چگونه معادلات پیچیده غیر منطقی را حل کنیم. معادله غیرمنطقی: یادگیری حل به روش جداسازی ریشه

خلاصه درس

"روش های حل معادلات غیر منطقی»

پایه یازدهم پروفایل فیزیکی و ریاضی.

زلنودولسکی منطقه شهرداری RT"

Valieva S.Z.

موضوع درس: روش های حل معادلات غیر منطقی

هدف از درس: 1. کاوش کنید راه های مختلفحل معادلات غیر منطقی

1. 
   توانایی تعمیم، انتخاب صحیح روش ها برای حل معادلات غیر منطقی را توسعه دهید.
2. 
   استقلال را توسعه دهید، سواد گفتار را آموزش دهید

نوع درس:سمینار.
طرح درس:

1. 
   زمان سازماندهی
2. 
   یادگیری مطالب جدید
3. 
   لنگر انداختن
4. 
   مشق شب
5. 
   خلاصه درس

در طول کلاس ها
من. زمان سازماندهی:پیام موضوع درس، هدف درس.

در درس قبل حل معادلات غیر منطقی حاوی ریشه های مربع را با مجذور کردن آنها در نظر گرفتیم. در این حالت، معادله پیامدی را به دست می آوریم که گاهی منجر به ظهور ریشه های خارجی می شود. و سپس یک بخش اجباری از حل معادله بررسی ریشه ها است. حل معادلات را نیز با استفاده از تعریف در نظر گرفتیم ریشه دوم. در این صورت می توان چک را حذف کرد. با این حال، هنگام حل معادلات، همیشه لازم نیست که فوراً به استفاده از الگوریتم های "کور" برای حل معادله بروید. در وظایف یکی آزمون دولتیتعداد زیادی معادله وجود دارد که در حل آنها باید روش حلی را انتخاب کرد که به شما امکان می دهد معادلات را راحت تر و سریعتر حل کنید. بنابراین لازم است روش های دیگری را برای حل معادلات غیرمنطقی بدانیم که امروز با آن ها آشنا می شویم. قبلاً کلاس به 8 تقسیم می شد گروه های خلاق، و نمونه های خاصی به آنها داده شد تا ماهیت یک روش خاص را آشکار کنند. ما به آنها یک کلمه می دهیم.

II. یادگیری مطالب جدید.

از هر گروه 1 دانش آموز نحوه حل معادلات غیرمنطقی را برای بچه ها توضیح می دهد. کل کلاس گوش می دهند و از داستان آنها یادداشت می کنند.

1 راه. معرفی یک متغیر جدید

معادله را حل کنید: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

، t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

پاسخ: -3; 5.

2 راه. تحقیق ODZ

معادله را حل کنید

ODZ:


x \u003d 2. با بررسی مطمئن می شویم که x \u003d 2 ریشه معادله است.

3 راه. ضرب دو طرف معادله در ضریب مزدوج.

+
(هر دو طرف را ضرب کنید -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4، بنابراین x=1. با بررسی متقاعد می شویم که x \u003d 1 ریشه این معادله است.

4 راه. کاهش یک معادله به یک سیستم با معرفی یک متغیر.

معادله را حل کنید

بگذار = تو،
=v.

ما سیستم را دریافت می کنیم:

بیایید با روش جایگزینی حل کنیم. ما u = 2، v = 2 به دست می آوریم. بنابراین،

x=1 می گیریم.

پاسخ: x = 1.

5 راه. انتخاب یک مربع کامل

معادله را حل کنید

بیایید ماژول ها را باز کنیم. زیرا -1≤cos0.5x≤1، سپس -4≤cos0.5x-3≤-2، بنابراین . به همین ترتیب،

سپس معادله را بدست می آوریم

x = 4πn، nZ.

پاسخ: 4πn، nZ.

6 راه. روش ارزیابی

معادله را حل کنید

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0، طبق تعریف، سمت راست -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

ما گرفتیم
آن ها x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. با حل معادله با فاکتورگیری، x = 2، x = -2 بدست می آوریم.

روش 7: استفاده از خواص یکنواختی توابع.

معادله را حل کنید. توابع به شدت در حال افزایش هستند. مجموع توابع افزایشی در حال افزایش است و این معادله حداکثر یک ریشه دارد. با انتخاب x = 1 را پیدا می کنیم.

8 راه. استفاده از بردارها

معادله را حل کنید. ODZ: -1≤х≤3.

