضلعی Str=1/2(aL) است، جایی که a ضلع قاعده است، L نقطه پایانی است.
2. تعداد صفحات جانبی به نوع k-gon در پایه بستگی دارد. به عنوان مثال، یک هرم چهار گوش منتظم دارای چهار صفحه جانبی است. بنابراین لازم است مساحت های چهار شکل را جمع کنیم Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. . عبارت به این صورت ساده شده است زیرا مقدار 4a=POS که در آن POS محیط پایه است. و عبارت 1/2 * Rosn نیم محیط آن است.
3. بنابراین، نتیجه می گیریم که مساحت عناصر جانبی یک هرم منظم برابر است با حاصلضرب نیم محیط قاعده و آپوتم: Sside \u003d Rosn * L.

مربع سطح کاملهرم از مجموع مساحت صفحات جانبی و قاعده تشکیل شده است: Sp.p. = Sside + Sbase.

در مورد مساحت پایه، در اینجا فرمول با توجه به نوع چند ضلعی استفاده می شود.

حجم یک هرم منظمبرابر است با حاصل ضرب سطح صفحه پایه و تقسیم ارتفاع بر سه: V=1/3*Sbase*H که H ارتفاع چندوجهی است.

هرم منظم در هندسه چیست؟

ویژگی های یک هرم چهار گوش منتظم

• حکم- ارتفاع وجه جانبی یک هرم منتظم که از بالای آن کشیده شده است (علاوه بر این، نقطه عمودی طول عمود است که از وسط یک چند ضلعی منظم به 1 ضلع آن پایین می آید).
• صورت های جانبی (ASB، BSC، CSD، DSA) - مثلث هایی که در بالا همگرا می شوند.
• دنده های جانبی ( مانند , لیسانس , CS , D.S. ) - طرف های مشترک وجه های جانبی؛
• بالای هرم (در مقابل) - نقطه ای که لبه های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.
• ارتفاع ( بنابراین ) - بخشی از عمود، که از طریق بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده می شود (انتهای یک قسمت بالای هرم و قاعده عمود خواهد بود).
• بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب پایه عبور می کند.
• پایه (آ ب پ ت) چند ضلعی است که بالای هرم به آن تعلق ندارد.

خواص هرم

1. هنگامی که تمام لبه های جانبی یک اندازه هستند، پس:

• در نزدیکی قاعده هرم، توصیف یک دایره آسان است، در حالی که بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
• دنده های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند.
• علاوه بر این، برعکس نیز صادق است، یعنی. هنگامی که لبه های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند، یا زمانی که بتوان یک دایره را در نزدیکی قاعده هرم توصیف کرد و بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود، آنگاه تمام لبه های جانبی هرم دارای همان اندازه.

2. هنگامی که وجوه جانبی دارای زاویه تمایل نسبت به صفحه قاعده با همان مقدار هستند، آنگاه:

• در نزدیکی قاعده هرم، توصیف یک دایره آسان است، در حالی که بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
• ارتفاع وجه های جانبی از طول مساوی است.
• مساحت سطح جانبی ½ حاصلضرب محیط پایه و ارتفاع وجه جانبی است.

3. یک کره را می توان در نزدیکی هرم توصیف کرد اگر در قاعده هرم چند ضلعی وجود داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (لازم و شرایط کافی). مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که از نقاط میانی لبه های هرم عمود بر آنها عبور می کنند. از این قضیه نتیجه می گیریم که یک کره را می توان هم در اطراف هر مثلثی و هم در اطراف هر هرم منظم توصیف کرد.

4. اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در نقطه 1 همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. این نقطه به مرکز کره تبدیل خواهد شد.

ساده ترین هرم

با توجه به تعداد گوشه های قاعده هرم به سه گوش، چهار گوش و ... تقسیم می شوند.

هرم خواهد مثلثی, چهار گوشو غیره، زمانی که قاعده هرم مثلث، چهار ضلعی و غیره باشد. یک هرم مثلثی یک چهار وجهی است - یک چهار وجهی. چهار گوش - پنج وجهی و غیره.

مقدمه

وقتی شروع به مطالعه فیگورهای استریومتریک کردیم، موضوع "هرم" را لمس کردیم. ما این موضوع را دوست داشتیم زیرا هرم اغلب در معماری استفاده می شود. و از آنجایی که ما حرفه آیندهمعمار، با الهام از این چهره، ما فکر می کنیم که او می تواند ما را به پروژه های بزرگ سوق دهد.

استحکام سازه های معماری، مهمترین کیفیت آنهاست. ارتباط استحکام، اولاً با موادی که از آنها ایجاد شده‌اند، و ثانیاً، با ویژگی‌های راه‌حل‌های طراحی، معلوم می‌شود که استحکام یک سازه مستقیماً با شکل هندسی که برای آن اساسی است مرتبط است.

به عبارت دیگر، ما داریم صحبت می کنیمدر مورد آن شکل هندسی که می توان آن را الگویی از فرم معماری مربوطه در نظر گرفت. به نظر می رسد که شکل هندسی نیز استحکام ساختار معماری را تعیین می کند.

اهرام مصر از دیرباز به عنوان بادوام ترین سازه معماری در نظر گرفته می شدند. همانطور که می دانید، آنها شکل اهرام چهار گوش منظم دارند.

این شکل هندسی است که به دلیل مساحت پایه بزرگ، بیشترین ثبات را ایجاد می کند. از طرف دیگر، شکل هرم تضمین می کند که با افزایش ارتفاع از سطح زمین، جرم کاهش می یابد. این دو ویژگی است که هرم را در شرایط گرانش پایدار و در نتیجه قوی می کند.

هدف پروژه: چیز جدیدی در مورد اهرام بیاموزید، دانش را عمیق تر کنید و کاربردهای عملی پیدا کنید.

برای رسیدن به این هدف، حل وظایف زیر ضروری بود:

اطلاعات تاریخی در مورد هرم بیاموزید

هرم را به عنوان یک شکل هندسی در نظر بگیرید

در زندگی و معماری کاربرد پیدا کنید

شباهت ها و تفاوت های بین اهرام واقع در آن را بیابید بخش های مختلفسوتا

بخش تئوری

اطلاعات تاریخی

آغاز هندسه هرم در مصر باستان و بابل گذاشته شد، اما به طور فعال در سال توسعه یافت. یونان باستان. اولین کسی که میزان حجم هرم را برابر با دموکریتوس تعیین کرد و ادوکسوس کنیدوس آن را ثابت کرد. ریاضیدان یونانی باستان اقلیدس دانش در مورد هرم را در جلد دوازدهم "آغاز" خود سیستماتیک کرد و همچنین اولین تعریف از هرم را ارائه کرد: یک شکل بدنی محدود شده توسط صفحاتی که از یک صفحه در یک نقطه همگرا می شوند.

مقبره های فراعنه مصر. بزرگترین آنها - اهرام خئوپس، خفره و میکرین در ال جیزه در دوران باستان یکی از عجایب هفتگانه جهان به حساب می آمد. برپایی هرم که در آن یونانیان و رومیان قبلاً بنای غرور بی‌سابقه پادشاهان و ظلم را دیدند که تمام مردم مصر را محکوم به ساخت و سازهای بی‌معنا می‌کرد، مهمترین عمل مذهبی بود و ظاهراً قرار بود بیان کند: هویت عرفانی کشور و حاکم آن. جمعیت کشور در بخشی از سال فارغ از کار کشاورزی در ساخت آرامگاه کار می کردند. تعدادی از متون گواهی بر توجه و عنایتی است که خود پادشاهان (البته در زمان های بعد) به ساختن آرامگاه خود و سازندگان آن داشته اند. همچنین در مورد افتخارات ویژه فرقه که معلوم شد خود هرم است نیز شناخته شده است.

مفاهیم اساسی

هرمچند وجهی نامیده می شود که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده مثلث هایی هستند که راس مشترکی دارند.

آپوتم- ارتفاع وجه جانبی یک هرم منظم که از بالای آن کشیده شده است.

صورت های جانبی- مثلث های همگرا در بالا؛

دنده های کناری- طرف های مشترک وجه های جانبی؛

بالای هرم- نقطه ای که لبه های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.

ارتفاع- قسمتی از یک عمود که از بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده شده است (انتهای این بخش بالای هرم و قاعده عمود است).

بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب پایه عبور می کند.

پایه- چند ضلعی که به بالای هرم تعلق ندارد.

ویژگی های اصلی هرم صحیح

لبه های جانبی، وجه های جانبی و آپوتم ها به ترتیب برابر هستند.

زوایای دو وجهی در پایه برابر است.

زوایای دو وجهی در لبه های جانبی برابر است.

هر نقطه ارتفاع از تمام رئوس پایه فاصله دارد.

هر نقطه ارتفاع از تمام وجوه جانبی به یک اندازه فاصله دارد.

فرمول های اساسی هرم

مساحت سطح جانبی و کامل هرم.

مساحت سطح جانبی هرم (کامل و کوتاه) مجموع مساحت تمام وجوه جانبی آن است، مساحت سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه آن است.

قضیه: مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم هرم است.

