معادلات غیرمنطقی نمونه های پیچیده ای هستند. راه حل معادلات غیر منطقی

پاسخ: x = 3.

8 روش. کاربرد مشتق در حل معادلات غیر منطقی

اغلب، هنگام حل معادلات با استفاده از روش مشتق، از روش تخمین استفاده می شود.

مثال 15:

حل معادله: (1)

راه حل: از https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> یا (2). تابع را در نظر بگیرید ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> اصلاً و بنابراین افزایش می یابد. بنابراین، معادله معادل معادله ای است که ریشه ای دارد که ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

مثال 16:

حل معادله غیر منطقی:

دامنه تعریف تابع یک قطعه است. پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین ارزشمقادیر این تابع در بازه . برای انجام این کار، مشتق تابع را پیدا می کنیم f(ایکس): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. بیایید مقادیر تابع را پیدا کنیم f(ایکس)در انتهای بخش و در نقطه: بنابراین، اما، و بنابراین، برابری فقط در شرایط https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" امکان پذیر است height="19 src=" > تایید نشان می دهد که عدد 3 ریشه این معادله است.

پاسخ: x = 3.

9 روش. عملکردی

در امتحانات، آنها گاهی اوقات پیشنهاد حل معادلات را می دهند که می تواند به شکل نوشته شود، جایی که یک تابع مشخص است.

به عنوان مثال، برخی از معادلات: 1) 2) . در واقع، در مورد اول ، در مورد دوم . بنابراین، معادلات غیر منطقی را با استفاده از عبارت زیر حل کنید: اگر یک تابع به شدت در مجموعه افزایش می یابد ایکسو برای هر، سپس معادلات و غیره در مجموعه معادل هستند ایکس .

حل معادله غیر منطقی: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> به شدت در مجموعه افزایش می یابد R،و https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > که یک ریشه منحصر به فرد دارد بنابراین معادله معادل (1) نیز یک ریشه منحصر به فرد دارد

پاسخ: x = 3.

مثال 18:

حل معادله غیر منطقی: (1)

طبق تعریف ریشه دومدریافت می کنیم که اگر معادله (1) دارای ریشه باشد، آنها به مجموعه https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47"> تعلق دارند. 2)

تابع https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> به شدت در این مجموعه برای هر ..gif" width="100" افزایش می یابد. height = "41"> که یک ریشه دارد بنابراین، و معادل آن در مجموعه ایکسمعادله (1) یک ریشه دارد

پاسخ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

راه حل: این معادله معادل یک سیستم مختلط است

تحولات روش شناختی برای درس انتخابی

"روش حل معادلات غیر منطقی""

مقدمه

درس انتخابی پیشنهادی "روش های حل معادلات غیر منطقی" برای دانش آموزان پایه یازدهم در نظر گرفته شده است. مدرسه راهنماییو موضوع محور است، با هدف گسترش نظری و دانش و آگاهی عملیدانش آموزان. درس انتخابی بر اساس دانش و مهارت هایی است که دانش آموزان در حین تحصیل ریاضی در دبیرستان کسب می کنند.

ویژگی این دوره در این واقعیت نهفته است که در درجه اول برای دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که می خواهند دانش ریاضی خود را گسترش دهند، عمیق تر کنند، سیستم سازی کنند، دانش ریاضی خود را تعمیم دهند، روش ها و تکنیک های رایج برای حل معادلات غیر منطقی را مطالعه کنند. این برنامه شامل سؤالاتی است که تا حدی فراتر از برنامه های فعلی در ریاضیات و روش های غیر استاندارد است که به شما امکان می دهد مسائل مختلف را به طور مؤثرتری حل کنید.

اکثر تکالیف USE به فارغ التحصیلان نیاز دارند روش های مختلفحل انواع معادلات و سیستم های آنهامطالب مربوط به معادلات و سیستم های معادلات بخش قابل توجهی از درس ریاضی مدرسه است. ارتباط انتخاب موضوع درس انتخابیبا توجه به اهمیت مبحث "معادلات غیرمنطقی" در درس ریاضی مدرسه و در عین حال کمبود وقت برای در نظر گرفتن روش ها و رویکردهای غیر استاندارد برای حل معادلات غیرمنطقی که در وظایف " گروه ج از آزمون یکپارچه دولتی.

همراه با زنبورها وظیفه جدیدو تدریس ریاضیات - حصول اطمینان از تسلط قوی و آگاهانه دانش آموزان بر سیستم دانش و مهارت های ریاضی - این درس انتخابی شکل گیری علاقه پایدار به موضوع، توسعه توانایی های ریاضی، افزایش سطح فرهنگ ریاضی را فراهم می کند. دانش آموزان، زمینه ای را ایجاد می کند تحویل موفقآزمون یکپارچه دولتی و ادامه تحصیل در دانشگاه ها.

هدف دوره:

افزایش سطح درک و آموزش عملی در حل معادلات غیرمنطقی.

بررسی تکنیک ها و روش های حل معادلات غیرمنطقی.

برای تشکیل توانایی تجزیه و تحلیل، برجسته کردن چیز اصلی، تشکیل عناصر جستجوی خلاق بر اساس تکنیک های تعمیم.

برای گسترش دانش دانش آموزان در مورد این موضوع، مهارت ها و توانایی های حل مسائل مختلف را برای گذراندن موفقیت آمیز امتحان بهبود بخشید.

اهداف دوره:

گسترش دانش در مورد روش ها و راه های حل معادلات جبری.

تعمیم و نظام مند کردن دانش هنگام تدریس در کلاس های 10-11 و آماده شدن برای امتحان.

توسعه توانایی کسب و به کارگیری مستقل دانش؛

معرفی دانش آموزان به کار با ادبیات ریاضی؛

توسعه تفکر منطقی دانش آموزان، فرهنگ الگوریتمی و شهود ریاضی آنها.

ارتقاء فرهنگ ریاضی دانش آموزان.

برنامه دوره انتخابی شامل مطالعه روش ها و رویکردهای مختلف در حل معادلات غیر منطقی، توسعه مهارت های عملی در مورد موضوعات مورد بررسی است. این دوره به مدت 17 ساعت طراحی شده است.

این برنامه پیچیده است، از دوره معمول مطالعه فراتر می رود، توسعه تفکر انتزاعی را ترویج می کند و زمینه دانش دانش آموز را گسترش می دهد. با این حال، آن را حفظ تداوم با برنامه های موجود، بسط منطقی آنهاست.

طرح آموزشی و موضوعی

№p/n

موضوع

تعداد ساعت

حل معادلات با در نظر گرفتن محدوده مقادیر قابل قبول

حل معادلات غیر منطقی با بالا بردن توان طبیعی

حل معادلات با معرفی متغیرهای کمکی (روش جایگزینی)

حل معادله با رادیکال درجه سوم.

تبدیل هویت در حل معادلات غیرمنطقی

کارهای غیر سنتی. وظایف گروه "C" USE

اشکال کنترل:کنترل خانه، کار مستقل، مقالات و مقالات تحقیقاتی.

در نتیجه تدریس این درس انتخابی، دانشجویان باید بتوانند معادلات غیرمنطقی مختلف را با استفاده از روش‌ها و تکنیک‌های استاندارد و غیراستاندارد حل کنند.

تسلط بر الگوریتم حل معادلات غیرمنطقی استاندارد؛

قادر به استفاده از خواص معادلات برای حل وظایف غیر استاندارد باشد.

قادر به انجام تبدیل های یکسان در هنگام حل معادلات.

درک روشنی از موضوعات یک واحد دارند آزمون دولتی، در مورد روش های اصلی راه حل آنها;

کسب تجربه در انتخاب روش هایی برای حل مسائل غیر استاندارد.

بخش اصلی.

معادلاتی که در آنها کمیت مجهول زیر علامت رادیکال باشد نامیده می شوند غیر منطقی

ساده ترین معادلات غیر منطقی شامل معادلات به شکل زیر است:

ایده اصلی راه حلمعادله غیرمنطقی آن است که آن را به یک معادله جبری عقلانی تقلیل دهیم که یا معادل معادله غیرمنطقی اصلی است یا پیامد آن است. هنگام حل معادلات غیرمنطقی، ما همیشه در مورد یافتن ریشه های واقعی صحبت می کنیم.

چند راه حل معادلات غیر منطقی را در نظر بگیرید.

1. حل معادلات غیر منطقی با در نظر گرفتن محدوده مقادیر مجاز (ODZ).

دامنه مقادیر مجاز معادله غیرمنطقی شامل مقادیر مجهولاتی است که تمام عبارات تحت علامت رادیکال درجه زوج غیرمنفی هستند.

گاهی اوقات دانش ODZ به ما اجازه می‌دهد ثابت کنیم که معادله هیچ راه‌حلی ندارد، و گاهی اوقات به ما اجازه می‌دهد تا با جایگزین کردن مستقیم اعداد از ODZ راه‌حل‌هایی برای معادله پیدا کنیم..

مثال 1 . معادله را حل کنید.

راه حل . با یافتن ODZ این معادله، به این نتیجه می رسیم که ODZ معادله اصلی یک مجموعه تک عنصری است.. جایگزین کردنx=2در این معادله نتیجه می گیریم کهx=2ریشه معادله اصلی است.

پاسخ : 2 .

مثال 2.

معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا برای هر مقدار معتبر متغیر، مجموع دو عدد غیر منفی نمی تواند منفی باشد.

مثال 3
+ 3 =
.

ODZ:

معادله ODZ یک مجموعه خالی است.

پاسخ: معادله ریشه ندارد.

مثال 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. با بررسی متقاعد می شویم که x \u003d 1 ریشه معادله است.

پاسخ 1.

ثابت کنید که معادله هیچ دارد

ریشه ها

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

معادله را حل کنید.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. در بالا بردن دو طرف معادله به توان طبیعی ، یعنی انتقال از معادله

(1)

به معادله

. (2)

عبارات زیر درست است:

1) برای هر معادله (2) نتیجه معادله (1) است.

2) اگر ( nیک عدد فرد است، سپس معادلات (1) و (2). ) معادل هستند;

3) اگر ( nیک عدد زوج است، سپس معادله (2) معادل معادله است

, (3)

و معادله (3) معادل مجموعه معادلات است

. (4)

به طور خاص، معادله

(5)

معادل مجموعه معادلات (4) است.

مثال 1. معادله را حل کنید

.

معادله معادل سیستم است

از این رو نتیجه می شود که x=1، و ریشه نابرابری دوم را برآورده نمی کند. در عین حال، یک راه حل شایسته نیازی به تأیید ندارد.

پاسخ:x=1.

مثال 2. معادله را حل کنید.

حل معادله اول این سیستم که معادل معادله است ، ریشه ها را می گیریم و . با این حال، برای این ارزش ها ایکسنابرابری ارضا نمی شود و بنابراین این معادله ریشه ندارد.

پاسخ: بدون ریشه

مثال 3. معادله را حل کنید

با جداسازی رادیکال اول، معادله را به دست می آوریم

معادل اصل

دو طرف این معادله را مربع می کنیم، چون هر دو مثبت هستند، معادله را بدست می آوریم

,

که نتیجه معادله اصلی است. دو طرف این معادله را با این شرط مجذور می کنیم که به معادله می رسیم

.

این معادله دارای ریشه , . ریشه اول شرط اولیه را برآورده می کند و دومی نه.

پاسخ: x=2 .

اگر معادله شامل دو یا چند رادیکال باشد، ابتدا آنها را جدا کرده و سپس مجذور می‌کنند.

مثال 1

پس از جداسازی اولین رادیکال، معادله ای معادل معادله داده شده بدست می آوریم. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:

پس از انجام تبدیل های لازم، معادله حاصل را مربع می کنیم

پس از بررسی متوجه می شویم که

در محدوده مجاز نیست

پاسخ: 8.

جواب: 2

پاسخ: 3; 1.4.

3. بسیاری از معادلات غیر منطقی با معرفی متغیرهای کمکی حل می شوند.