اجازه دهید بردار
. حاصلضرب عددیبردارها - سمت چپ است. بیایید حاصل ضرب طول آنها را پیدا کنیم. این سمت راست است. بدست آورد
، یعنی بردارهای a و b هم خطی هستند. از اینجا
. بیایید هر دو طرف را مربع کنیم. با حل معادله، x \u003d 1 و x \u003d را بدست می آوریم
.

1. 
   تحکیم.(به هر دانش آموز یک برگه داده می شود)

کار شفاهی جلو

ایده ای برای حل معادلات (1-10) پیدا کنید

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(تعویض)

4. (انتخاب یک مربع کامل)

5.
(تقلیل یک معادله به یک سیستم با معرفی یک متغیر.)

6.
(با ضرب در عبارت الحاقی)

7.
زیرا
. این معادله ریشه ندارد.

8. زیرا هر جمله غیر منفی است، آنها را با صفر برابر می کنیم و سیستم را حل می کنیم.

9. 3

10. ریشه معادله (یا حاصل ضرب ریشه ها، در صورت وجود چندین) معادله را بیابید.

کار مستقل مکتوب با تأیید بعدی

حل معادلات 11،13،17،19

حل معادلات:

12. (x + 6) 2 -

14.

روش ارزیابی

استفاده از خواص یکنواختی توابع.

استفاده از بردارها

1. 
   کدام یک از این روش ها برای حل انواع دیگر معادلات استفاده می شود؟
2. 
   کدام یک از این روش ها را بیشتر دوست داشتید و چرا؟

1. 
   تکلیف: معادلات باقی مانده را حل کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. 
   جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی: مطالعات. برای 11 سلول آموزش عمومی موسسات / S.M. Nikolsky، M.K. Potapov، N.N. Reshetnikov، A.V. Shevkin. م: روشنگری، 2009

1. 
   مطالب آموزشی در مورد جبر و اصول تجزیه و تحلیل برای کلاس 11 / B.M. ایولف، اس.ام. ساهاکیان، س.آی. شوارتزبرد. - م.: روشنگری، 2003.
2. 
   موردکوویچ A.G. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل. 10 - 11 سلول: کتاب تکلیف برای آموزش عمومی. نهادها - M.: Mnemosyne، 2000.
3. 
   Ershova A. P.، Goloborodko V. V. Independent و اوراق تستدر جبر و آغاز تجزیه و تحلیل برای پایه های 10-11. - م.: ایلکسا، 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010

6. شبیه ساز جبری. A.G. Merzlyak، V.B. Polonsky، M.S. یاکر. کتاب راهنما برای دانش آموزان و ورودی ها. مسکو: "ایلکسا" 2001.
7. معادلات و نابرابری ها. روش های حل غیر استاندارد آموزشی - ابزار. 10-11 کلاس. S.N. Oleinik، M.K. پوتاپوف، پی.آی.پاسیچنکو. مسکو. "بیسترد". 2001

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر نمونه هایی از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم برای شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

تحولات روش شناختی برای درس انتخابی

"روش حل معادلات غیر منطقی""

مقدمه

درس انتخابی پیشنهادی "روش های حل معادلات غیر منطقی" برای دانش آموزان پایه یازدهم در نظر گرفته شده است. مدرسه راهنماییو موضوع محور است، با هدف گسترش نظری و دانش و آگاهی عملیدانش آموزان. درس انتخابی بر اساس دانش و مهارت هایی است که دانش آموزان در حین تحصیل ریاضی در دبیرستان کسب می کنند.

ویژگی این دوره در این واقعیت نهفته است که در درجه اول برای دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که می خواهند بسط، تعمیق، سیستماتیک، تعمیم دانش ریاضی خود، مطالعه روش ها و تکنیک های رایج برای حل معادلات غیرمنطقی را مطالعه کنند. این برنامه شامل سؤالاتی است که تا حدی فراتر از برنامه های فعلی در ریاضیات و روش های غیر استاندارد است که به شما امکان می دهد مسائل مختلف را به طور مؤثرتری حل کنید.

اکثر تکالیف USE به فارغ التحصیلان نیاز دارند روش های مختلفحل انواع معادلات و سیستم های آنهامطالب مربوط به معادلات و سیستم های معادلات بخش قابل توجهی از درس ریاضی مدرسه است. ارتباط انتخاب موضوع درس انتخابیبا توجه به اهمیت مبحث "معادلات غیرمنطقی" در درس ریاضی مدرسه و در عین حال کمبود وقت برای در نظر گرفتن روش ها و رویکردهای غیر استاندارد برای حل معادلات غیرمنطقی که در تکالیف گروه "ج" یافت می شود، مشخص می شود. "از آزمون یکپارچه دولتی.

همراه با وظیفه اصلی آموزش ریاضیات - اطمینان از تسلط قوی و آگاهانه بر سیستم دانش و مهارت های ریاضی توسط دانش آموزان - این دوره انتخابی شکل گیری علاقه پایدار به موضوع، توسعه توانایی های ریاضی و افزایش سطح فرهنگ ریاضی دانش آموزان، زمینه ای را ایجاد می کند تحویل موفقآزمون یکپارچه دولتی و ادامه تحصیل در دانشگاه ها.

هدف دوره:

افزایش سطح درک و آموزش عملی در حل معادلات غیرمنطقی.

بررسی تکنیک ها و روش های حل معادلات غیرمنطقی.

برای تشکیل توانایی تجزیه و تحلیل، برجسته کردن چیز اصلی، تشکیل عناصر جستجوی خلاق بر اساس تکنیک های تعمیم.

برای گسترش دانش دانش آموزان در مورد این موضوع، مهارت ها و توانایی های حل مسائل مختلف را برای گذراندن موفقیت آمیز امتحان بهبود بخشید.

اهداف دوره:

گسترش دانش در مورد روش ها و راه های حل معادلات جبری.

تعمیم و نظام مند کردن دانش هنگام تدریس در کلاس های 10-11 و آماده شدن برای امتحان.

توسعه توانایی کسب و به کارگیری مستقل دانش؛

معرفی دانش آموزان به کار با ادبیات ریاضی؛

توسعه تفکر منطقی دانش آموزان، فرهنگ الگوریتمی و شهود ریاضی آنها.

ارتقاء فرهنگ ریاضی دانش آموزان.

برنامه دوره انتخابی شامل مطالعه روش ها و رویکردهای مختلف در حل معادلات غیر منطقی، توسعه مهارت های عملی در مورد موضوعات مورد بررسی است. این دوره به مدت 17 ساعت طراحی شده است.

این برنامه پیچیده است، از دوره معمول مطالعه فراتر می رود، توسعه تفکر انتزاعی را ترویج می کند و زمینه دانش دانش آموز را گسترش می دهد. با این حال، آن را حفظ تداوم با برنامه های موجود، بسط منطقی آنهاست.

طرح آموزشی و موضوعی

№p/p

موضوع

تعداد ساعت

حل معادلات با در نظر گرفتن محدوده مقادیر قابل قبول

حل معادلات غیر منطقی با بالا بردن توان طبیعی

حل معادلات با معرفی متغیرهای کمکی (روش جایگزینی)

حل معادله با رادیکال درجه سوم.

تبدیل هویت در حل معادلات غیرمنطقی

کارهای غیر سنتی. وظایف گروه "C" USE

اشکال کنترل:کنترل خانه، کار مستقل، مقالات و مقالات تحقیقاتی.

در نتیجه تدریس این درس انتخابی، دانشجویان باید بتوانند معادلات غیرمنطقی مختلف را با استفاده از روش‌ها و تکنیک‌های استاندارد و غیراستاندارد حل کنند.

تسلط بر الگوریتم حل معادلات غیرمنطقی استاندارد؛

قادر به استفاده از خواص معادلات برای حل وظایف غیر استاندارد باشد.

قادر به انجام تبدیل های یکسان در هنگام حل معادلات.

درک روشنی از موضوعات آزمون دولتی واحد، روش های اصلی حل آنها داشته باشید.

کسب تجربه در انتخاب روش هایی برای حل مسائل غیر استاندارد.

بخش اصلی.

معادلاتی که در آنها کمیت مجهول زیر علامت رادیکال باشد نامیده می شوند غیر منطقی

ساده ترین معادلات غیر منطقی شامل معادلات به شکل زیر است:

ایده اصلی راه حلمعادله غیرمنطقی این است که آن را به یک منطقی تقلیل دهیم معادله جبری، که یا معادل معادله غیرمنطقی اصلی است یا پیامد آن است. هنگام حل معادلات غیرمنطقی، ما همیشه در مورد یافتن ریشه های واقعی صحبت می کنیم.

چند راه حل معادلات غیر منطقی را در نظر بگیرید.

1. حل معادلات غیر منطقی با در نظر گرفتن محدوده مقادیر مجاز (ODZ).

دامنه مقادیر مجاز یک معادله غیرمنطقی شامل مقادیر مجهولاتی است که برای آنها تمام عبارات تحت علامت رادیکال درجه زوج غیرمنفی هستند.

گاهی دانش ODZ به ما اجازه می‌دهد ثابت کنیم که معادله هیچ راه‌حلی ندارد و گاهی به ما اجازه می‌دهد تا با جایگزین کردن مستقیم اعداد از ODZ راه‌حل‌هایی برای معادله پیدا کنیم..

مثال 1 . معادله را حل کنید.

راه حل . با یافتن ODZ این معادله، به این نتیجه می رسیم که ODZ معادله اصلی یک مجموعه تک عنصری است.. جایگزین کردنx=2در این معادله نتیجه می گیریم کهx=2ریشه معادله اصلی است.

پاسخ : 2 .

مثال 2.

معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا برای هر مقدار معتبر متغیر، مجموع دو عدد غیر منفی نمی تواند منفی باشد.

مثال 3
+ 3 =
.

ODZ:

معادله ODZ یک مجموعه خالی است.

پاسخ: معادله ریشه ندارد.

مثال 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. با بررسی متقاعد می شویم که x \u003d 1 ریشه معادله است.

پاسخ 1.

ثابت کنید که معادله هیچ دارد

ریشه ها

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

معادله را حل کنید.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. در بالا بردن دو طرف معادله به توان طبیعی ، یعنی انتقال از معادله

(1)

به معادله

. (2)

عبارات زیر درست است:

1) برای هر معادله (2) نتیجه معادله (1) است.

2) اگر ( nیک عدد فرد است، سپس معادلات (1) و (2). ) معادل هستند;

3) اگر ( nیک عدد زوج است، سپس معادله (2) معادل معادله است

, (3)

و معادله (3) معادل مجموعه معادلات است

. (4)

به ویژه، معادله

(5)

معادل مجموعه معادلات (4) است.

مثال 1. معادله را حل کنید

.

معادله معادل سیستم است

از این رو نتیجه می شود که x=1، و ریشه نابرابری دوم را برآورده نمی کند. در عین حال، یک راه حل شایسته نیازی به تأیید ندارد.

پاسخ:x=1.

مثال 2. معادله را حل کنید.

حل معادله اول این سیستم که معادل معادله است ، ریشه ها را می گیریم و . با این حال، برای این ارزش ها ایکسنابرابری ارضا نمی شود و بنابراین این معادله ریشه ندارد.

پاسخ: بدون ریشه

مثال 3. معادله را حل کنید

با جداسازی رادیکال اول، معادله را به دست می آوریم

معادل اصل

دو طرف این معادله را مربع می کنیم، چون هر دو مثبت هستند، معادله را بدست می آوریم

,

که نتیجه معادله اصلی است. دو طرف این معادله را با این شرط مجذور می کنیم که به معادله می رسیم

.

این معادله دارای ریشه , . ریشه اول شرط اولیه را برآورده می کند و دومی نه.

پاسخ: x=2 .

اگر معادله شامل دو یا چند رادیکال باشد، ابتدا آنها را جدا کرده و سپس مجذور می‌کنند.

مثال 1

پس از جداسازی اولین رادیکال، معادله ای معادل معادله داده شده بدست می آوریم. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:

پس از انجام تبدیل های لازم، معادله حاصل را مربع می کنیم

پس از بررسی متوجه می شویم که

در محدوده مجاز نیست

جواب: 8.

جواب: 2

پاسخ: 3; 1.4.

3. بسیاری از معادلات غیر منطقی با معرفی متغیرهای کمکی حل می شوند.

یک وسیله مناسب برای حل معادلات غیرمنطقی گاهی اوقات روش معرفی یک متغیر جدید یا روش جایگزینیاین روش معمولاً اگر در معادله باشد اعمال می شود برخی از بیان به طور مکرر رخ می دهدبسته به مقدار مجهول. سپس منطقی است که این عبارت را با مقداری حرف جدید مشخص کنیم و سعی کنیم ابتدا معادله را با توجه به مجهول معرفی شده حل کنیم و سپس مجهول اصلی را پیدا کنیم.

انتخاب خوب یک متغیر جدید ساختار معادله را شفاف تر می کند. متغیر جدید گاه آشکار است، گاه تا حدودی پوشیده، اما «احساس می شود» و گاه تنها در فرآیند دگرگونی «ظاهر می شود».

مثال 1

اجازه دهید
t> 0، سپس

t =
,

t 2 + 5t-14=0،

t 1 \u003d -7، t 2 \u003d 2. پس t=-7 شرط t>0 را برآورده نمی کند

,

x 2 -2x-5 \u003d 0،

x 1 \u003d 1-
، x 2 \u003d 1+
.

پاسخ 1-
; 1+
.

مثال 2یک معادله غیر منطقی را حل کنید

جایگزینی:

تعویض معکوس:/

پاسخ:

مثال 3معادله را حل کنید .

بیایید تعویض کنیم: , . معادله اصلی به شکل بازنویسی می شود، از آنجا که ما آن را پیدا می کنیم آ = 4بو . به علاوه، بالا بردن هر دو طرف معادله مربع، دریافت می کنیم: از اینجا ایکس= 15. باقی مانده است که بررسی شود:

- درست!

پاسخ: 15.

مثال 4. معادله را حل کنید

با تنظیم , معادله غیر منطقی بسیار ساده تری به دست می آوریم . بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم: .

; ;

; ; , .

بررسی مقادیر یافت شده، جایگزینی آنها در معادله نشان می دهد که ریشه معادله است و یک ریشه خارجی است.

بازگشت به متغیر اصلی ایکس، معادله را بدست می آوریم، یعنی معادله درجه دوم، با حل آن دو ریشه پیدا می کنیم: ,. هر دو ریشه معادله اصلی را برآورده می کنند.

پاسخ: , .

این جایگزینی به ویژه زمانی مفید است که کیفیت جدیدی در نتیجه حاصل شود، برای مثال، یک معادله غیرمنطقی منطقی شود.

مثال 6. معادله را حل کنید.

بیایید معادله را به این صورت بازنویسی کنیم:

مشاهده می شود که اگر یک متغیر جدید معرفی کنیم ، سپس معادله شکل خواهد گرفت ، از کجا یک ریشه خارجی و .

از معادله ای که بدست می آوریم، .

پاسخ: , .

مثال 7. معادله را حل کنید .

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم، .

در نتیجه، معادله غیرمنطقی اولیه شکل یک درجه دوم به خود می گیرد

,

از آنجا، با در نظر گرفتن محدودیت، به دست می آوریم. با حل معادله، ریشه را بدست می آوریم. پاسخ: 2,5.

وظایف برای تصمیم گیری مستقل

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.روش معرفی دو متغیر کمکی.

معادلات فرم (اینجا آ , ب , ج , د – برخی از اعداد متر , n – اعداد طبیعی) و تعدادی معادله دیگر اغلب قابل حل هستند با معرفی دو مجهول کمکی:و کجا و انتقال بعدی به سیستم معادل معادلات گویا.

مثال 1. معادله را حل کنید.

بالا بردن هر دو طرف این معادله به توان چهارم، نوید خوبی ندارد. اگر , را قرار دهیم، معادله اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود: . از آنجایی که دو مجهول جدید معرفی کرده‌ایم، باید یک معادله دیگر را پیدا کنیم yو z. برای انجام این کار، برابری ها را تا توان چهارم بالا می بریم و توجه می کنیم که . بنابراین، ما باید سیستم معادلات را حل کنیم

با مجذور به دست می آوریم:

پس از تعویض داریم: یا . سپس سیستم دو راه حل دارد: , ; ، ، و سیستم هیچ راه حلی ندارد.

باقی مانده است که سیستم دو معادله با یک مجهول را حل کنیم

و نظام اولی آنها می دهد دومی می دهد .

پاسخ: , .

مثال 2

اجازه دهید

پاسخ:

5. معادلات با رادیکال درجه سوم.
هنگام حل معادلات حاوی رادیکال های درجه سوم، استفاده از هویت های جمع می تواند مفید باشد:

مثال 1 .
بیایید هر دو طرف این معادله را به توان 3 برسانیم و از هویت بالا استفاده کنیم:

توجه داشته باشید که عبارت داخل پرانتز برابر با 1 است که از معادله اصلی به دست می آید. با در نظر گرفتن این موضوع و آوردن اصطلاحات مشابه، دریافت می کنیم:
بیایید پرانتزها را باز کنیم، عبارات مشابه را بدهیم و معادله درجه دوم را حل کنیم. ریشه های آنو. اگر (طبق تعریف) فرض کنیم که ریشه یک درجه فرد را می توان از اعداد منفی نیز استخراج کرد، هر دو عدد به دست آمده راه حل معادله اصلی هستند.
پاسخ:.

6. ضرب هر دو قسمت معادله در بیان مزدوج یکی از آنها.

گاهی اوقات یک معادله غیرمنطقی را می توان به سرعت حل کرد اگر هر دو طرف در یک تابع به خوبی انتخاب شده ضرب شوند. البته، وقتی هر دو طرف معادله در یک تابع ضرب شوند، ممکن است راه حل های اضافی ظاهر شوند، ممکن است آنها صفرهای خود این تابع باشند. بنابراین، روش پیشنهادی نیاز به مطالعه اجباری مقادیر حاصل دارد.

مثال 1معادله را حل کنید

راه حل:بیایید یک تابع را انتخاب کنیم

دو طرف معادله را در تابع انتخاب شده ضرب کنید:

عبارات مشابه را می آوریم و یک معادله معادل به دست می آوریم

معادله اصلی را اضافه می کنیم و آخرین مورد را به دست می آوریم

پاسخ: .

7. تبدیل هویت در حل معادلات غیرمنطقی

هنگام حل معادلات غیر منطقی، اغلب لازم است که تبدیل های یکسان مرتبط با استفاده از فرمول های شناخته شده را اعمال کنیم. متأسفانه، این اقدامات گاهی اوقات به اندازه افزایش قدرت یکنواخت ناامن هستند - راه حل ها می توانند به دست بیایند یا از دست بروند.

بیایید به چند موقعیت که در آن این مشکلات رخ می دهد نگاه کنیم و یاد بگیریم که چگونه آنها را تشخیص دهیم و از آنها پیشگیری کنیم.

من. مثال 1. معادله را حل کنید.

راه حل.فرمول در اینجا اعمال می شود .

فقط باید به ایمنی استفاده از آن فکر کنید. به راحتی می توان فهمید که قسمت چپ و راست آن دارد مناطق مختلفتعاریف و اینکه این برابری فقط تحت شرایط صادق است. بنابراین معادله اصلی معادل سیستم است

با حل معادله این سیستم، ریشه و . ریشه دوم مجموعه نابرابری های سیستم را برآورده نمی کند و بنابراین، یک ریشه خارجی معادله اصلی است.

پاسخ: -1 .

IIتبدیل خطرناک بعدی هنگام حل معادلات غیر منطقی با فرمول تعیین می شود.

اگر از این فرمول از چپ به راست استفاده کنید، DPV گسترش می یابد و راه حل های شخص ثالث قابل خریداری است. در واقع، هر دو تابع و باید در سمت چپ غیر منفی باشند. و محصول آنها باید غیر منفی در سمت راست باشد.

مثالی را در نظر بگیرید که در آن مشکل با استفاده از فرمول اجرا شده است.

مثال 2. معادله را حل کنید.

راه حل.بیایید سعی کنیم این معادله را با فاکتورگیری حل کنیم

توجه داشته باشید که در طی این عمل، راه حل گم شده است، زیرا با معادله اصلی مطابقت دارد و دیگر با معادله حاصل مطابقت ندارد: برای . بنابراین، این معادله به بهترین وجه با مربع معمولی حل می شود

با حل معادله این سیستم، ریشه و . هر دو ریشه نابرابری سیستم را ارضا می کنند.

پاسخ: , .

III.حتی بیشتر هم هست اقدام خطرناک- کاهش توسط یک عامل مشترک.

مثال 3. معادله را حل کنید .

استدلال اشتباه: هر دو طرف معادله را کاهش می دهیم، به دست می آوریم .

هیچ چیز خطرناک تر و نادرست تر از این عمل نیست. اول، یک راه حل مناسب برای معادله اصلی از دست رفت. در مرحله دوم، دو راه حل شخص ثالث خریداری شد. معلومه که معادله جدید ربطی به اصل نداره! راه حل صحیح را خواهیم داد.

راه حل. همه عبارت ها را به سمت چپ معادله منتقل می کنیم و آن را فاکتور می کنیم

.

این معادله معادل سیستم است

که دارای تنها تصمیم.

پاسخ: 3 .

نتیجه.

به عنوان بخشی از مطالعه درس انتخابی، روش های غیر استاندارد برای حل مسائل پیچیده نشان داده شده است که با موفقیت توسعه می یابد. تفکر منطقی، توانایی یافتن در میان بسیاری از راه های حل برای دانش آموز راحت و منطقی است. این دوره به دانشجویان نیاز دارد کار مستقل، به آمادگی دانش آموزان برای ادامه تحصیل، بالا بردن سطح فرهنگ ریاضی کمک می کند.

