کدام ماتریس ها معکوس دارند. ماتریس معکوس

این موضوع یکی از منفورترین موضوعات در بین دانشجویان است. بدتر، احتمالاً فقط عوامل تعیین کننده.

ترفند این است که خود مفهوم عنصر معکوس (و من اکنون فقط در مورد ماتریس ها صحبت نمی کنم) ما را به عملیات ضرب ارجاع می دهد. حتی در برنامه آموزشی مدرسهضرب در نظر گرفته می شود عملیات پیچیدهو ضرب ماتریس ها به طور کلی یک موضوع جداگانه است که من یک پاراگراف کامل و یک آموزش ویدیویی به آن اختصاص داده ام.

امروز ما وارد جزئیات محاسبات ماتریسی نمی شویم. فقط به یاد داشته باشید: ماتریس ها چگونه نشان داده می شوند، چگونه ضرب می شوند و چه چیزی از این نتیجه می شود.

نقد و بررسی: ضرب ماتریس

اول از همه، بیایید در مورد علامت گذاری به توافق برسیم. یک ماتریس $A$ به اندازه $\left[ m\times n \right]$ صرفاً جدولی از اعداد با ردیف‌های $m$ و ستون‌های $n$ است:

\=\underbrace(\left[ \begin(ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\پایان(ماتریس) \راست])_(n)\]

برای اینکه به‌طور تصادفی ردیف‌ها و ستون‌ها را در مکان‌ها اشتباه نگیرید (باور کنید، در امتحان می‌توانید یکی را با دوس اشتباه بگیرید - در مورد برخی از خطوط در آنجا چه می‌توان گفت)، فقط به تصویر نگاه کنید:

تعیین شاخص برای سلول های ماتریس

چه اتفاقی می افتد؟ اگر سیستم مختصات استاندارد $OXY$ را در گوشه بالا سمت چپ قرار دهیم و محورها را طوری هدایت کنیم که کل ماتریس را بپوشانند، آنگاه هر سلول از این ماتریس می‌تواند به طور منحصربه‌فرد با مختصات $\left(x;y \right) مرتبط شود. $ - این شماره ردیف و شماره ستون خواهد بود.

چرا سیستم مختصات دقیقاً در گوشه سمت چپ بالا قرار گرفته است؟ بله، زیرا از آنجاست که ما شروع به خواندن هر متنی می کنیم. به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

چرا محور $x$ به سمت پایین و نه به سمت راست است؟ باز هم، ساده است: سیستم مختصات استاندارد را بگیرید (محور $x$ به سمت راست می رود، محور $y$ بالا می رود) و آن را بچرخانید تا ماتریس را محصور کند. این یک چرخش 90 درجه در جهت عقربه های ساعت است - نتیجه آن را در تصویر می بینیم.

به طور کلی، نحوه تعیین شاخص های عناصر ماتریس را فهمیدیم. حال به ضرب می پردازیم.

تعریف. ماتریس‌های $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[n\times k \right]$، زمانی که تعداد ستون‌های اول با تعداد ردیف‌های دوم مطابقت داشته باشد، سازگار نامیده می شود.

به این ترتیب است. می توان مبهم بود و گفت که ماتریس های $A$ و $B$ یک جفت مرتب $\left(A;B \right)$ را تشکیل می دهند: اگر آنها در این ترتیب سازگار باشند، اصلاً لازم نیست که $B $ و $A$، آن ها. جفت $\left(B;A \right)$ نیز سازگار است.

فقط ماتریس های سازگار را می توان ضرب کرد.

تعریف. حاصلضرب ماتریس های سازگار $A=\left[m\times n \right]$ و $B=\left[n\times k \right]$ ماتریس جدید $C=\left[ m\times k \right است. ]$ که عناصر آن $((c)_(ij))$ با فرمول محاسبه می شوند:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

به عبارت دیگر: برای بدست آوردن عنصر $((c)_(ij))$ از ماتریس $C=A\cdot B$، باید ردیف $i$ اولین ماتریس، $j$ را بگیرید. ستون -مین ماتریس دوم، و سپس عناصر را به صورت جفت از این سطر و ستون ضرب کنید. نتایج را جمع کنید.

بله، این یک تعریف سخت است. چندین واقعیت بلافاصله از آن نتیجه می شود:

ضرب ماتریس، به طور کلی، غیر تعویضی است: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
با این حال، ضرب پیوندی است: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
و حتی توزیعی: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
و دوباره توزیع کننده: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

توزیع ضرب باید به طور جداگانه برای مجموع ضریب چپ و راست فقط به دلیل غیرقابل تعویض بودن عملیات ضرب توضیح داده شود.

با این وجود، اگر معلوم شود که $A\cdot B=B\cdot A$، این ماتریس‌ها قابل تغییر نامیده می‌شوند.

در میان تمام ماتریس هایی که در چیزی در آنجا ضرب می شوند، موارد خاصی وجود دارد - آنهایی که وقتی در هر ماتریس $A$ ضرب می شوند، دوباره $A$ می دهند:

تعریف. اگر $A\cdot E=A$ یا $E\cdot A=A$، ماتریس $E$ هویت نامیده می شود. در مورد ماتریس مربع $A$ می توانیم بنویسیم:

ماتریس هویت یک مهمان مکرر در حل است معادلات ماتریسی. و به طور کلی، یک مهمان مکرر در دنیای ماتریس ها. :)

و به خاطر این $E$، یک نفر تمام بازی هایی که در ادامه نوشته خواهد شد را ارائه کرد.

ماتریس معکوس چیست؟

از آنجایی که ضرب ماتریس یک عملیات بسیار وقت گیر است (شما باید دسته ای از سطرها و ستون ها را ضرب کنید)، مفهوم ماتریس معکوس نیز بی اهمیت ترین نیست. و نیاز به توضیح دارد.

تعریف کلید

خوب، وقت آن است که حقیقت را بدانیم.

تعریف. ماتریس $B$ معکوس ماتریس $A$ if نامیده می شود

ماتریس معکوس با $((A)^(-1))$ نشان داده می شود (با درجه اشتباه نشود!)، بنابراین تعریف را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

به نظر می رسد که همه چیز بسیار ساده و واضح است. اما هنگام تجزیه و تحلیل چنین تعریفی، بلافاصله چندین سؤال مطرح می شود:

آیا ماتریس معکوس همیشه وجود دارد؟ و اگر نه همیشه، پس چگونه تعیین کنیم: چه زمانی وجود دارد و چه زمانی وجود ندارد؟
و چه کسی گفت که چنین ماتریسی دقیقاً یکی است؟ اگر برای برخی از ماتریس های اصلی $A$ تعداد زیادی معکوس وجود داشته باشد چه؟
این همه "معکوس" چه شکلی هستند؟ و در واقع چگونه آنها را شمارش می کنید؟

در مورد الگوریتم های محاسبه - کمی بعد در مورد این صحبت خواهیم کرد. اما ما همین الان به بقیه سوالات پاسخ خواهیم داد. اجازه دهید آنها را در قالب ادعاها - لم های جداگانه مرتب کنیم.

