معادله برنولییکی از معروف ترین است معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه اول. در فرم نوشته شده است

جایی که آ(ایکس) و ب(ایکس) − توابع پیوسته. اگر یک متر= 0، سپس معادله برنولی به یک معادله دیفرانسیل خطی تبدیل می شود. در صورتی که متر= 1، معادله به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک تبدیل می شود. به طور کلی، زمانی که متر≠ 0، 1، معادله برنولی با استفاده از جایگزینی به یک معادله دیفرانسیل خطی کاهش می یابد.

معادله دیفرانسیل جدید برای تابع z(ایکس) دارای فرم است

و به روش های توضیح داده شده در صفحه Linear قابل حل است معادلات دیفرانسیلسفارش اول

روش برنولی.

معادله مورد نظر را می توان با روش برنولی حل کرد. برای انجام این کار، ما به دنبال حل معادله اصلی به صورت حاصل ضرب دو تابع هستیم: u، v- توابع از ایکس. تفاوت: در معادله اصلی (1) جایگزین کنید: (2) به عنوان vهر جواب غیر صفر معادله را بگیرید: (3) معادله (3) یک معادله متغیر قابل تفکیک است. بعد از اینکه راه حل خاص آن را پیدا کردیم v = v(x)، آن را به (2) جایگزین می کنیم. از آنجایی که معادله (3) را برآورده می کند، عبارت داخل پرانتز ناپدید می شود. ما گرفتیم: همچنین یک معادله متغیر قابل تفکیک است. پیداش کن تصمیم مشترک، و با آن حل معادله اصلی y=uv.

64. معادله در مجموع دیفرانسیل. عامل یکپارچه روش های حل

معادله دیفرانسیل مرتبه اول فرم

تماس گرفت معادله در دیفرانسیل های کل ، اگر سمت چپ آن دیفرانسیل کل یک تابع را نشان دهد، یعنی.

قضیه.برای اینکه معادله (1) معادله ای در مجموع دیفرانسیل باشد، لازم و کافی است که در یک منطقه به سادگی به هم پیوسته تغییرات متغیرها و شرایط

انتگرال کلی معادله (1) به شکل یا است

مثال 1 معادله دیفرانسیل را حل کنید.

راه حل. بیایید بررسی کنیم که این معادله یک معادله در مجموع دیفرانسیل است:

پس یعنی شرط (2) برآورده می شود. بنابراین، این معادله یک معادله در مجموع دیفرانسیل و

بنابراین، جایی که یک تابع تعریف نشده است.

ادغام، دریافت می کنیم. مشتق جزئی تابع یافت شده باید برابر باشد، که از کجا تا تاریخ را می دهد، به طوری که بنابراین،.

انتگرال عمومی معادله دیفرانسیل اصلی.

هنگام ادغام برخی معادلات دیفرانسیل، می توان اصطلاحات را به گونه ای گروه بندی کرد که ترکیباتی به راحتی قابل انتگرال گیری به دست آید.

65. معادلات خطی دیفرانسیل معمولی مرتبه بالاتر: همگن و ناهمگن. عملگر دیفرانسیل خطی، خواص آن (با اثبات).

عملگر دیفرانسیل خطی و خصوصیات آنمجموعه ای از توابع که در فاصله ( آ , ب ) حداقل n مشتقات، فضای خطی را تشکیل می دهد. اپراتور را در نظر بگیرید L n (y ) که عملکرد را نمایش می دهد y (ایکس ) که دارای مشتقات به تابعی است که دارد ک - n مشتقات

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه 1
و معادله برنولی

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله ای است که نسبت به یک تابع مجهول و مشتق آن خطی است. به نظر می رسد

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)،

که در آن p(x) و q(x) توابعی از x هستند که در ناحیه ای که معادله (1) باید در آن ادغام شود، پیوسته هستند.

اگر q(x)\equiv0، معادله (1) فراخوانی می شود همگن خطی. معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک است و جواب کلی دارد

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

جواب کلی معادله ناهمگن را می توان یافت روش تغییر یک ثابت دلخواه، که شامل این واقعیت است که حل معادله (1) در فرم جستجو می شود

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\راست)، که در آن C(x) یک تابع مجهول جدید از x است.

مثال 1معادله را حل کنید y"+2xy=2xe^(-x^2).

