حل مسائل با استفاده از اکسل حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از اکسل

سیستم خطی معادلات جبریهمچنین با استفاده از آن قابل حل است افزودنی "جستجوی راه حل".هنگام استفاده از این افزونه، دنباله ای از تقریب ها ساخته می شود , i=0،1،…n.

بیا تماس بگیریم بردار باقیمانده بردار بعدی:

وظیفه اکسل این است که چنین تقریبی را پیدا کنید , که در آن بردار باقیمانده صفر می شود، یعنی برای دستیابی به همزمانی مقادیر قسمت های راست و چپ سیستم.

به عنوان مثال، SLAE (3.27) را در نظر بگیرید.

ترتیب دهی:

1. بیایید یک جدول درست کنیم، همانطور که در شکل 3.4 نشان داده شده است. بیایید ضرایب سیستم (ماتریس A) را در خانه های A3:C5 معرفی کنیم.

شکل 3.4. حل SLAE با استفاده از افزونه "جستجوی راه حل"

2. در سلول های A8:C8 محلول سیستم تشکیل می شود (x 1، x 2، x 3). در ابتدا، آنها خالی می مانند، یعنی. صفر در ادامه آنها را فراخوانی خواهیم کرد تغییر سلول ها. با این حال، برای کنترل صحت فرمول های وارد شده در زیر، وارد کردن هر مقدار در این سلول ها، به عنوان مثال، راحت است. این مقادیر را می توان به عنوان یک تقریب صفر از راه حل سیستم، = (1، 1، 1) در نظر گرفت.

3. در ستون D عباراتی را برای محاسبه قسمت های چپ سیستم اصلی معرفی می کنیم. برای انجام این کار، در سلول D3، فرمول را وارد کرده و سپس تا انتهای جدول کپی کنید:

D3=SUMPRODUCT(A3:C3;$A$8:$C$8).

تابع استفاده شده SUMPRODUCTمتعلق به دسته ریاضی.

4. در ستون E مقادیر قسمت های سمت راست سیستم (ماتریس B) را یادداشت می کنیم.

5. در ستون F ما باقی مانده ها را مطابق با فرمول (3.29) معرفی می کنیم. فرمول F3=D3-E3 را وارد کرده و آن را تا انتهای جدول کپی کنید.

6. بررسی صحت محاسبات برای مورد = (1، 1، 1) اضافی نخواهد بود.

7. یک تیم انتخاب کنید Data\Analysis\جستجوی راه حل.

برنج. 3.5. پنجره افزودنی حل کننده

در پنجره یافتن راه حل(شکل 3.5) در زمینه سلول های قابل تغییریک بلوک را مشخص کنید 8 دلار استرالیا: 8 دلار آمریکا،و در میدان محدودیت های – $F$3:$F$5=0. بعد، روی دکمه کلیک کنید اضافه کردنو این محدودیت ها را معرفی کنید. و سپس دکمه اجرا کن

حل سیستم ها (3.28) ایکس 1 = 1; ایکس 2 = –1ایکس 3 = 2 در خانه های A8:C8، Fig.3.4 نوشته شده است.

پیاده سازی روش جاکوبی با استفاده از MS Excel

به عنوان مثال، سیستم معادلات (3.19) را در نظر بگیرید که حل آن در بالا با روش ژاکوبی به دست آمده است (مثال 3.2).

بیایید این سیستم را به حالت عادی برسانیم:

ترتیب دهی

1. بیایید یک جدول درست کنیم، همانطور که در شکل 3.6 نشان داده شده است.

ماتریس ها و (3.15) را به سلول های B6:E8 وارد می کنیم.

معنی ه- در H5.

شماره تکرار کدر ستون A جدول با استفاده از تکمیل خودکار شکل خواهیم داد.

به صورت تقریبی صفر، بردار را انتخاب می کنیم

= (0، 0، 0) و آن را در سلول های B11:D11 وارد کنید.

2. با استفاده از عبارات (3.29)، در سلول های B12:D12 فرمول هایی را برای محاسبه تقریب اول می نویسیم:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6،

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7،

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

این فرمول ها را می توان با استفاده از روش های مختلف نوشت تابع اکسل SUMPRODUCT

در سلول E12، فرمول را وارد کنید: E12=ABS(B11-B12) و آن را در سمت راست، در سلول های F12:G12 کپی کنید.

شکل 3.6. طرحی برای حل SLAE به روش ژاکوبی

3. در سلول H12، فرمول محاسبه را وارد کنید M(k) ،با استفاده از عبارت (3.18): H12 = MAX(E12:G12). تابع MAX در این دسته قرار دارد آماری

4. سلول های B12:H12 را انتخاب کرده و آنها را تا انتهای جدول کپی کنید. بنابراین، ما دریافت می کنیم کتقریب های راه حل SLAE

5. حل تقریبی سیستم و تعداد تکرارهای مورد نیاز برای دستیابی به دقت داده شده را تعیین کنید. ه.