خواص اساسی

بیایید با نحوه ظاهر ماتریس $A$ شروع کنیم تا $((A)^(-1))$ داشته باشد. اکنون مطمئن خواهیم شد که هر دوی این ماتریس‌ها باید مربع باشند و به یک اندازه باشند: $\left[n\times n \right]$.

لم 1. با توجه به ماتریس $A$ و معکوس آن $((A)^(-1))$. سپس هر دوی این ماتریس ها مربع هستند و ترتیب یکسانی دارند $n$.

اثبات همه چیز ساده است. اجازه دهید ماتریس $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. از آنجایی که محصول $A\cdot ((A)^(-1))=E$ طبق تعریف وجود دارد، ماتریس‌های $A$ و $((A)^(-1))$ به ترتیب مطابقت دارند:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( تراز کردن)\]

این نتیجه مستقیم الگوریتم ضرب ماتریس است: ضرایب $n$ و $a$ "ترانزیت" هستند و باید برابر باشند.

در همان زمان، ضرب معکوس نیز تعریف می شود: $((A)^(-1))\cdot A=E$، بنابراین ماتریس های $((A)^(-1))$ و $A$ هستند همچنین به این ترتیب سازگار است:

\[\begin(align) & \left[a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[a\times n \راست] \\ & b=m \end( تراز کردن)\]

بنابراین، بدون از دست دادن کلیت، می‌توانیم فرض کنیم که $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[n\times m \right]$. با این حال، طبق تعریف $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$، بنابراین ابعاد ماتریس ها دقیقاً یکسان است:

\[\شروع(تراز) و \چپ[ m\times n \راست]=\چپ[n\بار m \راست] \\ & m=n \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین معلوم می شود که هر سه ماتریس - $A$، $((A)^(-1))$ و $E$ - مربع در اندازه $\left[n\times n \راست]$ هستند. لم ثابت شده است.

خوب، این در حال حاضر خوب است. می بینیم که فقط ماتریس های مربعی معکوس هستند. حالا بیایید مطمئن شویم که ماتریس معکوس همیشه یکسان است.

لم 2. با توجه به ماتریس $A$ و معکوس آن $((A)^(-1))$. سپس این ماتریس معکوس منحصر به فرد است.

اثبات اجازه دهید از نقطه مقابل شروع کنیم: اجازه دهید ماتریس $A$ حداقل دو نمونه معکوس داشته باشد - $B$ و $C$. سپس با توجه به تعریف، برابری های زیر صادق است:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \پایان (تراز کردن)\]

از لم 1 نتیجه می گیریم که هر چهار ماتریس $A$، $B$، $C$ و $E$ مربعی با ترتیب یکسان هستند: $\left[n\times n \right]$. بنابراین، محصول تعریف می شود:

از آنجایی که ضرب ماتریس تداعی کننده است (اما نه جابجایی!)، می توانیم بنویسیم:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \پایان (تراز کردن)\]

فقط دریافت کرد نوع ممکن: دو نمونه از ماتریس معکوس برابر هستند. لم ثابت شده است.

استدلال فوق تقریباً کلمه به کلمه اثبات منحصر به فرد بودن عنصر معکوس را برای همه اعداد واقعی $b\ne 0$ تکرار می کند. تنها اضافه قابل توجه در نظر گرفتن بعد ماتریس ها است.

با این حال، ما هنوز چیزی در مورد اینکه آیا هر ماتریس مربعی معکوس است یا خیر نمی دانیم. در اینجا تعیین کننده به کمک ما می آید - این یک ویژگی کلیدی برای همه ماتریس های مربع است.

لم 3. با توجه به یک ماتریس $A$. اگر ماتریس $((A)^(-1))$ معکوس با آن وجود داشته باشد، تعیین کننده ماتریس اصلی غیر صفر است:

\[\چپ| A \right|\ne 0\]

اثبات ما قبلاً می دانیم که $A$ و $((A)^(-1))$ ماتریس های مربعی با اندازه $\left[n\times n \راست]$ هستند. بنابراین، برای هر یک از آنها می توان تعیین کننده را محاسبه کرد: $\left| یک \راست|$ و $\چپ| ((A)^(-1)) \right|$. با این حال، تعیین کننده حاصل برابر است با حاصل ضرب عوامل تعیین کننده:

\[\چپ| A\cdot B \راست|=\چپ| یک \راست|\cdot \چپ| B \راست|\پیکان راست \چپ| A\cdot ((A)^(-1)) \راست|=\چپ| یک \راست|\cdot \چپ| ((A)^(-1)) \راست|\]

اما طبق تعریف $A\cdot ((A)^(-1))=E$ و تعیین کننده $E$ همیشه برابر با 1 است، بنابراین

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \ چپ| A\cdot ((A)^(-1)) \راست|=\چپ| E\right|; \\ & \ چپ| یک \راست|\cdot \چپ| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حاصل ضرب دو عدد تنها در صورتی برابر است که هر یک از این اعداد با صفر متفاوت باشند:

\[\چپ| یک \راست|\ne 0;\چهار \ چپ| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

بنابراین معلوم می شود که $\left| A \right|\ne 0$. لم ثابت شده است.

در واقع این الزام کاملاً منطقی است. اکنون الگوریتم یافتن ماتریس معکوس را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - و کاملاً روشن خواهد شد که چرا اصولاً هیچ ماتریس معکوس نمی تواند با یک تعیین کننده صفر وجود داشته باشد.

اما ابتدا بیایید یک تعریف "کمکی" را فرموله کنیم:

تعریف. یک ماتریس منحط یک ماتریس مربع به اندازه $\left[n\times n \right]$ است که تعیین کننده آن صفر است.

بنابراین، می‌توان ادعا کرد که هر ماتریس معکوس‌پذیر غیرموجود است.

نحوه پیدا کردن ماتریس معکوس

اکنون یک الگوریتم جهانی برای یافتن ماتریس های معکوس در نظر خواهیم گرفت. به طور کلی، دو الگوریتم پذیرفته شده وجود دارد، و ما امروز به مورد دوم نیز خواهیم پرداخت.

موردی که اکنون در نظر گرفته خواهد شد برای ماتریس های اندازه $\left[ 2\times 2 \right]$ و - تا حدی - اندازه $\left[ 3\times 3 \right]$ بسیار کارآمد است. اما با شروع از اندازه $\left[ 4\times 4 \right]$ بهتر است از آن استفاده نکنید. چرا - اکنون همه چیز را خواهید فهمید.

اضافات جبری

آماده شدن. حالا درد وجود خواهد داشت. نه، نگران نباشید: یک پرستار زیبا با دامن، جوراب با توری به شما نمی آید و به شما تزریق نمی کند. همه چیز بسیار ساده تر است: اضافات جبری و اعلیحضرت "ماتریس اتحاد" به سراغ شما می آیند.

بیایید با اصلی شروع کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع به اندازه $A=\left[n\times n \right]$ وجود داشته باشد که عناصر آن $((a)_(ij))$ نامیده می شوند. سپس، برای هر یک از این عناصر، می توان یک مکمل جبری تعریف کرد:

تعریف. مکمل جبری $((A)_(ij))$ برای عنصر $((a)_(ij))$ در ردیف $i$-th و $j$-th ستون ماتریس $A=\ چپ [ n \times n \right]$ ساختاری از فرم است

\[((A)_(ij))=((\چپ(-1 \راست))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

جایی که $M_(ij)^(*)$ تعیین کننده ماتریس است که از $A$ اصلی با حذف همان $i$-th ردیف و $j$-th به دست می آید.

از نو. مکمل جبری عنصر ماتریس با مختصات $\left(i;j \right)$ به صورت $((A)_(ij))$ نشان داده می شود و طبق این طرح محاسبه می شود:

ابتدا ردیف $i$ و ستون $j$-th را از ماتریس اصلی حذف می کنیم. ما یک ماتریس مربع جدید دریافت می کنیم و تعیین کننده آن را به عنوان $M_(ij)^(*)$ نشان می دهیم.
سپس این دترمینان را در $((\left(-1 \right))^(i+j))$ ضرب می کنیم - در ابتدا این عبارت ممکن است شگفت انگیز به نظر برسد، اما در واقع فقط علامت جلوی $ را پیدا می کنیم. M_(ij)^(*) $.
ما می شماریم - یک عدد خاص به دست می آوریم. آن ها جمع جبری فقط یک عدد است، نه یک ماتریس جدید، و غیره.

ماتریس $M_(ij)^(*)$ خود جزئی مکمل عنصر $((a)_(ij))$ نامیده می شود. و از این نظر، تعریف فوق از متمم جبری یک مورد خاص از یک تعریف پیچیده تر است - تعریفی که در درس در مورد تعیین کننده در نظر گرفتیم.

یادداشت مهم. در واقع در ریاضیات "بزرگسالان" اضافات جبری به صورت زیر تعریف می شود:

ما ردیف‌های $k$ و ستون‌های $k$ را در یک ماتریس مربع می‌گیریم. در محل تقاطع آنها، ماتریسی به اندازه $\left[k\times k \right]$ دریافت می کنیم - تعیین کننده آن یک جزئی از مرتبه $k$ نامیده می شود و با $((M)_(k))$ نشان داده می شود.

سپس این ردیف‌های $k$ و ستون‌های $k$ "انتخاب شده" را خط می زنیم. دوباره یک ماتریس مربعی بدست می آوریم - تعیین کننده آن جزئی مکمل نامیده می شود و با $M_(k)^(*)$ نشان داده می شود.

$M_(k)^(*)$ را در $((\left(-1 \راست))^(t))$ ضرب کنید، که $t$ (اکنون توجه کنید!) مجموع اعداد تمام سطرهای انتخاب شده است. و ستون ها . این جمع جبری خواهد بود.

به مرحله سوم نگاهی بیندازید: در واقع مبلغی معادل 2 هزار دلار وجود دارد! چیز دیگر این است که برای $k=1$ فقط 2 عبارت دریافت می کنیم - اینها همان $i+j$ خواهند بود - "مختصات" عنصر $((a)_(ij))$، که برای آن هستیم. به دنبال مکمل جبری

بنابراین امروز ما از یک تعریف کمی ساده شده استفاده می کنیم. اما همانطور که بعدا خواهیم دید، بیش از حد کافی خواهد بود. موارد زیر بسیار مهمتر است:

تعریف. ماتریس اتحاد $S$ به ماتریس مربع $A=\left[n\times n \right]$ یک ماتریس جدید به اندازه $\left[n\times n \right]$ است که از $A$ به دست می‌آید. با جایگزین کردن $((a)_(ij))$ توسط مکمل های جبری $((A)_(ij))$:

\\پیکان راست S=\چپ[ \begin(ماتریس) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\پایان(ماتریس) \راست]\]

اولین فکری که در لحظه تحقق این تعریف مطرح می شود این است که "این مقدار است که در کل باید حساب کرد!" آرام باش: باید بشماری، اما نه خیلی. :)

خوب، همه اینها خیلی خوب است، اما چرا لازم است؟ اما چرا.

قضیه اصلی

کمی به عقب برگردیم. به یاد داشته باشید، Lemma 3 بیان کرد که یک ماتریس وارونه $A$ همیشه غیر مفرد است (یعنی تعیین کننده آن غیر صفر است: $\left| A \right|\ne 0$).

بنابراین، برعکس نیز صادق است: اگر ماتریس $A$ منحط نباشد، آنگاه همیشه معکوس است. و حتی یک طرح جستجوی $((A)^(-1))$ وجود دارد. آن را بررسی کنید:

قضیه ماتریس معکوس اجازه دهید یک ماتریس مربع $A=\left[ n\times n \right]$ داده شود و تعیین کننده آن غیر صفر باشد: $\left| A \right|\ne 0$. سپس ماتریس معکوس $((A)^(-1))$ وجود دارد و با فرمول محاسبه می شود:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\چپ| A \راست|)\cdot ((S)^(T))\]

و اکنون - همه یکسان، اما با خط خوانا. برای پیدا کردن ماتریس معکوس، شما نیاز دارید:

تعیین کننده $\left| را محاسبه کنید یک \right|$ و مطمئن شوید که غیر صفر است.
ماتریس اتحادیه $S$ را کامپایل کنید، یعنی. 100500 جمع جبری $((A)_(ij))$ را بشمارید و آنها را در جای $((a)_(ij))$ قرار دهید.
این ماتریس $S$ را جابجا کنید و سپس آن را در مقداری $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ ضرب کنید.

و بس! ماتریس معکوس $((A)^(-1))$ پیدا شد. بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

\[\چپ[ \شروع (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 و 2 \\\ پایان (ماتریس) \راست]\]

راه حل. بیایید برگشت پذیری را بررسی کنیم. بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم:

\[\چپ| یک \راست|=\چپ| \ آغاز (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 و 2 \\\ پایان (ماتریس) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

تعیین کننده با صفر متفاوت است. بنابراین ماتریس معکوس است. بیایید یک ماتریس اتحادیه ایجاد کنیم:

بیایید جمع های جبری را محاسبه کنیم:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\راست|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

توجه کنید: تعیین کننده ها |2|، |5|، |1| و |3| تعیین کننده ماتریس های اندازه $\left[ 1\times 1 \right]$ هستند نه ماژول ها. آن ها اگر اعداد منفی در تعیین کننده ها وجود داشت، حذف "منهای" ضروری نیست.

در کل، ماتریس اتحاد ما به این صورت است:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\چپ| A \راست|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (آرایه)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(آرایه) \راست]\]

باشه الان تموم شد مشکل حل شد.

پاسخ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

یک وظیفه. ماتریس معکوس را پیدا کنید:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end (array) \راست] \]

راه حل. مجدداً تعیین کننده را در نظر می گیریم:

\[\شروع(تراز) و \چپ| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right|=\ Begin (ماتریس ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \راست)- \\ -\چپ (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end (ماتریس)= \ \ & =\ چپ (2+1+0 \راست)-\چپ(4+0+0 \راست)=-1\ne 0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

تعیین کننده با صفر متفاوت است - ماتریس معکوس است. اما اکنون ریزترین خواهد بود: شما باید 9 (نه، لعنت به آن!) جمع های جبری را بشمارید. و هر یک از آنها شامل واجد شرایط $\left[ 2\times 2 \right]$ خواهد بود. پرواز کرد:

\[\begin(ماتریس) ((A)_(11))=((\left(-1 \راست))^(1+1))\cdot \left| \begin(ماتریس) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(ماتریس) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(ماتریس) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(ماتریس) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(ماتریس) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(ماتریس) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(ماتریس) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(ماتریس) \right|=2; \\ \پایان (ماتریس)\]

به طور خلاصه، ماتریس اتحادیه به شکل زیر خواهد بود:

بنابراین، ماتریس معکوس به صورت زیر خواهد بود:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(ماتریس) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ end (ماتریس) \ right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 و 1 و -2 \\\پایان(آرایه) \راست]\]

خوب، این همه است. در اینجا پاسخ است.

پاسخ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \راست ]$

همانطور که می بینید، در پایان هر مثال، یک بررسی انجام دادیم. در این رابطه یک نکته مهم:

برای بررسی تنبلی نکنید. ماتریس اصلی را در معکوس یافت شده ضرب کنید - باید E$ را دریافت کنید.

انجام این بررسی بسیار ساده تر و سریعتر از جستجوی خطا در محاسبات بعدی است، مثلاً وقتی یک معادله ماتریسی را حل می کنید.

راه جایگزین

همانطور که گفتم، قضیه ماتریس معکوس برای اندازه‌های $\left[ 2\times 2 \right]$ و $\left[3\times 3 \right]$ به خوبی کار می‌کند (در مورد دوم، آنقدرها "زیبا" نیست. دیگر).»)، اما برای ماتریس های بزرگ، غم شروع می شود.

اما نگران نباشید: یک الگوریتم جایگزین وجود دارد که می‌توان از آن برای یافتن معکوس حتی برای ماتریس $\left[10\times 10\right]$ استفاده کرد. اما، همانطور که اغلب اتفاق می افتد، برای در نظر گرفتن این الگوریتم، به کمی پیش زمینه نظری نیاز داریم.

تحولات ابتدایی

در میان تبدیل های مختلف ماتریس، چندین مورد خاص وجود دارد - آنها ابتدایی نامیده می شوند. دقیقاً سه تغییر از این دست وجود دارد:

ضرب. می توانید ردیف $i$-th (ستون) را بگیرید و آن را در هر عدد $k\ne 0$ ضرب کنید.
اضافه شدن. هر سطر (ستون) $j$-th دیگری ضرب در هر عدد $k\ne 0$ به $i$-th (ستون) اضافه کنید (البته $k=0$ نیز امکان پذیر است، اما فایده چیست هر چند چیزی تغییر نخواهد کرد).
جایگشت. سطرهای $i$-th و $j$-th (ستون) را بردارید و آنها را عوض کنید.

چرا این تبدیل ها ابتدایی نامیده می شوند (برای ماتریس های بزرگ آنها چندان ابتدایی به نظر نمی رسند) و چرا فقط سه مورد از آنها وجود دارد - این سؤالات خارج از محدوده درس امروز هستند. بنابراین وارد جزئیات نمی شویم.

یک چیز دیگر مهم است: ما باید همه این انحرافات را روی ماتریس مرتبط انجام دهیم. بله، بله درست شنیدید. اکنون یک تعریف دیگر وجود خواهد داشت - آخرین مورد در درس امروز.

ماتریس پیوست شده

مطمئناً در مدرسه سیستم معادلات را با استفاده از روش جمع حل کردید. خوب، در آنجا، خط دیگری را از یک خط کم کنید، چند خط را در یک عدد ضرب کنید - همین.

بنابراین: اکنون همه چیز یکسان خواهد بود، اما در حال حاضر "به روش بزرگسالان". آماده؟

تعریف. اجازه دهید ماتریس $A=\left[n\times n \right]$ و ماتریس هویت $E$ با همان اندازه $n$ داده شود. سپس ماتریس مرتبط $\left[ A\left| درست است. \right]$ یک ماتریس $\left[ n\times 2n \right]$ جدید است که به شکل زیر است:

\[\چپ[ A\چپ| درست است. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ انتهای (آرایه) \راست]\]

به طور خلاصه، ما ماتریس $A$ را می گیریم، در سمت راست ماتریس هویت $E$ را با اندازه مورد نیاز به آن اختصاص می دهیم، آنها را با یک نوار عمودی برای زیبایی از هم جدا می کنیم - این پیوست شده است. :)

گرفتاری چیست؟ و این چیزی است که:

قضیه. اجازه دهید ماتریس $A$ معکوس باشد. ماتریس الحاقی $\left[ A\left| را در نظر بگیرید درست است. \راست]$. در صورت استفاده از تحولات ابتداییخطوطآن را به شکل $\left[ E\left| بیاورید ب\راست \right]$، یعنی. با ضرب، تفریق و مرتب کردن مجدد سطرها برای به دست آوردن ماتریس $E$ در سمت راست از $A$، سپس ماتریس $B$ بدست آمده در سمت چپ، معکوس $A$ است:

\[\چپ[ A\چپ| درست است. \راست]\به \چپ[ E\چپ| ب\راست \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

ساده است! به طور خلاصه، الگوریتم برای یافتن ماتریس معکوس به صورت زیر است:

ماتریس مرتبط $\left[ A\left| را بنویسید درست است. \right]$;
تبدیل رشته های ابتدایی را انجام دهید تا جایی که سمت راست به جای $A$ $E$ ظاهر شود.
البته، چیزی در سمت چپ نیز ظاهر می شود - یک ماتریس خاص $B$. این برعکس خواهد بود.
سود! :)

البته گفتن خیلی راحت تر از انجامش است. بنابراین اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم: برای اندازه‌های $\left[ 3\times 3 \right]$ و $\left[4\times 4 \right]$.

یک وظیفه. ماتریس معکوس را پیدا کنید:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end(array) \راست]\ ]

راه حل. ماتریس پیوست را می سازیم:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 و 1 \\\پایان(آرایه) \راست]\]

از آنجایی که آخرین ستون ماتریس اصلی با یک ها پر شده است، ردیف اول را از بقیه کم کنید:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 و 1 و 0 و 0 و 1 \\\ پایان (آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) \پایین \\ -1 \\ -1 \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \به \چپ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\پایان(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

هیچ واحد دیگری به جز خط اول وجود ندارد. اما ما آن را لمس نمی کنیم، در غیر این صورت واحدهای تازه حذف شده در ستون سوم شروع به "تکثیر" خواهند کرد.

اما می توانیم خط دوم را دو بار از خط آخر کم کنیم - یک واحد در گوشه پایین سمت چپ دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) \ \\ \پایین \\ -2 \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \چپ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\پایان(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون می توانیم ردیف آخر را از اولین و دو بار از دوم کم کنیم - به این ترتیب ستون اول را "صفر" می کنیم:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\پایان(آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) -1 \\ -2 \\ \بالا \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \ به \ چپ[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end (آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

ردیف دوم را در -1 ضرب کنید و سپس آن را 6 بار از ردیف اول کم کنید و 1 بار به آخرین مرتبه اضافه کنید:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(آرایه) \right]\begin(ماتریس) \ \\ \چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ \ \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \به سمت چپ[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) -6 \\ \بالا باریک \\ +1 \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \به \چپ[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 و 0 و 0 و 4 و -7 و 3 \\\پایان (آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

تنها برای تعویض خطوط 1 و 3 باقی مانده است:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 و 32 و -13 \\\پایان(آرایه) \راست]\]

آماده! در سمت راست ماتریس معکوس مورد نیاز است.

پاسخ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \راست ]$

یک وظیفه. ماتریس معکوس را پیدا کنید:

\[\ چپ[ \ آغاز (ماتریس) 1 و 4 و 2 و 3 \\ 1 و -2 و 1 و -2 \\ 1 و -1 و 1 و 1 \\ 0 و -10 و -2 و -5 \\\پایان (ماتریس) \راست]\]

راه حل. دوباره ضمیمه را می سازیم:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \\right]\]

بیایید کمی وام بگیریم، نگران این باشیم که الان چقدر باید بشماریم... و شروع به شمارش کنیم. برای شروع، با کم کردن ردیف 1 از ردیف های 2 و 3، ستون اول را صفر می کنیم:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end (آرایه) \right]\begin(ماتریس) \downnarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(ماتریس)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 و 2 و 3 و 1 و 0 و 0 و 0 \\ 0 و -6 و -1 و -5 و -1 و 1 و 0 و 0 \\ 0 و -5 و -1 و -2 و -1 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\\پایان (آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

ما در خطوط 2-4 "منهای" زیادی مشاهده می کنیم. هر سه ردیف را در -1 ضرب کنید و سپس با کم کردن ردیف 3 از بقیه، ستون سوم را بسوزانید:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 و 1 و 0 و 0 \\ 0 و -5 و -1 و -2 و -1 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\ \end(آرایه) \right]\begin(ماتریس) \ \\ \چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ \چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\ \چپ| \cdot \left(-1 \راست) \راست. \\\پایان(ماتریس)\به \\ & \به \چپ[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 و 1 و -1 و 0 و 0 \\ 0 و 5 و 1 و 2 و 1 و 0 و -1 و 0 \\ 0 و 10 و 2 و 5 و 0 و 0 و 0 و -1 \\ \end (آرایه) \راست]\شروع (ماتریس) -2 \\ -1 \\ \بالا باریک \\ -2 \\\پایان (ماتریس)\به \\ & \به \چپ[ \begin(آرایه)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 و 0 و -1 و 0 \\ 0 و 0 و 0 و 1 و -2 و 0 و 2 و -1 \\\پایان(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

حالا وقت آن است که آخرین ستون ماتریس اصلی را سرخ کنید: ردیف 4 را از بقیه کم کنید:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(آرایه ) \right]\begin(ماتریس) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(ماتریس)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 و -6 و 0 و 0 و -3 و 0 و 4 و -1 \\ 0 و 1 و 0 و 0 و 6 و -1 و -5 و 3 \\ 0 و 5 و 1 و 0 و 5 و 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

رول نهایی: ستون دوم را با کم کردن ردیف 2 از ردیف 1 و 3 "سوزانید".

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( آرایه) \راست]\شروع(ماتریس) 6 \\ \بالا باریک \\ -5 \\ \ \\\پایان(ماتریس)\به \\ & \به \چپ[ \begin(آرایه)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(آرایه) \راست] \\ \پایان (تراز کردن)\]

و دوباره، ماتریس هویت در سمت چپ، پس معکوس در سمت راست. :)

پاسخ. $\left[ \begin(ماتریس) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\پایان (ماتریس) \راست]$

پیدا کردن ماتریس معکوس- مشکلی که اغلب با دو روش حل می شود:

روش اضافات جبری، که در آن نیاز به یافتن عوامل تعیین کننده و جابجایی ماتریس ها است.
روش حذف گاوس ناشناخته، که در آن لازم است تبدیل های ابتدایی ماتریس ها انجام شود (افزودن ردیف ها، ضرب ردیف ها در همان عدد و غیره).

برای کسانی که به ویژه کنجکاو هستند، روش های دیگری نیز وجود دارد، به عنوان مثال، روش تبدیل های خطی. در این درس سه روش ذکر شده و الگوریتم های یافتن ماتریس معکوس توسط این روش ها را تحلیل خواهیم کرد.

ماتریس معکوس ولی، چنین ماتریسی نامیده می شود

ولی
. (1)

ماتریس معکوس ، که باید برای یک ماتریس مربع مشخص پیدا شود ولی، چنین ماتریسی نامیده می شود

محصولی که توسط آن ماتریس ها ولیدر سمت راست ماتریس هویت است، به عنوان مثال،
. (1)

ماتریس هویت یک ماتریس مورب است که در آن تمام ورودی های قطری برابر با یک هستند.

قضیه.برای هر ماتریس مربع غیر مفرد (غیر مفرد، غیر مفرد)، می توان یک ماتریس معکوس و علاوه بر این، فقط یک ماتریس پیدا کرد. برای یک ماتریس مربع خاص (منحط، منفرد)، ماتریس معکوس وجود ندارد.

ماتریس مربع نامیده می شود غیر خاص(یا غیر منحط, غیر مفرد) اگر تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد و خاص(یا منحط, مفرد) اگر تعیین کننده آن صفر باشد.

ماتریس معکوس را فقط می توان برای یک ماتریس مربع یافت. به طور طبیعی، ماتریس معکوس نیز مربع و به همان ترتیب ماتریس داده شده خواهد بود. ماتریسی که می توان برای آن ماتریس معکوس پیدا کرد، ماتریس معکوس نامیده می شود.

برای ماتریس معکوس یک قیاس مناسب با متقابل یک عدد وجود دارد. برای هر عدد آ، که برابر با صفر نیست، یک عدد وجود دارد بکه کار آو ببرابر یک: ab= 1. عدد بمتقابل یک عدد نامیده می شود ب. به عنوان مثال، برای عدد 7، معکوس عدد 1/7 است، زیرا 7*1/7=1 است.

یافتن ماتریس معکوس با روش جمع های جبری (ماتریس اتحاد)

برای یک ماتریس مربع غیر منفرد ولیمعکوس ماتریس است

تعیین کننده ماتریس کجاست ولی، а ماتریس مرتبط با ماتریس است ولی.

متحد با ماتریس مربع آماتریسی از همان مرتبه است که عناصر آن مکمل های جبری عناصر متناظر تعیین کننده ماتریس هستند که نسبت به ماتریس A جابجا شده اند. بنابراین، اگر

سپس

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس با روش جمع های جبری

1. تعیین کننده این ماتریس را پیدا کنید آ. اگر تعیین کننده برابر با صفر باشد، یافتن ماتریس معکوس متوقف می شود، زیرا ماتریس منحط است و معکوس برای آن وجود ندارد.

2. یک ماتریس جابجا شده با توجه به آ.

3. محاسبه عناصر ماتریس متفقینبه عنوان مکمل های جبری ماریتس موجود در مرحله 2.

4. اعمال فرمول (2): ضرب متقابل تعیین کننده ماتریس آ، به ماتریس اتحاد یافت شده در مرحله 4.

5. نتیجه به دست آمده در مرحله 4 را با ضرب این ماتریس بررسی کنید آبه ماتریس معکوس اگر حاصل ضرب این ماتریس ها برابر با ماتریس هویت باشد، ماتریس معکوس به درستی پیدا شده است. در غیر این صورت روند حل را دوباره شروع کنید.

مثال 1برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید

راه حل. برای یافتن ماتریس معکوس، باید تعیین کننده ماتریس را پیدا کرد ولی. با قانون مثلث ها می یابیم:

بنابراین، ماتریس ولیغیر مفرد (غیر منحط، غیر مفرد) است و برای آن معکوس وجود دارد.

بیایید ماتریس مرتبط با ماتریس داده شده را پیدا کنیم ولی.

بیایید ماتریس جابجا شده با توجه به ماتریس را پیدا کنیم آ:

ما عناصر ماتریس اتحادیه را به عنوان مکمل های جبری ماتریس جابجا شده با توجه به ماتریس محاسبه می کنیم. آ:

بنابراین، ماتریس با ماتریس مزدوج شد آ، فرم را دارد

اظهار نظر.ترتیب محاسبه عناصر و جابجایی ماتریس ممکن است متفاوت باشد. ابتدا می توان مکمل های جبری ماتریس را محاسبه کرد آ، و سپس ماتریس متمم های جبری را جابجا کنید. نتیجه باید همان عناصر ماتریس اتحاد باشد.

با استفاده از فرمول (2)، ماتریس را معکوس به ماتریس می یابیم ولی:

یافتن ماتریس معکوس با حذف گاوسی مجهولات

اولین قدم برای یافتن ماتریس معکوس با حذف گاوسی، اختصاص دادن به ماتریس است. آماتریس هویت از همان ترتیب، آنها را با یک نوار عمودی جدا می کند. ما یک ماتریس دوگانه می گیریم. هر دو قسمت این ماتریس را در ضرب کنید، سپس به دست می آوریم

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس با حذف گاوسی مجهولات

1. به ماتریس آیک ماتریس هویت با همان ترتیب اختصاص دهید.

2. ماتریس دوگانه حاصل را به گونه ای تبدیل کنید که ماتریس هویت در قسمت چپ آن به دست آید، سپس ماتریس معکوس به طور خودکار در قسمت سمت راست به جای ماتریس هویت به دست می آید. ماتریس آدر سمت چپ با تبدیل های اولیه ماتریس به ماتریس هویت تبدیل می شود.

2. اگر در فرآیند تبدیل ماتریس آدر ماتریس هویت در هر سطر یا در هر ستون فقط صفر خواهد بود، سپس تعیین کننده ماتریس برابر با صفر است، و بنابراین، ماتریس آمنحط خواهد بود و ماتریس معکوس ندارد. در این حالت، یافتن بیشتر ماتریس معکوس متوقف می شود.

مثال 2برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید

و آن را طوری تبدیل می کنیم که ماتریس هویت در سمت چپ به دست آید. بیایید تحول را شروع کنیم.

سطر اول ماتریس چپ و راست را در (-3) ضرب می کنیم و به ردیف دوم اضافه می کنیم و سپس ردیف اول را در (4-) ضرب می کنیم و به ردیف سوم اضافه می کنیم، سپس به دست می آید.

به طوری که در صورت امکان در حین تبدیل های بعدی اعداد کسری وجود نداشته باشد، ابتدا یک واحد در ردیف دوم در سمت چپ ماتریس دوگانه ایجاد می کنیم. برای این کار، ردیف دوم را در 2 ضرب کرده و ردیف سوم را از آن کم کنید، سپس به دست می آوریم

سطر اول را به ردیف دوم اضافه می کنیم و سپس ردیف دوم را در (9-) ضرب می کنیم و به ردیف سوم اضافه می کنیم. سپس می گیریم

سپس ردیف سوم را بر 8 تقسیم کنید

ردیف سوم را در 2 ضرب کنید و به ردیف دوم اضافه کنید. معلوم می شود:

جاهای خط دوم و سوم را عوض می کنیم و در نهایت می گیریم:

می بینیم که ماتریس هویت در سمت چپ به دست می آید، بنابراین ماتریس معکوس در سمت راست به دست می آید. به این ترتیب:

می توانید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی در ماتریس معکوس یافت شده بررسی کنید:

نتیجه باید یک ماتریس معکوس باشد.

مثال 3برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید

راه حل. کامپایل یک ماتریس دوگانه

و ما آن را متحول خواهیم کرد.

ردیف اول را در 3 و دومی را در 2 ضرب می کنیم و از دومی کم می کنیم و سپس ردیف اول را در 5 و ردیف سوم را در 2 ضرب می کنیم و از ردیف سوم کم می کنیم سپس به دست می آید.

ردیف اول را در 2 ضرب می کنیم و به ردیف دوم اضافه می کنیم و ردیف دوم را از ردیف سوم کم می کنیم و به دست می آوریم.

می بینیم که در خط سوم سمت چپ، همه عناصر برابر با صفر هستند. بنابراین، ماتریس منحط است و ماتریس معکوس ندارد. ما یافتن بیشتر ماریا معکوس را متوقف می کنیم.

تعریف 1:یک ماتریس در صورتی که تعیین کننده آن صفر باشد، دژنراته نامیده می شود.

تعریف 2:یک ماتریس در صورتی غیر مفرد نامیده می شود که تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد.

ماتریس "A" نامیده می شود ماتریس معکوس، اگر شرط A*A-1 = A-1 *A = E (ماتریس هویت) برآورده شود.

یک ماتریس مربع فقط در صورتی معکوس است که غیر منفرد باشد.

طرحی برای محاسبه ماتریس معکوس:

1) تعیین کننده ماتریس "A" را محاسبه کنید اگر ∆ A = 0، پس ماتریس معکوس وجود ندارد.

2) تمام مکمل های جبری ماتریس "A" را بیابید.

3) یک ماتریس از اضافات جبری بسازید (Aij)

4) ماتریس متمم های جبری (Aij )T را جابجا کنید

5) ماتریس انتقال یافته را در متقابل دترمینان این ماتریس ضرب کنید.

6) چک را اجرا کنید:

در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که دشوار است، اما در واقع همه چیز بسیار ساده است. همه راه حل ها مبتنی بر عملیات ساده حسابی هستند، نکته اصلی هنگام حل این است که با علائم "-" و "+" اشتباه نگیرید و آنها را از دست ندهید.

و حالا بیایید با محاسبه ماتریس معکوس یک کار عملی را با شما حل کنیم.

وظیفه: ماتریس معکوس "A" را پیدا کنید، که در تصویر زیر نشان داده شده است:

ما همه چیز را دقیقاً همانطور که در طرح محاسبه ماتریس معکوس نشان داده شده است حل می کنیم.

1. اولین کاری که باید انجام دهید این است که تعیین کننده ماتریس "A" را پیدا کنید:

توضیح:

ما تعیین کننده خود را با استفاده از توابع اصلی آن ساده کرده ایم. ابتدا عناصر ردیف اول را در یک عدد ضرب به ردیف دوم و سوم اضافه کردیم.

ثانیاً ستون 2 و 3 دترمینان را تغییر دادیم و با توجه به خصوصیات آن علامت جلوی آن را تغییر دادیم.

ثالثاً ضریب مشترک (-1) ردیف دوم را خارج کردیم و به این ترتیب علامت را دوباره تغییر دادیم و مثبت شد. ما همچنین خط 3 را مانند همان ابتدای مثال ساده کردیم.

یک دترمینال مثلثی داریم که در آن عناصر زیر قطر برابر با صفر و با خاصیت 7 برابر است با حاصلضرب عناصر قطر. در نتیجه گرفتیم ∆ A = 26، بنابراین ماتریس معکوس وجود دارد.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1 * 1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1 * (3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. مرحله بعدی کامپایل یک ماتریس از اضافات حاصل است:

5. این ماتریس را در متقابل دترمینان ضرب می کنیم، یعنی در 1/26:

6. خوب، اکنون فقط باید بررسی کنیم:

در طول تأیید، ما یک ماتریس هویت دریافت کردیم، بنابراین، تصمیم کاملاً درست گرفته شد.

2 روش برای محاسبه ماتریس معکوس.

1. تبدیل اولیه ماتریس ها

2. ماتریس معکوس از طریق مبدل ابتدایی.

تبدیل ماتریس ابتدایی شامل:

1. ضرب رشته در عددی غیر صفر.

2. اضافه کردن به هر خط از خط دیگر، ضرب در یک عدد.

3. جابجایی ردیف های ماتریس.

4. با اعمال زنجیره ای از تبدیل های ابتدایی، ماتریس دیگری به دست می آوریم.

ولی -1 = ?

1. (اِ|اِ) ~ (اِ|ا -1 )

2. الف -1*A=E

آن را در نظر بگیرید مثال عملیبا اعداد واقعی

ورزش:ماتریس معکوس را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید بررسی کنیم:

توضیح مختصری در مورد راه حل:

ابتدا ردیف های 1 و 2 ماتریس را با هم عوض کردیم، سپس ردیف اول را در (-1) ضرب کردیم.

پس از آن، ردیف اول در (-2) ضرب شد و به ردیف دوم ماتریس اضافه شد. سپس ردیف 2 را در 1/4 ضرب کردیم.

مرحله نهایی تبدیل، ضرب ردیف دوم در 2 و جمع کردن ردیف اول بود. در نتیجه، ما یک ماتریس هویت در سمت چپ داریم، بنابراین، ماتریس معکوس، ماتریس سمت راست است.

پس از بررسی، از صحت راه حل مطمئن شدیم.

همانطور که می بینید، محاسبه ماتریس معکوس بسیار ساده است.

در پایان این سخنرانی، من همچنین می خواهم زمانی را به ویژگی های چنین ماتریسی اختصاص دهم.

مشابه معکوس در بسیاری از خواص.

یوتیوب دایره المعارفی

1 / 5

✪ نحوه پیدا کردن ماتریس معکوس - bezbotvy

✪ ماتریس معکوس (2 راه برای پیدا کردن)

✪ ماتریس معکوس شماره 1

✪ 2015/01/28. ماتریس معکوس 3x3

✪ 2015/01/27. ماتریس معکوس 2x2

زیرنویس

خواص ماتریس معکوس

det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A)))، جایی که det (\displaystyle \\det)تعیین کننده را نشان می دهد.
(A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))برای دو ماتریس معکوس مربع A (\displaystyle A)و B (\displaystyle B).
(A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T))، جایی که (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))نشان دهنده ماتریس جابجا شده است.
(k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))برای هر ضریب k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
اگر حل یک سیستم معادلات خطی ضروری باشد، (b بردار غیر صفر است) که در آن x (\displaystyle x)بردار مورد نظر است و اگر A − 1 (\displaystyle A^(-1))وجود دارد، پس x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). در غیر این صورت، یا ابعاد فضای حل بزرگتر از صفر است یا اصلاً وجود ندارد.

راه های پیدا کردن ماتریس معکوس

اگر ماتریس معکوس است، برای پیدا کردن معکوس ماتریس، می توانید از یکی از روش های زیر استفاده کنید:

روشهای دقیق (مستقیم).

روش گاوس-اردن

بیایید دو ماتریس بگیریم: خودش آو مجرد E. بیایید ماتریس را بیاوریم آبه ماتریس هویت با استفاده از روش گاوس-جردن با اعمال تبدیل در ردیف ها (شما همچنین می توانید تبدیل ها را در ستون ها اعمال کنید، اما نه در ترکیب). پس از اعمال هر عملیات بر روی ماتریس اول، همان عملیات را بر روی ماتریس دوم اعمال کنید. هنگامی که کاهش ماتریس اول به فرم هویت کامل شد، ماتریس دوم برابر خواهد بود با A -1.

هنگام استفاده از روش گاوس، ماتریس اول از سمت چپ در یکی از ماتریس های ابتدایی ضرب می شود. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(ماتریس ترابری یا مورب با ماتریس های روی مورب اصلی، به جز یک موقعیت):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end (bmatrix))).

ماتریس دوم پس از اعمال تمامی عملیات برابر خواهد بود با Λ (\displaystyle \Lambda)، یعنی مورد نظر خواهد بود. پیچیدگی الگوریتم - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

با استفاده از ماتریس جمع های جبری

ماتریس معکوس ماتریس A (\displaystyle A)، در فرم نشان می دهد

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

جایی که adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- ماتریس پیوست؛

پیچیدگی الگوریتم به پیچیدگی الگوریتم برای محاسبه تعیین کننده O det بستگی دارد و برابر با O(n²) O det است.

