حل معادلات مثلثاتی با مماس. معادلات مثلثاتی

دوره ویدیویی "Get an A" شامل تمام موضوعاتی است که شما نیاز دارید اتمام موفقیت آمیزآزمون دولتی واحد در ریاضیات برای امتیاز 60-65. به طور کامل تمام مشکلات 1-13 نمایه آزمون یکپارچه ایالتیریاضیات همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا ، به سادگی و واضح ارائه می شود.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای حل مشکلات. هندسه. نظریه ، مواد مرجع ، تجزیه و تحلیل انواع کارهای معاینه دولت متحد. استریومتری. راه حل های پیچیده ، برگه های تقلب مفید ، توسعه تخیل مکانی. مثلثات از ابتدا به مشکل 13. درک به جای خرد کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها ، قدرت ها و لگاریتم ها ، عملکرد و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون دولت متحد.

شما میتونید سفارش بدید راه حل دقیقوظیفه ی شما!!!

برابری حاوی یک ناشناخته تحت علامت یک عملکرد مثلثاتی (`SIN X ، COS X ، TAN X` یا` CTG X`) به عنوان یک معادله مثلثاتی نامیده می شود و فرمول های آنهاست که ما بیشتر در نظر خواهیم گرفت.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x = a ، cos x = a ، tg x = a ، ctg x = a ، که در آن `x` زاویه ای است که باید پیدا شود ،` a "هر عدد است. بگذارید فرمول های ریشه ای را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x = (-1)^n arcsin a + \ pi n ، n \ in z`

2. معادله «cos x=a».

برای `| A |> 1` - مانند مورد سینوسی ، هیچ راه حلی در بین اعداد واقعی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد نامحدودی از راه حل ها برای هر مقادیر `a` وجود دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

"a sin x+b cos x=0" ( معادله همگندرجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید آن را بنویسیم سمت راستمانند `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

اعمال موارد فوق روش جبری، ما گرفتیم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و ماژول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون دولتی یکپارچه وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول ها را به خاطر بسپارید. معادلات مثلثاتی- آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

ساده ترین معادلات مثلثاتی معمولاً با استفاده از فرمول حل می شود. به شما یادآوری می کنم که ساده ترین معادلات مثلثاتی عبارتند از:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x زاویه ای است که باید پیدا شود،
A هر عدد است.

و در اینجا فرمول هایی وجود دارد که با آنها می توانید بلافاصله جواب این ساده ترین معادلات را یادداشت کنید.

برای سینوس:

برای کسینوس:

x = ± arccos a + 2π n، n ∈ Z

برای مماس:

x = آرکتان a + π n، n ∈ Z

برای کوتانژانت:

x = arcctg a + π n، n ∈ Z

در واقع، این بخش تئوری حل ساده ترین معادلات مثلثاتی است. علاوه بر این، همه چیز!) هیچ چیز در همه. با این حال، تعداد خطاها در این موضوع به سادگی خارج از نمودار است. به خصوص اگر مثال کمی از الگو منحرف شود. چرا؟

بله، زیرا بسیاری از مردم این نامه ها را یادداشت می کنند، بدون اینکه اصلاً معنی آنها را بفهمم!او با احتیاط می نویسد، مبادا اتفاقی بیفتد...) این باید حل شود. مثلثات برای مردم، یا مردم برای مثلثات، بالاخره!؟)

بیایید آن را بفهمیم؟

یک زاویه برابر خواهد بود arccos a ، دومین: -arccos a.

و همیشه به این ترتیب کار خواهد کرد.برای هرچی آ.

اگر باور ندارید، ماوس خود را روی تصویر نگه دارید یا تصویر را در رایانه لوحی خود لمس کنید.) شماره را تغییر دادم آ به چیزی منفی به هر حال یک گوشه گرفتیم arccos a ، دومین: -arccos a.

بنابراین، پاسخ را همیشه می توان به صورت دو سری ریشه نوشت:

x 1 = arccos a + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n، n ∈ Z

بیایید این دو سری را با هم ترکیب کنیم:

x= ± arccos a + 2π n، n ∈ Z

و این همه است. ما یک فرمول کلی برای حل ساده ترین معادله مثلثاتی با کسینوس به دست آورده ایم.

اگر می فهمید که این نوعی حکمت فوق علمی نیست، اما فقط یک نسخه کوتاه شده از دو سری پاسخ،شما همچنین می توانید وظایف "C" را انجام دهید. با نابرابری ها، با انتخاب ریشه ها از یک بازه معین... در آنجا جواب مثبت/منفی کار نمی کند. اما اگر پاسخ را به روشی تجاری برخورد کنید و آن را به دو پاسخ جداگانه تقسیم کنید، همه چیز حل خواهد شد.) در واقع، به همین دلیل است که ما در حال بررسی آن هستیم. چه، چگونه و کجا.

در ساده ترین معادله مثلثاتی

sinx = a

ما همچنین دو سری ریشه دریافت می کنیم. همیشه. و این دو سریال هم قابل ضبط هستند در یک خط فقط این خط پیچیده تر خواهد بود:

x = (-1) n arcsin a + π n، n ∈ Z

اما ماهیت همان است. ریاضیدانان به سادگی فرمولی را طراحی کردند که به جای دو ورودی برای سری ریشه ها، یک ورودی ایجاد می کند. همین!

بیایید ریاضیدانان را بررسی کنیم؟ و هرگز نمیدانی...)

در درس قبل، حل (بدون هیچ فرمولی) یک معادله مثلثاتی با سینوس به طور مفصل مورد بحث قرار گرفت:

پاسخ به دو سری ریشه منجر شد:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

اگر همین معادله را با استفاده از فرمول حل کنیم به جواب می رسیم:

x = (-1) n آرکسین 0.5 + π n، n ∈ Z

در واقع، این یک پاسخ ناتمام است.) دانش آموز باید این را بداند arcsin 0.5 = π / 6.پاسخ کامل این خواهد بود:

x = (-1) n π /6+ π n، n ∈ Z

اینجا بوجود می آید علاقه بپرس. پاسخ از طریق x 1; x 2 (این پاسخ صحیح است!) و از طریق تنهایی ایکس (و این پاسخ صحیح است!) - آیا آنها یکسان هستند یا نه؟ اکنون خواهیم فهمید.)

ما در پاسخ با x 1 ارزش های n =0; 1 2 و غیره، حساب می کنیم، یک سری ریشه می گیریم:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 و غیره

با همان تعویض در پاسخ با x 2 ، ما گرفتیم:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 و غیره

حالا بیایید مقادیر را جایگزین کنیم n (0؛ 1؛ 2؛ 3؛ 4...) به فرمول کلی برای تک ایکس . یعنی منهای یک را به توان صفر می بریم سپس به اول و دوم و غیره. خوب، البته، ما 0 را جایگزین ترم دوم می کنیم. 1 2 3; 4 و غیره و حساب می کنیم. ما سریال را دریافت می کنیم:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 و غیره

این همه چیزی است که می توانید ببینید.) فرمول کلی به ما می دهد دقیقا همین نتایجهمانطور که این دو پاسخ جداگانه هستند. فقط همه چیز به یکباره، به ترتیب. ریاضیدانان فریب نخوردند.)

فرمول های حل معادلات مثلثاتی با مماس و کوتانژانت را نیز می توان بررسی کرد. اما ما این کار را نمی کنیم.) آنها از قبل ساده هستند.

من تمام این تعویض را نوشتم و به طور خاص بررسی کردم. درک یک چیز در اینجا مهم است چیز ساده: فرمول هایی برای حل معادلات مثلثاتی ابتدایی وجود دارد ، فقط یک خلاصه کوتاه از پاسخ ها.برای این کوتاه بودن ، ما مجبور شدیم به علاوه/منهای در محلول کسین و (-1) n در محلول سینوسی قرار دهیم.

این درج ها به هیچ وجه در کارهایی که فقط نیاز به نوشتن پاسخ به یک معادله ابتدایی دارید ، دخالت نمی کنند. اما اگر نیاز به حل یک نابرابری دارید، یا باید کاری را با پاسخ انجام دهید: ریشه‌ها را در یک بازه انتخاب کنید، ODZ را بررسی کنید، و غیره، این درج‌ها می‌توانند به راحتی فرد را ناراحت کنند.

پس من باید چه کار کنم؟ بله ، یا جواب را در دو سری بنویسید ، یا معادله/نابرابری را با استفاده از دایره مثلثاتی حل کنید. سپس این درج ها ناپدید می شوند و زندگی آسان تر می شود.)

می توانیم خلاصه کنیم.

برای حل ساده ترین معادلات مثلثاتی ، فرمول های پاسخ آماده وجود دارد. چهار قطعه. آنها برای نوشتن فوراً راه حل یک معادله خوب هستند. به عنوان مثال ، شما باید معادلات را حل کنید:

sinx = 0.3

به آسانی: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n ، n ∈ Z

cosx = 0.2

مشکلی نیست: x = ± arccos 0.2 + 2π n ، n ∈ Z

tgx = 1.2

به آسانی: x = arctan 1،2 + π n ، n ∈ Z

ctgx = 3.7

یکی مانده: x = arcctg3،7 + π n ، n ∈ Z

cos x = 1.8

اگر شما ، با دانش می درخشید ، فوراً جواب را بنویسید:

x = ± arccos 1.8 + 2π n ، n ∈ Z

سپس شما در حال درخشش هستید ، این ... که ... از یک گودال.) پاسخ صحیح: هیچ راه حلی وجود ندارد نمی فهمی چرا؟ بخوانید کسینوس قوس چیست. علاوه بر این ، اگر در سمت راست معادله اصلی مقادیر جدولی سینوس ، کازین ، مماس ، cotangent وجود داشته باشد ، - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 و غیره - پاسخ از طریق قوس ها ناتمام خواهد بود. قوس ها باید به رادیان تبدیل شوند.

و اگر با نابرابری روبرو شدید ، مانند

سپس پاسخ این است:

x πn، n∈ Z

مزخرفات نادر وجود دارد ، بله ...) در اینجا شما باید با استفاده از دایره مثلثاتی حل کنید. کاری که ما در موضوع مربوطه انجام خواهیم داد.

برای کسانی که قهرمانانه این خطوط را می خوانند. من به سادگی نمی توانم کمک کنم اما از تلاشهای تایتانیک شما قدردانی می کنم. پاداش برای شما.)

جایزه:

هنگام نوشتن فرمول ها در یک وضعیت جنگی نگران کننده ، حتی ناراحتی های فصلی اغلب در مورد مکان اشتباه می گیرند πn و کجا 2π n. در اینجا یک ترفند ساده برای شما وجود دارد. که در هر کسارزش فرمول ها πn. به جز تنها فرمول با کسینوس قوس. آنجا ایستاده است 2πn. دوپست کردن کلمه کلیدی - دودر همین فرمول وجود دارد دودر ابتدا امضا کنید مثبت و منفی. اینجا و آنجا - دو

پس اگر نوشتی دوقبل از کسینوس قوس علامت بزنید، به خاطر سپردن آنچه در پایان اتفاق می افتد آسان تر است دوپست کردن و برعکس هم اتفاق می افتد. شخص علامت را از دست خواهد داد ± ، به آخر می رسد، درست می نویسد دوپین، و او به خود خواهد آمد. چیزی در پیش است دوامضا کردن! فرد به اول باز می گردد و اشتباه را اصلاح می کند! مثل این.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

من یک بار شاهد گفتگو بین دو متقاضی بودم:

- چه زمانی باید 2πn اضافه کنید و چه زمانی باید πn اضافه کنید؟ فقط یادم نمیاد!

- و من هم همین مشکل را دارم.

فقط می خواستم به آنها بگویم: "نیازی به حفظ کردن ندارید، اما درک کنید!"

این مقاله در درجه اول به دانش آموزان دبیرستانی می پردازد و امیدوارم به آنها کمک کند ساده ترین معادلات مثلثاتی را با "درک" حل کنند:

دایره اعداد

در کنار مفهوم خط عددی، مفهوم دایره عددی نیز وجود دارد. همانطور که می دانیم، در یک سیستم مختصات مستطیلی، دایره ای با مرکز در نقطه (0;0) و شعاع 1 دایره واحد نامیده می شود.بیایید خط عددی را به عنوان یک نخ نازک تصور کنیم و آن را به دور این دایره بپیچیم: مبدا (نقطه 0) را به نقطه "راست" دایره واحد وصل می کنیم، نیم محور مثبت را در خلاف جهت عقربه های ساعت و نیمه منفی را می پیچیم. -محور در جهت (شکل 1). چنین دایره واحدی دایره عددی نامیده می شود.

خواص دایره اعداد

• هر عدد واقعی در یک نقطه از دایره اعداد قرار دارد.
• در هر نقطه از دایره اعداد بی نهایت تعداد واقعی وجود دارد. از آنجایی که طول دایره واحد 2π است، تفاوت بین هر دو عدد در یک نقطه از دایره برابر با یکی از اعداد ±2π است. ± 4π ; ± 6π ; ...

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد نقطه A می توانیم تمام اعداد نقطه A را پیدا کنیم.

بیایید قطر AC را رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که x_0 یکی از اعداد نقطه A است، پس اعداد x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... و فقط آنها اعداد نقطه C خواهند بود. بیایید یکی از این اعداد را انتخاب کنیم، مثلا x_0+π، و از آن برای نوشتن تمام اعداد نقطه C استفاده کنیم: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ز. توجه داشته باشید که اعداد در نقاط A و C را می توان در یک فرمول ترکیب کرد: x_(A ; C)=x_0+πk,k∈Z (برای k = 0; ±2; ±4; ... ما اعداد نقطه A، و برای k = 1±؛ ± 3؛ ± 5؛ ... - اعداد نقطه C).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا C قطر AC، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

• دو عدد متضاد در نقاطی از دایره قرار دارند که نسبت به محور آبسیسا متقارن هستند.

بیایید یک وتر عمودی AB رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که نقاط A و B در مورد محور Ox متقارن هستند، عدد -x_0 در نقطه B قرار دارد و بنابراین، تمام اعداد نقطه B با فرمول: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z داده می‌شوند. اعداد را در نقاط A و B با استفاده از یک فرمول می نویسیم: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. اجازه دهید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا B وتر عمودی AB، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. بیایید وتر افقی AD را در نظر بگیریم و اعداد نقطه D را پیدا کنیم (شکل 2). از آنجایی که BD یک قطر است و عدد -x_0 متعلق به نقطه B است، پس -x_0 + π یکی از اعداد نقطه D است و بنابراین، تمام اعداد این نقطه با فرمول x_D=-x_0+π+ به دست می‌آیند. 2πk،k∈Z. اعداد در نقاط A و D را می توان با استفاده از یک فرمول نوشت: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk,k∈Z. (برای k= 0؛ ± 2؛ ± 4؛ … اعداد نقطه A و برای k = 1±؛ ± 3؛ ± 5؛ … – اعداد نقطه D را بدست می آوریم).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا D وتر افقی AD، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

شانزده نقطه اصلی دایره اعداد

در عمل، حل بیشتر ساده ترین معادلات مثلثاتی شامل شانزده نقطه روی یک دایره است (شکل 3). این نقطه ها چیست؟ نقاط قرمز، آبی و سبز دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم می کنند. از آنجایی که طول نیم دایره π است، پس طول قوس A1A2 π/2، طول قوس A1B1 π/6 و طول قوس A1C1 π/3 است.

اکنون می توانیم هر بار یک عدد را نشان دهیم:

π/3 در C1 و

رئوس مربع نارنجی وسط قوس های هر ربع است، بنابراین، طول کمان A1D1 برابر π/4 است و بنابراین، π/4 یکی از اعداد نقطه D1 است. با استفاده از ویژگی های دایره اعداد، می توانیم از فرمول ها برای نوشتن تمام اعداد در تمام نقاط علامت گذاری شده دایره خود استفاده کنیم. مختصات این نقاط نیز در شکل مشخص شده است (از شرح کسب آنها صرف نظر می کنیم).

با آموختن موارد فوق، اکنون آمادگی کافی برای حل موارد خاص (برای نه مقدار از عدد) داریم آ)ساده ترین معادلات

حل معادلات

1)sinx=1⁄(2).

- چه چیزی از ما خواسته می شود؟

– تمام اعداد x را که سینوس آنها 1/2 است پیدا کنید.

بیایید تعریف سینوس را به خاطر بسپاریم: sinx - ترتیب نقطه روی دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد. روی دایره دو نقطه داریم که مختصات آنها برابر با 1/2 است. اینها انتهای وتر افقی B1B2 هستند. این بدان معناست که شرط «حل معادله sinx=1⁄2» معادل شرط «همه اعداد در نقطه B1 و همه اعداد در نقطه B2 را بیابید» است.

2)sinx=-√3⁄2 .

ما باید تمام اعداد را در نقاط C4 و C3 پیدا کنیم.

3) sinx=1. روی دایره فقط یک نقطه با مختص 1 داریم - نقطه A2 و بنابراین باید فقط تمام اعداد این نقطه را پیدا کنیم.

پاسخ: x=π/2+2πk، k∈Z.

4)sinx=-1 .

فقط نقطه A_4 دارای 1- است. تمام اعداد این نقطه، اسب های معادله خواهند بود.

پاسخ: x=-π/2+2πk، k∈Z.

5) sinx=0 .

روی دایره دو نقطه با مختصات 0 داریم - نقاط A1 و A3. می توانید اعداد را در هر یک از نقاط به طور جداگانه نشان دهید، اما با توجه به اینکه این نقاط به طور قطری مخالف هستند، بهتر است آنها را در یک فرمول ترکیب کنید: x=πk,k∈Z.

پاسخ: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

بیایید تعریف کسینوس را به خاطر بسپاریم: cosx ابسیسا نقطه روی دایره عددی است که عدد x روی آن قرار دارد.روی دایره دو نقطه با آبسیسا √2⁄2 داریم - انتهای وتر افقی D1D4. ما باید تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. بیایید آنها را بنویسیم و آنها را در یک فرمول ترکیب کنیم.

پاسخ: x=±π/4+2πk، k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

باید اعداد را در نقاط C_2 و C_3 پیدا کنیم.

پاسخ: x=±2π/3+2πk، k∈Z .

10) cosx=0 .

فقط نقاط A2 و A4 دارای ابسیسا 0 هستند، به این معنی که تمام اعداد در هر یک از این نقاط حل معادله خواهند بود.
.

راه حل های معادله سیستم اعداد در نقاط B_3 و B_4 هستند.به نابرابری cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
پاسخ: x=-5π/6+2πk، k∈Z.

توجه داشته باشید که برای هر مقدار مجاز x، عامل دوم مثبت است و بنابراین، معادله معادل سیستم است.

راه حل های معادله سیستم تعداد نقاط D_2 و D_3 است. اعداد نقطه D_2 نابرابری sinx≤0.5 را برآورده نمی کنند، اما اعداد نقطه D_3 را برآورده می کنند.

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

هنگام حل بسیاری از مسائل ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی عبارتند از، برای مثال، معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسری و معادلاتی که به معادلات درجه دوم کاهش می یابند. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از مشکلات ذکر شده به شرح زیر است: باید تعیین کنید که چه نوع مشکلی را حل می کنید، دنباله ای از اقدامات لازم را به خاطر بسپارید که به نتیجه مطلوب منجر می شود، یعنی. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله حل شده به درستی تعیین شده است، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته در این صورت داشتن مهارت انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان ضروری است.

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است ، به هیچ وجه دشوار نیست. هنگام تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلات ایجاد می شود.

گاهی اوقات تعیین نوع آن بر اساس شکل ظاهری یک معادله دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی مناسب را انتخاب کنید.

برای حل یک معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

1. همه توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. معادله را به "توابع یکسان" برسانید.
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور بگیرید.

در نظر بگیریم روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.یک تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

گام 2.آرگومان تابع را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tan x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر مجهول را پیدا کنید.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

راه حل.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn، n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn، n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3، n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

پاسخ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

نمودار حل

مرحله 1.معادله را با توجه به یکی از توابع مثلثاتی به شکل جبری کاهش دهید.

گام 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.جایگزین معکوس کنید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

راه حل.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x/2) = t، که در آن |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط |t| را برآورده نمی کند ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول کاهش درجه، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn، n Є Z;

x = ±π/6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ±π/6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

نمودار حل

مرحله 1.این معادله را به شکل کاهش دهید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به منظره

ب) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2.دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tan x را بدست آورید:

الف) a tan x + b = 0;

ب) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4 که ​​به این معنی است

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π/4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از تمام فرمول های مثلثاتی ممکن، این معادله را به معادله ای کاهش دهید که با روش های I، II، III، IV حل شده است.

گام 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0 ؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0 ؛

از معادله اول 2x = π/2 + πn ، n є z ؛ از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π/4 + πn/2 ، n є z داریم. از معادله دوم x = ±(π – π/3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه ، x = π/4 + πn/2 ، n є z ؛ x = ± 2π/3 + 2πk ، k є z.

پاسخ: x = π/4 + πn/2 ، n є z ؛ x = ± 2π/3 + 2πk ، k є z.

توانایی و مهارت حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم است، توسعه آنها به تلاش قابل توجهی نیاز دارد، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی همراه است.فرایند حل چنین مسائلی تجسم بسیاری از دانش و مهارت هایی است که با مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند یادگیری ریاضیات و به طور کلی رشد فردی دارند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.