پ- محیط پایه؛

ساعت- فریضه.

مساحت سطوح جانبی و کامل یک هرم ناقص.

p1، پ 2 - محیط های پایه؛

ساعت- فریضه.

آر- سطح کل یک هرم منقطع منظم؛

سمت S- مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم؛

S1 + S2- مساحت پایه

حجم هرم

فرم مقیاس حجم برای اهرام از هر نوعی استفاده می شود.

اچارتفاع هرم است.

زوایای هرم

زوایایی که توسط وجه جانبی و قاعده هرم ایجاد می شوند، زوایای دو وجهی در قاعده هرم نامیده می شوند.

یک زاویه دو وجهی از دو عمود تشکیل می شود.

برای تعیین این زاویه، اغلب باید از قضیه سه عمود بر هم استفاده کنید.

زوایایی که توسط یک لبه کناری و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه تشکیل می شود نامیده می شود زوایای بین لبه جانبی و صفحه پایه.

زاویه تشکیل شده توسط دو وجه جانبی نامیده می شود زاویه دو وجهی در لبه جانبی هرم.

زاویه ای که توسط دو لبه کناری یک وجه هرم تشکیل می شود، نامیده می شود گوشه ای در بالای هرم.

بخش هایی از هرم

سطح یک هرم سطح یک چند وجهی است. هر یک از وجوه آن یک صفحه است، بنابراین بخشی از هرم که توسط صفحه سکونت داده شده است، یک خط شکسته است که از خطوط مستقیم جداگانه تشکیل شده است.

بخش مورب

قسمتی از هرم که توسط صفحه ای که از دو لبه جانبی که روی یک وجه قرار ندارند می گذرد نامیده می شود. بخش مورباهرام.

بخش های موازی

قضیه:

اگر هرم با صفحه ای موازی با قاعده عبور کند، لبه های جانبی و ارتفاعات هرم توسط این صفحه به قسمت های متناسب تقسیم می شود.

بخش این صفحه چند ضلعی شبیه به قاعده است.

مساحت های مقطع و پایه به عنوان مربع فاصله آنها از بالا به یکدیگر مرتبط هستند.

انواع هرم

هرم درست- هرمی که قاعده آن چند ضلعی منتظم است و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده است.

در هرم صحیح:

1. دنده های جانبی برابر هستند

2. صورت های جانبی برابر است

3. آپوتم ها برابرند

4. زوایای دو وجهی در پایه برابر است

5. زوایای دو وجهی در لبه های جانبی برابر است

6. هر نقطه ارتفاع از تمام رئوس پایه فاصله دارد

7. هر نقطه ارتفاع از تمام وجوه جانبی به یک اندازه فاصله دارد

هرم کوتاه شده- قسمتی از هرم که بین پایه آن و صفحه برش موازی با پایه محصور شده است.

قاعده و بخش مربوط به یک هرم بریده شده نامیده می شود پایه های یک هرم کوتاه.

عمودی که از هر نقطه از یک قاعده به صفحه قاعده دیگر کشیده می شود نامیده می شود ارتفاع هرم کوتاه شده

وظایف

شماره 1. در یک هرم چهار گوش منتظم نقطه O مرکز قاعده SO=8 سانتی متر، BD=30 سانتی متر است. لبه جانبی SA را پیدا کنید.

حل مسئله

شماره 1. در یک هرم منظم، تمام وجوه و لبه ها با هم برابرند.

بیایید OSB را در نظر بگیریم: OSB- مستطیل مستطیلی، زیرا.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

هرم در معماری

هرم - یک ساختار تاریخی به شکل یک منظم معمولی هرم هندسی، که در آن اضلاع در یک نقطه همگرا می شوند. با توجه به هدف کارکردی، اهرام در دوران باستان محل دفن یا عبادت بوده اند. قاعده هرم می تواند مثلثی، چهار گوش یا چند ضلعی با تعداد دلخواه رئوس باشد، اما رایج ترین نسخه، قاعده چهار گوش است.

تعداد قابل توجهی از اهرام شناخته شده، ساخته شده است فرهنگ های مختلف دنیای باستانبیشتر به عنوان معابد یا بناهای تاریخی. بزرگترین اهرام اهرام مصر هستند.

در سرتاسر زمین می توانید سازه های معماری را به شکل اهرام مشاهده کنید. ساختمان های هرمی یادآور دوران باستان هستند و بسیار زیبا به نظر می رسند.

اهرام مصربزرگترین بناهای معماری مصر باستانکه یکی از «عجایب هفتگانه جهان» هرم خئوپس است. از پا به بالا به 137.3 متر می رسد و قبل از اینکه قله را از دست بدهد ارتفاع آن 146.7 متر بوده است.

