حل سیستم معادلات در میدان اعداد مختلط. عبارات، معادلات و سیستم های معادلات با اعداد مختلط

آژانس فدرال برای آموزش

مؤسسه آموزشی دولتی

آموزش عالی حرفه ای

"دانشگاه دولتی آموزش و پرورش ورونژ"

کرسی AGLEBRA و هندسه

اعداد مختلط

(کارهای انتخاب شده)

کار صلاحیت نهایی

تخصص 050201.65 ریاضی

(با تخصص اضافی انفورماتیک 050202.65)

تکمیل شده توسط: دانشجوی سال پنجم

فیزیکی و ریاضی

دانشکده

مشاور علمی:

VORONEZH - 2008

1. مقدمه……………………………………………………...…………..…

2. اعداد مختلط (مسائل انتخاب شده)

2.1. اعداد مختلط در فرم جبری….……...……….….

2.2. تفسیر هندسی اعداد مختلط……………..

2.3. شکل مثلثاتی اعداد مختلط

2.4. کاربرد نظریه اعداد مختلط در حل معادلات درجه 3 و 4……………………………………………………………………………

2.5. اعداد مختلط و پارامترها……………………………………………

3. نتیجه گیری…………………………………………………………………………

4. فهرست منابع……………………………………………………

1. مقدمه

در برنامه ریاضی درس مدرسه، نظریه اعداد با استفاده از مثال هایی از مجموعه ها معرفی می شود اعداد طبیعی، کل، عقلانی، غیر منطقی، i.e. روی مجموعه اعداد واقعی که تصاویر آنها تمام خط اعداد را پر می کند. اما در حال حاضر در کلاس هشتم موجودی کافی از اعداد واقعی وجود ندارد و معادلات درجه دوم را با یک ممیز منفی حل می کنند. بنابراین، لازم بود که موجودی اعداد حقیقی را با اعداد مختلط دوباره پر کنیم، که برای این کار ریشه دوماز یک عدد منفی معنا پیدا می کند.

انتخاب موضوع "اعداد مختلط"، به عنوان موضوع کار صلاحیت نهایی من، این است که مفهوم عدد مختلط دانش دانش آموزان را در مورد سیستم های عددی، در مورد حل یک کلاس وسیع از مسائل از هر دو محتوای جبری و هندسی، در مورد گسترش می دهد. حل کردن معادلات جبریهر درجه و در مورد حل مسائل با پارامترها.

در این پایان نامه حل 82 مسئله در نظر گرفته شده است.

بخش اول بخش اصلی "اعداد مختلط" شامل راه حل هایی برای مشکلات با اعداد مختلطبه صورت جبری، عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، عمل صرف اعداد مختلط به صورت جبری، درجه واحد خیالی، مدول یک عدد مختلط و قانون استخراج جذر از یک عدد مختلط نیز بیان شده است.

در بخش دوم، مسائلی برای تفسیر هندسی اعداد مختلط به صورت نقاط یا بردارهای صفحه مختلط حل شده است.

بخش سوم به عملیات اعداد مختلط به صورت مثلثاتی می پردازد. از فرمول ها استفاده می شود: De Moivre و استخراج ریشه از یک عدد مختلط.

بخش چهارم به حل معادلات درجه 3 و 4 اختصاص دارد.

هنگام حل مسائل قسمت آخر "اعداد مختلط و پارامترها" از اطلاعات داده شده در قسمت های قبلی استفاده و تلفیق می شود. مجموعه ای از مسائل این فصل به تعریف خانواده خطوط در صفحه مختلط اختصاص دارد. توسط معادلات داده شده است(نابرابری ها) با یک پارامتر. در بخشی از تمرین ها باید معادلات را با پارامتر (روی فیلد C) حل کنید. وظایفی وجود دارد که در آن یک متغیر پیچیده به طور همزمان تعدادی از شرایط را برآورده می کند. از ویژگی های حل مسائل این بخش، تقلیل بسیاری از آنها به حل معادلات (نامعادلات، سیستم ها) درجه دو، غیر منطقی، مثلثاتی با پارامتر است.

