تعریف

مقطع، شکل مسطحی است که وقتی یک شکل سه بعدی با یک صفحه قطع می شود و مرز آن روی سطح شکل سه بعدی قرار می گیرد، تشکیل می شود.

اظهار نظر

برای ساختن بخش هایی از اشکال مختلف فضایی، لازم است تعاریف و قضایای اساسی در مورد موازی بودن و عمود بودن خطوط و صفحات و همچنین ویژگی های اشکال فضایی را به خاطر بسپارید. اجازه دهید حقایق اصلی را یادآوری کنیم.
برای بیشتر مطالعه دقیقپیشنهاد می شود مباحث «مقدمه ای بر استریومتری» را مطالعه کنید. موازی بودن» و «عمود بودن. زوایا و فواصل در فضا.

تعاریف مهم

1. دو خط در فضا موازی هستند اگر در یک صفحه قرار گیرند و قطع نشوند.

2. دو خط مستقیم در فضا قطع می شوند اگر نتوان یک صفحه را از میان آنها ترسیم کرد.

4. دو صفحه اگر نقاط مشترک نداشته باشند موازی هستند.

5. دو خط مستقیم در فضا اگر زاویه بین آنها \(90^\circ\) باشد عمود نامیده می شوند.

6. خطی را در صورتی عمود بر صفحه می گویند که بر هر خطی که در این صفحه قرار دارد عمود باشد.

7. دو صفحه اگر زاویه بین آنها \(90^\circ\) باشد عمود نامیده می شوند.

بدیهیات مهم

1. از سه نقطه ای که روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند، یک هواپیما و علاوه بر آن فقط یک خط عبور می کند.

2. هواپیما از یک خط و نقطه ای که روی آن قرار ندارد عبور می کند و علاوه بر آن فقط از یک.

3. یک هواپیما از دو خط متقاطع عبور می کند، و علاوه بر این، فقط از یک خط.

قضایای مهم

1. اگر یک خط \(a\) که در صفحه \(\pi\) قرار ندارد موازی با یک خط \(p\) باشد که در صفحه \(\pi\) قرار دارد، آنگاه با صفحه داده شده موازی است. .

2. بگذارید خط \(p\) موازی با صفحه \(\mu\) باشد. اگر صفحه \(\pi\) از خط \(p\) عبور کند و صفحه \(\mu\) را قطع کند، خط تقاطع صفحات \(\pi\) و \(\mu\) خط \(m\) است - موازی با خط \(p\) .

3. اگر دو خط متقاطع از یک صفحه موازی با دو خط متقاطع از صفحه دیگر باشند، چنین صفحاتی موازی خواهند بود.

4. اگر دو صفحه موازی \(\alpha\) و \(\beta\) با صفحه سوم \(\gamma\) قطع شوند، خطوط تقاطع صفحات نیز موازی هستند:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. بگذارید خط \(l\) در صفحه \(\lambda\) قرار بگیرد. اگر خط \(s\) صفحه \(\lambda\) را در نقطه \(S\) که روی خط \(l\) قرار ندارد قطع کند، خطوط \(l\) و \(s\) تقاطع

6. اگر یک خط عمود بر دو خط متقاطع واقع در یک صفحه معین باشد، آنگاه بر این صفحه عمود است.

7. قضیه سه عمود بر هم.

فرض کنید \(AH\) عمود بر صفحه \(\beta\) باشد. فرض کنید \(AB، BH\) یک مایل باشد و بر روی صفحه \(\beta\) ظاهر شود. سپس خط \(x\) در صفحه \(\بتا\) عمود بر خط مورب خواهد بود اگر و فقط اگر عمود بر طرح ریزی باشد.

8. اگر صفحه ای از یک خط مستقیم عمود بر صفحه دیگر عبور کند، آنگاه بر این صفحه عمود است.

اظهار نظر

واقعیت مهم دیگری که اغلب برای ساخت بخش ها استفاده می شود:

برای یافتن نقطه تلاقی یک خط و یک صفحه کافی است نقطه تلاقی یک خط معین و طرح ریزی آن بر روی این صفحه را پیدا کنید.

برای انجام این کار، از دو نقطه دلخواه \(A\) و \(B\) خط \(a\) عمود بر صفحه \(\mu\) – \(AA"\) و \(BB) رسم می کنیم. "\) (نقاط \ (A، B"\) پیش بینی نقاط \(A, B\) بر روی صفحه نامیده می شوند). سپس خط \(A"B"\) طرح خط \(a\) بر روی صفحه \(\mu\) است. نقطه \(M=a\cap A"B"\) نقطه تلاقی خط \(a\) و صفحه \(\mu\) است.

توجه داشته باشید که تمام نقاط \(A, B, A, B, M\) در یک صفحه قرار دارند.

مثال 1

با توجه به یک مکعب \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA"، \ KC=\dfrac15 CC"\). نقطه تقاطع خط \(PK\) و صفحه \(ABC\) را پیدا کنید.

راه حل

1) زیرا لبه های مکعب \(AA، CC"\) عمود بر \((ABC)\) هستند، سپس نقاط \(A\) و \(C\) پیش بینی نقاط \(P\) و \(K هستند. \) . سپس خط \(AC\) طرح خط \(PK\) بر روی صفحه \(ABC\) است. بخش های \(PK\) و \(AC\) را به ترتیب فراتر از نقاط \(K\) و \(C\) گسترش می دهیم و نقطه تقاطع خطوط - نقطه \(E\) را به دست می آوریم.

2) رابطه \(AC:EC\) را پیدا کنید. \(\مثلث PAE\sim \مثلث KCE\)دو گوشه ( \(\زاویه A=\زاویه C=90^\circ, \زاویه E\)- عمومی) یعنی \[\dfrac(PA)(KC)=\dfrac(EA)(EC)\]

اگر لبه مکعب را با \(a\) نشان دهیم، آنگاه \(PA=\dfrac34a، \ KC=\dfrac15a، \ AC=a\sqrt2\). سپس:

\[\dfrac(\frac34a)(\frac15a)=\dfrac(a\sqrt2+EC)(EC) \Rightarrow EC=\dfrac(4\sqrt2)(11)a \Rightarrow AC:EC=4:11\ ]

مثال 2

دانا درست میگه هرم مثلثی\(DABC\) با پایه \(ABC\) که ارتفاع آن برابر با ضلع پایه است. اجازه دهید نقطه \(M\) لبه کناری هرم را به نسبت \(1:4\) تقسیم کند و از بالای هرم بشماریم و \(N\) ارتفاع هرم را به نسبت \( 1:2\) ، از بالای هرم می شمرد. نقطه تقاطع خط \(MN\) با صفحه \(ABC\) را پیدا کنید.

راه حل

1) اجازه دهید \(DM:MA=1:4، \DN:NO=1:2\) (شکل را ببینید). زیرا هرم منظم است، سپس ارتفاع به نقطه \(O\) تقاطع وسط قاعده می رسد. طرح ریزی خط \(MN\) را روی صفحه \(ABC\) پیدا کنید. زیرا \(DO\perp (ABC)\) و سپس \(NO\perp (ABC)\) نیز همینطور است. بنابراین، \(O\) یک نقطه متعلق به این طرح است. نکته دوم را پیدا کنیم. اجازه دهید عمود \(MQ\) را از نقطه \(M\) به صفحه \(ABC\) رها کنیم. نقطه \(Q\) روی میانه \(AK\) قرار خواهد گرفت.
در واقع، از آن زمان \(MQ\) و \(NO\) بر \((ABC)\) عمود هستند، سپس موازی هستند (یعنی در یک صفحه قرار دارند). بنابراین، از آنجایی که نقاط \(M, N, O\) در همان صفحه \(ADK\) قرار دارند، سپس نقطه \(Q\) نیز در این صفحه قرار خواهد گرفت. اما همچنین (با ساخت) نقطه \(Q\) باید در صفحه \(ABC\) باشد، بنابراین روی خط تقاطع این صفحات قرار دارد و این \(AK\) است.

بنابراین، خط \(AK\) طرح خط \(MN\) بر روی صفحه \(ABC\) است. \(L\) نقطه تلاقی این خطوط است.

2) توجه داشته باشید که برای ترسیم درست نقاشی، باید موقعیت دقیق نقطه \(L\) را پیدا کنید (مثلاً در نقاشی ما نقطه \(L\) خارج از قطعه \(OK\) قرار دارد. ) ، اگرچه می تواند دروغ باشد و درون آن باشد؛ اما چگونه است؟).

زیرا با شرط، ضلع قاعده برابر با ارتفاع هرم باشد، سپس \(AB=DO=a\) را نشان می دهیم. سپس میانه \(AK=\dfrac(\sqrt3)2a\) است. به معنای، \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1(2\sqrt3)a\). بیایید طول قطعه \(OL\) را پیدا کنیم (سپس می‌توانیم بفهمیم که نقطه \(L\) داخل یا خارج از بخش \(OK\) است: اگر \(OL>OK\) - سپس خارج و در غیر این صورت - داخل).

آ) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\)دو گوشه ( \(\زاویه Q=\ زاویه O=90^\circ, \\زاویه A\)- عمومی). به معنای،

\[\dfrac(MQ)(DO)=\dfrac(AQ)(AO)=\dfrac(MA)(DA)=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a\]

به معنای، \(QK=\dfrac(\sqrt3)2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a=\dfrac7(10\sqrt3)a\).

ب) \(KL=x\) را نشان دهید.
\(\مثلث LMQ\sim \مثلث LNO\)دو گوشه ( \(\زاویه Q=\ زاویه O=90^\circ, \\زاویه L\)- عمومی). به معنای،

\[\dfrac(MQ)(NO)=\dfrac(QL)(OL) \Rightarrow \dfrac(\frac45 a)(\frac 23a) =\dfrac(\frac(7)(10\sqrt3)a+x )(\frac1(2\sqrt3)a+x) \Rightarrow x=\dfrac a(2\sqrt3) \Rightarrow OL=\dfrac a(\sqrt3)\]

بنابراین، \(OL>OK\)، به این معنی که نقطه \(L\) واقعاً خارج از بخش \(AK\) قرار دارد.

اظهار نظر

اگر هنگام حل یک مشکل مشابه، متوجه شدید که طول بخش منفی است، نترسید. اگر در شرایط مشکل قبلی دریافتیم که \(x\) منفی است، این فقط به این معنی است که موقعیت نقطه \(L\) را اشتباه انتخاب کرده ایم (یعنی داخل قطعه \(AK است. \)) .

مثال 3

دانا درست میگه هرم چهار گوش\(SABCD\) . بخش هرم را با صفحه \(\alpha\) که از نقطه \(C\) و نقطه وسط یال \(SA\) و خط موازی \(BD\) می گذرد پیدا کنید.

راه حل

1) نقطه وسط یال \(SA\) را با \(M\) نشان دهید. زیرا هرم منظم است، سپس ارتفاع \(SH\) هرم به نقطه تقاطع مورب های قاعده می رسد. هواپیمای \(SAC\) را در نظر بگیرید. پاره های \(CM\) و \(SH\) در این صفحه قرار دارند، اجازه دهید آنها را در نقطه \(O\) قطع کنند.

برای اینکه صفحه \(\alpha\) با خط \(BD\) موازی شود، باید مقداری خط موازی با \(BD\) داشته باشد. نقطه \(O\) همراه با خط \(BD\) در همان صفحه - در صفحه \(BSD\) قرار دارد. یک خط \(KP\موازی BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)) در این صفحه از نقطه \(O\) رسم کنید. سپس با اتصال نقاط \(C, P, M, K\) , برشی از هرم را با صفحه \(\alpha\) بدست می آوریم.

2) رابطه ای را پیدا کنید که در آن نقاط \(K\) و \(P\) یال های \(SB\) و \(SD\) را تقسیم می کنند. بنابراین، بخش ساخته شده را به طور کامل تعریف می کنیم.

توجه داشته باشید که از \(KP\موازی BD\) , پس با قضیه تالس \(\dfrac(SB)(SK)=\dfrac(SD)(SP)\). اما \(SB=SD\) و همچنین \(SK=SP\) . بنابراین فقط \(SP:PD\) را می توان پیدا کرد.

\(\مثلث ASC\) را در نظر بگیرید. \(CM، SH\) میانه‌های این مثلث هستند، بنابراین، نقطه تقاطع در رابطه \(2:1\) با شمارش از بالا تقسیم می‌شود، یعنی \(SO:OH=2:1\) .

اکنون توسط قضیه تالس از \(\مثلث BSD\): \(\dfrac(SP)(PD)=\dfrac(SO)(OH)=\dfrac21\).

3) توجه داشته باشید که با قضیه سه عمود، \(CO\perp BD\) به عنوان یک مایل (\(OH\) ​​عمود بر صفحه \(ABC\) است، \(CH\perp BD\) فرافکنی است). بنابراین \(CO\perp KP\) . بنابراین، یک مقطع یک چهار ضلعی \(CPMK\) است که قطرهای آن متقابلاً عمود هستند.

مثال 4

یک هرم مستطیل شکل \(DABC\) با لبه \(DB\) عمود بر صفحه \(ABC\) در نظر گرفته شده است. در پایه نهفته است راست گوشهبا \(\ زاویه B=90^\circ\) ، با \(AB=DB=CB\) . یک صفحه از خط \(AB\) عمود بر وجه \(DAC\) بکشید و قسمت هرم را با این صفحه پیدا کنید.

راه حل

1) صفحه \(\alpha\) بر وجه \(DAC\) عمود خواهد بود اگر دارای یک خط عمود بر \(DAC\) باشد. از نقطه \(B\) به صفحه \(DAC\) یک عمود بکشید - \(BH\) , \(H\in DAC\) .

قرعه کشی کمکی \(BK\) - میانه در \(\مثلث ABC\) و \(DK\) - میانه در \(\مثلث DAC\) .
زیرا \(AB=BC\) ، سپس \(\مثلث ABC\) متساوی الساقین است، بنابراین \(BK\) ارتفاع است، یعنی \(BK\perp AC\) .
زیرا \(AB=DB=CB\) و \(\زاویه ABD=\زاویه CBD=90^\circ\)، سپس \(\مثلث ABD=\مثلث CBD\)، از این رو \(AD=CD\) ، بنابراین \(\ مثلث DAC\) نیز متساوی الساقین و \(DK\perp AC\) است.

بیایید این قضیه را روی سه عمود اعمال کنیم: \(BH\) عمود بر \(DAC\) است. مورب \(BK\perp AC\)، از این رو طرح \(HK\perp AC\). اما ما قبلاً تعیین کرده ایم که \(DK\perp AC\) . بنابراین، نقطه \(H\) روی قطعه \(DK\) قرار دارد.

با اتصال نقاط \(A\) و \(H\) ، قطعه \(AN\) را بدست می آوریم که در امتداد آن صفحه \(\alpha\) با وجه \(DAC\) قطع می شود. سپس \(\مثلث ABN\) بخش مورد نظر هرم توسط صفحه \(\alpha\) است.

