معادله

که در آن و توابع پیوسته در بازه نامیده می شود یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن، توابع و ضرایب آن هستند. اگر در این بازه باشد، معادله به شکل زیر در می آید:

و معادله دیفرانسیل خطی همگن مرتبه دوم نامیده می شود. اگر معادله (**) دارای ضرایب یکسان و معادله (*) باشد، به آن معادله همگن مربوط به یک معادله ناهمگن (*) می گویند.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن

معادله خطی را بگذارید

و اعداد حقیقی ثابت هستند.

ما به دنبال یک راه حل خاص از معادله به شکل یک تابع خواهیم بود که در آن یا واقعی است عدد مختلطتعیین شود. با تمایز با توجه به ، دریافت می کنیم:

با جایگزینی معادله دیفرانسیل اصلی، دریافت می کنیم:

از این رو با در نظر گرفتن این موضوع داریم:

این معادله را معادله مشخصه یک معادله دیفرانسیل خطی همگن می نامند. معادله مشخصه نیز یافتن . این یک معادله درجه دوم است، بنابراین دو ریشه دارد. بیایید آنها را با و نشان دهیم. سه مورد ممکن است:

1) ریشه ها واقعی و متفاوت هستند. در این حالت، جواب کلی معادله به صورت زیر است:

مثال 1

2) ریشه ها واقعی و مساوی هستند. در این حالت، جواب کلی معادله به صورت زیر است:

مثال2

هنگام تلاش برای حل یک مشکل در امتحان یا آزمون در این صفحه فرود آمدید؟ اگر هنوز نتوانستید امتحان را قبول کنید - دفعه بعد، از قبل در وب سایت درباره راهنمای آنلاین در ریاضیات عالی هماهنگ کنید.

معادله مشخصه به شکل زیر است:

راه حل معادله مشخصه:

تصمیم مشترکمعادله دیفرانسیل اصلی:

3) ریشه های پیچیده. در این حالت، جواب کلی معادله به صورت زیر است:

مثال 3

معادله مشخصه به شکل زیر است:

حل معادله مشخصه:

حل کلی معادله دیفرانسیل اصلی:

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن

اجازه دهید اکنون حل برخی از انواع خطی را در نظر بگیریم معادله همگنمرتبه دوم با ضرایب ثابت

جایی که و اعداد حقیقی ثابت هستند، یک تابع پیوسته شناخته شده در بازه است. برای یافتن جواب کلی چنین معادله دیفرانسیل، باید جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن مربوطه و جواب خاص را دانست. بیایید چند مورد را در نظر بگیریم:

ما همچنین به دنبال حل خاصی برای معادله دیفرانسیل به شکل یک مثلث مربع هستیم:

اگر 0 یک ریشه معادله مشخصه باشد، پس

اگر 0 یک ریشه دو برابر معادله مشخصه باشد، پس

اگر چند جمله ای با درجه دلخواه باشد، وضعیت مشابه است

مثال 4

معادله همگن مربوطه را حل می کنیم.

معادله مشخصه:

حل کلی معادله همگن:

اجازه دهید یک راه حل خاص برای معادله اختلاف ناهمگن پیدا کنیم:

با جایگزینی مشتقات یافت شده در معادله دیفرانسیل اصلی، به دست می آوریم:

راه حل خاص مورد نظر:

حل کلی معادله دیفرانسیل اصلی:

ما به دنبال یک راه حل خاص در شکل هستیم که در آن یک ضریب نامشخص است.

با جایگزینی و در معادله دیفرانسیل اصلی، هویتی به دست می آوریم که از آن ضریب را پیدا می کنیم.

اگر ریشه معادله مشخصه است، پس ما به دنبال راه حل خاصی از معادله دیفرانسیل اصلی به شکل، زمانی که یک ریشه است، و، زمانی که یک ریشه دوگانه است، می گردیم.

مثال 5

معادله مشخصه:

جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن مربوطه به صورت زیر است:

اجازه دهید یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل ناهمگن مربوطه پیدا کنیم:

حل کلی معادله دیفرانسیل:

در این مورد، ما به دنبال یک راه حل خاص در قالب یک دو جمله ای مثلثاتی هستیم:

کجا و ضرایب نامشخص هستند

با جایگزینی و در معادله دیفرانسیل اصلی، هویتی به دست می آوریم که از آن ضرایب را پیدا می کنیم.

این معادلات ضرایب را تعیین می کنند و به جز در مورد زمانی که (یا چه زمانی ریشه های معادله مشخصه هستند). در مورد دوم، ما به دنبال یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل به شکل زیر هستیم:

مثال6

معادله مشخصه:

جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن مربوطه به صورت زیر است:

اجازه دهید یک راه حل خاص برای معادله اختلاف ناهمگن پیدا کنیم

با جایگزینی معادله دیفرانسیل اصلی، دریافت می کنیم:

حل کلی معادله دیفرانسیل اصلی:

همگرایی سری اعداد
تعریفی از همگرایی یک سری داده شده است و مشکلات برای مطالعه همگرایی سری های عددی به تفصیل در نظر گرفته می شود - معیارهای مقایسه، معیار همگرایی d'Alembert، معیار همگرایی کوشی و معیار همگرایی کوشی انتگرال⁡.

همگرایی مطلق و مشروط یک سری
این صفحه به سری های متناوب، همگرایی مشروط و مطلق آنها می پردازد، آزمون همگرایی لایب نیتس برای سری های متناوب - شامل نظریه مختصردر مورد موضوع و مثالی از حل مسئله.

موسسه آموزشی "ایالت بلاروس

آکادمی کشاورزی"

گروه ریاضیات عالی

رهنمودها

در مورد بررسی موضوع "معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم" توسط دانشجویان گروه حسابداری فرم مکاتبه آموزش (NISPO)

گورکی، 2013

معادلات دیفرانسیل خطی

مرتبه دوم با ثابتضرایب

معادلات دیفرانسیل همگن خطی

یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت معادله شکل نامیده می شود

آن ها معادله ای که تابع مورد نظر و مشتقات آن را فقط تا درجه اول شامل می شود و حاصلضرب آنها را در بر نمی گیرد. در این معادله و
تعدادی اعداد و تابع هستند
در فواصل زمانی داده شده است
.

اگر
در فاصله زمانی
، سپس معادله (1) شکل می گیرد

, (2)

و تماس گرفت همگن خطی . در غیر این صورت معادله (1) نامیده می شود خطی ناهمگن .

تابع پیچیده را در نظر بگیرید

, (3)

جایی که
و
توابع واقعی هستند. اگر تابع (3) جواب مختلط معادله (2) باشد، قسمت واقعی آن است
، و قسمت خیالی
راه حل ها
به طور جداگانه، راه حل های یک معادله همگن هستند. بنابراین، هر راه حل کاملمعادله (2) دو جواب واقعی این معادله را ایجاد می کند.

راه حل های یک معادله خطی همگن دارای ویژگی های زیر هستند:

اگر جواب معادله (2) و سپس تابع است
، جایی که با- یک ثابت دلخواه، همچنین راه حلی برای معادله (2) خواهد بود.

اگر و جواب های معادله (2) و سپس تابع هستند
همچنین راه حلی برای معادله (2) خواهد بود.

اگر و راه حل های معادله (2) و سپس ترکیب خطی آنها هستند
همچنین راه حلی برای معادله (2)، که در آن و
ثابت دلخواه هستند

کارکرد
و
تماس گرفت وابسته به خط در فاصله زمانی
اگر چنین اعدادی وجود داشته باشد و
، که در همان زمان برابر با صفر نیستند، که در این بازه برابری است

اگر برابری (4) فقط زمانی برقرار است که
و
، سپس توابع
و
تماس گرفت مستقل خطی در فاصله زمانی
.

مثال 1 . کارکرد
و
از آنجایی که به صورت خطی وابسته هستند
در امتداد خط اعداد کامل در این مثال
.

مثال 2 . کارکرد
و
به صورت خطی در هر بازه ای مستقل هستند، زیرا برابری هستند
تنها در صورتی امکان پذیر است که و
، و
.

ساخت یک راه حل کلی از همگن خطی

معادلات

برای یافتن یک راه حل کلی برای معادله (2)، باید دو تا از راه حل های مستقل خطی آن را پیدا کنید و . ترکیب خطی این راه حل ها
، جایی که و
ثابت های دلخواه هستند و جواب کلی یک معادله همگن خطی را می دهند.

راه حل های مستقل خطی معادله (2) در فرم جستجو می شود

, (5)

جایی که - تعدادی عدد سپس
,
. اجازه دهید این عبارات را با معادله (2) جایگزین کنیم:

یا
.

زیرا
، آن
. بنابراین تابع
جواب معادله (2) خواهد بود اگر معادله را برآورده خواهد کرد

. (6)

معادله (6) نامیده می شود معادله مشخصه برای معادله (2). این معادله یک معادله درجه دوم جبری است.

اجازه دهید و ریشه های این معادله هستند. آنها می توانند واقعی و متفاوت باشند، یا پیچیده، یا واقعی و برابر. بیایید این موارد را در نظر بگیریم.

بگذار ریشه ها و معادلات مشخصه واقعی و متمایز هستند. سپس جواب های معادله (2) توابع خواهند بود
و
. این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند، زیرا برابری هستند
فقط زمانی قابل انجام است
، و
. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد

,

جایی که و
ثابت دلخواه هستند

مثال 3
.

راه حل . معادله مشخصه برای این دیفرانسیل خواهد بود
. حل کردن آن معادله درجه دوم، ریشه های آن را پیدا کنید
و
. کارکرد
و
راه حل های معادله دیفرانسیل هستند. جواب کلی این معادله شکل دارد
.