راه حل.ما از روش تغییر یک ثابت استفاده می کنیم. یک معادله همگن y"+2xy=0 مربوط به این معادله ناهمگن در نظر بگیرید. این معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک است. جواب کلی آن y=Ce^(-x^2) است.

ما به دنبال حل کلی معادله ناهمگن به شکل y=C(x)e^(-x^2) هستیم که در آن C(x) یک تابع مجهول از x است. با جایگزین کردن، C"(x)=2x را بدست می آوریم، از آنجا C(x)=x^2+C. بنابراین، جواب کلی معادله ناهمگن خواهد بود. y=(x^2+C)e^(-x^2)، که در آن C ثابت ادغام است.

اظهار نظر.ممکن است معلوم شود که معادله دیفرانسیل در x به عنوان تابعی از y خطی است. شکل عادی چنین معادله ای

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

مثال 2معادله را حل کنید \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

راه حل.اگر x را تابعی از y در نظر بگیریم این معادله خطی است:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

ما از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده می کنیم. ابتدا معادله همگن مربوطه را حل می کنیم

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0،

که یک معادله متغیر قابل تفکیک است. راه حل کلی آن است x=Ce^(\sin(y))،~C=\text(const).

ما به دنبال حل کلی معادله به شکل y هستیم که در آن C(y) تابعی مجهول از y است. با تعویض، می گیریم

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yیا C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

از این رو، یکپارچه سازی توسط قطعات، ما داریم

\begin(تراز شده)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y))،\end(تراز شده)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

معادله اصلی را نیز می توان به صورت زیر ادغام کرد. ما معتقدیم

y=u(x)v(x)،

که در آن u(x) و v(x) توابع ناشناخته x هستند که یکی از آنها، برای مثال v(x) را می توان خودسرانه انتخاب کرد.

با جایگزینی y=u(x)v(x) به , پس از تبدیل به دست می آوریم

vu"+(pv+v")u=q(x).

با تعیین v(x) از شرط v"+pv=0، سپس از آن را پیدا می کنیم vu"+(pv+v")u=q(x)تابع u(x) و از این رو جواب y=uv معادله است \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). به عنوان v(x) می توان هر جواب مکرر معادله را گرفت v"+pv=0،~v\not\equiv0.

مثال 3حل مشکل کوشی: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)،~y|_(x=2)=4.

راه حل.ما به دنبال یک راه حل کلی برای معادله به شکل y=u(x)v(x) هستیم. ما y"=u"v+uv" داریم. با جایگزینی عبارت y و y" در معادله اصلی، خواهیم داشت

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)یا x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

تابع v=v(x) را از شرط x(x-1)v"+v=0 می‌یابیم. با گرفتن هر جواب خاصی از آخرین معادله، برای مثال v=\frac(x)(x-1) و با جایگزینی آن، معادله u"=2x-1 را بدست می آوریم که از آن تابع u(x)=x^2-x+C را می یابیم. بنابراین، حل کلی معادله x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)خواهد بود

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1)،یا y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

با استفاده از شرط اولیه y|_(x=2)=4 معادله را برای یافتن C بدست می آوریم. 4=\frac(2C)(2-1)+2^2، از آنجا C=0 ; بنابراین راه حل مسئله کوشی بیان شده تابع y=x^2 خواهد بود.

مثال 4مشخص شده است که بین قدرت جریان i و نیروی الکتروموتور E در مدار دارای مقاومت R و L خود القایی رابطه وجود دارد. E=Ri+L\frac(di)(dt)، جایی که R و L ثابت هستند. اگر E را تابعی از زمان t در نظر بگیریم، یک خطی به دست می آید معادله ناهمگنبرای i فعلی:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

i(t) فعلی را برای مورد When پیدا کنید E=E_0=\text(const)و i(0)=I_0.

راه حل.ما داریم \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. جواب کلی این معادله شکل دارد i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). با استفاده از شرط اولیه (13)، ما از C=I_0-\frac(E_0)(R)، بنابراین راه حل مورد نظر خواهد بود

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

این نشان می دهد که در t\to+\infty قدرت فعلی i(t) تمایل دارد مقدار ثابت\frac(E_0)(R) .

مثال 5یک خانواده C_\alpha از منحنی های انتگرال یک معادله ناهمگن خطی y"+p(x)y=q(x) داده شده است.