2) موقعیت دقیق نقطه \(N\) در لبه \(DC\) را تعیین کنید.

\(AB=CB=DB=x\) را نشان دهید. سپس \(BK\) ، همانطور که میانه از بالا پایین آمد زاویه راستدر \(\مثلث ABC\) \(\frac12 AC\) است، بنابراین \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

\(\مثلث BKD\) را در نظر بگیرید. رابطه \(DH:HK\) را پیدا کنید.

توجه داشته باشید که از زمان \(BH\perp (DAC)\) ، سپس \(BH\) بر هر خطی از این صفحه عمود است، بنابراین \(BH\) ارتفاع در \(\مثلث DBK\) است. سپس \(\مثلث DBH\sim \مثلث DBK\)، در نتیجه

\[\dfrac(DH)(DB)=\dfrac(DB)(DK) \Rightarrow DH=\dfrac(\sqrt6)3x \Rightarrow HK=\dfrac(\sqrt6)6x \Rightarrow DH:HK=2:1 \]

اکنون \(\مثلث ADC\) را در نظر بگیرید. میانه های یک مثلث تقاطع دقیق با شمارش از راس بر \(2:1\) تقسیم می شود. بنابراین، \(H\) نقطه تقاطع میانه ها در \(\مثلث ADC\) است (زیرا \(DK\) یک میانه است). یعنی \(AN\) نیز یک میانه است، بنابراین \(DN=NC\) .

در این درس به چهار وجهی و عناصر آن (لبه چهاروجهی، سطح، وجه ها، رئوس) خواهیم پرداخت. و ما چندین مشکل را برای ساخت مقاطع در چهار وجهی با استفاده از آن حل خواهیم کرد روش کلیبرای ساخت بخش ها

موضوع: موازی خطوط و صفحات

درس: چهار وجهی. مشکلات ساخت مقاطع در چهار وجهی

چگونه یک چهار وجهی بسازیم؟ یک مثلث دلخواه را در نظر بگیرید ABC. نکته دلخواه دینه در صفحه این مثلث. 4 مثلث می گیریم. سطحی که توسط این 4 مثلث تشکیل شده است، چهار وجهی نامیده می شود (شکل 1.). نقاط داخلی محدود شده توسط این سطح نیز بخشی از چهار وجهی هستند.

برنج. 1. چهار وجهی ABCD

عناصر یک چهار وجهی
ولی،ب, سی, دی - رئوس یک چهار وجهی.
AB, AC, آگهی, قبل از میلاد مسیح, BD, سی دی - لبه های یک چهار وجهی.
ABC, ABD, بی دی سی, ADC - چهره های یک چهار وجهی.

اظهار نظر:میتونی سوار هواپیما بشی ABCمطابق پایه چهار وجهی، و سپس نقطه دیاست بالای یک چهار وجهی. هر یال چهار وجهی محل تلاقی دو صفحه است. مثلا دنده ABمحل تقاطع هواپیماها است ABدیو ABC. هر رأس چهار وجهی محل تلاقی سه صفحه است. راس ولیدر هواپیماها نهفته است ABC, ABدی, ولیدیاز جانب. نقطه ولیمحل تقاطع سه صفحه مشخص شده است. این واقعیت به صورت زیر نوشته شده است: ولی= ABC ∩ ABدی ∩ AUدی.

تعریف چهار وجهی

بنابراین، چهار وجهیسطحی است که از چهار مثلث تشکیل شده است.

لبه چهار وجهی- خط تقاطع دو صفحه چهار وجهی.

از 6 مسابقه 4 مثلث مساوی درست کنید. حل مشکل در هواپیما امکان پذیر نیست. و در فضا انجام آن آسان است. بیایید یک چهار وجهی بگیریم. 6 کبریت لبه های آن، چهار وجه چهار وجهی و چهار مثلث مساوی خواهد بود. مشکل حل شد.

چهار وجهی دان ABCدی. نقطه ممتعلق به لبه چهار وجهی است AB، نقطه نمتعلق به لبه چهار وجهی است ATدیو نقطه آرمتعلق به لبه است دیاز جانب(شکل 2.). قسمتی از چهار وجهی را توسط یک صفحه بسازید MNP.

برنج. 2. نقاشی برای کار 2 - یک بخش از چهار وجهی را توسط یک صفحه بسازید

راه حل:
صورت یک چهار وجهی را در نظر بگیرید دیآفتاب. در این لبه نقطه نو پچهره ها تعلق دارند دیآفتاب، و از این رو چهار وجهی. اما به شرط نکته ن، پیمتعلق به هواپیمای برش است. به معنای، NPخط تقاطع دو صفحه است: صفحات صورت دیآفتابو هواپیما برش. بیایید فرض کنیم که خطوط NPو آفتابموازی نیستند آنها در همان هواپیما دراز می کشند دیآفتاب.نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید NPو آفتاب. بیایید آن را نشان دهیم E(شکل 3.).

برنج. 3. نقاشی برای کار 2. یافتن نقطه E

نقطه Eمتعلق به صفحه مقطع است MNP، از آنجایی که روی خط قرار دارد NP، و خط مستقیم NPبه طور کامل در سطح بخش قرار دارد MNP.

همچنین نقطه Eدر هواپیما نهفته است ABCزیرا روی یک خط قرار دارد آفتابخارج از هواپیما ABC.

ما آن را دریافت می کنیم بخور- خط تقاطع هواپیماها ABCو MNP،چون نقاط Eو مبه طور همزمان در دو هواپیما دراز بکشید - ABCو MNP.نقطه ها را به هم وصل کنید مو E، و خط را ادامه دهید بخوربه تقاطع با خط AU. نقطه تلاقی خطوط بخورو AUمشخص کن س.

بنابراین در این مورد NPQM- بخش مورد نظر

برنج. 4. نقاشی برای مسئله 2. حل مسئله 2

اکنون موردی را در نظر بگیرید که NPموازی قبل از میلاد مسیح. اگر مستقیم NPبه موازات یک خط، به عنوان مثال، یک خط آفتابخارج از هواپیما ABC، سپس خط مستقیم NPبه موازات کل صفحه ABC.

به دنبال صفحه مقطعیاز یک خط مستقیم عبور می کند NP، موازی با هواپیما ABC، و صفحه را در یک خط مستقیم قطع می کند MQ. بنابراین خط تقاطع MQبه موازات یک خط مستقیم NP. ما گرفتیم NPQM- بخش مورد نظر

نقطه مدر کنار دراز می کشد ولیدیATچهار وجهی ABCدی. قسمتی از چهار وجهی را با صفحه ای که از نقطه ای می گذرد بسازید مموازی با پایه ABC.

برنج. 5. رسم برای کار 3 یک بخش از چهار وجهی را توسط یک صفحه بسازید

راه حل:
هواپیما برش φ موازی با هواپیما ABCبا شرط، سپس این هواپیما φ موازی با خطوط مستقیم AB, AU, آفتاب.
داخل هواپیما ABدیاز طریق یک نقطه مبیایید یک خط مستقیم بکشیم پی کیوموازی AB(شکل 5). سر راست پی کیودر هواپیما نهفته است ABدی. به طور مشابه در هواپیما AUدیاز طریق یک نقطه آربیایید یک خط مستقیم بکشیم روابط عمومیموازی AU. امتیاز گرفت آر. دو خط متقاطع پی کیوو روابط عمومیسطح PQRبه ترتیب موازی با دو خط متقاطع هستند ABو AUسطح ABC، از این رو هواپیماها ABCو PQRموازی هستند. PQR- بخش مورد نظر مشکل حل شد.

چهار وجهی دان ABCدی. نقطه م- نقطه داخلی، نقطه یک چهار وجهی ABدی. ن- نقطه داخلی قطعه دیاز جانب(شکل 6.). نقطه تقاطع یک خط را بسازید NMو هواپیما ABC.

برنج. 6. نقاشی برای کار 4

راه حل:
برای حل، یک هواپیمای کمکی می سازیم دیMN. بگذارید خط دیمخط AB را در یک نقطه قطع می کند به(شکل 7.). سپس، SCدیبخشی از هواپیما است دیMNو یک چهار وجهی داخل هواپیما دیMNدروغ و مستقیم NM، و خط حاصل SC. بنابراین اگر NMموازی نیست SC، سپس در نقطه ای قطع می شوند آر. نقطه آرو نقطه تلاقی مورد نظر خط خواهد بود NMو هواپیما ABC.

برنج. 7. نقاشی برای مسئله 4. حل مسئله 4

چهار وجهی دان ABCدی. م- نقطه داخلی صورت ABدی. آر- نقطه داخلی صورت ABC. ن- نقطه داخلی لبه دیاز جانب(شکل 8.). قسمتی از چهار وجهی را با صفحه ای که از نقاط می گذرد بسازید م, نو آر.

برنج. 8. ترسیم برای کار 5، بخشی از چهار وجهی را توسط یک صفحه بسازید

راه حل:
اولین مورد را در نظر بگیرید، زمانی که خط MNموازی با هواپیما نیست ABC. در مسئله قبلی نقطه تلاقی خط را پیدا کردیم MNو هواپیما ABC. این نکته است به، با استفاده از صفحه کمکی به دست می آید دیMN، یعنی ما انجام می دهیم دیمو امتیاز بگیرید اف. خرج می کنیم CFو در تقاطع MNیک امتیاز بگیرید به.

برنج. 9. نقاشی برای کار 5. یافتن نقطه K

بیایید یک خط مستقیم بکشیم KR. سر راست KRهم در صفحه بخش و هم در صفحه قرار دارد ABC. امتیاز گرفتن R 1و R 2. برقراری ارتباط R 1و مو در ادامه یک امتیاز می گیریم M 1. اتصال نقطه R 2و ن. در نتیجه سطح مقطع مورد نظر را بدست می آوریم R 1 R 2 NM 1. مشکل در مورد اول حل شده است.
مورد دوم را در نظر بگیرید، زمانی که خط MNموازی با هواپیما ABC. سطح MNPاز یک خط مستقیم عبور می کند MNموازی با هواپیما ABCو از هواپیما عبور می کند ABCدر امتداد یک خط R 1 R 2، سپس خط مستقیم R 1 R 2به موازات این خط MN(شکل 10.).

برنج. 10. نقاشی برای مسئله 5. بخش مورد نظر

حالا بیایید یک خط بکشیم R 1 Mو امتیاز بگیرید M 1.R 1 R 2 NM 1- بخش مورد نظر

بنابراین، ما چهار وجهی را در نظر گرفتیم، برخی از وظایف معمولی را در چهار وجهی حل کردیم. در درس بعدی به جعبه نگاه خواهیم کرد.

1. I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، تصحیح و تکمیل - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : مریض هندسه. پایه 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (پایه و سطوح پروفایل)

2. Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill. هندسه. پایه 10-11: کتاب درسی برای موسسات آموزشی عمومی

3. E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - ویرایش ششم، کلیشه ای. - M. : Bustard, 008. - 233 p. :بیمار هندسه. کلاس 10: کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی عمومی با مطالعه عمیق و مشخصات ریاضی

منابع وب اضافی

2. نحوه ساختن یک مقطع از چهار وجهی. ریاضی ().

3. جشنواره ایده های آموزشی ().

انجام تکالیف در مورد موضوع "چهاروجهی"، نحوه پیدا کردن لبه چهار وجهی، وجه های چهار وجهی، رئوس و سطح چهار وجهی

1. هندسه. کلاس 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (سطوح پایه و مشخصات) I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، تصحیح و تکمیل - م.: منموزینا، 1387. - 288 ص: ill. وظایف 18، 19، 20 ص 50

2. نقطه Eدنده میانی MAچهار وجهی IAWS. قسمتی از چهار وجهی را با صفحه ای که از نقاط می گذرد بسازید قبل از میلاد مسیحو E.

3. در چهار وجهی MAVS، نقطه M به وجه AMB، نقطه P به وجه BMC و نقطه K به لبه AC تعلق دارد. قسمتی از چهار وجهی را با صفحه ای که از نقاط می گذرد بسازید م، ر، ک.

4. در نتیجه تقاطع چهار وجهی با صفحه چه ارقامی را می توان به دست آورد؟

هدف، واقعگرایانه:
توسعه بازنمایی های فضایی
وظایف:
1. قوانین ساخت مقاطع را معرفی کنید.
2. مهارت های ساخت بخش ها را توسعه دهید
چهار وجهی و متوازی الاضلاع در متفاوت است
موارد تنظیم یک هواپیمای برش.
3. توانایی اعمال قوانین را شکل دهید
ساخت بخش ها هنگام حل مسائل در
موضوعات "چند وجهی".

برای حل بسیاری از
هندسی
وظایف مورد نیاز
ساخت بخش ها
چند وجهی
مختلف
هواپیماها

مفهوم هواپیمای برش

جدا کردن
سطح
متوازیالسطوح
(چهار ضلعی)
به نام هر
هواپیما، هر دو
طرف از
که دارای
نکات این
متوازیالسطوح
(چهار ضلعی).

مفهوم مقطعی از چند وجهی

هواپیما برش
از لبه ها عبور می کند
چهار وجهی
(موازی) توسط
بخش ها
چند ضلعی، اضلاع
که داده ها هستند
بخش ها، نامیده می شود
بخش یک چهار وجهی
(متوازیالسطوح).

کار نقاشی

چند هواپیما را می توان ترسیم کرد
از طریق عناصر انتخاب شده؟
چه بدیهیات و قضایایی را به کار بردید؟

برای ساخت یک بخش
نقطه ها باید ساخته شوند.
تقاطع مقطع
هواپیما با دنده و
آنها را در بخش ها وصل کنید.

قوانین ساخت بخش ها

1. شما فقط می توانید دو را متصل کنید
نقاطی که در یک صفحه قرار دارند
لبه ها.
2. صفحه برش قطع می شود
چهره های موازی در امتداد
بخش های موازی

قوانین ساخت بخش ها

3. اگر صفحه صورت مشخص شده باشد
فقط یک نقطه متعلق به
صفحه بخش، سپس
یک نقطه اضافی بسازید
برای این کار باید نقاط را پیدا کنید
تقاطع های از قبل ساخته شده
خطوط مستقیم با سایر خطوط مستقیم،
در همان مرزها دراز کشیده

10. ساخت مقاطع یک چهار وجهی

11.

چهار وجهی دارای 4 وجه است
در بخش ها می توانید دریافت کنید
مثلثها
چهار گوش

12.

بخشی از چهار وجهی بسازید
عبور هواپیمای DABC
از طریق نقاط M,N,K
1. یک خط بکشید
نقاط M و K، زیرا آنها دروغ می گویند
در یک چهره (ADC).
دی
م
AA
ن
ک
BB
CC
2. یک خط بکشید
نقاط K و N، زیرا آنها
در همان سمت دراز بکش
(CDB).
3. بحث کردن به طور مشابه،
یک خط مستقیم MN رسم کنید.
4. مثلث MNK -
بخش مورد نظر

13. عبور از نقطه M موازی ABC.

