معادلات دیفرانسیل برای نمونه های ساختگی. معادلات دیفرانسیل آنلاین

حل معادلات دیفرانسیل. با تشکر از ما سرویس آنلاینشما می توانید معادلات دیفرانسیل از هر نوع و پیچیدگی را حل کنید: ناهمگن، همگن، غیر خطی، خطی، مرتبه اول، مرتبه دوم، با یا بدون متغیرهای قابل تفکیک و غیره. حل معادلات دیفرانسیل را به صورت تحلیلی با توصیف همراه با جزئیات. بسیاری علاقه مند به این هستند: چرا حل معادلات دیفرانسیل به صورت آنلاین ضروری است؟ این نوع معادلات در ریاضیات و فیزیک بسیار رایج است که حل بسیاری از مسائل بدون محاسبه معادله دیفرانسیل غیرممکن خواهد بود. همچنین معادلات دیفرانسیل در اقتصاد، پزشکی، زیست شناسی، شیمی و سایر علوم رایج است. حل چنین معادله ای به صورت آنلاین وظایف شما را بسیار آسان می کند، درک بهتر مطالب و آزمایش خود را امکان پذیر می کند. مزایای حل معادلات دیفرانسیل آنلاین یک سایت خدمات ریاضی مدرن به شما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل را با هر پیچیدگی به صورت آنلاین حل کنید. همانطور که می دانید تعداد زیادی از انواع معادلات دیفرانسیل وجود دارد که هر کدام راه حل های خاص خود را دارند. در سرویس ما می توانید حل معادلات دیفرانسیل از هر ترتیب و نوع را به صورت آنلاین پیدا کنید. برای به دست آوردن راه حل، پیشنهاد می کنیم که داده های اولیه را پر کرده و روی دکمه "راه حل" کلیک کنید. خطاها در عملکرد سرویس مستثنی هستند، بنابراین می توانید 100٪ مطمئن باشید که پاسخ صحیح را دریافت کرده اید. معادلات دیفرانسیل را با سرویس ما حل کنید. معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. به طور پیش فرض، در چنین معادله ای، تابع y تابعی از متغیر x است. اما شما همچنین می توانید تعیین متغیر خود را تعیین کنید. به عنوان مثال، اگر y(t) را در یک معادله دیفرانسیل مشخص کنید، سرویس ما به طور خودکار تعیین می کند که y تابعی از متغیر t است. ترتیب کل معادله دیفرانسیل به ترتیب حداکثر مشتق تابع موجود در معادله بستگی دارد. حل چنین معادله ای به معنای یافتن تابع مورد نظر است. خدمات ما به شما کمک می کند معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. برای حل معادله تلاش زیادی از طرف شما لازم نیست. کافی است قسمت های چپ و راست معادله خود را در فیلدهای مورد نیاز وارد کرده و روی دکمه "Solution" کلیک کنید. هنگام وارد کردن مشتق یک تابع، لازم است آن را با آپوستروف نشان دهیم. در عرض چند ثانیه خواهید داشت راه حل دقیقمعادله دیفرانسیل. خدمات ما کاملا رایگان است. معادلات دیفرانسیلبا متغیرهای مشترک اگر در یک معادله دیفرانسیل در سمت چپ عبارتی وجود داشته باشد که به y بستگی دارد و در سمت راست عبارتی وجود داشته باشد که به x بستگی دارد، آنگاه چنین معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک فراخوانی می شود. در سمت چپ می توان یک مشتق از y وجود داشته باشد، حل معادلات دیفرانسیل از این نوع به صورت تابعی از y خواهد بود که از طریق انتگرال سمت راست معادله بیان می شود. اگر یک دیفرانسیل تابع y در سمت چپ وجود داشته باشد، هر دو بخش معادله یکپارچه می شوند. هنگامی که متغیرهای یک معادله دیفرانسیل از هم جدا نیستند، برای به دست آوردن یک معادله دیفرانسیل جدا، باید تقسیم شوند. معادله دیفرانسیل خطی. معادله دیفرانسیل خطی نامیده می شود که تابع و تمام مشتقات آن در درجه اول باشند. فرم کلیمعادلات: y'+a1(x)y=f(x). f(x) و a1(x) هستند توابع پیوستهاز x. حل معادلات دیفرانسیل از این نوع به ادغام دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا کاهش می یابد. ترتیب معادله دیفرانسیل. معادله دیفرانسیل می تواند از مرتبه اول، دوم، n ام باشد. ترتیب یک معادله دیفرانسیل، ترتیب بالاترین مشتق موجود در آن را تعیین می کند. در سرویس ما می توانید معادلات دیفرانسیل را حل کنید ابتدا آنلاین، دوم، سوم و غیره سفارش. جواب معادله هر تابع y=f(x) خواهد بود که با جایگزینی آن در معادله، یک هویت بدست می آورید. فرآیند یافتن جواب معادله دیفرانسیل را انتگرال می گویند. مشکل کوشی اگر علاوه بر خود معادله دیفرانسیل، شرط اولیه y(x0)=y0 نیز مشخص شود، به این مسئله کوشی می گویند. شاخص‌های y0 و x0 به حل معادله اضافه می‌شوند و مقدار ثابت دلخواه C تعیین می‌شود و سپس یک راه‌حل خاص از معادله برای این مقدار C. این حل مسئله کوشی است. به مسئله کوشی، مسئله شرایط مرزی نیز گفته می شود که در فیزیک و مکانیک بسیار رایج است. شما همچنین این فرصت را دارید که مسئله کوشی را تنظیم کنید، یعنی از بین تمام راه حل های ممکن برای معادله، راه حل خاصی را انتخاب کنید که شرایط اولیه داده شده را داشته باشد.