یکی از ویژگی های ارائه مطالب هر قسمت، ورودی اولیه است مبانی نظری، و بعداً کاربرد عملی آنها در حل مسائل.

در پایان پایان نامهفهرستی از ادبیات مورد استفاده ارائه شده است. در اکثر آنها مطالب نظری با جزییات کافی و در دسترس ارائه شده است، راه حل هایی برای برخی از مسائل در نظر گرفته شده و برای حل مستقل وظایف عملی ارائه شده است. من می خواهم به منابعی مانند:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. اعداد مختلط و کاربردهای آنها: کتاب درسی. . مواد راهنمای مطالعهدر قالب سخنرانی و تمرینات عملی ارائه می شود.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. منتخب مسائل و قضایای ریاضیات ابتدایی. حساب و جبر. این کتاب شامل 320 مسئله مربوط به جبر، حساب و نظریه اعداد است. این وظایف با ماهیت خود به طور قابل توجهی با وظایف استاندارد مدرسه متفاوت است.

2. اعداد مختلط (مسائل انتخاب شده)

2.1. اعداد مختلط به شکل جبری

حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و فیزیک به حل معادلات جبری خلاصه می شود. معادلات فرم

که در آن a0، a1، …، an اعداد حقیقی هستند. بنابراین مطالعه معادلات جبری یکی از مهمترین سوالات ریاضیات است. برای مثال، یک معادله درجه دوم با ممیز منفی، ریشه واقعی ندارد. ساده ترین چنین معادله ای معادله است

برای اینکه این معادله جواب داشته باشد، باید مجموعه اعداد حقیقی را با اضافه کردن ریشه معادله به آن گسترش داد.

بیایید این ریشه را به عنوان نشان دهیم

. بنابراین، طبق تعریف، یا،

در نتیجه،

. واحد خیالی نامیده می شود. با کمک آن و با کمک یک جفت اعداد حقیقی، یک عبارت از فرم تشکیل می شود.

عبارت به دست آمده را اعداد مختلط می نامیدند زیرا شامل هر دو بخش واقعی و خیالی بودند.

بنابراین، اعداد مختلط را عبارت های شکل می نامند

و اعداد واقعی هستند و نمادی است که شرط را برآورده می کند. عدد را قسمت واقعی عدد مختلط و عدد را قسمت خیالی آن می نامند. از نمادها برای تعیین آنها استفاده می شود.

اعداد مختلط فرم

اعداد حقیقی هستند و بنابراین مجموعه اعداد مختلط شامل مجموعه اعداد حقیقی است.

اعداد مختلط فرم

صرفاً خیالی نامیده می شوند. دو عدد مختلط از شکل و در صورتی مساوی خوانده می شوند که اجزای واقعی و خیالی آنها مساوی باشند، یعنی. اگر برابری ها، .

علامت گذاری جبری اعداد مختلط این امکان را فراهم می کند که بر اساس قوانین معمول جبر، عملیات روی آنها انجام شود.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. برای وضوح، بیایید مشکل زیر را حل کنیم:

\[ (z_1\cdot z_2)^(10) را محاسبه کنید اگر \

اول از همه، بیایید به این واقعیت توجه کنیم که یک عدد به شکل جبری، دیگری - به شکل مثلثاتی نشان داده شده است. باید ساده شود و به شکل زیر در بیاید

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

عبارت \ می گوید که اول از همه، ضرب و افزایش را تا توان 10 طبق فرمول Moivre انجام می دهیم. این فرمول برای شکل مثلثاتی یک عدد مختلط فرموله شده است. ما گرفتیم:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

با رعایت قوانین ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی، موارد زیر را انجام خواهیم داد:

در مورد ما:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ پی) (3).\]

با درست کردن کسر \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\]، نتیجه می‌گیریم که می‌توان 4 دور \[(8\pi rad.):\ را "پیچاند" ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

پاسخ: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

این معادله را می‌توان به روش دیگری حل کرد، که به این خلاصه می‌شود که عدد 2 را به شکل جبری درآوریم، سپس ضرب را به شکل جبری انجام دهیم، نتیجه را به شکل مثلثاتی ترجمه کنیم و فرمول Moivre را اعمال کنیم:

کجا می توانم یک سیستم معادلات با اعداد مختلط را به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.

