مانند یک متوازی الاضلاع راست. انواع جعبه

در این درس همه می توانند مبحث "جعبه مستطیل" را مطالعه کنند. در ابتدای درس، متوازی الاضلاع دلخواه و مستقیم را تکرار می کنیم، ویژگی های وجه های متضاد آنها و مورب های متوازی الاضلاع را به یاد می آوریم. سپس به بررسی این موضوع می پردازیم که مکعب چیست و ویژگی های اصلی آن را مورد بحث قرار می دهیم.

موضوع: عمود بودن خطوط و صفحات

درس: مکعب

سطحی که از دو متوازی الاضلاع مساوی ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 و چهار متوازی الاضلاع ABB 1 A 1، BCC 1 B 1، CDD 1 C 1، DAA 1 D 1 تشکیل شده باشد، نامیده می شود. متوازیالسطوح(عکس. 1).

برنج. 1 موازی

یعنی: دو متوازی الاضلاع مساوی ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 (پایه ها) داریم، آنها در صفحات موازی قرار دارند به طوری که لبه های جانبی AA 1، BB 1، DD 1، CC 1 موازی هستند. بنابراین، سطحی که از متوازی الاضلاع تشکیل شده باشد نامیده می شود متوازیالسطوح.

بنابراین، سطح متوازی الاضلاع مجموع تمام متوازی الاضلاع تشکیل دهنده متوازی الاضلاع است.

1. وجوه متضاد یک متوازی الاضلاع موازی و مساوی هستند.

(ارقام برابر هستند، یعنی می توان آنها را با همپوشانی ترکیب کرد)

مثلا:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (متوازی الاضلاع برابر تعریف)

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (زیرا AA 1 B 1 B و DD 1 C 1 C وجوه متضاد متوازی الاضلاع هستند)

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (زیرا AA 1 D 1 D و BB 1 C 1 C وجوه متضاد متوازی الاضلاع هستند).

2. مورب های متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و آن نقطه را نصف می کنند.

مورب های متوازی الاضلاع AC 1، B 1 D، A 1 C، D 1 B در یک نقطه O قطع می شوند و هر مورب با این نقطه به نصف تقسیم می شود (شکل 2).

برنج. 2 قطرهای متوازی الاضلاع نقطه تقاطع را قطع و نصف می کنند.

3. سه چهار ضلعی لبه های مساوی و موازی متوازی الاضلاع وجود دارد: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

تعریف. متوازی الاضلاع در صورتی مستقیم نامیده می شود که لبه های جانبی آن بر پایه ها عمود باشند.

بگذارید لبه جانبی AA 1 عمود بر پایه باشد (شکل 3). این بدان معنی است که خط AA 1 عمود بر خطوط AD و AB است که در صفحه قاعده قرار دارند. و بنابراین، مستطیل ها در وجوه جانبی قرار دارند. و پایه ها متوازی الاضلاع دلخواه هستند. نشان می دهد، ∠BAD = φ، زاویه φ می تواند هر باشد.

برنج. 3 جعبه سمت راست

پس جعبه سمت راست جعبه ای است که لبه های کناری آن عمود بر پایه های جعبه باشد.

تعریف. متوازی الاضلاع مستطیل شکل نامیده می شود،اگر لبه های جانبی آن عمود بر قاعده باشد. پایه ها مستطیل هستند.

متوازی الاضلاع АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 مستطیل شکل است (شکل 4) اگر:

1. AA 1 ⊥ ABCD (لبه جانبی عمود بر صفحه قاعده است، یعنی یک متوازی الاضلاع مستقیم).

2. ∠BAD = 90 درجه، یعنی پایه یک مستطیل است.

برنج. 4 مکعب

یک جعبه مستطیلی تمام ویژگی های یک جعبه دلخواه را دارد.اما ویژگی های اضافی وجود دارد که از تعریف مکعب به دست می آید.

بنابراین، مکعبیمتوازی الاضلاع است که لبه های جانبی آن عمود بر قاعده است. قاعده مکعب مستطیل است.

1. در مکعب، هر شش وجه مستطیل هستند.

ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 طبق تعریف مستطیل هستند.

2. دنده های جانبی عمود بر پایه هستند. این بدان معنی است که تمام وجوه جانبی یک مکعب مستطیل هستند.

3. تمام زوایای دو وجهی یک مکعب زوایای قائمه هستند.

برای مثال، زاویه دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیلی با لبه AB، یعنی زاویه دو وجهی بین صفحات ABB 1 و ABC را در نظر بگیرید.

AB یک یال است، نقطه A 1 در یک صفحه - در صفحه ABB 1 و نقطه D در صفحه دیگر - در صفحه A 1 B 1 C 1 D 1 قرار دارد. سپس زاویه دو وجهی در نظر گرفته شده را نیز می توان به صورت زیر نشان داد: ∠А 1 АВD.

نقطه A را روی لبه AB بگیرید. AA 1 بر لبه AB در صفحه ABB-1 عمود است، AD عمود بر لبه AB در صفحه ABC است. بنابراین، ∠A 1 AD زاویه خطی زاویه دو وجهی داده شده است. ∠A 1 AD \u003d 90 درجه، به این معنی که زاویه دو وجهی در لبه AB 90 درجه است.

∠(ABB 1، ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90 درجه.

به طور مشابه ثابت شده است که هر زاویه دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیلی راست است.

مربع مورب مکعب برابر با مجموع استمربع های سه بعدی آن

توجه داشته باشید. طول سه لبه ای که از یک راس مکعب خارج می شوند اندازه های مکعب هستند. آنها گاهی اوقات طول، عرض، ارتفاع نامیده می شوند.

داده شده: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل (شکل 5).

ثابت كردن: .

برنج. 5 مکعب

اثبات:

خط CC 1 بر صفحه ABC و از این رو بر خط AC عمود است. بنابراین مثلث CC 1 A یک مثلث قائم الزاویه است. طبق قضیه فیثاغورث:

در نظر گرفتن راست گوشه ABC. طبق قضیه فیثاغورث:

اما BC و AD اضلاع مخالف مستطیل هستند. پس قبل از میلاد = بعد از میلاد. سپس:

زیرا ، آ ، سپس. از آنجایی که CC 1 = AA 1، پس چه چیزی باید ثابت شود.

قطرهای یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است.

اجازه دهید ابعاد ABC متوازی الاضلاع را به صورت a، b، c تعیین کنیم (شکل 6 را ببینید)، سپس AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

تعریف

چند وجهیسطح بسته ای را می نامیم که از چند ضلعی تشکیل شده و قسمتی از فضا را محدود می کند.

قطعاتی که اضلاع این چندضلعی ها هستند نامیده می شوند دندهچند وجهی، و خود چند ضلعی ها - چهره ها. رئوس چند ضلعی ها را رئوس چند وجهی می گویند.

ما فقط چند وجهی محدب را در نظر خواهیم گرفت (این یک چندوجهی است که در یک طرف هر صفحه که دارای صورت آن است) است.

چند ضلعی هایی که یک چندوجهی را تشکیل می دهند، سطح آن را تشکیل می دهند. بخشی از فضا که به یک چندوجهی محدود شده است، درون آن نامیده می شود.

تعریف: منشور

دو چند ضلعی مساوی \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) را در صفحات موازی در نظر بگیرید به طوری که قطعات \(A_1B_1، \A_2B_2، ...، A_nB_n\)موازی هستند. چندوجهی که توسط چند ضلعی های \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) و همچنین متوازی الاضلاع تشکیل شده است. \(A_1B_1B_2A_2، \A_2B_2B_3A_3، ...\)، نامیده می شود (\(n\) - زغال سنگ) منشور.

چند ضلعی های \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) پایه های منشور، متوازی الاضلاع نامیده می شوند. \(A_1B_1B_2A_2، \A_2B_2B_3A_3، ...\)- صورت های جانبی، بخش ها \(A_1B_1، \A_2B_2، \ ...، A_nB_n\)- دنده های کناری
بنابراین، لبه های جانبی منشور موازی و مساوی با یکدیگر هستند.

یک مثال را در نظر بگیرید - یک منشور \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\)، که قاعده آن یک پنج ضلعی محدب است.

ارتفاعمنشور عمودی از هر نقطه از یک قاعده به صفحه قاعده دیگر است.

اگر لبه های جانبی بر پایه عمود نباشند، چنین منشوری نامیده می شود مایل(شکل 1)، در غیر این صورت - سر راست. برای یک منشور مستقیم، لبه های جانبی ارتفاع هستند و وجه های جانبی مستطیل های مساوی هستند.

اگر قاعده منشور مستقیم باشد چند ضلعی منظم، سپس منشور نامیده می شود درست.

تعریف: مفهوم حجم

واحد حجم یک مکعب واحد است (مکعب با ابعاد \(1\times1\times1\) واحد\(^3\) که واحد مقداری واحد اندازه گیری است).

می توان گفت که حجم یک چندوجهی مقدار فضایی است که این چند وجهی محدود می کند. در غیر این صورت: مقداری است که مقدار عددی آن نشان می دهد که یک مکعب واحد و اجزای آن چند بار در یک چندوجهی معین قرار می گیرند.

حجم دارای همان ویژگی های مساحت است:

1. حجم ارقام مساوی برابر است.

2. اگر یک چندوجهی از چند چند وجهی غیر متقاطع تشکیل شده باشد، حجم آن برابر است با مجموع حجم های این چندوجهی ها.

3. حجم یک مقدار غیر منفی است.

4. حجم بر حسب سانتی متر\(^3\) (سانتی متر مکعب)، m\(^3\) ( متر مکعب) و غیره.

قضیه

1. مساحت سطح جانبی منشور برابر است با حاصل ضرب محیط پایه و ارتفاع منشور.
مساحت سطح جانبی مجموع مساحت وجوه جانبی منشور است.

2. حجم منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع منشور: \

تعریف: جعبه

متوازیالسطوحمنشوری است که قاعده آن متوازی الاضلاع است.

تمام وجوه متوازی الاضلاع (آنها \(6\): \(4\) وجه های جانبی و \(2\) پایه ها) متوازی الاضلاع هستند و وجوه مقابل (موازی یکدیگر) متوازی الاضلاع مساوی هستند (شکل 2).

مورب جعبهقطعه ای است که دو رأس یک متوازی الاضلاع را به هم متصل می کند که در یک صورت قرار ندارند (آنها \(8\): \(AC_1، \A_1C، \BD_1، \B_1D\)و غیره.).

مکعبییک متوازی الاضلاع راست با یک مستطیل در قاعده آن است.
زیرا متوازی الاضلاع راست است، سپس وجوه جانبی مستطیل هستند. بنابراین، به طور کلی، تمام وجوه یک متوازی الاضلاع مستطیلی مستطیل هستند.

تمام قطرهای یک مکعب مساوی هستند (این از تساوی مثلث ها ناشی می شود \(\مثلث ACC_1=\مثلث AA_1C=\مثلث BDD_1=\مثلث BB_1D\)و غیره.).

اظهار نظر

بنابراین، متوازی الاضلاع تمام خصوصیات یک منشور را دارد.

قضیه

مساحت سطح جانبی یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است با \

مربع سطح کاملمتوازی الاضلاع مستطیلی برابر است با \

قضیه

حجم یک مکعب برابر است با حاصل ضرب سه یال آن که از یک راس خارج می شود (سه بعد مکعب): \

اثبات

زیرا برای یک متوازی الاضلاع مستطیلی، لبه های جانبی بر قاعده عمود هستند، سپس ارتفاع آن نیز هستند، یعنی \(h=AA_1=c\) پایه یک مستطیل است \(S_(\text(اصلی))=AB\cdot AD=ab\). این فرمول از اینجا می آید.

قضیه

مورب \(d\) یک مکعب با فرمول (که در آن \(a,b,c\) ابعاد مکعب هستند) جستجو می شود.

اثبات

شکل را در نظر بگیرید. 3. چون پایه یک مستطیل است، سپس \(\مثلث ABD\) مستطیل است، بنابراین، با قضیه فیثاغورث \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

زیرا پس تمام لبه های جانبی بر پایه ها عمود هستند \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)عمود بر هر خطی در این صفحه، یعنی. \(BB_1\perp BD\) . بنابراین \(\مثلث BB_1D\) مستطیلی است. سپس توسط قضیه فیثاغورث \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\)، thd.

تعریف: مکعب

مکعبیک متوازی الاضلاع مستطیل شکل است که تمام اضلاع آن مربع مساوی است.

بنابراین، سه بعد با یکدیگر برابر هستند: \(a=b=c\) . بنابراین موارد زیر درست است

قضایا

1. حجم یک مکعب با لبه \(a\) \(V_(\text(مکعب))=a^3\) است.

2. مورب مکعب با فرمول \(d=a\sqrt3\) جستجو می‌شود.

3. مساحت کل یک مکعب \(S_(\text(تکرارهای مکعب کامل))=6a^2\).

موضوع: عمود بودن خطوط و صفحات

درس: مکعب

برنج. 1 موازی

بنابراین، سطح متوازی الاضلاع مجموع تمام متوازی الاضلاع تشکیل دهنده متوازی الاضلاع است.

1. وجوه متضاد یک متوازی الاضلاع موازی و مساوی هستند.

(ارقام برابر هستند، یعنی می توان آنها را با همپوشانی ترکیب کرد)

مثلا:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (متوازی الاضلاع برابر تعریف)

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (زیرا AA 1 B 1 B و DD 1 C 1 C وجوه متضاد متوازی الاضلاع هستند)

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (زیرا AA 1 D 1 D و BB 1 C 1 C وجوه متضاد متوازی الاضلاع هستند).

2. مورب های متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و آن نقطه را نصف می کنند.

مورب های متوازی الاضلاع AC 1، B 1 D، A 1 C، D 1 B در یک نقطه O قطع می شوند و هر مورب با این نقطه به نصف تقسیم می شود (شکل 2).

برنج. 2 قطرهای متوازی الاضلاع نقطه تقاطع را قطع و نصف می کنند.

تعریف. متوازی الاضلاع در صورتی مستقیم نامیده می شود که لبه های جانبی آن بر پایه ها عمود باشند.

برنج. 3 جعبه سمت راست

پس جعبه سمت راست جعبه ای است که لبه های کناری آن عمود بر پایه های جعبه باشد.

تعریف. متوازی الاضلاع مستطیل شکل نامیده می شود،اگر لبه های جانبی آن عمود بر قاعده باشد. پایه ها مستطیل هستند.

متوازی الاضلاع АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 مستطیل شکل است (شکل 4) اگر:

1. AA 1 ⊥ ABCD (لبه جانبی عمود بر صفحه قاعده است، یعنی یک متوازی الاضلاع مستقیم).

2. ∠BAD = 90 درجه، یعنی پایه یک مستطیل است.

برنج. 4 مکعب

بنابراین، مکعبیمتوازی الاضلاع است که لبه های جانبی آن عمود بر قاعده است. قاعده مکعب مستطیل است.

1. در مکعب، هر شش وجه مستطیل هستند.

ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 طبق تعریف مستطیل هستند.

2. دنده های جانبی عمود بر پایه هستند. این بدان معنی است که تمام وجوه جانبی یک مکعب مستطیل هستند.

3. تمام زوایای دو وجهی یک مکعب زوایای قائمه هستند.

∠(ABB 1، ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90 درجه.

به طور مشابه ثابت شده است که هر زاویه دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیلی راست است.

مربع قطر یک مکعب برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن.

داده شده: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل (شکل 5).

ثابت كردن: .

برنج. 5 مکعب

اثبات:

خط CC 1 بر صفحه ABC و از این رو بر خط AC عمود است. بنابراین مثلث CC 1 A یک مثلث قائم الزاویه است. طبق قضیه فیثاغورث:

یک مثلث قائم الزاویه ABC را در نظر بگیرید. طبق قضیه فیثاغورث:

اما BC و AD اضلاع مخالف مستطیل هستند. پس قبل از میلاد = بعد از میلاد. سپس:

زیرا ، آ ، سپس. از آنجایی که CC 1 = AA 1، پس چه چیزی باید ثابت شود.

