تعریف.

این یک شش ضلعی است که پایه های آن دو مربع مساوی و وجه های جانبی آن مستطیل های مساوی هستند.

دنده کناریضلع مشترک دو وجه جانبی مجاور است

ارتفاع منشوریک پاره خط عمود بر پایه های منشور است

منشور مورب- پاره ای که دو رأس پایه ها را به هم متصل می کند که به یک صورت تعلق ندارند

صفحه مورب- صفحه ای که از مورب منشور و لبه های جانبی آن عبور می کند

بخش مورب- مرزهای تقاطع منشور و صفحه مورب. بخش مورب یک منشور چهار گوش منتظم یک مستطیل است

مقطع عمود بر هم (قطع متعامد)- این محل تقاطع یک منشور و صفحه ای است که عمود بر لبه های کناری آن کشیده شده است

عناصر یک منشور چهار گوش منظم

شکل دو منشور چهار گوش منظم را نشان می دهد که با حروف مربوطه مشخص شده اند:

• پایه های ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 برابر و موازی یکدیگر هستند
• وجه های جانبی AA 1 D 1 D، AA 1 B 1 B، BB 1 C 1 C و CC 1 D 1 D، که هر کدام یک مستطیل هستند
• سطح جانبی- مجموع مساحت تمام وجوه جانبی منشور
• سطح کل - مجموع مساحت تمام پایه ها و وجوه جانبی (مجموع مساحت سطح جانبی و پایه ها)
• دنده های جانبی AA 1 , BB 1 , CC 1 و DD 1 .
• مورب B 1 D
• مورب پایه BD
• مقطع مورب BB 1 D 1 D
• مقطع عمود بر A 2 B 2 C 2 D 2 .

ویژگی های یک منشور چهار گوش منتظم

• پایه ها دو مربع مساوی هستند
• پایه ها موازی یکدیگر هستند
• اضلاع مستطیل هستند.
• صورت های جانبی با یکدیگر برابر هستند
• وجوه جانبی بر پایه ها عمود هستند
• دنده های جانبی موازی با یکدیگر و مساوی هستند
• مقطع عمود بر تمام دنده های جانبی و موازی با پایه ها
• زوایای بخش عمود بر - راست
• بخش مورب یک منشور چهار گوش منتظم یک مستطیل است
• عمود بر (قطع متعامد) موازی با پایه ها

فرمول های یک منشور چهار گوش منظم

دستورالعمل برای حل مشکلات

هنگام حل مشکلات در مورد موضوع " منشور چهار گوش منظم" دلالت دارد:

منشور صحیح- منشوری که در قاعده آن یک چندضلعی منتظم قرار دارد و لبه های جانبی آن عمود بر صفحات قاعده است. یعنی یک منشور چهار گوش منظم در قاعده خود قرار دارد مربع. (ویژگی های یک منشور چهار گوش منظم را در بالا ببینید) توجه داشته باشید. این بخشی از درس با مسائل هندسه است (بخش هندسه جامد - منشور). در اینجا وظایفی وجود دارد که باعث ایجاد مشکل در حل می شوند. اگر نیاز به حل مشکلی در هندسه دارید که در اینجا نیست - در مورد آن در انجمن بنویسید. برای نشان دادن عمل استخراج ریشه دومنماد در حل مسئله استفاده می شود√ .

یک وظیفه.

در منشور چهار گوش منتظم مساحت قاعده 144 سانتی متر مربع و ارتفاع آن 14 سانتی متر است. قطر منشور و مساحت را پیدا کنید. سطح کامل.

راه حل.
چهارضلعی منظم مربع است.
بر این اساس، ضلع پایه برابر خواهد شد

√144 = 12 سانتی متر.
از این رو قطر قاعده یک منشور مستطیلی منظم برابر خواهد بود
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

قطر یک منشور منظم با قطر قاعده و ارتفاع منشور تشکیل می شود راست گوشه. بر این اساس، طبق قضیه فیثاغورث، قطر یک منشور چهار گوش منتظم برابر با:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 سانتی متر

پاسخ: 22 سانتی متر

یک وظیفه

اگر قطر منشور چهار گوش منتظم 5 سانتی متر و قطر وجه جانبی آن 4 سانتی متر باشد، سطح کل سطح را بیابید.