نشان دهید که مماس ها در نقاط مربوط به منحنی های C_\alpha تعریف شده توسط معادله خطی در یک نقطه قطع می شوند (شکل 13).

راه حل.مماس بر برخی منحنی C_\alpha را در نقطه M(x,y) در نظر بگیرید معادله مماس در نقطه M(x,y) شکل دارد.

\eta-q(x)(\xi-x)=y، جایی که \xi,\eta مختصات فعلی نقطه مماس هستند.

طبق تعریف، در نقاط مربوطه، x ثابت و y متغیر است. با گرفتن هر دو مماس بر خطوط C_\alpha در نقاط مربوطه، برای مختصات نقطه S تقاطع آنها، به دست می آوریم.

\xi=x+\frac(1)(p(x))، \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

این نشان می دهد که تمام مماس های منحنی C_\alpha در نقاط مربوطه (x ثابت است) در یک نقطه قطع می شوند.

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\راست).

با حذف آرگومان x در سیستم، معادله مکان نقاط را به دست می آوریم S \colon f(\xi,\eta)=0.

مثال 6راه حل معادله را پیدا کنید y"-y=\cos(x)-\sin(x)، که شرط را برآورده می کند: y در y\to+\infty محدود می شود.

راه حل.جواب کلی این معادله y=Ce^x+\sin(x) است. هر راه حلی برای معادله به دست آمده از جواب کلی برای C\ne0 نامحدود خواهد بود، زیرا برای x\to+\infty تابع \sin(x) محدود است، در حالی که e^x\to+\infty . نتیجه می شود که این معادله دارد تنها تصمیم y=\sin(x)، محدود به x\to+\infty، که از جواب کلی در C=0 به دست می‌آید.

معادله برنولی

معادله دیفرانسیل برنولیفرم را دارد

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n، جایی که n\ne0;1 (برای n=0 و n=1 این معادله خطی است).

با تغییر متغیر z=\frac(1)(y^(n-1))معادله برنولی به یک معادله خطی تقلیل یافته و به صورت خطی ادغام می شود.

مثال 7معادله برنولی y"-xy=-xy^3 را حل کنید.

راه حل.دو طرف معادله را بر y^3 تقسیم کنید:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

ایجاد تغییر متغیر \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z"، جایی که \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). پس از تعویض، آخرین معادله تبدیل می شود معادله خطی

-\frac(z")(2)-xz=-xیا z"+2xz=2x که جواب کلی آن z=1+Ce^(-x^2) است.

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)یا y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

اظهار نظر.معادله برنولی را می توان با روش تغییر یک ثابت مانند یک معادله خطی و با استفاده از جایگزینی y(x)=u(x)v(x) ادغام کرد.

مثال 8معادله برنولی xy"+y=y^2\ln(x) را حل کنید.

راه حل.ما از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده می کنیم. جواب کلی معادله همگن متناظر xy"+y=0 به شکل y=\frac(C)(x) است ما به دنبال حل کلی معادله به شکل y=\frac(C(x) هستیم. )(x)، که در آن C(x) - تابع مجهول جدید با جایگزینی به معادله اصلی، داریم

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

برای یافتن تابع C(x)، معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست می آوریم که با جداسازی متغیرها و انتگرال گیری، می یابیم

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

بنابراین، حل کلی معادله اصلی y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

مقداری معادلات غیر خطیاز مرتبه اول، با کمک یک تغییر خوب پیدا شده متغیرها، به معادلات خطی یا معادلات برنولی تقلیل می‌یابند.

مثال 9معادله را حل کنید y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

راه حل.این معادله را به شکل می نویسیم y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

تقسیم دو طرف معادله بر 2\cos^2\frac(y)(2)، ما گرفتیم \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

جایگزینی \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))این معادله را به یک خطی می رساند \frac(dz)(dx)+z=-xکه جواب کلی آن z=1-x+Ce^(-x) است.

با جایگزینی z با بیان آن بر حسب y، انتگرال کلی معادله داده شده را به دست می آوریم \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

در برخی معادلات، تابع مورد نظر y(x) ممکن است زیر علامت انتگرال باشد. در این موارد، گاهی اوقات می توان با تفکیک معادله داده شده را به معادله دیفرانسیل تقلیل داد.

مثال 10معادله را حل کنید x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

راه حل.با افتراق هر دو طرف این معادله نسبت به x، به دست می آوریم

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (ایکس)یا \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

با تمایز مجدد نسبت به x، یک معادله همگن خطی با توجه به y(x)\دونقطه خواهیم داشت.

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)یا x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

با تفکیک متغیرها و ادغام، پیدا می کنیم y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). این راه حل، همانطور که بررسی آن آسان است، معادله اصلی را برآورده می کند.

معادله دیفرانسیل برنولی معادله ای از فرم است

که در آن n≠0،n≠1.

این معادله را می توان با استفاده از جایگزینی تبدیل کرد

به یک معادله خطی

در عمل، معادله دیفرانسیل برنولی معمولاً به یک معادله خطی منتهی نمی شود، اما بلافاصله با همان روش های معادله خطی حل می شود - یا با روش برنولی یا با روش تغییر یک ثابت دلخواه.

نحوه حل معادله دیفرانسیل برنولی را با استفاده از جایگزینی y=uv (روش برنولی) در نظر بگیرید. طرح راه حل - همانطور که با .

مثال ها. حل معادلات:

1) y'x + y \u003d -xy².

این معادله دیفرانسیل برنولی است. بیایید آن را به فرم استاندارد بیاوریم. برای انجام این کار، هر دو قسمت را بر x تقسیم می کنیم: y’+y/x=-y². در اینجا p(x)=1/x، q(x)=-1، n=2. اما برای راه حل نیازی به نمای استاندارد نداریم. ما با شکل علامت گذاری که در شرط داده شده است کار خواهیم کرد.

1) جایگزینی y=uv، که در آن u=u(x) و v=v(x) برخی از توابع جدید x هستند. سپس y'=(uv)'=u'v+v'u. عبارات به دست آمده را با شرط جایگزین می کنیم: (u'v+v'u)x+uv=-xu²v².

2) بیایید براکت ها را گسترش دهیم: u'vx+v'ux+uv=-xu²v². حالا بیایید اصطلاحات را با v گروه بندی کنیم: v + v'ux \u003d -xu²v² (I) (ما عبارت را با درجه v که در سمت راست معادله است لمس نمی کنیم). حال نیاز داریم که عبارت داخل پرانتز برابر با صفر باشد: u'x+u=0. و این معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک u و x است. با حل آن، شما را پیدا خواهیم کرد. u=du/dx را جایگزین می کنیم و متغیرها را از هم جدا می کنیم: x du/dx=-u. دو طرف معادله را در dx ضرب می کنیم و بر xu≠0 تقسیم می کنیم:

(هنگام یافتن u С، برابر با صفر می گیریم).

3) در رابطه (I) = 0 و تابع یافت شده u=1/x را جایگزین می کنیم. معادله داریم: v’ (1/x) x=-x (1/x²) v². پس از ساده سازی: v’=-(1/x) v². این معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک v و x است. v’=dv/dx را جایگزین می کنیم و متغیرها را جدا می کنیم: dv/dx=-(1/x) v². دو طرف معادله را در dx ضرب کرده و بر v2≠0 تقسیم کنید:

(ما -C را گرفتیم تا با ضرب هر دو قسمت در -1 از منهای خلاص شویم). بنابراین در (-1) ضرب کنید:

(می‌توان نه C، بلکه ln│C│ را گرفت و در این مورد v=1/ln│Cx│ خواهد بود).

2) 2y'+2y=xy².

بیایید مطمئن شویم که این معادله برنولی است. با تقسیم هر دو قسمت بر 2، y’+y=(x/2) y² را بدست می آوریم. در اینجا p(x)=1، q(x)=x/2، n=2. معادله را با روش برنولی حل می کنیم.

1) جایگزینی y=uv، y’=u’v+v’u. ما این عبارات را در شرایط اصلی جایگزین می کنیم: 2(u'v+v'u)+2uv=xu²v².