عبارات، معادلات، و سیستم های معادلات
با اعداد مختلط

امروز سر کلاس کار خواهیم کرد اقدامات معمولیبا اعداد مختلط، و همچنین تسلط بر تکنیک حل عبارات، معادلات و سیستم های معادلات که این اعداد شامل. این کارگاه ادامه ی درس می باشد و لذا اگر با موضوع آشنایی ندارید از لینک بالا استفاده نمایید. خوب، من به خوانندگان آماده تر پیشنهاد می کنم فوراً خود را گرم کنند:

مثال 1

ساده سازی بیان ، اگر . نتیجه را به صورت مثلثاتی ارائه دهید و آن را در صفحه مختلط به تصویر بکشید.

راه حل: بنابراین، شما باید کسر "وحشتناک" را جایگزین کنید، ساده سازی ها را انجام دهید و نتیجه را ترجمه کنید عدد مختلطکه در فرم مثلثاتی. به علاوه لعنتی

بهترین راه برای تصمیم گیری چیست؟ پرداختن به یک عبارت جبری "فانتزی" در مراحل سودآورتر است. اولاً توجه کمتر پراکنده می شود و ثانیاً اگر کار اعتبار داده نشود پیدا کردن خطا بسیار آسان تر خواهد بود.

1) ابتدا صورت را ساده می کنیم. مقدار را در آن قرار دهید، براکت ها را باز کنید و مدل مو را اصلاح کنید:

... بله، چنین Quasimodo از اعداد مختلط معلوم شد ...

به شما یادآوری می کنم که در جریان تحولات از چیزهای کاملاً هوشمندانه استفاده می شود - قانون ضرب چند جمله ای ها و برابری پیش پا افتاده. نکته اصلی این است که مراقب باشید و در علائم سردرگم نشوید.

2) اکنون مخرج بعدی است. اگر پس از آن:

توجه داشته باشید که در چه تعبیری غیرعادی استفاده می شود فرمول مجموع مربع. از طرف دیگر، می توانید اینجا را تغییر دهید زیر فرمول . نتایج، البته مطابقت خواهد داشت.

3) و در نهایت، کل عبارت. اگر پس از آن:

برای خلاص شدن از شر کسر، صورت و مخرج را در عبارت مزدوج به مخرج ضرب می کنیم. با این حال، برای اهداف درخواست تفاوت فرمول های مربعباید مقدماتی باشد (و حتما!)قسمت واقعی منفی را در جایگاه دوم قرار دهید:

و حالا قانون کلیدی:

در هیچ موردی ما عجله نمی کنیم! بهتر است آن را ایمن بازی کنید و یک مرحله اضافی را تجویز کنید.
در عبارات، معادلات و سیستم های دارای اعداد مختلط، محاسبات شفاهی متکبرانه است مملو از همیشه!

در مرحله آخر یک انقباض خوب وجود داشت و این فقط یک علامت عالی است.

توجه داشته باشید : به طور دقیق، تقسیم عدد مختلط بر عدد مختلط 50 در اینجا انجام شد (به یاد بیاورید). من تا به حال در مورد این نکته سکوت کردم و کمی بعد در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

بیایید دستاورد خود را با حرف مشخص کنیم

بیایید نتیجه را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. به طور کلی، در اینجا می توانید بدون نقاشی انجام دهید، اما به محض اینکه لازم باشد، تکمیل آن در حال حاضر تا حدودی منطقی تر است:

مدول یک عدد مختلط را محاسبه کنید:

اگر نقاشی را در مقیاس 1 واحد انجام دهید. \u003d 1 سانتی متر (2 سلول تتراد)، سپس مقدار حاصل را با استفاده از یک خط کش معمولی به راحتی می توان بررسی کرد.

