14.3 نقطه در بی نهایت به عنوان یک نقطه منفرد تابعی از یک متغیر مختلط

پیشگفتار

تخصیص صحیح زمان و تلاش برای آماده شدن برای بخش های نظری و عملی یک آزمون یا گواهینامه پودمانی بسیار دشوار است، به خصوص که همیشه زمان کافی در طول جلسه وجود ندارد. و همانطور که تمرین نشان می دهد، همه نمی توانند با این کار کنار بیایند. در نتیجه، در طول امتحان، برخی از دانش آموزان به درستی مسائل را حل می کنند، اما برای پاسخ دادن به ساده ترین سؤالات نظری مشکل دارند، در حالی که برخی دیگر می توانند یک قضیه را تدوین کنند، اما نمی توانند آن را به کار ببرند.

توصیه‌های روش‌شناختی حاضر برای آمادگی برای آزمون درس تئوری توابع متغیر پیچیده (TFV) تلاشی برای رفع این تناقض و اطمینان از تکرار همزمان مطالب نظری و عملی درس است. با هدایت اصل «نظریه بدون عمل مرده است، عمل بدون نظریه کور است»، آنها هم مواضع نظری دوره را در سطح تعاریف و فرمول‌بندی‌ها و هم نمونه‌هایی را در بر می‌گیرند که کاربرد هر موضع نظری را نشان می‌دهند و در نتیجه آن را ایجاد می‌کنند. راحت تر به خاطر سپردن و فهمیدن

هدف از توصیه های روش شناختی پیشنهادی کمک به دانش آموز برای آمادگی برای امتحان در سطح پایه است. به عبارت دیگر، راهنمای کار گسترده ای شامل نکات اصلی مورد استفاده در کلاس های دوره TFKT و ضروری در انجام تکالیف و آمادگی برای فعالیت های کنترلی تدوین شده است. علاوه بر کار مستقل دانش آموزان، این نشریه آموزشی الکترونیکی می تواند هنگام برگزاری کلاس ها به صورت تعاملی با استفاده از یک برد الکترونیکی یا برای قرار دادن در یک سیستم آموزش از راه دور استفاده شود.

لطفا توجه داشته باشید که این اثر جایگزین کتاب های درسی یا یادداشت های سخنرانی نمی شود. برای مطالعه عمیق مطالب، توصیه می شود به بخش های مربوطه نشریه منتشر شده در دانشگاه فنی دولتی مسکو مراجعه کنید. N.E. کتاب درسی پایه باومن.

در پایان راهنما فهرستی از ادبیات توصیه شده و نمایه موضوعی وجود دارد که شامل تمام موارد برجسته شده در متن است. کج با حروف درشتمقررات. این فهرست شامل پیوندهایی به بخش هایی است که در آن این اصطلاحات به طور دقیق تعریف یا توصیف شده اند و نمونه هایی برای نشان دادن استفاده از آنها ارائه شده است.

این راهنما برای دانشجویان سال دوم تمام دانشکده های MSTU در نظر گرفته شده است. N.E. باومن.

1. شکل جبری نوشتن یک عدد مختلط

ضبط شکل z \u003d x + iy، که در آن x، y اعداد واقعی هستند، i یک واحد خیالی است (یعنی i 2 = - 1)

شکل جبری عدد مختلط z نامیده می شود. در این حالت x را قسمت واقعی عدد مختلط می نامند و با Re z نشان می دهند (x = Re z)، y را قسمت خیالی عدد مختلط می نامند و با Im z نشان می دهند (y = Im z).

مثال. عدد مختلط z = 4− 3i دارای قسمت واقعی Rez = 4 و قسمت خیالی Imz = − 3 است.

2. صفحه اعداد مختلط

AT تئوری های توابع یک متغیر مختلط را در نظر بگیریدصفحه اعداد مختلط، که یا نشان داده می شود یا از حروف نشان دهنده اعداد مختلط z و w و ... استفاده می شود.

محور افقی صفحه مختلط نامیده می شود محور واقعی، اعداد واقعی روی آن z \u003d x + 0i \u003d x قرار دارند.

محور عمودی صفحه مختلط را محور خیالی می گویند، آن را دارد

3. اعداد مزدوج مختلط

اعداد z = x + iy و z = x − iy نامیده می شوند مزدوج پیچیده. در صفحه مختلط، آنها با نقاطی مطابقت دارند که نسبت به محور واقعی متقارن هستند.

4. عملیات با اعداد مختلط به صورت جبری

4.1 جمع اعداد مختلط

بنابراین، عملیات ضرب اعداد مختلط با در نظر گرفتن این واقعیت که i 2 = − 1 است، مشابه عملیات ضرب دوجمله‌ای جبری است.

طرح درس.

1. لحظه سازمانی.

2. ارائه مطالب.

3. تکالیف.

4. جمع بندی درس.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

II. ارائه مطالب.

انگیزه.

گسترش مجموعه اعداد حقیقی شامل این واقعیت است که اعداد جدید (خیالی) به اعداد واقعی اضافه می شوند. معرفی این اعداد با عدم امکان استخراج ریشه از یک عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی مرتبط است.

معرفی مفهوم عدد مختلط.

اعداد خیالی که اعداد حقیقی را با آنها تکمیل می کنیم به صورت نوشته می شوند دو، جایی که منواحد خیالی است و i 2 = - 1.

بر این اساس تعریف زیر را از عدد مختلط بدست می آوریم.

تعریف. عدد مختلط بیانی از فرم است a+bi، جایی که آو باعداد واقعی هستند در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

الف) دو عدد مختلط a 1 + b 1 iو a 2 + b 2 iبرابر اگر و فقط اگر a 1 = a 2, b1=b2.

ب) جمع اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ج) ضرب اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

شکل جبری یک عدد مختلط.

نوشتن یک عدد مختلط در فرم a+biشکل جبری یک عدد مختلط نامیده می شود که در آن آ- بخش واقعی دوقسمت خیالی است و بیک عدد واقعی است

عدد مختلط a+biدر صورتی که اجزای واقعی و خیالی آن برابر با صفر باشند برابر با صفر در نظر گرفته می شود: a=b=0

عدد مختلط a+biدر b = 0به عنوان یک عدد واقعی در نظر گرفته می شود آ: a + 0i = a.

عدد مختلط a+biدر a = 0صرفاً خیالی نامیده می شود و نشان داده می شود دو: 0 + bi = bi.

دو عدد مختلط z = a + biو = a – bi، که فقط در علامت قسمت خیالی با هم تفاوت دارند، مزدوج نامیده می شوند.

اعمال روی اعداد مختلط به شکل جبری.

عملیات زیر را می توان بر روی اعداد مختلط به صورت جبری انجام داد.

1) اضافه.

تعریف. مجموع اعداد مختلط z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 iیک عدد مختلط نامیده می شود z، که قسمت واقعی آن برابر است با مجموع اجزای واقعی z1و z2، و قسمت خیالی مجموع اجزای خیالی اعداد است z1و z2، به این معنا که z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

شماره z1و z2اصطلاحات نامیده می شوند.

جمع اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:

1º. جابجایی: z1 + z2 = z2 + z1.

2 درجه انجمنی: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3 درجه. عدد مختلط -a -biمتضاد یک عدد مختلط نامیده می شود z = a + bi. عدد مختلط مخالف عدد مختلط z، نشان داده شده است -z. مجموع اعداد مختلط zو -zبرابر با صفر است: z + (-z) = 0

مثال 1: اضافه کنید (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) تفریق.

تعریف.از عدد مختلط کم کنید z1عدد مختلط z2 z،چی z + z 2 = z 1.

قضیه. تفاوت اعداد مختلط وجود دارد و علاوه بر این، منحصر به فرد است.

مثال 2: تفریق (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) ضرب.

تعریف. حاصل ضرب اعداد مختلط z 1 =a 1 +b 1 iو z 2 \u003d a 2 + b 2 iیک عدد مختلط نامیده می شود z، با برابری تعریف می شود: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

شماره z1و z2عوامل نامیده می شوند.

ضرب اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:

1º. جابجایی: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2 درجه انجمنی: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3 درجه. توزیع ضرب با توجه به جمع:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4 درجه z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2یک عدد واقعی است

در عمل، ضرب اعداد مختلط طبق قاعده ضرب مجموع در مجموع و جداسازی اجزای واقعی و خیالی انجام می شود.

در مثال زیر ضرب اعداد مختلط را به دو صورت در نظر بگیرید: با قانون و با ضرب مجموع در مجموع.

مثال 3: ضرب کنید (2 + 3i) (5 - 7i).

1 راه. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2× 5 - 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2 راه. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) تقسیم.

تعریف. یک عدد مختلط را تقسیم کنید z1به عدد مختلط z2، یعنی یافتن چنین عدد مختلطی z، چی z z 2 = z 1.

قضیه.ضریب اعداد مختلط وجود دارد و منحصر به فرد است اگر z2 ≠ 0 + 0i.

در عمل، ضریب اعداد مختلط با ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج به دست می آید.

اجازه دهید z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i، سپس

.

در مثال زیر تقسیم را با فرمول و قانون ضرب را بر مزدوج مخرج انجام می دهیم.

مثال 4. یک ضریب پیدا کنید .

5) افزایش به توان عدد صحیح مثبت.

الف) قوای وحدت خیالی.

بهره گیری از برابری i 2 \u003d -1، تعریف هر عدد صحیح مثبت واحد خیالی آسان است. ما داریم:

i 3 \u003d i 2 i \u003d -i،

i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

i 5 \u003d i 4 i \u003d i,

i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1،

i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i،

i 8 = i 6 i 2 = 1و غیره.

این نشان می دهد که درجه ارزش دارد که در، جایی که n- یک عدد صحیح مثبت، زمانی که شاخص افزایش می یابد، به طور دوره ای تکرار می شود 4 .

بنابراین، برای افزایش تعداد منبه توان عدد صحیح مثبت، توان را بر تقسیم کنید 4 و ایستاده منبه قدرتی که توان آن باقیمانده تقسیم است.

مثال 5 محاسبه کنید: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1،

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

ب) افزایش یک عدد مختلط به یک توان صحیح مثبت طبق قاعده افزایش یک دوجمله ای به توان مربوطه انجام می شود، زیرا این یک مورد خاص از ضرب عوامل مختلط یکسان است.

مثال 6 محاسبه کنید: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

صفحه 2 از 3

شکل جبری یک عدد مختلط.
جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد مختلط.

ما قبلاً با شکل جبری یک عدد مختلط ملاقات کرده ایم - این شکل جبری یک عدد مختلط است. چرا از فرم صحبت می کنیم؟ واقعیت این است که اشکال مثلثاتی و نمایی اعداد مختلط نیز وجود دارد که در پاراگراف بعدی به آنها پرداخته خواهد شد.

عملیات با اعداد مختلط به خصوص دشوار نیست و تفاوت کمی با جبر معمولی دارد.

جمع اعداد مختلط

مثال 1

دو عدد مختلط را اضافه کنید،

برای جمع دو عدد مختلط، قسمت واقعی و خیالی آنها را جمع کنید:

ساده است، اینطور نیست؟ عمل به قدری واضح است که نیازی به نظرات اضافی ندارد.

به این روش ساده، می توانید مجموع هر تعداد عبارت را پیدا کنید: مجموع اجزای واقعی و مجموع اجزای خیالی.

برای اعداد مختلط، قانون کلاس اول درست است: - از ترتیب مجدد شرایط، مجموع تغییر نمی کند.

تفریق اعداد مختلط

مثال 2

تفاوت اعداد مختلط را پیدا کنید و اگر

عمل شبیه به جمع است، تنها ویژگی این است که زیرتراژ باید در براکت گرفته شود، و سپس، به طور استاندارد، این براکت ها را با تغییر علامت باز کنید:

نتیجه نباید گیج شود، عدد حاصل دارای دو قسمت است نه سه قسمت. فقط قسمت واقعی یک جزء است: . برای وضوح، پاسخ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: .

بیایید تفاوت دوم را محاسبه کنیم:

در اینجا بخش واقعی نیز یک جزء است:

برای جلوگیری از هرگونه دست کم گرفتن، مثالی کوتاه با قسمت خیالی «بد» می زنم: . در اینجا شما نمی توانید بدون پرانتز انجام دهید.

ضرب اعداد مختلط

لحظه ای فرا رسیده است تا شما را با برابری معروف آشنا کنیم:

مثال 3

حاصل ضرب اعداد مختلط را پیدا کنید،

بدیهی است که کار باید به این صورت نوشته شود:

چه چیزی پرسیده می شود؟ خود را پیشنهاد می کند که براکت ها را طبق قانون ضرب چندجمله ای ها باز کند. اینطوری باید کرد! همه عملیات جبری برای شما آشنا هستند، مهمترین چیزی که باید به خاطر بسپارید این است و مراقب باشید.

بیایید، omg، قانون مدرسه برای ضرب چند جمله ای ها را تکرار کنیم: برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله چند جمله ای دیگر ضرب کنید.

مفصل خواهم نوشت:

امیدوارم برای همه روشن شده باشد

توجه، و دوباره توجه، اغلب اشتباه در نشانه ها انجام می شود.

حاصل جمع اعداد مختلط نیز مانند مجموع قابل تغییر است، یعنی برابری صادق است: .

در ادبیات آموزشی و در وب، به راحتی می توان فرمول خاصی برای محاسبه حاصل ضرب اعداد مختلط پیدا کرد. اگر می خواهید از آن استفاده کنید، اما به نظر من رویکرد ضرب چندجمله ای جهانی تر و واضح تر است. من فرمول را نمی دهم، فکر می کنم در این حالت سر را با خاک اره مسدود می کند.

تقسیم اعداد مختلط

مثال 4

با توجه به اعداد مختلط، . خصوصی پیدا کنید

بیایید یک ضریب بسازیم:

تقسیم اعداد انجام می شود با ضرب مخرج و صورت در عبارت مزدوج مخرج.

فرمول ریشو را به یاد می آوریم و به مخرج خود نگاه می کنیم: . مخرج قبلاً دارد، بنابراین عبارت مزدوج در این مورد است، یعنی

طبق قانون، مخرج باید در ضرب شود و برای اینکه چیزی تغییر نکند، صورت را در همان عدد ضرب کنید:

مفصل خواهم نوشت:

من یک مثال "خوب" را انتخاب کردم ، اگر دو عدد "از بولدوزر" بگیرید ، در نتیجه تقسیم تقریباً همیشه کسری دریافت خواهید کرد ، چیزی شبیه به.

در برخی موارد، قبل از تقسیم، توصیه می شود کسر را ساده کنید، به عنوان مثال، ضریب اعداد را در نظر بگیرید:. قبل از تقسیم، منهای غیر ضروری را خلاص می کنیم: در صورت و مخرج، منهای را از داخل پرانتز خارج می کنیم و این منفی ها را کاهش می دهیم: . برای کسانی که دوست دارند حل کنند، پاسخ صحیح را می دهم:

به ندرت، اما چنین وظیفه ای وجود دارد:

مثال 5

یک عدد مختلط به شما داده می شود. عدد داده شده را به صورت جبری (یعنی به صورت) بنویسید.

دریافت یکسان است - مخرج و صورت را در عبارت مزدوج به مخرج ضرب می کنیم. بیایید دوباره به فرمول نگاه کنیم. مخرج قبلاً دارد، بنابراین مخرج و صورت باید در عبارت مزدوج ضرب شوند، یعنی در:

در عمل، آنها به راحتی می توانند یک مثال فانتزی ارائه دهند که در آن شما باید عملیات زیادی را با اعداد مختلط انجام دهید. وحشت نکنید: مراقب باش، قوانین جبر، ترتیب معمول جبری عملیات را دنبال کنید و به یاد داشته باشید که .

شکل مثلثاتی و نمایی اعداد مختلط

در این قسمت بیشتر به شکل مثلثاتی یک عدد مختلط می پردازیم. شکل نمایی در کارهای عملی بسیار کمتر رایج است. توصیه می کنم دانلود و در صورت امکان چاپ جداول مثلثاتی، مطالب روش شناختی را در صفحه پیدا کنید فرمول ها و جداول ریاضی. بدون میز نمی توانید راه زیادی را طی کنید.

هر عدد مختلط (به جز صفر) را می توان به صورت مثلثاتی نوشت:
، کجاست مدول عدد مختلط، آ - آرگومان عدد مختلط. فرار نکنید، این آسان تر از آن است که فکر می کنید.

یک عدد روی صفحه مختلط رسم کنید. برای قطعیت و سادگی توضیحات، آن را در ربع مختصات اول قرار می دهیم، یعنی. ما فکر میکنیم که:

مدول یک عدد مختلطفاصله مبدا مختصات تا نقطه متناظر صفحه مختلط است. به زبان ساده، مدول طول استبردار شعاع که در نقاشی با رنگ قرمز مشخص شده است.

مدول یک عدد مختلط معمولاً با: یا نشان داده می شود

با استفاده از قضیه فیثاغورث، به راحتی می توان فرمولی برای یافتن مدول یک عدد مختلط بدست آورد: . این فرمول معتبر است برای هرچیبه معنای «الف» و «بودن».

توجه داشته باشید: مدول یک عدد مختلط تعمیم مفهوم است مدول عدد واقعی، به عنوان فاصله از نقطه تا مبدا.

آرگومان یک عدد مختلطتماس گرفت گوشهبین محور مثبتمحور واقعی و بردار شعاع رسم شده از مبدا تا نقطه مربوطه. آرگومان برای مفرد تعریف نشده است: .

اصل مورد بررسی در واقع مشابه است مختصات قطبی، که در آن شعاع قطبی و زاویه قطبی به طور منحصر به فرد یک نقطه را تعریف می کنند.

آرگومان یک عدد مختلط معمولاً با: یا نشان داده می شود

از ملاحظات هندسی، فرمول زیر برای یافتن استدلال به دست می آید:
. توجه!این فرمول فقط در نیم صفحه سمت راست کار می کند! اگر عدد مختلط در ربع مختصات 1 یا 4 قرار نگیرد، فرمول کمی متفاوت خواهد بود. این موارد را نیز بررسی خواهیم کرد.

اما ابتدا ساده ترین مثال ها را در نظر بگیرید، زمانی که اعداد مختلط روی محورهای مختصات قرار دارند.

مثال 7

بیایید طراحی را اجرا کنیم:

در واقع تکلیف شفاهی است. برای وضوح، شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را بازنویسی می کنم:

بیایید به شدت به یاد داشته باشیم، ماژول - طول(که همیشه غیر منفی است)، استدلال است گوشه.

1) عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید. بدیهی است که محاسبه رسمی طبق فرمول: .
واضح است که (عدد مستقیماً روی نیم محور مثبت واقعی قرار دارد). بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است: .

پاک کردن مانند روز، عمل بررسی معکوس:

2) عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید. بدیهی است که محاسبه رسمی طبق فرمول: .
بدیهی است (یا 90 درجه). در نقاشی، گوشه با رنگ قرمز مشخص شده است. بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است: .

با استفاده از جدول مقادیر توابع مثلثاتی، به راحتی می توان شکل جبری یک عدد را (در عین حال با بررسی) برگرداند:

3) عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید. بدیهی است که محاسبه رسمی طبق فرمول: .
بدیهی است (یا 180 درجه). در نقاشی، زاویه با رنگ آبی نشان داده شده است. بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است: .

معاینه:

4) و مورد جالب چهارم. بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید. بدیهی است که محاسبه رسمی طبق فرمول: .

استدلال را می توان به دو صورت نوشت: راه اول: (270 درجه) و بر این اساس: . معاینه:

با این حال، قانون زیر استانداردتر است: اگر زاویه بیشتر از 180 درجه باشد، سپس با علامت منفی و جهت مخالف ("پیمایش") زاویه نوشته می شود: (منهای 90 درجه)، در نقاشی زاویه با رنگ سبز مشخص شده است. به راحتی می توان آن را دید و همان زاویه است.

بنابراین، ورودی تبدیل می شود:

توجه!در هیچ موردی نباید از یکنواختی کسینوس، عجیب بودن سینوس استفاده کنید و "ساده سازی" بیشتر رکورد را انجام دهید:

به هر حال، یادآوری ظاهر و خواص توابع مثلثاتی و معکوس مفید است، مواد مرجع در آخرین پاراگراف های صفحه هستند. نمودارها و خواص توابع ابتدایی پایه. و یادگیری اعداد مختلط بسیار ساده تر است!

در طراحی ساده ترین مثال ها باید به این صورت نوشته شود: «بدیهی است که ماژول ... واضح است که آرگومان ... است». این واقعا واضح است و به راحتی به صورت شفاهی حل می شود.

بیایید به موارد رایج تر برویم. همانطور که قبلاً اشاره کردم ، ماژول مشکلی ندارد ، همیشه باید از فرمول استفاده کنید. اما فرمول های یافتن آرگومان متفاوت خواهد بود، بستگی به این دارد که عدد در کدام یک از ربع مختصات قرار داشته باشد. در این مورد، سه گزینه ممکن است (بازنویسی آنها در دفترچه یادداشت مفید است):

1) اگر (ربع مختصات 1 و 4، یا نیمه صفحه سمت راست)، آرگومان باید با استفاده از فرمول پیدا شود.

2) اگر (یک چهارم مختصات دوم)، آرگومان باید با فرمول پیدا شود .

3) اگر (سه ماهه مختصات 3)، آرگومان باید با فرمول پیدا شود .

مثال 8

اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی بیان کنید: , , , .

به محض اینکه فرمول های آماده وجود دارد، نقاشی لازم نیست. اما یک نکته وجود دارد: وقتی از شما خواسته می شود که یک عدد را به صورت مثلثاتی ارائه کنید، پس به هر حال طراحی بهتر است انجام شود. واقعیت این است که معلمان اغلب یک راه حل بدون نقاشی را رد می کنند، عدم وجود نقاشی دلیل جدی برای منهای و شکست است.

آه، صد سال است که با دست چیزی نکشیده ام، دست نگه دارید:

مثل همیشه کثیف شد =)

من اعداد را ارائه خواهم کرد و به صورت مختلط، شماره اول و سوم برای تصمیم گیری مستقل خواهد بود.

بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید.