اندازه گیری مساحت اشکال هندسی.

§ 58. قضیه فیثاغورث 1.

__________
1 فیثاغورث دانشمند یونانی است که حدود 2500 سال پیش (564-473 قبل از میلاد) می زیسته است.
_________

اجازه دهید یک مثلث قائم الزاویه به ما داده شود که اضلاع آن آ, بو با(نقاشی 267).

بیایید در دو طرف آن مربع بسازیم. مساحت این مربع ها به ترتیب برابر است آ 2 , ب 2 و با 2. این را ثابت کنیم با 2 = a 2 +b 2 .

بیایید دو مربع MKOR و M"K"O"R" بسازیم (طراحی‌های 268، 269)، و به عنوان ضلع هر یک از آنها قطعه‌ای برابر با مجموع پایه‌های مثلث قائم‌العاده ABC در نظر بگیریم.

پس از تکمیل ساختارهای نشان داده شده در نقشه های 268 و 269 در این مربع ها، خواهیم دید که مربع MCOR به دو مربع با مساحت تقسیم می شود. آ 2 و ب 2 و چهار مثلث قائم الزاویه که هر کدام برابر با مثلث قائم الزاویه ABC است. مربع M"K"O"R" به چهار ضلعی (در رسم 269 سایه دار است) و چهار مثلث قائم الزاویه تقسیم می شد که هر یک از آنها نیز برابر با مثلث ABC است. یک چهار ضلعی سایه دار مربع است، زیرا اضلاع آن برابر است (هر کدام برابر است با افت مثلث ABC، یعنی. با) و زوایای آن راست است / 1 + / 2 = 90 درجه، از کجا / 3 = 90 درجه).

بنابراین مجموع مساحت مربع های ساخته شده روی پایه ها (در نقشه 268 این مربع ها سایه دار هستند) برابر است با مساحت مربع MCOR بدون مجموع مساحت های چهار مثلث مساوی و مساحت . مربع ساخته شده روی فرضیه (در نقشه 269 این مربع نیز سایه دار است) برابر است با مساحت مربع M"K"O"R" برابر مربع MCOR، بدون مجموع مساحت چهار مثلث مشابه. بنابراین، مساحت مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها.

ما فرمول را دریافت می کنیم با 2 = a 2 +b 2 کجا با- هیپوتنوئوس، آو ب- پاهای یک مثلث قائم الزاویه

قضیه فیثاغورث معمولاً به طور خلاصه به صورت زیر بیان می شود:

مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها.

از فرمول با 2 = a 2 +b 2 می توانید فرمول های زیر را دریافت کنید:

آ 2 = با 2 - ب 2 ;
ب 2 = با 2 - آ 2 .

از این فرمول ها می توان برای یافتن ضلع مجهول مثلث قائم الزاویه از دو ضلع داده شده آن استفاده کرد.
مثلا:

الف) اگر پاها داده شود آ= 4 سانتی متر، ب= 3 سانتی متر، سپس می توانید هیپوتانوس را پیدا کنید ( با):
با 2 = a 2 +b 2، یعنی با 2 = 4 2 + 3 2 ; با 2 = 25، از آنجا با= √25 = 5 (سانتی متر)؛

ب) اگر هیپوتانوز داده شود با= 17 سانتی متر و پا آ= 8 سانتی متر، سپس می توانید یک پای دیگر پیدا کنید ( ب):

ب 2 = با 2 - آ 2، یعنی ب 2 = 17 2 - 8 2 ; ب 2 = 225، از کجا ب= √225 = 15 (سانتی متر).

نتیجه: اگر دو مثلث قائم الزاویه ABC و A دارای 1 B 1 C 1 هیپوتانوز باشند باو با 1 برابر هستند و پا بمثلث ABC از ساق بلندتر است ب 1 مثلث A 1 B 1 C 1,
سپس پا آمثلث ABC کوچکتر از ساق است آ 1 مثلث A 1 B 1 C 1. (نقاشی ایجاد کنید که این نتیجه را نشان می دهد.)

در واقع، بر اساس قضیه فیثاغورث به دست می آوریم:

آ 2 = با 2 - ب 2 ,
آ 1 2 = با 1 2 - ب 1 2

در فرمول های نوشته شده، مینیوندها با هم برابرند و زیر خط در فرمول اول بزرگتر از فرعی در فرمول دوم است، بنابراین، تفاوت اول کمتر از دومی است.
یعنی آ 2 < آ 12 . جایی که آ< آ 1 .

تمرینات

1. با استفاده از رسم 270 قضیه فیثاغورث را برای مثلث قائم الزاویه ثابت کنید.

2. یک پایه مثلث قائم الزاویه 12 سانتی متر و دیگری 5 سانتی متر است طول هیپوتنوز این مثلث را حساب کنید.

3. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه 10 سانتی متر است، یکی از پایه ها 8 سانتی متر است طول ساقه دیگر این مثلث را محاسبه کنید.

4. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه 37 سانتی متر است، یکی از پایه های آن 35 سانتی متر است، طول ساق دیگر این مثلث را حساب کنید.

5. مربعی بسازید که مساحت آن دو برابر مربع داده شده باشد.

6. مربعی بسازید که مساحت آن نصف مربع داده شده باشد. توجه داشته باشید.انجام دهید مربع داده شدهمورب ها مربع های ساخته شده بر روی نیمه های این مورب ها همان هایی هستند که ما به دنبال آن هستیم.

7. ساق های یک مثلث قائم الزاویه به ترتیب 12 سانتی متر و 15 سانتی متر است طول هیپوتنوز این مثلث را با دقت 0.1 سانتی متر محاسبه کنید.

8. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه 20 سانتی متر است، یکی از پایه های آن 15 سانتی متر است، طول پای دیگر را به نزدیک ترین 0.1 سانتی متر حساب کنید.

9. در صورتی که انتهای پایینی نردبان باید 2.5 متر از ساختمان فاصله داشته باشد، نردبان چقدر باید باشد تا بتوان آن را به پنجره ای در ارتفاع 6 متری متصل کرد؟ (نمودار 271.)

چیزی که صد در صد می توانید از آن مطمئن باشید این است که وقتی از هر فرد بزرگسالی می پرسند مربع هیپوتانوس چقدر است، جسورانه پاسخ می دهد: "مجموع مربع های پا". این قضیه در ذهن همه جا افتاده است. فرد تحصیل کرده، اما تنها کاری که باید انجام دهید این است که از کسی بخواهید آن را ثابت کند و ممکن است مشکلاتی پیش بیاید. پس به یاد بیاوریم و در نظر بگیریم راه های مختلفاثبات قضیه فیثاغورث

بیوگرافی مختصر

قضیه فیثاغورث تقریباً برای همه آشنا است ، اما به دلایلی زندگی نامه شخصی که آن را به جهان آورده است چندان محبوب نیست. این را می توان رفع کرد. بنابراین، قبل از بررسی راه های مختلف برای اثبات قضیه فیثاغورث، باید به طور مختصر با شخصیت او آشنا شوید.

فیثاغورث - فیلسوف، ریاضیدان، متفکر در اصل از امروز بسیار دشوار است که زندگی نامه او را از افسانه هایی که به یاد این مرد بزرگ ایجاد شده است متمایز کنیم. اما همانطور که از آثار پیروانش برمی آید، فیثاغورث ساموسی در جزیره ساموس به دنیا آمد. پدرش یک سنگ تراش معمولی بود، اما مادرش از خانواده ای اصیل بود.

با قضاوت بر اساس افسانه، تولد فیثاغورث توسط زنی به نام پیتیا پیش بینی شده بود که به افتخار او پسر نامگذاری شد. طبق پیش بینی او، پسر متولد شده قرار بود منافع و خوبی برای بشریت به ارمغان بیاورد. کاری که او دقیقاً انجام داد.

تولد قضیه

فیثاغورث در جوانی به مصر رفت تا در آنجا با حکیمان مشهور مصری ملاقات کند. پس از ملاقات با آنها، اجازه تحصیل یافت و در آنجا تمام دستاوردهای بزرگ فلسفه، ریاضیات و پزشکی مصر را آموخت.