راه حل.
از آنجایی که پایه یک منشور چهار گوش منتظم مربع است، ضلع قاعده (که با a مشخص می شود) با قضیه فیثاغورث پیدا می شود:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

ارتفاع وجه جانبی (که با h نشان داده می شود) برابر خواهد بود با:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

مساحت کل برابر با مجموع سطح جانبی و دو برابر مساحت پایه خواهد بود

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 سانتی متر مربع.

پاسخ: 25 + 10√7 ≈ 51.46 سانتی متر مربع.

هر چند ضلعی می تواند در پایه منشور قرار گیرد - مثلث، چهار ضلعی و غیره. هر دو پایه دقیقا یکسان هستند و بر این اساس، که به وسیله آن زوایای وجوه موازی به یکدیگر متصل می شوند، همیشه موازی هستند. در قاعده یک منشور منتظم یک چند ضلعی منتظم قرار دارد، یعنی چند ضلعی که در آن همه اضلاع برابر هستند. در یک منشور مستقیم، لبه های بین وجوه جانبی عمود بر پایه هستند. در این حالت، یک چند ضلعی با هر تعداد زاویه می تواند در قاعده یک منشور مستقیم قرار گیرد. منشوری که قاعده آن متوازی الاضلاع باشد متوازی الاضلاع نامیده می شود. مستطیل حالت خاصی از متوازی الاضلاع است. اگر این شکل در قاعده قرار داشته باشد و وجوه جانبی در زاویه قائم به قاعده قرار گیرند، متوازی الاضلاع مستطیل نامیده می شود. نام دوم این جسم هندسی مستطیل شکل است.

او چگونه به نظر می رسد

منشورهای مستطیل شکل احاطه شده اند انسان مدرنبسیار کمی از به عنوان مثال، این مقوای معمولی از زیر کفش، اجزای کامپیوتر و غیره است. به اطراف نگاه کن حتی در یک اتاق، مطمئناً منشورهای مستطیلی زیادی خواهید دید. این یک کیف کامپیوتر و یک قفسه کتاب و یک یخچال و یک کابینت و بسیاری وسایل دیگر است. این فرم عمدتاً به این دلیل بسیار محبوب است که به شما امکان می دهد تا حد امکان از فضا استفاده کنید، چه در حال تزئین فضای داخلی یا بسته بندی وسایل در مقوا قبل از حرکت باشید.

ویژگی های یک منشور مستطیلی

یک منشور مستطیلی دارای یک عدد است خواص خاص. هر جفت چهره می تواند به عنوان آن عمل کند، زیرا تمام وجوه مجاور در یک زاویه نسبت به یکدیگر قرار دارند و این زاویه 90 درجه است. محاسبه حجم و سطح یک منشور مستطیلی ساده تر از هر منشور دیگری است. هر جسمی را که به شکل یک منشور مستطیل شکل است در نظر بگیرید. طول، عرض و ارتفاع آن را اندازه گیری کنید. برای یافتن حجم کافی است این اندازه ها را ضرب کنید. یعنی فرمول به این صورت است: V \u003d a * b * h ، جایی که V حجم است ، a و b اضلاع پایه هستند ، h ارتفاعی است که با لبه جانبی این بدنه هندسی منطبق است. مساحت پایه با فرمول S1=a*b محاسبه می شود. برای بدست آوردن سطح جانبی ابتدا باید محیط پایه را با استفاده از فرمول P=2(a+b) محاسبه کنید و سپس آن را در ارتفاع ضرب کنید. فرمول S2=P*h=2(a+b)*h به دست می آید. برای محاسبه مساحت کل یک منشور مستطیلی، دو برابر مساحت پایه و مساحت سطح جانبی را اضافه کنید. فرمول S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2 است.

سخنرانی: منشور، پایه های آن، لبه های جانبی، ارتفاع، سطح جانبی. منشور مستقیم؛ منشور راست

منشور

اگر ارقام مسطح را از سوالات قبلی با ما یاد گرفته اید، پس کاملا آماده مطالعه هستید. ارقام حجمی. اولین جامدی که یاد خواهیم گرفت منشور خواهد بود.

منشور- این یک بدنه سه بعدی است که دارای تعداد زیادی چهره است.

این شکل دارای دو چند ضلعی در قاعده است که در صفحات موازی قرار دارند و تمام وجوه جانبی به صورت متوازی الاضلاع هستند.

شکل 1. شکل. 2

بنابراین، بیایید بفهمیم که یک منشور از چه چیزی تشکیل شده است. برای این کار به شکل 1 توجه کنید

همانطور که قبلا ذکر شد، منشور دارای دو پایه است که با یکدیگر موازی هستند - اینها پنج ضلعی ABCEF و GMNJK هستند. علاوه بر این، این چند ضلعی ها با یکدیگر برابر هستند.

تمام وجوه دیگر منشور وجه های جانبی نامیده می شوند - آنها از متوازی الاضلاع تشکیل شده اند. به عنوان مثال، BMNC، AGKF، FKJE و غیره.

سطح مشترک تمام وجوه جانبی نامیده می شود سطح جانبی.

هر جفت صورت مجاور یک طرف مشترک دارد. چنین طرف مشترکی لبه نامیده می شود. به عنوان مثال، MB، CE، AB و غیره.

اگر پایه های بالایی و پایینی منشور با یک عمود به هم متصل شوند، ارتفاع منشور نامیده می شود. در شکل، ارتفاع به صورت خط مستقیم OO 1 مشخص شده است.

دو نوع اصلی منشور وجود دارد: مایل و مستقیم.

اگر لبه های جانبی منشور بر پایه ها عمود نباشند، چنین منشوری نامیده می شود. مورب.

اگر تمام لبه های یک منشور بر پایه ها عمود باشند، چنین منشوری نامیده می شود سر راست.

اگر پایه های یک منشور چند ضلعی های منتظم (آنهایی که اضلاع برابر دارند) باشد، چنین منشوری نامیده می شود. درست.

اگر پایه های منشور با یکدیگر موازی نباشند، چنین منشوری نامیده می شود کوتاه شده

می توانید آن را در شکل 2 ببینید

فرمول های یافتن حجم، مساحت یک منشور

سه فرمول اساسی برای یافتن حجم وجود دارد. آنها در کاربرد خود با یکدیگر متفاوت هستند:

فرمول های مشابه برای یافتن سطح یک منشور:

چند وجهی

هدف اصلی مطالعه استریومتری اجسام سه بعدی هستند. بدنبخشی از فضا است که توسط سطحی محدود شده است.

چند وجهیجسمی که سطح آن از تعداد محدودی چندضلعی مسطح تشکیل شده باشد نامیده می شود. یک چندوجهی محدب نامیده می شود که در یک طرف صفحه هر چندضلعی مسطح روی سطح خود قرار گیرد. قسمت مشترک چنین صفحه ای و سطح یک چندوجهی نامیده می شود حاشیه، غیرمتمرکز. وجه های یک چند وجهی محدب چند ضلعی های محدب مسطح هستند. کناره های صورت ها نامیده می شود لبه های چند وجهی، و رئوس رئوس چند وجهی.

به عنوان مثال، یک مکعب از شش مربع تشکیل شده است که وجه های آن هستند. این شامل 12 لبه (اضلاع مربع) و 8 راس (راس مربع) است.

ساده ترین چندوجهی ها منشورها و اهرام هستند که در ادامه به بررسی آنها خواهیم پرداخت.

منشور

تعریف و خواص منشور

منشورچند ضلعی نامیده می شود که از دو چند ضلعی مسطح در صفحات موازی قرار گرفته اند که با ترجمه موازی ترکیب شده اند و تمام بخش هایی که نقاط متناظر این چند ضلعی ها را به هم متصل می کنند. چند ضلعی ها نامیده می شوند پایه های منشوری، و پاره های متصل کننده رئوس مربوط به چند ضلعی ها هستند لبه های جانبی منشور.

ارتفاع منشورفاصله بین صفحات پایه های آن () نامیده می شود. قطعه ای که دو راس منشور را که به یک صورت تعلق ندارند را به هم متصل می کند منشور مورب(). منشور نامیده می شود n- زغال سنگاگر پایه آن n-gon باشد.

هر منشوری دارای ویژگی های زیر است که از ترکیب پایه های منشور با ترجمه موازی ناشی می شود:

1. پایه های منشور برابر است.

2. لبه های کناری منشور موازی و مساوی هستند.

سطح یک منشور از پایه و سطح جانبی. سطح جانبی منشور از متوازی الاضلاع تشکیل شده است (این از ویژگی های منشور است). مساحت سطح جانبی یک منشور مجموع مساحت وجوه جانبی است.

منشور مستقیم

منشور نامیده می شود سر راستاگر لبه های کناری آن بر پایه ها عمود باشد. در غیر این صورت منشور نامیده می شود مورب.

وجوه یک منشور مستقیم مستطیل هستند. ارتفاع یک منشور مستقیم برابر با وجوه جانبی آن است.

سطح کامل منشورمجموع سطح جانبی و مساحت پایه ها است.

منشور صحیح منشور مستقیم نامیده می شود چند ضلعی منظمدر ابتدا.

قضیه 13.1. مساحت سطح جانبی یک منشور مستقیم برابر است با حاصل ضرب محیط و ارتفاع منشور (یا به طور معادل لبه جانبی).

اثبات وجه های جانبی منشور مستقیم مستطیل هایی هستند که پایه های آن اضلاع چند ضلعی های پایه منشور و ارتفاعات لبه های جانبی منشور هستند. سپس طبق تعریف، مساحت سطح جانبی عبارت است از:

,

محیط قاعده منشور مستقیم کجاست.

متوازیالسطوح

اگر متوازی الاضلاع در پایه یک منشور قرار گیرند، آن را می نامند متوازیالسطوح. تمام وجوه متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع هستند. در این حالت وجوه مخالف متوازی الاضلاع موازی و مساوی هستند.

قضیه 13.2. قطرهای متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود.

اثبات به عنوان مثال، دو قطر دلخواه را در نظر بگیرید و . زیرا وجه های متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع هستند، سپس و، به این معنی که طبق T حدود دو خط مستقیم موازی با خط سوم هستند. علاوه بر این، این بدان معنی است که خطوط و دروغ در همان هواپیما (هواپیما). این صفحه صفحات موازی و در امتداد خطوط موازی را قطع می کند و . بنابراین، چهارضلعی متوازی الاضلاع است و با خاصیت متوازی الاضلاع، مورب ها و متقاطع آن ها قطع می شود و نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود که اثبات آن لازم بود.

متوازی الاضلاع راست که قاعده آن مستطیل است نامیده می شود مکعبی. تمام وجوه مکعب مستطیل هستند. طول لبه های غیر موازی یک متوازی الاضلاع مستطیلی را ابعاد خطی (اندازه گیری) می گویند. سه اندازه (عرض، ارتفاع، طول) وجود دارد.

قضیه 13.3. در مکعب، مربعی از هر قطری برابر با مجموع استمربع های سه بعدی آن (با دوبار اعمال T فیثاغورث ثابت شد).

متوازی الاضلاع مستطیلی که تمام لبه های آن برابر هستند نامیده می شود مکعب.

وظایف

13.1 چند قطر دارد n- منشور کربن

13.2 در یک منشور مثلثی مایل، فواصل بین لبه های جانبی 37، 13 و 40 است. فاصله بین وجه جانبی بزرگتر و لبه طرف مقابل را بیابید.

13.3 در سراسر طرف پایه پاییناز یک منشور مثلثی منظم، صفحه ای رسم می شود که وجوه جانبی را در امتداد بخش هایی قطع می کند که زاویه بین آنها برابر است. زاویه تمایل این صفحه به قاعده منشور را پیدا کنید.

منشور. متوازیالسطوح

منشورچند ضلعی نامیده می شود که دو وجه آن n-ضلعی برابرند (زمینه) ، در صفحات موازی قرار دارند و n وجه باقیمانده متوازی الاضلاع هستند (صورت های کناری) . دنده کناری منشور سمت وجه جانبی است که به قاعده تعلق ندارد.

منشوری که لبه های جانبی آن بر صفحات قاعده ها عمود باشد نامیده می شود سر راست منشور (شکل 1). اگر لبه های جانبی بر صفحات پایه ها عمود نباشند، منشور نامیده می شود مورب . درست منشور منشوری مستقیم است که پایه های آن چند ضلعی های منظم هستند.

ارتفاعمنشور فاصله بین صفحات پایه ها نامیده می شود. مورب منشور قطعه ای است که دو راس را که به یک وجه تعلق ندارند به هم متصل می کند. بخش مورب بخشی از منشور توسط صفحه ای که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد نامیده می شود. مقطع عمود بر هم برش منشور را با صفحه ای عمود بر لبه جانبی منشور می نامند.

مساحت سطح جانبی منشور مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. سطح کامل مجموع مساحت تمام وجوه منشور (یعنی مجموع مساحت وجوه جانبی و مساحت پایه ها) نامیده می شود.

برای یک منشور دلخواه، فرمول ها درست هستند:

جایی که لطول دنده کناری است.

اچ- ارتفاع؛

پ

س

سمت S

اس پر

S اصلیمساحت پایه ها است؛

Vحجم منشور است.

برای یک منشور مستقیم، فرمول های زیر درست است:

جایی که پ- محیط پایه؛

لطول دنده کناری است.

اچ- ارتفاع

متوازیالسطوحمنشوری که قاعده آن متوازی الاضلاع است نامیده می شود. متوازی الاضلاع که لبه های جانبی آن عمود بر پایه ها باشد نامیده می شود مستقیم (شکل 2). اگر لبه های جانبی بر پایه ها عمود نباشند، متوازی الاضلاع نامیده می شود مورب . متوازی الاضلاع راست که قاعده آن مستطیل است نامیده می شود مستطیل شکل. متوازی الاضلاع مستطیلی که تمام لبه های آن برابر هستند نامیده می شود مکعب

وجه های متوازی الاضلاع که دارای رئوس مشترک نیستند نامیده می شوند مقابل . طول یال هایی که از یک راس خارج می شوند نامیده می شوند اندازه گیری ها متوازیالسطوح. از آنجایی که جعبه یک منشور است، عناصر اصلی آن به همان شکلی که برای منشورها تعریف می شوند، تعریف می شوند.

قضایا.

1. قطرهای متوازی الاضلاع در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند و آن را نصف می کنند.

2. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، مربع طول قطر برابر است با مجموع مربع های سه بعد آن:

3. هر چهار مورب یک متوازی الاضلاع مستطیلی با یکدیگر برابرند.

برای یک متوازی الاضلاع دلخواه، فرمول های زیر درست است:

جایی که لطول دنده کناری است.

اچ- ارتفاع؛

پمحیط بخش عمود بر هم است.

س- مساحت بخش عمود بر هم؛

سمت Sمساحت سطح جانبی است.

اس پرمساحت کل است؛

S اصلیمساحت پایه ها است؛

Vحجم منشور است.

برای موازی سمت راستفرمول های صحیح:

جایی که پ- محیط پایه؛

لطول دنده کناری است.

اچارتفاع متوازی الاضلاع سمت راست است.

برای یک متوازی الاضلاع مستطیلی، فرمول های زیر درست است:

(3)

جایی که پ- محیط پایه؛

اچ- ارتفاع؛

د- مورب؛

الف، ب، ج- اندازه گیری یک متوازی الاضلاع

فرمول های صحیح برای مکعب عبارتند از:

جایی که آطول دنده است؛

دمورب مکعب است.

مثال 1قطر مکعب مستطیل 33 dm است و اندازه های آن 2:6:9 است. اندازه های مکعب را بیابید.

راه حل.برای یافتن ابعاد متوازی الاضلاع از فرمول (3) استفاده می کنیم. این واقعیت است که مربع هیپوتنوس یک مکعب برابر است با مجموع مجذور ابعاد آن. با نشان دادن کضریب تناسب سپس ابعاد متوازی الاضلاع برابر با 2 خواهد بود ک, 6کو 9 ک. فرمول (3) را برای داده های مسئله می نویسیم:

حل این معادله برای ک، ما گرفتیم:

از این رو، ابعاد موازی 6 dm، dm 18 و dm 27 است.

پاسخ: 6 dm، 18 dm، 27 dm.

مثال 2حجم یک منشور مثلثی مایل که قاعده آن مثلث متساوی الاضلاع با ضلع 8 سانتی متر است را در صورتی که لبه جانبی آن برابر با ضلع قاعده و با زاویه 60 درجه نسبت به قاعده متمایل باشد را بیابید.

راه حل . بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 3).

برای یافتن حجم یک منشور شیبدار، باید مساحت پایه و ارتفاع آن را بدانید. مساحت قاعده این منشور مساحت است مثلث متساوی الاضلاعبا ضلع 8 سانتی متر آن را محاسبه کنید:

ارتفاع یک منشور فاصله بین پایه های آن است. از بالا ولی 1 پایه بالاعمود بر صفحه پایه پایین را رها کنید ولی 1 D. طول آن به اندازه ارتفاع منشور خواهد بود. D را در نظر بگیرید ولی 1 آگهی: چون این زاویه شیب دنده کناری است ولی 1 ولیبه هواپیمای پایه ولی 1 ولی= 8 سانتی متر از این مثلث پیدا می کنیم ولی 1 D:

اکنون حجم را با استفاده از فرمول (1) محاسبه می کنیم:

پاسخ: 192 سانتی متر مکعب.

مثال 3لبه جانبی یک منشور شش ضلعی منظم 14 سانتی متر است. مساحت بزرگترین بخش مورب 168 سانتی متر مربع است. کل سطح منشور را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 4)

بزرگترین بخش مورب یک مستطیل است AA 1 DD 1، از مورب آگهیشش ضلعی منظم ABCDEFبزرگترین است. برای محاسبه مساحت سطح جانبی یک منشور، باید ضلع پایه و طول دنده جانبی را دانست.

با دانستن مساحت مقطع مورب (مستطیل)، قطر پایه را پیدا می کنیم.

چون پس

از آن به بعد AB= 6 سانتی متر

سپس محیط پایه برابر است با:

مساحت سطح جانبی منشور را پیدا کنید:

مساحت یک شش ضلعی منتظم با ضلع 6 سانتی متر عبارت است از:

مساحت کل منشور را پیدا کنید:

پاسخ:

مثال 4قاعده متوازی الاضلاع راست یک لوزی است. مساحت مقاطع مورب 300 سانتی متر مربع و 875 سانتی متر مربع است. مساحت سطح جانبی متوازی الاضلاع را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 5).

ضلع لوزی را با علامت نشان دهید آ، مورب های لوزی د 1 و د 2، ارتفاع جعبه ساعت. برای یافتن سطح جانبی یک متوازی الاضلاع مستقیم، لازم است که محیط پایه را در ارتفاع ضرب کنیم: (فرمول (2)). محیط پایه p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a، زیرا آ ب پ ت- لوزی H = AA 1 = ساعت. که نیاز به پیدا کردن آو ساعت.

بخش های مورب را در نظر بگیرید. AA 1 اس اس 1 - مستطیلی که یک ضلع آن مورب لوزی است AC = د 1، لبه سمت دوم AA 1 = ساعت، سپس

به طور مشابه برای بخش BB 1 DD 1 دریافت می کنیم:

با استفاده از خاصیت متوازی الاضلاع به گونه ای که مجموع مربع های قطرهای آن برابر با مجموع مربعات همه اضلاع آن باشد، برابری را به دست می آوریم.