قطرهای یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است.

اجازه دهید ابعاد ABC متوازی الاضلاع را به صورت a، b، c تعیین کنیم (شکل 6 را ببینید)، سپس AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

متوازی الاضلاع یک منشور چهار گوش است که پایه های آن متوازی الاضلاع هستند. ارتفاع یک متوازی الاضلاع فاصله بین صفحات پایه های آن است. در شکل ارتفاع به صورت یک خط نشان داده شده است . دو نوع متوازی الاضلاع وجود دارد: مستقیم و مایل. به عنوان یک قاعده، معلم ریاضی ابتدا تعاریف مناسب را برای منشور ارائه می دهد و سپس آنها را به جعبه منتقل می کند. ما هم همین کار را خواهیم کرد.

یادآوری می کنم که منشوری را در صورتی که لبه های کناری آن بر قاعده ها عمود باشد، راست می گویند، اگر عمود وجود نداشته باشد، منشور را مایل می گویند. این اصطلاح نیز توسط متوازی الاضلاع به ارث می رسد. متوازی الاضلاع سمت راست چیزی نیست جز نوعی منشور مستقیم که لبه جانبی آن با ارتفاع منطبق است. تعاریف مفاهیمی مانند صورت، لبه و رأس که در کل خانواده چند وجهی مشترک است حفظ شده است. مفهوم چهره های متضاد ظاهر می شود. متوازی الاضلاع دارای 3 جفت وجه متضاد، 8 رأس و 12 لبه است.

مورب متوازی الاضلاع (مورب منشور) قطعه ای است که دو راس یک چندوجهی را به هم متصل می کند و در هیچ یک از وجوه آن قرار ندارد.

مقطع مورب بخشی از متوازی الاضلاع است که از قطر آن و مورب قاعده آن عبور می کند.

خواص جعبه مورب:
1) تمام وجوه آن متوازی الاضلاع و وجوه مقابل متوازی الاضلاع هستند.
2)قطرهای متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و در آن نقطه به دو نیم می شوند.
3)هر موازی از شش هرم مثلثی با حجم مساوی تشکیل شده است. برای نشان دادن آنها به دانش آموز، معلم ریاضی باید نیمی از موازی را با بخش مورب آن قطع کند و آن را جداگانه به 3 هرم بشکند. پایه های آنها باید روی وجوه مختلف جعبه اصلی قرار گیرد. یک معلم ریاضی یک برنامه کاربردی برای این ویژگی در هندسه تحلیلی پیدا می کند. برای بدست آوردن حجم هرم از طریق حاصلضرب مخلوط بردارها استفاده می شود.

فرمول های حجم یک متوازی الاضلاع:
1) ، جایی که مساحت پایه است ، h ارتفاع است.
2) حجم متوازی الاضلاع برابر است با حاصلضرب سطح مقطع لبه جانبی.
معلم خصوصی ریاضی: همانطور که می دانید این فرمول در همه منشورها مشترک است و اگر استاد راهنما قبلاً آن را ثابت کرده باشد، تکرار آن برای متوازی الاضلاع فایده ای ندارد. با این حال، هنگام کار با یک دانش آموز سطح متوسط (یک فرمول ضعیف مفید نیست)، توصیه می شود معلم دقیقاً برعکس عمل کند. منشور را به حال خود رها کنید و یک اثبات دقیق برای متوازی الاضلاع انجام دهید.
3) ، حجم یکی از شش هرم مثلثی تشکیل دهنده متوازی الاضلاع کجاست.
4) اگر، پس

مساحت سطح جانبی یک متوازی الاضلاع مجموع مساحت تمام وجوه آن است:
سطح کل یک متوازی الاضلاع مجموع مساحت تمام وجوه آن است، یعنی مساحت + دو ناحیه پایه:.

درباره کار یک معلم خصوصی با متوازی الاضلاع مایل:
یک معلم خصوصی در ریاضیات اغلب با مسائل مربوط به متوازی الاضلاع شیبدار سروکار ندارد. احتمال حضور آنها در امتحان بسیار کم است و آموزش به طرز نامناسبی ضعیف است. یک مشکل کم و بیش مناسب در حجم یک موازی متوازی الاضلاع شیبدار باعث مشکلات جدی در تعیین محل نقطه H - پایه ارتفاع آن می شود. در این مورد، ممکن است به معلم ریاضی توصیه شود که خط موازی را به یکی از شش اهرام آن (در مورد آن) کوتاه کند. در سوالدر ویژگی شماره 3)، سعی کنید حجم آن را پیدا کرده و در 6 ضرب کنید.

اگر لبه جانبی متوازی الاضلاع دارای زوایای برابر با اضلاع قاعده باشد، H روی نیمساز زاویه A قاعده ABCD قرار می گیرد. و اگر، برای مثال، ABCD یک لوزی است، پس

وظایف معلم خصوصی ریاضی:
1) وجه های یک متوازی الاضلاع، ضلع های مساوی با ضلع 2 سانتی متر و زاویه حاد. حجم متوازی الاضلاع را بیابید.
2) در یک متوازی الاضلاع مایل، لبه کناری 5 سانتی متر است. برش عمود بر آن چهار ضلعی است که مورب های آن عمود بر یکدیگر به طول های 6 سانتی متر و 8 سانتی متر است. حجم متوازی الاضلاع را محاسبه کنید.
3) در متوازی الاضلاع مورب معلوم است که و در تعریف ABCD لوزی است با ضلع 2 سانتی متر و زاویه . حجم متوازی الاضلاع را تعیین کنید.

معلم ریاضیات، الکساندر کولپاکوف

چند نوع موازی پایه وجود دارد:

· مکعبیمتوازی الاضلاع است با تمام چهره ها - مستطیل ها;

متوازی الاضلاع مستقیم یک متوازی الاضلاع با 4 وجه جانبی - متوازی الاضلاع است.

· جعبه شیب دارمتوازی الاضلاع است که وجوه جانبی آن عمود بر پایه ها نیست.

عناصر اصلی

دو وجهی از متوازی الاضلاع که لبه مشترک ندارند روبه‌رو و آنهایی که دارای یال مشترک هستند مجاور نامیده می‌شوند. دو رأس متوازی الاضلاع که به یک وجه تعلق ندارند مخالف نامیده می شوند. بخش خط،اتصال رئوس مخالف نامیده می شود موربمتوازیالسطوح. سه طوللبه های مکعبی که دارای راس مشترک هستند نامیده می شود اندازه گیری ها

خواص

· متوازی الاضلاع در مورد نقطه وسط قطر خود متقارن است.

هر قطعه ای که انتهای آن متعلق به سطح متوازی الاضلاع است و از وسط مورب آن عبور می کند توسط آن به نصف تقسیم می شود. به طور خاص، تمام قطرهای متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و آن را به دو نیم می کنند.

وجوه متضاد یک متوازی الاضلاع موازی و مساوی هستند.

مربع طول مورب یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن.

فرمول های پایه

موازی پای راست

· سطح جانبی S b \u003d R o * h ، جایی که R o محیط پایه است ، h ارتفاع است

· سطح کل S p \u003d S b + 2S o، که در آن S o مساحت پایه است

· جلد V=S o *h

مکعبی

· سطح جانبی S b \u003d 2c (a + b)، که در آن a، b اضلاع پایه هستند، c لبه جانبی متوازی الاضلاع مستطیلی است.

· سطح کل S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

· جلد V=abc که a، b، c ابعاد مکعب هستند.

· سطح جانبی S=6*h 2 که h ارتفاع لبه مکعب است

34. چهار وجهییک چندوجهی منظم است، دارد 4 لبه هایی که هستند مثلث های منظم. رئوس در چهار وجهی 4 ، به هر رأس همگرا می شود 3 دنده ها، اما دنده های کل 6 . چهار وجهی نیز یک هرم است.