احتمالاً در مصر بود که فیثاغورث از عظمت و زیبایی اهرام الهام گرفت و نظریه بزرگ خود را خلق کرد. این ممکن است خوانندگان را شوکه کند، اما مورخان مدرن معتقدند که فیثاغورث نظریه خود را اثبات نکرده است. اما او فقط دانش خود را به پیروانش منتقل کرد که بعداً تمام محاسبات ریاضی لازم را انجام دادند.

به هر حال، امروزه نه یک روش برای اثبات این قضیه، بلکه چندین روش به طور همزمان شناخته شده است. امروز ما فقط می توانیم حدس بزنیم که یونانیان باستان دقیقاً چگونه محاسبات خود را انجام می دادند، بنابراین در اینجا به روش های مختلف برای اثبات قضیه فیثاغورث می پردازیم.

قضیه فیثاغورس

قبل از شروع هر گونه محاسبات، باید بفهمید که چه نظریه ای را می خواهید اثبات کنید. قضیه فیثاغورث به این صورت است: "در مثلثی که یکی از زوایای آن 90 درجه است، مجموع مجذورات پاها برابر با مجذور هیپوتانوس است."

در مجموع 15 روش مختلف برای اثبات قضیه فیثاغورث وجود دارد. این تعداد نسبتاً زیادی است، بنابراین ما به محبوب ترین آنها خواهیم پرداخت.

روش یک

ابتدا اجازه دهید آنچه را که به ما داده شده است تعریف کنیم. این داده ها همچنین برای سایر روش های اثبات قضیه فیثاغورث اعمال می شوند، بنابراین ارزش آن را دارد که بلافاصله تمام نمادهای موجود را به خاطر بسپارید.

فرض کنید یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a، b و هیپوتانوس برابر با c به ما داده شده است. اولین روش اثبات بر این واقعیت استوار است که شما باید یک مربع از یک مثلث قائم الزاویه بکشید.

برای انجام این کار، باید یک قطعه برابر با پایه b به پایه طول a اضافه کنید و بالعکس. این باید منجر به دو ضلع مساوی مربع شود. تنها چیزی که باقی می ماند ترسیم دو خط موازی است و مربع آماده است.

در داخل شکل به دست آمده، باید مربع دیگری با ضلع برابر با هیپوتانوز مثلث اصلی بکشید. برای این کار از رئوس ас و св باید دو پاره موازی مساوی с رسم کنید. بنابراین، ما سه ضلع مربع را به دست می آوریم که یکی از آنها فرضیه مثلث قائم الزاویه اصلی است. تنها چیزی که باقی می ماند ترسیم بخش چهارم است.

بر اساس شکل به دست آمده، می توان نتیجه گرفت که مساحت مربع بیرونی (a + b) 2 است. اگر به داخل شکل نگاه کنید، می بینید که علاوه بر مربع داخلی، چهار مثلث قائم الزاویه نیز وجود دارد. مساحت هر کدام 0.5av است.

بنابراین، مساحت برابر است با: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

بنابراین (a+c) 2 =2ab+c 2

و بنابراین، c 2 =a 2 +b 2

قضیه ثابت شده است.

روش دوم: مثلث های مشابه

این فرمول برای اثبات قضیه فیثاغورث بر اساس بیانیه ای از بخش هندسه در مورد مثلث های مشابه به دست آمده است. بیان می کند که ساق یک مثلث قائم الزاویه به طور متوسط ​​متناسب با هیپوتنوز آن و قطعه ای از هیپوتنوز است که از راس زاویه 90 درجه سرچشمه می گیرد.

داده های اولیه یکسان باقی می مانند، بنابراین بیایید بلافاصله با اثبات شروع کنیم. اجازه دهید یک قطعه CD عمود بر ضلع AB رسم کنیم. بر اساس عبارت فوق، اضلاع مثلث ها برابر هستند:

AC=√AB*AD، SV=√AB*DV.

برای پاسخ به این سؤال که چگونه قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم، اثبات باید با مجذور کردن هر دو نابرابری تکمیل شود.

AC 2 = AB * AD و CB 2 = AB * DV

اکنون باید نابرابری های حاصل را جمع کنیم.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV)، که در آن AD + DV = AB

معلوم می شود که:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

و بنابراین:

AC 2 + CB 2 = AB 2

اثبات قضیه فیثاغورث و راه های مختلفراه حل های آن نیازمند یک رویکرد چند وجهی برای این مشکل است. با این حال، این گزینه یکی از ساده ترین است.

روش محاسبه دیگر

شرح روش های مختلف اثبات قضیه فیثاغورث ممکن است تا زمانی که خودتان تمرین را شروع نکنید، معنایی نداشته باشد. بسیاری از تکنیک ها نه تنها شامل محاسبات ریاضی، بلکه ساخت ارقام جدید از مثلث اصلی نیز می شوند.

در این صورت لازم است یک مثلث قائم الزاویه دیگر VSD از ضلع BC تکمیل شود. بنابراین، اکنون دو مثلث با یک ساق مشترک قبل از میلاد وجود دارد.

با دانستن اینکه مساحت اشکال مشابه نسبتی به مربع ابعاد خطی مشابه آنها دارند، پس:

S avs * c 2 - S avd * در 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(از 2 - تا 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

از 2 - تا 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

از آنجایی که از بین روش های مختلف اثبات قضیه فیثاغورث برای درجه 8، این گزینه به سختی مناسب است، می توانید از روش زیر استفاده کنید.

ساده ترین راه برای اثبات قضیه فیثاغورث. بررسی ها

به گفته مورخان، این روش برای اولین بار برای اثبات قضیه مورد استفاده قرار گرفت یونان باستان. این ساده ترین است، زیرا مطلقاً به هیچ محاسباتی نیاز ندارد. اگر تصویر را به درستی ترسیم کنید، اثبات این جمله که a 2 + b 2 = c 2 به وضوح قابل مشاهده خواهد بود.

شرایط این روش کمی با روش قبلی متفاوت خواهد بود. برای اثبات قضیه، مثلث قائم الزاویه ABC را متساوی الساقین فرض کنید.

فرضیه AC را ضلع مربع می گیریم و سه ضلع آن را می کشیم. علاوه بر این، لازم است دو خط مورب در مربع حاصل بکشید. به طوری که در داخل آن چهار مثلث متساوی الساقین به دست می آید.

همچنین باید یک مربع به پاهای AB و CB بکشید و در هر یک از آنها یک خط مستقیم مورب بکشید. خط اول را از راس A و خط دوم را از C رسم می کنیم.

اکنون باید به نقاشی حاصل نگاه کنید. از آنجایی که در فرضیه AC چهار مثلث برابر با مثلث اصلی و در اضلاع آن دو مثلث وجود دارد، این نشان دهنده صحت این قضیه است.

به هر حال، به لطف این روش برای اثبات قضیه فیثاغورث، عبارت معروف: "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است."

اثبات توسط جی.گارفیلد

جیمز گارفیلد بیستمین رئیس جمهور ایالات متحده آمریکا است. او علاوه بر اینکه به عنوان فرمانروای ایالات متحده نشان خود را در تاریخ گذاشت، یک خودآموز با استعداد نیز بود.

او در آغاز کار خود معلم معمولی بود مدرسه دولتی، اما به زودی مدیر یکی از بالاترین ها شد موسسات آموزشی. میل به خودسازی به او اجازه داد تا نظریه جدیدی برای اثبات قضیه فیثاغورث ارائه دهد. قضیه و مثالی از حل آن به شرح زیر است.

ابتدا باید دو مثلث قائم الزاویه را روی یک تکه کاغذ بکشید تا پای یکی از آنها ادامه دومی باشد. رئوس این مثلث ها باید به هم متصل شوند تا در نهایت یک ذوزنقه تشکیل شود.

همانطور که می دانید مساحت ذوزنقه برابر حاصل ضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع آن است.

S=a+b/2 * (a+b)

اگر ذوزنقه حاصل را شکلی متشکل از سه مثلث در نظر بگیریم، مساحت آن را می توان به صورت زیر یافت:

S=av/2 *2 + s 2/2

اکنون باید دو عبارت اصلی را برابر کنیم

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

می توان بیش از یک جلد در مورد قضیه فیثاغورث و روش های اثبات آن نوشت. کمک آموزشی. اما آیا در آن نکته ای وجود دارد که این دانش در عمل قابل استفاده نباشد؟

کاربرد عملی قضیه فیثاغورث

متأسفانه برنامه های درسی مدارس مدرن استفاده از این قضیه را فقط در مسائل هندسی پیش بینی می کند. فارغ التحصیلان به زودی مدرسه را ترک خواهند کرد بدون اینکه بدانند چگونه می توانند دانش و مهارت های خود را در عمل به کار ببرند.

در واقع از قضیه فیثاغورث در خود استفاده کنید زندگی روزمرههرکسی می تواند. و نه تنها در فعالیت حرفه ای، بلکه در کارهای معمولی خانه. بیایید چندین مورد را در نظر بگیریم که قضیه فیثاغورث و روش های اثبات آن ممکن است بسیار ضروری باشد.

رابطه بین قضیه و نجوم

به نظر می رسد چگونه می توان ستاره ها و مثلث های روی کاغذ را به هم متصل کرد. در واقع نجوم یک رشته علمی است که قضیه فیثاغورث در آن بسیار مورد استفاده قرار می گیرد.

برای مثال حرکت یک پرتو نور در فضا را در نظر بگیرید. مشخص است که نور در هر دو جهت با سرعت یکسان حرکت می کند. بیایید مسیری را که پرتو نور در امتداد آن حرکت می کند AB بنامیم ل. و بیایید نیمی از زمان لازم برای رسیدن نور از نقطه A به نقطه B را بنامیم تی. و سرعت پرتو - ج. معلوم می شود که: c*t=l

اگر به همین پرتو از هواپیمای دیگری نگاه کنید، مثلاً از یک لاینر فضایی که با سرعت v حرکت می کند، در این صورت هنگام مشاهده اجسام به این شکل، سرعت آنها تغییر می کند. در این حالت حتی عناصر ساکن نیز با سرعت v در جهت مخالف شروع به حرکت خواهند کرد.

بیایید بگوییم که لاینر کمیک در حال حرکت به سمت راست است. سپس نقاط A و B، که پرتو بین آنها حرکت می کند، شروع به حرکت به سمت چپ می کند. علاوه بر این، هنگامی که پرتو از نقطه A به نقطه B حرکت می کند، نقطه A زمان حرکت دارد و بر این اساس، نور از قبل به نقطه جدید C می رسد. برای پیدا کردن نیمی از فاصله ای که نقطه A در آن جابجا شده است، باید ضرب کنید. سرعت لاینر به نصف زمان سفر پرتو (t ").

و برای اینکه بفهمید یک پرتو نور در این مدت چقدر می تواند طی کند، باید نیمی از مسیر را با حرف s علامت گذاری کنید و عبارت زیر را بدست آورید:

اگر تصور کنیم که نقاط نور C و B و همچنین خط فضایی، رئوس هستند مثلث متساوی الساقین، سپس قطعه از نقطه A تا خط خط آن را به دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می کند. بنابراین، به لطف قضیه فیثاغورث، می توانید فاصله ای را که یک پرتو نور می تواند طی کند، پیدا کنید.

این مثال، البته، موفق‌ترین نمونه نیست، زیرا تنها تعداد کمی می‌توانند آنقدر خوش شانس باشند که آن را در عمل امتحان کنند. بنابراین، بیایید کاربردهای پیش پا افتاده تری از این قضیه را در نظر بگیریم.

محدوده انتقال سیگنال موبایل

زندگی مدرن را دیگر نمی توان بدون وجود گوشی های هوشمند تصور کرد. اما اگر نتوانند مشترکان را از طریق تلفن همراه وصل کنند چقدر استفاده می‌کنند؟!

کیفیت ارتباطات سیار به طور مستقیم به ارتفاعی که آنتن اپراتور تلفن همراه در آن قرار دارد بستگی دارد. برای محاسبه اینکه یک تلفن چقدر از یک برج موبایل می تواند سیگنال دریافت کند، می توانید قضیه فیثاغورث را اعمال کنید.

فرض کنید باید ارتفاع تقریبی یک برج ثابت را پیدا کنید تا بتواند سیگنال را در شعاع 200 کیلومتری پخش کند.

AB (ارتفاع برج) = x;

BC (شعاع انتقال سیگنال) = 200 کیلومتر؛

سیستم عامل (شعاع کره زمین) = 6380 کیلومتر؛

OB=OA+ABOB=r+x

با اعمال قضیه فیثاغورث، متوجه می شویم که حداقل ارتفاع برج باید 2.3 کیلومتر باشد.

قضیه فیثاغورث در زندگی روزمره

به اندازه کافی عجیب، قضیه فیثاغورث می تواند حتی در مسائل روزمره، مانند تعیین ارتفاع کمد لباس، مفید باشد. در نگاه اول، نیازی به استفاده از چنین محاسبات پیچیده ای نیست، زیرا به سادگی می توانید با استفاده از اندازه گیری نوار اندازه گیری کنید. اما بسیاری از مردم تعجب می‌کنند که چرا اگر همه اندازه‌گیری‌ها با دقت بیشتری انجام شود، مشکلات خاصی در طول فرآیند مونتاژ ایجاد می‌شود.

واقعیت این است که کمد لباس در یک موقعیت افقی مونتاژ می شود و تنها پس از آن بلند شده و در مقابل دیوار نصب می شود. بنابراین، در طول فرآیند بلند کردن سازه، طرف کابینت باید آزادانه هم در طول ارتفاع و هم به صورت مورب اتاق حرکت کند.

بیایید فرض کنیم کمد لباسی با عمق 800 میلی متر وجود دارد. فاصله از کف تا سقف - 2600 میلی متر. یک مبل ساز با تجربه می گوید که ارتفاع کابینت باید 126 میلی متر کمتر از ارتفاع اتاق باشد. اما چرا دقیقا 126 میلی متر؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

با ابعاد کابینت ایده آل، اجازه دهید عملکرد قضیه فیثاغورث را بررسی کنیم:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 میلی متر - همه چیز مناسب است.

فرض کنید ارتفاع کابینت 2474 میلی متر نیست، بلکه 2505 میلی متر است. سپس:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 میلی متر.

بنابراین این کابینت برای نصب در این اتاق مناسب نیست. زیرا بلند کردن آن به حالت عمودی می تواند باعث آسیب به بدن آن شود.

شاید با در نظر گرفتن راه‌های مختلف اثبات قضیه فیثاغورث توسط دانشمندان مختلف، بتوانیم نتیجه بگیریم که این قضیه بیش از واقعیت است. اکنون می توانید از اطلاعات دریافتی در زندگی روزمره خود استفاده کنید و کاملاً مطمئن باشید که همه محاسبات نه تنها مفید، بلکه صحیح نیز خواهند بود.

سطح متوسط

راست گوشه. راهنمای کامل مصور (2019)

راست گوشه. سطح اول.

در مشکلات، زاویه راست اصلا ضروری نیست - پایین سمت چپ، بنابراین باید یاد بگیرید که مثلث قائم الزاویه را در این شکل تشخیص دهید.

و در این

و در این

مثلث قائم الزاویه چه چیز خوبی دارد؟ خوب... اول از همه، خاص وجود دارد نام های زیبابرای طرف هایش

به نقاشی توجه کنید!

به یاد داشته باشید و اشتباه نگیرید: دو پا وجود دارد و تنها یک هیپوتونوز وجود دارد(یک و تنها، منحصر به فرد و طولانی ترین)!

خوب، ما در مورد نام ها بحث کرده ایم، اکنون مهمترین چیز: قضیه فیثاغورث.

قضیه فیثاغورس.

این قضیه کلید حل بسیاری از مسائل مربوط به مثلث قائم الزاویه است. این توسط فیثاغورث در زمان های بسیار قدیم ثابت شد و از آن زمان تاکنون برای کسانی که آن را می شناسند سود زیادی به همراه داشته است. و بهترین چیز در مورد آن این است که ساده است.

بنابراین، قضیه فیثاغورس:

این لطیفه را به خاطر دارید: "شلوار فیثاغورثی از هر طرف برابر است!"؟

بیایید همین شلوارهای فیثاغورثی را بکشیم و به آنها نگاه کنیم.

شبیه شورت نیست؟ خوب، در کدام طرف و در کجا برابر هستند؟ چرا و این شوخی از کجا آمده است؟ و این لطیفه دقیقاً با قضیه فیثاغورث یا به طور دقیق تر با روشی که فیثاغورث خود قضیه اش را صورت بندی کرد مرتبط است. و آن را اینگونه بیان کرد:

"مجموع مناطق مربع، ساخته شده بر روی پاها، برابر است مساحت مربع، ساخته شده بر روی هیپوتانوس."

آیا واقعاً کمی متفاوت به نظر می رسد؟ و بنابراین، هنگامی که فیثاغورث بیانیه قضیه خود را ترسیم کرد، این دقیقاً همان تصویری است که ظاهر شد.

در این تصویر مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با مساحت مربع بزرگ است. و برای اینکه بچه ها بهتر به یاد بیاورند که مجموع مربع های پاها برابر با مربع هیپوتونوس است، یک نفر شوخ طبع این شوخی را در مورد شلوار فیثاغورثی مطرح کرد.

چرا اکنون قضیه فیثاغورث را فرموله می کنیم؟

آیا فیثاغورث رنج کشید و در مورد مربع صحبت کرد؟

ببینید در زمان های قدیم... جبر وجود نداشت! هیچ نشانه ای و غیره وجود نداشت. هیچ کتیبه ای وجود نداشت. آیا می توانید تصور کنید چقدر وحشتناک بود که دانش آموزان بیچاره باستانی همه چیز را با کلمات به خاطر بسپارند؟؟! و ما می توانیم خوشحال باشیم که یک فرمول ساده از قضیه فیثاغورث داریم. بیایید دوباره آن را تکرار کنیم تا بهتر به خاطر بسپاریم:

الان باید راحت باشه:

خوب، مهم ترین قضیه در مورد مثلث قائم الزاویه بحث شده است. اگر به چگونگی اثبات آن علاقه دارید، سطوح تئوری زیر را بخوانید و حالا بیایید جلوتر برویم ... به جنگل تاریک ... مثلثات! به کلمات وحشتناک سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه.

در واقع، همه چیز اصلاً ترسناک نیست. البته، تعریف واقعی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت باید در مقاله مورد بررسی قرار گیرد. اما من واقعاً نمی خواهم، نه؟ ما می توانیم خوشحال باشیم: برای حل مسائل مربوط به یک مثلث قائم الزاویه، می توانید به سادگی موارد ساده زیر را پر کنید:

چرا همه چیز فقط در گوشه است؟ گوشه کجاست؟ برای درک این موضوع، باید بدانید که عبارات 1 تا 4 چگونه در کلمات نوشته می شوند. نگاه کن، بفهم و به خاطر بسپار!

1.
در واقع به نظر می رسد این است:

در مورد زاویه چطور؟ آیا پایی وجود دارد که مقابل گوشه باشد، یعنی پای مخالف (برای یک زاویه)؟ البته دارند! این یک پا است!

در مورد زاویه چطور؟ با دقت نگاه کن. کدام پا در مجاورت گوشه است؟ البته پا این بدان معنی است که برای زاویه، پا مجاور است، و

حالا، توجه کن! ببین چی بدست آوردیم:

ببین چقدر باحاله:

حال به سراغ مماس و کتانژانت می رویم.

حالا چگونه می توانم این را با کلمات بنویسم؟ ساق نسبت به زاویه چیست؟ البته برعکس - روبروی گوشه "نهفته است". در مورد پا چطور؟ مجاور گوشه. پس ما چه داریم؟

ببینید چگونه صورت و مخرج جای خود را عوض کرده اند؟

و حالا دوباره گوشه ها و رد و بدل شد:

خلاصه

بیایید به طور خلاصه همه چیزهایی را که یاد گرفتیم بنویسیم.

قضیه فیثاغورس:

قضیه اصلی در مورد مثلث قائم الزاویه قضیه فیثاغورث است.

قضیه فیثاغورس

راستی، خوب به خاطر دارید که پاها و هیپوتونوس چیست؟ اگر خیلی خوب نیست، به تصویر نگاه کنید - دانش خود را تازه کنید

این کاملاً ممکن است که قبلاً بارها از قضیه فیثاغورث استفاده کرده باشید، اما آیا تا به حال فکر کرده اید که چرا چنین قضیه ای درست است؟ چگونه می توانم آن را ثابت کنم؟ بیایید مانند یونانیان باستان رفتار کنیم. بیایید یک مربع با یک ضلع رسم کنیم.

ببینید چقدر زیرکانه اضلاعش را به طول و طول تقسیم کردیم!

حالا بیایید نقاط مشخص شده را به هم وصل کنیم

اما در اینجا ما به چیز دیگری اشاره کردیم ، اما شما خودتان به نقاشی نگاه می کنید و فکر می کنید که چرا اینطور است.

مساحت مربع بزرگتر چقدر است؟ درست، . در مورد یک منطقه کوچکتر چطور؟ قطعا، . مساحت کل چهار گوشه باقی مانده است. تصور کنید که ما آنها را در یک زمان دو تا گرفتیم و با هیپوتونوس آنها را به یکدیگر تکیه دادیم. چی شد؟ دو مستطیل. این بدان معنی است که مساحت "برش ها" برابر است.

حالا بیایید همه را کنار هم بگذاریم.

بیایید تبدیل کنیم:

بنابراین ما فیثاغورث را ملاقات کردیم - قضیه او را به روشی باستانی اثبات کردیم.

مثلث قائم الزاویه و مثلثات

برای مثلث قائم الزاویه، روابط زیر برقرار است:

سینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز

کسینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.

مماس یک زاویه تند برابر است با نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت یک زاویه حاد برابر است با نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

و بار دیگر همه اینها در قالب یک تبلت:

خیلی راحته!

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه

I. از دو طرف

II. توسط پا و هیپوتانوز

III. توسط هیپوتانوز و زاویه حاد

IV. در امتداد ساق و زاویه حاد

آ)

ب)

توجه! در اینجا بسیار مهم است که پاها "مناسب" باشند. به عنوان مثال، اگر اینگونه باشد:

پس مثلث ها مساوی نیستند، با وجود این واقعیت که آنها یک زاویه حاد یکسان دارند.

نیاز به در هر دو مثلث پا مجاور بود، یا در هر دو طرف مقابل بود.

آیا دقت کرده اید که چگونه علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه با علائم معمول تساوی مثلث ها متفاوت است؟ به مبحث نگاهی بیندازید و به این نکته توجه کنید که برای برابری مثلث های معمولی باید سه عنصر آنها برابر باشد: دو ضلع و زاویه بین آنها، دو زاویه و ضلع بین آنها یا سه ضلع. اما برای برابری مثلث های قائم الزاویه فقط دو عنصر متناظر کافی است. عالیه، درسته؟

وضعیت تقریباً با علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه یکسان است.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه

I. در امتداد یک زاویه حاد

II. از دو طرف

III. توسط پا و هیپوتانوز

میانه در مثلث قائم الزاویه

چرا اینطور است؟

به جای مثلث قائم الزاویه، یک مستطیل کامل را در نظر بگیرید.

بیایید یک مورب رسم کنیم و یک نقطه را در نظر بگیریم - نقطه تقاطع مورب ها. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟

و چه چیزی از این نتیجه می گیرد؟

پس معلوم شد که

1. - میانه:

این واقعیت را به خاطر بسپار! کمک زیادی می کند!

شگفت‌انگیزتر این است که برعکس آن نیز صادق است.

چه فایده ای می توان از این واقعیت به دست آورد که میانه رسم شده به هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتانوز است؟ بیایید به تصویر نگاه کنیم

با دقت نگاه کن. داریم: یعنی فواصل نقطه تا هر سه رأس مثلث برابر است. اما فقط یک نقطه در مثلث وجود دارد که فواصل آن از هر سه رأس مثلث برابر است و این مرکز دایره است. پس چه اتفاقی افتاد؟

پس بیایید با این "علاوه بر ..." شروع کنیم.

بیایید نگاه کنیم و.

اما مثلث های مشابه همه زوایای برابر دارند!

همین را می توان در مورد و نیز گفت

حالا بیایید آن را با هم ترسیم کنیم:

چه فایده ای می توان از این شباهت «سه گانه» به دست آورد؟

خوب، برای مثال - دو فرمول برای ارتفاع مثلث قائم الزاویه

بیایید روابط طرفین مربوطه را بنویسیم:

برای پیدا کردن ارتفاع، نسبت را حل می کنیم و بدست می آوریم اولین فرمول "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":

بنابراین، بیایید شباهت را اعمال کنیم: .

حالا چه خواهد شد؟

دوباره نسبت را حل می کنیم و فرمول دوم را می گیریم:

شما باید هر دوی این فرمول ها را به خوبی به خاطر بسپارید و از یکی که راحت تر است استفاده کنید. بیایید دوباره آنها را بنویسیم

قضیه فیثاغورس:

در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها: .

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:

• از دو طرف:
• توسط پا و هیپوتانوز: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مجاور: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مقابل: یا
• توسط هیپوتانوز و زاویه حاد: یا.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه:

• یک گوشه حاد: یا
• از تناسب دو پا:
• از تناسب ساق و هیپوتنوز: یا.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه

• سینوس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است:
• کسینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتونوس است:
• مماس زاویه تند مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:
• کتانژانت یک زاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است: .

ارتفاع مثلث قائم الزاویه: یا.

در مثلث قائم الزاویه، میانه از رأس گرفته شده است زاویه راست، برابر است با نصف هیپوتانوس: .

مساحت مثلث قائم الزاویه:

• از طریق پاها:

اثبات متحرک قضیه فیثاغورث - یکی از اساسیقضایای هندسه اقلیدسی که رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را ایجاد می کند. اعتقاد بر این است که توسط ریاضیدان یونانی فیثاغورث، که به نام او نامگذاری شده است، اثبات شده است (نسخه های دیگری وجود دارد، به ویژه نظر جایگزین که این قضیه در نمای کلیتوسط ریاضیدان فیثاغورثی هیپاسوس فرموله شد).
قضیه می گوید:

در یک مثلث قائم الزاویه، مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتانوس برابر است با مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پاها.

تعیین طول هیپوتنوز مثلث جو طول پاها مانند است آو بفرمول زیر را بدست می آوریم:

بنابراین، قضیه فیثاغورث رابطه ای برقرار می کند که به شما امکان می دهد ضلع یک مثلث قائم الزاویه را با دانستن طول دو مثلث دیگر تعیین کنید. قضیه فیثاغورث یک مورد خاص از قضیه کسینوس است که رابطه بین اضلاع یک مثلث دلخواه را تعیین می کند.
گزاره معکوس نیز ثابت شده است (که به آن معکوس قضیه فیثاغورث نیز گفته می شود):

برای هر سه عدد مثبت a، b و c به طوری که a ? + ب = c ?، یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a و b و هیپوتانوس c وجود دارد.

شواهد بصری برای مثلث (3، 4، 5) از کتاب "چو پی" 500-200 ق.م. تاریخچه قضیه را می توان به چهار بخش تقسیم کرد: دانش درباره اعداد فیثاغورثی، آگاهی از نسبت اضلاع در مثلث قائم الزاویه، آگاهی از نسبت زوایای مجاور و اثبات قضیه.
سازه های مگالیتیک در حدود 2500 سال قبل از میلاد. در مصر و شمال اروپا، شامل مثلث های قائم الزاویه با ضلع های عدد کامل است. بارتل لندرت ون در واردن این فرضیه را مطرح کرد که در آن زمان اعداد فیثاغورثی به صورت جبری یافت می شدند.
بین 2000 و 1876 قبل از میلاد نوشته شده است. پاپیروس از پادشاهی مصر میانه برلین 6619شامل مسئله ای است که راه حل آن اعداد فیثاغورثی است.
در زمان سلطنت حمورابی بزرگ، لوح بابلی پلمپتون 322،نوشته شده بین 1790 و 1750 قبل از میلاد شامل مدخل های زیادی است که نزدیک به اعداد فیثاغورثی هستند.
در سوتراهای بودایانا، که تاریخ آن از نسخه های مختلفقرن هشتم یا دوم قبل از میلاد در هند، شامل اعداد فیثاغورثی است که به صورت جبری مشتق شده اند، بیانیه ای از قضیه فیثاغورث و یک برهان هندسی برای یک مثلث قائم الزاویه متساوی الاضلاع.
Apastamba Sutras (حدود 600 سال قبل از میلاد) حاوی یک اثبات عددی قضیه فیثاغورث با استفاده از محاسبات مساحت است. Van der Waerden معتقد است که بر اساس سنت های پیشینیان خود ساخته شده است. به گفته آلبرت بورکو، این اثبات اصلی قضیه است و او پیشنهاد می کند که فیثاغورث از آراکون بازدید کرده و آن را کپی کرده است.
فیثاغورث که سالهای زندگی او معمولاً 569 - 475 قبل از میلاد ذکر شده است. استفاده می کند روش های جبریمحاسبه اعداد فیثاغورثی بر اساس توضیحات پروکلوف در مورد اقلیدس. پروکلوس اما بین سالهای 410 تا 485 پس از میلاد می زیست. به گفته توماس گیز، تا پنج قرن پس از فیثاغورس هیچ نشانه ای از تألیف این قضیه وجود ندارد. با این حال، هنگامی که نویسندگانی مانند پلوتارک یا سیسرو قضیه را به فیثاغورث نسبت می‌دهند، این کار را به گونه‌ای انجام می‌دهند که گویی این نویسنده کاملاً شناخته شده و قطعی است.
در حدود 400 ق.م به گفته پروکلوس، افلاطون روشی برای محاسبه اعداد فیثاغورثی ارائه کرد که جبر و هندسه را با هم ترکیب می کرد. در حدود 300 سال قبل از میلاد در آغازهااقلیدس ما قدیمی ترین برهان بدیهی را داریم که تا به امروز باقی مانده است.
بین 500 سال قبل از میلاد نوشته شده است. و 200 سال قبل از میلاد، کتاب ریاضی چینی "چو پی" (? ? ? ?)، یک اثبات بصری از قضیه فیثاغورث، به نام قضیه گوگو (????) در چین، برای مثلث با اضلاع (3، 4) ارائه می دهد. ، 5). در زمان سلسله هان، از 202 ق.م. تا 220 بعد از میلاد اعداد فیثاغورثی در کتاب "نه شاخه از هنر ریاضی" به همراه ذکر مثلث های قائم الزاویه آمده است.
اولین استفاده ثبت شده از این قضیه در چین بود که به قضیه گوگو (????) معروف است و در هند که به قضیه باسکار معروف است.
این که آیا قضیه فیثاغورث یک بار یا مکرر کشف شده است به طور گسترده مورد بحث قرار گرفته است. بویر (1991) معتقد است که دانش یافت شده در شولبا سوترا ممکن است منشأ بین النهرینی داشته باشد.
برهان جبری
مربع ها از چهار مثلث قائم الزاویه تشکیل شده اند. بیش از صد دلیل برای قضیه فیثاغورث شناخته شده است. در اینجا یک اثبات مبتنی بر قضیه وجود مساحت یک شکل است:

بیایید چهار مثلث قائم الزاویه یکسان را همانطور که در شکل نشان داده شده است قرار دهیم.
چهار گوش با اضلاع جیک مربع است، زیرا مجموع دو است گوشه های تیز، و زاویه چرخش است.
مساحت کل شکل از یک طرف با مساحت مربع با ضلع "a + b" و از طرف دیگر با مجموع مساحت چهار مثلث و مربع داخلی برابر است. .

چیزی که نیاز به اثبات دارد.
با تشابه مثلث ها
استفاده از مثلث های مشابه اجازه دهید ABC- یک مثلث قائم الزاویه که در آن زاویه سیصاف همانطور که در تصویر نشان داده شده است. بیایید ارتفاع را از نقطه رسم کنیم جو بیا زنگ بزنیم اچنقطه تقاطع با طرف ABیک مثلث تشکیل می شود ACHشبیه مثلث ABC،زیرا هر دو مستطیل شکل هستند (با تعریف ارتفاع) و دارای زاویه مشترک هستند آ،بدیهی است که زاویه سوم در این مثلث ها نیز یکسان خواهد بود. شبیه صلح، مثلث CBHهمچنین شبیه یک مثلث است ABC.با تشابه مثلث ها: اگر

این را می توان به صورت نوشتاری

اگر این دو برابر را جمع کنیم به دست می آید

HB + c برابر AH = C بار (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

به عبارت دیگر، قضیه فیثاغورث:

برهان اقلیدس
اثبات اقلیدس در «عناصر» اقلیدسی، قضیه فیثاغورث با روش متوازی الاضلاع اثبات می شود. اجازه دهید الف، ب، جرئوس مثلث قائم الزاویه با زاویه قائمه آ.بیایید یک عمود را از نقطه رها کنیم آبه سمت مقابل هیپوتنوز در مربعی که روی هیپوتنوز ساخته شده است. این خط، مربع را به دو مستطیل تقسیم می‌کند که مساحت هر کدام به اندازه مربع‌های ساخته شده در طرفین است. ایده اصلیدر اثبات این است که مربع های بالایی به متوازی الاضلاع همان ناحیه تبدیل می شوند و سپس برمی گردند و در مربع پایین و دوباره با همان مساحت به مستطیل تبدیل می شوند.

بیایید بخش ها را ترسیم کنیم CFو آگهی.مثلث می گیریم BCFو B.D.A.
زاویه تاکسیو کیسه- سر راست؛ به ترتیب امتیاز C، Aو جی- خطی همچنین ب، الفو اچ.
زاویه CBDو FBA- هر دو خط مستقیم هستند، سپس زاویه ABDبرابر با زاویه FBC،زیرا هر دو مجموع یک زاویه و یک زاویه هستند ABC.
مثلث ABDو FBCسطح در دو طرف و زاویه بین آنها.
از آنجایی که نقاط الف، کو L- خطی، مساحت مستطیل BDLK برابر با دو ناحیه مثلث است. ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
به همین ترتیب، به دست می آوریم CKLE = ACIH = AC 2
در یک طرف منطقه CBDEبرابر مجموع مساحت مستطیل ها BDLKو CKLE،و از طرف دیگر مساحت میدان قبل از میلاد 2،یا AB 2 + AC 2 = قبل از میلاد 2.

استفاده از دیفرانسیل
استفاده از دیفرانسیل قضیه فیثاغورث را می توان با مطالعه چگونگی تأثیر افزایش ضلع بر اندازه هیپوتنوس همانطور که در شکل سمت راست نشان داده شده است و اعمال کمی محاسبه به دست آورد.
در نتیجه افزایش سمت آ،مثلث های مشابه برای افزایش بی نهایت کوچک

یکپارچه سازی می کنیم

اگر آ= 0 سپس ج = ببنابراین "ثابت" است ب 2.سپس

همانطور که مشاهده می شود، مربع ها به دلیل تناسب بین افزایش ها و اضلاع هستند، در حالی که مجموع حاصل سهم مستقل افزایش اضلاع است که از شواهد هندسی مشخص نیست. در این معادلات داو دی سی- افزایش متناظر بی نهایت کوچک اضلاع آو ج.اما در عوض از چه چیزی استفاده می کنیم؟ آو جآنگاه حد نسبت اگر به صفر تمایل داشته باشند است دا / دی سی،مشتق، و همچنین برابر است با ج / آ،نسبت طول اضلاع مثلث ها، در نتیجه یک معادله دیفرانسیل به دست می آوریم.
در مورد یک سیستم متعامد از بردارها، تساوی برقرار است که به آن قضیه فیثاغورث نیز گفته می شود:

اگر - اینها پیش بینی های بردار بر روی محورهای مختصات هستند، پس این فرمول با فاصله اقلیدسی منطبق است و به این معنی است که طول بردار برابر است با جذر مجموع مجذورات اجزای آن.
مشابه این برابری در مورد سیستم بی نهایتبردارها برابری پارسوال نامیده می شود.

پتانسیل خلاقیت معمولاً به علوم انسانی نسبت داده می شود و علوم طبیعی را به تحلیل، رویکرد عملی و زبان خشک فرمول ها و اعداد واگذار می کنند. ریاضیات را نمی توان جزو رشته های علوم انسانی طبقه بندی کرد. اما بدون خلاقیت شما در "ملکه همه علوم" راه دوری نخواهید رفت - مردم مدتهاست که این را می دانند. مثلاً از زمان فیثاغورث.

متأسفانه کتاب‌های درسی مدرسه معمولاً توضیح نمی‌دهند که در ریاضیات نه تنها قضایای، بدیهیات و فرمول‌ها مهم است. درک و احساس اصول اساسی آن مهم است. و در عین حال، سعی کنید ذهن خود را از کلیشه ها و حقایق ابتدایی رها کنید - فقط در چنین شرایطی همه اکتشافات بزرگ متولد می شوند.

چنین اکتشافاتی شامل چیزی است که امروزه به عنوان قضیه فیثاغورث می شناسیم. با کمک آن، ما سعی خواهیم کرد نشان دهیم که ریاضیات نه تنها می تواند، بلکه باید هیجان انگیز باشد. و اینکه این ماجراجویی نه تنها برای افراد با عینک ضخیم، بلکه برای همه افرادی که از نظر ذهنی قوی و از نظر روحی قوی هستند مناسب است.

از تاریخچه موضوع

به بیان دقیق، اگرچه این قضیه "قضیه فیثاغورث" نامیده می شود، خود فیثاغورث آن را کشف نکرد. مثلث قائم الزاویه و خواص ویژه آن مدت ها قبل از آن مورد مطالعه قرار گرفته بود. در این مورد دو دیدگاه قطبی وجود دارد. طبق یک نسخه، فیثاغورث اولین کسی بود که اثبات کامل قضیه را یافت. به گفته دیگری، اثبات متعلق به نویسنده فیثاغورث نیست.

امروز دیگر نمی توانید بررسی کنید که چه کسی درست می گوید و چه کسی اشتباه می کند. آنچه معلوم است این است که اثبات فیثاغورث، اگر زمانی وجود داشته باشد، باقی نمانده است. با این حال، پیشنهاداتی وجود دارد مبنی بر اینکه اثبات معروف از عناصر اقلیدس ممکن است متعلق به فیثاغورس باشد و اقلیدس فقط آن را ثبت کرده است.

امروزه نیز شناخته شده است که مشکلات مربوط به مثلث قائم الزاویه در منابع مصری از زمان فرعون آمنهت اول، بر روی لوح های گلی بابلی از سلطنت شاه حمورابی، در رساله هند باستان "Sulva Sutra" و اثر چینی باستانی یافت می شود. ژو بی سوان جین».

همانطور که می بینید، قضیه فیثاغورث از زمان های قدیم ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده است. این را حدود 367 مدرک مختلف که امروزه وجود دارد تأیید می کند. در این، هیچ قضیه دیگری نمی تواند با آن رقابت کند. از جمله نویسندگان مشهور برهان می توان لئوناردو داوینچی و جیمز گارفیلد بیستمین رئیس جمهور ایالات متحده را به یاد آورد. همه اینها حاکی از اهمیت فوق العاده این قضیه برای ریاضیات است: بیشتر قضایای هندسه از آن مشتق شده اند یا به نوعی با آن مرتبط هستند.

اثبات قضیه فیثاغورث

که در کتاب های درسی مدرسهآنها عمدتاً برهان جبری می دهند. اما ماهیت قضیه در هندسه است، پس بیایید ابتدا آن دسته از براهین قضیه معروف را که مبتنی بر این علم هستند، بررسی کنیم.

شواهد 1

برای ساده ترین اثبات قضیه فیثاغورث برای مثلث قائم الزاویه، باید تنظیم کنید شرایط ایده آل: اجازه دهید مثلث نه تنها مستطیل، بلکه متساوی الساقین نیز باشد. دلیلی وجود دارد که باور کنیم دقیقاً این نوع مثلث بود که در ابتدا ریاضیدانان باستان در نظر گرفتند.

بیانیه "مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاهای آن"را می توان با نقاشی زیر نشان داد:

به مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ABC نگاه کنید: بر روی هیپوتنوز AC می توانید مربعی متشکل از چهار مثلث برابر با ABC اصلی بسازید. و در اضلاع AB و BC مربعی ساخته شده که هر کدام شامل دو مثلث مشابه است.

به هر حال، این نقاشی اساس جوک ها و کارتون های متعددی را تشکیل داد که به قضیه فیثاغورث اختصاص داده شده است. معروف ترین احتمالاً "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است":

شواهد 2

این روش جبر و هندسه را با هم ترکیب می‌کند و می‌توان آن را گونه‌ای از اثبات هندی باستانی ریاضیدان بهاسکاری در نظر گرفت.

یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع بسازید الف، ب و ج(عکس. 1). سپس دو مربع با اضلاع برابر با مجموع طول دو پایه بسازید - (a+b). در هر یک از مربع ها، ساختارهایی مانند شکل های 2 و 3 ایجاد کنید.

در مربع اول، چهار مثلث مشابه شکل 1 بسازید. نتیجه دو مربع است: یکی با ضلع a، دومی با ضلع. ب.

در مربع دوم، چهار مثلث مشابه ساخته شده مربعی با ضلع برابر با هیپوتانوس تشکیل می دهند ج.

مجموع مساحت مربع های ساخته شده در شکل 2 برابر است با مساحت مربعی که در شکل 3 با ضلع c ساخته ایم. این را می توان به راحتی با محاسبه مساحت مربع ها در شکل بررسی کرد. 2 طبق فرمول و مساحت مربع محاط در شکل 3. با کم کردن مساحت چهار مثلث قائم الزاویه مساوی که در مربع حک شده اند از مساحت یک مربع بزرگ با یک ضلع. (a+b).

با نوشتن همه اینها، داریم: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. پرانتزها را باز کنید، تمام محاسبات جبری لازم را انجام دهید و آن را بدست آورید a 2 + b 2 = a 2 + b 2. در این مورد، ناحیه حک شده در شکل 3. مربع را نیز می توان با استفاده از فرمول سنتی محاسبه کرد S=c 2. آن ها a 2 + b 2 = c 2- شما قضیه فیثاغورث را اثبات کرده اید.

شواهد 3

خود اثبات هندی باستان در قرن دوازدهم در رساله «تاج دانش» («سیدانتا شیرومانی») توضیح داده شد و نویسنده به عنوان استدلال اصلی از توسلی خطاب به استعدادهای ریاضی و مهارت های مشاهده دانش آموزان و پیروان استفاده می کند: نگاه کن!»

اما ما این اثبات را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

در داخل مربع، چهار مثلث قائم الزاویه همانطور که در نقاشی نشان داده شده است بسازید. اجازه دهید ضلع مربع بزرگ را که به عنوان هیپوتانوس نیز شناخته می شود، نشان دهیم. با. پاهای مثلث را صدا کنیم آو ب. طبق نقشه، ضلع مربع داخلی است (الف-ب).

از فرمول مساحت مربع استفاده کنید S=c 2برای محاسبه مساحت مربع بیرونی و در همان زمان با جمع مساحت مربع داخلی و مساحت هر چهار مثلث قائم الزاویه، همان مقدار را محاسبه کنید: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

می توانید از هر دو گزینه برای محاسبه مساحت مربع استفاده کنید تا مطمئن شوید که نتیجه یکسانی دارند. و این به شما این حق را می دهد که آن را بنویسید c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. در نتیجه حل، فرمول قضیه فیثاغورث را دریافت خواهید کرد c 2 =a 2 +b 2. قضیه ثابت شده است.

اثبات 4

این اثبات کنجکاو چینی باستانی "صندلی عروس" نامیده شد - به دلیل شکل صندلی مانندی که از تمام ساختارها حاصل می شود:

از نقشه‌ای استفاده می‌کند که قبلاً در شکل 3 در اثبات دوم دیده‌ایم. و مربع داخلی با ضلع c به همان روشی ساخته شده است که در برهان هندی باستانی ارائه شده در بالا.

اگر به صورت ذهنی دو مثلث مستطیلی سبز را از نقاشی شکل 1 جدا کنید، آنها را با ضلع c به اضلاع مخالف مربع ببرید و هیپوتنوس ها را به هیپوتنوس مثلث های یاسی بچسبانید، شکلی به نام "صندلی عروس" دریافت خواهید کرد. (شکل 2). برای وضوح، می توانید همین کار را با مربع ها و مثلث های کاغذی انجام دهید. شما مطمئن خواهید شد که "صندلی عروس" از دو مربع تشکیل شده است: مربع های کوچک با یک طرف. بو بزرگ با یک طرف آ.

این ساخت و سازها به ریاضیدانان چینی باستان و ما با پیروی از آنها اجازه داد تا به این نتیجه برسیم c 2 =a 2 +b 2.

شواهد 5

این روش دیگری برای یافتن راه حلی برای قضیه فیثاغورث با استفاده از هندسه است. به این روش گارفیلد می گویند.

یک مثلث قائم الزاویه بسازید ABC. ما باید این را ثابت کنیم BC 2 = AC 2 + AB 2.

برای این کار، پا را ادامه دهید ACو یک قطعه بسازید سی دی، که برابر با ساق پا است AB. عمود را پایین بیاورید آگهیبخش خط ED. بخش ها EDو ACبرابر هستند. نقطه ها را به هم وصل کنید Eو که در، و Eو باو یک نقاشی مانند تصویر زیر دریافت کنید:

برای اثبات برج، دوباره به روشی که قبلاً امتحان کرده ایم متوسل می شویم: مساحت شکل حاصل را از دو طریق پیدا می کنیم و عبارات را با یکدیگر برابر می کنیم.

مساحت چند ضلعی را پیدا کنید تختخوابرا می توان با جمع مساحت های سه مثلثی که آن را تشکیل می دهند انجام داد. و یکی از آنها، ERU، نه تنها مستطیل، بلکه متساوی الساقین نیز می باشد. این را نیز فراموش نکنیم AB=CD, AC=EDو BC=SE- این به ما امکان می دهد ضبط را ساده کنیم و آن را بیش از حد بارگذاری نکنیم. بنابراین، S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

در عین حال بدیهی است که تختخواب- این ذوزنقه است. بنابراین، مساحت آن را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. برای محاسبات ما، نمایش بخش راحت تر و واضح تر است آگهیبه عنوان مجموع بخش ها ACو سی دی.

بیایید هر دو روش را برای محاسبه مساحت یک شکل بنویسیم و علامت مساوی بین آنها قرار دهیم: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ما از برابری بخش هایی که قبلاً برای ما شناخته شده و در بالا توضیح داده شده است برای ساده کردن استفاده می کنیم سمت راستورودی های: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم و برابری را تغییر دهیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. پس از تکمیل تمام تحولات، دقیقاً آنچه را که نیاز داریم دریافت می کنیم: BC 2 = AC 2 + AB 2. ما قضیه را ثابت کردیم.

البته این فهرست شواهد هنوز کامل نیست. قضیه فیثاغورث را می توان با استفاده از بردارها نیز اثبات کرد. اعداد مختلط, معادلات دیفرانسیل، استریومتری و غیره و حتی فیزیکدانان: برای مثال، اگر مایع در حجم های مربع و مثلثی مشابه آنچه در نقشه ها نشان داده شده است ریخته شود. با ریختن مایع می توانید برابری مساحت ها و در نتیجه خود قضیه را ثابت کنید.

چند کلمه در مورد سه قلوهای فیثاغورثی

این موضوع در برنامه درسی مدرسه کم یا اصلاً مطالعه نشده است. در ضمن خیلی جالبه و داره پراهمیتدر هندسه سه گانه فیثاغورثی برای حل بسیاری از موارد استفاده می شود مسائل ریاضی. درک آنها ممکن است در ادامه تحصیل برای شما مفید باشد.

پس سه قلوهای فیثاغورثی چیست؟ این چیزی است که به آن می گویند اعداد صحیح، سه تایی جمع آوری شده که مجموع مربع های دو تای آن ها برابر با عدد سوم مربع است.

سه گانه فیثاغورثی می تواند به شرح زیر باشد:

• ابتدایی (هر سه عدد نسبتا اول هستند)؛
• نه ابتدایی (اگر هر عدد از یک سه گانه در همان عدد ضرب شود، یک سه گانه جدید به دست می آورید که ابتدایی نیست).

حتی قبل از دوران ما، مصریان باستان مجذوب شیدایی تعداد سه قلوهای فیثاغورثی بودند: در مسائل آنها مثلثی قائم الزاویه با اضلاع 3، 4 و 5 واحد را در نظر می گرفتند. به هر حال، هر مثلثی که اضلاع آن برابر با اعداد سه گانه فیثاغورثی باشد به طور پیش فرض مستطیل شکل است.

نمونه هایی از سه قلوهای فیثاغورثی: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20)، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 30، 34) ، (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، ( 14، 48، 50)، (30، 40، 50)، و غیره.

کاربرد عملی قضیه

قضیه فیثاغورث نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری و ساخت و ساز، نجوم و حتی ادبیات نیز کاربرد دارد.

اول در مورد ساخت: قضیه فیثاغورث به طور گسترده در مسائل استفاده می شود سطوح مختلفمشکلات به عنوان مثال، به یک پنجره رومی نگاه کنید:

اجازه دهید عرض پنجره را به صورت علامت گذاری کنیم ب، سپس شعاع نیم دایره اصلی را می توان به عنوان نشان داد آرو از طریق بیان کنید b: R=b/2. شعاع نیم دایره های کوچکتر را نیز می توان از طریق بیان کرد b: r=b/4. در این مشکل ما به شعاع دایره داخلی پنجره علاقه داریم (بیایید آن را بنامیم پ).

قضیه فیثاغورث فقط برای محاسبه مفید است آر. برای این کار از مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم که در شکل با خط نقطه چین مشخص شده است. هیپوتنوز مثلث از دو شعاع تشکیل شده است: b/4+p. یک پا نشان دهنده شعاع است b/4، یکی دیگر b/2-p. با استفاده از قضیه فیثاغورث می نویسیم: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. بعد، براکت ها را باز می کنیم و می گیریم b 2 / 16 + bp / 2 + p 2 = b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp + p 2. بیایید این عبارت را به bp/2=b 2/4-bp. و سپس همه اصطلاحات را بر تقسیم می کنیم ب، موارد مشابه را برای به دست آوردن ارائه می دهیم 3/2*p=b/4. و در پایان متوجه می شویم p=b/6- همان چیزی است که ما نیاز داشتیم.

با استفاده از قضیه می توانید طول تیرهای سقف شیروانی را محاسبه کنید. تعیین کنید که ارتفاع یک برج تلفن همراه چقدر است تا سیگنال به یک سیگنال خاص برسد توافق. و حتی به طور پیوسته نصب کنید درخت کریسمسدر میدان شهر همانطور که می بینید، این قضیه نه تنها در صفحات کتاب های درسی زندگی می کند، بلکه اغلب در زندگی واقعی نیز مفید است.

در ادبیات، قضیه فیثاغورث از دوران باستان الهام بخش نویسندگان بوده و در زمان ما نیز ادامه دارد. مثلا، نویسنده آلمانیاین الهام بخش قرن نوزدهم آدلبر فون چامیسو برای نوشتن غزل شد:

نور حقیقت به زودی از بین نمی رود،
اما، با درخشش، بعید است که از بین برود
و مانند هزاران سال پیش،
باعث شک و اختلاف نخواهد شد.

عاقلانه ترین وقتی که نگاهت را لمس کند
نور حقیقت، خدایان را شکر.
و صد گاو نر ذبح شده دروغ می گویند -
هدیه برگشتی از فیثاغورث خوش شانس.

از آن زمان گاو نر ناامیدانه غرش می کند:
برای همیشه قبیله گاو نر را نگران کرد
رویداد در اینجا ذکر شده است.

به نظر آنها زمان نزدیک است،
و دوباره قربانی خواهند شد
چند قضیه عالی

(ترجمه ویکتور توپوروف)

و در قرن بیستم، نویسنده شوروی اوگنی ولتیستوف، در کتاب خود "ماجراهای الکترونیک"، یک فصل کامل را به اثبات قضیه فیثاغورث اختصاص داد. و نیم فصل دیگر به داستان در مورد جهان دو بعدی که اگر قضیه فیثاغورث به قانون اساسی و حتی دین یک جهان تبدیل شود، می تواند وجود داشته باشد. زندگی در آنجا بسیار ساده تر، اما بسیار خسته کننده تر خواهد بود: برای مثال، هیچ کس در آنجا معنای کلمات "گرد" و "کرکی" را نمی فهمد.

و در کتاب "ماجراهای الکترونیک" نویسنده از زبان معلم ریاضیات تارتار می گوید: "مهمترین چیز در ریاضیات حرکت فکر و ایده های جدید است." دقیقاً همین پرواز خلاقانه فکر است که قضیه فیثاغورث را به وجود می آورد - بی جهت نیست که این همه شواهد متنوع دارد. این به شما کمک می کند از مرزهای آشنا فراتر بروید و به چیزهای آشنا به روشی جدید نگاه کنید.

نتیجه

این مقاله برای کمک به شما طراحی شده است که به فراتر از آن نگاه کنید برنامه آموزشی مدرسهدر ریاضیات و نه تنها آن دسته از اثبات های قضیه فیثاغورث را که در کتاب های درسی "هندسه 7-9" (L.S. Atanasyan، V.N. Rudenko) و "هندسه 7-11" (A.V. Pogorelov) آورده شده است، بلکه روش های جالب دیگر برای اثبات را بیاموزید. قضیه معروف و همچنین نمونه هایی از نحوه اعمال قضیه فیثاغورث را در زندگی روزمره ببینید.

اولا، این اطلاعات به شما این امکان را می دهد که برای نمرات بالاتر در درس ریاضیات واجد شرایط شوید - اطلاعات در مورد موضوع از منابع اضافی همیشه بسیار مورد استقبال قرار می گیرد.

ثانیاً، ما می‌خواستیم به شما کمک کنیم تا درک درستی از ریاضیات داشته باشید علم جالب. با مثال های خاص تأیید کنید که همیشه جایی برای خلاقیت وجود دارد. امیدواریم قضیه فیثاغورث و این مقاله شما را به کاوش مستقل و اکتشافات هیجان انگیز در ریاضیات و سایر علوم ترغیب کند.

اگر شواهد ارائه شده در مقاله را جالب دیدید، در نظرات به ما بگویید. آیا این اطلاعات را در مطالعات خود مفید دیدید؟ نظر خود را در مورد قضیه فیثاغورث و این مقاله برای ما بنویسید - ما خوشحال خواهیم شد که همه اینها را با شما در میان بگذاریم.

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.