در این مقاله روش‌های اصلی برای حل معادلات غیرمنطقی، برخی رویکردها برای حل معادلات درجات بالاتر، که قرار است استفاده از آن‌ها در حل وظایف USE و همچنین هنگام ورود به دانشگاه و ادامه تحصیل ریاضی مورد استفاده قرار گیرد، مورد توجه قرار گرفت. محتوای مفاهیم و گزاره های اصلی مربوط به نظریه حل معادلات غیر منطقی نیز افشا شد. با تعیین متداول ترین روش برای حل معادلات، کاربرد آن را در شرایط استاندارد و غیر استاندارد آشکار کردیم. به علاوه در نظر گرفتند اشتباهات معمولیهنگام انجام دگرگونی های یکسان و راه های غلبه بر آنها.

در طول دوره، دانش آموزان این فرصت را خواهند داشت که بر روش ها و تکنیک های مختلف برای حل معادلات تسلط پیدا کنند، ضمن یادگیری نظام مند کردن و تعمیم اطلاعات نظری، به طور مستقل راه حل های برخی از مسائل را جستجو کنند و در ارتباط با این، تعدادی کار و تمرین در مورد آنها بنویسند. این موضوعات انتخاب مواد پیچیده به دانش آموزان کمک می کند تا خود را در فعالیت های تحقیقاتی بیان کنند.

جنبه مثبتدوره امکان استفاده بیشتر توسط دانشجویان از مطالب مورد مطالعه در قبولی در امتحان، پذیرش در دانشگاه ها.

جنبه منفی آن این است که هر دانش آموزی حتی اگر بخواهد به دلیل سختی اکثر کارهایی که باید حل شود، قادر به تسلط بر تمامی فنون این درس نیست.

ادبیات:

شاریگین I.F. "ریاضیات برای متقاضیان ورود به دانشگاه." - ویرایش سوم، - M.: درفا، 2000.

معادلات و نابرابری ها راهنمای مرجع./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. -M.: امتحان، 1998.

چرکاسف O.Yu.، Yakushev A.G. "ریاضی: دوره آمادگی آزمون فشرده". - چاپ هشتم، Rev. و اضافی - M.: Iris، 2003. - (مدرس خانه)

بالایان ای.ن. تمرینات و گزینه های پیچیده برای وظایف آموزشی برای امتحان در ریاضیات. روستوف-آن-دون: انتشارات ققنوس، 2004.

اسکاناوی M.I. "مجموعه تکالیف ریاضی برای متقاضیان ورود به دانشگاه." - م.، "دبیرستان"، 1377.

ایگوسمن O.S. "ریاضی در امتحان شفاهی". - م.، آیریس، 1999.

مواد امتحانی برای آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی - 2008 - 2012.

V.V.Kochagin, M.N.Kochagina "USE - 2010. ریاضیات. معلم "مسکو" روشنگری "2010.

V.A. Gusev، A.G. Mordkovich "ریاضیات. مواد مرجع "مسکو" روشنگری "1988.

معادلاتی که در آنها یک متغیر در زیر علامت ریشه قرار می گیرد غیر منطقی نامیده می شود.

روش‌های حل معادلات غیرمنطقی معمولاً مبتنی بر امکان جایگزینی (با کمک برخی تبدیل‌ها) معادله غیرمنطقی است. معادله منطقی، که یا معادل معادله غیرمنطقی اصلی است یا پیامد آن است. اغلب، هر دو طرف معادله به یک توان افزایش می‌یابند. در این صورت معادله ای حاصل می شود که نتیجه معادله اصلی است.

در حل معادلات غیرمنطقی باید موارد زیر را در نظر گرفت:

1) اگر شاخص ریشه یک عدد زوج باشد، عبارت رادیکال باید غیر منفی باشد. مقدار ریشه نیز غیر منفی است (تعریف ریشه با توان زوج).

2) اگر شاخص ریشه یک عدد فرد باشد، عبارت رادیکال می تواند هر عدد واقعی باشد. در این صورت علامت ریشه همان علامت بیان ریشه است.

مثال 1معادله را حل کنید

بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم.
x 2 - 3 \u003d 1;
3- را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می کنیم و کاهش عبارت های مشابه را انجام می دهیم.
x 2 \u003d 4;
معادله درجه دوم ناقص حاصل دارای دو ریشه -2 و 2 است.

بیایید ریشه های به دست آمده را بررسی کنیم، برای این کار، مقادیر متغیر x را در معادله اصلی جایگزین می کنیم.
معاینه.
وقتی x 1 \u003d -2 - درست است:
وقتی x 2 \u003d -2- درست است.
بنابراین معادله غیرمنطقی اولیه دارای دو ریشه -2 و 2 است.

مثال 2معادله را حل کنید .

این معادله را می توان با همان روش مثال اول حل کرد، اما ما آن را متفاوت انجام خواهیم داد.

اجازه دهید ODZ این معادله را پیدا کنیم. از تعریف جذر، نتیجه می شود که در این معادله باید دو شرط به طور همزمان برآورده شود:

ODZ معادله داده شده: x.

پاسخ: بدون ریشه.

مثال 3معادله را حل کنید =+ 2.

یافتن ODZ در این معادله کار نسبتاً دشواری است. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
پس از بررسی، مشخص می کنیم که x 2 \u003d 0 یک ریشه اضافی است.
پاسخ: x 1 \u003d 1.

مثال 4معادله x = را حل کنید.

در این مثال، ODZ به راحتی پیدا می شود. ODZ این معادله: x[-1;).

بیایید دو طرف این معادله را مربع کنیم، در نتیجه معادله x 2 \u003d x + 1 را به دست می آوریم. ریشه های این معادله:

بررسی ریشه های یافت شده دشوار است. اما، با وجود این واقعیت که هر دو ریشه متعلق به ODZ هستند، نمی توان ادعا کرد که هر دو ریشه ریشه های معادله اصلی هستند. این منجر به خطا می شود. در این حالت، معادله غیرمنطقی معادل ترکیب دو نامساوی و یک معادله است:

x+10 و x0 و x 2 \u003d x + 1، که از آن نتیجه می شود که ریشه منفی معادله غیرمنطقی خارجی است و باید کنار گذاشته شود.

مثال 5.معادله += 7 را حل کنید.

بیایید دو طرف معادله را مربع کرده و کاهش عبارت های مشابه را انجام دهیم، عبارت ها را از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل کنیم و هر دو قسمت را در 0.5 ضرب کنیم. در نتیجه معادله را بدست می آوریم
= 12، (*) که پیامد اصلی است. بیایید دوباره دو طرف معادله را مربع کنیم. معادله (x + 5) (20 - x) = 144 را بدست می آوریم که نتیجه معادله اصلی است. معادله به دست آمده به شکل x 2 - 15x + 44 = 0 کاهش می یابد.

این معادله (که همچنین نتیجه معادله اصلی است) دارای ریشه های x 1 \u003d 4، x 2 \u003d 11 است. همانطور که آزمایش نشان می دهد هر دو ریشه معادله اصلی را برآورده می کنند.

هرزه. x 1 = 4، x 2 = 11.

اظهار نظر. هنگام مربع کردن معادلات، دانش آموزان اغلب در معادلات از نوع (*) عبارات ریشه را ضرب می کنند، یعنی به جای معادله = 12، معادله را می نویسند. = 12. این منجر به خطا نمی شود، زیرا معادلات پیامدهای معادلات هستند. اما باید در نظر داشت که در مورد کلیچنین ضرب عبارات رادیکال معادلات غیر معادل به دست می دهد.

در مثال‌هایی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، ابتدا امکان انتقال یکی از رادیکال‌ها وجود داشت سمت راستمعادلات سپس یک رادیکال در سمت چپ معادله باقی می ماند و پس از دو طرف معادله، یک تابع گویا در سمت چپ معادله به دست می آید. این تکنیک (تنهایی رادیکال) اغلب در حل معادلات غیر منطقی استفاده می شود.

مثال 6. حل معادله-= 3.

با جداسازی رادیکال اول، معادله را به دست می آوریم
=+ 3 که معادل اصلی است.

دو طرف این معادله را به صورت دو طرفه به دست می آوریم

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6 که معادل معادله است

4x - 5 = 3(*). این معادله نتیجه معادله اصلی است. دو طرف معادله را دو طرفه می کنیم، به معادله می رسیم
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) یا

7x2 - 13x - 2 = 0.

این معادله نتیجه معادله (*) (و از این رو معادله اصلی) است و ریشه دارد. ریشه اول x 1 = 2 معادله اصلی را برآورده می کند، و x 2 =- نمی کند.

پاسخ: x = 2.

توجه داشته باشید که اگر بلافاصله، بدون جداسازی یکی از رادیکال‌ها، هر دو بخش معادله اصلی را مربع می‌کردیم، باید تبدیل‌های نسبتاً دست و پا گیر انجام دهیم.

در حل معادلات غیر منطقی علاوه بر جداسازی رادیکال ها از روش های دیگری نیز استفاده می شود. مثالی از استفاده از روش جایگزینی مجهول (روش معرفی متغیر کمکی) را در نظر بگیرید.