دی
1. نقطه M را بکشید
موازی مستقیم
لبه AB
2.
م
آر
ولی
به
از جانب
AT
از نقطه M بکشید
موازی مستقیم
لبه AC
3. یک خط بکشید
نقاط K و P، زیرا آنها دراز می کشند
تک لبه (DBC)
4. مثلث MPK -
بخش مورد نظر

14.

قسمتی از چهار وجهی را توسط یک صفحه بسازید،
عبور از نقاط E، F، K.
دی
1. KF را اجرا کنید.
2. ما FE را انجام می دهیم.
3. ادامه دهید
EF، بیایید AC را ادامه دهیم.
اف
4. EF AC =M
5. ما انجام می دهیم
MK
E
م
AB=L
6.
MK
سی
آ
7. EL را انجام دهید
L
EFKL - بخش مورد نظر
ک
ب

15.

قسمتی از چهار وجهی را توسط یک صفحه بسازید،
عبور از نقاط E، F، K
چی
که مستقیم
نقطه،
دراز کشیده در
می توان
اتصال
در نتیجه
چه جور
نکته ها
می توان
فورا
اسباب بازی
یکسان
وجوه
می توان
ادامه دهید،
به
گرفتن
نکته ها،
دروغ گویی
که در
یکی
اتصال؟
اتصال
اخذ شده
اضافی
نقطه؟
لبه،
نام
بخش.
امتیاز اضافی؟
دی
AU
ELFK
Fsec
رگ
K، و E
و FK
اف
L
سی
م
آ
E
ک
ب

16.

بخش ساخت
صفحه چهار وجهی،
عبور از نقاط
E، F، K.
دی
اف
L
سی
آ
E
ک
ب
O

17.

نتیجه گیری: مهم نیست چگونه
ساختارهای بخش یکسان است

18. ساخت مقاطع موازی

19.

چهار وجهی دارای 6 وجه است
مثلثها
پنج ضلعی ها
در بخش های آن می توانید دریافت کنید
چهار گوش
شش ضلعی

20. با صفحه ای که از نقطه X موازی با صفحه (OSV) می گذرد، بخشی از یک موازی سپید بسازید.

در 1
A1
Y
ایکس
D1
اس
AT
ولی
دی
ز
1. عبور کنید
C1
نقطه X خط
به موازات لبه
D1C1
2. از طریق نقطه X
مستقیم
به موازات لبه
D1D
3. از طریق نقطه Z خط مستقیم
به موازات لبه
از جانب
دی سی
4. یک خط بکشید
نقاط S و Y، زیرا آنها دراز می کشند
یک چهره (BB1C1)
XYSZ - بخش مورد نظر

21.

قسمتی از یک متوازی الاضلاع بسازید
هواپیما در حال عبور از نقاط
M, A, D
در 1
D1
E
A1
C1
AT
ولی
1 بعد از میلاد
2.MD
3. ME//AD، زیرا (ABC)//(A1B1C1)
4.AE
5. AEMD - بخش مورد نظر
م
دی
از جانب

22. با صفحه ای که از نقاط M، K، T می گذرد، برشی از یک متوازی الاضلاع بسازید.

ن
م
به
آر
اس
ایکس
تی

23. وظایف را به تنهایی انجام دهید

متر
تی
به
متر
دی
به
تی
یک بخش بسازید: الف) یک متوازی الاضلاع.
ب) چهار وجهی
صفحه ای که از نقاط M، T، K عبور می کند.

24. منابع مورد استفاده

Soboleva L. I. ساخت بخش ها
Tkacheva V. V. ساخت بخش ها
چهار وجهی و موازی
Gobozova L. V. وظایف ساخت و ساز
بخش ها
دی وی دی. درس هندسه سیریل و
متدیوس. کلاس دهم، 2005
وظایف آموزشی و آزمایشی.
هندسه. کلاس 10 (یادداشت) / Aleshina
T.N. - م.: مرکز هوش، 1998

ساخت بخش ها و بخش ها روی نقشه ها

ترسیم قطعه با افزودن متوالی برجستگی ها، برش ها و مقاطع لازم شکل می گیرد. در ابتدا، یک نمای سفارشی با یک مدل مشخص شده توسط کاربر ایجاد می‌شود و جهت‌گیری مدل به بهترین شکل با نمای اصلی تنظیم می‌شود. علاوه بر این، برش ها و برش های لازم برای این و انواع زیر ایجاد می شود.

نمای اصلی (نمای جلو) به گونه ای انتخاب شده است که کامل ترین تصور را از شکل ها و ابعاد قطعه ارائه دهد.

بخش ها در نقشه ها

بسته به موقعیت صفحه برش، انواع برش های زیر متمایز می شوند:

الف) افقی، اگر صفحه برش موازی با صفحه برش افقی باشد.

ب) عمودی، اگر صفحه برش عمود بر صفحه برش افقی باشد.

ج) مایل - صفحه برش به صفحات برش متمایل است.

بخش های عمودی به دو دسته تقسیم می شوند:

· فرونتال - صفحه برش موازی با صفحه پیش بینی جلویی است.

· پروفیل - صفحه برش موازی با صفحه طرح ریزی پروفیل است.
بسته به تعداد صفحات برش، برش ها عبارتند از:

· ساده - با یک هواپیما برش (شکل 107).

· پیچیده - با دو یا چند صفحه برش (شکل 108)
این استاندارد انواع برش های پیچیده زیر را ارائه می دهد:

· پلکانی، هنگامی که صفحات برش موازی هستند (شکل 108 الف) و خطوط شکسته - صفحات برش متقاطع می شوند (شکل 108 ب)

Fig.107 برش ساده

الف) ب)

Fig.108 برش های پیچیده

تعیین برش ها

در صورتی که در یک مقطع ساده، صفحه سکونت با صفحه تقارن جسم منطبق باشد، برش نشان داده نمی شود (شکل 107). در تمام موارد دیگر، برش ها نشان داده شده است حروف بزرگالفبای روسی که با حرف A شروع می شود، به عنوان مثال A-A.

موقعیت صفحه برش در نقاشی با خط مقطع نشان داده شده است - یک خط باز ضخیم شده. با یک برش پیچیده، ضربات نیز در انحرافات خط مقطع انجام می شود. فلش هایی که جهت دید را نشان می دهند باید روی ضربه های اولیه و نهایی قرار گیرند، فلش ها باید در فاصله 2-3 میلی متر از انتهای بیرونی ضربه ها قرار گیرند. در قسمت بیرونی هر فلش که جهت دید را نشان می دهد، همان حرف بزرگ اعمال می شود.

از همین دکمه برای تعیین برش ها و مقاطع در سیستم KOMPAS استفاده می شود خط بخش واقع در صفحه Legend (شکل 109).

Fig.109 دکمه خط بخش

اتصال نیمه نمای به نیمه بخش

اگر نما و مقطع شکل متقارن هستند (شکل 110)، می توانید نیمی از نما و نیمی از بخش را به هم متصل کنید و آنها را با یک خط نازک نقطه چین جدا کنید، که محور تقارن است. بخشی از مقطع معمولاً در سمت راست محور تقارن قرار می گیرد که قسمت نمای را از قسمت مقطع جدا می کند یا در زیر محور تقارن قرار می گیرد. خطوط کانتور پنهان در قسمت های متصل نمای و بخش معمولاً نشان داده نمی شوند. اگر خط محوری جداکننده نما و مقطع با طرح هر خطی، به عنوان مثال، لبه یک شکل وجهی منطبق باشد، آنگاه نما و مقطع با یک خط موجی جامد که در سمت چپ محور تقارن کشیده شده است از هم جدا می شوند. ، اگر لبه روی آن قرار داشته باشد سطح داخلی، یا اگر لبه خارجی باشد به سمت راست.