با استفاده از تجزیه LU/LUP

معادله ماتریسی A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))برای ماتریس معکوس X (\displaystyle X)را می توان به عنوان یک مجموعه مشاهده کرد n (\displaystyle n)سیستم های فرم A x = b (\displaystyle Ax=b). مشخص کن من (\displaystyle i)ستون -ام ماتریس X (\displaystyle X)از طریق X i (\displaystyle X_(i)); سپس A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n)، زیرا من (\displaystyle i)ستون -ام ماتریس I n (\displaystyle I_(n))بردار واحد است e i (\displaystyle e_(i)). به عبارت دیگر، یافتن ماتریس معکوس به حل n معادله با ماتریس یکسان و سمت راست متفاوت تقلیل می یابد. پس از اجرای بسط LUP (زمان O(n³)) حل هر یک از معادلات O(n²) زمان می برد، بنابراین این بخش از کار نیز زمان O(n³) طول می کشد.

اگر ماتریس A غیر منفرد باشد، می توانیم تجزیه LUP را برای آن محاسبه کنیم P A = L U (\displaystyle PA=LU). اجازه دهید P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). سپس از روی خصوصیات ماتریس معکوس می توانیم بنویسیم: D = U - 1 L - 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). اگر این تساوی را در U و L ضرب کنیم، می توانیم دو برابری از فرم را بدست آوریم U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))و D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). اولین مورد از این برابری ها سیستمی از n² است معادلات خطیبرای n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))که اضلاع سمت راست آن مشخص است (از خواص ماتریس های مثلثی). دومی نیز سیستمی از معادلات خطی n² برای n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))که اضلاع سمت راست آن مشخص است (همچنین از ویژگی های ماتریس های مثلثی). آنها با هم سیستمی از n² برابری را تشکیل می دهند. با استفاده از این برابری‌ها، می‌توانیم به صورت بازگشتی همه عناصر n² ماتریس D را تعیین کنیم. سپس از برابری (PA) -1 = A -1 P -1 = B -1 = D. برابری را بدست می‌آوریم. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

در مورد استفاده از تجزیه LU، هیچ جایگشتی برای ستون های ماتریس D مورد نیاز نیست، اما راه حل ممکن است واگرا شود حتی اگر ماتریس A غیر منفرد باشد.

پیچیدگی الگوریتم O(n³) است.

روش های تکراری

روش های شولتز

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\جمع _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\پایان(موارد)))

تخمین خطا

انتخاب تقریب اولیه

مشکل انتخاب تقریب اولیه در فرآیندهای وارونگی ماتریس تکراری در نظر گرفته شده در اینجا به ما اجازه نمی دهد که آنها را مستقل بدانیم. روش های جهانیرقابت با روش‌های وارونگی مستقیم، برای مثال، بر اساس تجزیه LU ماتریس‌ها. توصیه هایی برای انتخاب وجود دارد U 0 (\displaystyle U_(0))، حصول اطمینان از تحقق شرط ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (شعاع طیفی ماتریس کمتر از وحدت است) که برای همگرایی فرآیند لازم و کافی است. با این حال، در این مورد، ابتدا لازم است که تخمین طیف ماتریس معکوس A یا ماتریس را از بالا بدانیم. A A T (\displaystyle AA^(T))(یعنی اگر A یک ماتریس قطعی مثبت متقارن باشد و ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \بتا)، سپس می توانید بگیرید U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E)، جایی که ؛ اگر A یک ماتریس غیرمفرد دلخواه باشد و ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta)، سپس فرض کنید U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha)A^(T))، جایی که همچنین α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta))\راست)); البته می توان وضعیت را ساده کرد و با استفاده از این واقعیت که ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k)))، قرار دادن U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). ثانیاً، با چنین مشخصاتی از ماتریس اولیه، هیچ تضمینی وجود ندارد ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)کوچک خواهد بود (شاید حتی ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)، و مرتبه بالای نرخ همگرایی بلافاصله آشکار نخواهد شد.

مثال ها

ماتریس 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

وارونگی یک ماتریس 2x2 فقط در شرایطی امکان پذیر است که a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

روشهای یافتن ماتریس معکوس، . یک ماتریس مربع را در نظر بگیرید

Δ = det A را نشان دهید.

ماتریس مربع A نامیده می شود غیر منحط،یا غیر خاصاگر تعیین کننده آن غیر صفر باشد و منحط،یا خاص، اگرΔ = 0.

یک ماتریس مربع B برای یک ماتریس مربع A با همان مرتبه وجود دارد اگر حاصلضرب آنها A B = B A = E باشد، که در آن E ماتریس هویتی با همان ترتیب ماتریس های A و B باشد.

قضیه . برای اینکه ماتریس A دارای ماتریس معکوس باشد، کافی و ضروری است که تعیین کننده آن غیر صفر باشد.

ماتریس معکوس به ماتریس A که با A نشان داده می شود- 1 بنابراین B = A - 1 و با فرمول محاسبه می شود

, (1)

جایی که А i j - مکمل های جبری عناصر a i j ماتریس A..

محاسبه A -1 با فرمول (1) برای ماتریس ها نظم بالابسیار پر زحمت است، بنابراین در عمل یافتن A -1 با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی (EP) راحت است. هر ماتریس غیرمفرد A را می توان با EP تنها ستون ها (یا فقط ردیف ها) به ماتریس هویت E کاهش داد. اگر EP های انجام شده روی ماتریس A به همان ترتیب روی ماتریس هویت E اعمال شوند، نتیجه به دست می آید. یک ماتریس معکوس اجرای EP روی ماتریس های A و E به طور همزمان و نوشتن هر دو ماتریس در کنار هم از طریق خط راحت است. یک بار دیگر متذکر می شویم که هنگام جستجوی شکل متعارف یک ماتریس، برای یافتن آن، می توان از تبدیل سطرها و ستون ها استفاده کرد. اگر نیاز به یافتن ماتریس معکوس دارید، باید فقط از سطرها یا فقط ستون ها در فرآیند تبدیل استفاده کنید.

مثال 2.10. برای ماتریس A -1 را پیدا کنید.

راه حل.ابتدا تعیین کننده ماتریس A را پیدا می کنیم
بنابراین ماتریس معکوس وجود دارد و ما می توانیم آن را با فرمول پیدا کنیم: ، جایی که A i j (i,j=1,2,3) - مکمل های جبری عناصر a i j ماتریس اصلی.

جایی که .

مثال 2.11. با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی، A -1 را برای ماتریس پیدا کنید: A=.

راه حل.ما یک ماتریس هویت با همان ترتیب را به ماتریس اصلی سمت راست اختصاص می دهیم: . با کمک تبدیل ستون های ابتدایی، ما "نیمه" سمت چپ را به یک هویت کاهش می دهیم، و به طور همزمان دقیقاً چنین تبدیل هایی را در ماتریس سمت راست انجام می دهیم.
برای انجام این کار، ستون اول و دوم را با هم عوض کنید: ~ . اولی را به ستون سوم اضافه می کنیم و اولی را در -2 به ستون دوم ضرب می کنیم: . از ستون اول دوم دو برابر شده را کم می کنیم و از سوم - دوم ضرب در 6. . بیایید ستون سوم را به ستون اول و دوم اضافه کنیم: . ستون آخر را در -1 ضرب کنید: . ماتریس مربعی که در سمت راست میله عمودی به دست می آید، ماتریس معکوس ماتریس A است.
.