بیایید یک استدلال پیدا کنیم. از آنجایی که عدد در ربع مختصات 2 قرار دارد، پس:

زاویه به سادگی توسط یک نقاله بررسی می شود. این مزیت بدون شک نقاشی است.

بدین ترتیب: - عدد مورد نظر به صورت مثلثاتی.

بیایید بررسی کنیم:
، که قرار بود تایید شود.

یافتن مقادیر ناآشنا از سینوس و کسینوس توسط آن راحت است جدول مثلثاتی.

پاسخ:

یک مثال مشابه برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 2

ساده سازی بیان ، جایی که . عدد حاصل را روی صفحه مختلط رسم کرده و به صورت نمایی بنویسید.

سعی کنید از آموزش ها غافل نشوید. آنها ممکن است ساده به نظر برسند، اما بدون آموزش، "ورود به گودال" نه تنها آسان، بلکه بسیار آسان است. پس بیایید دستمان را بگیریم.

اغلب مشکل بیش از یک راه حل را امکان پذیر می کند:

مثال 3

محاسبه کنید اگر،

راه حل: اول از همه به شرط اصلی توجه کنیم - یک عدد به صورت جبری و دیگری به صورت مثلثاتی و حتی با درجه ارائه می شود. بیایید بلافاصله آن را به شکلی آشناتر بازنویسی کنیم: .

محاسبات به چه صورت باید انجام شود؟ این عبارت، بدیهی است که شامل ضرب اول و افزایش بیشتر به توان 10 در است فرمول De Moivre، که برای شکل مثلثاتی یک عدد مختلط فرموله شده است. بنابراین، تبدیل عدد اول منطقی تر به نظر می رسد. ماژول و آرگومان آن را بیابید:

از قانون ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی استفاده می کنیم:
اگر پس از آن

با درست کردن کسر، به این نتیجه می رسیم که می توان 4 چرخش را "پیچاند". (خوشحالم.):

راه دوم برای حلاین است که عدد 2 را به شکل جبری ترجمه کنید ، ضرب را به صورت جبری انجام دهید، نتیجه را به صورت مثلثاتی ترجمه کنید و از فرمول De Moivre استفاده کنید.

همانطور که می بینید، یک اقدام "اضافی". کسانی که مایلند می توانند راه حل را تا انتها دنبال کنند و از مطابقت نتایج مطمئن شوند.

شرط چیزی در مورد شکل عدد مختلط حاصل نمی گوید، بنابراین:

پاسخ:

اما "برای زیبایی" یا در صورت تقاضا، نتیجه را می توان به راحتی به شکل جبری نشان داد:

بدون کمک دیگری:

مثال 4

ساده سازی بیان

در اینجا لازم به یادآوری است اقدامات با قدرت، اگرچه هیچ قانون مفیدی در دستورالعمل آموزشی وجود ندارد، اما در اینجا آمده است:.

و یک نکته مهم دیگر: مثال را می توان در دو سبک حل کرد. اولین گزینه کار با آن است دواعداد و قرار دادن با کسر. گزینه دوم نمایش هر عدد در فرم است ضریب دو عدد: و از شر چهارطبقه خلاص شوید. از منظر رسمی، نحوه تصمیم گیری فرقی نمی کند، اما یک تفاوت معنادار وجود دارد! لطفا خوب در نظر بگیرید:
یک عدد مختلط است؛
ضریب دو عدد مختلط (و) است، با این حال، بسته به زمینه، می توان این را نیز گفت: عددی که به عنوان ضریب دو عدد مختلط نشان داده می شود.