2) پرانتزها را باز کنید: 2u'v+2v'u+2uv=xu²v². حالا بیایید اصطلاحات حاوی v را گروه بندی کنیم: +2v'u=xu²v² (II). ما نیاز داریم که عبارت داخل پرانتز برابر با صفر باشد: 2u'+2u=0، بنابراین u'+u=0. این یک معادله قابل تفکیک برای u و x است. بیا حلش کنیم و پیدات کنیم u’=du/dx را جایگزین می کنیم، از آنجا du/dx=-u. با ضرب دو طرف معادله در dx و تقسیم بر u≠0، به دست می آید: du/u=-dx. ما ادغام می کنیم:

3) جایگزین در (II) = 0 و

حالا v'=dv/dx را جایگزین می کنیم و متغیرها را جدا می کنیم:

ما ادغام می کنیم:

سمت چپ تساوی یک انتگرال جدولی است، انتگرال سمت راست با استفاده از فرمول ادغام به قسمت پیدا می شود:

با جایگزینی v و du یافت شده با توجه به ادغام با فرمول قطعات، داریم:

و از

بیایید C=-C را بسازیم:

4) از آنجایی که y=uv، توابع یافت شده u و v را جایگزین می کنیم:

3) معادله x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0 را ادغام کنید.

دو طرف معادله را بر x2(x-1)≠0 تقسیم کنید و عبارت را با y² به سمت راست ببرید:

این معادله برنولی است

1) جایگزینی y=uv، y’=u’v+v’u. طبق معمول، این عبارات در شرایط اصلی جایگزین می شوند: x²(x-1)(u'v+v'u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) بنابراین x²(x-1)u'v+x²(x-1)v'u-x(x-2)uv=u²v². ما عبارات حاوی v را گروه بندی می کنیم (v² - لمس نکنید):

v+x²(x-1)v'u=u²v² (III). اکنون باید عبارت داخل پرانتز برابر با صفر باشد: x²(x-1)u'-x(x-2)u=0، بنابراین x²(x-1)u'=x(x-2)u. در معادله، متغیرهای u و x، u’=du/dx را از هم جدا می کنیم: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. هر دو طرف معادله را در dx ضرب می کنیم و بر x2(x-1)u≠0 تقسیم می کنیم:

در سمت چپ معادله یک انتگرال جدولی قرار دارد. کسر گویادر سمت راست لازم است به کسرهای ساده تجزیه شود:

برای x=1: 1-2=A 0+B 1، از آنجا B=-1.

برای x=0: 0-2=A(0-1)+B 0، از آنجا A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. با توجه به خواص لگاریتم: ln│u│=ln│x²/(x-1)│، از آنجا u=x²/(x-1).

3) در برابری (III) =0 و u=x²/(x-1) را جایگزین می کنیم. دریافت می کنیم: 0+x²(x-1)v'u=u²v²،

v'=dv/dx، جایگزین:

به جای C، - C را می گیریم، به طوری که با ضرب هر دو قسمت در (-1) از شر منهای خلاص می شویم:

حال عبارات سمت راست را به مخرج مشترک می آوریم و v را پیدا می کنیم:

4) از آنجایی که y=uv، با جایگزینی توابع یافت شده u و v، دریافت می کنیم:

نمونه هایی برای خودآزمایی:

1) بیایید مطمئن شویم که این معادله برنولی است. با تقسیم هر دو قسمت بر x، داریم:

1) y=uv را تغییر دهید، از آنجا y’=u’v+v’u. این y و y به حالت اصلی جایگزین می شوند:

2) اصطلاحات را با v گروه بندی می کنیم:

حال می خواهیم که عبارت داخل پرانتز برابر با صفر باشد و u را از این شرط پیدا کنیم:

ما هر دو طرف معادله را ادغام می کنیم:

3) در معادله (*) =0 و u=1/x² را جایگزین می کنیم:

ما هر دو طرف معادله حاصل را ادغام می کنیم.

خصوصیات معادله برنولی

تعریف 1

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول از فرم استاندارد $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$، جایی که $P\left(x \right )$ و $Q\left(x\right)$ توابع پیوسته هستند و $n$ مقداری است که معادله دیفرانسیل ژاکوب برنولی نامیده می شود.

در این مورد، محدودیت های زیر بر روی عدد $n$ اعمال می شود:

• $n\ne 0$، زیرا برای $n = 0$ معادله دیفرانسیل یک معادله خطی ناهمگن است و در این مورد به روش حل ویژه دیگری نیاز نیست.
• $n\ne 1$، زیرا اگر واحد را به صورت $n$ داشته باشیم، معادله دیفرانسیل یک معادله خطی همگن است که روش حل آن نیز مشخص است.

علاوه بر این، راه حل مخصوصاً بی اهمیت معادله دیفرانسیل برنولی $y=0$ در نظر گرفته نمی شود.

معادله دیفرانسیل ژاکوب برنولی ریاضیدان را نباید با قانون برنولی که به نام عموی برادرزاده اش معروف به دانیل برنولی نامگذاری شده اشتباه گرفت.

تبصره 1

دانیل برنولی - فیزیکدان، مشهورترین الگویی که او پیدا کرد در توصیف رابطه بین سرعت جریان سیال و فشار است. قانون برنولی برای جریان های گاز آرام نیز قابل اجرا است. به طور کلی در هیدرولیک و هیدرودینامیک کاربرد دارد.

حل معادله برنولی با کاهش به ناهمگن خطی

روش اصلی برای حل معادله دیفرانسیل برنولی این است که از طریق تبدیل به یک معادله ناهمگن خطی کاهش می یابد. این تحولات عبارتند از:

1. معادله را در $y^(-n) $ ضرب کنید و $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\left(x\) بدست آورید. راست)$.
2. جایگزینی $z=y^(1-n) $ را اعمال می کنیم و این برابری را به صورت مختلط متمایز می کنیم. تابع توان; ما $z"=\left(1-n\right)\cdot y^(-n) \cdot y"$ دریافت می کنیم، از آنجا $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ cdot y"$.
3. مقادیر $y^(1-n) $ و $y^(-n) \cdot y"$ را در این معادله دیفرانسیل جایگزین کنید و $\frac(z")(1-n) +P\left را دریافت کنید. (x\right)\cdot z=Q\left(x\right)$ or $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1 -n\right )\cdot Q\left(x\right)$.

معادله دیفرانسیل حاصل با توجه به تابع $z$ ناهمگن خطی است که به صورت زیر حل می کنیم:

1. $I_(1) انتگرال =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $ را محاسبه کنید، راه حل خاص را به صورت $v\left(x\right)= بنویسید e ^(-I_(1) ) $، تبدیل های ساده سازی را انجام دهید و ساده ترین نوع غیر صفر را برای $v\left(x\right)$ انتخاب کنید.
2. انتگرال $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ را بعد از آن محاسبه کنید که عبارت را به صورت $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$ می نویسند.
3. حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی را به صورت $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ می نویسیم.
4. ما به تابع $y$ برمی گردیم و $z$ را با $y^(1-n) $ جایگزین می کنیم و در صورت لزوم تبدیل های ساده سازی می کنیم.

مثال:

جواب کلی معادله دیفرانسیل $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ را بیابید. راه حل خاصی را بنویسید که شرط اولیه $y=1$ را برای $x=1$ برآورده کند.

در این مورد، معادله دیفرانسیل برنولی را داریم که به صورت استاندارد ارائه شده است.

علاوه بر این، $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $.

ما آن را با توجه به جایگزینی $z$ به شکل زیر ارائه می کنیم:

$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^(2) \راست )$ یا $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \راست)$.

معادله دیفرانسیل حاصل با توجه به تابع $z$ ناهمگن خطی است که با روشی که در بالا توضیح داده شد حل می شود.

انتگرال $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $ را محاسبه کنید.

ما $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$ داریم.

ما یک راه حل خاص را به صورت $v\left(x\right)=e^(-I_(1)) $ می‌نویسیم و تبدیل‌های ساده‌سازی می‌کنیم: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ راست|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.

ما برای $v\left(x\right)$ ساده ترین نوع غیر صفر را انتخاب می کنیم: $v\left(x\right)=x$.

انتگرال $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ را محاسبه کنید.

عبارت را به صورت $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$ می نویسیم، یعنی $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \چپ|x\راست|+C$.

در نهایت جواب کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی را با توجه به تابع $z$ به شکل $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ می نویسیم. $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \چپ|x\راست|+C\cdot x$.

اکنون به تابع $y$ برمی گردیم و $z$ را با $y^(1-n) $ جایگزین می کنیم:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ یا $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \چپ|x\راست|+C\cdot x$.

این جواب کلی معادله دیفرانسیل برنولی است که به صورت ضمنی نوشته شده است.

برای جستجوی یک راه حل خاص، از شرط اولیه $y=1$ برای $x=1$ استفاده می کنیم:

بنابراین، راه حل خاص این است: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac(x ) (2) دلار.

حل معادله دیفرانسیل برنولی به روش جایگزینی

دومین راه حل ممکن برای معادله برنولی روش جایگزینی است.

مثال:

جواب کلی معادله دیفرانسیل $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ را با استفاده از روش جایگزینی پیدا کنید.

ما جایگزین $y=u\cdot v$ را اعمال می کنیم.

پس از تمایز، دریافت می کنیم:

تابع $v\left(x\right)$ را از معادله $v"+\frac(v)(x) =0$ پیدا می کنیم، برای این منظور عبارت دوم را به سمت راست منتقل می کنیم.

ما گرفتیم:

$\frac(dv)(dx)=-\frac(v)(x) $;

متغیرهای جداگانه $\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $;

ما $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$ را ادغام می کنیم، از آنجا $v=\frac(1)(x) $.

تابع $u\left(x\right)$ از معادله $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2)) یافت می شود. \cdot \ left(4-x^(2) \right)$ که $v=\frac(1)(x) $ و $v"+\frac(v)(x) =0$ را در نظر می گیرد.

پس از تبدیل های ساده، ما به دست می آوریم: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$.

متغیرها را جدا کنید: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$.

ادغام: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ یا $\frac(1)(u ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \چپ|x\راست|+C$.

به متغیر قدیمی برمی گردیم. ما در نظر می گیریم که $y=u\cdot v$ یا $y=u\cdot \frac(1)(x) $، از آنجا $u=x\cdot y$.

جواب کلی این معادله دیفرانسیل را بدست می آوریم: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cdot x $.

معادله دیفرانسیل y "+a 0 (x)y=b(x)y n نامیده می شود معادله برنولی.
از آنجایی که با n=0 یک معادله خطی به دست می آید و با n=1 - با متغیرهای قابل تفکیک، پس فرض می کنیم که n ≠ 0 و n ≠ 1. هر دو قسمت (1) را بر y n تقسیم کنید. سپس قرار دادن، ما داریم. با جایگزینی این عبارت، دریافت می کنیم یا به طور معادل z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). این یک معادله خطی است که ما می دانیم چگونه آن را حل کنیم.

واگذاری خدمات. ماشین حساب آنلاینمی توان برای آزمایش محلول استفاده کرد معادلات دیفرانسیل برنولی.

مثال 1. جواب کلی معادله y" + 2xy = 2xy 3 را بیابید. این معادله برنولی برای n=3 است. با تقسیم دو طرف معادله بر y 3 به دست می آوریم جایگزین را انجام می دهیم و بنابراین معادله به صورت -z بازنویسی می شود. + 4xz = 4x. حل این معادله با روش تغییر یک ثابت دلخواه به دست می آید جایی که یا، که همان است، .

مثال 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

تقسیم بر y 2
y"/y 2 + 1/y = -1

ساختن جایگزین:
z=1/y n-1، یعنی. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

دریافت می کنیم: -z" + z = -1 یا z" - z = 1

مثال 3. xy'+2y+x 5 y 3 e x =0
راه حل.
الف) حل از طریق معادله برنولی.
بیایید آن را به صورت: xy'+2y=-x 5 y 3 e x نمایش دهیم. این معادله برنولی برای n=3 است. با تقسیم هر دو قسمت معادله بر y 3 به دست می آید: xy "/y 3 +2/y 2 = -x 5 e x. جایگزین می کنیم: z=1/y 2. سپس z"=-2/y 3 و بنابراین معادله به صورت : -xz"/2+2z=-x 5 e x بازنویسی می شود. این یک معادله ناهمگن است. معادله همگن مربوطه را در نظر بگیرید: -xz"/2+2z=0
1. با حل آن، دریافت می کنیم: z"=4z/x

با ادغام، دریافت می کنیم:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . ما اکنون به دنبال راه حلی برای معادله اصلی به شکل زیر هستیم: y (x) \u003d C (x) x 4, y "(x) \u003d C (x)" x 4 + C (x) (x 4 )"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x یا C(x)" = 2e x . با ادغام، دریافت می کنیم: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
از شرط y(x)=C(x)y به دست می آید: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) یا y = Cx 4 +2x 4 e x . از آنجایی که z=1/y 2 , دریافت می کنیم: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x