برای این کار، درجه نزدیکی دو تکرار همسایه را با استفاده از فرمول (3.18) تخمین می زنیم. استفاده کنیم قالب بندی مشروطدر سلول های ستون

نتیجه چنین قالب بندی در شکل 3.6 قابل مشاهده است. سلول های ستون H که مقادیر آنها شرط (3.18) را برآورده می کند، یعنی. کمتر ه=0.1، رنگی.

با تجزیه و تحلیل نتایج، تکرار چهارم را به عنوان راه حل تقریبی سیستم اصلی با دقت داده شده e=0.1، یعنی.

کاوش شخصیت فرآیند تکرار شونده . برای انجام این کار، بلوکی از سلول های A10:D20 را انتخاب کنید و با استفاده از استاد نمودار،ما نمودارهایی از تغییرات در هر جزء از بردار حل را بسته به تعداد تکرار خواهیم ساخت،

نمودارهای نشان داده شده (شکل 3.7) همگرایی فرآیند تکراری را تایید می کنند.

برنج. 3.7. تصویر یک فرآیند تکراری همگرا

تغییر مقدار هدر سلول H5، یک راه حل تقریبی جدید از سیستم اصلی را با دقت جدید به دست می آوریم.

پیاده سازی روش Sweep با استفاده از اکسل

حل معادلات جبری خطی زیر را با استفاده از جداول به روش Sweep در نظر بگیرید. برتری داشتن.

بردارها:

ترتیب دهی

1. بیایید یک جدول درست کنیم، همانطور که در شکل 3.8 نشان داده شده است. داده های اولیه ماتریس توسعه یافته سیستم (3.30)، یعنی. بردارها به سلول های B5:E10 وارد می شوند.

2. در مورد شانس مسابقه U 0 = 0 و V 0 = 0به ترتیب وارد سلول های G4 و H4 می شوند.

3. ضرایب رفت و برگشت را محاسبه کنید L i، U i، V i. برای انجام این کار، در سلول های F5، G5، H5 محاسبه می کنیم L 1 , U 1 , V 1. با فرمول (3.8). برای این کار فرمول های زیر را معرفی می کنیم:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5، H5 = (E5-B5*H4)/F5، و سپس آنها را کپی کنید.

شکل 3.8. طرح طراحی روش "جاروب".

4. در سلول I10 محاسبه می کنیم x6با فرمول (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. با استفاده از فرمول (3.7)، همه مجهولات دیگر را محاسبه می کنیم x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1 .برای این کار در سلول I9 محاسبه می کنیم x5با فرمول (3.6): I9=G9*I10+H9. و سپس این فرمول را کپی کنید.

سوالات تستی

1. سیستم معادلات جبری خطی (SLAE). راه حل SLAE چیست؟ وقتی که هست تنها تصمیم SLAU.

2. ویژگی های عمومیروش های مستقیم (دقیق) برای حل SLAE. روش ها و جاروهای گاوس.

3. مشخصات کلی روش های تکرار شونده برای حل SLAE. روش های ژاکوبی ( تکرارهای ساده) و گاوس سیدل.

4. شرایط برای همگرایی فرآیندهای تکرار شونده.

5. مراد از شرایط مشروط بودن تکالیف و محاسبات، صحت مشکل حل SLAE.

فصل 4

ادغام عددی

هنگام تصمیم گیری کافی است دایره بزرگمشکلات فنی باید با نیاز به محاسبه روبرو شوند انتگرال معین:

محاسبه مناطق، محدود شده توسط منحنی ها، کار کردن, لحظه های اینرسی، ضرب نمودارهاطبق فرمول مور و غیره به محاسبه یک انتگرال معین تقلیل می یابد.

اگر پیوسته در بازه [ الف، ب] عملکرد y = f(x)دارای یک ضد مشتق در این بخش است F(x)، یعنی F' (x) = f (x)، سپس انتگرال (4.1) را می توان با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه کرد:

با این حال، فقط برای یک کلاس باریک از توابع y=f(x)ضد مشتق F(x)را می توان در توابع ابتدایی بیان کرد. علاوه بر این، عملکرد y=f(x)را می توان به صورت گرافیکی یا جدولی مشخص کرد. در این موارد از فرمول های مختلفی برای محاسبه تقریبی انتگرال ها استفاده می شود.

چنین فرمول هایی نامیده می شوند فرمول ها یا فرمول های مربعی ادغام عددی.

فرمول های ادغام عددی به خوبی به صورت گرافیکی نشان داده شده اند. مشخص است که مقدار انتگرال معین (4.1) به طور متناسبمساحت ذوزنقه منحنی شکل که توسط انتگرال تشکیل شده است y=f(x)، سر راست x=a و x=bمحور اوه(شکل 4.1).

مشکل محاسبه انتگرال معین (4.1) با مسئله محاسبه مساحت این ذوزنقه منحنی جایگزین می شود. با این حال، مشکل پیدا کردن مساحت یک منحنی ساده نیست.

از این رو ایده یکپارچه سازی عددی خواهد بود در جایگزینی یک ذوزنقه منحنی با یک شکل، مساحت آن کاملاً ساده محاسبه می شود.

y=f(x)

y

ایکس

xi

xi+1

xn=b

xo=a

سی

شکل 4.1. تفسیر هندسی ادغام عددی

برای این، بخش ادغام [ الف، ب] تقسیم به nبرابر بخش های ابتدایی (i=0، 1، 2، …..، n-1)،گام به گام h=(b-a)/n.در این حالت ذوزنقه منحنی به دو قسمت تقسیم می شود n ذوزنقه منحنی ابتداییبا پایه های برابر ساعت(شکل 4.1).

هر ذوزنقه منحنی ابتدایی با یک شکل جایگزین می شود که مساحت آن کاملاً ساده محاسبه می شود. بیایید این منطقه را تعیین کنیم سیمجموع همه این مناطق نامیده می شود جمع انتگرالو با فرمول محاسبه می شود

سپس فرمول تقریبی برای محاسبه انتگرال معین (4.1) شکل می گیرد

دقت محاسبه با فرمول (4.4) به مرحله بستگی دارد ساعت، یعنی در مورد تعداد پارتیشن ها nبا افزایش nجمع انتگرال نزدیک می شود ارزش دقیقانتگرال

این به خوبی در شکل 4.2 نشان داده شده است.

شکل 4.2. وابستگی دقت محاسبه انتگرال

در مورد تعداد پارتیشن ها

در ریاضیات ثابت شده است قضیه: اگر تابع y=f(x) بر روی پیوسته باشد، حد مجموع انتگرال b n وجود دارد و به نحوه تقسیم پاره به پاره های ابتدایی بستگی ندارد.

فرمول (4.4) را می توان در صورت درجه دقت استفاده کرد تقریب هافرمول های مختلفی برای تخمین خطای بیان وجود دارد (4.4)، اما، به عنوان یک قاعده، آنها نسبتاً پیچیده هستند. ما دقت تقریب (4.4) را با روش تخمین می زنیم نیم قدم.

مقادیر ریشه های سیستم معادلات تشکیل شده را با دو روش ماتریس معکوس و روش کرامر محاسبه کنید.

بیایید این مقادیر را در سلول های A2:C4 - ماتریس A و سلول های D2:D4 - ماتریس B وارد کنیم.

حل سیستم معادلات به روش ماتریس معکوس

ماتریس معکوس ماتریس A را پیدا کنید. برای این کار در سلول A9 فرمول =MOBR(A2:C4) را وارد کنید. پس از آن، محدوده A9:C11 را از سلول حاوی فرمول شروع کنید. بیایید کلید F2 را فشار دهیم و سپس کلیدهای CTRL+SHIFT+ENTER را فشار دهیم. فرمول به عنوان فرمول آرایه درج خواهد شد. =INV(A2:C4).
بیایید حاصل ضرب ماتریس های A-1 * b را پیدا کنیم. در سلول های F9:F11 فرمول =MMULT(A9:C11;D2:D4) را به عنوان فرمول آرایه وارد کنید. گرفتن در سلول های F9:F11ریشه های معادله:

حل سیستم معادلات به روش کرامر

ما سیستم را با روش کرامر حل می کنیم، برای این ما تعیین کننده ماتریس را پیدا می کنیم.
بیایید تعیین کننده های ماتریس هایی را که با جایگزین کردن یک ستون با ستون b به دست می آیند، پیدا کنیم.

در سلول B16، فرمول = MOPRED (D15: F17) را وارد کنید.

در سلول B17، فرمول = MOPRED (D19: F21) را وارد کنید.

در سلول B18، فرمول = MOPRED (D23: F25) را وارد کنید.

بیایید ریشه های معادله را پیدا کنیم، برای این وارد سلول B21 می شویم: =B16/$B$15، در سلول B22 وارد می کنیم: ==B17/$B$15، در سلول B23 وارد می کنیم: ==B18/$B$15 .

ریشه های معادله را بدست می آوریم:

توانایی حل سیستم معادلات اغلب می تواند نه تنها در مطالعات، بلکه در عمل نیز مفید باشد. در عین حال، هر کاربر رایانه شخصی نمی داند که اکسل راه حل های خاص خود را دارد معادلات خطی. بیایید یاد بگیریم که چگونه از این جعبه ابزار صفحه گسترده برای انجام این کار به روش های مختلف استفاده کنیم.

روش 1: روش ماتریسی

رایج ترین روش برای حل یک سیستم معادلات خطی با ابزار اکسل استفاده از روش ماتریس است. این شامل ساخت یک ماتریس از ضرایب عبارات و سپس ایجاد یک ماتریس معکوس است. بیایید سعی کنیم از این روش برای حل سیستم معادلات زیر استفاده کنیم:

14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

1. ماتریس را با اعدادی پر می کنیم که ضرایب معادله هستند. این اعداد باید به ترتیب با در نظر گرفتن محل هر ریشه ای که با آن مطابقت دارند، ترتیبی باشند. اگر در برخی از عبارت ها یکی از ریشه ها وجود نداشته باشد، در این صورت ضریب برابر با صفر در نظر گرفته می شود. اگر ضریب در معادله نشان داده نشده باشد، اما ریشه مربوطه وجود داشته باشد، در نظر گرفته می شود که ضریب برابر است با 1 . جدول به دست آمده را به عنوان بردار تعیین می کنیم آ.



2. به طور جداگانه، مقادیر را بعد از علامت "برابر" می نویسیم. ما آنها را با یک نام مشترک، به عنوان یک بردار نشان می دهیم ب.



3. حال برای یافتن ریشه های معادله، ابتدا باید ماتریس را معکوس نسبت به موجود پیدا کنیم. خوشبختانه اکسل یک اپراتور ویژه دارد که برای حل این مشکل طراحی شده است. نامیده می شود MOBR. این یک نحو بسیار ساده دارد:

   MOBR (آرایه)

   بحث و جدل "آرایه"در واقع آدرس جدول منبع است.

   بنابراین، ما ناحیه ای از سلول های خالی را روی صفحه انتخاب می کنیم که اندازه آن با محدوده ماتریس اصلی برابر است. با کلیک بر روی دکمه "درج تابع"در کنار نوار فرمول



4. راه اندازی در حال انجام است Function Wizards. رفتن به دسته "ریاضی". در لیستی که ظاهر می شود، به دنبال نام بگردید MOBR. پس از یافتن آن، آن را انتخاب کرده و روی دکمه کلیک کنید خوب.



5. MOBR. با تعداد آرگومان ها، فقط یک فیلد دارد - "آرایه". در اینجا باید آدرس جدول ما را مشخص کنید. برای این منظور مکان نما را در این قسمت تنظیم کنید. سپس دکمه سمت چپ ماوس را نگه دارید و ناحیه ای را در برگه ای که ماتریس در آن قرار دارد انتخاب کنید. همانطور که مشاهده می کنید، داده های مربوط به مختصات قرارگیری به طور خودکار در قسمت پنجره وارد می شوند. پس از اتمام این کار، واضح ترین کار کلیک کردن بر روی دکمه است خوباما عجله نکنید واقعیت این است که فشار دادن این دکمه معادل استفاده از دستور است وارد. اما هنگام کار با آرایه ها، پس از تکمیل ورودی فرمول، نباید روی دکمه کلیک کنید وارد، و مجموعه ای از میانبرهای صفحه کلید را تولید کنید Ctrl+Shift+Enter. ما این عملیات را انجام می دهیم.



6. بنابراین، پس از آن، برنامه محاسبات را انجام می دهد و در خروجی یک ناحیه از پیش انتخاب شده، ماتریس معکوس آن را داریم.



7. حال باید ماتریس معکوس را در ماتریس ضرب کنیم ب، که از یک ستون از مقادیر تشکیل شده است که بعد از علامت قرار دارد "برابر"در عبارات برای ضرب جداول در اکسل یک تابع مجزا به نام وجود دارد MUMNOZH. این عملگر دارای نحو زیر است:

   MULT(Array1,Array2)

   محدوده ای را انتخاب کنید، در مورد ما شامل چهار سلول است. سپس دوباره شروع می کنیم Function Wizardبا کلیک کردن روی نماد "درج تابع".



8. دسته بندی "ریاضی"، راه اندازی شد Function Wizards، نام را انتخاب کنید "مومنژ"و روی دکمه کلیک کنید خوب.



9. پنجره آرگومان های تابع فعال می شود MUMNOZH. در زمینه "آرایه 1"مختصات ماتریس معکوس خود را وارد می کنیم. برای انجام این کار، مانند دفعه قبل، مکان نما را در فیلد قرار دهید و با نگه داشتن دکمه سمت چپ ماوس، جدول مربوطه را با مکان نما انتخاب کنید. ما اقدام مشابهی را برای وارد کردن مختصات در میدان انجام می دهیم "آرایه 2"، فقط این بار مقادیر ستون را برجسته می کنیم ب. پس از انجام اقدامات فوق، دوباره عجله ای برای فشار دادن دکمه نداریم خوبیا کلید واردو کلید ترکیبی را تایپ کنید Ctrl+Shift+Enter.



10. بعد از این اقدامریشه های معادله در سلول از پیش انتخاب شده نمایش داده می شود: X1, X2, X3و X4. آنها به ترتیب خواهند بود. بنابراین، می توان گفت که ما این سیستم را حل کرده ایم. برای بررسی درستی راه حل، کافی است این پاسخ ها را به جای ریشه های مربوطه، در سیستم اصلی عبارات جایگزین کنید. اگر برابری رعایت شود، به این معنی است که سیستم معادلات ارائه شده به درستی حل شده است.

روش 2: انتخاب پارامترها

دومین راه شناخته شدهحل یک سیستم معادلات در اکسل استفاده از روش انتخاب پارامتر است. ذات این روشجستجو به عقب است. یعنی بر اساس یک نتیجه شناخته شده، یک آرگومان مجهول را جستجو می کنیم. بیایید از معادله درجه دوم به عنوان مثال استفاده کنیم

این نتیجه را می توان با جایگزین کردن مقدار داده شده در عبارتی که باید حل شود به جای مقدار بررسی کرد ایکس.

روش 3: روش کرامر

حال بیایید سعی کنیم سیستم معادلات را به روش کرامر حل کنیم. به عنوان مثال، بیایید همان سیستمی را در نظر بگیریم که در آن استفاده شده است روش 1:

14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

1. مانند روش اول یک ماتریس می سازیم آاز ضرایب معادلات و جدول باز مقادیری که بعد از علامت می آیند "برابر".



2. بعد، چهار جدول دیگر درست می کنیم. هر کدام از آنها یک کپی از ماتریس هستند آ، فقط این کپی ها به طور متناوب یک ستون با یک جدول جایگزین می کنند ب. جدول اول دارای ستون اول، جدول دوم دارای ستون دوم و غیره است.



3. حال باید دترمینان همه این جداول را محاسبه کنیم. سیستم معادلات تنها در صورتی جواب خواهد داشت که همه تعیین کننده ها مقداری غیر از صفر داشته باشند. برای محاسبه این مقدار در اکسل، دوباره یک تابع جداگانه وجود دارد - MOPRED. سینتکس این عملگر به صورت زیر است:

   MPRED (آرایه)

   بنابراین، درست مانند تابع MOBR، تنها آرگومان ارجاع به جدول در حال پردازش است.

   بنابراین، سلولی را انتخاب می کنیم که در آن تعیین کننده ماتریس اول نمایش داده می شود. سپس بر روی دکمه آشنا از روش های قبلی کلیک کنید "درج تابع".



4. پنجره فعال می شود Function Wizards. رفتن به دسته "ریاضی"و از بین لیست اپراتورها نام آنجا را انتخاب می کنیم "MOPRED". پس از آن بر روی دکمه کلیک کنید خوب.



5. پنجره آرگومان های تابع راه اندازی می شود MOPRED. همانطور که می بینید، فقط یک فیلد دارد - "آرایه". آدرس اولین ماتریس تبدیل شده را در این قسمت وارد کنید. برای انجام این کار، مکان نما را در فیلد تنظیم کنید و سپس محدوده ماتریس را انتخاب کنید. پس از آن بر روی دکمه کلیک کنید خوب. این تابعنتیجه را در یک سلول، نه در یک آرایه نمایش می دهد، بنابراین نیازی به فشار دادن یک کلید ترکیبی برای محاسبه نیست. Ctrl+Shift+Enter.



6. تابع نتیجه را محاسبه کرده و در یک سلول از پیش انتخاب شده نمایش می دهد. همانطور که می بینید، در مورد ما تعیین کننده برابر است با -740 ، یعنی برابر با صفر نیست که برای ما مناسب است.



7. به طور مشابه، ما تعیین کننده ها را برای سه جدول باقی مانده محاسبه می کنیم.



8. در مرحله آخر، ما تعیین کننده ماتریس اولیه را محاسبه می کنیم. این روش طبق همان الگوریتم انجام می شود. همانطور که می بینید، تعیین کننده جدول اولیه نیز با صفر متفاوت است، به این معنی که ماتریس غیر مفرد در نظر گرفته می شود، یعنی سیستم معادلات دارای راه حل است.



9. حالا وقت آن است که ریشه های معادله را پیدا کنیم. ریشه معادله برابر با نسبت دترمینان ماتریس تبدیل شده مربوطه به تعیین کننده جدول اولیه خواهد بود. بنابراین، تقسیم هر چهار عامل تعیین کننده ماتریس های تبدیل شده بر عدد -148 ، که تعیین کننده جدول اصلی است، چهار ریشه می گیریم. همانطور که می بینید، آنها با مقادیر برابر هستند 5 , 14 , 8 و 15 . بنابراین آنها دقیقاً همان ریشه هایی هستند که ما با استفاده از ماتریس معکوس در آن پیدا کردیم روش 1، که صحت حل سیستم معادلات را تایید می کند.

روش 4: روش گاوس

همچنین می توانید سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوس حل کنید. به عنوان مثال، بیشتر مصرف کنید سیستم سادهمعادلات سه مجهول:

14x1+2x2+8x3=110
7x1-3x2+5x3=32
5x1+x2-2x3=17

1. مجدداً ضرایب را به ترتیب در جدول بنویسید آ، و شرایط رایگان که بعد از علامت قرار دارد "برابر"- سر میز ب. اما این بار هر دو جدول را با هم می‌آوریم، زیرا برای کار در آینده به آن نیاز خواهیم داشت. یک شرط مهم این است که در خانه اول ماتریس باشد آمقدار غیر صفر بود در غیر این صورت، خطوط باید دوباره مرتب شوند.



2. خط اول دو ماتریس متصل شده را در خط زیر کپی کنید (برای وضوح، می توانید یک خط را رد کنید). در سلول اول که در ردیف پایین تر از سلول قبلی قرار دارد، فرمول زیر را وارد می کنیم:

   B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

   اگر ماتریس ها را به روش دیگری مرتب کنید، آدرس خانه های فرمول معنای متفاوتی خواهند داشت، اما می توانید با مقایسه آنها با فرمول ها و تصاویری که در اینجا آورده شده است آنها را محاسبه کنید.

   پس از وارد شدن فرمول، کل ردیف سلول ها را انتخاب کرده و کلید ترکیبی را فشار دهید Ctrl+Shift+Enter. فرمول آرایه روی ردیف اعمال می شود و با مقادیر پر می شود. بنابراین، ردیف اول را از ردیف دوم کم کردیم، ضرب در نسبت ضرایب اول دو عبارت اول سیستم.



3. پس از آن، خط به دست آمده را کپی کرده و در خط زیر قرار دهید.



4. دو خط اول را بعد از خط گم شده انتخاب کنید. روی دکمه کلیک کنید "کپی 🀄"، که روی نوار در زبانه قرار دارد "خانه".



5. از خط بعد از آخرین ورودی در برگه رد شوید. اولین سلول در ردیف بعدی را انتخاب کنید. با دکمه سمت راست ماوس کلیک می کنیم. در منوی زمینه که باز می شود، نشانگر را روی مورد قرار دهید "پیست مخصوص". در لیست اضافی راه اندازی شده، موقعیت را انتخاب کنید "ارزش های".



6. در خط بعدی فرمول آرایه را وارد کنید. از ردیف سوم گروه داده قبلی، ردیف دوم را در نسبت ضریب دوم ردیف سوم و دوم ضرب می کند. در مورد ما، فرمول به صورت زیر خواهد بود:

   B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

   پس از وارد کردن فرمول، کل ردیف را انتخاب کرده و میانبر صفحه کلید را اعمال کنید Ctrl+Shift+Enter.



7. اکنون باید جارو برگشتی را طبق روش گاوس انجام داد. از آخرین ورودی سه خط بگذرید. در خط چهارم فرمول آرایه را وارد کنید:

   بنابراین، آخرین ردیفی را که محاسبه کردیم بر ضریب سوم آن تقسیم می کنیم. بعد از اینکه فرمول را تایپ کردید، کل خط را انتخاب کنید و میانبر صفحه کلید را فشار دهید Ctrl+Shift+Enter.



8. یک خط بالا رفته و فرمول آرایه زیر را در آن وارد کنید:

   =(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

   برای اعمال فرمول آرایه، میانبر صفحه کلید را که قبلاً برای ما آشنا بود فشار می دهیم.



9. بیایید یک خط دیگر بالا برویم. فرمول آرایه زیر را در آن وارد کنید:

   =(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

   دوباره، کل خط را انتخاب کنید و یک میانبر صفحه کلید را اعمال کنید Ctrl+Shift+Enter.



10. اکنون به اعدادی که در آخرین ستون آخرین بلوک سطرهایی که قبلاً محاسبه کرده بودیم نگاه می کنیم. این اعداد هستند ( 4 , 7 و 5 ) ریشه های این سیستم معادلات خواهد بود. می توانید این را با جایگزین کردن مقادیر آنها بررسی کنید X1, X2و X3به عبارات

همانطور که می بینید در اکسل سیستم معادلات را می توان به روش های مختلفی حل کرد که هر کدام مزایا و معایب خاص خود را دارند. اما همه این روش ها را می توان به طور مشروط به دو گروه بزرگ تقسیم کرد: ماتریس و با استفاده از ابزار انتخاب پارامتر. در برخی موارد، نه همیشه روش های ماتریسیمناسب برای حل مشکل به ویژه، زمانی که تعیین کننده ماتریس برابر با صفر باشد. در موارد دیگر، کاربر مختار است که تصمیم بگیرد کدام گزینه را برای خود راحت‌تر می‌داند.

روش کرامر مبتنی بر استفاده از تعیین کننده ها در حل سیستم های معادلات خطی است. این امر روند حل را تا حد زیادی سرعت می بخشد.

از روش کرامر می توان برای حل یک سیستم معادلات خطی به تعداد مجهولات موجود در هر معادله استفاده کرد. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر نباشد، می توان از روش کرامر در حل استفاده کرد و اگر برابر با صفر باشد، نمی تواند. علاوه بر این، از روش کرامر می توان برای حل سیستم های معادلات خطی که راه حل منحصر به فردی دارند استفاده کرد.

تعریف. تعیین کننده که از ضرایب مجهولات تشکیل شده است، تعیین کننده سیستم نامیده می شود و با (دلتا) نشان داده می شود.

عوامل تعیین کننده

با جایگزین کردن ضرایب در مجهولات مربوطه با عبارت آزاد به دست می آیند:

;

.

قضیه کرامر. اگر تعیین کننده سیستم غیر صفر باشد، سیستم معادلات خطی دارای یک جواب واحد است و مجهول برابر با نسبت تعیین کننده ها است. مخرج شامل تعیین کننده سیستم است و صورت شامل تعیین کننده ای است که با جایگزین کردن ضرایب با مجهول توسط عبارات آزاد از تعیین کننده سیستم به دست می آید. این قضیه برای سیستم معادلات خطی از هر مرتبه صادق است.

مثال 1حل سیستم معادلات خطی:

مطابق با قضیه کرامرما داریم:

بنابراین، راه حل سیستم (2):

ماشین حساب آنلاین، روش تعیین کنندهکرامر.

سه مورد در حل سیستم های معادلات خطی

همانطور که از قضایای کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی، سه حالت ممکن است رخ دهد:

حالت اول: سیستم معادلات خطی راه حل منحصر به فردی دارد

(سیستم ثابت و قطعی است)

حالت دوم: سیستم معادلات خطی بی نهایت جواب دارد

(سیستم سازگار و نامعین است)

** ,

آن ها ضرایب مجهولات و جمله های آزاد متناسب هستند.

حالت سوم: سیستم معادلات خطی هیچ جوابی ندارد

(سیستم ناسازگار است)

بنابراین سیستم مترمعادلات خطی با nمتغیرها نامیده می شود ناسازگاراگر راه حلی نداشته باشد و مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم مشترکمعادلاتی که فقط یک جواب دارند نامیده می شود مسلم - قطعی، و بیش از یک نا معلوم.

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات خطی به روش کرامر

اجازه دهید سیستم

.

بر اساس قضیه کرامر

………….
,

جایی که
-

شناسه سیستم تعیین‌کننده‌های باقی‌مانده با جایگزینی ستون با ضرایب متغیر مربوطه (ناشناخته) با اعضای آزاد به دست می‌آیند:

مثال 2

.

بنابراین، سیستم قطعی است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده ها را محاسبه می کنیم

با فرمول های کرامر در می یابیم:

بنابراین، (1؛ 0؛ -1) تنها راه حل برای سیستم است.

برای بررسی حل سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین به روش حل کرامر استفاده کنید.

اگر هیچ متغیری در سیستم معادلات خطی در یک یا چند معادله وجود نداشته باشد، در تعیین کننده عناصر مربوط به آنها برابر با صفر است! این مثال بعدی است.

مثال 3حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر:

.

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

به سیستم معادلات و تعیین کننده سیستم با دقت نگاه کنید و پاسخ این سوال را تکرار کنید که در کدام موارد یک یا چند عنصر از تعیین کننده برابر با صفر است. بنابراین، تعیین برابر با صفر نیست، بنابراین، سیستم معین است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده مجهولات را محاسبه می کنیم

با فرمول های کرامر در می یابیم:

بنابراین، راه حل سیستم (2; -1; 1) است.

برای بررسی حل سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین به روش حل کرامر استفاده کنید.

بالای صفحه

ما به حل سیستم ها با استفاده از روش کرامر با هم ادامه می دهیم

همانطور که قبلا ذکر شد، اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد و تعیین کننده مجهولات برابر با صفر نباشد، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. بیایید با مثال زیر توضیح دهیم.

مثال 6حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

تعیین کننده سیستم برابر با صفر است بنابراین سیستم معادلات خطی یا ناسازگار و معین است یا ناسازگار است یعنی جواب ندارد. برای روشن شدن، ما تعیین کننده ها را برای مجهولات محاسبه می کنیم

تعیین کننده ها برای مجهولات برابر با صفر نیستند، بنابراین، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد.

برای بررسی حل سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین به روش حل کرامر استفاده کنید.

در مسائل مربوط به سیستم معادلات خطی، مواردی نیز وجود دارد که علاوه بر حروف نشان دهنده متغیرها، حروف دیگری نیز وجود دارد. این حروف مخفف یک عدد هستند که اغلب یک عدد واقعی است. در عمل، چنین معادلات و سیستم های معادلات منجر به مشکلات جستجو می شود خواص مشترکهر پدیده یا شی یعنی اختراع کردی مواد جدیدیا یک دستگاه، و برای توصیف ویژگی های آن، که بدون توجه به اندازه یا تعداد نسخه ها رایج است، باید یک سیستم معادلات خطی را حل کرد که به جای برخی ضرایب برای متغیرها حروف وجود دارد. برای مثال لازم نیست خیلی دور بگردید.

مثال بعدی برای یک مسئله مشابه است، فقط تعداد معادلات، متغیرها و حروفی که برخی از اعداد واقعی را نشان می دهند افزایش می یابد.

مثال 8حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

یافتن عوامل تعیین کننده برای مجهولات

حل سیستم های معادلات جبری خطی در اکسل روش های حل سیستم های معادلات جبری خطی به خوبی در کتاب درسی "مبانی ریاضیات محاسباتی. Demidovich BP, Maron IA 1966" توضیح داده شده است. دانلود - 11 مگابایت

1. روش ماتریس معکوس (راه حل در اکسل)

با توجه به معادله:
A*X = B، که در آن A یک ماتریس مربع است، X،B بردار هستند.
که در آن B یک بردار شناخته شده است (یعنی ستونی از اعداد)، X یک بردار ناشناخته است،
سپس راه حل X را می توان به صورت زیر نوشت:
X = A -1 *B، که در آن A -1 معکوس ماتریس A است.
در MS Excel ماتریس معکوستوسط تابع MOBR() محاسبه می شود و ماتریس ها (یا یک ماتریس در یک بردار) در تابع MULTIP() ضرب می شوند.

استفاده از آنها "ظرافت هایی" دارد اقدامات ماتریسیدر اکسل بنابراین، برای محاسبه ماتریس معکوس از ماتریس A، شما نیاز دارید:

1. از ماوس برای انتخاب یک ناحیه مربعی از سلول ها استفاده کنید که در آن ماتریس معکوس قرار می گیرد. 2. شروع به وارد کردن فرمول =MOBR(3. ماتریس A را با ماوس انتخاب کنید. در این حالت، محدوده سلول های مربوطه در سمت راست براکت قرار می گیرد. 4. براکت را ببندید، کلید ترکیبی را فشار دهید: Ctrl-Shift -Enter 5. ماتریس معکوس باید محاسبه شود و مساحت در نظر گرفته شده برای آن پر شود. برای ضرب یک ماتریس در یک بردار: 1. با استفاده از ماوس ناحیه سلول هایی را انتخاب کنید که نتیجه ضرب در آن قرار می گیرد. 2. شروع کنید. وارد کردن فرمول =MULTIPLE(3. ماتریس را انتخاب کنید - اولین ضریب را با ماوس انتخاب کنید. در این صورت محدوده سلول های مربوطه در سمت راست براکت وارد می شود. 4. جداکننده را از صفحه کلید وارد کنید؛ (نقطه ویرگول) 5. با ماوس فاکتور بردار دوم را انتخاب کنید. در این حالت، محدوده سلول های مربوطه در سمت راست براکت قرار می گیرد. 6. براکت را ببندید، کلید ترکیبی را فشار دهید: Ctrl-Shift-Enter 7. محصول باید محاسبه شود و منطقه در نظر گرفته شده برای آن پر شود و روش دیگری که از دکمه سازنده تابع اکسل استفاده می کند.

سند اکسل را در جایی که این مثال حل شده است دانلود کنید روش های مختلف.

2. روش گاوس

روش گاوس با جزئیات (در مراحل) فقط برای اهداف آموزشی انجام می شود، زمانی که باید نشان دهید که می توانید آن را انجام دهید. و برای حل یک SLAE واقعی بهتر است از روش ماتریس معکوس در اکسل استفاده کنید یا از برنامه های خاص مثلا این استفاده کنید.

توضیح کوتاه.

3. روش ژاکوبی (روش تکرارهای ساده)

برای اعمال روش ژاکوبی (و روش سیدل) لازم است که اجزای قطری ماتریس A بزرگتر از مجموع اجزای باقیمانده همان ردیف باشد. سیستم هدفاین ویژگی را ندارد، بنابراین من تغییرات اولیه را انجام می دهم.

(1)' = (1) + 0.43*(2) - 0.18*(3) - 0.96*(4) (2)' = (2) + 0.28*(1) - 1.73*(3) + 0.12 *(4) (3)' = (3) – 0.27*(1) - 0.75*(2) + 0.08*(4) (4)' = (4) + 0.04*(1) – 6.50*(2) + 8.04*(3) توجه: ضرایب در برگه "تحلیل" انتخاب شده است. سیستم های معادلات حل می شوند که هدف آنها صفر کردن عناصر خارج از مورب است. ضرایب، نتایج گرد شده حل چنین سیستم‌هایی از معادلات هستند. البته اینطور نیست. در نتیجه، من یک سیستم معادلات را دریافت می کنم:
برای اعمال روش ژاکوبی، سیستم معادلات باید به شکل زیر تبدیل شود:
X = B2 + A2 * X

بعد، من هر ردیف را بر ضریب ستون سمت چپ، یعنی به ترتیب بر 16، 7، 3، 70 تقسیم می کنم. سپس ماتریس A2 به شکل زیر است:


و بردار B2: