نمونه هایی از بخش متوازی الاضلاع در سه نقطه. وظایف برای ساخت بخش ها

اهداف درس:اگر دو نقطه از بخش به یک صورت تعلق دارند، مسائل مربوط به ساخت بخش ها را حل کنید.

در طول کلاس ها

یادگیری مفاهیم جدید
تعریف 1. صفحه برش چند وجهی به هر صفحه ای گفته می شود که در دو طرف آن نقاطی از چند وجهی داده شده وجود داشته باشد.
تعریف 2. قسمتی از یک چندوجهی چند ضلعی است که اضلاع آن قطعاتی هستند که صفحه برش در امتداد آن وجه های چند وجهی را قطع می کند.
ورزش. بخش هایی را که صفحه برش در امتداد آنها وجه های موازی شکل را قطع می کند نام ببرید (شکل 1). بخش متوازی الاضلاع را نام ببرید.

اقدامات اساسی هنگام ساخت بخش ها

حل مسئله

وظیفه 1.کدام یک از چهار ضلعی ها، EFKM یا EFKL، می تواند بخشی از این چند وجهی باشد (شکل 2)؟ چرا؟

وظیفه 2.دانش آموز مقطعی از چهار وجهی را ترسیم کرد (شکل 3). آیا چنین بخشی امکان پذیر است؟

راه حل. لازم است ثابت شود که N، M و H، L در یک صفحه قرار دارند. بگذارید نقاط N و M متعلق به پشت، H و L به وجه پایین باشند، یعنی نقطه تقاطع NM و HL باید روی خطی قرار گیرد که متعلق به هر دو وجه است، یعنی AC. بیایید خطوط NM و HL را گسترش دهیم و نقطه تقاطع آنها را پیدا کنیم. این نقطه متعلق به خط AC نخواهد بود. این بدان معنی است که نقاط N، M، L، H یک چندضلعی مسطح تشکیل نمی دهند. غیر ممکن

وظیفه 3.بخشی از چهار وجهی ABCS را با صفحه ای بسازید که از نقاط K، L، N می گذرد، جایی که K و N به ترتیب نقاط میانی یال های SA و SB هستند (شکل 4).

1. کناره های مقطع را در کدام وجه می توان ساخت؟

2. یکی از نقاطی را که بخش شکسته می شود انتخاب کنید.
راه حل. روش I.نقطه L را انتخاب کنید.
ما چهره ای را تعیین می کنیم که نقطه انتخاب شده در آن قرار دارد و لازم است یک بخش در آن ایجاد شود.

وجهی را تعیین می کنیم که خط مستقیم KN در آن قرار دارد و از نقطه انتخاب شده L عبور نمی کند.

خط تقاطع وجه های ABC و ASB را پیدا کنید.

موقعیت نسبی خطوط KN و AB چگونه است (شکل 5)؟
[موازی.]

اگر صفحه برش از یک خط مستقیم موازی با خط تقاطع صفحات عبور کند چه چیزی باید ساخته شود؟
[از نقطه L خطی موازی با AB رسم کنید. این خط لبه CB را در نقطه P قطع می کند.]
نقاط متعلق به یک چهره را به هم وصل می کنیم. KLPN - بخش مورد نیاز.
روش دوم. نقطه N را انتخاب کنید (شکل 6).

وجه هایی را تعیین می کنیم که در آنها نقطه N و خط مستقیم KL قرار دارد.

خط تقاطع این هواپیماها خط مستقیم SC خواهد بود. نقطه تقاطع خطوط KL و SC را پیدا کنید. بیایید آن را Y نشان دهیم.
نقاط N و Y را به هم وصل کنید. خط NY لبه CB را در نقطه P قطع می کند.
نقاط متعلق به یک چهره را به هم وصل می کنیم.
KLNP - بخش مورد نیاز.
این تصمیم را توضیح دهید.
یک دانش آموز در هیئت مدیره کار می کند، بقیه در دفترچه یادداشت.

مشکل 4. قسمتی از یک متوازی الاضلاع بسازید که از نقاط M، P و H، H` (A1B1C1) عبور می کند (شکل 7).

راه حل. 1. نقاط متعلق به همان صورت را به هم وصل کنید.
2. کدام خط و نقطه را برای ساختن مقطع انتخاب می کنیم؟
3. بعد چه چیزی را تعیین می کنیم؟
4. چگونه است ترتیب متقابلخط مستقیم انتخاب شده و خط تقاطع وجوه (شکل 8)؟

5. چگونه می توان اثری از صفحه برش بر روی وجه B1C1D1A1 که از نقطه H عبور می کند ساخت؟
6. نقاط متعلق به همان صورت را به هم وصل کنید.
7. برای ساختن رد صفحه برش روی وجه AA1D1D کدام خط و نقطه را باید انتخاب کرد؟
8. موقعیت نسبی چهره های BB1C1C و AA1D1D چگونه است؟
9. برای ساختن رد صفحه برش روی وجه AA1D1D از چه خاصیتی باید استفاده کرد؟
10. قسمت مورد نیاز را نام ببرید.

وظیفه 5.بخشی از هرم SABCD را بسازید که از نقاط M، P و H عبور می کند.
H` (ABC) (شکل 9).

پاسخ: شکل 10 را ببینید.

تکلیف خانه

وظیفه. اگر دقیقاً ساختارها چگونه تغییر می کنند
H چگونه موقعیت خود را تغییر خواهد داد؟ ساخت بخش ها با استفاده از انواع مختلف(شکل 11).

مسائل مربوط به ساخت مقاطع چند وجهی هم در دروس هندسه دبیرستان و هم در امتحانات جایگاه قابل توجهی را اشغال می کند. سطوح مختلف. حل این نوع مشکل به جذب بدیهیات استریومتری، سیستم سازی دانش و مهارت ها، توسعه درک فضایی و مهارت های سازنده کمک می کند. مشکلاتی که هنگام حل مشکلات مربوط به ساخت بخش ها ایجاد می شود، به خوبی شناخته شده است.

از اوایل کودکیما با بخش هایی روبرو هستیم. نان، سوسیس و سایر محصولات را برش می دهیم، چوب یا مداد را با چاقو برنامه ریزی می کنیم. صفحه برش در همه این موارد صفحه چاقو است. بخش ها (برش قطعات) متفاوت هستند.

بخشی از یک چندوجهی محدب، یک چندضلعی محدب است که رئوس آن هستند مورد کلینقاط تلاقی صفحه برش با لبه های چندضلعی و اضلاع خطوط تلاقی صفحه برش با وجوه هستند.

برای ایجاد خط تقاطع دو صفحه کافی است دو نقطه مشترک این صفحات را پیدا کرده و از میان آنها خطی رسم کنیم. این بر اساس اظهارات زیر است:

1. اگر دو نقطه از یک خط متعلق به یک صفحه باشد، کل خط متعلق به این صفحه است.

2. اگر دو صفحه مختلف یک نقطه مشترک داشته باشند، در امتداد خط مستقیمی که از این نقطه می گذرد، قطع می شوند.

همانطور که قبلاً گفتم، ساخت مقاطع چند وجهی را می توان بر اساس بدیهیات استریومتری و قضایای موازی خطوط و صفحات انجام داد. در عین حال، روش های خاصی برای ساخت بخش های مسطح چند وجهی وجود دارد. مؤثرترین آنها سه روش زیر است:

روش ردیابی

روش طراحی داخلی

روش ترکیبی.

در مطالعه هندسه و به ویژه بخشهایی که در آنها تصاویر در نظر گرفته می شود شکل های هندسی، تصاویر اشکال هندسی به استفاده از ارائه های کامپیوتری کمک می کند. با کمک کامپیوتر، بسیاری از درس های هندسه بصری و پویاتر می شوند. بدیهیات، قضایا، اثبات ها، مسائل ساخت و ساز، مسائل ساخت بخش می توانند با ساختارهای متوالی بر روی صفحه نمایشگر همراه شوند. نقشه های انجام شده با استفاده از رایانه را می توان ذخیره و در اسناد دیگر درج کرد.

من می خواهم چند اسلاید با موضوع: "ساخت بخش ها در اجسام هندسی»

برای ساختن نقطه تلاقی یک خط و یک صفحه، خطی را در صفحه پیدا کنید که خط داده شده را قطع می کند. سپس نقطه مورد نیاز نقطه تلاقی خط پیدا شده با خط داده شده است. بیایید این را در اسلایدهای بعدی ببینیم.

وظیفه 1.

دو نقطه M و N در لبه های چهار وجهی DABC مشخص شده اند. M GAD، N b DC. نقطه تلاقی خط مستقیم MN با صفحه پایه را مشخص کنید.