یک وسیله مناسب برای حل معادلات غیرمنطقی گاهی اوقات روش معرفی یک متغیر جدید یا روش جایگزینیاین روش معمولاً اگر در معادله باشد اعمال می شود برخی از بیان به طور مکرر رخ می دهدبسته به مقدار مجهول. سپس منطقی است که این عبارت را با یک حرف جدید مشخص کنیم و سعی کنیم ابتدا معادله را با توجه به مجهول معرفی شده حل کنیم و سپس مجهول اصلی را پیدا کنیم.

انتخاب خوب یک متغیر جدید ساختار معادله را شفاف تر می کند. متغیر جدید گاه آشکار است، گاه تا حدودی پوشیده، اما «احساس می شود» و گاه تنها در فرآیند دگرگونی «ظاهر می شود».

مثال 1

اجازه دهید
t> 0، سپس

t =
,

t 2 + 5t-14=0،

t 1 \u003d -7، t 2 \u003d 2. پس t=-7 شرط t>0 را برآورده نمی کند

,

x 2 -2x-5 \u003d 0،

x 1 \u003d 1-
، x 2 \u003d 1+
.

پاسخ 1-
; 1+
.

مثال 2یک معادله غیر منطقی را حل کنید

جایگزینی:

تعویض معکوس:/

پاسخ:

مثال 3معادله را حل کنید .

بیایید تعویض کنیم: , . معادله اصلی به شکل بازنویسی می شود، از آنجا که ما آن را پیدا می کنیم آ = 4بو . به علاوه، بالا بردن هر دو طرف معادله مربع، دریافت می کنیم: از اینجا ایکس= 15. باقی مانده است که بررسی شود:

- درست!

پاسخ: 15.

مثال 4. معادله را حل کنید

با تنظیم , معادله غیر منطقی بسیار ساده تری به دست می آوریم . بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم: .

; ;

; ; , .

بررسی مقادیر یافت شده، جایگزینی آنها در معادله نشان می دهد که ریشه معادله است و یک ریشه خارجی است.

بازگشت به متغیر اصلی ایکس، یک معادله می گیریم، یعنی یک معادله درجه دوم، که با حل آن دو ریشه پیدا می کنیم:,. هر دو ریشه معادله اصلی را برآورده می کنند.

پاسخ: , .

این جایگزینی به ویژه زمانی مفید است که کیفیت جدیدی در نتیجه حاصل شود، برای مثال، یک معادله غیرمنطقی منطقی شود.

مثال 6. معادله را حل کنید.

بیایید معادله را به این صورت بازنویسی کنیم:

مشاهده می شود که اگر یک متغیر جدید معرفی کنیم ، سپس معادله شکل خواهد گرفت ، از کجا یک ریشه خارجی و .

از معادله ای که بدست می آوریم، .

پاسخ: , .

مثال 7. معادله را حل کنید .

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم، .

در نتیجه، معادله غیرمنطقی اولیه شکل یک درجه دوم به خود می گیرد

,

از آنجا، با در نظر گرفتن محدودیت، به دست می آوریم. با حل معادله، ریشه را بدست می آوریم. پاسخ: 2,5.

وظایف برای تصمیم گیری مستقل

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.روش معرفی دو متغیر کمکی.

معادلات فرم (اینجا آ , ب , ج , د – برخی از اعداد متر , n – اعداد طبیعی) و تعدادی معادله دیگر اغلب قابل حل هستند با معرفی دو مجهول کمکی:و کجا و انتقال بعدی به سیستم معادل معادلات گویا.

مثال 1. معادله را حل کنید.

بالا بردن هر دو طرف این معادله به توان چهارم، نوید خوبی ندارد. اگر , را قرار دهیم، معادله اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود: . از آنجایی که دو مجهول جدید معرفی کرده‌ایم، باید یک معادله دیگر را پیدا کنیم yو z. برای انجام این کار، برابری ها را تا توان چهارم بالا می بریم و توجه می کنیم که . بنابراین، ما باید سیستم معادلات را حل کنیم

با مجذور به دست می آوریم:

پس از تعویض داریم: یا . سپس سیستم دو راه حل دارد: , ; ، ، و سیستم هیچ راه حلی ندارد.

باقی مانده است که سیستم دو معادله با یک مجهول را حل کنیم

و نظام اولی آنها می دهد دومی می دهد .

پاسخ: , .

مثال 2

اجازه دهید

پاسخ:

5. معادلات با رادیکال درجه سوم.
هنگام حل معادلات حاوی رادیکال های درجه سوم، استفاده از هویت های جمع می تواند مفید باشد:

مثال 1 .
بیایید هر دو طرف این معادله را به توان 3 برسانیم و از هویت بالا استفاده کنیم:

توجه داشته باشید که عبارت داخل پرانتز برابر با 1 است که از معادله اصلی به دست می آید. با در نظر گرفتن این موضوع و آوردن اصطلاحات مشابه، دریافت می کنیم:
بیایید پرانتزها را باز کنیم، عبارات مشابه را بدهیم و معادله درجه دوم را حل کنیم. ریشه های آنو. اگر (طبق تعریف) فرض کنیم که ریشه یک درجه فرد را می توان از اعداد منفی نیز استخراج کرد، هر دو عدد به دست آمده راه حل معادله اصلی هستند.
پاسخ:.

6. ضرب هر دو قسمت معادله در بیان مزدوج یکی از آنها.

گاهی اوقات یک معادله غیرمنطقی را می توان به سرعت حل کرد اگر هر دو طرف در یک تابع به خوبی انتخاب شده ضرب شوند. البته، وقتی هر دو طرف معادله در یک تابع ضرب شوند، ممکن است راه حل های اضافی ظاهر شوند، ممکن است آنها صفرهای خود این تابع باشند. بنابراین، روش پیشنهادی نیاز به مطالعه اجباری مقادیر حاصل دارد.

مثال 1معادله را حل کنید

راه حل:بیایید یک تابع را انتخاب کنیم

دو طرف معادله را در تابع انتخاب شده ضرب کنید:

عبارات مشابه را می آوریم و یک معادله معادل به دست می آوریم

معادله اصلی را اضافه می کنیم و آخرین مورد را به دست می آوریم

پاسخ: .

7. تبدیل هویت در حل معادلات غیرمنطقی

هنگام حل معادلات غیر منطقی، اغلب لازم است که تبدیل های یکسان مرتبط با استفاده از فرمول های شناخته شده را اعمال کنیم. متأسفانه، این اقدامات گاهی اوقات به اندازه افزایش قدرت یکنواخت ناامن هستند - راه حل ها می توانند به دست بیایند یا از دست بروند.

بیایید به چند موقعیت که در آن این مشکلات رخ می دهد نگاه کنیم و یاد بگیریم که چگونه آنها را تشخیص دهیم و از آنها پیشگیری کنیم.

من. مثال 1. معادله را حل کنید.

راه حل.فرمول در اینجا اعمال می شود .

فقط باید به ایمنی استفاده از آن فکر کنید. به راحتی می توان فهمید که قسمت چپ و راست آن دارد مناطق مختلفتعاریف و اینکه این برابری فقط تحت شرایط صادق است. بنابراین معادله اصلی معادل سیستم است

با حل معادله این سیستم، ریشه و . ریشه دوم مجموعه نابرابری های سیستم را برآورده نمی کند و بنابراین، یک ریشه خارجی معادله اصلی است.

پاسخ: -1 .

IIتبدیل خطرناک بعدی هنگام حل معادلات غیر منطقی با فرمول تعیین می شود.

اگر از این فرمول از چپ به راست استفاده کنید، DPV گسترش می یابد و راه حل های شخص ثالث قابل خریداری است. در واقع، هر دو تابع و باید در سمت چپ غیر منفی باشند. و محصول آنها باید غیر منفی در سمت راست باشد.

مثالی را در نظر بگیرید که در آن مشکل با استفاده از فرمول اجرا شده است.

مثال 2. معادله را حل کنید.

راه حل.بیایید سعی کنیم این معادله را با فاکتورگیری حل کنیم

توجه داشته باشید که در طی این عمل، راه حل گم شده است، زیرا با معادله اصلی مطابقت دارد و دیگر با معادله حاصل مطابقت ندارد: برای . بنابراین، این معادله به بهترین وجه با مربع معمولی حل می شود

با حل معادله این سیستم، ریشه و . هر دو ریشه نابرابری سیستم را ارضا می کنند.

پاسخ: , .

III.حتی بیشتر هم هست اقدام خطرناک- کاهش توسط یک عامل مشترک.

مثال 3. معادله را حل کنید .

استدلال اشتباه: هر دو طرف معادله را کاهش می دهیم، به دست می آوریم .

هیچ چیز خطرناک تر و نادرست تر از این عمل نیست. اول، یک راه حل مناسب برای معادله اصلی از دست رفت. در مرحله دوم، دو راه حل شخص ثالث خریداری شد. معلومه که معادله جدید ربطی به اصل نداره! راه حل صحیح را خواهیم داد.

راه حل. همه عبارت ها را به سمت چپ معادله منتقل می کنیم و آن را فاکتور می کنیم

.

این معادله معادل سیستم است

که دارای تنها تصمیم.

پاسخ: 3 .

نتیجه.

به عنوان بخشی از مطالعه درس انتخابی، روش های غیر استاندارد برای حل مسائل پیچیده نشان داده شده است که با موفقیت توسعه می یابد. تفکر منطقی، توانایی یافتن در میان بسیاری از راه های حل برای دانش آموز راحت و منطقی است. این دوره دانشجویان را ملزم به انجام کارهای مستقل زیادی می کند، به آمادگی دانش آموزان برای ادامه تحصیل کمک می کند و سطح فرهنگ ریاضی را افزایش می دهد.

در این مقاله روش‌های اصلی برای حل معادلات غیرمنطقی، برخی رویکردها برای حل معادلات درجات بالاتر، که قرار است استفاده از آن‌ها در حل تکالیف USE و همچنین هنگام ورود به دانشگاه و ادامه تحصیل ریاضی مورد استفاده قرار گیرد، مورد توجه قرار گرفت. محتوای مفاهیم و گزاره های اصلی مربوط به نظریه حل معادلات غیر منطقی نیز افشا شد. با تعیین متداول ترین روش برای حل معادلات، کاربرد آن را در شرایط استاندارد و غیر استاندارد آشکار کردیم. به علاوه در نظر گرفتند اشتباهات معمولیهنگام انجام دگرگونی های یکسان و راه های غلبه بر آنها.

در طول دوره، دانش آموزان این فرصت را خواهند داشت که بر روش ها و تکنیک های مختلف برای حل معادلات تسلط پیدا کنند، ضمن یادگیری سیستم سازی و تعمیم اطلاعات نظری، به طور مستقل راه حل های برخی از مسائل را جستجو کنند و در ارتباط با این، تعدادی کار و تمرین در مورد آنها بنویسند. این موضوعات انتخاب مواد پیچیده به دانش آموزان کمک می کند تا خود را در فعالیت های تحقیقاتی بیان کنند.

جنبه مثبتدوره امکان استفاده بیشتر توسط دانشجویان از مطالب مورد مطالعه در قبولی در امتحان، پذیرش در دانشگاه ها.

جنبه منفی آن این است که هر دانش آموزی حتی اگر بخواهد به دلیل سختی اکثر کارهایی که باید حل شود، قادر به تسلط بر تمامی فنون این درس نیست.

ادبیات:

شاریگین I.F. "ریاضیات برای متقاضیان ورود به دانشگاه." - ویرایش سوم، - M.: درفا، 2000.

معادلات و نابرابری ها راهنمای مرجع./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. -M.: امتحان، 1998.

چرکاسف O.Yu.، Yakushev A.G. "ریاضی: دوره آمادگی آزمون فشرده". - چاپ هشتم، Rev. و اضافی - M.: Iris، 2003. - (مدرس خانه)

بالایان ای.ن. تمرینات و گزینه های پیچیده برای وظایف آموزشی برای امتحان در ریاضیات. روستوف-آن-دون: انتشارات ققنوس، 2004.

اسکاناوی M.I. "مجموعه تکالیف ریاضی برای متقاضیان ورود به دانشگاه." - م.، "دبیرستان"، 1377.

ایگوسمن O.S. "ریاضی در امتحان شفاهی". - م.، آیریس، 1999.

مواد امتحانی برای آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی - 2008 - 2012.

V.V.Kochagin, M.N.Kochagina "USE - 2010. ریاضیات. معلم "مسکو" روشنگری "2010.

V.A. Gusev، A.G. Mordkovich "ریاضیات. مواد مرجع "مسکو" روشنگری "1988.

حل معادلات غیر منطقی

در این مقاله در مورد راه های حل صحبت خواهیم کرد ساده ترین معادلات غیر منطقی

معادله غیر منطقیمعادله ای نامیده می شود که شامل مجهول زیر علامت ریشه است.

بیایید به دو نوع نگاه کنیم معادلات غیر منطقی، که در نگاه اول بسیار شبیه به هم هستند اما در واقع تفاوت زیادی با یکدیگر دارند.

(1)

(2)

در معادله اول می بینیم که مجهول زیر علامت ریشه درجه سوم است. ما می‌توانیم یک ریشه فرد را از یک عدد منفی استخراج کنیم، بنابراین در این معادله هیچ محدودیتی برای عبارت زیر علامت ریشه یا عبارت سمت راست معادله وجود ندارد. می توانیم دو طرف معادله را به توان سوم برسانیم تا از ریشه خلاص شویم. یک معادله معادل بدست می آوریم:

هنگامی که سمت راست و چپ معادله را به توان فرد می آوریم، نمی توانیم از به دست آوردن ریشه های خارجی هراس داشته باشیم.

مثال 1. بیایید معادله را حل کنیم

بیایید هر دو طرف معادله را به توان سوم برسانیم. یک معادله معادل بدست می آوریم:

بیایید همه عبارت ها را در یک جهت حرکت دهیم و x را از پرانتز خارج کنیم:

هر عامل را با صفر برابر می کنیم، به دست می آوریم:

پاسخ: (0;1;2)

بیایید معادله دوم را با دقت بیشتری بررسی کنیم: . در سمت چپ معادله جذر قرار دارد که فقط مقادیر غیر منفی را می گیرد. بنابراین برای اینکه معادله جواب داشته باشد، قسمت راستهمچنین باید غیر منفی باشد. بنابراین، شرط زیر در سمت راست معادله اعمال می شود:

Title="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} شرط وجود ریشه.

برای حل یک معادله از این نوع، باید دو طرف معادله را مربع کنید:

(3)

مربع کردن می تواند ریشه های خارجی را معرفی کند، بنابراین ما به معادلات نیاز داریم:

Title="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

با این حال، نابرابری (4) از شرط (3) به دست می آید: اگر مربع برخی از عبارت ها در سمت راست تساوی باشد، و مربع هر عبارتی فقط می تواند مقادیر غیر منفی بگیرد، سمت چپ نیز باید غیر باشد. -منفی. بنابراین، شرط (4) به طور خودکار از شرط (3) و ما پیروی می کند معادله معادل سیستم:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

مثال 2.بیایید معادله را حل کنیم:

.

بیایید به یک سیستم معادل برویم:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

اولین معادله سیستم را حل می کنیم و بررسی می کنیم که کدام ریشه ها نابرابری را برآورده می کنند.

نابرابری title="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

پاسخ: x=1

توجه!اگر در فرآیند حل دو طرف معادله را مربع کنیم، باید به یاد داشته باشیم که ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند. بنابراین، یا باید به یک سیستم معادل بروید، یا در پایان راه حل، بررسی کنید: ریشه ها را پیدا کنید و آنها را در معادله اصلی جایگزین کنید.

مثال 3. بیایید معادله را حل کنیم:

برای حل این معادله باید دو طرف را نیز مربع کنیم. بیایید با ODZ و شرط وجود ریشه در این معادله خود را خسته نکنیم، بلکه به سادگی در انتهای راه حل بررسی خواهیم کرد.

بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:

عبارت حاوی ریشه را به سمت چپ و سایر اصطلاحات را به سمت راست منتقل کنید:

بیایید دوباره دو طرف معادله را مربع کنیم:

به گفته ویتا ترمه:

بیا چک کنیم برای انجام این کار، ریشه های یافت شده را جایگزین معادله اصلی می کنیم. بدیهی است که برای , سمت راست معادله اصلی منفی است در حالی که سمت چپ مثبت است.

زمانی که برابری صحیح را بدست آوریم.

خلاصه درس

"روش حل معادلات غیر منطقی"

پایه یازدهم پروفایل فیزیکی و ریاضی.

زلنودولسکی منطقه شهرداری RT"

Valieva S.Z.

موضوع درس: روش های حل معادلات غیر منطقی

هدف از درس: 1. کاوش کنید راه های مختلفحل معادلات غیر منطقی

1. 
   توانایی تعمیم، انتخاب صحیح روش ها برای حل معادلات غیر منطقی را توسعه دهید.
2. 
   استقلال را توسعه دهید، سواد گفتار را آموزش دهید

نوع درس:سمینار.
طرح درس:

1. 
   زمان سازماندهی
2. 
   یادگیری مطالب جدید
3. 
   لنگر انداختن
4. 
   مشق شب
5. 
   خلاصه درس

در طول کلاس ها
من. زمان سازماندهی:پیام موضوع درس، هدف درس.

در درس قبل حل معادلات غیر منطقی حاوی ریشه های مربع را با مجذور کردن آنها در نظر گرفتیم. در این حالت، معادله پیامدی را به دست می آوریم که گاهی منجر به ظهور ریشه های خارجی می شود. و سپس یک بخش اجباری از حل معادله بررسی ریشه ها است. ما همچنین حل معادلات را با استفاده از تعریف جذر در نظر گرفتیم. در این صورت می توان چک را حذف کرد. با این حال، هنگام حل معادلات، همیشه لازم نیست که فوراً به استفاده از الگوریتم های "کور" برای حل معادله بروید. در وظایف آزمون یکپارچه دولتی، معادلات کمی وجود دارد که در حل آنها باید روش حلی را انتخاب کنید که به شما امکان می دهد معادلات را آسان تر و سریعتر حل کنید. بنابراین لازم است روش های دیگری را برای حل معادلات غیر منطقی بدانیم که امروز با آن ها آشنا می شویم. قبلاً کلاس به 8 تقسیم می شد گروه های خلاق، و نمونه های خاصی به آنها داده شد تا ماهیت یک روش خاص را آشکار کنند. ما به آنها یک کلمه می دهیم.

