محور x محدود، نمودار یک تابع قابل ادغام و پاره خط x=a\,\!و x=b\,\!، جایی که آ\،\!و b\,\!- محدودیت های یکپارچه سازی (شکل را ببینید).

نیاز به اعمال یکپارچگی عددی اغلب می تواند ناشی از عدم وجود نمایش در و در نتیجه عدم امکان محاسبه تحلیلی مقدار باشد. انتگرال معینبر . همچنین ممکن است شکل ضد مشتق آنقدر پیچیده باشد که محاسبه عددی مقدار انتگرال سریعتر باشد.

مورد تک بعدی

ایده اصلی اکثر روش‌های یکپارچه‌سازی عددی جایگزینی انتگرال با روش ساده‌تری است که انتگرال آن را می‌توان به راحتی به صورت تحلیلی محاسبه کرد. در این مورد، برای تخمین مقدار انتگرال، فرمول های فرم

I \approx \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i)

جایی که n\,\!تعداد نقاطی است که در آن مقدار انتگرال محاسبه می شود. نکته ها x_i\,\!گره های متد، اعداد نامیده می شوند w_i\,\!- وزن گره ها هنگامی که انتگرال با یک چند جمله ای صفر، درجه یک و دوم جایگزین می شود، به ترتیب روش ها و (سیمپسون) به دست می آیند. اغلب فرمول های تخمین مقدار انتگرال را فرمول های ربع می نامند.

روش مستطیل

روش مستطیلبا جایگزینی انتگرال با یک ثابت به دست می آید. به عنوان یک ثابت، می توانید مقدار تابع را در هر نقطه ای از قطعه بگیرید \ترک کرد\،\!. بیشترین استفاده از مقادیر تابع در وسط یک بخش و در انتهای آن است. اصلاحات مربوطه را روش می نامند مستطیل های متوسط, مستطیل های سمت چپو مستطیل های راست. فرمول محاسبه تقریبی مقدار یک انتگرال معین به روش مستطیل ها

I \تقریبا f(x) (b-a),

جایی که x=\frac(\چپ(a+b\راست))(2), آ\،\!یا b\,\!، به ترتیب.

روش ذوزنقه ای

اگر یک خط مستقیم از انتهای بخش ادغام بکشیم، به دست می‌آییم روش ذوزنقه ای. از ملاحظات هندسی، به راحتی می توان به دست آورد

I \ approx \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

روش سهمی

با استفاده از سه نقطه از بخش انتگرال، می توانیم انتگرال را با سهمی جایگزین کنیم. معمولاً از انتهای قطعه و نقطه میانی آن به عنوان چنین نقاطی استفاده می شود. در این مورد، فرمول بسیار ساده است

I \approx \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

افزایش دقت

تقریب یک تابع توسط یک چند جمله ای در کل بازه ادغام، به عنوان یک قاعده، منجر به خطای بزرگی در تخمین مقدار انتگرال می شود.

برای کاهش خطا، بخش ادغام به قسمت‌ها تقسیم می‌شود و از روش عددی برای ارزیابی انتگرال در هر یک از آنها استفاده می‌شود.

همانطور که تعداد پارتیشن ها به بی نهایت میل می کند، تخمین انتگرال به مقدار واقعی آن برای هر روش عددی تمایل دارد.

روش‌های فوق یک روش ساده برای نصف کردن مرحله را امکان‌پذیر می‌سازد، در حالی که در هر مرحله لازم است مقادیر تابع فقط در گره‌های تازه اضافه شده محاسبه شود. برای تخمین خطای محاسباتی، استفاده می شود.

روش گاوس

روش هایی که در بالا توضیح داده شد از نقاط پاره خط ثابت (انتها و نقاط میانی) استفاده می کنند و پایین هستند (به ترتیب 1، 1 و 3). اگر بتوانیم نقاطی را انتخاب کنیم که در آن مقادیر تابع را محاسبه می کنیم f(x)\,\!، سپس می توان با همان تعداد محاسبات انتگرال، روش های بیشتری به دست آورد نظم بالادقت. بنابراین برای دو محاسبه (مانند روش ذوزنقه ای) از مقادیر انتگرال، می توانید روشی را نه دیگر از 1، بلکه از درجه 3 دقت دریافت کنید:

I \approx \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \راست)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \راست) \راست).

AT مورد کلیاستفاده كردن n\,\!امتیاز، شما می توانید یک روش با ترتیب دقت دریافت کنید 2n-1\,\!. مقادیر گره های روش گاوسی توسط n\,\!نقاط ریشه چند جمله ای درجه لژاندر هستند n\,\!.

مقادیر گره های روش گاوسی و وزن آنها در کتاب های مرجع توابع ویژه آورده شده است. شناخته شده ترین روش پنج نقطه ای گاوسی است.

روش گاوس-کرونرود

عیب روش گاوس این است که راه آسانی (از نظر محاسباتی) برای تخمین خطای مقدار بدست آمده از انتگرال ندارد. استفاده از قاعده رانگ مستلزم محاسبه انتگرال تقریباً با همان تعداد نقاط است، بدون اینکه عملاً هیچ افزایشی در دقت ایجاد کند، برخلاف روش های ساده، که در آن دقت با هر پارتیشن جدید چندین برابر افزایش می یابد. کرونرود روش زیر را برای تخمین مقدار انتگرال پیشنهاد کرد

I \approx \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

جایی که x_i\,\!- گره های روش گاوس توسط n\,\!امتیاز، و 3n+2\,\!مولفه های a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\!به گونه ای انتخاب می شوند که ترتیب دقت روش برابر باشد 3n+1\,\!.

سپس برای تخمین خطا می توان از فرمول تجربی استفاده کرد

\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^(1.5),

جایی که I_G\,\!- مقدار انتگرال، با روش گاوس برآورد شده است n\,\!نکته ها. کتابخانه ها [

برنامه نویسی فرمول ادغام عددی

مقدمه

2. فرمول های ربع

3. انتخاب خودکار مرحله ادغام

نتیجه

فهرست کتابشناختی

مقدمه

هدف چکیده مطالعه و تحلیل مقایسه ایروشهای ادغام عددی توابع؛ پیاده سازی این روش ها در قالب برنامه های ماشینی در زبان سطح بالاو حل عملی مسائل یکپارچه سازی عددی در کامپیوتر.

هنگام حل مسائل مهندسی، اغلب نیاز به محاسبه مقادیر یک انتگرال خاص از فرم است.

اگر تابع در بازه [ آ, ب] و ضد مشتق آن را می توان از طریق یک تابع شناخته شده تعیین کرد، سپس محاسبه چنین انتگرالی مطابق فرمول نیوتن-لایبنیتس انجام می شود:

.

در مسائل مهندسی، به ندرت می توان مقدار انتگرال را به صورت تحلیلی به دست آورد. علاوه بر این، عملکرد f(ایکس) را می توان برای مثال با جدولی از داده های تجربی ارائه کرد. بنابراین در عمل برای محاسبه یک انتگرال معین از روش های خاصی استفاده می شود که مبتنی بر دستگاه درون یابی است.

ایده پشت این روش ها به شرح زیر است. به جای محاسبه انتگرال با استفاده از فرمول (1)، ابتدا مقادیر تابع محاسبه می شود. f(x i) = y مندر برخی از گره ها x i Î[ آ, ب]. سپس چند جمله ای درون یابی انتخاب می شود پ(ایکس) عبور از نقاط به دست آمده ( x i, y من) که در محاسبه مقدار تقریبی انتگرال (1) استفاده می شود:

.

هنگام اجرای این رویکرد، فرمول های ادغام عددی موارد زیر را در نظر می گیرند فرم کلی:

, (2)

گره های درون یابی کجا هستند، یک آیبرخی از ضرایب هستند، آر- عبارت باقیمانده که خطای فرمول را مشخص می کند. توجه داشته باشید که فرمول های شکل (2) را فرمول های ربع می گویند.

معنای هندسی ادغام عددی محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی شکل محدود شده توسط نمودار تابع است. f(ایکس) یک محور آبسیسا و دو خط مستقیم x = aو x = b.یک محاسبه تقریبی مساحت منجر به رد عبارت باقیمانده در فرمول های تربیع می شود. آرمشخص کردن خطای روش، که علاوه بر آن با خطای محاسباتی اضافه می شود.

روش های ادغام عددی

در تحقیقات کاربردی، اغلب نیاز به محاسبه مقدار یک انتگرال معین است

همانطور که از درس ریاضیات مشخص است، محاسبه تحلیلی انتگرال را نمی توان در همه موارد انجام داد. و حتی در مواردی که امکان یافتن شکل تحلیلی این انتگرال وجود دارد، روش محاسبه یک نتیجه تقریبی می دهد، بنابراین مشکل مقدار تقریبی این انتگرال به وجود می آید.

ماهیت محاسبه تقریبی شامل دو عملیات است: 1. در انتخاب یک عدد محدود به جای n. 2. در انتخاب یک نقطه در بخش مربوطه.

بسته به انتخاب، فرمول های مختلفی برای محاسبه انتگرال دریافت می کنیم: فرمول های مستطیل چپ و راست (5)، (6)

(5)

(6)

فرمول ذوزنقه:

فرمول سیمپسون

b، a - انتهای بخش در نظر گرفته شده.

برای مقایسه نتایج محاسباتی با فرمول های انتگرال گیری عددی فوق، انتگرال زیر را به 3 روش محاسبه می کنیم و بخش را به 6 قسمت مساوی تقسیم می کنیم:

طبق فرمول مستطیل های سمت چپ:

طبق فرمول ذوزنقه:

طبق فرمول سیمپسون:

و نتیجه به دست آمده به صورت تحلیلی برابر است با

بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که روش عددی ادغام طبق فرمول سیمپسون دقیق‌تر است، اما در حالت کلی هنگام تقسیم قطعه در حال جداسازی به تعداد بازه‌های زوج استفاده می‌شود.

فرمول های چهارگانه

فرمول های مستطیلساده ترین فرمول های مربعی هستند. اجازه دهید فاصله ادغام را تقسیم کنیم [ الف، ب] در پطول قسمت های مساوی توجه داشته باشید که مقدار ساعتمرحله ادغام نامیده می شود. در نقاط تقسیم ایکس 0 = a,ایکس 1 = a + h, ..., x n = bدستورات را یادداشت کنید y 0 ,y 1 ,…,y nکج شده f(ایکس) یعنی محاسبه کنید i = f(x i)، x i = a+ ih = x i -1 +h(من =). در هر بخش از طول ساعتیک مستطیل با اضلاع بسازید ساعتو y من، جایی که من =، یعنی با مقادیر مختصات محاسبه شده در انتهای سمت چپ بخش ها. سپس مساحت ذوزنقه منحنی، که مقدار انتگرال (1) را تعیین می کند، تقریباً می تواند به عنوان مجموع مساحت مستطیل ها نمایش داده شود (شکل 1). از اینجا فرمول مستطیل ها را بدست می آوریم:

اگر هنگام محاسبه مجموع انتگرال، مقادیر تابع را بگیریم f(ایکس) نه در سمت چپ، بلکه در انتهای سمت راست قطعات طول ساعت، که در شکل نشان داده شده است. یکی خط نقطه چین، سپس نسخه دوم فرمول مستطیل را دریافت می کنیم:

نوع سوم فرمول مستطیل ها را می توان با استفاده از مقادیر تابع به دست آورد f(ایکس) در نقطه وسط هر قطعه طول محاسبه می شود ساعت(شکل 2):

. (5)

فرمول های (3)، (4) و (4) به ترتیب فرمول های مستطیل چپ، راست و مرکزی نامیده می شوند.

برنج. 2

فرمول ذوزنقه ای.در اینجا، در هر بازه ابتدایی [ x i -1 , x i] طول ساعتنقاط با مختصات ( x i -1 , y من-1) و ( x i, y من) توسط یک قطعه متصل می شوند (شکل 3). سپس مساحت ذوزنقه ساخته شده در این فاصله با محصول 0.5 تعیین می شود ساعت(y من -1 + y من). جمع‌بندی مناطق ذوزنقه‌های ابتدایی برای من= مقدار تقریبی انتگرال را بدست می آوریم.

ادغام عددی

سوالات اصلی مطرح شده در سخنرانی:

2. فرمول های مربعی نیوتن-کوتس

3. فرمول های مستطیل

4. فرمول ذوزنقه ای

5. فرمول سیمپسون

6. فرمول های ربع گاوس

7. روش مونت کارلو

1. بیان مسئله ادغام عددی

محاسبه یک انتگرال مشخص از فرم الزامی است و تابع را می توان هم به صورت فرمول و هم به صورت جدول ارائه کرد.

فرمول های مربعی نیوتن-کوتس

,
جایی که - ضرایب کوتس.
این فرمول ها نمایش های متفاوتی را برای تعداد n متفاوت از بخش های پارتیشن در همان بخش ادغام ارائه می دهند.

فرمول های مستطیل

اجازه دهید برای محاسبه انتگرال مورد نیاز باشد.
اگر بخش ادغام به اندازه کافی بزرگ باشد، باید آن را به قطعات کوچکتر با طول مساوی تقسیم کنید، جایی که n تعداد قطعات است، و با جایگزینی ذوزنقه منحنی با یک مستطیل روی هر یک از قطعات، مساحت این مستطیل ها را محاسبه کنید. سپس نواحی حاصل باید جمع شوند و این مقدار به عنوان مقدار تقریبی انتگرال مورد نظر در نظر گرفته می شود.
در مورد ساخت مستطیل ها، آنها را می توان به روش های مختلف ساخت: می توانید یک عمود بر تقاطع با منحنی f (x) از انتهای سمت راست هر بخش (شکل 1) بکشید، می توانید - از انتهای چپ (شکل 2)

برنج. یکی

برنج. 2

بسته به این، فرمول های محاسبه تا حدودی متفاوت است و به ترتیب فرمول های مستطیل با مختصات راست یا چپ نامیده می شود:

(فرمول مستطیل های "راست")

(فرمول مستطیل های "چپ")
همچنین یک فرمول برای مستطیل های "وسط" وجود دارد: که ساخت مستطیل ها از طریق نقاط میانی هر یک از بخش های پارتیشن انجام می شود:

· فرمول ذوزنقه ای

· فرمول سیمپسون

به جای هر بخش از پارتیشن بخشی از منحنی y = f(x)بر روی یک منحنی سهمی، با محاسبه مساحت ارقام حاصل و جمع آنها، فرمول سیمپسون را به دست می آوریم:

·

· فرمول های ربع گاوس

به طور سنتی، هنگام به دست آوردن فرمول های گوسی درجه دوم در انتگرال اصلی، تغییر متغیر انجام می شود و انتگرال روی بخش به انتگرال روی قطعه ترجمه می شود [-1; یک]:

.
سپس .
ما از درونیابی خطی انتگرال استفاده خواهیم کرد.
اگر به جای قطعه [-1; 1] برای در نظر گرفتن گره های متحرک t1، t2 به عنوان گره های درون یابی، سپس باید این مقادیر را انتخاب کنید تا ناحیه ذوزنقه از بالا با خط مستقیمی که از نقاط A1 می گذرد محدود شود (t1, φ(t1) ) و A2 (t2, φ(t2)) برابر با انتگرال هر چند جمله ای برخی بود بالاترین درجه.
با فرض اینکه این یک چند جمله‌ای درجه سوم است، t1، t2 را محاسبه می‌کنیم که به نظر می‌رسد برابر است و فقط در شماره‌گذاری مقادیر متفاوت است.
علاوه بر این، با شکستن بخش ادغام به n بخش، با اعمال ایده ای که در بالا برای هر یک از آنها توضیح داده شد، می توانیم فرمول گاوس را بدست آوریم:

ایده یکپارچه سازی عددی بسیار ساده است و از معنای هندسی انتگرال معین ناشی می شود - مقدار انتگرال معین از نظر عددی برابر با مساحت ذوزنقه منحنی است که توسط نمودار تابع محدود شده است. y=f(x)، محور آبسیسا و خطوط مستقیم x=a، x=b. با یافتن تقریباً مساحت ذوزنقه منحنی، مقدار انتگرال را بدست می آوریم. به طور رسمی، روش یکپارچه سازی عددی شامل این واقعیت است که بخش [a, b] به n بخش جزئی تقسیم می شود و سپس انتگرال بر روی آن با یک تابع به راحتی قابل انتگرال جایگزین می شود، که با توجه به وابستگی خاصی، مقادیر را درون یابی می کند. انتگرال در نقاط پارتیشن اکنون ساده ترین آنها را در نظر بگیرید روشهای عددیادغام.

بنابراین تابع y=f(x)روی یک قطعه قابل ادغام است و باید انتگرال آن را محاسبه کرد. بیایید یک جمع انتگرال برای f(x)در بخش برای انجام این کار، با استفاده از نقاط، بخش را به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم: x 1، x 2، …، x k، …، x n-1.

اگر طول هر قسمت را با علامت گذاری کنیم ایکس، بنابراین، سپس برای هر نقطه x kخواهد داشت: (k=0، 1، 2، …، n).

اجازه دهید در حال حاضر با نشان دادن y kارزش انتگرال f(x)یعنی بگذاریم (k=0، 1، …، n).

سپس مبالغ برای تابع یکپارچه خواهد بود f(x)در بخش . (هنگام کامپایل مجموع اول، مقادیر تابع را در نظر می گیریم y=f(x)در نقاطی که انتهای چپ بخش‌های جزئی هستند و هنگام جمع‌آوری جمع دوم، در نقاطی که انتهای سمت راست این بخش‌ها هستند.)

با تعریف انتگرال داریم:

و

بنابراین، به عنوان یک مقدار تقریبی، گرفتن مجموع انتگرال طبیعی است ، آن ها قرار دادن:

آن ها (1)

و (1")

این برابری های تقریبی را فرمول های مستطیلی می نامند.

در آن صورت زمانی که f(x) 0، فرمول های (1) و (1') از نظر هندسی به این معنی است که مساحت ذوزنقه منحنی aABb، محدود به قوس منحنی است y=f(x)،محور اوهو مستقیم x=aو x=b، تقریباً گرفته می شود مساحت مساویشکل پلکانی که از n مستطیل با پایه و ارتفاع تشکیل شده است: y 0، y 1، y 2، …، y n-1– در مورد فرمول (1) (شکل 8) و y 1، y 2، y 3، …، y n- در مورد فرمول (1") (شکل 9).

بر اساس معنای هندسی بالا فرمول های (1) و (1) معمولاً روش محاسبه تقریبی یک انتگرال معین با استفاده از این فرمول ها نامیده می شود. روش مستطیل.

هر محاسبه تقریبی فقط زمانی ارزش مشخصی دارد که با تخمینی از خطای مربوطه همراه باشد. بنابراین، فرمول‌های مستطیل عملاً برای محاسبه تقریبی انتگرال‌ها مناسب خواهند بود، تنها در صورتی که روش مناسبی برای تخمین خطای حاصل (برای n) وجود داشته باشد، که همچنین امکان یافتن تعداد قسمت‌های n از پارتیشن را فراهم می‌کند. بخش، که درجه مورد نیاز از دقت محاسبه تقریبی را تضمین می کند.

ما این تابع را فرض خواهیم کرد f(x)یک مشتق محدود روی قطعه دارد، بنابراین یک عدد وجود دارد M>0، که برای تمام مقادیر x از نابرابری |f"(x)|M. معنای کیفی این نابرابری این است که میزان تغییر مقدار تابع محدود است. در سیستم های طبیعی واقعی، این نیاز تقریباً همیشه برآورده می شود. تحت این شرایط، مقدار مطلق خطای R n که هنگام محاسبه انتگرال با استفاده از فرمول مستطیل ها مجاز است، می تواند با فرمول تخمین زده شود:

|R n | M(b-a) 2 /2n (2)

با افزایش نامحدود در n، عبارت M(b-a) 2 /2n، و از این رو قدر مطلق خطا R nبه سمت صفر میل خواهد کرد، یعنی. دقت تقریب هر چه بیشتر باشد، بخش به قسمت های مساوی تقسیم می شود. خطای مطلقنتیجه مطمئناً کمتر از عدد داده شده خواهد بود >0 اگر بگیری

n > M(b-a) 2/2 .

بنابراین، برای محاسبه انتگرال با درجه دقت مشخص، کافی است بخش را به تعداد قطعات تقسیم کنید. بیشتر M(b-a) 2/2 . .

روش مستطیل ها ساده ترین و در عین حال خشن ترین روش ادغام تقریبی است. یک خطای قابل توجه کوچکتر با روش دیگری داده می شود - روش ذوزنقه.

بدیهی است که هر چه تعداد n از بخش های پارتیشن بیشتر باشد، نتیجه با فرمول های (3a) و (3b) دقیق تر خواهد بود. با این حال، همیشه نمی توان تعداد بخش های تقسیم بازه ادغام را افزایش داد. بنابراین، فرمول هایی که نتایج دقیق تری برای همان تعداد نقاط پارتیشن ارائه می دهند، بسیار مورد توجه هستند.

ساده ترین این فرمول ها به عنوان میانگین حسابی قسمت های سمت راست فرمول های (1) و (1") به دست می آید:

(4)

دیدن آن آسان است حس هندسیاین فرمول اگر در هر بخش از پارتیشن، قوس نمودار انتگرال y=f(x) با وتری جایگزین شود که آن را کم می کند ( درون یابی خطی، سپس ذوزنقه ای به دست می آوریم که مساحت آن برابر است و بنابراین، فرمول (4) مساحت شکلی است که از چنین ذوزنقه هایی تشکیل شده است (شکل 10). از ملاحظات هندسی، واضح است که مساحت چنین شکلی، به طور کلی، مساحت ذوزنقه منحنی را با دقت بیشتری نسبت به مساحت شکل پلکانی در نظر گرفته شده در روش مستطیل بیان می کند.

با آوردن اصطلاحات مشابه در فرمول (4)، در نهایت به دست می آوریم

فرمول (5) نامیده می شود فرمول ذوزنقه ای.

فرمول ذوزنقه اغلب برای محاسبات عملی استفاده می شود. در مورد برآورد خطا R nهنگامی که سمت چپ (5) با سمت راست جایگزین می شود، به وجود می آید، آنگاه ثابت می شود که مقدار مطلق آن نابرابری را برآورده می کند:

(6)

جایی که M 2حداکثر مدول مشتق دوم انتگرال روی قطعه است، یعنی.

.

در نتیجه، R nحداقل به همان سرعتی کاهش می یابد.

خطای مطلق R nکمتر از یک عدد از پیش تعیین شده خواهد بود > 0 اگر بگیری .

افزایش قابل توجهی در دقت فرمول های تقریبی را می توان با افزایش ترتیب درون یابی به دست آورد. یکی از این روش های ادغام تقریبی، روش سهمی است. ایده روش مبتنی بر این واقعیت است که در یک فاصله جزئی، قوس یک سهمی خاص در حالت کلی بیشتر در مجاورت منحنی است. y=f(x)،از وتر متصل کننده انتهای قوس این منحنی، و بنابراین مقادیر مناطق ذوزنقه های ابتدایی مربوطه که "از بالا" توسط قوس های سهمی محدود شده اند به مقادیر مناطق مربوطه نزدیک تر است. ذوزنقه های منحنی جزئی که از بالا توسط قوس منحنی محدود شده اند y=f(x)،از مقادیر مساحت ذوزنقه های مستطیلی متناظر. ماهیت روش به شرح زیر است. بخش تقسیم شده است 2nقسمت های مساوی. بگذارید نقاط تقسیم شود

x 0 \u003d a، x 1، x 2، ... x 2n-2، x 2n-1، x 2n \u003d b، و برای فرمول سهمی ها - متناسب با مقدار، یعنی. روش سهمی بسیار سریعتر از روش ذوزنقه ای همگرا می شود، در حالی که از نقطه نظر تکنیک محاسباتی، هر دو روش یکسان هستند.