حل اسلاو به روش ماتریس معکوس معادلات ماتریسی. روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات جبری خطی

در نظر گرفتن سیستم معادلات جبری خطی(آهسته) در رابطه با nناشناس ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n :

این سیستم به صورت "تاشده" را می توان به صورت زیر نوشت:

اس n i=1 آ ij ایکس j = ب من , i=1,2, ..., n.

مطابق با قانون ضرب ماتریس، سیستم در نظر گرفته شده است معادلات خطیرا می توان در نوشت فرم ماتریسی تبر = ب، جایی که

, ,.

ماتریس آکه ستون های آن ضرایب مجهولات مربوطه و سطرها ضرایب مجهولات در معادله مربوطه نامیده می شود. ماتریس سیستم. ماتریس ستونی بکه عناصر آن قسمت های سمت راست معادلات سیستم هستند، ماتریس قسمت سمت راست یا به سادگی نامیده می شود. سمت راست سیستم. ماتریس ستونی ایکس ، که عناصر آن مجهولات مجهول هستند، نامیده می شود راه حل سیستم.

سیستم معادلات جبری خطی نوشته شده به صورت تبر = ب، است معادله ماتریسی.

اگر ماتریس سیستم غیر منحط، سپس دارد ماتریس معکوسو سپس راه حل سیستم تبر = ببا فرمول داده می شود:

x=A -1 ب.

مثالسیستم را حل کنید روش ماتریسی

راه حلماتریس معکوس را برای ماتریس ضرایب سیستم پیدا کنید

تعیین کننده را با بسط دادن روی ردیف اول محاسبه کنید:

از آنجا که Δ ≠ 0 ، سپس آ -1 وجود دارد.

ماتریس معکوس به درستی پیدا شده است.

بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

در نتیجه، ایکس 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3 .

معاینه:

7. قضیه کرونکر-کاپلی در مورد سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی.

سیستم معادلات خطیبه نظر می رسد:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

در اینجا a i j و b i (i = ; j = ) داده می شود و x j اعداد حقیقی مجهول هستند. با استفاده از مفهوم حاصلضرب ماتریس ها، می توانیم سیستم (5.1) را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

که در آن A = (a i j) ماتریسی است متشکل از ضرایب در سیستم های ناشناخته(5.1) که نامیده می شود ماتریس سیستم, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) بردارهای ستون T که به ترتیب از x j مجهول و عبارات آزاد b i تشکیل شده اند.

مجموعه سفارش داده شده nاعداد حقیقی (c 1 , c 2 ,..., c n ) نامیده می شود راه حل سیستم(5.1) اگر در نتیجه جایگزینی این اعداد به جای متغیرهای متناظر x 1 , x 2 ,..., x n هر معادله سیستم به یک هویت حسابی تبدیل شود. به عبارت دیگر، اگر بردار C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T وجود داشته باشد به طوری که AC  B.

سیستم (5.1) نامیده می شود مفصل،یا قابل حلاگر او داشته باشد حداقلیک راه حل سیستم نامیده می شود ناسازگار،یا نامحلولاگر راه حلی نداشته باشد

,

تشکیل شده با اختصاص ستونی از عبارت های آزاد به ماتریس A در سمت راست، نامیده می شود سیستم ماتریس توسعه یافته

سوال سازگاری سیستم (5.1) با قضیه زیر حل می شود.

قضیه کرونکر-کاپلی . سیستم معادلات خطی اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه‌های ماتریس‌های A و A بر هم منطبق باشند، یعنی. r(A) = r(A) = r.

برای مجموعه M از راه حل های سیستم (5.1)، سه احتمال وجود دارد:

1) M =  (در این مورد سیستم ناسازگار است).

2) M از یک عنصر تشکیل شده است، یعنی. سیستم دارد تنها تصمیم(در این حالت سیستم نامیده می شود مسلم - قطعی);

3) M از بیش از یک عنصر تشکیل شده است (سپس سیستم فراخوانی می شود نا معلوم). در حالت سوم، سیستم (5.1) دارای بی نهایت جواب است.

سیستم تنها در صورتی که r(A) = n راه حل منحصر به فردی دارد. در این مورد، تعداد معادلات نیست کمتر از عددمجهولات (mn)؛ اگر m>n، پس معادلات m-nپیامدهای دیگران هستند اگر 0

برای حل یک سیستم دلخواه از معادلات خطی، باید قادر به حل سیستم هایی باشیم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است، به اصطلاح. سیستم های نوع کرامر:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

سیستم های (5.3) به یکی از روش های زیر حل می شوند: 1) با روش گاوس، یا با روش حذف مجهولات. 2) طبق فرمول های کرامر؛ 3) به روش ماتریسی.

مثال 2.12. سیستم معادلات را بررسی کنید و در صورت سازگاری آن را حل کنید:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7،

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1،

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

راه حل.ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم:

 .

اجازه دهید رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم. واضح است که مثلاً مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالا = 7  0; مینورهای مرتبه سوم حاوی آن برابر با صفر هستند:

بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است، یعنی. r(A) = 2. برای محاسبه رتبه ماتریس توسعه یافته A، مینور مرزی را در نظر بگیرید.

از این رو، رتبه ماتریس توسعه یافته r(A) = 3 است. از آنجایی که r(A)  r(A)، سیستم ناسازگار است.

سیستم m معادلات خطی با n مجهولسیستم فرم نامیده می شود

جایی که aijو b i (من=1,…,متر; ب=1,…,n) تعدادی اعداد شناخته شده هستند و x 1،…، x n- ناشناس. در علامت گذاری ضرایب aijشاخص اول مننشان دهنده تعداد معادله، و دوم است jتعداد مجهولی است که این ضریب در آن قرار دارد.

ضرایب مجهولات به صورت ماتریس نوشته می شود ، که با آن تماس خواهیم گرفت ماتریس سیستم.

اعداد سمت راست معادلات b 1,…,b mتماس گرفت اعضای رایگان

تجمیع nشماره c 1,…,c nتماس گرفت تصمیم گیریاز این سیستم، اگر هر معادله سیستم پس از جایگزینی اعداد به یک تساوی تبدیل شود c 1,…,c nبه جای مجهولات مربوطه x 1،…، x n.

وظیفه ما یافتن راه حل برای سیستم خواهد بود. در این حالت سه حالت ممکن است پیش بیاید:

سیستم معادلات خطی که حداقل یک جواب داشته باشد نامیده می شود مفصل. در غیر این صورت، یعنی اگر سیستم راه حلی نداشته باشد، نامیده می شود ناسازگار.

راه‌هایی را برای یافتن راه‌حل‌های سیستم در نظر بگیرید.

روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات خطی

ماتریس ها امکان نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی را فراهم می کنند. اجازه دهید یک سیستم از 3 معادله با سه مجهول داده شود:

ماتریس سیستم را در نظر بگیرید و ستون های ماتریسی از اعضای مجهول و مجهول

بیایید محصول را پیدا کنیم

آن ها در نتیجه حاصل ضرب، سمت چپ معادلات این سیستم را بدست می آوریم. سپس با استفاده از تعریف برابری ماتریسی می توان این سیستم را به صورت زیر نوشت

یا کوتاهتر آ∙X=B.

در اینجا ماتریس ها آو بشناخته شده اند، و ماتریس ایکسناشناس. او باید پیدا شود، زیرا. عناصر آن راه حل این سیستم هستند. این معادله نامیده می شود معادله ماتریسی.

بگذارید تعیین کننده ماتریس با صفر | متفاوت باشد آ| ≠ 0. سپس معادله ماتریس به صورت زیر حل می شود. دو طرف معادله سمت چپ را در ماتریس ضرب کنید الف-1، معکوس ماتریس آ: . از آنجا که A -1 A = Eو E∙X=X، سپس حل معادله ماتریس را به شکل به دست می آوریم X = A -1 B .

توجه داشته باشید که از آنجایی که ماتریس معکوس را فقط می توان برای ماتریس های مربعی یافت، روش ماتریس فقط می تواند سیستم هایی را حل کند که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر است. با این حال، نمادگذاری ماتریسی سیستم نیز در صورتی امکان پذیر است که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر نباشد، ماتریس آمربع نیست و بنابراین یافتن راه حلی برای سیستم در قالب غیرممکن است X = A -1 B.

مثال ها.حل سیستم معادلات

قانون کرامر

سیستمی متشکل از 3 معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

تعیین کننده مرتبه سوم مربوط به ماتریس سیستم، یعنی. متشکل از ضرایب در مجهولات،

تماس گرفت تعیین کننده سیستم.

ما سه تعیین کننده دیگر را به صورت زیر می نویسیم: ستون های 1، 2 و 3 را به صورت متوالی در تعیین کننده D با ستونی از عبارت های آزاد جایگزین می کنیم.

سپس می توانیم نتیجه زیر را ثابت کنیم.

قضیه (قاعده کرامر).اگر تعیین کننده سیستم Δ ≠ 0 باشد، سیستم مورد بررسی یک و تنها یک راه حل دارد و

اثبات. بنابراین، یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید. معادله 1 سیستم را در متمم جبری ضرب کنید یک 11عنصر یک 11، معادله 2 - روشن A21و 3 - در A 31:

بیایید این معادلات را اضافه کنیم:

هر یک از براکت ها و سمت راست این معادله را در نظر بگیرید. با قضیه بسط تعیین کننده بر حسب عناصر ستون 1

به طور مشابه، می توان نشان داد که و .

در نهایت، دیدن آن آسان است

بنابراین، برابری را بدست می آوریم: .

در نتیجه، .

برابری ها و به طور مشابه به دست می آیند، از آنجایی که ادعای قضیه در زیر آمده است.

بنابراین، ما توجه می کنیم که اگر تعیین کننده سیستم Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و بالعکس. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، آنگاه سیستم یا مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها دارد یا هیچ راه حلی ندارد، یعنی. ناسازگار

مثال ها.حل یک سیستم معادلات

روش گاوس

روش های در نظر گرفته شده قبلی را می توان تنها برای حل سیستم هایی استفاده کرد که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق است و تعیین کننده سیستم باید با صفر متفاوت باشد. روش گاوسی جهانی تر است و برای سیستم هایی با هر تعداد معادله مناسب است. این شامل حذف متوالی مجهولات از معادلات سیستم است.

دوباره سیستمی از سه معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید:

.

معادله اول را بدون تغییر می گذاریم و از 2 و 3 عبارات حاوی را حذف می کنیم x 1. برای این کار معادله دوم را بر تقسیم می کنیم آ 21 و ضرب در - آ 11 و سپس با معادله 1 جمع کنید. به همین ترتیب، معادله سوم را به تقسیم می کنیم آ 31 و ضرب در - آ 11 و سپس آن را به اولی اضافه کنید. در نتیجه، سیستم اصلی به شکل زیر خواهد بود:

حال از آخرین معادله، عبارت حاوی را حذف می کنیم x2. برای انجام این کار، معادله سوم را بر تقسیم کنید، در آن ضرب کنید و آن را به دومی اضافه کنید. سپس ما یک سیستم معادلات خواهیم داشت:

از این رو از آخرین معادله به راحتی می توان آن را پیدا کرد x 3، سپس از معادله 2 x2و در نهایت از 1 - x 1.

هنگام استفاده از روش گاوسی، در صورت لزوم می توان معادلات را تعویض کرد.

اغلب، به جای نوشتن یک سیستم جدید از معادلات، خود را به نوشتن ماتریس توسعه یافته سیستم محدود می کنند:

و سپس با استفاده از تبدیل های ابتدایی به شکل مثلثی یا مورب بیاورید.

به تحولات ابتداییماتریس ها شامل تبدیل های زیر هستند:

1. جایگشت سطرها یا ستون ها؛
2. ضرب یک رشته در یک عدد غیر صفر؛
3. اضافه کردن خطوط دیگر به یک خط

مثال ها:حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس.

بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

روش ماتریس معکوس یک مورد خاص است معادله ماتریسی

سیستم را با روش ماتریسی حل کنید

راه حل: سیستم را به صورت ماتریسی می نویسیم حل سیستم را با فرمول پیدا می کنیم (به فرمول آخر مراجعه کنید)

ماتریس معکوس را با فرمول پیدا می کنیم:
، ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

ابتدا به عامل تعیین کننده می پردازیم:

در اینجا تعیین کننده با خط اول بسط می یابد.

توجه! اگر ماتریس معکوس وجود نداشته باشد و حل سیستم با روش ماتریسی غیرممکن باشد. در این حالت سیستم با روش حذف مجهولات (روش گاوس) حل می شود.

اکنون باید 9 مینور را محاسبه کرده و در ماتریس مینورها بنویسید

ارجاع:دانستن معنی دو زیرنویس در جبر خطی مفید است. اولین رقم شماره خطی است که عنصر در آن قرار دارد. رقم دوم تعداد ستونی است که عنصر در آن قرار دارد:

یعنی یک زیرنویس دوتایی نشان می دهد که عنصر در ردیف اول، ستون سوم قرار دارد، در حالی که، برای مثال، عنصر در ردیف سوم، ستون 2 قرار دارد.

در جریان حل، بهتر است محاسبه مینورها را به تفصیل شرح دهیم، اگرچه با تجربه خاصی می توان آنها را برای شمارش خطاها به صورت شفاهی تنظیم کرد.

ترتیب محاسبه مینورها مطلقاً مهم نیست، در اینجا من آنها را از چپ به راست ردیف به ردیف محاسبه کردم. محاسبه مینورها توسط ستون ها امکان پذیر بود (این حتی راحت تر است).

به این ترتیب:

ماتریس مینورهای عناصر متناظر ماتریس است.

ماتریس اضافات جبری است.

ماتریس جابجایی اضافات جبری است.

تکرار می کنم مراحلی که انجام دادیم در درس به تفصیل تحلیل شد. چگونه ماتریس معکوس را پیدا کنیم؟

حال ماتریس معکوس را می نویسیم:

در هیچ موردی وارد ماتریس نمی شویم، این محاسبات بعدی را به طور جدی پیچیده می کند. اگر تمام اعداد ماتریس بدون باقیمانده بر 60 بخش پذیر باشند، تقسیم باید انجام شود. اما اضافه کردن یک منهای به ماتریس در این مورد بسیار ضروری است، برعکس، محاسبات بیشتر را ساده می کند.

باقی مانده است که ضرب ماتریس را انجام دهیم. می توانید نحوه ضرب ماتریس ها را در درس یاد بگیرید اقدامات با ماتریس. اتفاقاً دقیقاً همین مثال وجود دارد.

توجه داشته باشید که تقسیم بر 60 انجام شده است آخر.
گاهی ممکن است به طور کامل تقسیم نشود، یعنی. می تواند کسرهای "بد" را دریافت کند. وقتی قانون کرامر را تحلیل کردیم قبلاً گفتم در چنین مواردی چه باید کرد.

پاسخ:

مثال 12

سیستم را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید.

این یک مثال برای حل خود (نمونه پایان و پاسخ در پایان درس) است.

جهانی ترین راه برای حل سیستم است روش حذف مجهولات (روش گاوس). توضیح دادن الگوریتم به روشی در دسترس چندان آسان نیست، اما من سعی کردم!.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم!

پاسخ ها:

مثال 3:

مثال 6:

مثال 8: , . می توانید نمونه راه حلی برای این مثال (لینک زیر) مشاهده یا دانلود کنید.

مثال های 10، 12:

ما همچنان به بررسی سیستم های معادلات خطی ادامه می دهیم. این درس سومین درس در این موضوع است. اگر تصور مبهمی از سیستم معادلات خطی به طور کلی دارید، احساس می کنید مانند یک قوری هستید، پس توصیه می کنم با اصول اولیه در صفحه بعد شروع کنید، مطالعه درس مفید است.

روش گاوس آسان است!چرا؟ یوهان کارل فردریش گاوس، ریاضیدان مشهور آلمانی، در طول زندگی خود، به عنوان بزرگترین ریاضیدان تمام دوران، نابغه و حتی لقب "پادشاه ریاضیات" شناخته شد. و همه چیز مبتکرانه، همانطور که می دانید، ساده است!به هر حال، نه تنها مکنده ها، بلکه نابغه ها نیز وارد پول می شوند - پرتره گاوس بر روی یک اسکناس 10 مارک آلمانی (قبل از معرفی یورو) به نمایش درآمد و گاوس هنوز به طرز مرموزی از روی تمبرهای پستی معمولی به آلمانی ها لبخند می زند.

روش گاوس از این جهت ساده است که دانش یک دانش آموز کلاس پنجم برای تسلط بر آن کافی است. باید قادر به جمع و ضرب باشد!تصادفی نیست که روش حذف متوالی مجهولات اغلب توسط معلمان در درس های انتخابی ریاضی مدرسه مورد توجه قرار می گیرد. این یک پارادوکس است، اما روش گاوس بیشترین مشکلات را برای دانش آموزان ایجاد می کند. هیچ چیز تعجب آور نیست - همه چیز در مورد روش است و من سعی خواهم کرد به شکلی در دسترس در مورد الگوریتم روش بگویم.

ابتدا دانش مربوط به سیستم های معادلات خطی را کمی نظام مند می کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

روش گاوس قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد یا ناسازگار است نامناسب هستند. روشی برای حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به جواب سوق دهد! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله ای برای موقعیت های نقاط شماره 2-3 در نظر گرفته شده است. متذکر می شوم که خود الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند.

بیایید به ساده ترین سیستم از درس برگردیم چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟
و با استفاده از روش گاوسی حل کنید.

اولین قدم نوشتن است سیستم ماتریس توسعه یافته:
. ضرایب با چه اصولی ثبت می شود، فکر می کنم همه می توانند ببینند. خط عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - این فقط یک خط خطی برای سهولت طراحی است.

ارجاع: توصیه می کنم به خاطر بسپاریدمقررات جبر خطی.ماتریس سیستم ماتریسی است که فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال، ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافته همان ماتریس سیستم به اضافه ستونی از اعضای آزاد است، در این مورد: . هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

پس از اینکه سیستم ماتریس توسعه یافته نوشته شد، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آن ها نیز گفته می شود تحولات ابتدایی.

تحولات ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها قابل تنظیم مجددمکان ها به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید با خیال راحت ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر در ماتریس سطرهای متناسب (یا ظاهر شده) متناسب (به عنوان حالت خاص - یکسان) وجود داشته باشد، از آن پیروی می کند. حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید . در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف. من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن فقط صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)برای هر شماره غیر صفر. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: . این عمل بسیار مفید است، زیرا تبدیل های بیشتر ماتریس را ساده می کند.

5) این دگرگونی بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است. ماتریس خود را از یک مثال عملی در نظر بگیرید: . ابتدا، من تحول را با جزئیات کامل شرح خواهم داد. ردیف اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه می کنیم: . اکنون خط اول را می توان "بازگشت" به -2 تقسیم کرد: . همانطور که می بینید، خطی که اضافه شده است LI – تغییر نکرده است. همیشه ... هستخط تغییر کرده است که به آن اضافه شده است UT.

البته، در عمل، آنها با این جزئیات نقاشی نمی کنند، اما کوتاه تر می نویسند:

بار دیگر: به خط دوم ردیف اول ضرب در -2 را اضافه کرد. خط معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که دوره ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

"من ماتریس را بازنویسی می کنم و ردیف اول را بازنویسی می کنم:"

اول ستون اول در زیر باید صفر بگیرم. بنابراین، واحد بالا را در -2: ضرب می کنم و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (-2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

اکنون ستون دوم. بالای -1 برابر -2: . اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: "

و ستون سوم. بالای -5 برابر -2: . خط اول را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً به دقت در مورد این مثال فکر کنید و الگوریتم محاسبه متوالی را درک کنید، اگر این را درک می کنید، روش گاوس عملاً "در جیب شما" است. اما، البته، ما همچنان روی این تحول کار می کنیم.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه:دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" ماتریس هابه هیچ وجه نباید چیزی را در داخل ماتریس ها تنظیم مجدد کنید!

بیایید به سیستم خود برگردیم. او تقریباً تمام شده است.

اجازه دهید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش دهیم نمای پلکانی:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. راستی چرا ردیف اول را در -2 ضرب می کنیم؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی– تبدیل ماتریس به فرم مرحله ای: . در طراحی کار ، آنها مستقیماً "نردبان" را با یک مداد ساده بیرون می آورند و همچنین اعدادی را که روی "پله ها" قرار دارند دور می زنند. اصطلاح «نمای پلکانی» به خودی خود کاملاً نظری نیست؛ در ادبیات علمی و آموزشی اغلب به آن گفته می شود. نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آورده ایم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "پیچیده" شود - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوس معکوس.

در معادله پایین، نتیجه نهایی را داریم: .

اولین معادله سیستم را در نظر بگیرید و مقدار شناخته شده "y" را در آن جایگزین کنید:

بیایید رایج ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که روش گاوسی برای حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول مورد نیاز است.