از هر گروه 1 دانش آموز نحوه حل معادلات غیرمنطقی را برای بچه ها توضیح می دهد. کل کلاس گوش می دهند و از داستان آنها یادداشت می کنند.

1 راه. معرفی یک متغیر جدید

معادله را حل کنید: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

، t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

پاسخ: -3; 5.

2 راه. تحقیق ODZ

معادله را حل کنید

ODZ:


x \u003d 2. با بررسی مطمئن می شویم که x \u003d 2 ریشه معادله است.

3 راه. ضرب دو طرف معادله در ضریب مزدوج.

+
(هر دو طرف را ضرب کنید -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4، بنابراین x=1. با بررسی متقاعد می شویم که x \u003d 1 ریشه این معادله است.

معادله را حل کنید

بگذار = تو،
=v.

ما سیستم را دریافت می کنیم:

بیایید با روش جایگزینی حل کنیم. ما u = 2، v = 2 به دست می آوریم. بنابراین،

x=1 می گیریم.

پاسخ: x = 1.

5 راه. انتخاب یک مربع کامل

معادله را حل کنید

بیایید ماژول ها را باز کنیم. زیرا -1≤cos0.5x≤1، سپس -4≤cos0.5x-3≤-2، بنابراین . به همین ترتیب،

سپس معادله را بدست می آوریم

x = 4πn، nZ.

پاسخ: 4πn، nZ.

6 راه. روش ارزیابی

معادله را حل کنید

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0، طبق تعریف، سمت راست -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

ما گرفتیم
آن ها x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. با حل معادله با فاکتورگیری، x = 2، x = -2 بدست می آوریم.

روش 7: استفاده از خواص یکنواختی توابع.

معادله را حل کنید. توابع به شدت در حال افزایش هستند. مجموع توابع افزایشی در حال افزایش است و این معادله حداکثر یک ریشه دارد. با انتخاب x = 1 را پیدا می کنیم.

8 راه. استفاده از بردارها

معادله را حل کنید. ODZ: -1≤х≤3.

اجازه دهید بردار
. حاصلضرب عددیبردارها - سمت چپ است. بیایید حاصل ضرب طول آنها را پیدا کنیم. این سمت راست است. بدست آورد
، یعنی بردارهای a و b هم خطی هستند. از اینجا
. بیایید هر دو طرف را مربع کنیم. با حل معادله، x \u003d 1 و x \u003d را بدست می آوریم
.

1. 
   تحکیم.(به هر دانش آموز یک برگه داده می شود)

ایده ای برای حل معادلات (1-10) پیدا کنید

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(تعویض)

4. (انتخاب یک مربع کامل)

5.
(تقلیل یک معادله به یک سیستم با معرفی یک متغیر.)

6.
(با ضرب در عبارت الحاقی)

7.
زیرا
. این معادله ریشه ندارد.

8. زیرا هر جمله غیر منفی است، آنها را با صفر برابر می کنیم و سیستم را حل می کنیم.

9. 3

10. ریشه معادله (یا حاصل ضرب ریشه ها، در صورت وجود چندین) معادله را بیابید.

نوشته شده است کار مستقلبه دنبال تایید

حل معادلات 11،13،17،19

12. (x + 6) 2 -

14.

1. 
   کدام یک از این روش ها برای حل انواع دیگر معادلات استفاده می شود؟
2. 
   کدام یک از این روش ها را بیشتر دوست داشتید و چرا؟

1. 
   تکلیف: معادلات باقی مانده را حل کنید.

1. 
   جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی: مطالعات. برای 11 سلول آموزش عمومی موسسات / S.M. Nikolsky، M.K. Potapov، N.N. Reshetnikov، A.V. Shevkin. م: روشنگری، 2009

1. 
   مطالب آموزشی در مورد جبر و اصول تجزیه و تحلیل برای کلاس 11 / B.M. ایولف، اس.ام. ساهاکیان، س.آی. شوارتزبرد. - م.: روشنگری، 2003.
2. 
   موردکوویچ A.G. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل. 10 - 11 سلول: کتاب تکلیف برای آموزش عمومی. نهادها - M.: Mnemosyne، 2000.
3. 
   Ershova A. P.، Goloborodko V. V. Independent و اوراق تستدر جبر و آغاز تجزیه و تحلیل برای پایه های 10-11. - م.: ایلکسا، 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010

هنگام مطالعه جبر، دانش آموزان با معادلات مختلفی روبرو می شوند. از جمله ساده ترین آنها می توان خطی هایی را نام برد که دارای یک مجهول هستند. اگر متغیری در یک عبارت ریاضی به توان معینی برسد، معادله را درجه دوم، مکعب، دو درجه و غیره می نامند. این عبارات ممکن است حاوی اعداد گویا باشند. اما معادلات غیرمنطقی نیز وجود دارد. آنها با وجود تابعی که در آن مجهول زیر علامت رادیکال است (یعنی کاملاً خارجی، متغیر در اینجا زیر جذر نوشته شده است) متفاوت هستند. حل معادلات غیر منطقی خودش را دارد مشخصات. هنگام محاسبه مقدار یک متغیر برای به دست آوردن پاسخ صحیح، باید آنها را در نظر گرفت.

"ناگفتنی در کلمات"

بر کسی پوشیده نیست که ریاضیدانان باستان عمدتاً با اعداد گویا عمل می کردند. همانطور که می دانید، اینها شامل اعداد صحیح هستند که از طریق کسرهای تناوبی معمولی و اعشاری بیان می شوند، نمایندگان این جامعه. با این حال، دانشمندان خاور میانه و نزدیک، و همچنین هند، که مثلثات، نجوم و جبر را توسعه دادند، حل معادلات غیر منطقی را نیز آموختند. به عنوان مثال، یونانی ها چنین مقادیری را می دانستند، اما، با قرار دادن آنها به صورت کلامی، از مفهوم "آلوگوس" استفاده کردند که به معنای "غیر قابل بیان" است. کمی بعد، اروپایی ها، با تقلید از آنها، این اعداد را "ناشنوا" نامیدند. آنها با بقیه تفاوت دارند زیرا آنها را فقط می توان به شکل یک کسر غیر تناوبی نامتناهی نشان داد، که بیان عددی نهایی آن به سادگی غیرممکن است. بنابراین، اغلب چنین نمایندگانی از قلمرو اعداد به صورت اعداد و نشانه ها به عنوان برخی از عبارت هایی که در زیر ریشه درجه دوم یا بالاتر است نوشته می شوند.

با توجه به مطالب فوق سعی می کنیم معادله غیرمنطقی را تعریف کنیم. چنین عباراتی حاوی به اصطلاح "اعداد غیر قابل بیان" هستند که با استفاده از علامت ریشه مربع نوشته می شوند. آنها می توانند انواع گزینه های نسبتاً پیچیده باشند، اما در ساده ترین شکل خود مانند عکس زیر هستند.

با تخطی از حل معادلات غیرمنطقی، ابتدا باید محدوده مقادیر مجاز متغیر را محاسبه کرد.

آیا بیان معنی دارد؟

نیاز به بررسی مقادیر به‌دست‌آمده از ویژگی‌ها ناشی می‌شود.همانطور که مشخص است، چنین عبارتی فقط در شرایط خاصی قابل قبول است و معنایی دارد. در موارد یک ریشه زوج، تمام عبارات رادیکال باید مثبت یا برابر با صفر باشند. اگر این شرط رعایت نشود، نماد ریاضی ارائه شده را نمی توان معنی دار در نظر گرفت.

بیایید یک مثال خاص از نحوه حل معادلات غیر منطقی (تصویر زیر) ارائه دهیم.

در این مورد، بدیهی است که این شرایط را نمی توان برای هیچ مقداری که توسط مقدار مورد نظر گرفته می شود برآورده کرد، زیرا معلوم می شود که 11 ≤ x ≤ 4. این بدان معنی است که فقط Ø می تواند راه حل باشد.

روش تجزیه و تحلیل

با توجه به مطالب فوق، نحوه حل برخی از انواع معادلات غیر منطقی روشن می شود. اینجا به روشی کارآمدممکن است یک تحلیل ساده باشد.

ما تعدادی مثال می آوریم که دوباره این را به وضوح نشان می دهد (در عکس زیر).

در مورد اول، با بررسی دقیق عبارت، بلافاصله به شدت روشن می شود که نمی تواند درست باشد. در واقع، پس از همه، یک عدد مثبت باید در سمت چپ تساوی به دست آید که به هیچ وجه نمی تواند برابر با -1 باشد.

در حالت دوم، مجموع دو عبارت مثبت را فقط زمانی می توان برابر با صفر در نظر گرفت که x - 3 = 0 و x + 3 = 0 به طور همزمان. باز هم این غیر ممکن است. و بنابراین، در پاسخ باید دوباره Ø بنویسید.

مثال سوم بسیار شبیه به نمونه قبلی است. در واقع، در اینجا شرایط ODZ ایجاب می کند که نابرابری پوچ زیر برآورده شود: 5 ≤ x ≤ 2. و چنین معادله ای به روشی مشابه نمی تواند راه حل های صحیح داشته باشد.

زوم نامحدود

ماهیت غیرمنطقی را می توان به وضوح و کامل ترین توضیح و شناخت تنها از طریق یک سری اعداد بی پایان دانست. کسر اعشاری. و خاص یک مثال برجستهاز اعضای این خانواده پی است. بدون دلیل، فرض بر این است که این ثابت ریاضی از زمان های قدیم شناخته شده است و در محاسبه محیط و مساحت یک دایره استفاده می شود. اما در میان اروپاییان، اولین بار توسط ویلیام جونز انگلیسی و لئونارد اویلر سوئیسی به اجرا درآمد.

این ثابت به صورت زیر بوجود می آید. اگر متفاوت ترین محیط ها را با هم مقایسه کنیم، نسبت طول و قطر آنها لزوماً برابر با همان عدد است. این پی است. اگر بر حسب بیان شود کسر مشترک، سپس تقریباً 22/7 می گیریم. این اولین بار توسط ارشمیدس بزرگ انجام شد که پرتره او در شکل بالا نشان داده شده است. به همین دلیل است که شماره مشابهی نام او را به خود اختصاص داده است. اما این یک مقدار صریح نیست، بلکه یک مقدار تقریبی شاید شگفت‌انگیزترین اعداد است. دانشمند باهوش مقدار مورد نظر را با دقت 0.02 پیدا کرد، اما، در واقع، این ثابت مقدار واقعی ندارد، بلکه به صورت 3.1415926535 بیان می شود ... این یک سری بی پایان از اعداد است که به طور نامحدود به یک مقدار اسطوره ای خاص نزدیک می شود.

مربع کردن

اما برگردیم به معادلات غیرمنطقی. برای یافتن ناشناخته، در این مورد اغلب به آن متوسل می شوید روش ساده: دو طرف برابری موجود را مربع کنید. این روش معمولا نتایج خوبی می دهد. اما باید موذیانه بودن ارزش های غیرمنطقی را در نظر گرفت. تمام ریشه های به دست آمده در نتیجه باید بررسی شوند، زیرا ممکن است مناسب نباشند.

اما بیایید به بررسی مثال‌ها ادامه دهیم و سعی کنیم متغیرها را به روش پیشنهادی جدید پیدا کنیم.

با استفاده از قضیه ویتا، پس از تشکیل یک معادله درجه دوم در نتیجه عملیات خاص، یافتن مقادیر مورد نظر کمیت ها بسیار آسان است. در اینجا معلوم می شود که در بین ریشه ها 2 و -19 وجود خواهد داشت. با این حال، هنگام بررسی، جایگزینی مقادیر به دست آمده در عبارت اصلی، می توانید مطمئن شوید که هیچ یک از این ریشه ها مناسب نیستند. این یک اتفاق رایج در معادلات غیرمنطقی است. این بدان معنی است که معضل ما دوباره راه حلی ندارد و مجموعه خالی باید در پاسخ مشخص شود.

نمونه های پیچیده تر

در برخی موارد، لازم است هر دو طرف عبارت را نه یک بار، بلکه چندین بار مربع کنید. نمونه هایی را در نظر بگیرید که موارد فوق مورد نیاز است. آنها را می توان در زیر مشاهده کرد.

پس از دریافت ریشه ها، فراموش نکنید که آنها را بررسی کنید، زیرا ممکن است موارد اضافی ایجاد شود. باید توضیح داد که چرا این امکان وجود دارد. هنگام استفاده از چنین روشی، به نوعی منطقی کردن معادله رخ می دهد. اما با خلاص شدن از ریشه هایی که برای ما قابل اعتراض است و ما را از انجام عملیات حسابی باز می دارد، ما، همانطور که بود، دامنه مقادیر موجود را گسترش می دهیم، که مملو از عواقب است (همانطور که می توانید متوجه شوید). با پیش بینی این موضوع، بررسی می کنیم. در این حالت، این شانس وجود دارد که مطمئن شوید فقط یکی از ریشه ها مناسب است: x = 0.

سیستم های

در مواردی که نیاز به حل معادلات غیر منطقی است و نه یک، بلکه دو مجهول کامل داریم چه باید کرد؟ در اینجا به همان روشی که در موارد معمولی وجود دارد، اما با در نظر گرفتن ویژگی های داده های فوق عمل می کنیم عبارات ریاضی. و در هر کار جدید، البته، شما باید یک رویکرد خلاقانه را اعمال کنید. اما، دوباره، بهتر است همه چیز را بر روی یک مثال خاص در زیر در نظر بگیرید. در اینجا نه تنها نیاز به یافتن متغیرهای x و y است، بلکه باید مجموع آنها را نیز در پاسخ مشخص کرد. بنابراین، یک سیستم حاوی مقادیر غیر منطقی وجود دارد (عکس زیر را ببینید).

همانطور که می بینید، چنین کاری به طور ماوراء طبیعی دشوار نیست. فقط باید هوشمند باشید و حدس بزنید که سمت چپ معادله اول مجذور مجموع است. وظایف مشابه در امتحان یافت می شود.

غیر منطقی در ریاضیات

هر بار، نیاز به ایجاد انواع جدیدی از اعداد برای بشریت به وجود می آمد که "فضا" برای حل برخی معادلات نداشت. اعداد غیر منطقی نیز از این قاعده مستثنی نیستند. همانطور که حقایقی از تاریخ گواهی می دهند، برای اولین بار حکیمان بزرگ حتی قبل از عصر ما، در قرن هفتم، به این موضوع توجه کردند. این کار توسط یک ریاضیدان از هند، معروف به Manava انجام شد. او به وضوح فهمید که برخی اعداد طبیعیاستخراج ریشه غیرممکن است به عنوان مثال، این موارد شامل 2; 17 یا 61، و همچنین بسیاری دیگر.

یکی از فیثاغورثی ها، متفکری به نام هیپاسوس، به همین نتیجه رسید و سعی کرد با عبارات عددی اضلاع پنتاگرام محاسباتی انجام دهد. او با کشف عناصر ریاضی که نمی توان آنها را به صورت عددی بیان کرد و ویژگی های اعداد معمولی را ندارند، همکارانش را چنان عصبانی کرد که به دریا انداخته شد. واقعیت این است که سایر فیثاغورثی ها استدلال او را شورش علیه قوانین جهان می دانند.

نشانه رادیکال: تکامل

علامت ریشه برای بیان مقدار عددی اعداد "ناشنوا" در حل نابرابری های غیرمنطقی و معادلات به دور از فورا مورد استفاده قرار گرفت. برای اولین بار، ریاضیدانان اروپایی، به ویژه ایتالیایی، در حدود قرن سیزدهم شروع به فکر کردن درباره رادیکال کردند. در همان زمان، آنها به این فکر افتادند که از R لاتین برای نامگذاری استفاده کنند.اما ریاضیدانان آلمانی در کارهای خود به گونه ای دیگر عمل کردند. آنها حرف V را بیشتر دوست داشتند در آلمان نام V (2)، V (3) به زودی گسترش یافت که برای بیان جذر 2، 3 و غیره در نظر گرفته شده بود. بعداً هلندی ها وارد عمل شدند و علامت رادیکال را تغییر دادند. و رنه دکارت تکامل را تکمیل کرد و علامت ریشه مربع را به کمال مدرن رساند.

خلاص شدن از شر غیر منطقی

معادلات و نابرابری های غیرمنطقی ممکن است شامل یک متغیر نه تنها در زیر علامت جذر باشد. می تواند در هر درجه ای باشد. رایج ترین راه برای خلاص شدن از شر آن، بالا بردن دو طرف معادله به توان مناسب است. این اقدام اصلی است که به عملیات با غیر منطقی کمک می کند. اقدامات در موارد حتی تفاوت خاصی با اقداماتی که قبلاً توسط ما تحلیل شده است ندارند. در اینجا باید شرایط منفی نبودن عبارت رادیکال را در نظر گرفت و همچنین در پایان راه حل، لازم است مقادیر اضافی متغیرها را به روشی که در نشان داده شده است، غربال کرد. نمونه هایی که قبلا در نظر گرفته شده اند

از میان تبدیل‌های اضافی که به یافتن پاسخ صحیح کمک می‌کند، اغلب از ضرب عبارت مزدوج استفاده می‌شود و همچنین اغلب لازم است متغیر جدیدی معرفی شود که حل را آسان‌تر می‌کند. در برخی موارد، برای یافتن مقدار مجهولات، استفاده از نمودارها توصیه می شود.