برنج. 110 اتصال بخشی از یک نما و یک بخش

برش های ساختمان

ساخت مقاطع در سیستم KOMPAS را با استفاده از مثال ساختن رسم یک منشور که وظیفه آن در شکل 111 نشان داده شده است، مطالعه خواهیم کرد.

دنباله ترسیم به شرح زیر است:

1. بر اساس ابعاد داده شده، یک مدل جامد از یک منشور خواهیم ساخت (شکل 109 ب). بیایید مدل را در حافظه کامپیوتر در فایلی به نام "Prism" ذخیره کنیم.

Fig.112 پنل خطوط

3. برای ساخت بخش پروفایل (شکل 113) یک خط بکش بخش A-Aدر نمای اصلی با استفاده از دکمهخط برش.

شکل 113 ساخت بخش پروفیل

جهت مشاهده و متن تعیین را می توان با دستور در پایین صفحه در کنترل پنل انتخاب کرد (شکل 114). ساخت خط بخش با فشار دادن دکمه Create object کامل می شود.

شکل 114 پنل کنترل فرمان ساخت برش ها و مقاطع

4. در پنل Associative Views (شکل 115)، دکمه Cut line را انتخاب کنید، سپس خط برش را با تله ای که روی صفحه ظاهر می شود مشخص کنید. اگر همه چیز به درستی انجام شود (خط برش باید در نمای فعال رسم شود)، خط برش قرمز می شود. پس از تعیین خط برش A-A، یک فانتوم تصویر به شکل یک مستطیل کلی روی صفحه ظاهر می شود.

Fig.115 پانل نماهای انجمنی

با کمک کلید Cut/section در نوار Property، نوع تصویر - Cut (شکل 116) و مقیاس برش نمایش داده شده انتخاب می شود.

شکل 116 تابلوی کنترل فرمان ساخت برش ها و مقاطع

بخش نمایه به طور خودکار در اتصال پروجکشن و با نماد استاندارد ساخته می شود. در صورت لزوم، اتصال طرح ریزی می تواند توسط سوئیچ خاموش شود اتصال پروجکشن (شکل 116).برای تنظیم پارامترهای هچینگ که در بخش (بخش) ایجاد شده استفاده خواهند شد، از کنترل های موجود در تب Hatching استفاده کنید.

شکل 117 ساخت بخش افقی B-B و مقطع C-C

اگر صفحه برش انتخاب شده هنگام ساخت برش با صفحه تقارن قطعه مطابقت داشته باشد، مطابق با استاندارد، چنین برشی نشان داده نمی شود. اما اگر به سادگی نام بخش را پاک کنید، با توجه به اینکه نمای و بخش در حافظه رایانه به هم متصل هستند، کل بخش پاک می شود. بنابراین، برای حذف نام، ابتدا باید ارتباط بین نما و بخش را از بین ببرید. برای انجام این کار، روی دکمه سمت چپ ماوس کلیک کنید تا بخش را انتخاب کنید و سپس روی دکمه سمت راست ماوس کلیک کنید تا منوی زمینه باز شود، که از آن آیتم Destroy view انتخاب شده است (شکل 97). اکنون نماد بخش قابل حذف است.

5. برای ساخت یک بخش افقی، اجازه دهید یک خط مقطع B-B را از صفحه پایین سوراخ در نمای جلو بکشیم. نمای جلو باید ابتدا با دو کلیک دکمه سمت چپ ماوس فعال شود. سپس یک بخش افقی ساخته می شود (شکل 117).

6. هنگام ساخت مقطع جلویی، بخشی از نمای و بخشی از مقطع با هم سازگار هستند، زیرا آنها اشکال متقارن هستند. لبه بیرونی منشور بر روی خطی که نمای و برش را از هم جدا می کند، پیش بینی می شود، بنابراین ما مرزبندی می کنیم. نمای و مقطع یک خط موجی نازک جامد که در سمت راست محور تقارن کشیده شده است، زیرا دنده بیرونی برای ساخت خط موج داردکمه استفاده می شودمنحنی Bezier واقع در پانل Geometry با سبک برای برش خط رسم شده است (شکل 118). به طور متوالی نقاطی را که منحنی بزیه باید از آنها عبور کند مشخص کنید. برای اتمام اجرای دستور، روی دکمه Create object کلیک کنید.

شکل 118 انتخاب سبک خط برای شکست

بخش بندی

برش تصویری از یک جسم است که با کالبد شکافی ذهنی یک جسم با صفحه به دست می آید. بخش فقط آنچه را که در صفحه برش قرار دارد نشان می دهد.

موقعیت صفحه برش، که با آن بخش تشکیل شده است، در نقاشی با خط مقطع نشان داده می شود، درست مانند بخش ها.

بخش ها بسته به موقعیت آنها در نقشه ها به توسعه یافته و روی هم تقسیم می شوند. بخش های حذف شده اغلب در میدان آزاد نقشه قرار دارند و با خط اصلی مشخص می شوند. مقاطع روی هم مستقیماً روی تصویر جسم قرار می گیرند و با خطوط نازک مشخص می شوند (شکل 119).

Fig.119 ساخت مقاطع

دنباله ساختن رسم یک منشور با مایل کشیده را در نظر بگیرید بخش B-B(شکل 117).

1. با دوبار کلیک کردن روی دکمه سمت چپ ماوس روی نما، نمای جلو را فعال کنید و با استفاده از دکمه، یک خط بخش بکشید. خط برش . بیایید متن کتیبه В-В را انتخاب کنیم.

2. با استفاده از دکمه Cut line واقع در پانل Associative Views (شکل 115) که به عنوان یک تله ظاهر می شود، خط برش را نشان دهید. هواپیماهای B-B. با استفاده از کلید Cut/section در نوار Property، نوع تصویر - Section را انتخاب کنید (شکل 116)، مقیاس بخش نمایش داده شده از پنجره Scale انتخاب می شود.

بخش ساخته شده در یک رابطه طرح قرار دارد که حرکت آن را در نقاشی محدود می کند، اما رابطه طرح ریزی را می توان با استفاده از دکمه خاموش کرد. اتصال پروجکشن

روی نقاشی تمام شده، خطوط مرکزی را بکشید، در صورت لزوم، ابعاد را پایین بیاورید.

روش مقاطع چند وجهی در استریومتری در مسائل ساختمانی استفاده می شود. این بر اساس توانایی ساخت یک بخش از یک چند وجهی و تعیین نوع مقطع است.

این ماده با ویژگی های زیر مشخص می شود:

1. روش بخش فقط برای چند وجهی استفاده می شود، زیرا انواع پیچیده (مایل) بخش های بدنه انقلاب در برنامه درسی دبیرستان گنجانده نشده است.
2. وظایف عمدتا از ساده ترین چند وجهی استفاده می کنند.
3. کارها عمدتاً بدون داده های عددی ارائه می شوند تا امکان استفاده چندگانه از آنها ایجاد شود.

برای حل مشکل ساختن یک مقطع چندوجهی، دانش آموز باید بداند:

• ساختن بخشی از یک چندوجهی توسط یک صفحه به چه معناست؟
• چگونه یک چند وجهی و یک صفحه می توانند نسبت به یکدیگر قرار گیرند.
• نحوه تنظیم هواپیما؛
• زمانی که مشکل ساختن مقطعی از یک چندوجهی توسط یک صفحه حل شده در نظر گرفته شود.

از آنجایی که هواپیما تعریف شده است:

• سه نقطه؛
• خط مستقیم و نقطه؛
• دو خط موازی؛
• دو خط متقاطع

ساخت صفحه مقطع بسته به انتساب این صفحه صورت می گیرد. بنابراین، تمام روش‌های ساخت مقاطع چند وجهی را می‌توان به روش‌هایی تقسیم کرد.

وجود دارد سه روش اصلیساخت مقاطع چند وجهی:

1. روش ردیابی
2. روش ساخت بخش های کمکی
3. روش ترکیبی.

دو روش اول واریته هستند روش بدیهیساخت بخش ها

همچنین می‌توان روش‌های زیر را برای ساخت بخش‌های چند وجهی متمایز کرد:

• ساختن بخشی از یک چندوجهی توسط صفحه ای که از نقطه ای معین به موازات یک صفحه معین عبور می کند.
• ساختن بخشی که از یک خط معین به موازات یک خط معین دیگر عبور می کند.
• ساختن بخشی که از یک نقطه معین به موازات دو خط اریب داده شده عبور می کند.
• ساختن بخشی از یک چند وجهی توسط صفحه ای که از یک خط معین عمود بر صفحه معین عبور می کند.
• ساختن بخشی از یک چندوجهی توسط صفحه ای که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین عبور می کند.

فهرست فدرال کتاب های هندسه برای کلاس های 10-11 شامل کتاب های درسی نویسندگان است:

• Atanasyan L.S.، Butuzova V.F.، Kadomtseva S.B. و دیگران (هندسه، 10-11);
• Pogorelova A.V. (هندسه، 7-11);
• الکساندروا A.D.، Vernera A.L.، Ryzhik V.I. (هندسه، 10-11);
• اسمیرنوا I.M. (هندسه، 10-11);
• شاریگینا I.F. (هندسه، 10-11).

اجازه دهید با جزئیات بیشتری کتاب های درسی L.S.، Atanasyan و Pogorelov A.V.

در کتاب درسی L.S. آتاناسیان با موضوع "ساخت بخش های چند وجهی" دو ساعت اختصاص داده شده است. در پایه 10 در مبحث "موازی خطوط و صفحات" پس از مطالعه چهار وجهی و متوازی الاضلاع، یک ساعت برای ارائه بند "مشکلات ساخت مقاطع" در نظر گرفته شده است. بخش هایی از چهار وجهی و موازی در نظر گرفته شده است. و مبحث "موازی خطوط و صفحات" با حل مسائل به مدت یک یا دو ساعت به پایان می رسد (هشت مسئله برای ساخت بخش در کتاب درسی وجود دارد).

در کتاب درسی Pogorelov A.V. حدود سه ساعت برای ساخت مقاطع در فصل "چند وجهی" اختصاص داده شده است: یکی برای مطالعه مبحث "تصویر منشور و ساختن مقاطع آن"، دوم برای مطالعه مبحث "ساخت هرم و مقاطع صفحه آن" و سوم - برای حل مشکلات. در لیست وظایفی که بعد از موضوع ارائه می شود، در هر بخش فقط حدود ده کار وجود دارد.

ما سیستمی از دروس را با موضوع "ساخت بخش های چند وجهی" برای کتاب درسی توسط Pogorelov A.V.

پیشنهاد می شود مطالب به ترتیبی تنظیم شوند که بتوان از آن برای آموزش دانش آموزان استفاده کرد. از ارائه مبحث "چند وجهی"، پیشنهاد می شود پاراگراف های زیر را حذف کنید: "ساخت مقاطع یک منشور" و "ساخت مقاطع یک هرم" به منظور نظام مند کردن این مطالب در پایان این مبحث "چند وجهی" ". می توان آن را با توجه به موضوع وظایف با رعایت تقریبی اصل "از ساده به پیچیده" بسیار مشروط به شرح زیر طبقه بندی کرد:

1. تعریف بخش چندوجهی.
2. ساخت مقاطع یک منشور، موازی، هرم به روش ردیابی. (به عنوان یک قاعده، در مدرسه هندسه جامد، از مسائلی برای ساخت مقاطع چند وجهی استفاده می شود که با روش های اصلی حل می شود. روش های باقی مانده، به دلیل بیشتر بودن آنها سطح بالامعلم می تواند برای بررسی در کلاس های اختیاری یا برای مطالعه مستقل ترک کند. در کارهای ساختمانی، روش های اصلی مستلزم ساخت صفحه مقطعی است که از سه نقطه عبور می کند).
3. یافتن مساحت مقاطع در چند وجهی (بدون استفاده از قضیه در ناحیه طرح متعامد یک چندضلعی).
4. یافتن مساحت مقاطع در چند وجهی (با استفاده از قضیه بر روی مساحت برآمدگی متعامد یک چندضلعی).

وظایف استریومتریک در ساخت بخش های چندوجهی و روش استفاده از آنها در دروس کلاس های 10-11.

(سیستمی از دروس و کلاس های اختیاری با موضوع "ساخت بخش های چند وجهی")

درس 1.

موضوع درس: "ساخت مقاطع چند وجهی".

هدف درس: آشنایی با روش های ساخت مقاطع چند وجهی.

مراحل درس:

1. به روز رسانی دانش پایه
2. فرمول بندی مسئله.
3. یادگیری مطالب جدید:

الف) تعریف بخش.

ب) روش های ساخت مقاطع:

الف) روش ردیابی؛

ب) روش بخش های کمکی؛

ج) روش ترکیبی

1. تعمیر مواد.

نمونه هایی از ساخت مقاطع به روش ردیابی.

1. جمع بندی درس.

در طول کلاس ها.

1. به روز رسانی دانش پایه

به یاد داشته باشیم:
- تقاطع یک خط مستقیم با یک صفحه؛
- تقاطع هواپیماها؛
- خواص صفحات موازی

2. فرمول بندی مسئله.

سوالات کلاس:
- ساختن مقطعی از چند وجهی توسط صفحه به چه معناست؟
- چگونه می توان چند وجهی و صفحه را نسبت به یکدیگر قرار داد؟
- هواپیما چگونه تعریف می شود؟
- مشکل ساختن مقطعی از چند وجهی توسط صفحه چه زمانی حل شده تلقی می شود؟

3. یادگیری مطالب جدید.

الف) بنابراین، وظیفه ساختن محل تلاقی دو شکل است: یک چند وجهی و یک صفحه (شکل 1). اینها می توانند عبارتند از: یک شکل خالی (a)، یک نقطه (b)، یک قطعه (c)، یک چند ضلعی (d). اگر محل تلاقی یک چند وجهی و یک صفحه چند ضلعی باشد، این چند ضلعی نامیده می شود بخش چند وجهی توسط یک صفحه

ما فقط موردی را در نظر خواهیم گرفت که هواپیما چند وجهی را در امتداد داخلی خود قطع کند. در این صورت محل تلاقی این صفحه با هر وجه چندوجهی قطعه معینی خواهد بود. بنابراین، اگر تمام بخش هایی که صفحه در امتداد آنها وجه های چندوجهی را قطع می کند، پیدا شود، مشکل حل شده در نظر گرفته می شود.

بخش های مکعب را بررسی کنید (شکل 2) و به سوالات زیر پاسخ دهید:

چه چند ضلعی در برش یک مکعب با صفحه به دست می آید؟ (تعداد اضلاع چند ضلعی مهم است)؛

[پاسخ های پیشنهادی: مثلث، چهار ضلعی، پنج ضلعی، شش ضلعی.]

آیا سطح مقطع یک مکعب می تواند یک هفت ضلعی ایجاد کند؟ و هشت ضلعی و غیره؟ چرا؟

بیایید به یک منشور و بخش های احتمالی آن توسط یک صفحه (روی مدل) نگاه کنیم. چه نوع چند ضلعی به دست می آید؟

نتیجه چه می تواند باشد؟ بیشترین تعداد اضلاع یک چند ضلعی که با بریدن یک چند وجهی با صفحه به دست می آید چقدر است؟

[ بزرگترین عدداضلاع چند ضلعی که در مقطع چند وجهی توسط صفحه به دست می آید برابر با تعداد وجوه چند وجهی است.]

ب) الف) روش ردیابیشامل ایجاد ردپایی از صفحه سکونت در صفحه هر وجه چند وجهی است. ساخت یک بخش از یک چند وجهی به روش ردیابی معمولاً با ساختن به اصطلاح رد اصلی صفحه سکونت آغاز می شود. اثری از صفحه برش در صفحه پایه چند وجهی.

ب) روش بخش کمکیساخت بخش های چند وجهی به اندازه کافی جهانی است. در مواردی که رد (یا آثار) مورد نظر از صفحه برش خارج از نقشه باشد، این روش حتی دارای مزایای خاصی است. در عین حال ، باید در نظر داشت که سازه های انجام شده با استفاده از این روش اغلب "مجموع" می شوند. با این وجود، در برخی موارد، روش بخش های کمکی منطقی ترین است.

روش ردیابی و روش مقاطع کمکی انواع هستند روش بدیهیساختن بخش هایی از چند وجهی توسط یک صفحه

ج) ذات روش ترکیبیساخت مقاطع چند وجهی شامل اعمال قضایای موازی خطوط و صفحات در فضا در ترکیب با روش بدیهی است.

حال بیایید به مثالی از حل مسئله نگاه کنیم روش ردیابی

4. تعمیر مواد.

وظیفه 1.

بخشی از منشور ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 را با صفحه ای که از نقاط P، Q، R می گذرد بسازید (نقاط در نقاشی نشان داده شده اند (شکل 3)).

راه حل.

برنج. 3

1. رد صفحه برش را روی هواپیما بسازید پایه پایینمنشورها صورت AA 1 B 1 B را در نظر بگیرید نقاط برش P و Q در این صورت قرار دارند یک خط PQ بکشید.
2. خط PQ را که متعلق به مقطع است تا تقاطع با خط AB ادامه می دهیم. بیایید نقطه S 1 متعلق به ردیابی را بدست آوریم.
3. به طور مشابه، نقطه S 2 را با تقاطع خطوط QR و BC به دست می آوریم.
4. خط مستقیم S 1 S 2 رد صفحه سکونت در صفحه قاعده پایینی منشور است.
5. خط S 1 S 2 ضلع AD را در نقطه U، CD جانبی را در نقطه T قطع می کند. بیایید نقاط P و U را به هم وصل کنیم، زیرا آنها در همان صفحه صورت AA 1 D 1 D قرار دارند. به همین ترتیب، ما TU و RT را دریافت کنید.
6. PQRTU بخش مورد نیاز است.

بخشی از ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 موازی را با صفحه ای که از نقاط M، N، P می گذرد بسازید (نقاط در نقشه نشان داده شده اند (شکل 4)).

راه حل.

1. نقاط N و P در صفحه برش و در صفحه پایه پایینی متوازی الاضلاع قرار دارند. بیایید یک خط از این نقاط بسازیم. این خط رد صفحه سکونت در صفحه قاعده متوازی الاضلاع است.
2. اجازه دهید خطی را که ضلع AB متوازی الاضلاع روی آن قرار دارد ادامه دهیم. خطوط AB و NP در نقطه ای از S قطع می شوند. این نقطه متعلق به صفحه مقطع است.
3. از آنجایی که نقطه M نیز به صفحه مقطع تعلق دارد و خط AA 1 را در نقطه ای X قطع می کند.
4. نقاط X و N در همان صفحه وجه AA 1 D 1 D قرار دارند، به آنها متصل شده و خط XN را بدست آورید.
5. از آنجایی که صفحات وجه های متوازی الاضلاع موازی هستند، می توان خطی را از نقطه M در وجه A 1 B 1 C 1 D 1 موازی با خط NP رسم کرد. این خط ضلع B 1 C 1 را در نقطه Y قطع خواهد کرد.
6. به همین ترتیب خط YZ را موازی با خط XN رسم می کنیم. Z را با P وصل می کنیم و قسمت مورد نظر - MYZPNX را می گیریم.

وظیفه 3 (برای راه حل مستقل).

بخشی از چهار وجهی DACB را با صفحه ای که از نقاط M، N، P می گذرد بسازید (نقاط در نقشه نشان داده شده اند (شکل 5)).

5. جمع بندی درس.

به این سوال پاسخ دهید: آیا شکل های پر شده برش های چند وجهی نشان داده شده توسط صفحه PQR هستند؟ و ساخت صحیح را انجام دهید (شکل 6).

انتخاب 1.

گزینه 2.

موضوع درس: پیدا کردن منطقه بخش.

هدف درس : آشنایی با روش های یافتن سطح مقطع چند وجهی.

مراحل درس:

1. به روز رسانی دانش پایه

قضیه مساحت طرح متعامد یک چندضلعی را به خاطر بیاورید.

2. حل مسائل مربوط به یافتن سطح مقطع:

بدون استفاده از قضیه منطقه طرح ریزی متعامد چند ضلعی.

با استفاده از قضیه منطقه طرح ریزی متعامد چند ضلعی.

3. جمع بندی درس.

در طول کلاس ها.

1. به روز رسانی دانش پایه

به یاد بیاوریم قضیه مساحت طرح متعامد یک چند ضلعی:مساحت برآمدگی متعامد یک چند ضلعی بر روی یک صفحه برابر است با حاصلضرب مساحت آن و کسینوس زاویه بین صفحه چندضلعی و صفحه طرح.

2. حل مسئله.

ABCD یک هرم مثلثی منظم با ضلع قاعده AB برابر است آو ارتفاع DH برابر است ساعت. قسمتی از هرم را با صفحه ای که از نقاط D، C و M می گذرد، جایی که M نقطه وسط ضلع AB است، بسازید و مساحت آن را پیدا کنید (شکل 7).

سطح مقطع هرم مثلث MCD است. بیایید منطقه اش را پیدا کنیم.

S = 1/2 DH CM = 1/2 =

ناحیه مقطع مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 را با لبه پیدا کنید آصفحه ای که از رأس D و نقاط E و F در لبه های A 1 D 1 و C 1 D 1 می گذرد، اگر A 1 E = k D 1 E و C 1 F = k D 1 F.

ساخت بخش:

1. از آنجایی که نقاط E و F متعلق به صفحه مقطع و صفحه وجه A 1 B 1 C 1 D 1 هستند و دو صفحه در یک خط مستقیم همدیگر را قطع می کنند، خط مستقیم EF رد صفحه سکونت خواهد بود. به صفحه صورت A 1 B 1 C 1 D 1 (شکل 8).
2. به طور مشابه، خطوط مستقیم ED و FD به دست می آیند.
3. EDF بخش مورد نیاز است.

وظیفه 3 (برای راه حل مستقل).

بخشی از مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 را با ضلع بسازید آصفحه ای که از نقاط B، M و N می گذرد، جایی که b نقطه وسط یال AA 1 و N نقطه وسط یال CC 1 است.

بخش به روش ردیابی ساخته شده است.

مساحت مقطع با استفاده از قضیه مساحت برآمدگی متعامد یک چندضلعی پیدا می شود. پاسخ: S = 1/2 یک 2.