مثال 1

حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس:

بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید:

و تکرار می کنم، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. از کجا باید اقدام کرد؟

ابتدا به شماره بالا سمت چپ نگاه کنید:

تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد. به طور کلی، -1 (و گاهی اوقات اعداد دیگر) نیز مناسب است، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که معمولا یک واحد در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد تمام شده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

حالا خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند. حالا خوبه

واحد در بالا سمت چپ سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

صفرها فقط با کمک یک تبدیل "سخت" به دست می آیند. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای بدست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ نیاز داشتن به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب می کنیم: (-2، -4، 2، -18). و ما پیوسته (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه در خط دوم نوشته شده است:

به همین ترتیب با خط سوم (3، 2، -5، -1) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب می کنیم: (-3، -6، 3، -27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه می کنیم:

نتیجه در خط سوم نوشته شده است:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله نوشته می شود:

نیازی نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید. ترتیب محاسبات و "درج" نتایج استوارو معمولاً به این صورت است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را آرام پف می کنیم - به طور مداوم و با دقت:

و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا در نظر گرفته ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است، ما خط دوم را بر 5- تقسیم می کنیم (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در همان زمان، خط سوم را بر 2- تقسیم می کنیم، زیرا هر چه عدد کوچکتر باشد، راه حل ساده تر است:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، یک صفر دیگر باید در اینجا به دست آید:

برای این به خط سوم، خط دوم را در 2- ضرب می کنیم:

سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و جمع را انجام دهید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد:

سرد.

اکنون مسیر معکوس روش گاوسی وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز می شوند".

در معادله سوم، نتیجه نهایی را داریم:

بیایید به معادله دوم نگاه کنیم: . معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت معادله اول: . «ی» و «ز» معلوم است، موضوع کوچک است:

پاسخ:

همانطور که بارها اشاره شده است، برای هر سیستم معادلات، بررسی جواب یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه این کار دشوار و سریع نیست.

مثال 2

این یک مثال برای حل خود، نمونه اتمام و پاسخ در پایان درس است.

لازم به ذکر است که شما دوره عملممکن است با مسیر عمل من مطابقت نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است. اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را کردم: (1) به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ -1، که به خوبی برای ما مناسب است. کسانی که می خواهند 1+ بگیرند می توانند یک حرکت اضافی انجام دهند: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) ردیف اول ضرب در 5 به ردیف دوم اضافه شد و ردیف اول ضرب در 3 به ردیف سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

(4) خط دوم ضرب در 2 به خط سوم اضافه شد.

(5) ردیف سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده یک خطای محاسباتی است (کمتر یک اشتباه تایپی) یک خط پایانی "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه زیر بدست آوریم و بر این اساس ، پس با درجه احتمال بالایی می توان استدلال کرد که در جریان تحولات ابتدایی خطایی رخ داده است.

ما حرکت معکوس را شارژ می کنیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس از پایین به بالا کار می کند:
بله، این یک هدیه است:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

این نمونه ای برای یک راه حل مستقل است، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. حل کامل و نمونه طراحی در پایان درس. راه حل شما ممکن است با من متفاوت باشد.

در بخش آخر به بررسی برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم.
اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال:

چگونه ماتریس افزوده شده سیستم را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی. در ماتریس توسعه یافته سیستم، صفرها را به جای متغیرهای گمشده قرار می دهیم:

به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم این است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. ممکن است اعداد دیگری وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما یک دوش داریم. اما ما متوجه این واقعیت هستیم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بدون باقی مانده بخش پذیر هستند - و دو و شش دیگر. و دوسه در بالا سمت چپ مناسب ما خواهد بود! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به این ترتیب، صفرهای مورد نظر را در ستون اول به دست خواهیم آورد.

یا مثال فرضی دیگری: . در اینجا، سه گانه در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: به خط سوم، خط دوم را ضرب در -4 اضافه کنید، در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. شما می توانید با اطمینان یاد بگیرید که چگونه سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریس) به معنای واقعی کلمه از اولین بار - یک الگوریتم بسیار سفت و سخت وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 ده سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا ممکن است سردرگمی، اشتباه در محاسبات وجود داشته باشد و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییز در خارج از پنجره .... بنابراین، برای همه، یک مثال پیچیده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

یک سیستم 4 معادله خطی با چهار مجهول را با استفاده از روش گاوس حل کنید.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم که حتی قوری که این صفحه را با جزئیات مطالعه کرده است، الگوریتم حل چنین سیستمی را به طور مستقیم درک می کند. اساساً یکسان است - فقط اقدام بیشتر.

مواردی که سیستم راه حلی نداشته باشد (ناسازگار) یا راه حل های بی نهایت زیاد داشته باشد در درس در نظر گرفته می شود. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک. در آنجا می توانید الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس را اصلاح کنید.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را یادداشت کرده و با کمک تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای برسانیم.

تحولات ابتدایی را انجام داد:
(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.توجه! در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من اکیداً تفریق را توصیه نمی کنم - خطر خطا به شدت افزایش می یابد. ما فقط تا می کنیم!
(2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در 1-). خط دوم و سوم عوض شده است.توجه داشته باشید که در "پله ها" ما نه تنها با یک، بلکه با -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است.
(3) به خط سوم، خط دوم را در 5 ضرب کنید.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم بر 14 تقسیم شد.

حرکت معکوس:


پاسخ: .

مثال 4: ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

تبدیل های انجام شده:
(1) خط دوم به خط اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" بالا سمت چپ سازماندهی شده است.
(2) ردیف اول ضرب در 7 به ردیف دوم اضافه شد و ردیف اول ضرب در 6 به ردیف سوم اضافه شد.

با "گام" دوم همه چیز بدتر است ، "نامزدهای" آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود

(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.
(4) خط سوم ضرب در 3- به خط دوم اضافه شد.
مورد لازم در مرحله دوم دریافت می شود .
(5) به خط سوم دومی را در 6 ضرب می کنیم.
(6) ردیف دوم در -1 ضرب شد، ردیف سوم بر 83- تقسیم شد..بدیهی است که هواپیما به طور منحصر به فرد توسط سه نقطه مختلف تعیین می شود که روی یک خط مستقیم قرار ندارند. بنابراین، نامگذاری سه حرفی هواپیماها بسیار محبوب است - با توجه به نقاط متعلق به آنها، به عنوان مثال،؛ .اگر اعضای رایگان

مبحث 2. سیستم معادلات جبری خطی.

مفاهیم اساسی.

تعریف 1. سیستم مترمعادلات خطی با nناشناخته سیستمی به شکل است:

اعداد کجا و هستند

تعریف 2. راه حل سیستم (I) مجموعه ای از مجهولات است که در آن هر معادله این سیستم به یک هویت تبدیل می شود.

تعریف 3. سیستم (I) نامیده می شود مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد و ناسازگاراگر راه حلی نداشته باشد سیستم مفصلی نامیده می شود مسلم - قطعیاگر راه حل منحصر به فردی داشته باشد، و نا معلومدر غیر این صورت.

تعریف 4. معادله نوع

تماس گرفت صفر، و یک معادله از فرم

تماس گرفت ناسازگار. بدیهی است که سیستم معادلات حاوی یک معادله ناسازگار ناسازگار است.

تعریف 5. دو سیستم معادلات خطی نامیده می شوند معادلاگر هر راه حل یک سیستم راه حل دیگری باشد و برعکس، هر راه حل سیستم دوم راه حل اولی باشد.

نمادگذاری ماتریسی برای یک سیستم معادلات خطی.

سیستم (I) را در نظر بگیرید (نگاه کنید به §1).

مشخص کن:

ماتریس ضریب برای مجهولات

ماتریس - ستونی از اعضای آزاد

ماتریس - ستون مجهولات

.

تعریف 1.ماتریس نامیده می شود ماتریس اصلی سیستم(I) و ماتریس ماتریس تقویت شده سیستم (I) است.

با تعریف برابری ماتریس، سیستم (I) با برابری ماتریس مطابقت دارد:

.

سمت راست این برابری با تعریف حاصل ضرب ماتریس ها ( به تعریف 3 § 5 فصل 1 مراجعه کنید) را می توان فاکتورسازی کرد:

، یعنی

برابری (2) تماس گرفت نماد ماتریسی سیستم (I).

حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر.

سیستم (I) را وارد کنید (به بند 1 مراجعه کنید) m=n، یعنی تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است، یعنی. . سپس سیستم (I) از §1 یک راه حل منحصر به فرد دارد

جایی که ∆ = دت ااصلی نامیده می شود تعیین کننده سیستم(I)، ∆ منبا جایگزینی از دترمینان Δ بدست می آید منستون -ام به ستون اعضای آزاد سیستم (I).

به عنوان مثال سیستم را با روش کرامر حل کنید:

.

توسط فرمول ها (3) .

ما عوامل تعیین کننده سیستم را محاسبه می کنیم:

,

,

.

برای به دست آوردن دترمینان، ستون اول در تعیین کننده را با ستونی از اعضای آزاد جایگزین کرده ایم. با جایگزینی ستون دوم در تعیین کننده با ستونی از اعضای آزاد، به دست می آوریم؛ به طور مشابه، با جایگزینی ستون 3 در تعیین کننده با ستونی از اعضای آزاد، به دست می آوریم. راه حل سیستم:

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از ماتریس معکوس.

سیستم (I) را وارد کنید (به بند 1 مراجعه کنید) m=nو ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است. سیستم (I) را به صورت ماتریسی می نویسیم ( §2 را ببینید):

زیرا ماتریس آغیر انحطاط است، پس ماتریس معکوس دارد ( قضیه 1 §6 از فصل 1 را ببینید). دو طرف معادله را ضرب کنید (2) به ماتریس، سپس

با تعریف ماتریس معکوس. از برابری (3) ما داریم

سیستم را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید

.

مشخص کن

در مثال (§ 3) ما تعیین کننده، بنابراین، ماتریس را محاسبه کردیم آماتریس معکوس دارد. سپس به قوت خود (4) ، یعنی

. (5)

ماتریس را پیدا کنید ( §6 فصل 1 را ببینید)

, , ,

, , ,

,

.

روش گاوس

اجازه دهید سیستم معادلات خطی داده شود:

. (من)

باید تمام راه حل های سیستم (I) را پیدا کرد یا از ناسازگاری سیستم اطمینان حاصل کرد.

تعریف 1.اجازه دهید تغییر ابتدایی سیستم را بنامیم(I) هر یک از سه عمل:

1) حذف معادله صفر؛

2) به هر دو بخش معادله، قسمت های مربوط به معادله دیگر را که در عدد l ضرب می شود، اضافه کنید.

3) مبادله عبارت در معادلات سیستم به طوری که مجهولات با اعداد یکسان در همه معادلات مکان های یکسانی را اشغال کنند، یعنی. اگر مثلاً در معادله 1 ترم های 2 و 3 را تغییر دادیم، در تمام معادلات سیستم باید به همین ترتیب عمل کرد.

روش گاوس شامل این واقعیت است که سیستم (I) با کمک تبدیلات اولیه به یک سیستم معادل کاهش می یابد که راه حل آن مستقیماً یافت می شود یا حل نشدنی آن ثابت می شود.

همانطور که در §2 توضیح داده شد، سیستم (I) به طور منحصربه‌فردی توسط ماتریس توسعه‌یافته آن تعیین می‌شود و هر تبدیل ابتدایی سیستم (I) مربوط به تبدیل اولیه ماتریس توسعه‌یافته است:

.

تبدیل 1) مربوط به حذف ردیف صفر در ماتریس است، تبدیل 2) معادل افزودن به ردیف متناظر ماتریس است، ردیف دیگر آن ضرب در عدد l، تبدیل 3) معادل مرتب کردن مجدد ستون ها در ماتریس است.

به راحتی می توان فهمید که برعکس، هر تبدیل اولیه ماتریس با یک تبدیل ابتدایی سیستم (I) مطابقت دارد. با توجه به آنچه گفته شد به جای عملیات با سیستم (I) با ماتریس افزوده شده این سیستم کار خواهیم کرد.

در ماتریس، ستون 1 از ضرایب در تشکیل شده است x 1، ستون 2 - از ضرایب در x 2و غیره. در مورد بازآرایی ستون ها باید در نظر داشت که این شرط نقض می شود. به عنوان مثال، اگر ستون های 1 و 2 را با هم عوض کنیم، اکنون در ستون 1 ضرایب وجود دارد: x 2، و در ستون 2 - ضرایب در x 1.

سیستم (I) را با روش گاوس حل خواهیم کرد.

1. تمام ردیف های صفر را در ماتریس، در صورت وجود، خط بزنید (یعنی تمام معادلات صفر در سیستم (I) را خط بزنید.

2. بررسی کنید که آیا ردیفی در بین ردیف های ماتریس وجود دارد که در آن همه عناصر به جز آخرین مورد برابر با صفر هستند (بیایید چنین ردیفی را ناسازگار بنامیم). بدیهی است که چنین خطی با یک معادله ناسازگار در سیستم (I) مطابقت دارد، بنابراین، سیستم (I) هیچ راه حلی ندارد و این جایی است که فرآیند به پایان می رسد.

3. اجازه دهید ماتریس حاوی ردیف های ناسازگار نباشد (سیستم (I) شامل معادلات ناسازگار نیست). اگر یک a 11 = 0، سپس در سطر 1 عنصری (به جز آخرین مورد) را پیدا می کنیم که با صفر متفاوت است و ستون ها را به گونه ای مرتب می کنیم که در ردیف اول در ردیف اول صفر نباشد. اکنون فرض می کنیم که (یعنی عبارت های مربوطه را در معادلات سیستم (I) مبادله می کنیم).

4. ردیف 1 را ضرب کنید و نتیجه را به ردیف 2 اضافه کنید، سپس ردیف 1 را ضرب کنید و نتیجه را به ردیف 3 و غیره اضافه کنید. بدیهی است که این فرآیند معادل حذف مجهولات است x 1از تمام معادلات سیستم (I) به جز معادله 1. در ماتریس جدید، در ستون 1 زیر عنصر صفر می گیریم یک 11:

.

5. تمام سطرهای صفر در ماتریس را خط بزنید، در صورت وجود، بررسی کنید که آیا سطر ناسازگاری وجود دارد (اگر وجود دارد، پس سیستم ناسازگار است و راه حل در آنجا به پایان می رسد). بیایید بررسی کنیم که آیا a 22 / = 0، اگر بله، در سطر 2 عنصری را پیدا می کنیم که با صفر متفاوت است و ستون ها را طوری مرتب می کنیم که . بعد، عناصر ردیف 2 را در ضرب می کنیم و با عناصر مربوط به ردیف 3 اضافه کنید، سپس - عناصر ردیف 2 را اضافه کنید و با عناصر مربوط به ردیف 4 و غیره اضافه کنید تا زمانی که صفرهای زیر را بدست آوریم. یک 22 /

.

اقدامات انجام شده معادل حذف مجهولات است x 2از تمام معادلات سیستم (I) به جز 1 و 2. از آنجایی که تعداد سطرها محدود است، پس پس از تعداد مراحل محدود، متوجه می شویم که یا سیستم ناسازگار است یا به یک ماتریس گام می رسیم ( به تعریف 2 §7 فصل 1 مراجعه کنید) :

,

اجازه دهید سیستم معادلات مربوط به ماتریس را بنویسیم. این سیستم معادل سیستم (I) است.

.

از آخرین معادله ای که بیان می کنیم ; معادله قبلی را جایگزین می کنیم، پیدا می کنیم و غیره تا زمانی که به .

تبصره 1.بنابراین، هنگام حل سیستم (I) با روش گاوس، به یکی از موارد زیر می رسیم.

1. سیستم (I) ناسازگار است.

2. اگر تعداد سطرهای ماتریس با تعداد مجهولات () برابر باشد، سیستم (I) راه حل منحصر به فردی دارد.

3. اگر تعداد سطرهای ماتریس کمتر از تعداد مجهول ها باشد، سیستم (I) دارای بی نهایت جواب است.

از این رو قضیه زیر صادق است.

قضیه.سیستم معادلات خطی یا ناسازگار است، یا دارای یک راه حل منحصر به فرد است، یا مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها وجود دارد.

مثال ها. سیستم معادلات را با روش گاوس حل کنید یا ناسازگاری آن را ثابت کنید:

ب) ;

الف) اجازه دهید سیستم داده شده را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

.

ما معادلات 1 و 2 سیستم اصلی را مبادله کردیم تا محاسبات را ساده کنیم (به جای کسری، فقط با اعداد صحیح با استفاده از چنین جایگشتی عمل خواهیم کرد).

ما یک ماتریس توسعه یافته را می سازیم:

.

هیچ خط پوچ وجود ندارد. بدون خطوط ناسازگار، ما مجهول اول را از تمام معادلات سیستم به جز معادله اول حذف می کنیم. برای این کار، عناصر ردیف اول ماتریس را در "-2" ضرب می کنیم و آنها را به عناصر مربوط به ردیف 2 اضافه می کنیم که معادل ضرب کردن معادله 1 در "-2" و اضافه کردن آن به عدد است. معادله 2 سپس عناصر ردیف 1 را در "-3" ضرب می کنیم و آنها را به عناصر مربوط به ردیف سوم اضافه می کنیم. معادله 2 سیستم داده شده را در "-3" ضرب کنید و آن را به معادله 3 اضافه کنید. گرفتن

.

ماتریس مربوط به سیستم معادلات است). - (به تعریف 3 § 7 از فصل 1 مراجعه کنید).

بگذارید یک ماتریس مربع از مرتبه n وجود داشته باشد

ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسبا توجه به ماتریس A، اگر A * A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است.

ماتریس هویت- چنین ماتریس مربعی، که در آن تمام عناصر در امتداد مورب اصلی، که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین می گذرد، یک هستند و بقیه صفر هستند، به عنوان مثال:

ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعآن ها برای آن دسته از ماتریس هایی که تعداد سطر و ستون یکسانی دارند.

قضیه شرط وجود ماتریس معکوس

برای اینکه یک ماتریس ماتریس معکوس داشته باشد، لازم و کافی است که غیر دژنره باشد.

ماتریس A = (A1, A2,...A n) نامیده می شود غیر منحطاگر بردارهای ستون به صورت خطی مستقل باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می گویند. بنابراین می توان گفت برای اینکه یک ماتریس معکوس وجود داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با بعد آن باشد، یعنی. r = n

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

1. ماتریس A را در جدول حل سیستم معادلات به روش گاوس بنویسید و در سمت راست (به جای قسمت های سمت راست معادلات) ماتریس E را به آن اختصاص دهید.
2. با استفاده از تبدیل‌های جردن، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون‌های منفرد بیاورید. در این حالت لازم است همزمان ماتریس E را تبدیل کنیم.
3. در صورت لزوم، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را به گونه ای تنظیم کنید که ماتریس هویت E در زیر ماتریس A جدول اصلی به دست آید.
4. ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد، بنویسید.

مثال 1

برای ماتریس A، ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید

راه حل: ماتریس A را یادداشت می کنیم و در سمت راست ماتریس هویت E را اختصاص می دهیم. با استفاده از تبدیل های جردن، ماتریس A را به ماتریس هویت E کاهش می دهیم. محاسبات در جدول 31.1 نشان داده شده است.

بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.

در نتیجه ضرب ماتریس، ماتریس هویت به دست می آید. بنابراین محاسبات صحیح است.

پاسخ:

حل معادلات ماتریسی

معادلات ماتریسی می تواند به صورت زیر باشد:

AX = B، XA = B، AXB = C،

که در آن ماتریس های A، B، C داده می شود، X ماتریس مورد نظر است.

معادلات ماتریسی با ضرب معادله در ماتریس های معکوس حل می شوند.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن ماتریس از یک معادله، باید این معادله را در سمت چپ ضرب کنید.

بنابراین، برای یافتن راه حل معادله، باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و آن را در ماتریس سمت راست معادله ضرب کنید.

سایر معادلات نیز به همین ترتیب حل می شوند.

مثال 2

اگر معادله AX = B را حل کنید

راه حل: از آنجایی که معکوس ماتریس برابر است (به مثال 1 مراجعه کنید)

روش ماتریسی در تحلیل اقتصادی

در کنار دیگران، آنها نیز کاربرد پیدا می کنند روش های ماتریسی. این روش ها بر اساس جبر خطی و ماتریس برداری هستند. چنین روش هایی برای تجزیه و تحلیل پدیده های پیچیده و چند بعدی اقتصادی استفاده می شود. اغلب این روش ها در مواقعی مورد استفاده قرار می گیرند که مقایسه عملکرد سازمان ها و بخش های ساختاری آنها ضروری باشد.

در فرآیند استفاده از روش های ماتریسی تجزیه و تحلیل، می توان چندین مرحله را تشخیص داد.

در مرحله اولتشکیل یک سیستم شاخص های اقتصادی انجام می شود و بر اساس آن ماتریسی از داده های اولیه تهیه می شود که جدولی است که در آن اعداد سیستم در خطوط جداگانه آن نشان داده شده است. (i = 1،2، ....، n)و در امتداد نمودارهای عمودی - تعداد نشانگرها (j = 1،2، ....، متر).

در مرحله دومبرای هر ستون عمودی، بزرگترین مقادیر موجود شاخص ها نشان داده می شود که به عنوان یک واحد در نظر گرفته می شود.

پس از آن، تمام مقادیر منعکس شده در این ستون بر بزرگترین مقدار تقسیم شده و ماتریسی از ضرایب استاندارد تشکیل می شود.

در مرحله سومتمام اجزای ماتریس مربع هستند. اگر اهمیت متفاوتی داشته باشند، به هر شاخص ماتریس ضریب وزنی خاصی اختصاص داده می شود ک. ارزش دومی توسط متخصص تعیین می شود.

در آخرین مرحله چهارممقادیر یافت شده رتبه بندی Rjبه ترتیب افزایش یا کاهش گروه بندی می شوند.

روش های ماتریسی فوق باید به عنوان مثال در تحلیل مقایسه ای پروژه های سرمایه گذاری مختلف و همچنین در ارزیابی سایر شاخص های عملکرد اقتصادی سازمان ها مورد استفاده قرار گیرد.