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

عبارات خوب هستند، اما معادلات بهتر هستند:

معادلات با ضرایب مختلط

تفاوت آنها با معادلات "معمولی" چیست؟ ضرایب =)

با توجه به نکته فوق، اجازه دهید با این مثال شروع کنیم:

مثال 5

معادله را حل کنید

و مقدمه ای فوری در تعقیب داغ: در اصل قسمت راستمعادله به عنوان ضریب دو عدد مختلط (و 13) قرار می گیرد و بنابراین بازنویسی شرط با عدد بد است (حتی اگر خطایی ایجاد نکند). به هر حال، این تفاوت به وضوح در کسرها دیده می شود - اگر، به طور نسبی، , پس این مقدار در درجه اول به عنوان درک می شود ریشه پیچیده "کامل" معادله، و نه به عنوان مقسوم علیه عدد، و حتی بیشتر از آن - نه به عنوان بخشی از عدد!

راه حل، در اصل، می توان آن را مرحله به مرحله نیز مرتب کرد، اما در این مورد بازی ارزش شمع را ندارد. وظیفه اولیه ساده کردن هر چیزی است که حاوی "Z" مجهول نیست، در نتیجه معادله به شکل کاهش می یابد:

با اطمینان کسر متوسط را ساده کنید:

نتیجه را به سمت راست منتقل می کنیم و تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید : و باز هم توجه شما را به نکته معنی دار جلب می کنم - در اینجا عدد را از عدد کم نکردیم بلکه کسرها را به یک مخرج مشترک جمع کردیم! لازم به ذکر است که در حال حاضر در طول راه حل، کار با اعداد ممنوع نیست: اما در مثال مورد بررسی چنین سبکی بیشتر مضر است تا مفید =)

طبق قاعده تناسب، «ز» را بیان می کنیم:

اکنون می توانید دوباره در عبارت الحاقی تقسیم و ضرب کنید، اما اعداد مشکوک مشابه صورت و مخرج حرکت زیر را نشان می دهد:

پاسخ:

برای اهداف تأیید، مقدار حاصل را در سمت چپ معادله اصلی جایگزین می‌کنیم و ساده‌سازی‌ها را انجام می‌دهیم:

- سمت راست معادله اصلی به دست می آید، بنابراین ریشه به درستی پیدا می شود.

… حالا-اکنون… من چیز جالب‌تری برای شما انتخاب می‌کنم… صبر کنید:

مثال 6

معادله را حل کنید

این معادله به شکل کاهش می یابد و بنابراین خطی است. اشاره، من فکر می کنم، واضح است - آن را دنبال کنید!

البته ... چگونه می توانید بدون آن زندگی کنید:

معادله درجه دوم با ضرایب مختلط

روی درس اعداد مختلط برای آدمک هاما آموختیم که یک معادله درجه دوم با ضرایب واقعی می تواند ریشه های پیچیده مزدوج داشته باشد، پس از آن یک سوال منطقی مطرح می شود: در واقع چرا ضرایب خود نمی توانند پیچیده باشند؟ من فرموله خواهم کرد مورد کلی:

معادله درجه دوم با ضرایب مختلط دلخواه (1 یا 2 مورد از آنها یا هر سه به طور خاص ممکن است معتبر باشند)این دارد دو و فقط دوریشه های پیچیده (احتمالاً یکی یا هر دو معتبر است). در حالی که ریشه ها (هم واقعی و هم با قسمت خیالی غیر صفر)ممکن است منطبق باشد (معدد باشد).

معادله درجه دوم با ضرایب مختلط به همان روش حل می شود معادله "مدرسه".، با تفاوت هایی در تکنیک محاسباتی:

مثال 7

ریشه ها را پیدا کنید معادله درجه دوم

راه حل: واحد خیالی در وهله اول است و اصولاً می توانید از شر آن خلاص شوید (ضرب دو طرف در )اما نیاز خاصی به این کار وجود ندارد.

برای راحتی، ضرایب را می نویسیم:

ما "منهای" عضو رایگان را از دست نمی دهیم! ... ممکن است برای همه روشن نباشد - معادله را به شکل استاندارد بازنویسی می کنم :

بیایید تفکیک کننده را محاسبه کنیم:

مانع اصلی اینجاست:

استفاده از فرمول کلی برای استخراج ریشه (به پاراگراف آخر مقاله مراجعه کنید اعداد مختلط برای آدمک ها) با مشکلات جدی مرتبط با استدلال عدد مختلط رادیکال پیچیده است (خودت ببین). اما یک راه دیگر، "جبری" وجود دارد! ما به دنبال ریشه در شکل زیر خواهیم بود:

بیایید هر دو طرف را مربع کنیم:

دو عدد مختلط در صورتی مساوی هستند که اجزای واقعی و فرضی آنها برابر باشند. بنابراین، سیستم زیر را دریافت می کنیم:

حل سیستم با انتخاب آسانتر است (روش کاملتر این است که از معادله 2 بیان کنید - در 1 جایگزین کنید، معادله دو درجه ای را بدست آورید و حل کنید). با فرض اینکه نویسنده مشکل یک هیولا نیست، فرض می کنیم که اعداد صحیح هستند. از معادله 1 نتیجه می شود که "x" مدولبیشتر از "y". علاوه بر این، محصول مثبت به ما می گوید که مجهولات از یک علامت هستند. با توجه به موارد فوق و با تمرکز بر معادله 2، تمام جفت هایی که با آن مطابقت دارند را یادداشت می کنیم:

بدیهی است که دو جفت آخر معادله 1 سیستم را برآورده می کنند، بنابراین:

یک بررسی میانی ضرری ندارد:

که قرار بود بررسی شود.

به عنوان یک ریشه "کار"، می توانید انتخاب کنید هرمعنی واضح است که بهتر است نسخه را بدون "معایب" بگیرید:

ما ریشه ها را می یابیم، ضمناً فراموش نمی کنیم که:

پاسخ:

بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه های یافت شده معادله را برآورده می کنند یا خیر :

1) جایگزین:

برابری صحیح

2) جایگزین:

برابری صحیح

بنابراین، راه حل به درستی پیدا می شود.

با الهام از مشکلی که اکنون در مورد آن بحث شد:

مثال 8

ریشه های معادله را بیابید

توجه داشته باشید که ریشه دوم از کاملا پیچیدهاعداد به طور کامل و با استفاده از فرمول کلی استخراج می شوند ، جایی که ، بنابراین هر دو روش در نمونه نشان داده شده است. دومین نکته مفید مربوط به این واقعیت است که استخراج اولیه ریشه از ثابت به هیچ وجه راه حل را ساده نمی کند.

و اکنون می توانید استراحت کنید - در این مثال، با کمی ترس پیاده خواهید شد :)

مثال 9

معادله را حل کنید و بررسی کنید

راه حل و پاسخ در پایان درس.

پاراگراف پایانی مقاله به این موضوع اختصاص دارد

سیستم معادلات با اعداد مختلط

ما آرام شدیم و... فشار نمی‌آوریم =) بیایید ساده‌ترین مورد را در نظر بگیریم - یک سیستم دو نفره معادلات خطیبا دو مجهول:

مثال 10

سیستم معادلات را حل کنید. پاسخ را به صورت جبری و نمایی ارائه دهید، ریشه ها را در نقاشی به تصویر بکشید.

راه حل: خود شرط نشان می دهد که سیستم دارای است تنها تصمیم، یعنی باید دو عدد را پیدا کنیم که برآورده شوند به هرمعادله سیستم

این سیستم را واقعاً می توان به روشی "کودکانه" حل کرد (یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید) ، اما استفاده از آن بسیار راحت تر است فرمول های کرامر. محاسبه کنید تعیین کننده اصلیسیستم های:

، بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

باز هم می گویم که بهتر است عجله نکنید و مراحل را تا حد امکان دقیق تجویز کنید:

صورت و مخرج را در یک واحد فرضی ضرب می کنیم و ریشه اول را بدست می آوریم:

به همین ترتیب: