ریاضیات و انفورماتیک. راهنمای مطالعه در طول دوره

می توانید از این فرم جستجو برای یافتن کار مناسب استفاده کنید. اگر می دانید یک کلمه، یک عبارت از کار یا شماره آن را وارد کنید.

فواصل اطمینان: فهرست راه حل های مشکل

فواصل اطمینان: نظریه و مسائل

درک فواصل اطمینان

اجازه دهید به طور خلاصه مفهوم فاصله اطمینان را معرفی کنیم که
1) برخی از پارامترهای یک نمونه عددی را مستقیماً از داده های خود نمونه تخمین می زند.
2) مقدار این پارامتر را با احتمال γ پوشش می دهد.

فاصله اطمینانبرای پارامتر ایکس(با احتمال γ) فاصله ای از شکل نامیده می شود، به طوری که ، و مقادیر به نوعی از نمونه محاسبه می شوند.

معمولاً در مسائل کاربردی، احتمال اطمینان برابر با γ = 0.9 در نظر گرفته می شود. 0.95; 0.99.

نمونه ای از اندازه n را در نظر بگیرید جمعیت، احتمالاً طبق قانون توزیع عادی توزیع شده است. اجازه دهید نشان دهیم با چه فرمول هایی یافت می شود فواصل اطمینان برای پارامترهای توزیع - انتظارات ریاضیو پراکندگی (انحراف معیار).

فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی

مورد 1واریانس توزیع شناخته شده و برابر است. سپس فاصله اطمینان برای پارامتر آبه نظر می رسد:
تیاز جدول توزیع لاپلاس با نسبت تعیین می شود

مورد 2واریانس توزیع ناشناخته است؛ یک برآورد نقطه ای از واریانس از نمونه محاسبه شد. سپس فاصله اطمینان برای پارامتر آبه نظر می رسد:
، جایی که میانگین نمونه از نمونه، پارامتر محاسبه می شود تیاز جدول توزیع دانش آموز تعیین می شود

مثال.بر اساس داده‌های 7 اندازه‌گیری با یک مقدار معین، میانگین نتایج اندازه‌گیری برابر با 30 و واریانس نمونه برابر با 36 به دست آمد. مرزهایی را که در آن مقدار واقعی مقدار اندازه‌گیری شده وجود دارد با پایایی 0.99 بیابید. .

راه حل.بیایید پیدا کنیم . سپس محدودیت های اطمینان برای بازه حاوی مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده را می توان با فرمول پیدا کرد:
، جایی که میانگین نمونه است، واریانس نمونه است. با وصل کردن تمام مقادیر، دریافت می کنیم:

فاصله اطمینان برای واریانس

ما معتقدیم که، به طور کلی، انتظارات ریاضی ناشناخته است، و تنها یک تخمین بی‌طرفانه نقطه‌ای از واریانس شناخته شده است. سپس فاصله اطمینان به نظر می رسد:
، جایی که - کمیت های توزیع تعیین شده از جداول.

مثال.بر اساس داده های 7 آزمون، مقدار برآورد برای انحراف معیار پیدا شد s=12. با احتمال 0.9 عرض فاصله اطمینان ساخته شده برای تخمین واریانس را بیابید.

راه حل.فاصله اطمینان برای واریانس جمعیت ناشناخته را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

جایگزین کنید و دریافت کنید:


سپس عرض فاصله اطمینان 465.589-71.708=393.881 است.

فاصله اطمینان برای احتمال (درصد)

مورد 1بگذارید حجم نمونه و کسر نمونه (فرکانس نسبی) در مسئله مشخص باشد. سپس فاصله اطمینان برای کسر عمومی (احتمال واقعی) برابر است با:
، جایی که پارامتر تیاز جدول توزیع لاپلاس با نسبت تعیین می شود.

مورد 2اگر مسئله علاوه بر این اندازه کل جامعه ای را که نمونه از آن گرفته شده است بداند، فاصله اطمینان برای کسر عمومی (احتمال واقعی) را می توان با استفاده از فرمول تنظیم شده پیدا کرد:
.

مثال.مشخص است که مرزهایی را که در آن سهم کلی با احتمال منعقد می شود، بیابید.

راه حل.ما از فرمول استفاده می کنیم:

بیایید پارامتر را از شرط پیدا کنیم ، جایگزین را در فرمول دریافت می کنیم:

نمونه های دیگر از وظایف برای آمار ریاضیدر صفحه پیدا خواهید کرد

در آمار، دو نوع تخمین وجود دارد: نقطه ای و فاصله ای. تخمین نقطه اییک آماره نمونه است که برای تخمین پارامتر جامعه استفاده می شود. به عنوان مثال، میانگین نمونه یک تخمین نقطه ای از میانگین جامعه و واریانس نمونه است S2- برآورد نقطه ای واریانس جمعیت σ2. نشان داده شد که میانگین نمونه برآوردی بی طرفانه از انتظارات جامعه است. میانگین نمونه بی طرف نامیده می شود زیرا میانگین تمام نمونه ها به معنای (با حجم نمونه یکسان است n) برابر با انتظارات ریاضی عموم مردم است.

به منظور واریانس نمونه S2به یک برآوردگر بی طرفانه واریانس جمعیت تبدیل شد σ2، مخرج واریانس نمونه باید برابر باشد n – 1 ، اما نه n. به عبارت دیگر، واریانس جامعه، میانگین تمام واریانس های نمونه ممکن است.

هنگام تخمین پارامترهای جمعیت باید در نظر داشت که آمارهای نمونه مانند ، به نمونه های خاصی بستگی دارد. برای در نظر گرفتن این واقعیت، به دست آوردن تخمین فاصلهانتظارات ریاضی جمعیت عمومی توزیع میانگین های نمونه را تجزیه و تحلیل می کند (برای جزئیات بیشتر، نگاه کنید به). فاصله ساخته شده با یک سطح اطمینان مشخص مشخص می شود، که احتمال برآورد صحیح پارامتر واقعی جمعیت عمومی است. از فواصل اطمینان مشابهی می توان برای تخمین نسبت یک ویژگی استفاده کرد آرو توده اصلی توزیع شده از جمعیت عمومی.

دانلود یادداشت در قالب یا فرمت، نمونه ها در قالب

ساخت یک فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی جمعیت عمومی با یک انحراف معیار شناخته شده

ایجاد فاصله اطمینان برای نسبت یک صفت در جمعیت عمومی

در این بخش مفهوم فاصله اطمینان به داده های طبقه بندی شده تعمیم داده شده است. این به شما امکان می دهد سهم این صفت را در جمعیت عمومی تخمین بزنید آربا سهم نمونه آراس= X/n. همانطور که گفته شد، اگر مقادیر nآرو n(1 - p)از عدد 5 فراتر رفته، توزیع دو جمله ایرا می توان به صورت عادی تقریب زد. بنابراین، برای تخمین سهم یک صفت در جمعیت عمومی آرمی توان بازه ای ساخت که سطح اطمینان آن برابر است (1 - α)x100%.

جایی که پاس- سهم نمونه از ویژگی، برابر با ایکس/n، یعنی تعداد موفقیت ها تقسیم بر حجم نمونه، آر- سهم این صفت در جمعیت عمومی، زارزش بحرانی استاندارد شده است توزیع نرمال, n- اندازهی نمونه.

مثال 3بیایید فرض کنیم که از سیستم اطلاعاتنمونه ای از 100 فاکتور تکمیل شده در ماه گذشته را بازیابی کرد. فرض کنید 10 مورد از این فاکتورها نادرست است. به این ترتیب، آر= 10/100 = 0.1. سطح اطمینان 95% مربوط به مقدار بحرانی Z = 1.96 است.

بنابراین، 95 درصد احتمال دارد که بین 4.12 تا 15.88 درصد فاکتورها دارای خطا باشند.

برای یک حجم نمونه معین، به نظر می رسد فاصله اطمینان حاوی نسبت صفت در جامعه عمومی وسیع تر از یک متغیر تصادفی پیوسته باشد. این به این دلیل است که اندازه گیری یک متغیر تصادفی پیوسته حاوی اطلاعات بیشتری نسبت به اندازه گیری داده های طبقه بندی است. به عبارت دیگر، داده های طبقه بندی که فقط دو مقدار می گیرند، حاوی اطلاعات کافی برای تخمین پارامترهای توزیع آنها نیستند.

ATمحاسبه برآوردهای حاصل از یک جمعیت محدود

برآورد انتظارات ریاضی.ضریب تصحیح برای جمعیت نهایی ( fpc) برای کاهش خطای استاندارد با ضریب استفاده شد. هنگام محاسبه فواصل اطمینان برای تخمین پارامترهای جمعیت، یک ضریب تصحیح در شرایطی اعمال می شود که نمونه ها بدون جایگزینی کشیده می شوند. بنابراین، فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی، با داشتن سطح اطمینان برابر است (1 - α)x100%، با فرمول محاسبه می شود:

مثال 4برای نشان دادن کاربرد یک ضریب تصحیح برای یک جمعیت محدود، اجازه دهید به مسئله محاسبه فاصله اطمینان برای میانگین مقدار فاکتورهایی که در مثال 3 در بالا مورد بحث قرار گرفت، بازگردیم. فرض کنید شرکتی 5000 فاکتور در ماه صادر می کند، ایکس= 110.27 دلار، اس= 28.95 دلار ن = 5000, n = 100, α = 0.05، t99 = 1.9842. با توجه به فرمول (6) بدست می آوریم:

تخمین سهم ویژگیهنگام انتخاب بدون بازگشت، فاصله اطمینان برای نسبت ویژگی که دارای سطح اطمینان برابر است (1 - α)x100%، با فرمول محاسبه می شود:

فاصله اطمینانو مسائل اخلاقی

هنگام نمونه‌گیری از یک جامعه و فرمول‌بندی استنباط‌های آماری، اغلب مشکلات اخلاقی به وجود می‌آیند. نکته اصلی این است که فواصل اطمینان و تخمین های نقطه با هم توافق دارند. نمونه آمار. تخمین‌های نقطه انتشار بدون تعیین فواصل اطمینان مناسب (معمولاً در سطح اطمینان 95 درصد) و حجم نمونه‌ای که از آن استخراج شده‌اند، می‌تواند گمراه‌کننده باشد. این ممکن است به کاربر این تصور را بدهد که تخمین نقطه ای دقیقاً همان چیزی است که او برای پیش بینی ویژگی های کل جمعیت به آن نیاز دارد. بنابراین، درک این نکته ضروری است که در هر تحقیقی، تخمین های نه نقطه ای، بلکه فاصله ای باید در اولویت قرار گیرد. علاوه بر این، باید توجه ویژه ای شود انتخاب صحیحاندازه های نمونه

بیشتر اوقات، اهداف دستکاری های آماری نتایج بررسی های جامعه شناختی از جمعیت در مورد موضوعات مختلف سیاسی است. در همان زمان، نتایج نظرسنجی در صفحه اول روزنامه ها قرار می گیرد و خطای نمونه گیری و روش تجزیه و تحلیل آماری در جایی در وسط چاپ می شود. برای اثبات اعتبار برآوردهای نقطه‌ای به‌دست‌آمده، باید حجم نمونه بر اساس آن، مرزهای فاصله اطمینان و سطح معنی‌داری آن مشخص شود.

یادداشت بعدی

از مطالب کتاب لوین و همکاران آمار برای مدیران استفاده شده است. - م.: ویلیامز، 2004. - ص. 448-462

تئوری حد مرکزیبیان می کند که برای حجم نمونه به اندازه کافی بزرگ، توزیع نمونه میانگین ها را می توان با یک توزیع نرمال تقریب زد. این ویژگی به نوع توزیع جمعیت بستگی ندارد.

اغلب ارزیاب باید بازار املاک و مستغلات بخشی را که شی ارزیابی در آن قرار دارد، تجزیه و تحلیل کند. اگر بازار توسعه یابد، تجزیه و تحلیل کل مجموعه اشیاء ارائه شده می تواند دشوار باشد، بنابراین از نمونه ای از اشیاء برای تجزیه و تحلیل استفاده می شود. این نمونه همیشه همگن نیست، گاهی اوقات لازم است آن را از افراط پاک کنید - پیشنهادات بازار خیلی زیاد یا خیلی کم. برای این منظور اعمال می شود فاصله اطمینان. هدف این مطالعه- تجزیه و تحلیل مقایسه ای دو روش برای محاسبه فاصله اطمینان انجام دهید و بهترین گزینه محاسبه را هنگام کار با نمونه های مختلف در سیستم estimatica.pro انتخاب کنید.

فاصله اطمینان - بر اساس نمونه، فاصله مقادیر مشخصه محاسبه می شود که با احتمال مشخصی شامل پارامتر تخمین زده شده از جمعیت عمومی است.

منظور از محاسبه فاصله اطمینان ایجاد چنین فاصله ای از داده های نمونه است تا بتوان آن را با احتمال داده شدهکه مقدار پارامتر تخمین زده شده در این بازه است. به عبارت دیگر، فاصله اطمینان با احتمال معین حاوی مقدار مجهول کمیت برآورد شده است. هرچه این فاصله بیشتر باشد، عدم دقت بیشتر است.

روش های مختلفی برای تعیین فاصله اطمینان وجود دارد. در این مقاله 2 راه را در نظر خواهیم گرفت:

• از طریق میانه و انحراف معیار؛
• از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجو).

مراحل تحلیل مقایسه ای روش های مختلفمحاسبه CI:

1. یک نمونه داده تشکیل دهید.

2. آن را پردازش کنید روش های آماری: محاسبه میانگین، میانه، واریانس و غیره.

3. فاصله اطمینان را به دو صورت محاسبه می کنیم.

4. نمونه های تمیز شده و فواصل اطمینان به دست آمده را آنالیز کنید.

مرحله 1. نمونه گیری داده ها

نمونه با استفاده از سیستم estimatica.pro تشکیل شد. نمونه شامل 91 پیشنهاد برای فروش آپارتمان 1 اتاقه در منطقه قیمت 3 با نوع برنامه ریزی "خروشچف" بود.

جدول 1. نمونه اولیه

عکس. 1. نمونه اولیه

مرحله 2. پردازش نمونه اولیه

پردازش نمونه با روش های آماری مستلزم محاسبه مقادیر زیر است:

1. میانگین حسابی

2. میانه - عددی که نمونه را مشخص می کند: دقیقاً نیمی از عناصر نمونه بزرگتر از میانه هستند، نیمی دیگر کمتر از میانه است.

(برای نمونه ای با تعداد فرد مقادیر)

3. محدوده - تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل در نمونه

4. واریانس - برای تخمین دقیق تر تغییرات در داده ها استفاده می شود

5. انحراف استاندارد برای نمونه (از این پس RMS نامیده می شود) رایج ترین شاخص پراکندگی مقادیر تنظیم حول میانگین حسابی است.

6. ضریب تغییرات - نشان دهنده میزان پراکندگی مقادیر تنظیم است

7. ضریب نوسان - منعکس کننده نوسان نسبی مقادیر شدید قیمت ها در نمونه حول میانگین است.

جدول 2. شاخص های آماری نمونه اصلی

ضریب تغییرات، که مشخص کننده همگنی داده ها است، 12.29٪ است، اما ضریب نوسان بسیار بزرگ است. بنابراین، می توانیم بگوییم که نمونه اصلی همگن نیست، بنابراین اجازه دهید به محاسبه فاصله اطمینان برویم.

مرحله 3. محاسبه فاصله اطمینان

روش 1. محاسبه از طریق میانه و انحراف معیار.

فاصله اطمینان به شرح زیر تعیین می شود: حداقل مقدار - انحراف استاندارد از میانه کسر می شود. حداکثر مقدار - انحراف استاندارد به میانه اضافه می شود.

بنابراین، فاصله اطمینان (47179 CU؛ 60689 CU)

برنج. 2. مقادیر در بازه اطمینان 1.

روش 2. ایجاد فاصله اطمینان از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجو)

S.V. گریبوفسکی در کتاب " روش های ریاضیارزش گذاری اموال» نحوه محاسبه فاصله اطمینان از طریق ضریب دانشجو را شرح می دهد. هنگام محاسبه با این روش، خود برآوردگر باید سطح اهمیت ∝ را تعیین کند که احتمال ایجاد فاصله اطمینان را تعیین می کند. معمولاً از سطوح معنی داری 0.1 استفاده می شود. 0.05 و 0.01. مکاتبه می کنند احتمالات اطمینان 0.9; 0.95 و 0.99. با این روش، مقادیر واقعی انتظارات ریاضی و واریانس عملاً ناشناخته در نظر گرفته می‌شوند (که تقریباً همیشه در هنگام حل صحیح است. وظایف عملیرتبه بندی).

فرمول فاصله اطمینان:

n - اندازه نمونه؛

مقدار بحرانی آمار t (توزیع های دانشجویی) با سطح معنی داری ∝، تعداد درجات آزادی n-1، که توسط جداول آماری خاص یا با استفاده از MS Excel (← "آماری" → STUDRASPOBR تعیین می شود.

∝ - سطح معنی داری، 0.01 = ∝ را می گیریم.

برنج. 2. مقادیر در بازه اطمینان 2.

مرحله 4. تجزیه و تحلیل روش های مختلف برای محاسبه فاصله اطمینان

دو روش برای محاسبه فاصله اطمینان - از طریق میانه و ضریب دانشجو - منجر شد ارزش های مختلففواصل بر این اساس، دو نمونه خالص متفاوت به دست آمد.

جدول 3. شاخص های آماری برای سه نمونه.

بر اساس محاسبات انجام شده می توان گفت که مقادیر فواصل اطمینان به دست آمده با روش های مختلف با هم تلاقی می کنند، بنابراین می توانید با صلاحدید ارزیاب از هر یک از روش های محاسباتی استفاده کنید.

با این حال، ما معتقدیم که هنگام کار در سیستم estimatica.pro، توصیه می شود بسته به درجه توسعه بازار، روشی را برای محاسبه فاصله اطمینان انتخاب کنید:

• اگر بازار توسعه نیافته است، روش محاسبه را از طریق میانه و انحراف استاندارد اعمال کنید، زیرا تعداد اشیاء بازنشسته در این مورد کم است.
• اگر بازار توسعه یافته است، محاسبه را از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجویی) اعمال کنید، زیرا امکان تشکیل یک نمونه اولیه بزرگ وجود دارد.

در تهیه مقاله از:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. روش های ریاضی برای ارزیابی ارزش دارایی. مسکو، 2014

2. داده ها از سیستم estimatica.pro

فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی - این چنین فاصله ای است که از داده ها محاسبه می شود که با احتمال مشخصی انتظارات ریاضی جمعیت عمومی را در بر می گیرد. برآورد طبیعی برای انتظار ریاضی، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده آن است. بنابراین، بیشتر در طول درس از اصطلاحات "متوسط"، "مقدار متوسط" استفاده خواهیم کرد. در مسائل محاسبه فاصله اطمینان، پاسخ اغلب مورد نیاز این است که "فاصله اطمینان عدد متوسط ​​[مقدار در یک مسئله خاص] از [مقدار پایین] به [مقدار بالاتر] است". با کمک فاصله اطمینان، می توان نه تنها مقادیر متوسط، بلکه سهم یک یا ویژگی دیگر از جمعیت عمومی را نیز ارزیابی کرد. میانگین، واریانس، انحراف معیارو خطایی که از طریق آن به تعاریف و فرمول های جدید خواهیم رسید در درس تحلیل می شود نمونه و مشخصات جمعیت .

تخمین نقطه ای و بازه ای میانگین

اگر مقدار متوسط ​​جمعیت عمومی با یک عدد (نقطه) تخمین زده شود، سپس برای برآورد مجهول سایز متوسطاز جمعیت عمومی، میانگین خاصی گرفته می شود که از نمونه مشاهدات محاسبه می شود. در این حالت، مقدار میانگین نمونه - یک متغیر تصادفی - با مقدار میانگین جامعه عمومی منطبق نیست. بنابراین هنگام نشان دادن مقدار میانگین نمونه، باید خطای نمونه را نیز به طور همزمان نشان داد. خطای استاندارد به عنوان معیار خطای نمونه گیری استفاده می شود که در واحدهای مشابه میانگین بیان می شود. بنابراین اغلب از نماد زیر استفاده می شود: .

اگر برآورد میانگین لازم است با احتمال خاصی مرتبط باشد، پارامتر جمعیت عمومی مورد علاقه باید نه با یک عدد، بلکه با یک بازه تخمین زده شود. فاصله اطمینان فاصله ای است که در آن با احتمال معینی پمقدار شاخص تخمینی جمعیت عمومی پیدا می شود. فاصله اطمینان که در آن با احتمال پ = 1 - α یک متغیر تصادفی است که به صورت زیر محاسبه می شود:

,

α = 1 - پ، که در پیوست تقریباً هر کتابی در مورد آمار یافت می شود.

در عمل، میانگین و واریانس جامعه مشخص نیست، بنابراین واریانس جامعه با واریانس نمونه، و میانگین جامعه با میانگین نمونه جایگزین می‌شود. بنابراین، فاصله اطمینان در بیشتر موارد به صورت زیر محاسبه می شود:

.

از فرمول فاصله اطمینان می توان برای تخمین میانگین جمعیت استفاده کرد

• انحراف معیار جمعیت عمومی شناخته شده است.
• یا انحراف معیار جامعه مشخص نیست، اما حجم نمونه بیشتر از 30 است.

میانگین نمونه یک برآورد بی طرفانه از میانگین جامعه است. به نوبه خود، واریانس نمونه یک برآورد بی طرفانه از واریانس جمعیت نیست. برای به دست آوردن یک تخمین بی طرفانه از واریانس جامعه در فرمول واریانس نمونه، حجم نمونه nباید جایگزین شود n-1.

مثال 1اطلاعات از 100 کافه به طور تصادفی انتخاب شده در یک شهر خاص جمع آوری می شود که میانگین تعداد کارمندان در آنها 10.5 با انحراف معیار 4.6 است. فاصله اطمینان 95 درصد از تعداد کارکنان کافه را تعیین کنید.

مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد برای سطح معناداری کجاست α = 0,05 .

بنابراین، فاصله اطمینان 95 درصد برای میانگین تعداد کارکنان کافه بین 9.6 تا 11.4 بود.

مثال 2برای یک نمونه تصادفی از یک جمعیت عمومی 64 مشاهده ای، مقادیر کل زیر محاسبه شد:

مجموع مقادیر در مشاهدات،

مجموع مجذور انحراف مقادیر از میانگین .

فاصله اطمینان 95% را برای مقدار مورد انتظار محاسبه کنید.

محاسبه انحراف معیار:

,

محاسبه مقدار متوسط:

.

مقادیر موجود در عبارت را با فاصله اطمینان جایگزین کنید:

مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد برای سطح معناداری کجاست α = 0,05 .

ما گرفتیم:

بنابراین، فاصله اطمینان 95% برای انتظارات ریاضی این نمونه از 7.484 تا 11.266 متغیر بود.

مثال 3برای یک نمونه تصادفی از یک جمعیت عمومی 100 مشاهداتی، مقدار میانگین 2/15 و انحراف معیار 2/3 محاسبه شد. فاصله اطمینان 95% را برای مقدار مورد انتظار و سپس فاصله اطمینان 99% را محاسبه کنید. اگر توان نمونه و تغییرات آن ثابت بماند، اما ضریب اطمینان افزایش یابد، آیا فاصله اطمینان باریک می شود یا افزایش می یابد؟

ما این مقادیر را با عبارت فاصله اطمینان جایگزین می کنیم:

مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد برای سطح معناداری کجاست α = 0,05 .

ما گرفتیم:

.

بنابراین، فاصله اطمینان 95 درصد برای میانگین این نمونه از 14.57 تا 15.82 بود.

مجدداً، ما این مقادیر را در عبارت فاصله اطمینان جایگزین می کنیم:

مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد برای سطح معناداری کجاست α = 0,01 .

ما گرفتیم:

.

بنابراین، فاصله اطمینان 99 درصد برای میانگین این نمونه از 14.37 تا 16.02 متغیر بود.

همانطور که می بینید، با افزایش ضریب اطمینان، مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد نیز افزایش می یابد، و بنابراین، نقاط شروع و پایان بازه دورتر از میانگین قرار می گیرند، و بنابراین فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی قرار می گیرند. افزایش.

تخمین نقطه ای و فاصله ای وزن مخصوص

وزن مخصوص برخی از ویژگی های نمونه را می توان چنین تفسیر کرد تخمین نقطه ایوزن مخصوص پهمین صفت در جمعیت عمومی اگر این مقدار باید با یک احتمال مرتبط شود، فاصله اطمینان وزن مخصوص باید محاسبه شود. پویژگی در جمعیت عمومی با احتمال پ = 1 - α :

.

مثال 4در فلان شهر دو نامزد وجود دارد آو بنامزد شهرداری از 200 نفر از ساکنان شهر به صورت تصادفی نظرسنجی شد که از این تعداد 46 درصد پاسخ دادند که به نامزد رای می دهند. آ، 26٪ - برای نامزد بو 28 درصد نمی دانند به چه کسی رای خواهند داد. فاصله اطمینان 95٪ را برای نسبت ساکنان شهر که از نامزد حمایت می کنند، تعیین کنید آ.

بگذارید نمونه ای از جمعیت عمومی مشمول قانون تهیه شود طبیعیتوزیع ایکسن( متر;  ). این فرض اساسی آمار ریاضی مبتنی بر قضیه حد مرکزی است. اجازه دهید انحراف معیار کلی مشخص شود  , اما انتظارات ریاضی از توزیع نظری ناشناخته است متر(منظور داشتن ).

در این مورد، میانگین نمونه ، به دست آمده در طول آزمایش (بخش 3.4.2)، نیز یک متغیر تصادفی خواهد بود متر;
). سپس انحراف "نرمال شده".
N(0;1) یک متغیر تصادفی نرمال استاندارد است.

مشکل این است که یک تخمین بازه برای متر. اجازه دهید یک فاصله اطمینان دو طرفه برای متر به طوری که انتظارات ریاضی واقعی با احتمال معین (پایایی) متعلق به او باشد.  .

چنین فاصله ای را برای مقدار تعیین کنید
به معنای یافتن حداکثر مقدار این کمیت است
و حداقل
، که مرزهای منطقه بحرانی هستند:
.

زیرا این احتمال است
، سپس ریشه این معادله
را می توان با استفاده از جداول تابع لاپلاس (جدول 3، پیوست 1) پیدا کرد.

سپس با احتمال  می توان استدلال کرد که متغیر تصادفی
یعنی میانگین کلی مورد نظر متعلق به بازه است
. (3.13)

ارزش
(3.14)

تماس گرفت دقت، درستیبرآوردها

عدد
– چندکتوزیع نرمال - را می توان به عنوان آرگومان تابع لاپلاس (جدول 3، پیوست 1) با توجه به نسبت 2Ф( تو)=، یعنی F( تو)=
.

برعکس، با توجه به مقدار انحراف مشخص شده  می توان دریافت که میانگین کلی مجهول با چه احتمالی به بازه تعلق دارد
. برای این کار باید محاسبه کنید

. (3.15)

اجازه دهید با روش انتخاب مجدد یک نمونه تصادفی از جامعه عمومی گرفته شود. از معادله
را می توان یافت کمترینحجم نمونه برداری مجدد nبرای اطمینان از اینکه فاصله اطمینان با قابلیت اطمینان معین مورد نیاز است از مقدار از پیش تعیین شده تجاوز نکرده است  . حجم نمونه مورد نیاز با استفاده از فرمول برآورد می شود:

. (3.16)

کاوش دقت تخمین
:

1) با افزایش حجم نمونه nاندازه  کاهش می دهد، و از این رو دقت برآورد افزایش.

2) ج افزایش دادنقابلیت اطمینان برآوردها ارزش آرگومان افزایش می یابد تو(زیرا اف(تو) یکنواخت افزایش می یابد) و از این رو افزایش  . در این مورد، افزایش قابلیت اطمینان کاهش می دهددقت ارزیابی آن  .

تخمین زدن
(3.17)

تماس گرفت کلاسیک(جایی که تیپارامتری است که به و n)، زیرا این قوانین توزیعی که اغلب با آن مواجه می شوند را مشخص می کند.

3.5.3 فواصل اطمینان برای تخمین انتظار توزیع نرمال با انحراف معیار ناشناخته 

بگذارید بدانیم که جمعیت عمومی تابع قانون توزیع نرمال است ایکسن( متر; ) که در آن مقدار ریشه میانگین مربعانحرافات ناشناس.

برای ایجاد فاصله اطمینان برای تخمین میانگین کلی، در این مورد از آمار استفاده می شود
، که دارای توزیع دانشجویی با ک= n-1 درجه آزادی این از این واقعیت ناشی می شود که N(0;1) (به مورد 3.5.2 مراجعه کنید)، و
(به بند 3.5.3 مراجعه کنید) و از تعریف توزیع دانشجو (بخش 1. بند 2.11.2).

اجازه دهید دقت تخمین کلاسیک توزیع Student را پیدا کنیم: i.e. پیدا کردن تیاز فرمول (3.17). اجازه دهید احتمال تحقق نابرابری
توسط قابلیت اطمینان داده شده است  :

. (3.18)

از آنجا که تی سنت ( n-1) بدیهی است که تیبستگی دارد به  و n، بنابراین ما معمولا می نویسیم
.

(3.19)

جایی که
تابع توزیع دانش آموز با است n-1 درجه آزادی

حل این معادله برای متر، فاصله را می گیریم
که با قابلیت اطمینان  پارامتر مجهول را پوشش می دهد متر.

ارزش تی  , n-1، برای تعیین فاصله اطمینان یک متغیر تصادفی استفاده می شود تی(n-1), توزیع شده توسط دانشجو با n-1 درجه آزادی نامیده می شود ضریب دانش آموزی. باید با مقادیر داده شده پیدا شود nو  از جداول " نقاط بحرانیتوزیع های دانش آموزی (جدول 6 پیوست 1) که راه حل های معادله (3.19) هستند.

در نتیجه، عبارت زیر را دریافت می کنیم دقت فاصله اطمینان برای تخمین انتظارات ریاضی (میانگین کلی)، اگر واریانس ناشناخته باشد:

(3.20)

بنابراین، یک فرمول کلی برای ساخت فواصل اطمینان برای انتظارات ریاضی جمعیت عمومی وجود دارد:

دقت فاصله اطمینان کجاست  بسته به واریانس شناخته شده یا ناشناخته مطابق فرمول به ترتیب 3.16 یافت می شود. و 3.20.

وظیفه 10.چند آزمایش انجام شد که نتایج آن در جدول ذکر شده است:

مشخص است که آنها از قانون توزیع عادی تبعیت می کنند
. تخمینی پیدا کنید متر* برای انتظارات ریاضی متر، یک فاصله اطمینان 90% برای آن ایجاد کنید.

راه حل:

بنابراین، متر(2.53;5.47).

وظیفه 11.عمق دریا توسط دستگاهی اندازه گیری می شود که خطای سیستماتیک آن 0 است و خطاهای تصادفی بر اساس قانون عادی و با انحراف معیار توزیع می شوند.  = 15 متر چند اندازه گیری مستقل برای تعیین عمق با خطاهای بیش از 5 متر با سطح اطمینان 90٪ باید انجام شود؟

راه حل:

با شرط مشکل، داریم ایکسن( متر;  )، جایی که  = 15 متر  =5 متر  =0.9. بیایید حجم را پیدا کنیم n.

1) با پایایی داده شده = 0.9، از جداول 3 (پیوست 1) آرگومان تابع لاپلاس را می یابیم. تو  = 1.65.

2) دانستن دقت تخمین داده شده  =تو  =5، پیدا کنید
. ما داریم

. بنابراین، تعداد آزمایشات n25.

وظیفه 12.نمونه برداری دما تیبرای 6 روز اول ژانویه در جدول ارائه شده است:

فاصله اطمینان برای انتظارات را پیدا کنید مترجمعیت عمومی با احتمال اطمینان
و انحراف استاندارد کلی را تخمین بزنید س.

راه حل:

و
.

2) برآورد بی طرفانه با فرمول پیدا کنید
:

;
;

.

3) از آنجایی که واریانس کلی ناشناخته است، اما تخمین آن مشخص است، پس انتظار ریاضی را برآورد کنید مترما از توزیع دانشجویی (جدول 6، پیوست 1) و فرمول (3.20) استفاده می کنیم.

زیرا n 1 =n 2 = 6، سپس،
, س 1 = 6.85 داریم:
، از این رو -29.2-4.1<متر 1 < -29.2+4.1.

بنابراین -33.3<متر 1 <-25.1.

به همین ترتیب، ما داریم
, س 2 = 4.8، بنابراین

–34.9< متر 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: متر 1 (-33.3;-25.1) و متر 2 (-34.9;-29.1).

در علوم کاربردی، به عنوان مثال، در رشته های ساختمانی، جداول فواصل اطمینان برای ارزیابی دقت اشیا استفاده می شود که در ادبیات مرجع مربوطه آورده شده است.