حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن

ما آن را تأیید کردیم، در صورتی که معلوم باشد تصمیم مشترکخطی معادله همگن، می توان جواب کلی را با روش تغییر ثابت های دلخواه پیدا کرد معادله ناهمگن. با این حال، این سوال که چگونه می توان جواب کلی معادله همگن را پیدا کرد باز باقی ماند. در یک مورد خاص، وقتی در معادله دیفرانسیل خطی (3) همه ضرایب p i(ایکس)= a i - ثابت، آن را به سادگی حل می شود، حتی بدون ادغام.

یک معادله دیفرانسیل همگن خطی را در نظر بگیرید ضرایب ثابت، یعنی معادلات فرم

y (n) + الف 1 y (n – 1) + ... الف n – 1 y " + a n y = 0, (14)

جایی که یک من- ثابت ها (من= 1, 2, ...,n).

همانطور که مشخص است، برای یک معادله همگن خطی از مرتبه 1، جواب تابعی از شکل است. ه kx .ما به دنبال حل معادله (14) در فرم خواهیم بود j (ایکس) = ه kx.

اجازه دهید تابع را در رابطه (14) جایگزین کنیم j (ایکس) و مشتقات آن متر (1 £ متر£ n)j (متر) (ایکس) = k m e kx. گرفتن

(k n + a 1 k n – 1 +… و n – 1 k + a n)e kx = 0,

ولی ه k x ¹ 0 برای هر ایکس, از همین رو

k n + a 1 k n – 1 + ... الف n – 1 k + a n = 0. (15)

معادله (15) نامیده می شود معادله مشخصه، چند جمله ای در سمت چپ،- چند جمله ای مشخصه ، ریشه های آن- ریشه های مشخصه معادله دیفرانسیل (14).

نتیجه:

عملکردj (ایکس) = ه kx - حل معادله همگن خطی (14) اگر و فقط اگر عدد ک - ریشه معادله مشخصه (15).

بنابراین، فرآیند حل معادله همگن خطی (14) به حل معادله جبری (15) کاهش می یابد.

موارد مختلفی از ریشه های مشخصه وجود دارد.

1.همه ریشه های معادله مشخصه واقعی و متمایز هستند.

در این مورد nریشه های مشخصه مختلف ک 1 ,ک 2 ,...، k nمطابقت دارد nحل های مختلف معادله همگن (14)

می توان نشان داد که این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند و بنابراین شکل می گیرند سیستم بنیادیراه حل ها بنابراین، جواب کلی معادله تابع است

جایی که از جانب 1 , سی 2 ، ...، ~ n - ثابت های دلخواه

مثال 7. جواب کلی معادله همگن خطی را پیدا کنید:

آ) در¢ ¢ (ایکس) - 6در¢ (ایکس) + 8در(ایکس) = 0، ب) در¢ ¢ ¢ (ایکس) + 2در¢ ¢ (ایکس) - 3در¢ (ایکس) = 0.

راه حل. بیایید یک معادله مشخصه بسازیم. برای انجام این کار، مشتق سفارش را جایگزین می کنیم مترکارکرد y(ایکس) به درجه مربوطه

ک(در (متر) (ایکس) « k m),

در حالی که خود تابع در(ایکس) به عنوان مشتق مرتبه صفر جایگزین شده است ک 0 = 1.

در حالت (الف) معادله مشخصه شکل دارد ک 2 - 6k + 8 = 0. ریشه های این معادله درجه دوم ک 1 = 2,ک 2 = 4. از آنجایی که آنها واقعی و متفاوت هستند، راه حل کلی شکل دارد j (ایکس)= سی 1 ه 2ایکس + از 2 ه 4 برابر

برای مورد (ب)، معادله مشخصه معادله درجه سوم است ک 3 + 2ک 2 - 3k = 0. ریشه های این معادله را پیدا کنید:

ک(ک 2 + 2 ک - 3)= 0 Þ ک = 0i ک 2 + 2 ک - 3 = 0 Þ ک = 0, (ک - 1)(ک + 3) = 0,

تی . ه . ک 1 = 0, ک 2 = 1, ک 3 = - 3.

این ریشه های مشخصه با سیستم اصلی حل معادله دیفرانسیل مطابقت دارد:

j 1 (ایکس)= e 0ایکس = 1, j 2 (ایکس) = e x, j 3 (ایکس)= e - 3ایکس .

جواب کلی طبق فرمول (9) تابع است

j (ایکس)= سی 1 + سی 2 e x + C 3 ه - 3ایکس .

II . همه ریشه های معادله مشخصه متفاوت است، اما برخی از آنها پیچیده هستند.

تمام ضرایب معادله دیفرانسیل (14) و در نتیجه معادله مشخصه آن (15)- اعداد واقعی، اگر c در بین ریشه های مشخصه یک ریشه مختلط وجود دارد ک 1 = a + ib،یعنی ریشه مزدوج آن ک 2 = ` ک 1 = a- ib.ریشه اول ک 1 با حل معادله دیفرانسیل (14) مطابقت دارد.

j 1 (ایکس)= e (a+ib)ایکس = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(ما از فرمول اویلر استفاده کردیم e i x = cosx + isinx). به همین ترتیب، ریشه ک 2 = a- ibتصمیم مربوطه

j 2 (ایکس)= e (a - -ib)ایکس = e a x e - ib x= تبر(cosbx - isinbx).

این راه حل ها پیچیده هستند. برای به دست آوردن جواب های واقعی از آنها، از خواص راه حل های یک معادله همگن خطی استفاده می کنیم (نگاه کنید به 13.2). کارکرد

جواب های واقعی معادله (14) هستند. همچنین این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند. بنابراین می توان نتیجه زیر را گرفت.

قانون 1.یک جفت ریشه پیچیده مزدوج a± ib معادله مشخصه در FSR معادله همگن خطی (14) مربوط به دو راه حل خاص واقعی استو .

مثال 8. جواب کلی معادله را پیدا کنید:

آ) در¢ ¢ (ایکس) - 2در ¢ (ایکس) + 5در(ایکس) = 0 ؛ ب) در¢ ¢ ¢ (ایکس) - در¢ ¢ (ایکس) + 4در ¢ (ایکس) - 4در(ایکس) = 0.

راه حل. در مورد معادله (الف)، ریشه های معادله مشخصه ک 2 - 2k + 5 = 0 دو عدد مختلط مزدوج هستند

ک 1, 2 = .

بنابراین، طبق قانون 1، آنها با دو راه حل مستقل خطی واقعی مطابقت دارند: و، و جواب کلی معادله تابع است.

j (ایکس)= سی 1 e x cos 2x + C 2 e x گناه 2ایکس.

در حالت (ب) ریشه های معادله مشخصه را بیابید ک 3 - ک 2 + 4ک- 4 = 0، سمت چپ آن را فاکتور می کنیم:

ک 2 (ک - 1) + 4(ک - 1) = 0 Þ (ک - 1)(ک 2 + 4) = 0 Þ (ک - 1) = 0, (ک 2 + 4) = 0.

بنابراین، ما سه ریشه مشخص داریم: ک 1 = 1,k2 , 3 = ± 2من.کورنو ک 1 تصمیم مربوطه ، و یک جفت ریشه پیچیده مزدوج ک 2, 3 = ± 2من = 0 ± 2من- دو راه حل واقعی: و . حل کلی معادله را می سازیم:

j (ایکس)= سی 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 گناه 2ایکس.

III . در بین ریشه های معادله مشخصه مضرب وجود دارد.

اجازه دهید ک 1 - ریشه واقعی کثرت مترمعادله مشخصه (15)، یعنی در بین ریشه ها وجود دارد متر ریشه های مساوی. هر یک از آنها با حل یکسان معادله دیفرانسیل (14) مطابقت دارد مترراه حل های مساوی در FSR غیرممکن است، زیرا آنها یک سیستم وابسته خطی از توابع را تشکیل می دهند.

می توان نشان داد که در مورد چند ریشه k 1راه حل های معادله (14)، علاوه بر تابع، توابع هستند

توابع به صورت خطی در کل محور اعداد مستقل هستند، زیرا، یعنی، می توانند در FSR گنجانده شوند.

قانون 2 ریشه مشخصه واقعی ک 1 چندگانگی متردر FSR مطابقت دارد مترراه حل ها:

اگر یک ک 1 - ریشه پیچیده کثرت مترمعادله مشخصه (15)، سپس یک ریشه مزدوج وجود دارد ک 1 چندگانگی متر. بر اساس قیاس، قانون زیر را دریافت می کنیم.

قانون 3. یک جفت ریشه پیچیده مزدوج a± ib در FSR مربوط به 2 متر راه حل مستقل خطی واقعی است:

, , ..., ,

, , ..., .

مثال 9. جواب کلی معادله را پیدا کنید:

آ) در¢ ¢ ¢ (ایکس) + 3در¢ ¢ (ایکس) + 3در¢ (ایکس)+ y ( ایکس)= 0; ب) IV(ایکس) + 6در¢ ¢ (ایکس) + 9در(ایکس) = 0.

راه حل. در حالت (الف) معادله مشخصه شکل دارد

ک 3 + 3 ک 2 + 3 ک + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

یعنی k =- 1 - ریشه چندگانه 3. بر اساس قانون 2، ما جواب کلی را می نویسیم:

j (ایکس)= سی 1 + سی 2 x + C 3 ایکس 2 .

معادله مشخصه در مورد (ب) معادله است

ک 4 + 6ک 2 + 9 = 0

یا درغیر این صورت،

(ک 2 + 3) 2 = 0 Þ ک 2 = - 3 Þ ک 1, 2 = ± من .

ما یک جفت ریشه مختلط مزدوج داریم که هرکدام از آن ها تعدد 2 دارد. طبق قانون 3، جواب کلی به صورت نوشته می شود.

j (ایکس)= سی 1 + سی 2 x + C 3 + سی 4 ایکس .

از مطالب فوق چنین استنباط می شود که برای هر معادله همگن خطی با ضرایب ثابت، می توان یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کرد و یک جواب کلی تشکیل داد. بنابراین، حل معادله ناهمگن مربوطه برای هر تابع پیوسته f(ایکس) در سمت راست را می توان با استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه پیدا کرد (به بخش 5.3 مراجعه کنید).

مثال r10. با استفاده از روش تغییر، جواب کلی معادله ناهمگن را پیدا کنید. در¢ ¢ (ایکس) - در¢ (ایکس) - 6در(ایکس) = x e 2ایکس .

راه حل. ابتدا جواب کلی معادله همگن مربوطه را پیدا می کنیم در¢ ¢ (ایکس) - در¢ (ایکس) - 6در(ایکس) = 0. ریشه های معادله مشخصه ک 2 - ک- 6 = 0 هستند ک 1 = 3,ک 2 = - 2، الف حل کلی معادله همگن - عملکرد ` در ( ایکس) = سی 1 ه 3ایکس + سی 2 ه - 2ایکس .

ما به دنبال حل معادله ناهمگن در فرم خواهیم بود

در( ایکس) = از جانب 1 (ایکس)ه 3ایکس + سی 2 (ایکس)ه 2ایکس . (*)

بیایید تعیین کننده ورونسکی را پیدا کنیم

دبلیو[ه 3ایکس ، ه 2ایکس ] = .

اجازه دهید سیستم معادلات (12) را با توجه به مشتقات توابع مجهول بسازیم از جانب ¢ 1 (ایکس) و از جانب¢ 2 (ایکس):

با حل سیستم با استفاده از فرمول های کرامر، به دست می آوریم

یکپارچه سازی، پیدا می کنیم از جانب 1 (ایکس) و از جانب 2 (ایکس):

توابع جایگزین از جانب 1 (ایکس) و از جانب 2 (ایکس) به برابری (*)، جواب کلی معادله را به دست می آوریم در¢ ¢ (ایکس) - در¢ (ایکس) - 6در(ایکس) = x e 2ایکس :

در حالتی که سمت راست معادله ناهمگن خطی با ضرایب ثابت داشته باشد نوع خاص، یک راه حل خاص از یک معادله ناهمگن را می توان بدون توسل به روش تغییر ثابت های دلخواه پیدا کرد.

معادله را با ضرایب ثابت در نظر بگیرید

y (n) + یک سال (n– 1) + ... الف n – 1 سال " + a n y = f (ایکس), (16)

f( ایکس) = هتبر(P n(ایکس)cosbx + Rm(ایکس)sinbx), (17)

جایی که P n(ایکس) و R m(ایکس) - چند جمله ای درجه n و متربه ترتیب.

تصمیم خصوصی y*(ایکس) از رابطه (16) با فرمول تعیین می شود

در* (ایکس) = x sه تبر(آقای(ایکس)cosbx + شماره(ایکس)sinbx), (18)

جایی که آقای(ایکس) و N r(ایکس) - چند جمله ای درجه r = حداکثر(n، m) با ضرایب نامشخص , آ سبرابر با تعدد ریشه است ک 0 = a + ibچند جمله ای مشخصه معادله (16)، در حالی که فرض می شود s= 0 اگر ک 0 یک ریشه مشخصه نیست.

برای فرمول بندی یک راه حل خاص با استفاده از فرمول (18)، باید چهار پارامتر را پیدا کنیم - الف، ب، رو سسه مورد اول از سمت راست معادله با r- در واقع بالاترین است ایکسدر سمت راست پیدا شد پارامتر سبا مقایسه عدد پیدا می شود ک 0 = a + ibو مجموعه همه (با در نظر گرفتن چندگانگی) ریشه های مشخصه معادله (16) که در حل معادله همگن مربوطه یافت می شود.

اجازه دهید موارد خاصی از شکل تابع (17) را در نظر بگیریم:

1) در آ ¹ 0, ب= 0f(ایکس)= e ax P n(ایکس);

2) چه زمانی آ= 0, ب ¹ 0f(ایکس)= P n(ایکس) باosbx + Rm(ایکس)sinbx;

3) چه زمانی آ = 0, ب = 0f(ایکس)= پ.ن(ایکس).

نکته 1. اگر P n (x) º 0 یا Rm (x)º 0، سپس سمت راست معادله f(x) = e ax P n (x)с osbx یا f(x) = e ax R m (x)sinbx، یعنی فقط شامل یکی از توابع است. - کسینوس یا سینوس اما در علامت گذاری یک راه حل خاص، هر دو باید وجود داشته باشند، زیرا طبق فرمول (18)، هر یک از آنها در یک چند جمله ای با ضرایب نامشخص با درجه یکسان r = max(n, m) ضرب می شود.

مثال 11. در صورتی که سمت راست معادله مشخص باشد، شکل یک راه حل خاص برای یک معادله همگن خطی مرتبه 4 با ضرایب ثابت را تعیین کنید. f(ایکس) = e x(2xcos 3x +(ایکس 2 + 1)گناه 3ایکس) و ریشه های معادله مشخصه:

آ ) ک 1 = k 2 = 1, ک 3 = 3,ک 4 = - 1;

ب ) ک 1, 2 = 1 ± 3من,ک 3, 4 = ± 1;

که در ) ک 1, 2 = 1 ± 3من,ک 3, 4 = 1 ± 3من.

راه حل. در سمت راست، ما آن را در راه حل خاص می یابیم در*(ایکس، که با فرمول (18)، پارامترهای: آ= 1, ب= 3, r= 2. آنها برای هر سه مورد یکسان می مانند، از این رو تعداد ک 0 که آخرین پارامتر را مشخص می کند سفرمول (18) برابر است با ک 0 = 1+ 3من. در مورد (الف) هیچ عددی در بین ریشه های مشخصه وجود ندارد ک 0 = 1 + 3من،به معنای، س= 0، و راه حل خاص شکل دارد

y*(ایکس) = ایکس 0 سابق(م 2 (ایکس)cos 3x + N 2 (ایکس)گناه 3ایکس) =

= هایکس( (تبر 2 + Bx + C)cos 3x +(آ 1 ایکس 2 +B 1 x + C 1)گناه 3ایکس.

در مورد (ب) شماره ک 0 = 1 + 3منفقط یک بار در بین ریشه های مشخصه رخ می دهد، به این معنی که s= 1 و

y*(ایکس) = x e x((تبر 2 + Bx + C)cos 3x +(آ 1 ایکس 2 +B 1 x + C 1)گناه 3ایکس.

برای مورد (ج) داریم s= 2 و

y*(ایکس) = x 2 سابق((تبر 2 + Bx + C)cos 3x +(الف 1 ایکس 2 +B 1 x + C 1)گناه 3ایکس.

در مثال 11، دو چند جمله ای درجه 2 با ضرایب نامشخص در رکورد راه حل خاص وجود دارد. برای یافتن راه حل، باید مقادیر عددی این ضرایب را تعیین کنید. بیایید یک قانون کلی تدوین کنیم.

برای تعیین ضرایب مجهول چند جمله ای ها آقای(ایکس) و N r(ایکس) برابری (17) به تعداد دفعات لازم متمایز می شود، تابع جایگزین می شود y*(ایکس) و مشتقات آن به معادله (16). با مقایسه قسمت چپ و راست آن، سیستم را دریافت می کنیم معادلات جبریبرای پیدا کردن ضرایب

مثال 12. جواب معادله را بیابید در¢ ¢ (ایکس) - در¢ (ایکس) - 6در(ایکس) = xe 2ایکس، با تعیین یک راه حل خاص از معادله ناهمگن توسط شکل سمت راست.

راه حل. جواب کلی معادله ناهمگن شکل دارد

در( ایکس) = ` در(ایکس)+ y*(ایکس),

جایی که ` در ( ایکس) - حل کلی معادله همگن مربوطه، و y*(ایکس) - حل خاص یک معادله ناهمگن

ابتدا معادله همگن را حل می کنیم در¢ ¢ (ایکس) - در¢ (ایکس) - 6در(ایکس) = 0. معادله مشخصه آن ک 2 - ک- 6 = 0 دو ریشه دارد ک 1 = 3,ک 2 = - 2, در نتیجه، ` در ( ایکس) = سی 1 ه 3ایکس + سی 2 ه - 2ایکس .

برای تعیین نوع راه حل خاص از فرمول (18) استفاده می کنیم در*(ایکس). عملکرد f(ایکس) = xe 2ایکس یک مورد خاص (الف) از فرمول (17) است، در حالی که a = 2,b= 0 و r= 1, یعنی ک 0 = 2 + 0من = 2. با مقایسه با ریشه های مشخصه، نتیجه می گیریم که s= 0. با جایگزینی مقادیر تمام پارامترها به فرمول (18)، داریم y*(ایکس) = (آه + ب)ه 2ایکس .

برای یافتن ارزش ها ولیو AT, مشتقات مرتبه اول و دوم تابع را پیدا کنید y*(ایکس) = (آه + ب)ه 2ایکس :

y*¢ (ایکس)= Ae 2ایکس + 2(آه + ب)ه 2ایکس = (2آه + A + 2ب)ه 2x

y*¢ ¢ (ایکس) = 2Ae 2ایکس + 2(2آه + A + 2ب)ه 2ایکس = (4آه + 4A+ 4ب)ه 2ایکس .

پس از جایگزینی تابع y*(ایکس) و مشتقات آن را وارد معادله ای که داریم

(4آه + 4A+ 4ب)ه 2ایکس - (2آه + A + 2ب)ه 2ایکس - 6(آه + ب)ه 2ایکس =xe 2ایکس Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

بنابراین، یک راه حل خاص از معادله ناهمگن شکل دارد

y*(ایکس) = (- 1/4ایکس- 3/16)ه 2ایکس ,

و راه حل کلی - در ( ایکس) = سی 1 ه 3ایکس + سی 2 ه - 2ایکس + (- 1/4ایکس- 3/16)ه 2ایکس .

تبصره 2.در موردی که مسئله کوشی برای یک معادله ناهمگن مطرح می شود، ابتدا باید یک راه حل کلی برای معادله پیدا کرد.

در( ایکس) = ,

با تعیین تمام مقادیر عددی ضرایب در در*(ایکس). سپس از شرایط اولیه استفاده کنید و آنها را جایگزین راه حل کلی کنید (و نه در y*(ایکس))، مقادیر ثابت ها را بیابید C i.

مثال 13. برای مسئله کوشی راه حلی بیابید:

در¢ ¢ (ایکس) - در¢ (ایکس) - 6در(ایکس) = xe 2ایکس ، y(0) = 0، y ¢ (ایکس) = 0.

راه حل. حل کلی این معادله

در(ایکس) = سی 1 ه 3ایکس + سی 2 ه - 2ایکس + (- 1/4ایکس- 3/16)ه 2ایکس

در مثال 12 یافت شد. برای یافتن یک راه حل خاص که شرایط اولیه مسئله کوشی را برآورده کند، ما سیستم معادلات را به دست می آوریم.

حل آن، ما داریم سی 1 = 1/8, سی 2 = 1/16. بنابراین، راه حل مشکل کوشی تابع است

در(ایکس) = 1/8ه 3ایکس + 1/16ه - 2ایکس + (- 1/4ایکس- 3/16)ه 2ایکس .

تبصره 3(اصل برهم نهی). اگر در یک معادله خطی لوگاریتم[y(ایکس)]= f(ایکس)، جایی که f(ایکس) = f 1 (ایکس)+ f 2 (ایکس) و y* 1 (ایکس) - حل معادله لوگاریتم[y(ایکس)]= f 1 (ایکس), آ y* 2 (ایکس) - حل معادله لوگاریتم[y(ایکس)]= f 2 (ایکس), سپس تابع y*(ایکس)= y* 1 (ایکس)+ y* 2 (ایکس) است حل معادله لوگاریتم[y(ایکس)]= f(ایکس).

مثال 14. شکل حل کلی معادله خطی را نشان دهید

در¢ ¢ (ایکس) + 4در(ایکس) = x + sinx.

راه حل. حل کلی معادله همگن مربوطه

` در(ایکس) = سی 1 cos 2x + C 2 گناه 2ایکس,

از معادله مشخصه ک 2 + 4 = 0 ریشه دارد ک 1, 2 = ± 2من.سمت راست معادله با فرمول (17) مطابقت ندارد اما اگر علامت را معرفی کنیم f 1 (ایکس) = x, f 2 (ایکس) = سینکسو از اصل برهم نهی استفاده کنید , سپس یک راه حل خاص از معادله ناهمگن را می توان به شکل پیدا کرد y*(ایکس)= y* 1 (ایکس)+ y* 2 (ایکس)، جایی که y* 1 (ایکس) - حل معادله در¢ ¢ (ایکس) + 4در(ایکس) = x, آ y* 2 (ایکس) - حل معادله در¢ ¢ (ایکس) + 4در(ایکس) = سینکسبا فرمول (18)

y* 1 (ایکس) = تبر + ب,y* 2 (ایکس) = Ccosx + Dsinx.

سپس یک راه حل خاص

y*(ایکس) \u003d Axe + B + Ccosx + Dsinx,

از این رو راه حل کلی شکل دارد

در(ایکس) = سی 1 cos 2x + C 2 ه - 2ایکس + A x + B + Ccosx + Dsinx.

مثال 15. مدار الکتریکی از یک منبع جریان متصل به سری با emf تشکیل شده است ه(تی) = ای گناهwتی،اندوکتانس Lو ظروف از جانب، و

موسسه آموزشی "ایالت بلاروس

آکادمی کشاورزی"

گروه ریاضیات عالی

رهنمودها

در مورد بررسی موضوع "معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم" توسط دانشجویان گروه حسابداری فرم مکاتبه آموزش (NISPO)

گورکی، 2013

خطی معادلات دیفرانسیل

مرتبه دوم با ثابتضرایب

معادلات دیفرانسیل همگن خطی

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت معادله شکل نامیده می شود

آن ها معادله ای که تابع مورد نظر و مشتقات آن را فقط تا درجه اول شامل می شود و حاصلضرب آنها را در بر نمی گیرد. در این معادله و
تعدادی اعداد و تابع هستند
در فواصل زمانی داده شده است
.

اگر یک
در فاصله زمانی
، سپس معادله (1) شکل می گیرد

, (2)

و تماس گرفت همگن خطی . در غیر این صورت معادله (1) نامیده می شود خطی ناهمگن .

تابع پیچیده را در نظر بگیرید

, (3)

جایی که
و
توابع واقعی هستند. اگر تابع (3) جواب مختلط معادله (2) باشد، قسمت واقعی آن است
، و قسمت خیالی
راه حل ها
به طور جداگانه، راه حل های یک معادله همگن هستند. بنابراین، هر راه حل کاملمعادله (2) دو جواب واقعی این معادله را ایجاد می کند.

راه حل های یک معادله خطی همگن دارای ویژگی های زیر هستند:

اگر یک جواب معادله (2) و سپس تابع است
، جایی که از جانب- یک ثابت دلخواه، همچنین راه حلی برای معادله (2) خواهد بود.

اگر یک و جواب های معادله (2) و سپس تابع هستند
همچنین راه حلی برای معادله (2) خواهد بود.

اگر یک و راه حل های معادله (2) و سپس ترکیب خطی آنها هستند
همچنین راه حلی برای معادله (2)، که در آن و
ثابت دلخواه هستند

کارکرد
و
تماس گرفت وابسته به خط در فاصله زمانی
اگر چنین اعدادی وجود داشته باشد و
، که در همان زمان برابر با صفر نیستند، که در این بازه برابری است

اگر برابری (4) فقط زمانی برقرار باشد
و
، سپس توابع
و
تماس گرفت مستقل خطی در فاصله زمانی
.

مثال 1 . کارکرد
و
به صورت خطی وابسته هستند، زیرا
در امتداد کل خط اعداد در این مثال
.

مثال 2 . کارکرد
و
به صورت خطی در هر بازه ای مستقل هستند، زیرا برابری هستند
تنها در صورتی امکان پذیر است که و
، و
.

ساخت یک راه حل کلی از همگن خطی

معادلات

برای یافتن یک راه حل کلی برای معادله (2)، باید دو تا از راه حل های مستقل خطی آن را پیدا کنید و . ترکیب خطی این راه حل ها
، جایی که و
ثابت های دلخواه هستند و جواب کلی یک معادله همگن خطی را می دهند.

راه حل های مستقل خطی معادله (2) در فرم جستجو می شود

, (5)

جایی که - تعدادی عدد سپس
,
. اجازه دهید این عبارات را با معادله (2) جایگزین کنیم:

یا
.

زیرا
، سپس
. بنابراین تابع
جواب معادله (2) خواهد بود اگر معادله را برآورده خواهد کرد

. (6)

معادله (6) نامیده می شود معادله مشخصه برای معادله (2). این معادله یک معادله درجه دوم جبری است.

اجازه دهید و ریشه های این معادله هستند. آنها می توانند واقعی و متفاوت باشند، یا پیچیده، یا واقعی و برابر. بیایید این موارد را در نظر بگیریم.

بگذار ریشه ها و معادلات مشخصه واقعی و متمایز هستند. سپس جواب های معادله (2) توابع خواهند بود
و
. این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند، زیرا برابری هستند
فقط زمانی قابل انجام است
، و
. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد

,

جایی که و
ثابت دلخواه هستند

مثال 3
.

راه حل . معادله مشخصه برای این دیفرانسیل خواهد بود
. حل کردن آن معادله درجه دوم، ریشه های آن را پیدا کنید
و
. کارکرد
و
راه حل های معادله دیفرانسیل هستند. جواب کلی این معادله شکل دارد
.

عدد مختلط بیان فرم نامیده می شود
، جایی که و اعداد واقعی هستند و
واحد خیالی نامیده می شود. اگر یک
، سپس شماره
صرفاً خیالی نامیده می شود. اگر
، سپس شماره
با یک عدد واقعی مشخص می شود .

عدد جزء واقعی عدد مختلط نامیده می شود و - قسمت خیالی اگر دو عدد مختلط فقط در علامت قسمت خیالی با یکدیگر متفاوت باشند، آنها را مزدوج می نامند:
,
.

مثال 4 . یک معادله درجه دوم را حل کنید
.

راه حل . تمایز معادله
. سپس. به همین ترتیب،
. بنابراین، این معادله درجه دوم دارای ریشه های پیچیده مزدوج است.

بگذارید ریشه های معادله مشخصه پیچیده باشد، یعنی.
,
، جایی که
. راه حل های معادله (2) را می توان به صورت نوشتاری نوشت
,
یا
,
. طبق فرمول های اویلر

,
.

سپس ،. همانطور که مشخص است، اگر یک تابع مختلط حل یک معادله همگن خطی باشد، جواب های این معادله هر دو بخش واقعی و خیالی این تابع هستند. بنابراین، جواب های معادله (2) توابع خواهند بود
و
. از برابری

فقط در صورتی قابل انجام است
و
، پس این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد

جایی که و
ثابت دلخواه هستند

مثال 5 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله
برای دیفرانسیل داده شده مشخص است. ما آن را حل می کنیم و ریشه های پیچیده می گیریم
,
. کارکرد
و
راه حل های مستقل خطی معادله دیفرانسیل هستند. جواب کلی این معادله شکل دارد.

بگذارید ریشه های معادله مشخصه واقعی و مساوی باشند، یعنی.
. سپس جواب های معادله (2) توابع هستند
و
. این راه‌حل‌ها به‌طور خطی مستقل هستند، زیرا فقط زمانی که عبارت می‌تواند برابر با صفر باشد
و
. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد
.

مثال 6 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله مشخصه
ریشه های مساوی دارد
. در این حالت، جواب های مستقل خطی معادله دیفرانسیل، توابع هستند
و
. راه حل کلی شکل دارد
.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن با ضرایب ثابت

و خاص سمت راست

جواب کلی معادله ناهمگن خطی (1) برابر است با مجموع جواب کلی
معادله همگن مربوطه و هر راه حل خاصی
معادله ناهمگن:
.

در برخی موارد، یک راه حل خاص از یک معادله ناهمگن را می توان به سادگی با شکل سمت راست پیدا کرد.
معادلات (1). بیایید مواردی را که ممکن است در نظر بگیریم.

آن ها سمت راست معادله ناهمگن چند جمله ای درجه است متر. اگر یک
ریشه معادله مشخصه نیست، پس باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در قالب یک چند جمله ای درجه جستجو کرد. متر، یعنی

شانس
در فرآیند یافتن یک راه حل خاص تعیین می شوند.

اگر
ریشه معادله مشخصه است، پس باید به دنبال حل خاصی از معادله ناهمگن به شکل

مثال 7 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله همگن مربوط به این معادله است
. معادله مشخصه آن
ریشه دارد
و
. جواب کلی معادله همگن شکل دارد
.

زیرا
ریشه معادله مشخصه نیست، پس ما به دنبال حل خاصی از معادله ناهمگن در قالب یک تابع خواهیم بود.
. مشتقات این تابع را بیابید
,
و آنها را در این معادله جایگزین کنید:

یا . ضرایب را برابر کنید و اعضای رایگان:
با حل این سیستم، دریافت می کنیم
,
. سپس راه حل خاصی از معادله ناهمگن شکل می گیرد
و جواب کلی این معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی معادله همگن مربوطه و جواب خاص معادله ناهمگن خواهد بود:
.

اجازه دهید معادله ناهمگن شکل داشته باشد

اگر یک
ریشه معادله مشخصه نیست، پس باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در فرم جستجو کرد. اگر
ریشه معادله تعدد مشخصه است ک (ک= 1 یا ک=2)، در این صورت جواب خاص معادله ناهمگن به شکل .

مثال 8 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله مشخصه برای معادله همگن مربوطه دارای شکل است
. ریشه های آن
,
. در این حالت جواب کلی معادله همگن متناظر به صورت زیر نوشته می شود
.

از آنجایی که عدد 3 ریشه معادله مشخصه نیست، باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در این شکل جستجو کرد.
. بیایید مشتقات مرتبه اول و دوم را پیدا کنیم:

جایگزینی در معادله دیفرانسیل:
+ +,
+,.

ضرایب را برابر کنید و اعضای رایگان:

از اینجا
,
. سپس راه حل خاصی از این معادله شکل می گیرد
و راه حل کلی

.

روش لاگرانژ تغییر ثابت های دلخواه

روش تغییر ثابت های دلخواه را می توان برای هر معادله خطی ناهمگن با ضرایب ثابت، صرف نظر از شکل سمت راست، اعمال کرد. این روش این امکان را به وجود می آورد که در صورتی که جواب کلی معادله همگن مربوطه مشخص باشد، همیشه یک جواب کلی برای یک معادله ناهمگن پیدا کنیم.

اجازه دهید
و
راه حل های مستقل خطی معادله (2) هستند. سپس جواب کلی این معادله است
، جایی که و
ثابت دلخواه هستند ماهیت روش تغییر ثابت های دلخواه این است که حل کلی معادله (1) به شکل جستجو می شود.

جایی که
و
- ویژگی های ناشناخته جدیدی پیدا می شود. از آنجایی که دو تابع مجهول وجود دارد، برای یافتن آنها به دو معادله حاوی این توابع نیاز است. این دو معادله سیستم را تشکیل می دهند

که یک سیستم جبری خطی از معادلات با توجه به
و
. حل این سیستم، پیدا می کنیم
و
. با ادغام هر دو بخش از برابری های به دست آمده، متوجه می شویم

و
.

با جایگزینی این عبارات به (9)، جواب کلی معادله خطی ناهمگن (1) را بدست می آوریم.

مثال 9 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل. معادله مشخصه برای معادله همگن مربوط به معادله دیفرانسیل داده شده است
. ریشه های آن پیچیده است
,
. زیرا
و
، سپس
,
و جواب کلی معادله همگن به شکل است سپس جواب کلی این معادله ناهمگن را به شکل کجا جستجو می شود
و
- توابع ناشناخته

سیستم معادلات برای یافتن این توابع مجهول شکل دارد

حل این سیستم، پیدا می کنیم
,
. سپس

,
. اجازه دهید عبارات به دست آمده را با فرمول حل کلی جایگزین کنیم:

این جواب کلی این معادله دیفرانسیل است که با روش لاگرانژ به دست می آید.

پرسش هایی برای خودکنترلی دانش

کدام معادله دیفرانسیل را معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت می نامند؟

کدام معادله دیفرانسیل خطی را همگن و کدام را ناهمگن می نامند؟

خواص یک معادله همگن خطی چیست؟

چه معادله ای را مشخصه معادله دیفرانسیل خطی می نامند و چگونه به دست می آید؟

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت در مورد ریشه های مختلف معادله مشخصه به چه صورت نوشته می شود؟

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت در مورد ریشه های مساوی معادله مشخصه به چه صورت نوشته می شود؟

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت در مورد ریشه های مختلط معادله مشخصه به چه صورت نوشته می شود؟

جواب کلی معادله ناهمگن خطی چگونه نوشته می شود؟

در صورتی که ریشه های معادله مشخصه متفاوت و مساوی صفر نباشد و سمت راست معادله چند جمله ای درجه باشد، به چه شکلی به دنبال راه حل خاصی از یک معادله ناهمگن خطی است. متر?

در صورتی که در بین ریشه های معادله مشخصه یک صفر وجود داشته باشد و سمت راست معادله چند جمله ای درجه باشد، به چه شکلی راه حل خاصی از یک معادله ناهمگن خطی جستجو می شود. متر?

ماهیت روش لاگرانژ چیست؟

مبانی حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم (LNDE-2) با ضرایب ثابت (PC)

یک CLDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت $p$ و $q$ به شکل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، جایی که $f\left( x \right)$ یک تابع پیوسته است.

دو عبارت زیر در رابطه با LNDE دوم با PC درست است.

فرض کنید که برخی از تابع $U$ یک راه حل خاص دلخواه از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن است. اجازه دهید همچنین فرض کنیم که برخی از تابع $Y$ یک راه حل کلی (OR) معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ است. سپس OR از LHDE-2 برابر است با مجموع راه حل های خصوصی و عمومی نشان داده شده، یعنی $y=U+Y$.

اگر سمت راست LIDE مرتبه دوم مجموع توابع باشد، یعنی $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$، سپس ابتدا می توانید PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ را پیدا کنید که مربوط به هر کدام است از توابع $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ و بعد از آن بنویسید LNDE-2 PD به صورت $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

راه حل LNDE مرتبه دوم با کامپیوتر

بدیهی است که شکل یک یا آن PD $U$ یک LNDE-2 معین به شکل خاص سمت راست آن $f\left(x\right)$ بستگی دارد. ساده ترین موارد جستجوی PD LNDE-2 به صورت چهار قانون زیر فرموله شده است.

قانون شماره 1.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، یعنی a نامیده می شود چند جمله ای درجه $n$. سپس PR $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ جستجو می‌شود که $Q_(n) \left(x\right)$ دیگری است. چند جمله ای با درجه یکسان $P_(n) \left(x\right)$ و $r$ تعداد ریشه های صفر معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش ضرایب نامعین (NC) پیدا می شود.

قانون شماره 2.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $n$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(n ) \ left(x\right)$ چند جمله‌ای دیگر با همان درجه $P_(n) \left(x\right)$ است و $r$ تعداد ریشه‌های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. برابر با $\alpha $. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش NK پیدا می شود.

قانون شماره 3.

قسمت سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x است. \right) $، که در آن $a$، $b$ و $\beta $ اعداد شناخته شده هستند. سپس PD $U$ آن به شکل $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) جستجو می‌شود. )\right )\cdot x^(r) $، که $A$ و $B$ ضرایب ناشناخته هستند، و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه برابر با $i\cdot است. \بتا $. ضرایب $A$ و $B$ با روش NDT یافت می شوند.

قانون شماره 4.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ است که $P_(n) \left(x\right)$ است. یک چند جمله ای درجه $ n$، و $P_(m) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $m$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(s) \left(x\right) $ و $ R_(s) \left(x\right)$ چند جمله ای درجه $s$ هستند، عدد $s$ حداکثر دو عدد $n$ و $m$ است و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه، برابر با $\alpha +i\cdot \beta $. ضرایب چند جمله‌ای $Q_(s) \left(x\right)$ و $R_(s) \left(x\right)$ با روش NK پیدا می‌شوند.

روش NDT شامل اعمال است قانون بعدی. برای یافتن ضرایب مجهول چند جمله ای که بخشی از حل خاص معادله دیفرانسیل ناهمگن LNDE-2 هستند، لازم است:

• PD $U$ را که به شکل کلی نوشته شده است، در قسمت چپ LNDE-2 جایگزین کنید.
• در سمت چپ LNDE-2، ساده سازی ها را انجام دهید و اصطلاحات را با قدرت های یکسان $x$ انجام دهید.
• در هویت به دست آمده، ضرایب عبارت ها را با قدرت های یکسان $x$ سمت چپ و راست برابر کنید.
• سیستم حاصل را حل کنید معادلات خطیبا توجه به ضرایب مجهول.

مثال 1

وظیفه: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ را پیدا کنید. PR، شرایط اولیه $y=6$ برای $x=0$ و $y"=1$ برای $x=0$ را برآورده می‌کند.

LODA-2 مربوطه را بنویسید: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

معادله مشخصه: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ریشه های معادله مشخصه: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. این ریشه ها واقعی و متمایز هستند. بنابراین، OR مربوط به LODE-2 شکل دارد: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

قسمت سمت راست این LNDE-2 به شکل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است. لازم است ضریب توان نمایی $\alpha =3$ را در نظر بگیریم. این ضریب با هیچ یک از ریشه های معادله مشخصه منطبق نیست. بنابراین، PR این LNDE-2 به شکل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است.

با استفاده از روش NK به دنبال ضرایب $A$, $B$ خواهیم بود.

اولین مشتق CR را پیدا می کنیم:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \راست)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما مشتق دوم CR را پیدا می کنیم:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما توابع $U""$، $U"$ و $U$ را به جای $y""$، $y"$ و $y$ در LNDE-2 $y""-3\cdot y" جایگزین می کنیم. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ در همان زمان، از آنجایی که توان $e^(3\cdot x) $ گنجانده شده است به عنوان یک عامل در تمام اجزاء، پس از آن می توان آن را حذف کرد.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ما اقداماتی را در سمت چپ برابری حاصل انجام می دهیم:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ما از روش NC استفاده می کنیم. ما یک سیستم معادلات خطی با دو مجهول دریافت می کنیم:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

راه حل این سیستم این است: $A=-2$، $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ برای مشکل ما به این شکل است: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ برای مشکل ما به این صورت است: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

برای جستجوی یک PD که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند، مشتق $y"$ OR را پیدا می کنیم:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

ما در $y$ و $y"$ شرایط اولیه $y=6$ را با $x=0$ و $y"=1$ را برای $x=0$ جایگزین می کنیم:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ما یک سیستم معادلات بدست آوردیم:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

حلش می کنیم. ما $C_(1) $ را با استفاده از فرمول Cramer پیدا می کنیم و $C_(2) $ از معادله اول تعیین می شود:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

بنابراین، PD این معادله دیفرانسیل عبارت است از: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

این مقاله مسئله حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم را با ضرایب ثابت نشان می دهد. این نظریه همراه با مثال هایی از مسائل ارائه شده در نظر گرفته می شود. برای رمزگشایی اصطلاحات نامفهوم باید به مبحث تعاریف و مفاهیم اساسی نظریه معادلات دیفرانسیل مراجعه کرد.

یک معادله دیفرانسیل خطی (LDE) مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل y "" + p y " + q y \u003d f (x) را در نظر بگیرید، که در آن p و q اعداد دلخواه هستند و تابع موجود f (x) است. پیوسته در بازه ادغام x.

اجازه دهید به فرمول بندی قضیه حل کلی برای LIDE بپردازیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قضیه حل کلی برای LDNU

قضیه 1

راه حل کلی، واقع در بازه x، معادله دیفرانسیل ناهمگن به شکل y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) با ضرایب ادغام پیوسته در بازه x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . ، f n - 1 (x) و عملکرد پیوسته f (x) برابر است با مجموع جواب کلی y 0، که مربوط به LODE و برخی از راه حل های خاص y ~ است، که در آن معادله ناهمگن اصلی y = y 0 + y ~ است.

این نشان می دهد که حل چنین معادله ای مرتبه دوم به شکل y = y 0 + y ~ است. الگوریتم برای یافتن y 0 در مقاله معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت در نظر گرفته شده است. پس از آن باید به سراغ تعریف y ~ رفت.

انتخاب یک راه حل خاص برای LIDE بستگی به نوع تابع موجود f (x) واقع در سمت راست معادله دارد. برای این کار لازم است حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را جداگانه در نظر بگیرید.

وقتی f (x) را چند جمله ای از درجه n در نظر بگیریم f (x) = P n (x) ، نتیجه می شود که یک راه حل خاص از LIDE با فرمولی به شکل y ~ = Q n (x) پیدا می شود. ) x γ، که در آن Q n (x) چند جمله ای درجه n است، r تعداد ریشه های صفر معادله مشخصه است. مقدار y ~ یک راه حل خاص است y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) ، سپس ضرایب موجود که توسط چند جمله ای تعریف می شوند.
Q n (x) ، ما با استفاده از روش ضرایب نامعین از برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) پیدا می کنیم.

مثال 1

با استفاده از قضیه کوشی y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 را محاسبه کنید.

راه حل

به عبارت دیگر، لازم است به یک راه حل خاص از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت y "" - 2 y " = x 2 + 1 گذر کرد که شرایط داده شده را برآورده می کند y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

جواب کلی یک معادله ناهمگن خطی مجموع جواب کلی است که با معادله y 0 یا یک جواب خاص از معادله ناهمگن y ~ مطابقت دارد، یعنی y = y 0 + y ~ .

ابتدا بیایید یک راه حل کلی برای LNDE و سپس یک راه حل خاص پیدا کنیم.

بیایید به یافتن y 0 برویم. نوشتن معادله مشخصه به یافتن ریشه ها کمک می کند. ما آن را دریافت می کنیم

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0، k 2 \u003d 2

ما متوجه شدیم که ریشه ها متفاوت و واقعی هستند. بنابراین، ما می نویسیم

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

بیایید y را پیدا کنیم. دیده می شود که سمت راست معادله داده شدهیک چند جمله ای درجه دوم است، پس یکی از ریشه ها برابر با صفر است. از اینجا دریافتیم که یک راه حل خاص برای y ~ خواهد بود

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x، که در آن مقادیر A، B، C ضرایب تعریف نشده را بگیرید

بیایید آنها را از یک برابری به شکل y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 پیدا کنیم.

سپس دریافت می کنیم که:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

با معادل سازی ضرایب با نماهای یکسان x ، سیستمی از عبارات خطی بدست می آوریم - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . هنگام حل به هر یک از روش ها ، ضرایب را پیدا می کنیم و می نویسیم: A \u003d - 1 6 ، B \u003d - 1 4 ، C \u003d - 3 4 و y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

این ورودی حل کلی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی اصلی با ضرایب ثابت نامیده می شود.

برای یافتن یک راه حل خاص که شرایط y (0) = 2, y " (0) = 1 4 را برآورده کند، باید مقادیر را تعیین کرد. C1و C2، بر اساس برابری شکل y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

دریافتیم که:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

ما با سیستم معادلات حاصل به شکل C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 کار می کنیم که در آن C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

با استفاده از قضیه کوشی، این را داریم

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

پاسخ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

وقتی تابع f (x) به صورت حاصل ضرب یک چند جمله‌ای با درجه n و توان f (x) = P n (x) e a x نشان داده می‌شود، از اینجا به دست می‌آییم که راه‌حل خاصی از LIDE مرتبه دوم خواهد بود. معادله ای به شکل y ~ = e a x Q n ( x) · x γ، که در آن Q n (x) چند جمله ای درجه n است و r تعداد ریشه های معادله مشخصه برابر با α است.

ضرایب متعلق به Q n (x) با برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) یافت می شود.

مثال 2

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل به شکل y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x را بیابید.

راه حل

معادله نمای کلی y = y 0 + y ~ . معادله نشان داده شده مطابق با LOD y "" - 2 y " = 0 است. مثال قبلی نشان می دهد که ریشه های آن k1 = 0و k 2 = 2 و y 0 = C 1 + C 2 e 2 x با توجه به معادله مشخصه.

می توان دید که سمت راست معادله x 2 + 1 · e x است. از اینجا، LNDE از طریق y ~ = e a x Q n (x) x γ پیدا می شود، که در آن Q n (x) که یک چند جمله ای درجه دوم است، جایی که α = 1 و r = 0 است، زیرا معادله مشخصه نمی باشد. ریشه ای برابر با 1 داشته باشد. از این رو ما آن را دریافت می کنیم

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A، B، C ضرایب ناشناخته ای هستند که می توان آنها را با برابری y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x پیدا کرد.

گرفتش

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

شاخص ها را برای همان ضرایب برابر می کنیم و یک سیستم معادلات خطی به دست می آوریم. از اینجا ما A، B، C را پیدا می کنیم:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

پاسخ:می توان دید که y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 راه حل خاصی از LIDE است و y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

وقتی تابع به صورت f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x نوشته می شود، و الف 1و در 1اعداد هستند، سپس معادله ای به شکل y ~ = A cos β x + B sin β x x γ، که در آن A و B به عنوان ضرایب نامعین در نظر گرفته می شوند، و r تعداد ریشه های مزدوج پیچیده مربوط به معادله مشخصه، برابر است با ± من β. در این مورد، جستجوی ضرایب با برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) انجام می شود.

مثال 3

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل به شکل y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) را بیابید.

راه حل

قبل از نوشتن معادله مشخصه، y 0 را پیدا می کنیم. سپس

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

ما یک جفت ریشه مزدوج پیچیده داریم. بیایید تبدیل کنیم و دریافت کنیم:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ریشه های معادله مشخصه به صورت یک جفت مزدوج ± 2 i در نظر گرفته می شوند، سپس f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . این نشان می دهد که جستجوی y ~ از y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. ناشناخته ها انجام می شود. ضرایب A و B از یک برابری به شکل y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) جستجو می شوند.

بیایید تبدیل کنیم:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

سپس دیده می شود که

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

لازم است ضرایب سینوس ها و کسینوس ها را برابر کنیم. ما یک سیستم از فرم را دریافت می کنیم:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

نتیجه می شود که y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

پاسخ:جواب کلی LIDE اصلی مرتبه دوم با ضرایب ثابت در نظر گرفته می شود

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

وقتی f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) ، آنگاه y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ داریم که r تعداد جفت‌های مزدوج پیچیده ریشه‌های مربوط به معادله مشخصه است، برابر α ± i β، که در آن P n (x) , Q k (x) , L m ( x) و N m (x)چند جمله ای درجه n، k، m هستند که در آن m = m a x (n، k). یافتن ضرایب L m (x)و N m (x)بر اساس برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) تولید می شود.

مثال 4

جواب کلی y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) را پیدا کنید.

راه حل

از این شرط معلوم می شود که

α = 3، β = 5، Pn (x) = - 38 x - 45، Q k (x) = - 8 x + 5، n = 1، k = 1

سپس m = m a x (n , k) = 1 . y 0 را با نوشتن معادله مشخصه شکل بدست می آوریم:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1، k 2 = 3 + 1 2 = 2

ما دریافتیم که ریشه ها واقعی و متمایز هستند. از این رو y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . در مرحله بعد، لازم است به دنبال یک راه حل کلی بر اساس یک معادله ناهمگن y ~ از شکل باشیم.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

مشخص است که A، B، C ضرایب، r = 0 هستند، زیرا هیچ جفت ریشه مزدوج مربوط به معادله مشخصه با α ± i β = 3 ± 5 · i وجود ندارد. این ضرایب از برابری حاصل به دست می آیند:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

پیدا کردن مشتق و اصطلاحات مشابه را می دهد

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

پس از معادل سازی ضرایب، سیستمی از فرم را به دست می آوریم

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

از همه آن نتیجه می شود که

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) sin (5x))

پاسخ:حال جواب کلی معادله خطی داده شده به دست آمده است:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

الگوریتم برای حل LDNU

تعریف 1

هر نوع دیگری از تابع f (x) برای حل، الگوریتم حل را ارائه می دهد:

• یافتن جواب کلی معادله همگن خطی مربوطه، که در آن y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 y 1و y2راه حل های خاص مستقل خطی LODE هستند، از 1و از 2ثابت دلخواه در نظر گرفته می شوند.
• پذیرش به عنوان راه حل کلی LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 .
• تعریف مشتقات یک تابع از طریق سیستمی به شکل C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) و یافتن توابع C 1 (x)و C 2 (x) از طریق ادغام.

مثال 5

جواب کلی برای y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

راه حل

ما به نوشتن معادله مشخصه ادامه می دهیم و قبلاً y 0 , y "" + 36 y = 0 نوشته بودیم. بیایید بنویسیم و حل کنیم:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = گناه (6 x)

داریم که رکورد جواب کلی معادله داده شده به شکل y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) خواهد بود. لازم است به تعریف توابع مشتق برویم C 1 (x)و C2 (x)با توجه به سیستم با معادلات:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (سین (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2" (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

باید در مورد آن تصمیم گیری شود C 1 "(x)و C2" (x)با استفاده از هر روشی سپس می نویسیم:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2"(x) \u003d 4 sin (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

هر یک از معادلات باید یکپارچه شوند. سپس معادلات حاصل را می نویسیم:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

نتیجه این است که راه حل کلی به شکل زیر خواهد بود:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

پاسخ: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید