استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. برای وضوح، بیایید مشکل زیر را حل کنیم:

\[ (z_1\cdot z_2)^(10) را محاسبه کنید اگر \

اول از همه، بیایید به این واقعیت توجه کنیم که یک عدد به شکل جبری، دیگری - به شکل مثلثاتی نشان داده شده است. باید ساده شود و به شکل زیر در بیاید

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

عبارت \ می گوید که اول از همه، ضرب و افزایش را تا توان 10 طبق فرمول Moivre انجام می دهیم. این فرمول برای شکل مثلثاتی یک عدد مختلط فرموله شده است. ما گرفتیم:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

با رعایت قوانین ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی، موارد زیر را انجام خواهیم داد:

در مورد ما:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ پی) (3).\]

با درست کردن کسر \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\]، نتیجه می‌گیریم که می‌توان 4 دور \[(8\pi rad.):\ را "پیچاند" ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

پاسخ: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

این معادله را می توان به روش دیگری حل کرد، که به این نتیجه می رسد که عدد 2 را به شکل جبری در آوریم و سپس ضرب را انجام دهیم. فرم جبری، نتیجه را به شکل مثلثاتی ترجمه کنید و فرمول De Moivre را اعمال کنید:

کجا می توانم یک سیستم معادلات با اعداد مختلط را به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.

عبارات، معادلات، و سیستم های معادلات
با اعداد مختلط

امروز سر کلاس کار خواهیم کرد اقدامات معمولیبا اعداد مختلط، و همچنین تسلط بر تکنیک حل عبارات، معادلات و سیستم های معادلات که این اعداد شامل. این کارگاه ادامه ی درس می باشد و لذا اگر با موضوع آشنایی ندارید از لینک بالا استفاده نمایید. خوب، من به خوانندگان آماده تر پیشنهاد می کنم فوراً خود را گرم کنند:

مثال 1

ساده سازی بیان ، اگر . نتیجه را به صورت مثلثاتی ارائه دهید و آن را در صفحه مختلط به تصویر بکشید.

راه حل: بنابراین، شما باید کسر "وحشتناک" را جایگزین کنید، ساده سازی ها را انجام دهید و نتیجه را ترجمه کنید عدد مختلطکه در فرم مثلثاتی. به علاوه لعنتی

بهترین راه برای تصمیم گیری چیست؟ پرداختن به یک عبارت جبری "فانتزی" در مراحل سودآورتر است. اولاً توجه کمتر پراکنده می شود و ثانیاً اگر کار اعتبار داده نشود پیدا کردن خطا بسیار آسان تر خواهد بود.

1) ابتدا صورت را ساده می کنیم. مقدار را در آن قرار دهید، براکت ها را باز کنید و مدل مو را اصلاح کنید:

... بله، چنین Quasimodo از اعداد مختلط معلوم شد ...

به شما یادآوری می کنم که در جریان تحولات از چیزهای کاملاً هوشمندانه استفاده می شود - قانون ضرب چند جمله ای ها و برابری پیش پا افتاده. نکته اصلی این است که مراقب باشید و در علائم سردرگم نشوید.

2) اکنون مخرج بعدی است. اگر پس از آن:

توجه داشته باشید که در چه تعبیری غیرعادی استفاده می شود فرمول مجموع مربع. از طرف دیگر، می توانید اینجا را تغییر دهید زیر فرمول . نتایج، البته مطابقت خواهد داشت.

3) و در نهایت، کل عبارت. اگر پس از آن:

برای خلاص شدن از شر کسر، صورت و مخرج را در عبارت مزدوج به مخرج ضرب می کنیم. با این حال، برای اهداف درخواست تفاوت فرمول های مربعباید مقدماتی باشد (و حتما!)قسمت واقعی منفی را در جایگاه دوم قرار دهید:

و حالا قانون کلیدی:

در هیچ موردی ما عجله نمی کنیم! بهتر است آن را ایمن بازی کنید و یک مرحله اضافی را تجویز کنید.
در عبارات، معادلات و سیستم های دارای اعداد مختلط، محاسبات شفاهی متکبرانه است مملو از همیشه!

در مرحله آخر یک انقباض خوب وجود داشت و این فقط یک علامت عالی است.

توجه داشته باشید : به طور دقیق، تقسیم عدد مختلط بر عدد مختلط 50 در اینجا انجام شد (به یاد بیاورید). من تا به حال در مورد این نکته سکوت کردم و کمی بعد در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

بیایید دستاورد خود را با حرف مشخص کنیم

بیایید نتیجه را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. به طور کلی، در اینجا می توانید بدون نقاشی انجام دهید، اما به محض اینکه لازم باشد، تکمیل آن در حال حاضر تا حدودی منطقی تر است:

مدول یک عدد مختلط را محاسبه کنید:

اگر نقاشی را در مقیاس 1 واحد انجام دهید. \u003d 1 سانتی متر (2 سلول تتراد)، سپس مقدار حاصل را با استفاده از یک خط کش معمولی به راحتی می توان بررسی کرد.

بیایید یک استدلال پیدا کنیم. از آنجایی که عدد در ربع مختصات 2 قرار دارد، پس:

زاویه به سادگی توسط یک نقاله بررسی می شود. این مزیت بدون شک نقاشی است.

بدین ترتیب: - عدد مورد نظر به صورت مثلثاتی.

بیایید بررسی کنیم:
، که قرار بود تایید شود.

یافتن مقادیر ناآشنا از سینوس و کسینوس توسط آن راحت است جدول مثلثاتی.

پاسخ:

یک مثال مشابه برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 2

ساده سازی بیان ، جایی که . عدد حاصل را روی صفحه مختلط رسم کرده و به صورت نمایی بنویسید.

سعی کنید از آموزش ها غافل نشوید. آنها ممکن است ساده به نظر برسند، اما بدون آموزش، "ورود به گودال" نه تنها آسان، بلکه بسیار آسان است. پس بیایید دستمان را بگیریم.

اغلب مشکل بیش از یک راه حل را امکان پذیر می کند:

مثال 3

محاسبه کنید اگر،

راه حل: اول از همه به شرط اصلی توجه کنیم - یک عدد به صورت جبری و دیگری به صورت مثلثاتی و حتی با درجه ارائه می شود. بیایید بلافاصله آن را به شکلی آشناتر بازنویسی کنیم: .

محاسبات به چه صورت باید انجام شود؟ این عبارت، بدیهی است که شامل ضرب اول و افزایش بیشتر به توان 10 در است فرمول De Moivre، که برای شکل مثلثاتی یک عدد مختلط فرموله شده است. بنابراین، تبدیل عدد اول منطقی تر به نظر می رسد. ماژول و آرگومان آن را بیابید:

از قانون ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی استفاده می کنیم:
اگر پس از آن

با درست کردن کسر، به این نتیجه می رسیم که می توان 4 چرخش را "پیچاند". (خوشحالم.):

راه دوم برای حلاین است که عدد 2 را به شکل جبری ترجمه کنید ، ضرب را به صورت جبری انجام دهید، نتیجه را به صورت مثلثاتی ترجمه کنید و از فرمول De Moivre استفاده کنید.

همانطور که می بینید، یک اقدام "اضافی". کسانی که مایلند می توانند راه حل را تا انتها دنبال کنند و از مطابقت نتایج مطمئن شوند.

شرط چیزی در مورد شکل عدد مختلط حاصل نمی گوید، بنابراین:

پاسخ:

اما "برای زیبایی" یا در صورت تقاضا، نتیجه را می توان به راحتی به شکل جبری نشان داد:

بدون کمک دیگری:

مثال 4

ساده سازی بیان

در اینجا لازم به یادآوری است اقدامات با قدرت، اگرچه هیچ قانون مفیدی در دستورالعمل آموزشی وجود ندارد، اما در اینجا آمده است:.

و یک نکته مهم دیگر: مثال را می توان در دو سبک حل کرد. اولین گزینه کار با آن است دواعداد و قرار دادن با کسر. گزینه دوم نمایش هر عدد در فرم است ضریب دو عدد: و از شر چهارطبقه خلاص شوید. از منظر رسمی، نحوه تصمیم گیری فرقی نمی کند، اما یک تفاوت معنادار وجود دارد! لطفا خوب در نظر بگیرید:
یک عدد مختلط است؛
ضریب دو عدد مختلط (و) است، با این حال، بسته به زمینه، می توان این را نیز گفت: عددی که به عنوان ضریب دو عدد مختلط نشان داده می شود.

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

عبارات خوب هستند، اما معادلات بهتر هستند:

معادلات با ضرایب مختلط

تفاوت آنها با معادلات "معمولی" چیست؟ ضرایب =)

با توجه به نکته فوق، اجازه دهید با این مثال شروع کنیم:

مثال 5

معادله را حل کنید

و مقدمه ای فوری در تعقیب داغ: در اصل قسمت راستمعادله به عنوان ضریب دو عدد مختلط (و 13) قرار می گیرد و بنابراین بازنویسی شرط با عدد بد است (حتی اگر خطایی ایجاد نکند). به هر حال، این تفاوت به وضوح در کسرها دیده می شود - اگر، به طور نسبی، , پس این مقدار در درجه اول به عنوان درک می شود ریشه پیچیده "کامل" معادله، و نه به عنوان مقسوم علیه عدد، و حتی بیشتر از آن - نه به عنوان بخشی از عدد!

راه حل، در اصل، می توان آن را مرحله به مرحله نیز مرتب کرد، اما در این مورد بازی ارزش شمع را ندارد. وظیفه اولیه ساده کردن هر چیزی است که حاوی "Z" مجهول نیست، در نتیجه معادله به شکل کاهش می یابد:

با اطمینان کسر متوسط ​​را ساده کنید:

نتیجه را به سمت راست منتقل می کنیم و تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید : و باز هم توجه شما را به نکته معنی دار جلب می کنم - در اینجا عدد را از عدد کم نکردیم بلکه کسرها را به یک مخرج مشترک جمع کردیم! لازم به ذکر است که در حال حاضر در طول راه حل، کار با اعداد ممنوع نیست: اما در مثال مورد بررسی چنین سبکی بیشتر مضر است تا مفید =)

طبق قاعده تناسب، «ز» را بیان می کنیم:

اکنون می توانید دوباره در عبارت الحاقی تقسیم و ضرب کنید، اما اعداد مشکوک مشابه صورت و مخرج حرکت زیر را نشان می دهد:

پاسخ:

برای اهداف تأیید، مقدار حاصل را در سمت چپ معادله اصلی جایگزین می‌کنیم و ساده‌سازی‌ها را انجام می‌دهیم:

- سمت راست معادله اصلی به دست می آید، بنابراین ریشه به درستی پیدا می شود.

… حالا-اکنون… من چیز جالب‌تری برای شما انتخاب می‌کنم… صبر کنید:

مثال 6

معادله را حل کنید

این معادله به شکل کاهش می یابد و بنابراین خطی است. اشاره، من فکر می کنم، واضح است - آن را دنبال کنید!

البته ... چگونه می توانید بدون آن زندگی کنید:

معادله درجه دوم با ضرایب مختلط

روی درس اعداد مختلط برای آدمک هاما آموختیم که یک معادله درجه دوم با ضرایب واقعی می تواند ریشه های پیچیده مزدوج داشته باشد، پس از آن یک سوال منطقی مطرح می شود: در واقع چرا ضرایب خود نمی توانند پیچیده باشند؟ من فرموله خواهم کرد مورد کلی:

معادله درجه دوم با ضرایب مختلط دلخواه (1 یا 2 مورد از آنها یا هر سه به طور خاص ممکن است معتبر باشند)این دارد دو و فقط دوریشه های پیچیده (احتمالاً یکی یا هر دو معتبر است). در حالی که ریشه ها (هم واقعی و هم با قسمت خیالی غیر صفر)ممکن است منطبق باشد (معدد باشد).

معادله درجه دوم با ضرایب مختلط به همان روش حل می شود معادله "مدرسه".، با تفاوت هایی در تکنیک محاسباتی:

مثال 7

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید

راه حل: واحد خیالی در وهله اول است و اصولاً می توانید از شر آن خلاص شوید (ضرب دو طرف در )اما نیاز خاصی به این کار وجود ندارد.

برای راحتی، ضرایب را می نویسیم:

ما "منهای" عضو رایگان را از دست نمی دهیم! ... ممکن است برای همه روشن نباشد - معادله را به شکل استاندارد بازنویسی می کنم :

بیایید تفکیک کننده را محاسبه کنیم:

مانع اصلی اینجاست:

استفاده از فرمول کلی برای استخراج ریشه (به پاراگراف آخر مقاله مراجعه کنید اعداد مختلط برای آدمک ها) با مشکلات جدی مرتبط با استدلال عدد مختلط رادیکال پیچیده است (خودت ببین). اما یک راه دیگر، "جبری" وجود دارد! ما به دنبال ریشه در شکل زیر خواهیم بود:

بیایید هر دو طرف را مربع کنیم:

دو عدد مختلط در صورتی مساوی هستند که اجزای واقعی و فرضی آنها برابر باشند. بنابراین، سیستم زیر را دریافت می کنیم:

حل سیستم با انتخاب آسانتر است (روش کاملتر این است که از معادله 2 بیان کنید - در 1 جایگزین کنید، معادله دو درجه ای را بدست آورید و حل کنید). با فرض اینکه نویسنده مشکل یک هیولا نیست، فرض می کنیم که اعداد صحیح هستند. از معادله 1 نتیجه می شود که "x" مدولبیشتر از "y". علاوه بر این، محصول مثبت به ما می گوید که مجهولات از یک علامت هستند. با توجه به موارد فوق و با تمرکز بر معادله 2، تمام جفت هایی که با آن مطابقت دارند را یادداشت می کنیم:

بدیهی است که دو جفت آخر معادله 1 سیستم را برآورده می کنند، بنابراین:

یک بررسی میانی ضرری ندارد:

که قرار بود بررسی شود.

به عنوان یک ریشه "کار"، می توانید انتخاب کنید هرمعنی واضح است که بهتر است نسخه را بدون "معایب" بگیرید:

ما ریشه ها را می یابیم، ضمناً فراموش نمی کنیم که:

پاسخ:

بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه های یافت شده معادله را برآورده می کنند یا خیر :

1) جایگزین:

برابری صحیح

2) جایگزین:

برابری صحیح

بنابراین، راه حل به درستی پیدا می شود.

با الهام از مشکلی که اکنون در مورد آن بحث شد:

مثال 8

ریشه های معادله را بیابید

لازم به ذکر است که ریشه دوماز جانب کاملا پیچیدهاعداد به طور کامل و با استفاده از فرمول کلی استخراج می شوند ، جایی که ، بنابراین هر دو روش در نمونه نشان داده شده است. دومین نکته مفید مربوط به این واقعیت است که استخراج اولیه ریشه از ثابت به هیچ وجه راه حل را ساده نمی کند.

و اکنون می توانید استراحت کنید - در این مثال، با کمی ترس پیاده خواهید شد :)

مثال 9

معادله را حل کنید و بررسی کنید

راه حل و پاسخ در پایان درس.

پاراگراف پایانی مقاله به این موضوع اختصاص دارد

سیستم معادلات با اعداد مختلط

ما آرام شدیم و... فشار نمی‌آوریم =) بیایید ساده‌ترین مورد را در نظر بگیریم - یک سیستم دو نفره معادلات خطیبا دو مجهول:

مثال 10

سیستم معادلات را حل کنید. پاسخ را به صورت جبری و نمایی ارائه دهید، ریشه ها را در نقاشی به تصویر بکشید.

راه حل: خود شرط نشان می دهد که سیستم دارای است تنها تصمیم، یعنی باید دو عدد را پیدا کنیم که برآورده شوند به هرمعادله سیستم

این سیستم را واقعاً می توان به روشی "کودکانه" حل کرد (یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید) ، اما استفاده از آن بسیار راحت تر است فرمول های کرامر. محاسبه کنید تعیین کننده اصلیسیستم های:

، بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

باز هم می گویم که بهتر است عجله نکنید و مراحل را تا حد امکان دقیق تجویز کنید:

صورت و مخرج را در یک واحد فرضی ضرب می کنیم و ریشه اول را بدست می آوریم:

به همین ترتیب:

سمت راست مربوطه، p.t.p.

بیایید طراحی را اجرا کنیم:

ما ریشه ها را به صورت نمایی نشان می دهیم. برای انجام این کار، باید ماژول ها و آرگومان های آنها را پیدا کنید:

1) - مماس قوس "دو" "ضعیف" محاسبه می شود، بنابراین آن را به این صورت رها می کنیم:

برای حل مسائل با اعداد مختلط، باید تعاریف اولیه را درک کنید. هدف اصلی این مقاله مروری تبیین چیستی اعداد مختلط و ارائه روش هایی برای حل مسائل اساسی با اعداد مختلط است. بنابراین، یک عدد مختلط یک عدد از فرم است z = a + bi، جایی که الف، ب- اعداد حقیقی که به ترتیب اجزای واقعی و خیالی عدد مختلط نامیده می شوند و نشان می دهند. a = Re(z)، b=Im(z).
منواحد خیالی نامیده می شود. i 2 \u003d -1. به طور خاص، هر عدد واقعی را می توان پیچیده در نظر گرفت: a = a + 0i، جایی که a واقعی است. اگر a = 0و b ≠ 0، سپس عدد را کاملاً خیالی می گویند.

اکنون عملیات اعداد مختلط را معرفی می کنیم.
دو عدد مختلط را در نظر بگیرید z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 i.

در نظر گرفتن z = a + bi.

مجموعه اعداد مختلط مجموعه اعداد حقیقی را گسترش می دهد که به نوبه خود مجموعه اعداد گویا را گسترش می دهد و غیره. این زنجیره سرمایه گذاری در شکل قابل مشاهده است: N - اعداد صحیح، Z اعداد صحیح، Q گویا، R واقعی، C مختلط هستند.

نمایش اعداد مختلط

نماد جبری.

یک عدد مختلط را در نظر بگیرید z = a + bi، این شکل از نوشتن یک عدد مختلط نامیده می شود جبری. قبلاً در بخش قبل به تفصیل درباره این شکل نوشتن بحث کرده ایم. غالباً از نقاشی مصور زیر استفاده کنید

فرم مثلثاتی

از شکل مشخص است که عدد z = a + biرا می توان متفاوت نوشت بدیهی است که a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|، در نتیجه z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) آرگومان یک عدد مختلط نامیده می شود. این نمایش یک عدد مختلط نامیده می شود فرم مثلثاتی. شکل مثلثاتی نماد گاهی اوقات بسیار راحت است. به عنوان مثال، استفاده از آن برای افزایش یک عدد مختلط به یک توان صحیح، یعنی if، راحت است z = rcos(φ) + rsin(φ)i، سپس z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i، این فرمول نامیده می شود فرمول دو مویور.

فرم نمایشی

در نظر گرفتن z = rcos(φ) + rsin(φ)iیک عدد مختلط به شکل مثلثاتی است، ما آن را به شکل دیگری می نویسیم z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ، آخرین برابری از فرمول اویلر به دست می آید، بنابراین به دست می آوریم فرم جدیدورودی های اعداد مختلط: z = re iφ، که نامیده می شود نمایشی. این شکل از نماد برای افزایش یک عدد مختلط به توان بسیار مناسب است: z n = r n e inφ، اینجا nلزوما یک عدد صحیح نیست، اما می تواند یک عدد واقعی دلخواه باشد. این شکل از نوشتن اغلب برای حل مشکلات استفاده می شود.

قضیه اساسی جبر عالی

تصور کنید که ما یک معادله درجه دوم x 2 + x + 1 = 0 داریم. بدیهی است که ممیز این معادله منفی است و ریشه واقعی ندارد، اما معلوم می شود که این معادله دارای دو ریشه پیچیده متفاوت است. بنابراین، قضیه اصلی جبر عالی بیان می کند که هر چند جمله ای درجه n حداقل یک ریشه مختلط دارد. از این نتیجه می شود که هر چند جمله ای درجه n با در نظر گرفتن تعدد آنها دقیقاً n ریشه پیچیده دارد. این قضیه نتیجه بسیار مهمی در ریاضیات است و کاربرد وسیعی دارد. نتیجه ساده این قضیه این است که دقیقاً n ریشه n درجه متمایز از وحدت وجود دارد.

انواع اصلی وظایف

این بخش به انواع اصلی می پردازد کارهای سادهبه اعداد مختلط به طور متعارف، مسائل مربوط به اعداد مختلط را می توان به دسته های زیر تقسیم کرد.

• انجام عملیات ساده حسابی روی اعداد مختلط.
• یافتن ریشه چند جمله ای ها در اعداد مختلط.
• افزایش اعداد مختلط به توان
• استخراج ریشه از اعداد مختلط
• استفاده از اعداد مختلط برای حل مسائل دیگر.

حال روش های کلی برای حل این مشکلات را در نظر بگیرید.

انجام ساده ترین عملیات حسابی با اعداد مختلط طبق قوانین توضیح داده شده در بخش اول اتفاق می افتد، اما اگر اعداد مختلط به صورت مثلثاتی یا نمایی ارائه شوند، در این صورت می توان آنها را به شکل جبری تبدیل کرد و عملیات را طبق قوانین شناخته شده انجام داد.

یافتن ریشه های چند جمله ای ها معمولاً به یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم ختم می شود. فرض کنید یک معادله درجه دوم داریم، اگر ممیز آن غیر منفی باشد، ریشه های آن واقعی خواهد بود و طبق یک فرمول شناخته شده پیدا می شود. اگر ممیز منفی باشد، پس D = -1∙a 2، جایی که آعدد معینی است، سپس می توانیم ممیز را در فرم نشان دهیم D = (ia) 2، در نتیجه √D = i|a|، و سپس می توانید از فرمول از قبل شناخته شده برای ریشه های معادله درجه دوم استفاده کنید.

مثال. بازگشت به بالا معادله درجه دوم x 2 + x + 1 = 0 .
ممیز - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
اکنون به راحتی می توانیم ریشه ها را پیدا کنیم:

افزایش اعداد مختلط به توان را می توان به روش های مختلفی انجام داد. اگر می خواهید یک عدد مختلط را به صورت جبری به توان کوچک (2 یا 3) برسانید، می توانید این کار را با ضرب مستقیم انجام دهید، اما اگر درجه بزرگتر است (در مسائل اغلب بسیار بزرگتر است)، پس باید این عدد را به صورت مثلثاتی یا نمایی بنویسید و از روش های شناخته شده استفاده کنید.

مثال. z = 1 + i را در نظر بگیرید و تا توان دهم بالا ببرید.
z را به صورت نمایی می نویسیم: z = √2 e iπ/4 .
سپس z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
بیایید به شکل جبری برگردیم: z 10 = -32i.

استخراج ریشه از اعداد مختلط عمل معکوس توان است، بنابراین به روشی مشابه انجام می شود. برای استخراج ریشه اغلب از شکل نمایی نوشتن یک عدد استفاده می شود.

مثال. تمام ریشه های درجه 3 وحدت را بیابید. برای این کار، تمام ریشه های معادله z 3 = 1 را پیدا می کنیم، ریشه ها را به صورت نمایی جستجو می کنیم.
در معادله جایگزین کنید: r 3 e 3iφ = 1 یا r 3 e 3iφ = e 0 .
از این رو: r = 1، 3φ = 0 + 2πk، از این رو φ = 2πk/3.
ریشه های مختلف در φ = 0، 2π/3، 4π/3 به دست می آیند.
بنابراین 1، e i2π/3، e i4π/3 ریشه هستند.
یا به صورت جبری:

آخرین نوع مسائل شامل طیف عظیمی از مسائل است و هیچ روش کلی برای حل آنها وجود ندارد. در اینجا یک مثال ساده از چنین کاری آورده شده است:

مقدار را پیدا کنید sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

اگرچه در فرمول بندی این مسئله به اعداد مختلط اشاره نمی شود، اما با کمک آنها به راحتی می توان آن را حل کرد. برای حل آن، از نمایش های زیر استفاده می شود:


اگر اکنون این نمایش را با مجموع جایگزین کنیم، مشکل به جمع پیشروی هندسی معمول کاهش می یابد.

نتیجه

اعداد مختلط به طور گسترده ای در ریاضیات مورد استفاده قرار می گیرند، در این مقاله مروری، عملیات اساسی روی اعداد مختلط در نظر گرفته شد، چندین نوع مسئله استاندارد شرح داده شد و به اختصار شرح داده شد. روش های رایجراه حل های آنها، برای اطلاعات بیشتر مطالعه دقیقاحتمال وجود اعداد مختلط، توصیه می شود از ادبیات تخصصی استفاده کنید.

ادبیات