ساختمان ایستگاه رادیویی در پایتخت اسلواکی، شبیه یک هرم وارونه، در سال 1983 ساخته شد. علاوه بر دفاتر و اماکن خدماتی، در داخل حجم نیز فضای نسبتاً جاداری وجود دارد. سالن کنسرتکه یکی از بزرگترین اجسام را در اسلواکی دارد.

موزه لوور که "به مانند یک هرم ساکت و باشکوه است" در طول قرن ها دستخوش تغییرات بسیاری شده است. بزرگترین موزهصلح این قلعه به عنوان یک قلعه متولد شد که توسط فیلیپ آگوستوس در سال 1190 ساخته شد و به زودی به یک اقامتگاه سلطنتی تبدیل شد. در سال 1793 این کاخ به موزه تبدیل شد. مجموعه ها از طریق وصیت یا خرید غنی می شوند.

در اینجا اطلاعات اولیه در مورد اهرام و فرمول ها و مفاهیم مربوطه جمع آوری شده است. همه آنها با یک معلم خصوصی در ریاضیات برای آمادگی برای امتحان مطالعه می شوند.

یک صفحه، یک چند ضلعی را در نظر بگیرید در آن خوابیده و یک نقطه S در آن قرار ندارد. S را به تمام رئوس چند ضلعی وصل کنید. چندوجهی به دست آمده هرم نامیده می شود. قطعات را لبه های جانبی می نامند. چند ضلعی را قاعده و نقطه S را بالای هرم می نامند. بسته به عدد n، هرم را مثلثی (n=3)، چهار گوش (n=4)، پنج ضلعی (n=5) و غیره می نامند. نام جایگزین برای هرم مثلثی - چهار وجهی. ارتفاع هرم عمودی است که از راس آن به صفحه پایه کشیده شده است.

هرم اگر صحیح نامیده می شود یک چندضلعی منتظم و قاعده ارتفاع هرم (پایه عمود) مرکز آن است.

نظر استاد راهنما:
مفهوم "هرم منظم" و "چهار ضلعی منظم" را با هم اشتباه نگیرید. در هرم منظم، لبه های کناری لزوماً با لبه های قاعده برابر نیستند، اما در چهار وجهی منظم، تمام 6 یال لبه ها برابر هستند. این تعریف اوست. به راحتی می توان ثابت کرد که تساوی دلالت بر مرکز P چند ضلعی دارد با قاعده ارتفاع، بنابراین یک چهار وجهی منظم یک هرم منظم است.

آپوتم چیست؟
علامت هرم ارتفاع وجه جانبی آن است. اگر هرم منتظم باشد، پس تمام اثار آن برابر است. عکس این قضیه درست نیست.

معلم ریاضی در مورد اصطلاحات خود: کار با اهرام 80٪ از طریق دو نوع مثلث ساخته می شود:
1) حاوی آپوتم SK و ارتفاع SP
2) حاوی لبه جانبی SA و PA برآمدگی آن

برای ساده کردن ارجاعات به این مثلث ها، نام بردن اولین آنها برای معلم ریاضی راحت تر است. بی روح، و دوم ساحلی. متأسفانه در هیچ یک از کتاب های درسی این اصطلاح را پیدا نمی کنید و معلم باید آن را یک طرفه معرفی کند.

فرمول حجم هرم:
1) ، مساحت قاعده هرم کجاست و ارتفاع هرم است
2) که در آن شعاع کره محاطی است و مساحت کل هرم است.
3) ، که در آن MN فاصله هر دو یال متقاطع است و مساحت متوازی الاضلاع است که توسط نقاط میانی چهار یال باقی مانده تشکیل شده است.

ویژگی پایه ارتفاع هرم:

نقطه P (نگاه کنید به شکل) با مرکز دایره محاطی شده در قاعده هرم منطبق است اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:
1) همه ابهام ها برابرند
2) تمام وجوه جانبی به یک اندازه به سمت پایه متمایل هستند
3) همه آپوتم ها به یک اندازه به ارتفاع هرم تمایل دارند
4) ارتفاع هرم به یک اندازه به تمام وجوه جانبی متمایل است

تفسیر معلم خصوصی ریاضی: توجه داشته باشید که همه موارد با یک متحد می شوند اموال عمومی: به هر طریقی، چهره های جانبی در همه جا شرکت می کنند (آپوتم عناصر آنها هستند). بنابراین، معلم می‌تواند فرمول کمتر دقیق‌تر، اما راحت‌تری را برای به خاطر سپردن ارائه دهد: نقطه P با مرکز دایره محاط شده، پایه هرم، منطبق است، اگر اطلاعات مساوی در مورد وجوه جانبی آن وجود داشته باشد. برای اثبات آن کافی است نشان دهیم که همه مثلث های غیرمعمول برابر هستند.

نقطه P با مرکز دایره محصور در نزدیکی قاعده هرم منطبق است، اگر یکی از سه شرط درست باشد:
1) تمام لبه های جانبی برابر هستند
2) همه دنده های جانبی به یک اندازه به سمت پایه متمایل می شوند
3) همه دنده های جانبی به یک اندازه به ارتفاع متمایل می شوند

مفهوم هرم

تعریف 1

شکل هندسی، که توسط یک چند ضلعی و نقطه ای که در صفحه حاوی این چند ضلعی قرار ندارد و به تمام رئوس چند ضلعی متصل است تشکیل شده است، هرم نامیده می شود (شکل 1).

چند ضلعی که هرم از آن تشکیل شده است قاعده هرم نامیده می شود، مثلث هایی که از اتصال به نقطه به دست می آیند، وجه های کناری هرم، اضلاع مثلث ها اضلاع هرم و نقطه مشترک همه هستند. مثلث بالای هرم است.

انواع اهرام

بسته به تعداد گوشه های قاعده هرم می توان آن را مثلثی، چهار گوش و غیره نامید (شکل 2).

شکل 2.

نوع دیگر هرم، هرم معمولی است.

بیایید ویژگی یک هرم منظم را معرفی و اثبات کنیم.

قضیه 1

تمام وجوه جانبی هرم منظم مثلث هایی متساوی الساقین هستند که با هم برابرند.

اثبات

یک هرم $n-$gonal معمولی با راس $S$ ارتفاع $h=SO$ را در نظر بگیرید. بیایید یک دایره در اطراف پایه را توصیف کنیم (شکل 4).

شکل 4

مثلث $SOA$ را در نظر بگیرید. با قضیه فیثاغورث، به دست می آوریم

بدیهی است که هر لبه جانبی به این صورت تعریف خواهد شد. بنابراین تمام لبه های اضلاع با یکدیگر برابرند، یعنی تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. بیایید ثابت کنیم که آنها با یکدیگر برابر هستند. از آنجایی که قاعده یک چند ضلعی منتظم است، پایه های تمام وجوه جانبی با یکدیگر برابر هستند. در نتیجه، تمام وجوه اضلاع با توجه به علامت III برابری مثلث ها برابر هستند.

قضیه ثابت شده است.

اکنون تعریف زیر را در رابطه با مفهوم هرم منظم معرفی می کنیم.

تعریف 3

نشانه یک هرم منظم ارتفاع وجه جانبی آن است.

بدیهی است که طبق قضیه 1، همه آپوته ها برابر هستند.

قضیه 2

مساحت سطح جانبی هرم منظم به عنوان حاصلضرب نیم محیط قاعده و آپوتم تعریف می شود.

اثبات

اجازه دهید ضلع قاعده هرم زغال سنگ $n-$ را با $a$ و آپوتم را $d$ نشان دهیم. بنابراین، مساحت صورت کناری برابر است

از آنجایی که طبق قضیه 1، همه اضلاع برابر هستند، پس

قضیه ثابت شده است.

نوع دیگر هرم، هرم بریده ای است.

تعریف 4

اگر صفحه ای به موازات قاعده آن از طریق یک هرم معمولی کشیده شود، شکلی که بین این صفحه و صفحه قاعده تشکیل شده است، هرم بریده نامیده می شود (شکل 5).

شکل 5. هرم کوتاه شده

وجوه جانبی هرم بریده به شکل ذوزنقه است.

قضیه 3

مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم به عنوان حاصل جمع نیم محیط قاعده ها و آپوتم تعریف می شود.

اثبات

اجازه دهید اضلاع پایه های هرم زغال سنگ $n-$ را به ترتیب با $a\ و\ b$، و آپوتم را $d$ نشان دهیم. بنابراین، مساحت صورت کناری برابر است

از آنجایی که همه طرف ها برابر هستند، پس

قضیه ثابت شده است.

نمونه کار

مثال 1

مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی ناقص را در صورتی که از یک هرم منتظم با ضلع پایه 4 و آپوتم 5 با برش توسط صفحه ای که از خط وسط وجوه جانبی می گذرد به دست آید، بیابید.

راه حل.

با قضیه خط میانه، آن را دریافت می کنیم پایه بالااز هرم کوتاه شده $4\cdot \frac(1)(2)=2$ است، و حرف آخر $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$ است.

سپس، با قضیه 3، به دست می آوریم