چگونه اعداد را درون یابی کنیم. تعیین یک مقدار میانی با درونیابی خطی
درون یابی, درون یابی (از جانبلات اینترپولیس - « هموار شد، تمدید شد، تجدید شد. تبدیل شده است"") - در ریاضیات محاسباتی، روشی برای یافتن مقادیر میانی یک کمیت از یک مجموعه گسسته موجود از مقادیر شناخته شده است. اصطلاح درون یابی برای اولین بار توسط جان والیس در رساله حساب بی نهایت (1656) استفاده شد.
در تحلیل تابعی، درون یابی عملگرهای خطی بخشی است که فضاهای باناخ را به عنوان عناصر یک دسته خاص در نظر می گیرد.
بسیاری از کسانی که با محاسبات علمی و مهندسی سر و کار دارند، اغلب باید با مجموعه ای از مقادیر به دست آمده به صورت تجربی یا نمونه گیری تصادفی کار کنند. به عنوان یک قاعده، بر اساس این مجموعه ها، لازم است تابعی ساخته شود که سایر مقادیر به دست آمده با دقت بالایی بر روی آن قرار گیرند. چنین کاری تقریب نامیده می شود. درون یابی نوعی تقریب است که در آن منحنی تابع ساخته شده دقیقاً از نقاط داده موجود عبور می کند.
همچنین یک مشکل نزدیک به درون یابی وجود دارد که شامل تقریب برخی است تابع پیچیدهعملکرد ساده تر دیگر اگر یک تابع خاص برای محاسبات تولیدی بیش از حد پیچیده است، می توانید سعی کنید مقدار آن را در چندین نقطه محاسبه کنید، و یک تابع ساده تر از آنها بسازید، یعنی درون یابی کنید. البته، استفاده از یک تابع ساده به شما اجازه نمی دهد که دقیقاً همان نتایجی را که تابع اصلی می دهد به دست آورید. اما در برخی از کلاس‌های مسائل، سود در سادگی و سرعت محاسبات می‌تواند بر خطای حاصله در نتایج غلبه کند.
همچنین باید به نوع کاملاً متفاوتی از درون یابی ریاضی اشاره کرد که به نام " درون یابی عملگر " معروف است. آثار کلاسیک در درونیابی عملگرها شامل قضیه Riesz-Thorin و قضیه Marcinkiewicz است که مبنای بسیاری از کارهای دیگر است.
تعاریف
سیستمی از نقاط غیرمتناسب x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) از دامنه D ( \displaystyle D) . اجازه دهید مقادیر تابع f (\displaystyle f) فقط در این نقاط شناخته شود:
Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i))،\quad i=1،\ldots،N.)
مشکل درونیابی یافتن تابع F (\displaystyle F) از یک کلاس معین از توابع است به طوری که
F (x i) = y i، i = 1، …، N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i)،\quad i=1،\ldots،N.)
- نقاط x i (\displaystyle x_(i)) فراخوانی می شوند گره های درون یابی، و کلیت آنها است شبکه درون یابی.
- جفت های (x i, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) نامیده می شوند نقاط دادهیا نقاط پایه.
- تفاوت بین مقادیر " مجاور " Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - مرحله شبکه درونیابی. می تواند هم متغیر و هم ثابت باشد.
- تابع F (x) (\displaystyle F(x)) - تابع درون یابییا درون یابی.
مثال
1. فرض کنید یک تابع جدول مانند زیر داریم که برای چندین مقدار x (\displaystyle x)، مقادیر مربوط به f (\displaystyle f) را تعیین می کند:
X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))
| 0 | |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
درون یابی به ما کمک می کند تا بدانیم چنین تابعی در نقطه ای غیر از نقاط مشخص شده چه مقدار می تواند داشته باشد (مثلاً وقتی ایکس = 2,5).
تا به امروز، تعداد زیادی وجود دارد راه های مختلفدرون یابی انتخاب مناسب ترین الگوریتم به پاسخ به سؤالات بستگی دارد: روش انتخاب شده چقدر دقیق است، هزینه استفاده از آن چقدر است، تابع درون یابی چقدر صاف است، به چند نقطه داده نیاز دارد و غیره.
2. یک مقدار میانی (با درونیابی خطی) پیدا کنید.
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+ (\frac ((6378-6000))(8000-6000) (8000-1-0) 15.5) (1)) = 16.1993)
در زبان های برنامه نویسی
مثالی از درونیابی خطی برای تابع y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)). کاربر می تواند عددی بین 1 تا 10 وارد کند.
فرترن
برنامه interpol عدد صحیح i واقعی x, y, xv, yv, yv2 بعد x(10) بعد y(10) call prisv(x, i) call func(x, y, i) نوشتن(*,*) "شماره را وارد کنید: "خواندن (*،*) xv اگر ((xv >= 1).and.(xv xv)) سپس yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) پایان اگر end do پایان زیرروالC++
int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2"); system("echo Enter شماره: ")؛ cin >> ob; system("echo برای مثال 62، C1 = 60، L1 = 1.31، C2 = 80، L2 = 1.29")؛ cout > x1؛ cout > x2؛ cout > y1؛ cout > y2؛ p1 = y1 - x1؛ p2 = y2 - x2؛ pi = p2 / p1؛ skolko = ob - x1؛ وضعیت = x2 + (pi * skolko)؛ coutروش های درون یابی
نزدیکترین همسایه الحاق
ساده ترین روش درونیابی، درونیابی نزدیکترین همسایه است.
درونیابی توسط چندجمله ای ها
در عمل، درون یابی توسط چند جمله ای ها بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. این در درجه اول به این دلیل است که چند جمله ای ها به راحتی قابل محاسبه هستند، به راحتی می توان مشتقات آنها را به صورت تحلیلی پیدا کرد و مجموعه چند جمله ای ها در فضا متراکم هستند. توابع پیوسته(قضیه وایرشتراس).
- درون یابی خطی
- فرمول درونیابی نیوتن
- روش تفاضل محدود
- IMN-1 و IMN-2
- چند جمله ای لاگرانژ (چند جمله ای درون یابی)
- طرح آیتکن
- عملکرد اسپلاین
- اسپلاین مکعبی
درونیابی معکوس (محاسبه x داده شده y)
- چند جمله ای لاگرانژ
- درونیابی معکوس با فرمول نیوتن
- درون یابی معکوس گاوس
درون یابی تابع چند متغیره
- درون یابی دو خطی
- درون یابی دو مکعبی
سایر روش های درونیابی
- درون یابی منطقی
- درونیابی مثلثاتی
مفاهیم مرتبط
- برون یابی - روش هایی برای یافتن نقاط خارج از یک بازه معین (گسترش منحنی)
- تقریب - روش هایی برای ساخت منحنی های تقریبی
درونیابی معکوس
بر روی کلاس توابع از فضای C2 که نمودارهای آن از نقاط آرایه عبور می کند (xi, yi), i = 0, 1, . . . ، م.
راه حل. در بین تمام توابعی که از نقاط مرجع (xi, f(xi)) می گذرد و متعلق به فضای مذکور است، این اسپلاین مکعبی S(x) است که شرایط مرزی را برآورده می کند S00(a) = S00(b) = 0. که حداکثر (حداقل) عملکردی (f) را فراهم می کند.
اغلب در عمل مشکل جستجو برای مقدار داده شده تابع مقدار آرگومان وجود دارد. این مشکل با روش های درون یابی معکوس حل می شود. اگر تابع داده شده یکنواخت باشد، ساده ترین راه برای انجام درون یابی معکوس، جایگزینی تابع با یک آرگومان و بالعکس و سپس درون یابی است. اگر تابع داده شده یکنواخت نباشد، نمی توان از این تکنیک استفاده کرد. سپس، بدون تغییر نقش تابع و آرگومان، این یا آن فرمول درون یابی را یادداشت می کنیم. استفاده كردن ارزش های شناخته شدهآرگومان و با در نظر گرفتن تابع معلوم، معادله حاصل را با توجه به آرگومان حل می کنیم.
تخمین ترم باقیمانده هنگام استفاده از روش اول مانند درون یابی مستقیم خواهد بود، فقط مشتقات تابع مستقیم باید با مشتقات تابع معکوس جایگزین شوند. اجازه دهید خطای روش دوم را تخمین بزنیم. اگر تابع f(x) به ما داده شود و Ln (x) چند جمله ای درون یابی لاگرانژ است که برای این تابع بر روی گره های x0، x1، x2، ساخته شده است. . . ، xn، سپس
f (x) - Ln (x) =(n + 1)! (x − x0). . . (x − xn) .
فرض کنید باید مقدار x¯ را پیدا کنیم به طوری که f (¯x) = y¯ (y¯ داده شده است). معادله Ln (x) = y¯ را حل خواهیم کرد. بیایید مقدار x¯ را بدست آوریم. با جایگزینی معادله قبلی به دست می آوریم:
Mn+1 |
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) = |
|||||||||||
|
با استفاده از فرمول لانگرانژ به دست می آوریم |
|||||||||||
|
(x¯ - x¯) f0 (η) = |
|||||||||||
|
که در آن η بین x¯ و x¯ است. اگر بازه‌ای است که حاوی x¯ و x¯ و min است |
|||||||||||
از آخرین عبارت به شرح زیر است:
|x¯ − x¯| 6m1 (n + 1)! |$n (x¯)| .
البته در این حالت فرض بر این است که معادله Ln (x) = y¯ را دقیقاً حل کرده ایم.
استفاده از درون یابی برای جدول بندی
تئوری درون یابی در تدوین جداول توابع کاربرد دارد. با دریافت چنین مسئله ای، ریاضیدان باید قبل از شروع محاسبات، تعدادی سؤال را حل کند. فرمولی که با آن محاسبات انجام خواهد شد باید انتخاب شود. این فرمول ممکن است از سایتی به سایت دیگر متفاوت باشد. معمولاً فرمول‌های محاسبه مقادیر توابع دست و پا گیر هستند و به همین دلیل از آنها برای به دست آوردن مقادیری مرجع استفاده می‌شود و سپس با جدول‌بندی فرعی، جدول را ضخیم‌تر می‌کنند. فرمولی که مقادیر مرجع تابع را می دهد باید دقت مورد نیاز جداول را با در نظر گرفتن جدول بندی زیر ارائه دهد. اگر می خواهید جداول را با یک مرحله ثابت جمع آوری کنید، ابتدا باید مرحله آن را تعیین کنید.
بازگشت اول قبلی بعدی آخرین فهرست پرش
اغلب جداول توابع به گونه ای جمع آوری می شوند که درون یابی خطی (یعنی درون یابی با استفاده از دو عبارت اول فرمول تیلور) امکان پذیر باشد. در این مورد، عبارت باقیمانده به نظر می رسد
R1 (x) =f00 (ξ)h2t (t - 1).
در اینجا ξ متعلق به فاصله بین دو مقدار جدولی مجاور آرگومان است که x در آن قرار دارد و t بین 0 و 1 است. حاصلضرب t(t - 1) بزرگترین مدول را می گیرد.
مقدار در t = 12. این مقدار برابر با 14 است. بنابراین،
باید به خاطر داشت که در کنار این خطا - خطای روش، در محاسبه عملی مقادیر میانی، یک خطای غیرقابل جبران و خطای گرد کردن همچنان رخ می دهد. همانطور که قبلا دیدیم، خطای کشنده در درون یابی خطی برابر با خطای مقادیر جدول بندی شده تابع خواهد بود. خطای گرد کردن بستگی به این دارد امکانات محاسباتیو از برنامه محاسبه
بازگشت اول قبلی بعدی آخرین فهرست پرش
نمایه موضوعی
تقسیم اختلاف مرتبه دوم، 8 مرتبه اول، 8
اسپلاین، 15
گره های درون یابی، 4
بازگشت اول قبلی بعدی آخرین فهرست پرش
/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / نحوه انجام درون یابی
فرمول درونیابی داده های جدولی
در مرحله 2 استفاده می شود، زمانی که مقدار NXR (Q, t) از شرایط میانی است 100 تن و 300 تن.
(استثنا:اگر با شرط Q برابر با 100 یا 300 باشد، نیازی به درونیابی نیست).
y o- مقدار اولیه NHR شما از شرایط، به تن
(مطابق با حرف Q)
y 1 – کمتر
(از جداول 11-16، معمولا 100).
y 2 – بیشتر نزدیکترین مقدار به مقدار NCR شما، بر حسب تن
(از جداول 11-16، معمولا 300).
ایکس 1 y 1 (ایکس 1 روبرو واقع شده است y 1 ) کیلومتر
ایکس 2 - مقدار جدولی عمق انتشار یک ابر هوای آلوده (G t)، به ترتیب y 2 (ایکس 2 روبرو واقع شده است y 2 ) کیلومتر
ایکس 0 - مقدار مورد نظر جی تیمتناظر y o(طبق فرمول).
مثال.
NCR - کلر؛ Q = 120 تن؛
نوع SVSP (درجه مقاومت هوای عمودی) - وارونگی.
پیدا کردن جی تی- مقدار جدولی عمق انتشار ابر هوای آلوده.
ما جداول 11-16 را بررسی می کنیم و داده هایی را پیدا می کنیم که با شرایط شما مطابقت دارد (کلر، وارونگی).
جدول مناسب 11.
انتخاب ارزش ها y 1 , y 2, ایکس 1 , ایکس 2 . مهم - سرعت باد را 1 متر در ثانیه می گیریم، دما را - 20 درجه سانتیگراد می گیریم.
مقادیر انتخاب شده را در فرمول جایگزین کرده و پیدا کنید ایکس 0 .
مهم - محاسبه صحیح است اگر ایکس 0 در جایی بین ارزش خواهد داشت ایکس 1 , ایکس 2 .
1.4. فرمول درونیابی لاگرانژ
الگوریتم پیشنهادی لاگرانژ برای ساخت درونیابی
توابع مطابق جداول (1) ساخت چند جمله ای درون یابی Ln(x) را به شکل ارائه می کند.
بدیهی است که تحقق شرایط (11) برای (10) تحقق شرایط (2) بیان مسئله درون یابی را تعیین می کند.
چند جمله ای های li(x) به صورت زیر نوشته می شوند
توجه داشته باشید که هیچ عاملی در مخرج فرمول (14) برابر با صفر نیست. با محاسبه مقادیر ثابت ci، می توانید از آنها برای محاسبه مقادیر تابع درون یابی در نقاط داده شده استفاده کنید.
فرمول چند جمله ای درون یابی لاگرانژ (11) با در نظر گرفتن فرمول های (13) و (14) را می توان به صورت زیر نوشت:
|
qi (x - x0) (x - x1) K (x - xi -1) (x - xi +1) K (x - xn) |
1.4.1. سازماندهی محاسبات دستی طبق فرمول لاگرانژ
استفاده مستقیم از فرمول لاگرانژ منجر به تعداد زیادی محاسبات از همان نوع می شود. برای جداول با ابعاد کوچک، این محاسبات هم به صورت دستی و هم در محیط نرم افزار قابل انجام است.
در مرحله اول، الگوریتم محاسبات را به صورت دستی در نظر می گیریم. در آینده نیز باید همین محاسبات در محیط تکرار شود
مایکروسافت اکسلیا OpenOffice.org Calc.
روی انجیر شکل 6 نمونه ای از جدول منبع یک تابع درون یابی را نشان می دهد که توسط چهار گره تعریف شده است.
شکل 6. جدول حاوی داده های اولیه برای چهار گره تابع درونیابی
در ستون سوم جدول، مقادیر ضرایب qi محاسبه شده با فرمول (14) را می نویسیم. در زیر رکوردی از این فرمول ها برای n=3 آورده شده است.
q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)
مرحله بعدی در اجرای محاسبات دستی، محاسبه مقادیر li(x) (j=0،1،2،3) است که توسط فرمول (13) انجام می شود.
بیایید این فرمول ها را برای نسخه جدولی که در نظر داریم با چهار گره بنویسیم:
l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3)،
l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3)،
l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3)،(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2).
بیایید مقادیر چند جمله ای li(xj) (j=0,1,2,3) را محاسبه کرده و در خانه های جدول یادداشت کنیم. مقادیر تابع Ycalc(x) طبق فرمول (11) در نتیجه جمع کردن مقادیر li(xj) در ردیف ها به دست می آید.
قالب جدول که شامل ستون هایی از مقادیر محاسبه شده li(xj) و ستونی از مقادیر Ycalc(x) است، در شکل 8 نشان داده شده است.
برنج. 8. جدول با نتایج محاسبات دستی انجام شده توسط فرمول های (16)، (17) و (11) برای همه مقادیر آرگومان xi
پس از تکمیل شکل گیری جدول نشان داده شده در شکل. 8، با فرمول های (17) و (11) می توان مقدار تابع درون یابی شده را برای هر مقدار آرگومان X محاسبه کرد. به عنوان مثال، برای X=1 مقادیر li(1) را محاسبه می کنیم (i= 0،1،2،3):
l0(1)=0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0.2966.
با جمع کردن مقادیر li(1) مقدار Yinterp(1)=3.1463 را بدست می آوریم.
1.4.2. پیاده سازی الگوریتم درون یابی با فرمول های لاگرانژ در محیط برنامه مایکروسافت اکسل
پیاده سازی الگوریتم درون یابی، مانند محاسبات دستی، با نوشتن فرمول هایی برای محاسبه ضرایب qi آغاز می شود. 9 ستون های جدول را با مقادیر داده شده آرگومان، تابع درون یابی و ضرایب qi نشان می دهد. در سمت راست این جدول فرمول هایی وجود دارد که در خانه های ستون C برای محاسبه مقادیر ضرایب qi نوشته شده است.
ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0
c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1
c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2
vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3
برنج. 9 جدول ضرایب چی و فرمول های محاسبه
پس از وارد کردن فرمول q0 در سلول C2، از طریق سلول های C3 به C5 کشیده می شود. پس از آن، فرمول های موجود در این سلول ها مطابق با (16) به شکل نشان داده شده در شکل 1 تصحیح می شوند. 9.
Ycalc (xi)، با پیاده سازی فرمول (17)، فرمول هایی برای محاسبه مقادیر li(x) (i=0،1،2،3) در سلول های ستون های D، E، F و G می نویسیم. در سلول D2 برای محاسبه مقدار l0(x0)، فرمول را می نویسیم:
=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5)،
مقادیر l0 (xi) (i=0,1,2,3) را بدست می آوریم.
قالب پیوند $A2 به شما امکان می دهد فرمول را در امتداد ستون های E، F، G بکشید تا فرمول های محاسباتی برای محاسبه li(x0) (i=1,2,3) را تشکیل دهید. کشیدن فرمول روی یک ردیف، شاخص ستون آرگومان ها را تغییر نمی دهد. برای محاسبه li(x0) (i=1,2,3) پس از رسم فرمول l0(x0) لازم است طبق فرمول (17) اصلاح شوند.
در ستون H قرار داده است فرمول های اکسلبرای جمع li(x) با فرمول
(11) الگوریتم.
روی انجیر 10 جدول پیاده سازی شده در محیط برنامه Microsoft Excel را نشان می دهد. نشانه صحت فرمول های نوشته شده در سلول های جدول و عملیات محاسباتی انجام شده، ماتریس مورب حاصل li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3) با تکرار نتایج نشان داده شده در شکل. 8 و ستونی از مقادیر مطابق با مقادیر تابع درون یابی شده در گره های جدول اصلی.
برنج. 10. جدول مقادیر li(xj) (j=0،1،2،3) و Ycalc(xj)
برای محاسبه مقادیر در برخی از نقاط میانی، کافی است
در سلول های ستون A، با شروع از سلول A6، مقادیر آرگومان X را که می خواهید مقادیر تابع درون یابی شده را برای آن تعیین کنید، وارد کنید. برجسته
در آخرین خط (5) جدول سلولی از l0(xn) تا Ycalc(xn) و فرمول های نوشته شده در سلول های انتخاب شده را به خط حاوی آخرین کشش دهید.
مقدار داده شده آرگومان x.
روی انجیر 11 جدولی را نشان می دهد که در آن محاسبه مقدار تابع در سه امتیاز: x=1، x=2 و x=3. یک ستون اضافی با شماره ردیف جدول داده منبع به جدول معرفی شده است.
برنج. 11. محاسبه مقادیر توابع درون یابی با استفاده از فرمول لاگرانژ
برای وضوح بیشتر نمایش نتایج درون یابی، جدولی می سازیم که شامل ستونی از مقادیر آرگومان X به ترتیب صعودی، ستونی از مقادیر اولیه تابع Y(X) و ستونی است.
به من بگویید چگونه از فرمول درون یابی و کدام یک در حل مسائل ترمودینامیک (مهندسی گرما) استفاده کنم.
ایوان شستاکوویچ
ساده ترین، اما اغلب به اندازه کافی دقیق نیست، خطی است. زمانی که از قبل دو نقطه شناخته شده (X1 Y1) و (X2 Y2) دارید و باید مقادیر Y روز برخی از X را پیدا کنید که بین X1 و X2 است. سپس فرمول ساده است.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
به هر حال، این فرمول برای مقادیر X خارج از بازه X1..X2 نیز کار می کند، اما قبلاً به آن برون یابی می گویند و در فاصله قابل توجهی از این بازه، خطای بسیار بزرگی می دهد.
بسیاری از تشک های دیگر وجود دارد. روش های درون یابی - به شما توصیه می کنم کتاب درسی را بخوانید یا از طریق اینترنت جستجو کنید.
روش درونیابی گرافیکی نیز منتفی نیست - به صورت دستی نموداری را از طریق نقاط شناخته شده بکشید و Y را از نمودار برای X مورد نیاز پیدا کنید. ;)
رمان
شما دو معنی دارید. و تقریباً وابستگی (خطی، درجه دوم، ..)
نمودار این تابع از دو نقطه شما عبور می کند. شما به یک مقدار در جایی در این بین نیاز دارید. خب بیان!
مثلا. در جدول، در دمای 22 درجه، فشار بخار اشباع 120000 Pa و در 26، 124000 Pa است. سپس در دمای 23 درجه 121000 Pa.
درون یابی (مختصات)
روی نقشه یک شبکه مختصات وجود دارد (تصویر).
دارای برخی از نقاط مرجع شناخته شده (n>3) با دو است مقادیر x,y- مختصات بر حسب پیکسل و مختصات بر حسب متر.
لازم است مقادیر میانی مختصات را در متر با دانستن مختصات در پیکسل پیدا کنید.
درون یابی خطی مناسب نیست - خطای بیش از حد خارج از خط.
مانند این: (Xc - مختصات بر حسب متر در x، Xp - مختصات بر حسب پیکسل با x، Xc3 - مقدار مورد نظر با x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2
چگونه می توان همان فرمول را برای یافتن Xc و Yc، با توجه به دو (مانند اینجا)، اما N نقطه مرجع شناخته شده پیدا کرد؟
سرخس جوکا پایین آمد
با توجه به فرمول های نوشته شده، آیا محورهای سیستم های مختصات بر حسب پیکسل و متر بر هم منطبق هستند؟
یعنی Xp -> Xc به طور مستقل درون یابی می شود و Yp -> Yc به طور مستقل درون یابی می شود. اگر نه، پس باید از درون یابی دو بعدی Xp,Yp->Xc و Xp,Yp->Yc استفاده کنید که تا حدودی کار را پیچیده می کند.
علاوه بر این، فرض بر این است که مختصات Xp و Xc با مقداری وابستگی به هم مرتبط هستند.
اگر ماهیت وابستگی مشخص باشد (یا فرض شود، برای مثال، فرض کنیم که Xc=a*Xp^2+b*Xp+c)، آنگاه می توانید پارامترهای این وابستگی را دریافت کنید (برای وابستگی داده شده a ، ب، ج) با استفاده از تجزیه و تحلیل رگرسیون(روش کمترین مربعات) . در این روش، اگر یک وابستگی خاص Xc(Xp) را مشخص کنید، می توانید فرمولی برای پارامترهای وابستگی به داده های مرجع دریافت کنید. این روش به ویژه اجازه می دهد تا یک وابستگی خطی را پیدا کنید، بهترین راهارضای این مجموعه داده
عیب: در این روش، مختصات Xc به دست آمده از داده های نقاط کنترل Xp ممکن است با مختصات داده شده متفاوت باشد. به عنوان مثال، خط مستقیم تقریبی ترسیم شده از نقاط آزمایشی دقیقاً از خود این نقاط عبور نمی کند.
اگر مطابقت دقیق مورد نیاز است و ماهیت وابستگی نامشخص است، باید از روش های درون یابی استفاده کرد. ساده ترین آنها از نظر ریاضی چند جمله ای درون یابی لاگرانژ است که دقیقاً از نقاط مرجع عبور می کند. با این حال، به دلیل درجه بالای این چند جمله ای در اعداد بزرگنقاط مرجع و کیفیت بددرون یابی، بهتر است از آن استفاده نکنید. مزیت فرمول نسبتا ساده است.
بهتر است از درون یابی اسپلاین استفاده کنید. ماهیت این روش این است که در هر بخش بین دو نقطه مجاور، وابستگی مورد مطالعه توسط یک چند جمله ای درون یابی می شود و شرایط همواری در نقاط اتصال دو بازه نوشته می شود. مزیت این روش کیفیت درون یابی است. معایب - استخراج یک فرمول کلی تقریبا غیرممکن است، شما باید ضرایب چند جمله ای را در هر بخش به صورت الگوریتمی پیدا کنید. یکی دیگر از معایب دشواری تعمیم به درون یابی دو بعدی است.
بسیاری از ما در علوم مختلف به اصطلاحات نامفهومی برخورد کرده ایم. اما افراد بسیار کمی هستند که از کلمات نامفهوم نمی ترسند، بلکه برعکس، روحیه می دهند و آنها را مجبور می کنند تا در موضوع مورد مطالعه عمیق تر شوند. امروز ما در مورد چیزی به عنوان درون یابی صحبت خواهیم کرد. این روشی برای رسم نمودارها با استفاده از نقاط شناخته شده است که امکان پیش بینی رفتار آن در بخش های خاصی از منحنی را با حداقل مقدار اطلاعات در مورد تابع فراهم می کند.
قبل از اینکه به اصل خود تعریف بپردازیم و در مورد آن با جزئیات بیشتر صحبت کنیم، اجازه دهید کمی به تاریخچه بپردازیم.
داستان
درون یابی از زمان های قدیم شناخته شده است. با این حال، این پدیده توسعه خود را مدیون چند تن از برجسته ترین ریاضیدانان گذشته است: نیوتن، لایب نیتس و گرگوری. آنها بودند که این مفهوم را با کمک پیشرفته تر توسعه دادند راه های ریاضیدر آن زمان موجود است. البته قبل از آن از درون یابی استفاده می شد و در محاسبات استفاده می شد، اما آنها این کار را به روش های کاملاً نادرست انجام می دادند و برای ساخت مدلی کم و بیش نزدیک به واقعیت، به حجم زیادی داده نیاز داشتند.
امروزه حتی می توانیم انتخاب کنیم که کدام یک از روش های درون یابی مناسب تر است. همه چیز به یک زبان کامپیوتر ترجمه می شود که می تواند با دقت زیادی رفتار یک تابع را در یک منطقه خاص، محدود به نقاط شناخته شده، پیش بینی کند.
درون یابی مفهومی نسبتاً محدود است، بنابراین تاریخچه آن از نظر واقعیات چندان غنی نیست. در بخش بعدی متوجه خواهیم شد که درون یابی در واقع چیست و چه تفاوتی با نقطه مقابل آن - برون یابی - دارد.
درون یابی چیست؟
همانطور که قبلاً گفتیم، این نام کلی روش هایی است که به شما امکان می دهد نمودار را بر اساس نقاط رسم کنید. در مدرسه، این کار عمدتاً با جمع‌آوری جدول، شناسایی نقاط روی نمودار و ایجاد خطوطی که آنها را به هم متصل می‌کند، انجام می‌شود. آخرین اقدام بر اساس ملاحظات شباهت تابع مورد مطالعه با سایرین انجام می شود که نوع نمودارهای آن را می دانیم.
با این حال، راه‌های دیگری، پیچیده‌تر و دقیق‌تر برای انجام وظیفه ترسیم نمودار نقطه به نقطه وجود دارد. بنابراین، درون یابی در واقع یک "پیش بینی" از رفتار یک تابع در یک منطقه خاص است که توسط نقاط شناخته شده محدود شده است.
مفهوم مشابهی در ارتباط با همان منطقه وجود دارد - برون یابی. همچنین پیش‌بینی نمودار یک تابع است، اما فراتر از نقاط شناخته شده نمودار. با این روش بر اساس رفتار یک تابع در یک بازه معلوم پیش بینی می شود و سپس این تابع در بازه مجهول نیز اعمال می شود. این روش برای کاربرد عملیو بطور فعال به عنوان مثال در اقتصاد برای پیش بینی فراز و نشیب در بازار و پیش بینی وضعیت جمعیتی کشور استفاده می شود.
اما از موضوع اصلی منحرف شده ایم. در قسمت بعدی متوجه خواهیم شد که درون یابی چیست و با چه فرمولی می توان این عملیات را انجام داد.
انواع درونیابی
توسط بیشترین نمای سادهنزدیکترین درونیابی همسایه است. با این روش یک نمودار بسیار تقریبی متشکل از مستطیل ها بدست می آوریم. اگر تا به حال توضیحی دیده اید معنی هندسیانتگرال روی نمودار، متوجه خواهید شد که در مورد چه نوع فرم گرافیکی صحبت می کنیم.
علاوه بر این، روش های دیگری نیز برای درون یابی وجود دارد. معروف ترین و محبوب ترین آنها با چند جمله ای ها مرتبط هستند. آنها دقیق تر هستند و امکان پیش بینی رفتار یک تابع را با مجموعه ای نسبتاً ناچیز از مقادیر فراهم می کنند. اولین روش درونیابی که به آن نگاه خواهیم کرد، درونیابی چند جمله ای خطی است. این ساده ترین روش از این دسته است و مطمئناً هر یک از شما در مدرسه از آن استفاده کرده اید. ماهیت آن در ساخت خطوط مستقیم بین نقاط شناخته شده نهفته است. همانطور که می دانید یک خط مستقیم از دو نقطه صفحه می گذرد که بر اساس مختصات این نقاط می توان معادله آنها را پیدا کرد. با ساختن این خطوط مستقیم، یک نمودار شکسته دریافت می کنیم، که حداقل، مقادیر تقریبی توابع را نشان می دهد و در به طور کلیبا واقعیت مطابقت دارد درون یابی خطی اینگونه عمل می کند.
انواع پیچیده درون یابی
جالب تر، اما بیشتر وجود دارد راه سختدرون یابی این توسط ریاضیدان فرانسوی جوزف لوئیس لاگرانژ اختراع شد. به همین دلیل است که محاسبه درون یابی با این روش به نام او نامگذاری شده است: درونیابی به روش لاگرانژ. ترفند اینجا این است: اگر روش ذکر شده در پاراگراف قبلی فقط از روش استفاده می کند تابع خطی، سپس بسط لاگرانژ همچنین شامل استفاده از چند جمله ای می شود درجات بالا. اما یافتن خود فرمول های درونیابی برای توابع مختلف چندان آسان نیست. و هر چه نقاط بیشتر شناخته شود، فرمول درونیابی دقیق تر است. اما روش های بسیار دیگری نیز وجود دارد.
همچنین یک روش محاسبه کامل تر و نزدیک به واقعیت وجود دارد. فرمول درون یابی به کار رفته در آن مجموعه ای از چندجمله ای است که کاربرد هر کدام به مقطع تابع بستگی دارد. به این روش تابع spline می گویند. علاوه بر این، راه هایی نیز برای انجام چنین کاری وجود دارد، مانند درون یابی توابع دو متغیر. در اینجا فقط دو روش وجود دارد. از جمله آنها می توان به درونیابی دو خطی یا دوگانه اشاره کرد. این روش به شما این امکان را می دهد که به راحتی یک نمودار بر اساس نقاط در فضای سه بعدی بسازید. روش های دیگر تحت تاثیر قرار نمی گیرند. به طور کلی، درون یابی یک نام جهانی برای همه این روش های رسم نمودار است، اما انواع روش هایی که می توان این عمل را انجام داد، ما را مجبور می کند بسته به نوع تابعی که تحت این عمل قرار می گیرد، آنها را به گروه هایی تقسیم کنیم. یعنی درون یابی که نمونه ای از آن را در بالا در نظر گرفتیم به روش های مستقیم اشاره دارد. درون یابی معکوس نیز وجود دارد که از این جهت متفاوت است که به شما امکان می دهد نه یک تابع مستقیم، بلکه یک تابع معکوس (یعنی x از y) را محاسبه کنید. ما گزینه های دوم را در نظر نخواهیم گرفت، زیرا بسیار دشوار است و به یک پایگاه دانش ریاضی خوب نیاز دارد.
بیایید به شاید یکی از مهم ترین بخش ها برویم. از آن می آموزیم که چگونه و کجا مجموعه روش هایی که در مورد آن بحث می کنیم در زندگی اعمال می شود.
کاربرد
همانطور که می دانید ریاضیات ملکه علوم است. بنابراین، حتی اگر در ابتدا نکته ای را در عملیات خاصی مشاهده نکنید، این به معنای بی فایده بودن آنها نیست. به عنوان مثال، به نظر می رسد که درون یابی چیز بیهوده ای است که با کمک آن فقط می توان نمودارهایی ساخت که اکنون افراد کمی به آن نیاز دارند. با این حال، در هر محاسباتی در مهندسی، فیزیک و بسیاری از علوم دیگر (به عنوان مثال، زیست شناسی)، ارائه یک تصویر نسبتاً کامل از این پدیده، در عین داشتن مجموعه ای از مقادیر، بسیار مهم است. خود مقادیری که در نمودار پراکنده شده اند، همیشه ایده روشنی از رفتار تابع در یک منطقه خاص، مقادیر مشتقات آن و نقاط تقاطع با محورها به دست نمی دهند. و این برای بسیاری از زمینه های زندگی ما بسیار مهم است.
و چگونه در زندگی مفید خواهد بود؟
پاسخ به چنین سوالی می تواند بسیار دشوار باشد. اما پاسخ ساده است: هیچ راهی. این دانش برای شما فایده ای ندارد. اما اگر این مطالب و روش های انجام این اقدامات را درک کنید، منطق خود را آموزش خواهید داد که در زندگی بسیار مفید خواهد بود. نکته اصلی خود دانش نیست، بلکه مهارت هایی است که فرد در فرآیند مطالعه به دست می آورد. از این گذشته ، بی جهت نیست که یک ضرب المثل وجود دارد: "یک قرن زندگی کنید - یک قرن بیاموزید".
مفاهیم مرتبط
با نگاه کردن به انواع دیگر مفاهیم مرتبط با این، می توانید خودتان متوجه شوید که این حوزه از ریاضیات چقدر مهم بوده (و هنوز هم هست). ما قبلاً در مورد برون یابی صحبت کرده ایم، اما یک تقریب نیز وجود دارد. شاید قبلاً این کلمه را شنیده باشید. در هر صورت، ما در این مقاله معنای آن را نیز تحلیل کردیم. تقریب، مانند درون یابی، مفاهیم مربوط به رسم نمودارهای تابع هستند. اما تفاوت بین اول و دوم این است که یک نمودار تقریبی بر اساس مشابه است نمودارهای معروف. این دو مفهوم شباهت زیادی به یکدیگر دارند و مطالعه هر یک از آنها جالب تر است.
نتیجه
ریاضیات آنقدرها که در نگاه اول به نظر می رسد، علم سختی نیست. او نسبتا جالب است. و در این مقاله سعی کردیم آن را به شما ثابت کنیم. ما به مفاهیم مرتبط با رسم نمودارها نگاه کردیم، یاد گرفتیم که درون یابی مضاعف چیست و با مثال هایی تجزیه و تحلیل کردیم که در آن از آن استفاده می شود.
درون یابی. مقدمه. بیان کلی مشکل
هنگام حل انواع مختلف وظایف عملینتایج تحقیق در قالب جداولی تهیه می شود که وابستگی یک یا چند مقدار اندازه گیری شده را به یک پارامتر تعیین کننده (استدلال) نشان می دهد. این گونه جداول معمولاً در قالب دو یا چند ردیف (ستون) ارائه می شوند و برای شکل دادن به مدل های ریاضی استفاده می شوند.
جدول بندی شده در مدل های ریاضیتوابع معمولاً در جداول به شکل زیر نوشته می شوند:
Y1 (X) | Y (X0) | Y (X1) | Y(Xn) | ||
Ym(X) | Y (X0) | Y (X1) | Y(Xn) |
اطلاعات محدود ارائه شده توسط این جداول، در برخی موارد، مستلزم به دست آوردن مقادیر توابع Yj (X) (j=1,2,…,m) در نقاط X است که با نقاط گرهی جدول منطبق نیست. X i (i=0,1,2,… ,n). در چنین مواردی، برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع مورد بررسی Y j (X) در نقاطی که به طور دلخواه X مشخص شده اند، لازم است مقداری عبارت تحلیلی φj (X) تعیین شود. تابع φ j (X) که برای تعیین مقادیر تقریبی تابع Y j (X) استفاده می شود تابع تقریبی نامیده می شود (از لاتین approximo - نزدیک شدن). نزدیکی تابع تقریبی φj (X) به تابع تقریبی Yj (X) با انتخاب الگوریتم تقریب مناسب تضمین می‌شود.
ما تمام ملاحظات و نتیجه گیری های بیشتر را برای جداول حاوی داده های اولیه یک تابع مورد بررسی (یعنی برای جداول با m=1) انجام خواهیم داد.
1. روش های درون یابی
1.1 بیان مسئله درونیابی
اغلب برای تعیین تابع φ(X) از یک دستور استفاده می شود که به آن عبارت مسئله درون یابی می گویند.
در این فرمول کلاسیک مسئله درون یابی، لازم است یک تابع تحلیلی تقریبی φ(X) که مقادیر آن در نقاط گره ای X i تعیین شود. با مقادیر مطابقت دهید Y(X i) از جدول اصلی، i.e. شرایط
ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n ) |
تابع تقریبی φ(X) که به این ترتیب ساخته شده است، به دست آوردن یک تقریب نسبتا نزدیک به تابع درون یابی Y(X) در محدوده مقادیر آرگومان [X 0 ; X n ] که توسط جدول تعریف شده است. هنگام تنظیم مقادیر آرگومان X، مالک نیستدر این بازه، وظیفه درون یابی به وظیفه برون یابی تبدیل می شود. در این موارد دقت
مقادیر بدست آمده هنگام محاسبه مقادیر تابع φ(X) به فاصله مقدار آرگومان X از X 0 در صورت X بستگی دارد<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.
در مدل سازی ریاضی، تابع درون یابی می تواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع مورد مطالعه در نقاط میانی زیر بازه ها استفاده شود [Х i ; Xi+1]. چنین رویه ای نامیده می شود مهر جدول.
الگوریتم درون یابی با روش محاسبه مقادیر تابع φ(X) تعیین می شود. ساده ترین و واضح ترین پیاده سازی تابع درون یابی جایگزینی تابع بررسی شده Y(X) در بازه [X i ; Х i+1 ] توسط پاره خطی که نقاط Y i، Y i+1 را به هم متصل می کند. این روش را روش درونیابی خطی می نامند.
1.2 درونیابی خطی
با درون یابی خطی، مقدار تابع در نقطه X، واقع بین گره های X i و X i+1، با فرمول یک خط مستقیم که دو نقطه مجاور جدول را به هم متصل می کند، تعیین می شود.
Y(X) = Y(Xi )+ | Y(Xi + 1) - Y(Xi) | (X − Xi) (i= 0،1،2، ...،n)، | |
Xi+ 1− Xi | |||
روی انجیر 1 نمونه ای از جدولی را نشان می دهد که در نتیجه اندازه گیری مقدار مشخصی Y(X) به دست آمده است. ردیف های جدول منبع برجسته شده اند. در سمت راست جدول یک نمودار پراکندگی مربوط به این جدول وجود دارد. تراکم جدول به دلیل محاسبه با فرمول انجام می شود
(3) مقادیر تابع که در نقاط Х مربوط به نقاط میانی زیر بازه‌ها (i=0، 1، 2، …، n) تقریب می‌شوند.
عکس. 1. جدول فشرده تابع Y(X) و نمودار مربوط به آن
هنگام در نظر گرفتن نمودار در شکل. 1 مشاهده می شود که نقاط به دست آمده در نتیجه تراکم جدول با استفاده از روش درون یابی خطی بر روی پاره های خطی قرار دارند که نقاط جدول اصلی را به هم متصل می کنند. دقت خطی
درون یابی، اساساً به ماهیت تابع درون یابی و به فاصله بین گره های جدول X i, , X i+1 بستگی دارد.
بدیهی است، اگر عملکرد صاف باشد، حتی برای نسبتاً مسافت طولانیبین گره ها، نموداری که با اتصال نقاط با پاره های خط مستقیم ساخته می شود، تخمین دقیق ماهیت تابع Y(X) را ممکن می سازد. اگر تابع به اندازه کافی سریع تغییر کند و فواصل بین گره ها زیاد باشد، تابع درونیابی خطی اجازه نمی دهد تا یک تقریب به اندازه کافی دقیق برای تابع واقعی بدست آوریم.
تابع درونیابی خطی را می توان برای تجزیه و تحلیل اولیه کلی و ارزیابی صحت نتایج درونیابی استفاده کرد که سپس با روش های دقیق تر دیگر به دست می آیند. چنین ارزیابی به ویژه در مواردی که محاسبات به صورت دستی انجام می شود، مهم می شود.
1.3 درونیابی با چند جمله ای متعارف
روش درونیابی یک تابع توسط یک چند جمله ای متعارف بر اساس ساخت یک تابع درون یابی به صورت چند جمله ای به شکل [1] است.
ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn |
ضرایب i از چند جمله ای (4) پارامترهای درون یابی آزاد هستند که از شرایط لاگرانژ تعیین می شوند:
Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)
با استفاده از (4) و (5) سیستم معادلات را می نویسیم
Cx+ cx2 | C xn = Y |
|||||||
Cx+ cx2 | Cxn | |||||||
Cx2 | C xn = Y |
|||||||
بردار حل با i (i = 0, 1, 2, …, n ) از یک سیستم خطی معادلات جبری(6) وجود دارد و اگر هیچ گره منطبقی در بین گره های i وجود نداشته باشد، می توان آن را یافت. تعیین کننده سیستم (6) تعیین کننده Vandermonde1 نامیده می شود و بیانی تحلیلی دارد [2].
1 تعیین کننده واندرموند تعیین کننده نامیده می شود
اگر و فقط اگر xi = xj برای برخی صفر است. (مواد از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد)
برای تعیین مقادیر ضرایب با i (i = 0، 1، 2، …، n)
معادلات (5) را می توان به صورت ماتریس برداری نوشت
A* C=Y،
که در آن A ماتریس ضرایب تعیین شده توسط جدول توان های بردار آرگومان X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)
x0 2 | x0 n | ||||||||
xn 2 | xn n | ||||||||
C یک بردار ستونی از ضرایب i است (i = 0، 1، 2، ...، n)، و Y بردار ستونی از مقادیر Y i (i = 0، 1، 2، ...، n) از درون یابی است. عملکرد در گره های درون یابی
راه حل این سیستم معادلات جبری خطی را می توان با یکی از روش های شرح داده شده در [3] به دست آورد. مثلا طبق فرمول
С = A− 1 Y، |
که در آن A -1 ماتریس معکوس ماتریس A است. برای گرفتن ماتریس معکوسو -1 می توانید از تابع MOBR () استفاده کنید که در مجموعه توابع استاندارد برنامه مایکروسافت اکسل گنجانده شده است.
پس از تعیین مقادیر ضرایب با i، با استفاده از تابع (4)، می توان مقادیر تابع درون یابی را برای هر مقدار از آرگومان ها محاسبه کرد.
بیایید ماتریس A را برای جدول نشان داده شده در شکل 1، بدون در نظر گرفتن ردیف هایی که جدول را متراکم می کنند، بنویسیم.
شکل 2 ماتریس سیستم معادلات برای محاسبه ضرایب چند جمله ای متعارف
با استفاده از تابع MOBR() ماتریس A -1 را معکوس به ماتریس A بدست می آوریم (شکل 3). سپس طبق فرمول (9) بردار ضرایب С=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T نشان داده شده در شکل را بدست می آوریم. چهار
برای محاسبه مقادیر چند جمله ای متعارف در سلول ستون Y متعارف مربوط به مقادیر 0، فرمول تبدیل شده را به شکل زیر مربوط به ردیف صفر سیستم معرفی می کنیم (6).
=((((ج 5 | * x 0 + c 4 ) * x 0 + c 3 ) * x 0 + c 2 ) * x 0 + c 1 ) * x 0 + c 0 | |
C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))
به جای نوشتن "c i" در فرمول وارد شده در سلول جدول اکسل، باید یک مرجع مطلق به سلول مربوطه حاوی این ضریب وجود داشته باشد (شکل 4 را ببینید). به جای "x 0" - یک ارجاع نسبی به ستون ستون X (نگاه کنید به شکل 5).
Y متعارف (0) از مقداری که با مقدار سلول Y lin (0) مطابقت دارد. هنگام کشیدن فرمول نوشته شده در سلول Y متعارف (0)، مقادیر Y متعارف (i) نیز باید مطابق با نقاط گره اصلی باشد.
جداول (شکل 5 را ببینید).
برنج. 5. نمودارهای ساخته شده بر اساس جداول درونیابی خطی و متعارف
با مقایسه نمودارهای توابع ساخته شده بر اساس جداول محاسبه شده با استفاده از فرمول های درون یابی خطی و متعارف، در تعدادی از گره های میانی انحراف قابل توجهی از مقادیر به دست آمده توسط فرمول های درون یابی خطی و متعارف مشاهده می کنیم. می توان بر اساس به دست آوردن، صحت درونیابی را منطقی تر قضاوت کرد اطلاعات اضافیدر مورد ماهیت فرآیند مدل سازی شده
درون یابی نوعی تقریب است که در آن منحنی تابع ساخته شده دقیقاً از نقاط داده موجود عبور می کند.
همچنین یک مشکل نزدیک به درون یابی وجود دارد که شامل تقریب یک تابع پیچیده توسط یک تابع ساده تر است. اگر یک تابع خاص برای محاسبات تولیدی بیش از حد پیچیده است، می توانید سعی کنید مقدار آن را در چندین نقطه محاسبه کنید، و یک تابع ساده تر از آنها بسازید، یعنی درون یابی کنید. البته، استفاده از یک تابع ساده به شما اجازه نمی دهد که دقیقاً همان نتایجی را که تابع اصلی می دهد به دست آورید. اما در برخی از کلاس‌های مسائل، سود در سادگی و سرعت محاسبات می‌تواند بر خطای حاصله در نتایج غلبه کند.
همچنین باید به نوع کاملاً متفاوتی از درون یابی ریاضی اشاره کرد که به نام " درون یابی عملگر " معروف است. کارهای کلاسیک در مورد درونیابی عملگرها شامل قضیه Riesz-Thorin و قضیه Marcinkiewicz است که مبنای بسیاری از کارهای دیگر است.
تعاریف
سیستمی از نقاط غیر منطبق () از یک منطقه را در نظر بگیرید. اجازه دهید مقادیر تابع فقط در این نقاط شناخته شود:
مشکل درونیابی یافتن چنین تابعی از یک کلاس معین از توابع است که
مثال
1. فرض کنید یک تابع جدول داریم، مانند تابعی که در زیر توضیح داده شده است، که برای چندین مقدار، مقادیر مربوطه را تعیین می کند:
| 0 | 0 |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
درون یابی به ما کمک می کند تا بفهمیم چنین تابعی در نقطه ای غیر از موارد مشخص شده چه مقداری می تواند داشته باشد (مثلاً وقتی ایکس = 2,5).
تا به امروز، روش های مختلفی برای درون یابی وجود دارد. انتخاب مناسب ترین الگوریتم به پاسخ به سؤالات بستگی دارد: روش انتخاب شده چقدر دقیق است، هزینه استفاده از آن چقدر است، تابع درون یابی چقدر صاف است، به چند نقطه داده نیاز دارد و غیره.
2. یک مقدار میانی (با درونیابی خطی) پیدا کنید.
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
روش های درون یابی
نزدیکترین همسایه الحاق
ساده ترین روش درونیابی، درونیابی نزدیکترین همسایه است.
درونیابی توسط چندجمله ای ها
در عمل، درون یابی توسط چند جمله ای ها بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. این در درجه اول به این دلیل است که چند جمله ای ها به راحتی محاسبه می شوند، به راحتی می توان مشتقات آنها را به صورت تحلیلی یافت، و مجموعه چند جمله ای ها در فضای توابع پیوسته متراکم هستند (قضیه وایرشتراس).
- IMN-1 و IMN-2
- چند جمله ای لاگرانژ (چند جمله ای درون یابی)
- طرح آیتکن
درونیابی معکوس (محاسبه x داده شده y)
- درونیابی معکوس با فرمول نیوتن
درون یابی تابع چند متغیره
سایر روش های درونیابی
- درونیابی مثلثاتی
مفاهیم مرتبط
- برون یابی - روش هایی برای یافتن نقاط خارج از یک بازه معین (گسترش منحنی)
- تقریب - روش هایی برای ساخت منحنی های تقریبی
همچنین ببینید
- هموارسازی داده های آزمایشی
بنیاد ویکی مدیا 2010 .
مترادف ها:ببینید "Interpolation" در سایر لغت نامه ها چیست:
1) راهی برای تعیین از یک سری مقادیر داده شده هر کدام بیان ریاضیمقادیر میانی آن؛ بنابراین، برای مثال، با توجه به برد گلوله توپ در زاویه ارتفاع از محور کانال توپ 1 درجه، 2 درجه، 3 درجه، 4 درجه و غیره، می توان با استفاده از ... ... فرهنگ لغت کلمات خارجی زبان روسی
درج، درونیابی، گنجاندن، جستجو فرهنگ لغت مترادف روسی. درون یابی را به فرهنگ لغت مترادف های زبان روسی درج کنید. راهنمای عملی M.: زبان روسی. Z. E. Alexandrova. 2… فرهنگ لغت مترادف
درون یابی- محاسبه مقادیر میانی بین دو نقطه شناخته شده. به عنوان مثال: درون یابی خطی خطی نماییدرون یابی فرآیند خروجی یک تصویر رنگی زمانی که پیکسل های متعلق به ناحیه بین دو رنگ ... ... کتابچه راهنمای مترجم فنی
- (interpolation) تخمین مقدار یک مقدار مجهول بین دو نقطه از یک سری مقادیر شناخته شده. به عنوان مثال، با دانستن شاخص های جمعیت کشور، به دست آمده در طی سرشماری، که در فواصل زمانی 10 ساله انجام شده است، می توانید ... ... واژه نامه اصطلاحات تجاری
از لاتین در واقع "جعلی". این نامی است که به تصحیح های اشتباه یا درج های بعدی در نسخه های خطی ساخته شده توسط کاتبان یا خوانندگان داده می شود. به خصوص اغلب این اصطلاح در نقد نسخه های خطی نویسندگان باستان به کار می رود. در این دست نوشته ها ... دایره المعارف ادبی
یافتن مقادیر میانی برخی از نظم (تابع) توسط تعدادی از مقادیر شناخته شده آن. به انگلیسی: Interpolation همچنین نگاه کنید به: Transformations Data Dictionary Financial Finam ... واژگان مالی
درون یابی- و خب. درون یابی f. لات تغییر درون یابی؛ تغییر، تحریف 1. درج با منشأ متأخر که در آن l. متنی که به متن اصلی تعلق ندارد. ALS 1. در دست نوشته های باستانی، الحاق های بسیاری توسط کاتبان انجام شده است. اوش 1934. 2 ... فرهنگ لغت تاریخیگالیسم های زبان روسی
درون یابی- (interpolatio)، اتمام empyrich. یک سری مقادیر از هر کمیت با مقادیر میانی از دست رفته آن. درون یابی را می توان به سه روش انجام داد: ریاضی، گرافیکی. و منطقی آنها بر اساس این فرضیه کلی هستند که ... دایره المعارف بزرگ پزشکی
- (از لاتین interpolatio change, alteration)، جستجوی مقادیر میانی یک کمیت با توجه به برخی از مقادیر شناخته شده آن. به عنوان مثال، یافتن مقادیر تابع y = f(x) در نقاط x واقع بین نقاط x0 و xn، x0 ... دایره المعارف مدرن
- (از زبان lat. interpolatio change alteration)، در ریاضیات و آمار، جستجوی مقادیر میانی یک کمیت با توجه به برخی از مقادیر شناخته شده آن. به عنوان مثال، یافتن مقادیر تابع f (x) در نقاط x واقع بین نقاط xo x1 ... xn، با توجه به ... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ
ساده ترین و رایج ترین شکل درونیابی محلی است درون یابی خطی. این شامل این واقعیت است که نقاط داده شده ( ایکس من , y من) در ( i = 0. 1، ...، n) توسط پاره های خط مستقیم و تابع به هم متصل می شوند f(ایکس) توسط یک چندخط با رئوس در نقاط داده شده نزدیک می شود.
معادلات هر بخش از خط شکسته به طور کلی متفاوت است. از آنجایی که n فاصله وجود دارد ( ایکس من - 1, ایکس من، سپس برای هر یک از آنها معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه می گذرد به عنوان معادله چند جمله ای درون یابی استفاده می شود. به طور خاص، برای بازه i می توان معادله یک خط مستقیم را که از نقاط عبور می کند ( ایکس من -1, y من -1 ) و ( ایکس من , y من)، مانند
|
y=a i x+b i، x i-1 xx i |
a i = 
بنابراین، هنگام استفاده از درون یابی خطی، ابتدا باید بازه ای را تعیین کنید که مقدار آرگومان x در آن قرار می گیرد و سپس آن را با فرمول (*) جایگزین کرده و مقدار تقریبی تابع را در این نقطه پیدا کنید.
شکل 3-3 نمودار وابستگی درونیابی خطی.
حل یک مشکل حرفه ای
حفظ داده های تجربی
ORIGIN:=0 شروع آرایه داده - شمارش از صفر
من:=1..6 تعداد عناصر آرایه
داده های تجربی در دو بردار سازماندهی شده اند 
بیایید درون یابی را با توابع MathCad داخلی انجام دهیم
درون یابی خطی
Lf(x i):=linterp(x,y,x)
درون یابی ستون فقرات مکعبی
CS:= cspline(x,y)
ما یک اسپلاین مکعبی را با توجه به داده های تجربی می سازیم
Lf(x i):=linterp(x,y,x i)
درون یابی توسط B-Spline
ترتیب درون یابی را تنظیم کنید. بردار u باید (n-1) عناصر کمتری نسبت به بردار داشته باشد ایکس، جایی که عنصر اول باید کمتر یا مساوی با عنصر اول باشد ایکسو آخرین عنصر بزرگتر یا مساوی با آخرین عنصر x است.
BS:=bspline(x,y,u,n)
ما یک B-spline با توجه به داده های تجربی می سازیم
BSf(x i):=(BS، x، y، x i)
ما یک نمودار از تمام توابع تقریبی در یک صفحه مختصات می سازیم.
شکل 4.1- نمودار تمام توابع تقریب در یک صفحه مختصات.
نتیجه
در ریاضیات محاسباتی، درونیابی توابع نقش اساسی ایفا می کند، به عنوان مثال. ساخت یک تابع معین از دیگری (معمولاً ساده تر)، که مقادیر آن با مقادیر تابع داده شده در تعداد معینی از نقاط منطبق است. علاوه بر این، درونیابی دارای اهمیت عملی و نظری است. در عمل، مشکل اغلب بازگرداندن یک تابع پیوسته از مقادیر جدولی آن، به عنوان مثال، از مقادیر به دست آمده در دوره آزمایشی ایجاد می شود. برای محاسبه بسیاری از توابع، تقریب آنها با چند جمله ای یا توابع گویا کسری کارآمد است. تئوری درون یابی در ساخت و مطالعه فرمول های تربیعی برای یکپارچه سازی عددی، برای به دست آوردن روش هایی برای حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال استفاده می شود. عیب اصلی درون یابی چند جمله ای ناپایدار بودن آن در یکی از راحت ترین و رایج ترین شبکه ها - شبکه ای با گره های مساوی فاصله است. اگر مشکل اجازه دهد، این مشکل را می توان با انتخاب یک شبکه با گره های Chebyshev حل کرد. با این حال، اگر نمی‌توانیم آزادانه گره‌های درون یابی را انتخاب کنیم، یا فقط به الگوریتمی نیاز داریم که برای انتخاب گره‌ها خیلی سخت نباشد، درون یابی منطقی ممکن است جایگزین مناسبی برای درونیابی چند جمله‌ای باشد.
از مزایای درون یابی اسپلاین می توان به سرعت پردازش بالای الگوریتم محاسباتی اشاره کرد، زیرا اسپلاین یک تابع چند جمله ای تکه ای است و در حین درونیابی، داده ها به طور همزمان برای تعداد کمی از نقاط اندازه گیری متعلق به قطعه ای که در حال حاضر در نظر گرفته می شود، پردازش می شود. سطح درونیابی شده تنوع فضایی مقیاس های مختلف را توصیف می کند و در عین حال صاف است. شرایط اخیر امکان تجزیه و تحلیل مستقیم هندسه و توپولوژی سطح را با استفاده از روش های تحلیلی فراهم می کند.
بارگذاری...