راه حل: برای یافتن نقطه تلاقی خط MN با صفحه

پایه را با AC و قطعه MN ادامه می دهیم. نقطه تلاقی این خطوط را از طریق X مشخص می کنیم. نقطه X متعلق به خط مستقیم MN و وجه AC است و AC در صفحه قاعده قرار دارد، یعنی نقطه X نیز در صفحه قاعده قرار دارد. در نتیجه نقطه X نقطه تلاقی خط مستقیم MN با صفحه قاعده است.

بیایید مشکل دوم را در نظر بگیریم. بیایید کمی پیچیده ترش کنیم.

وظیفه 2.

با توجه به چهار وجهی DABC از نقاط M و N، که در آن M € DA، N C (DBC). نقطه تلاقی خط مستقیم MN با صفحه ABC را پیدا کنید.

راه حل: نقطه تلاقی خط MN با صفحه ABC باید در صفحه ای که دارای خط MN است و در صفحه قاعده قرار گیرد. اجازه دهید قطعه DN را تا نقطه تقاطع با لبه DC ادامه دهیم. نقطه تقاطع را از طریق E علامت گذاری می کنیم. خط AE و MN را تا نقطه تقاطع آنها ادامه می دهیم. اجازه دهید X را علامت گذاری کنیم. نقطه X متعلق به MN است، به این معنی که روی صفحه ای که دارای خط MN است و X متعلق به AE است و AE در صفحه ABC قرار دارد. این بدان معنی است که X نیز در صفحه ABC قرار دارد. بنابراین X نقطه تلاقی خط مستقیم MN و صفحه ABC است.

بیایید کار را پیچیده کنیم. اجازه دهید بخش اشکال هندسی را با صفحاتی که از سه نقطه داده شده عبور می کنند در نظر بگیریم.

مشکل 3

نقاط M، N و P بر روی لبه های AC، AD و DB چهار وجهی DABC مشخص شده اند.بخشی از چهار وجهی را با استفاده از صفحه MNP بسازید.

راه حل: یک خط مستقیم بسازید که در امتداد آن صفحه MNP باشد. صفحه صورت ABC را قطع می کند. نقطه M است نقطه مشترکاین هواپیماها برای ساختن نقطه مشترک دیگر، بخش AB و NP را ادامه می دهیم. نقطه تقاطع را از طریق X علامت گذاری می کنیم که دومین نقطه مشترک صفحات MNP و ABC خواهد بود. این بدان معنی است که این صفحات در امتداد خط مستقیم MX قطع می شوند. MX یال BC را در نقطه ای E قطع می کند. از آنجایی که E روی MX قرار دارد و MX خطی است متعلق به صفحه MNP، پس PE متعلق به MNP است. Quadrangle MNPE بخش مورد نیاز است.

مشکل 4

بیایید بخشی از یک منشور مستقیم ABCA1B1C1 با صفحه ای که از نقاط P می گذرد بسازیم. , س R، جایی که R متعلق به ( A.A. 1سی 1سی)، آرمتعلق است که در 1C1،

Q متعلق به AB است

راه حل:هر سه نقاط P،Q،Rروی وجوه مختلف دراز بکشیم، بنابراین ما هنوز نمی توانیم خط تقاطع صفحه برش را با هر وجهی از منشور بسازیم. بیایید نقطه تلاقی PR و ABC را پیدا کنیم. بیایید پیش بینی نقاط P و R را بر روی صفحه پایه PP1 عمود بر BC و RR1 عمود بر AC پیدا کنیم. خط P1R1 خط PR را در نقطه X قطع می کند. X نقطه تلاقی خط مستقیم PR با صفحه ABC است. در صفحه مورد نظر K و در صفحه قاعده قرار دارد، مانند نقطه Q. XQ یک خط مستقیم است که K را با صفحه قاعده قطع می کند. XQ AC را در نقطه K قطع می کند. بنابراین، KQ قطعه تقاطع صفحه X با وجه ABC است. K و R در صفحه X و در صفحه وجه AA1С1С قرار دارند. بیایید یک خط مستقیم KR رسم کنیم و نقطه تقاطع را با A1Q E مشخص کنیم. KE خط تقاطع صفحه X با این وجه است. بیایید خط تقاطع صفحه X را با صفحه وجوه BB1A1A پیدا کنیم. KE با A1A در نقطه Y قطع می شود. خط مستقیم QY خط تقاطع صفحه برش با صفحه AA1B1B است. FPEKQ بخش مورد نیاز است.

مسائل مربوط به ساختن بخش هایی از یک مکعب با استفاده از یک صفحه، معمولاً ساده تر از مسائل مربوط به بخش هایی از یک هرم است.

اگر دو نقطه در یک صفحه قرار بگیرند، می‌توانیم یک خط مستقیم از بین دو نقطه بکشیم. هنگام ساخت بخش هایی از یک مکعب، گزینه دیگری برای ساخت ردی از یک صفحه برش امکان پذیر است. از آنجایی که صفحه سوم دو صفحه موازی را در امتداد خطوط موازی قطع می کند، پس اگر قبلاً در یکی از وجوه یک خط مستقیم ساخته شده باشد و در دیگری نقطه ای وجود داشته باشد که مقطع از آن عبور کند، می توانیم خطی موازی با آن رسم کنیم. از این نقطه عبور کنید

بیایید به مثال‌های خاصی از نحوه ساخت بخش‌های یک مکعب با استفاده از صفحه نگاه کنیم.

1) قسمتی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از نقاط A، C و M می گذرد.

مسائل از این نوع ساده ترین مسائل برای ساختن بخش های یک مکعب هستند. از آنجایی که نقاط A و C در یک صفحه قرار دارند (ABC)، می توانیم یک خط مستقیم از بین آنها رسم کنیم. ردپای آن قطعه AC است. نامرئی است، بنابراین ما AC را با یک ضربه به تصویر می کشیم. به طور مشابه، نقاط M و C را که در یک صفحه قرار دارند (CDD1) و نقاط A و M را که در یک صفحه قرار دارند (ADD1) به هم وصل می کنیم. مثلث ACM بخش مورد نیاز است.

2) قسمتی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از نقاط M، N، P می گذرد.

در اینجا فقط نقاط M و N در یک صفحه قرار دارند (ADD1)، بنابراین یک خط مستقیم از بین آنها رسم می کنیم و یک رد MN (نامرئی) بدست می آوریم. از آنجایی که وجوه مخالف مکعب در صفحات موازی قرار دارند، صفحه برش صفحات موازی (ADD1) و (BCC1) را در امتداد خطوط موازی قطع می کند. ما قبلاً یکی از خطوط موازی را ساخته ایم - این MN است.

از طریق نقطه P خطی موازی با MN رسم می کنیم. این لبه BB1 را در نقطه S قطع می کند. PS رد صفحه برش در صورت (BCC1) است.

از طریق نقاط M و S که در یک صفحه قرار دارند یک خط مستقیم می کشیم (ABB1). ما اثری از ام اس (قابل مشاهده) دریافت کردیم.

صفحات (ABB1) و (CDD1) موازی هستند. در حال حاضر یک خط مستقیم MS در صفحه (ABB1) وجود دارد، بنابراین از طریق نقطه N در صفحه (CDD1) یک خط مستقیم موازی با MS رسم می کنیم. این خط لبه D1C1 را در نقطه L قطع می کند. اثر آن NL (نامرئی) است. نقاط P و L در یک صفحه قرار دارند (A1B1C1)، بنابراین یک خط مستقیم از بین آنها رسم می کنیم.

پنتاگون MNLPS بخش مورد نیاز است.

3) قسمتی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از نقاط M، N، P می گذرد.

نقاط M و N در یک صفحه (ВСС1) قرار دارند، بنابراین می توان یک خط مستقیم از میان آنها رسم کرد. ما رد MN (قابل مشاهده) را دریافت می کنیم. صفحه (BCC1) با صفحه (ADD1) موازی است، بنابراین، از طریق نقطه P که در (ADD1) قرار دارد، خطی موازی با MN رسم می کنیم. این لبه AD را در نقطه E قطع می کند. ما یک اثر PE (نامرئی) به دست آورده ایم.

دیگر نقاطی در یک صفحه یا یک خط مستقیم و نقاط در صفحات موازی وجود ندارد. بنابراین برای گرفتن امتیاز اضافی باید یکی از خطوط موجود را ادامه دهیم.

اگر خط MN را ادامه دهیم، از آنجایی که در صفحه (BCC1) قرار دارد، باید به دنبال نقطه تقاطع MN با یکی از خطوط این صفحه باشیم. در حال حاضر نقاط تقاطع با CC1 و B1C1 وجود دارد - اینها M و N هستند. آنچه باقی می ماند خطوط مستقیم BC و BB1 هستند. بیایید BC و MN را ادامه دهیم تا در نقطه K همدیگر را قطع کنند. نقطه K روی خط BC قرار دارد، یعنی متعلق به صفحه (ABC) است، بنابراین می توانیم یک خط مستقیم از آن و نقطه E را که در این صفحه قرار دارد رسم کنیم. این سی دی لبه را در نقطه H قطع می کند. EH رد آن (نامرئی) است. از آنجایی که H و N در یک صفحه قرار دارند (CDD1)، می توان یک خط مستقیم از میان آنها رسم کرد. ما یک رد HN (نامرئی) دریافت می کنیم.

صفحات (ABC) و (A1B1C1) موازی هستند. در یکی از آنها خط EH و در دیگری یک نقطه M وجود دارد. می توانیم خطی موازی با EH از طریق M رسم کنیم. ما رد MF (قابل مشاهده) را دریافت می کنیم. از نقاط M و F یک خط مستقیم بکشید.

شش ضلعی MNHEPF بخش مورد نیاز است.

اگر بخواهیم خط مستقیم MN را تا زمانی ادامه دهیم که با صفحه مستقیم دیگری (BCC1) یعنی BB1 تلاقی کند، نقطه G متعلق به صفحه (ABB1) را بدست می آوریم. به این معنی که از طریق G و P می توانیم یک خط مستقیم رسم کنیم که رد آن PF است. در مرحله بعد، خطوط مستقیم را از طریق نقاطی که در صفحات موازی قرار دارند ترسیم می کنیم و به همان نتیجه می رسیم.

کار با PE مستقیم همان بخش MNHEPF را می دهد.

4) قسمتی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از نقطه M، N، P می گذرد.

در اینجا می توانیم از طریق نقاط M و N که در یک صفحه قرار دارند یک خط مستقیم رسم کنیم (A1B1C1). رد پای او MN (قابل مشاهده) است. هیچ نقطه دیگری در یک صفحه یا در صفحات موازی وجود ندارد.

بیایید خط مستقیم MN را ادامه دهیم. در صفحه (A1B1C1) قرار دارد، بنابراین فقط می تواند با یکی از خطوط این صفحه قطع شود. در حال حاضر نقاط تقاطع با A1D1 و C1D1 - N و M وجود دارد. دو خط مستقیم دیگر از این صفحه - A1B1 و B1C1. نقطه تلاقی A1B1 و MN S است. از آنجایی که روی خط A1B1 قرار دارد، متعلق به صفحه (ABB1) است، به این معنی که می توان یک خط مستقیم از آن و نقطه P که در همان صفحه قرار دارد ترسیم کرد. خط PS لبه AA1 را در نقطه E قطع می کند. PE اثر آن (قابل مشاهده) است. از طریق نقاط N و E که در یک صفحه قرار دارند (ADD1) می توانید یک خط مستقیم بکشید که رد آن NE (نامرئی) است. در صفحه (ADD1) یک خط NE وجود دارد، در صفحه موازی با آن (BCC1) یک نقطه P وجود دارد. از طریق نقطه P می توانیم یک خط PL موازی با NE رسم کنیم. لبه CC1 را در نقطه L قطع می کند. PL رد این خط است (قابل مشاهده). نقاط M و L در یک صفحه قرار دارند (CDD1) که به این معنی است که می توان یک خط مستقیم از میان آنها رسم کرد. دنباله او ML (نامرئی) است. پنتاگون MLPEN بخش مورد نیاز است.

این امکان وجود داشت که خط مستقیم NM را در هر دو جهت ادامه داد و به دنبال نقاط تقاطع آن نه تنها با خط مستقیم A1B1، بلکه با خط مستقیم B1C1 که در صفحه نیز قرار دارد (A1B1C1) بود. در این حالت، از طریق نقطه P، ما دو خط را به طور همزمان ترسیم می کنیم: یکی در صفحه (ABB1) از طریق نقاط P و S، و دوم در صفحه (BCC1)، از طریق نقاط P و R. پس از آن باقی می ماند که نقاطی که در یک صفحه قرار دارند: M c L، E - با N.

بیایید نحوه ساختن یک بخش از هرم را با استفاده از مثال های خاص بررسی کنیم. از آنجایی که هیچ صفحه موازی در هرم وجود ندارد، ساخت خط تقاطع (ردپای) صفحه برش با صفحه صورت اغلب شامل کشیدن یک خط مستقیم از طریق دو نقطه واقع در صفحه این وجه است.

در ساده ترین مسائل، شما باید بخشی از یک هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط معینی می گذرد که قبلاً روی همان صورت قرار دارند.

مثال.

ساخت بخش هواپیما (MNP)

مثلث MNP - بخش هرم

نقاط M و N در یک صفحه ABS قرار دارند، بنابراین، می‌توانیم یک خط مستقیم از میان آنها رسم کنیم. رد این خط قطعه MN است. قابل مشاهده است، یعنی M و N را با یک خط ثابت به هم وصل می کنیم.

نقاط M و P در یک صفحه ACS قرار دارند، بنابراین یک خط مستقیم از میان آنها می کشیم. Trace یک قطعه MP است. ما آن را نمی بینیم، بنابراین قطعه MP را با یک ضربه ترسیم می کنیم. ما ردیابی PN را به همین ترتیب می سازیم.

Triangle MNP بخش مورد نیاز است.

اگر نقطه ای که می خواهید یک بخش را از طریق آن رسم کنید نه روی یک لبه، بلکه روی یک چهره باشد، آنگاه انتهای قطعه ردیابی نخواهد بود.

مثال. قسمتی از هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط B، M و N می گذرد، جایی که نقاط M و N به ترتیب به وجوه ABS و BCS تعلق دارند.

در اینجا نقاط B و M روی یک صفحه ABS قرار دارند، بنابراین می توانیم یک خط مستقیم از بین آنها رسم کنیم.

به همین ترتیب از نقاط B و P یک خط مستقیم می کشیم. به ترتیب آثار BK و BL را به دست آورده ایم.

نقاط K و L روی یک صفحه ACS قرار دارند، بنابراین می‌توانیم یک خط مستقیم از میان آنها رسم کنیم. ردپای آن قطعه KL است.

مثلث BKL بخش مورد نیاز است.

با این حال، همیشه نمی توان یک خط مستقیم را از طریق داده ها در شرایط نقطه ترسیم کرد. در این مورد، باید نقطه ای را پیدا کنید که روی خط تقاطع صفحات حاوی چهره ها قرار دارد.

مثال. قسمتی از هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط M، N، P می گذرد.

نقاط M و N در یک صفحه ABS قرار دارند، بنابراین می توان یک خط مستقیم از میان آنها رسم کرد. ما رد MN را دریافت می کنیم. به همین ترتیب - NP. هر دو علامت قابل مشاهده هستند، بنابراین آنها را با یک خط ثابت وصل می کنیم.

نقاط M و P در صفحات مختلف قرار دارند. بنابراین، ما نمی توانیم آنها را با یک خط مستقیم وصل کنیم.

بیایید خط مستقیم NP را ادامه دهیم.

در صفحه صورت BCS قرار دارد. NP فقط با خطوطی که در همان صفحه قرار دارند تلاقی می کند. ما سه خط مستقیم داریم: BS، CS و BC. خطوط BS و CS از قبل دارای نقاط تقاطع هستند - اینها فقط N و P هستند. این بدان معنی است که ما به دنبال تقاطع NP با خط BC هستیم.

نقطه تقاطع (بیایید آن را H بنامیم) با ادامه خطوط NP و BC تا تقاطع به دست می آید.

این نقطه H هم به صفحه (BCS) تعلق دارد، زیرا روی خط NP قرار دارد و هم به صفحه (ABC) زیرا روی خط BC قرار دارد.

بنابراین، نقطه دیگری از هواپیمای برش در هواپیما (ABC) را دریافت کردیم.

ما می توانیم یک خط مستقیم از طریق H و یک نقطه M که در همان صفحه قرار دارد رسم کنیم.

ما رد MT را دریافت می کنیم.

T نقطه تلاقی خطوط MH و AC است.

از آنجایی که T متعلق به خط AC است، می‌توانیم خطی از آن و نقطه P بکشیم، زیرا هر دو در یک صفحه قرار دارند (ACS).

MNPT 4 ضلعی بخش مورد نظر هرم توسط صفحه ای است که از نقاط داده شده M,N,P می گذرد.

ما با خط NP کار کردیم و آن را گسترش دادیم تا نقطه تقاطع صفحه برش با صفحه (ABC) را پیدا کنیم. اگر با MN مستقیم کار کنیم به همان نتیجه می رسیم.

ما اینگونه استدلال می کنیم: خط MN در صفحه (ABS) قرار دارد، بنابراین فقط می تواند با خطوطی که در همان صفحه قرار دارند قطع شود. ما سه خط داریم: AB، BS و AS. اما با خطوط مستقیم AB و BS از قبل نقاط تقاطع وجود دارد: M و N.

این بدان معنی است که با گسترش MN، به دنبال نقطه تقاطع آن با خط مستقیم AS هستیم. بیایید این نقطه را R بنامیم.

نقطه R روی خط AS قرار دارد، به این معنی که در صفحه (ACS) که خط AS به آن تعلق دارد نیز قرار دارد.

از آنجایی که نقطه P در صفحه (ACS) قرار دارد، می توانیم یک خط مستقیم از طریق R و P رسم کنیم. ما ردی از PT دریافت می کنیم.

نقطه T در صفحه (ABC) قرار دارد، بنابراین می توانیم یک خط مستقیم از آن بکشیم و نقطه M را نشان دهیم.

بنابراین، ما همان مقطع MNPT را به دست آوردیم.

بیایید نمونه دیگری از این نوع را بررسی کنیم.

قسمتی از هرم را با صفحه ای بسازید که از نقاط M، N، P می گذرد.

یک خط مستقیم از نقاط M و N که در یک صفحه قرار دارند رسم کنید (BCS). ما رد MN (قابل مشاهده) را دریافت می کنیم.

یک خط مستقیم از نقاط N و P که در یک صفحه قرار دارند رسم کنید (ACS). ما یک رد PN (نامرئی) دریافت می کنیم.

ما نمی توانیم از طریق نقاط M و P یک خط مستقیم بکشیم.

1) خط MN در صفحه (BCS) قرار دارد، که در آن سه خط دیگر وجود دارد: BC، SC و SB. خطوط SB و SC از قبل دارای نقاط تقاطع هستند: M و N. بنابراین، ما به دنبال نقطه تقاطع MN با BC هستیم. با ادامه این خطوط به نقطه L می رسیم.

نقطه L متعلق به خط BC است، به این معنی که در صفحه (ABC) قرار دارد. بنابراین، می‌توانیم یک خط مستقیم از طریق L و P رسم کنیم که آن هم در صفحه (ABC) قرار دارد. دنباله او PF است.

F روی خط AB و در نتیجه در صفحه (ABS) قرار دارد. بنابراین از طریق F و نقطه M که در صفحه (ABS) نیز قرار دارد، یک خط مستقیم رسم می کنیم. دنباله او FM است. MNPF چهار ضلعی بخش مورد نیاز است.

2) راه دیگر ادامه مستقیم PN است. در صفحه (ACS) قرار دارد و خطوط AC و CS واقع در این صفحه را در نقاط P و N قطع می کند.

به این معنی که ما به دنبال نقطه تلاقی PN با سومین خط مستقیم این صفحه - با AS هستیم. AS و PN را ادامه می‌دهیم، در تقاطع نقطه E می‌گیریم. از آنجایی که نقطه E روی خط AS که متعلق به صفحه (ABS) است، می‌توانیم یک خط مستقیم از طریق E و نقطه M رسم کنیم که در (ABS) نیز قرار دارد. . دنباله او FM است. نقاط P و F روی صفحه آب قرار دارند (ABC)، یک خط مستقیم از بین آنها بکشید و یک PF (نامرئی) به دست آورید.

در این روش اولین اقدام (پس از یافتن برجستگی های ثانویه این نقاط) ساختن ردی از صفحه برش در صفحه قسمت فوقانی یا پایه پایینمنشورها یا هرم کوتاه شدهیا در قاعده هرم

بازگشت 2. تصویر داده شده است منشور مثلثی ABCA 1 ب 1 سی 1 و سه امتیازم, ن, پ, که به ترتیب روی لبه CC قرار دارند 1 و لبه ها ABB 1 آ 1 , BCC 1 ب 1 . قسمتی از منشور را با هواپیما بسازید, عبور از م, ن, پ.

راه حل. ما قبلاً یک نقطه روی پایه بالایی منشور داریم، بنابراین رد را روی پایه بالایی ایجاد می کنیم. ساختن پیش بینی های ثانویه از نقاط نو پ به پایه بالا. سپس: 1 .نپن 3 پ 3 =ایکس; 2 .مایکس=پ-مسیر؛ 3 .پب 1 سی 1 =D.

اقدامات بیشتر قبلاً در بالا در نقاشی نشان داده شده است.

بازگشت 3. دسامبر ما ردی از صفحه برش را روی پایه پایینی منشور خواهیم ساخت.

ما می سازیم: 1. منED=ایکس, مپE.P. 3 =Y;

2. پ=XY– ردیابی؛ 3. پبسی=جی, پDسی=اچ.

ما باید یک نقطه در لبه پیدا کنیم BB 1 یا روی لبه A.A. 1 .

که در لبه ها ABB 1 آ 1 ما قبلاً یک امتیاز داریم پ. بنابراین، لبه پایینی این صورت، یعنی. AB، تا تقاطع با مسیر ادامه می دهیم.

4. آبپ=ز.

5. پزA.A. 1 =اف; پزBB 1 =کاقدامات بیشتر قبلاً در بالا نشان داده شده است.

اگر معلوم شود که خط AB با ردی تلاقی نمی کند، سپس مورد نظر FK همچنین به موازات مسیر خواهد بود. بازگشت 4. دسامبر 1. پنپ o ن o = ایکس;

2. منCN o = Y;3. پ=XY- پی گیری؛

3. سیبپ=ز;4. زماسب=E;

5. Eناسآ=جی 6. GEMF- بخش ادعا

17. ساخت یک مقطع از یک استوانه.

اگر صفحه برش با سه نقطه داده شود، همیشه می توانیم رد آن را در صفحه پایه استوانه یا مخروط و نقطه ( پ, O) در محور آن. بنابراین، ما معتقدیم که صفحه برش توسط این عناصر تعریف می شود.

با شروع قضیه زمانی است که هواپیما فقط با هم تلاقی می کند سطح جانبیسیلندر. سپس سطح مقطع استوانه بیضی خواهد بود (;¯ و تصویر آن نیز بیضی است. اگر دو قطر مزدوج آن مشخص باشد ما راهی برای ساختن بیضی می دانیم. اکنون نشان خواهیم داد که چگونه می توانید یک تصویر را پیدا کنید. از قطرهای اصلی یک بیضی (;¯.

فرض کنید  و  1 بیضی هایی باشند که پایه های پایینی و بالایی استوانه را نشان می دهند. O و O 1- مراکز آنها بیایید قطر را رسم کنیم آ 3 ب 3 پایه پایین تر، موازی با مسیر و قطر مزدوج آن سی 3 D 3. برای ساخت سی 3 D 3 ما از وتر استفاده می کنیم ک 3 L 3 که یک انتهای آن متعلق به ژنراتیکس کانتور است. این را به شما یادآوری کنیم آ 3 ب 3 و سی 3 D 3 قطرهای عمودی را نشان می دهد. بیا ادامه بدهیم سی 3 D 3 تا تقاطع با مسیر. بیایید دقیق بفهمیم ایکس. سر راست. PX محور مقطع نامیده می شود.

بیایید نکات را مطرح کنیم سی 3 و D 3 به محور مقطع. ما گرفتیم سیو D. بخش خط سی دیتصویری از یک قطر مقطع بزرگ است. بیایید بخش را بالا ببریم آ 3 ب 3 به ارتفاع OP. ما بخش را دریافت می کنیم AB، که تصویری از قطر مقطع کوچک است. منفی AB و سی دی – دیا جفت گیری. بیضی .

ن نقاط بیشتری را پیدا کنید که بیضی از آنها می گذرد سمت قابل مشاهدهاستوانه به نامرئی یعنی خط توپربه خط نقطه چین تبدیل می شود اینها نقاط تلاقی صفحه برش با ژنراتیس های کانتور هستند. اجازه دهید Y 3 =ک 3 L 3 سی 3 D 3. بیایید مطرح کنیم Y 3 به محور مقطع. بیایید یک نکته را دریافت کنیم Y. بیایید وتر را بالا ببریم ک 3 L 3 به ارتفاع YY 3. ما بخش را دریافت می کنیم KL. ما نکته مورد نیاز را پیدا کرده ایم ک، و در طول راه، یک نکته اضافی دیگر L. نقطه م، به تصویر کشیدن تقاطع صفحه سکانس با ژنراتیکس کانتور دوم به صورت متقارن است. کنسبت به نقطه پ.علاوه بر این، ما یک دقیق می سازیم ن، متقارن L نقطه نسبی پ

بیایید راهی برای یافتن هر تعداد نقطه در یک بخش بدون استفاده از این قطرها نشان دهیم.

هر کدام را انتخاب کنید نقطه V 3 روی بیضی . قطر را می کشیم V 3 تی 3 و آنقدر ادامه دهید که با رد تلاقی پیدا کند نقطه را می گیریم U. بالا بردن امتیاز V 3 و تی 3 تا مستقیم U.P.. دو امتیاز می گیریم Vو تیدر بخش در عوض انتخاب کنید V 3 امتیاز دیگر، در هر بخش 2 امتیاز دیگر می گیریم.اگر نقطه ای را انتخاب کنید ک 3 با قرار گرفتن روی ژنراتیکس کانتور، نقاط را پیدا خواهیم کرد ک و م، که در آن خط یکپارچه روی بخش باید به یک خط نقطه چین تبدیل شود.