معادله دیفرانسیل (DE) معادله است،
در جایی که متغیرهای مستقل هستند، y یک تابع است و مشتقات جزئی هستند.

معادله دیفرانسیل معمولی یک معادله دیفرانسیل است که فقط یک متغیر مستقل دارد، .

معادله دیفرانسیل جزئی یک معادله دیفرانسیل است که دارای دو یا چند متغیر مستقل است.

اگر مشخص باشد که کدام معادله در نظر گرفته شده است، می‌توان کلمات «معمولی» و «مشتقات جزئی» را حذف کرد. در ادامه معادلات دیفرانسیل معمولی در نظر گرفته شده است.

ترتیب معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاترین مشتق است.

در اینجا یک مثال از یک معادله مرتبه اول آورده شده است:

در اینجا یک مثال از یک معادله مرتبه چهارم آورده شده است:

گاهی اوقات یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول بر حسب دیفرانسیل نوشته می شود:

در این حالت متغیرهای x و y برابر هستند. یعنی متغیر مستقل می تواند x یا y باشد. در حالت اول، y تابعی از x است. در حالت دوم، x تابعی از y است. در صورت لزوم، می‌توانیم این معادله را به شکلی برسانیم که مشتق y به صراحت وارد شود.
با تقسیم این معادله بر dx به دست می آید:
.
از آنجا که و ، به دنبال آن است
.

حل معادلات دیفرانسیل

مشتقات توابع ابتدایی بر حسب توابع ابتدایی بیان می شوند. انتگرال توابع ابتدایی اغلب بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند. با معادلات دیفرانسیل، وضعیت از این هم بدتر است. در نتیجه راه حل، می توانید دریافت کنید:

• وابستگی صریح یک تابع به یک متغیر؛

  حل معادله دیفرانسیل تابع y = u است (ایکس)، که تعریف شده است، n بار متمایز پذیر است و .

• وابستگی ضمنی به شکل معادله ای از نوع Φ (x، y) = 0یا سیستم معادلات؛

  انتگرال معادله دیفرانسیل راه حل یک معادله دیفرانسیل است که شکل ضمنی دارد.

• وابستگی که از طریق توابع ابتدایی و انتگرال های آنها بیان می شود.

  حل معادله دیفرانسیل در ربع - این یافتن راه حلی به شکل ترکیبی از توابع ابتدایی و انتگرال آنهاست.

• راه حل ممکن است بر حسب توابع ابتدایی بیان نشود.

از آنجایی که حل معادلات دیفرانسیل به محاسبه انتگرال کاهش می یابد، راه حل شامل مجموعه ای از ثابت های C 1 , C 2 , C 3 , ... C n است. تعداد ثابت ها برابر است با ترتیب معادله. انتگرال جزئی یک معادله دیفرانسیل انتگرال کلی برای مقادیر داده شده ثابت های C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n است.

منابع:
V.V. استپانوف، دوره معادلات دیفرانسیل، LKI، 2015.
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، لان، 2003.

یا قبلاً با توجه به مشتق حل شده اند یا می توان آنها را با توجه به مشتق حل کرد .

تصمیم مشترک معادلات دیفرانسیلدر فاصله تایپ کنید ایکسرا می توان با گرفتن انتگرال هر دو طرف این برابری پیدا کرد.

گرفتن .

اگر به خواص انتگرال نامعین نگاه کنیم، جواب کلی مورد نظر را پیدا می کنیم:

y = F(x) + C,

جایی که F(x)- یکی از توابع ضد مشتق f(x)در بین ایکس، آ از جانبیک ثابت دلخواه است.

لطفاً توجه داشته باشید که در اکثر وظایف فاصله زمانی ایکسنشان نمی دهد. یعنی باید برای همه راه حلی پیدا کرد. ایکس، برای کدام و تابع مورد نظر y، و معادله اصلی معنا پیدا می کند.

اگر شما نیاز به محاسبه راه حل خاصی از یک معادله دیفرانسیل دارید که شرایط اولیه را برآورده می کند y(x0) = y0، سپس پس از محاسبه انتگرال عمومی y = F(x) + C، هنوز باید مقدار ثابت را تعیین کرد C=C0با استفاده از شرایط اولیه یعنی یک ثابت C=C0از معادله تعیین می شود F(x 0) + C = y 0و راه حل خاص مورد نظر معادله دیفرانسیل به شکل زیر خواهد بود:

y = F(x) + C0.

به یک مثال توجه کنید:

جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید، صحت نتیجه را بررسی کنید. بیایید یک راه حل خاص برای این معادله پیدا کنیم که شرط اولیه را برآورده کند.

راه حل:

پس از اینکه معادله دیفرانسیل داده شده را ادغام کردیم، بدست می آوریم:

.

ما این انتگرال را با روش ادغام با قطعات می گیریم:

که.، حل کلی معادله دیفرانسیل است.

بیایید بررسی کنیم تا مطمئن شویم نتیجه درست است. برای انجام این کار، جوابی را که پیدا کردیم در معادله داده شده جایگزین می کنیم:

.

یعنی در معادله اصلی به یک هویت تبدیل می شود:

بنابراین حل کلی معادله دیفرانسیل به درستی تعیین شد.

راه حلی که ما پیدا کردیم، جواب کلی معادله دیفرانسیل برای هر یک است معتبرمقادیر آرگومان ایکس.

باقی مانده است که یک راه حل خاص از ODE را محاسبه کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند. به عبارت دیگر، محاسبه مقدار ثابت ضروری است از جانب، که در آن برابری صادق خواهد بود:

.

.

سپس، جایگزینی C = 2در حل کلی ODE، یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل به دست می آوریم که شرط اولیه را برآورده می کند:

.

معادله دیفرانسیل معمولی با تقسیم 2 قسمت معادله بر مشتق قابل حل است f(x). این تبدیل معادل خواهد بود اگر f(x)برای هیچ کدام به صفر نمی رسد ایکساز فاصله ادغام معادله دیفرانسیل ایکس.

برای برخی از مقادیر استدلال، موقعیت‌هایی محتمل است ایکس ∈ ایکسکارکرد f(x)و g(x)همزمان به صفر تبدیل شود. برای مقادیر مشابه ایکسجواب کلی معادله دیفرانسیل هر تابعی است y، که در آنها تعریف شده است، زیرا .

اگر برای برخی از مقادیر آرگومان ایکس ∈ ایکسشرط برآورده است، به این معنی که در این مورد ODE هیچ راه حلی ندارد.

برای بقیه ایکساز فاصله ایکسحل کلی معادله دیفرانسیل از معادله تبدیل شده تعیین می شود.

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

مثال 1

اجازه دهید راه حل کلی ODE را پیدا کنیم: .

راه حل.

از خصوصیات توابع ابتدایی پایه مشخص است که تابع لگاریتم طبیعیبرای مقادیر آرگومان غیر منفی تعریف شده است، بنابراین دامنه عبارت log (x+3)یک فاصله وجود دارد ایکس > -3 . از این رو، معادله دیفرانسیل داده شده منطقی است ایکس > -3 . با این مقادیر آرگومان، عبارت x + 3ناپدید نمی شود، بنابراین می توان ODE را با توجه به مشتق با تقسیم 2 قسمت بر حل کرد. x + 3.

ما گرفتیم .

در مرحله بعد، معادله دیفرانسیل حاصل را با توجه به مشتق حل شده ادغام می کنیم: . برای گرفتن این انتگرال از روش زیرمجموعه کردن زیر علامت دیفرانسیل استفاده می کنیم.

6.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

هنگام حل مسائل مختلف ریاضی و فیزیک، زیست شناسی و پزشکی، اغلب نمی توان فوراً یک وابستگی عملکردی در قالب فرمول اتصال ایجاد کرد. متغیرهاکه فرآیند مورد مطالعه را توصیف می کند. معمولاً باید از معادلاتی استفاده کرد که علاوه بر متغیر مستقل و تابع مجهول، مشتقات آن نیز باشد.

تعریف.معادله ای که یک متغیر مستقل، یک تابع مجهول و مشتقات مرتبه های مختلف آن را مرتبط می کند نامیده می شود. دیفرانسیل.

تابع مجهول معمولاً نشان داده می شود y(x)یا به سادگی y،و مشتقات آن هستند y", y"و غیره.

نمادهای دیگر نیز ممکن است، به عنوان مثال: if y= x(t)، سپس x"(t)، x""(t)مشتقات آن هستند و تییک متغیر مستقل است.

تعریف.اگر تابع به یک متغیر بستگی داشته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود. فرم کلی معادله دیفرانسیل معمولی:

یا

کارکرد افو fممکن است حاوی برخی از آرگومان ها نباشد، اما برای اینکه معادلات دیفرانسیل باشند، وجود یک مشتق ضروری است.

تعریف.ترتیب معادله دیفرانسیلمرتبه بالاترین مشتق موجود در آن است.

مثلا، x 2 سال- y= 0، y" + گناه ایکس= 0 معادلات مرتبه اول هستند و y"+ 2 y"+ 5 y= ایکسیک معادله مرتبه دوم است.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل، از عملیات یکپارچه سازی استفاده می شود که با ظاهر یک ثابت دلخواه همراه است. اگر عمل ادغام اعمال شود nبار، پس بدیهی است که راه حل شامل خواهد شد nثابت های دلخواه

6.2. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

فرم کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اولبا عبارت تعریف می شود

معادله ممکن است به صراحت شامل نباشد ایکسو y،اما لزوماً حاوی y است».

اگر بتوان معادله را به صورت

سپس یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را با توجه به مشتق حل می کنیم.

تعریف.جواب کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول (6.3) (یا (6.4)) مجموعه ای از جواب ها است. ، جایی که از جانبیک ثابت دلخواه است.

نمودار حل معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال

دادن یک ثابت دلخواه از جانبمقادیر مختلف، می توان راه حل های خاصی را به دست آورد. روی سطح xOyراه حل کلی خانواده ای از منحنی های انتگرال مربوط به هر راه حل خاص است.

اگر نقطه ای تعیین کنید A(x0, y0)منحنی انتگرال باید از آن عبور کند، سپس، به عنوان یک قاعده، از مجموعه توابع می توان یکی را مشخص کرد - یک راه حل خاص.

تعریف.تصمیم خصوصییک معادله دیفرانسیل حل آن است که حاوی ثابت دلخواه نباشد.

اگر یک یک راه حل کلی است، سپس از شرایط

می توانید دائمی پیدا کنید از جانب.شرط نامیده می شود شرایط آغازین.

مسئله یافتن راه حل خاصی از یک معادله دیفرانسیل (6.3) یا (6.4) که شرایط اولیه را برآورده کند. در تماس گرفت مشکل کوشیآیا این مشکل همیشه راه حلی دارد؟ پاسخ در قضیه زیر آمده است.

قضیه کوشی(قضیه وجود و یکتایی حل). معادله دیفرانسیل را بگذارید y"= f (x، y)عملکرد f (x، y)و او

مشتق جزئی در برخی تعریف شده و مستمر است

مناطق د،حاوی یک نقطه سپس در منطقه Dوجود دارد

تنها تصمیممعادله ای که شرط اولیه را برآورده می کند در

قضیه کوشی بیان می کند که تحت شرایط خاص یک منحنی انتگرال منحصر به فرد وجود دارد y= f(x)عبور از یک نقطه نقاطی که شرایط قضیه برقرار نیست

گربه ها نامیده می شوند خاصدر این نقاط می شکند f(x، y) یا.

یا چندین منحنی انتگرال از یک نقطه منفرد عبور می کنند یا هیچ کدام.

تعریف.اگر راه حل (6.3)، (6.4) در شکل یافت شود f(x, y, ج)= 0 با توجه به y مجاز نیست، سپس فراخوانی می شود انتگرال مشترکمعادله دیفرانسیل.

قضیه کوشی فقط وجود راه حل را تضمین می کند. از آنجایی که هیچ روش واحدی برای یافتن راه حل وجود ندارد، ما فقط برخی از انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر خواهیم گرفت که قابل انتگرال گیری هستند. مربع ها

تعریف.معادله دیفرانسیل نامیده می شود قابل ادغام در مربعات،اگر جستجوی راه حل آن به ادغام توابع کاهش یابد.

6.2.1. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله با نامیده می شود متغیرهای قابل تفکیک،

سمت راست معادله (6.5) حاصل ضرب دو تابع است که هر کدام تنها به یک متغیر بستگی دارد.

مثلا معادله معادله ای با جداسازی است

گذراندن متغیرها
و معادله

نمی توان در فرم (6.5) نشان داد.

با توجه به اینکه ، (6.5) را بازنویسی می کنیم

از این معادله یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم که در آن دیفرانسیل ها شامل توابعی هستند که فقط به متغیر مربوطه بستگی دارند:

ادغام ترم به ترم، داریم

جایی که C= C 2 - C 1 یک ثابت دلخواه است. عبارت (6.6) انتگرال کلی معادله (6.5) است.

با تقسیم هر دو بخش معادله (6.5) بر، می توانیم آن دسته از راه حل هایی را که برای آنها، در واقع، اگر در

سپس بدیهی است که حل معادله (6.5) است.

مثال 1راه حلی برای معادله راضی کننده پیدا کنید

وضعیت: y= 6 ساعت ایکس= 2 (y(2) = 6).

راه حل.جایگزین کنیم در"برای آن زمان . هر دو طرف را در ضرب کنید

dx،از آنجایی که در ادغام بیشتر ترک آن غیرممکن است dxدر مخرج:

و سپس هر دو قسمت را تقسیم بر معادله را می گیریم،

که می تواند یکپارچه شود. ما ادغام می کنیم:

سپس ; با تقویت، y = C را دریافت می کنیم. (x + 1) - ob-

راه حل.

بر اساس داده های اولیه، یک ثابت دلخواه را با جایگزین کردن آنها در راه حل کلی تعیین می کنیم

بالاخره می رسیم y= 2 (x + 1) یک راه حل خاص است. چند مثال دیگر از حل معادلات با متغیرهای قابل تفکیک را در نظر بگیرید.

مثال 2راه حل معادله را پیدا کنید

راه حل.با توجه به اینکه ، ما گرفتیم .

با ادغام هر دو طرف معادله، داریم

جایی که

مثال 3راه حل معادله را پیدا کنید راه حل.ما هر دو بخش معادله را به عواملی تقسیم می کنیم که به متغیری بستگی دارد که با متغیر زیر علامت دیفرانسیل منطبق نیست، یعنی با و ادغام کنید. سپس می گیریم

و در نهایت

مثال 4راه حل معادله را پیدا کنید

راه حل.دانستن اینکه چه چیزی به دست خواهیم آورد. بخش-

متغیرهای lim سپس

یکپارچه سازی، می گیریم

اظهار نظر.در مثال های 1 و 2 تابع مورد نظر yبه صراحت بیان شده است (راه حل کلی). در مثال های 3 و 4 - به طور ضمنی (انتگرال کلی). در آینده شکل تصمیم گیری مشخص نخواهد شد.

مثال 5راه حل معادله را پیدا کنید راه حل.

مثال 6راه حل معادله را پیدا کنید رضایت بخش

وضعیت y(e)= 1.

راه حل.معادله را به شکل می نویسیم

ضرب دو طرف معادله در dxو در ادامه، دریافت می کنیم

با ادغام هر دو طرف معادله (انتگرال سمت راست توسط قطعات گرفته می شود)، به دست می آوریم

اما با شرط y= 1 در ایکس= ه. سپس

مقادیر یافت شده را جایگزین کنید از جانببه یک راه حل کلی:

عبارت حاصل را حل معین معادله دیفرانسیل می نامند.

6.2.2. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول نامیده می شود همگناگر بتوان آن را به عنوان نشان داد

ما یک الگوریتم برای حل یک معادله همگن ارائه می کنیم.

1. در عوض yسپس یک تابع جدید معرفی کنید و از این رو

2. از نظر عملکرد تومعادله (6.7) شکل می گیرد

یعنی جایگزینی کاهش می یابد معادله همگنبه معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک.

3. با حل معادله (6.8)، ابتدا u را پیدا می کنیم و سپس y= ux.

مثال 1معادله را حل کنید راه حل.معادله را به شکل می نویسیم

ما یک جایگزین انجام می دهیم:
سپس

جایگزین کنیم

ضرب در dx: تقسیم بر ایکسو در سپس

ادغام هر دو قسمت معادله با توجه به متغیرهای مربوطه، داریم

یا با بازگشت به متغیرهای قدیمی، در نهایت می‌گیریم

مثال 2معادله را حل کنید راه حل.اجازه دهید سپس

دو طرف معادله را تقسیم بر x2: بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات را دوباره مرتب کنیم:

با حرکت به سمت متغیرهای قدیمی، به نتیجه نهایی می رسیم:

مثال 3راه حل معادله را پیدا کنید به شرط

راه حل.انجام تعویض استاندارد ما گرفتیم

یا

یا

بنابراین راه حل خاص شکل دارد مثال 4راه حل معادله را پیدا کنید

راه حل.

مثال 5راه حل معادله را پیدا کنید راه حل.

کار مستقل

برای معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک راه حل پیدا کنید (1-9).

برای معادلات دیفرانسیل همگن جواب پیدا کنید (9-18).

6.2.3. برخی از کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

مشکل واپاشی رادیواکتیو

سرعت واپاشی Ra (رادیوم) در هر لحظه از زمان متناسب با جرم موجود آن است. قانون واپاشی رادیواکتیو Ra را بیابید اگر بدانیم که در لحظه اولیه Ra وجود داشته و نیمه عمر Ra 1590 سال است.

راه حل.در حال حاضر جرم Ra باشد ایکس= x(t) g، و سپس نرخ فروپاشی Ra است

با توجه به وظیفه

جایی که ک

با جدا کردن متغیرها در آخرین معادله و ادغام، به دست می آوریم

جایی که

برای تعیین سیاز شرط اولیه استفاده می کنیم: .

سپس و بنابراین،

عامل تناسب کاز شرط اضافی تعیین می شود:

ما داریم

از اینجا و فرمول مورد نظر

مشکل سرعت تولید مثل باکتری ها

سرعت تولید مثل باکتری ها متناسب با تعداد آنها است. در لحظه اول 100 باکتری وجود داشت. در عرض 3 ساعت تعداد آنها دو برابر شد. وابستگی تعداد باکتری ها به زمان را پیدا کنید. تعداد باکتری ها در عرض 9 ساعت چند برابر می شود؟

راه حل.اجازه دهید ایکس- تعداد باکتری ها در حال حاضر تیسپس با توجه به شرایط،

جایی که ک- ضریب تناسب.

از اینجا از این شرط معلوم می شود که . به معنای،

از شرط اضافی . سپس

عملکرد مورد نیاز:

بنابراین، در تی= 9 ایکس= 800، یعنی در عرض 9 ساعت تعداد باکتری ها 8 برابر افزایش یافت.

وظیفه افزایش مقدار آنزیم

در کشت مخمر آبجو، سرعت رشد آنزیم فعال متناسب با مقدار اولیه آن است. ایکس.مقدار اولیه آنزیم آدر عرض یک ساعت دو برابر شد وابستگی را پیدا کنید

x(t).

راه حل.با شرط، معادله دیفرانسیل فرآیند دارای شکل است

از اینجا

ولی . به معنای، سی= آو سپس

همچنین شناخته شده است که

در نتیجه،

6.3. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

6.3.1. مفاهیم اساسی

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه دومرابطه متصل کننده متغیر مستقل، تابع مورد نظر و مشتقات اول و دوم آن نامیده می شود.

در موارد خاص، x ممکن است در معادله وجود نداشته باشد، دریا y". با این حال، معادله مرتبه دوم باید لزوماً حاوی y باشد". AT مورد کلیمعادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود:

یا در صورت امکان به شکل مجاز برای مشتق دوم:

همانطور که در مورد یک معادله مرتبه اول، یک معادله مرتبه دوم می تواند یک راه حل کلی و یک راه حل خاص داشته باشد. راه حل کلی به نظر می رسد:

یافتن راه حل خصوصی

تحت شرایط اولیه - داده شده است

شماره) نامیده می شود مشکل کوشیاز نظر هندسی، این بدان معنی است که برای یافتن منحنی انتگرال لازم است در= y (x)،عبور از یک نقطه معین و داشتن مماس در این نقطه که در حدود

چنگال ها با جهت محور مثبت گاو نرزاویه داده شده ه. (شکل 6.1). اگر مشکل کوشی راه حل منحصر به فردی دارد قسمت راستمعادلات (6.10)، غیر قبل از

ناپیوسته است و دارای مشتقات جزئی پیوسته نسبت به تو، تو"در برخی از محله های نقطه شروع

برای یافتن ثابت در یک راه حل خاص گنجانده شده است، لازم است به سیستم اجازه داده شود

برنج. 6.1.منحنی انتگرال