مثلث هایی که یک چهار وجهی را تشکیل می دهند نامیده می شوند چهره ها (AOC، OSV، ACB، AOB)، طرف آنها --- لبه ها (AO، OC، OB)و رئوس --- رئوس (A, B, C, O)چهار وجهی دو یال چهار وجهی که رئوس مشترکی ندارند نامیده می شوند مقابل... گاهی یکی از وجوه چهار وجهی را جدا می کنند و به آن می گویند اساسو سه نفر دیگر --- صورت های جانبی.

چهار وجهی نامیده می شود درستاگر تمام صورت هایش باشد مثلث های متساوی الاضلاع. در عین حال چهار وجهی منظم و منظم هرم مثلثی- این یک چیز نیست.

در چهار وجهی منظمتمام زوایای دو وجهی در لبه ها و تمام زوایای سه وجهی در رئوس برابر هستند.

35. منشور صحیح

منشور چند وجهی است که در آن دو وجه (پایه) در صفحات موازی قرار دارند و تمام یال های خارج از این وجوه با یکدیگر موازی هستند. وجه های غیر از پایه ها را وجه های جانبی و لبه های آنها را لبه های جانبی می نامند. تمام لبه های جانبی به عنوان بخش های موازی که توسط دو صفحه موازی محدود شده اند با یکدیگر برابر هستند. تمام وجوه جانبی منشور متوازی الاضلاع هستند. اضلاع متناظر پایه های منشور برابر و موازی هستند. منشوری مستقیم نامیده می شود که در آن لبه جانبی عمود بر صفحه قاعده است، منشورهای دیگر مایل نامیده می شوند. در ابتدا منشور راستیک چند ضلعی منظم است. در چنین منشوری، همه وجوه مستطیل های مساوی هستند.

سطح یک منشور از دو پایه و یک سطح جانبی تشکیل شده است. ارتفاع منشور پاره ای است که عمود مشترک بر صفحاتی است که پایه های منشور در آن قرار دارند. ارتفاع منشور فاصله است اچبین هواپیماهای پایه

مساحت سطح جانبی اسمنشور b مجموع مساحت وجوه جانبی آن نامیده می شود. سطح کامل اس n منشور را مجموع مساحت تمام وجوه آن می گویند. اس n = اس b + 2 اس،جایی که اسمساحت پایه منشور است، اسب - سطح جانبی.

36. چندوجهی که یک وجه دارد به نام اساس، یک چند ضلعی است،
و وجه های دیگر مثلثی با راس مشترک نامیده می شود هرم .

چهره هایی غیر از پایه نامیده می شود سمت.
راس مشترک وجوه جانبی نامیده می شود بالای هرم
لبه هایی که بالای هرم را به بالای پایه متصل می کنند نامیده می شوند سمت.
ارتفاع هرم به عمود کشیده شده از بالای هرم به قاعده آن می گویند.

هرم نامیده می شود درست، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و ارتفاع آن از مرکز قاعده عبور کند.

حکم صورت جانبی هرم صحیحبه نام ارتفاع این صورت که از بالای هرم کشیده شده است.

صفحه ای موازی با قاعده هرم آن را به یک هرم مشابه قطع می کند و هرم کوتاه شده

خواص اهرام منظم

لبه های جانبی هرم منظم برابر است.
وجوه جانبی هرم منتظم مثلث هایی متساوی الساقین هستند که برابر یکدیگرند.

اگر تمام لبه های جانبی برابر باشند، پس

ارتفاع به مرکز دایره محدود پیش بینی می شود.

دنده های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند.

اگر سطوح جانبی در یک زاویه به صفحه پایه متمایل شوند، پس

ارتفاع به مرکز دایره محاطی پیش بینی می شود.

ارتفاع چهره های جانبی برابر است.

مساحت سطح جانبی برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و ارتفاع وجه جانبی است.

37. تابع y=f(x)، که x متعلق به مجموعه است اعداد طبیعی، تابعی از استدلال طبیعی یا نامیده می شود دنباله عددی. آن را y=f(n)، یا (y n) تعیین کنید

توالی ها را می توان تنظیم کرد روش های مختلف، به صورت شفاهی، دنباله به این صورت است اعداد اول:

2، 3، 5، 7، 11 و غیره

در نظر گرفته می شود که اگر فرمول n-امین عضو آن داده شود، دنباله به صورت تحلیلی داده می شود:

1، 4، 9، 16، …، n2، …

2) y n = C. چنین دنباله ای ثابت یا ثابت نامیده می شود. مثلا:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n \u003d 2 n. مثلا،

2، 2 2، 2 3، 2 4، …، 2n، …

به دنباله ای گفته می شود که از بالا محدود می شود اگر همه اعضای آن حداکثر تعدادی باشند. به عبارت دیگر، اگر عدد M وجود داشته باشد که نابرابری y n کمتر یا مساوی با M باشد، می‌توان دنباله‌ای را محدود نامید. عدد M را کران بالای دنباله می‌گویند. به عنوان مثال، دنباله: -1، -4، -9، -16، ...، - n 2 ; محدود از بالا

به طور مشابه، اگر دنباله ای از یک عدد بزرگتر باشند، می توان گفت که از پایین محدود شده است. اگر دنباله ای هم از بالا و هم پایین محدود شود، به آن محدود می گویند.

به دنباله ای گفته می شود که در حال افزایش است اگر هر جمله متوالی از جمله قبلی بزرگتر باشد.

دنباله ای کاهنده نامیده می شود اگر هر جمله متوالی از جمله قبلی کمتر باشد. توالی های افزایشی و کاهشی با یک اصطلاح تعریف می شوند - توالی های یکنواخت.

دو دنباله را در نظر بگیرید:

1) y n: 1، 3، 5، 7، 9، …، 2n-1، …

2) x n: 1، ½، 1/3، 1/4، …، 1/n، …

اگر اعضای این دنباله را روی یک خط واقعی ترسیم کنیم، متوجه خواهیم شد که در حالت دوم، اعضای دنباله حول یک نقطه متراکم می شوند و در حالت اول اینطور نیست. در چنین مواردی می گوییم که دنباله y n واگرا می شود و دنباله x n همگرا می شود.

عدد b حد دنباله y n نامیده می شود اگر هر همسایگی از پیش انتخاب شده نقطه b شامل تمام اعضای دنباله باشد که از یک عدد شروع می شود.

در این صورت می توانیم بنویسیم:

اگر ضریب مدول پیشروی کمتر از یک باشد، حد این دنباله، از آنجایی که x به بی نهایت میل می کند، برابر با صفر است.

اگر دنباله همگرا شود، فقط به یک حد

اگر دنباله همگرا شود، آنگاه محدود است.

قضیه وایرشتراس: اگر دنباله ای به صورت یکنواخت همگرا شود، آنگاه محدود است.

حد یک دنباله ساکن برابر هر یک از اعضای دنباله است.

خواص:

1) حد جمع برابر است با مجموع حدود

2) حد محصول برابر است با حاصل ضرب حدود

3) حد نصاب برابر است با نصاب حد

4) عامل ثابت را می توان از علامت حد خارج کرد

سوال 38
مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت

پیشرفت هندسی- دنباله ای از اعداد b 1 , b 2 , b 3 ,.. (اعضای پیشرفت) که در آن هر عدد بعدی که از عدد دوم شروع می شود از عدد قبلی با ضرب آن در عدد معین q بدست می آید. مخرج پیشرفت)، که در آن b 1 ≠0، q ≠0.

مجموع یک پیشروی هندسی نامحدودعدد حدی است که دنباله پیشرفت به آن همگرا می شود.

به عبارت دیگر، مهم نیست چقدر طولانی است پیشرفت هندسی، مجموع اعضای آن چند نفر بیشتر نیست تعداد معینو تقریباً برابر با این عدد است. به آن مجموع یک تصاعد هندسی می گویند.

هر پیشرفت هندسی چنین مجموع محدودی ندارد. فقط می تواند در چنین تصاعدی باشد که مخرج آن عدد کسری کمتر از 1 باشد.