عدد مختلط بیان فرم نامیده می شود
، جایی که و اعداد واقعی هستند و
واحد خیالی نامیده می شود. اگر
، سپس شماره
صرفاً خیالی نامیده می شود. اگر
، سپس شماره
با یک عدد واقعی مشخص می شود .

عدد جزء واقعی عدد مختلط نامیده می شود و - قسمت خیالی اگر دو عدد مختلط فقط در علامت قسمت خیالی با یکدیگر متفاوت باشند، آنها را مزدوج می نامند:
,
.

مثال 4 . یک معادله درجه دوم را حل کنید
.

راه حل . تمایز معادله
. سپس. به همین ترتیب،
. بنابراین، این معادله درجه دوم دارای ریشه های پیچیده مزدوج است.

بگذارید ریشه های معادله مشخصه پیچیده باشد، یعنی.
,
، جایی که
. راه حل های معادله (2) را می توان به صورت نوشتاری نوشت
,
یا
,
. طبق فرمول های اویلر

,
.

سپس ،. همانطور که مشخص است، اگر یک تابع مختلط حل یک معادله همگن خطی باشد، جواب های این معادله هر دو بخش واقعی و خیالی این تابع هستند. بنابراین، جواب های معادله (2) توابع خواهند بود
و
. از برابری

فقط در صورتی قابل انجام است
و
، پس این راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد

جایی که و
ثابت دلخواه هستند

مثال 5 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله
برای دیفرانسیل داده شده مشخص است. ما آن را حل می کنیم و ریشه های پیچیده می گیریم
,
. کارکرد
و
راه حل های مستقل خطی معادله دیفرانسیل هستند. جواب کلی این معادله شکل دارد.

بگذارید ریشه های معادله مشخصه واقعی و مساوی باشند، یعنی.
. سپس جواب های معادله (2) توابع هستند
و
. این راه‌حل‌ها به‌طور خطی مستقل هستند، زیرا فقط زمانی که عبارت می‌تواند برابر با صفر باشد
و
. بنابراین جواب کلی معادله (2) شکل دارد
.

مثال 6 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله مشخصه
ریشه های مساوی دارد
. در این حالت، جواب های مستقل خطی معادله دیفرانسیل، توابع هستند
و
. راه حل کلی شکل دارد
.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن با ضرایب ثابت

و سمت راست ویژه

جواب کلی معادله ناهمگن خطی (1) برابر است با مجموع جواب کلی
معادله همگن مربوطه و هر راه حل خاصی
معادله ناهمگن:
.

در برخی موارد، یک راه حل خاص از یک معادله ناهمگن را می توان به سادگی با شکل سمت راست پیدا کرد.
معادلات (1). بیایید مواردی را که ممکن است در نظر بگیریم.

آن ها سمت راست معادله ناهمگن چند جمله ای درجه است متر. اگر
ریشه معادله مشخصه نیست، پس باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در قالب یک چند جمله ای درجه جستجو کرد. متر، یعنی

شانس
در فرآیند یافتن یک راه حل خاص تعیین می شوند.

اگر
ریشه معادله مشخصه است، پس باید به دنبال حل خاصی از معادله ناهمگن به شکل

مثال 7 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله همگن مربوط به این معادله است
. معادله مشخصه آن
ریشه دارد
و
. جواب کلی معادله همگن شکل دارد
.

زیرا
ریشه معادله مشخصه نیست، پس ما به دنبال حل خاصی از معادله ناهمگن در قالب یک تابع خواهیم بود.
. مشتقات این تابع را بیابید
,
و آنها را در این معادله جایگزین کنید:

یا . ضرایب را برابر کنید و اعضای رایگان:
تصمیم گیری این سیستم، ما گرفتیم
,
. سپس راه حل خاصی از معادله ناهمگن شکل می گیرد
و جواب کلی این معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی معادله همگن مربوطه و جواب خاص معادله ناهمگن خواهد بود:
.

اجازه دهید معادله ناهمگن شکل داشته باشد

اگر
ریشه معادله مشخصه نیست، پس باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در فرم جستجو کرد. اگر
ریشه معادله تعدد مشخصه است ک (ک= 1 یا ک=2)، در این صورت جواب خاص معادله ناهمگن به شکل .

مثال 8 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله مشخصه برای معادله همگن مربوطه دارای شکل است
. ریشه های آن
,
. در این حالت جواب کلی معادله همگن متناظر به صورت زیر نوشته می شود
.

از آنجایی که عدد 3 ریشه معادله مشخصه نیست، باید راه حل خاصی از معادله ناهمگن را در این شکل جستجو کرد.
. بیایید مشتقات مرتبه اول و دوم را پیدا کنیم:

در معادله دیفرانسیل جایگزین کنید:
+ +,
+,.

ضرایب را برابر کنید و اعضای رایگان:

از اینجا
,
. سپس راه حل خاصی از این معادله شکل می گیرد
و راه حل کلی

.

روش لاگرانژ تغییر ثابت های دلخواه

روش تغییر ثابت های دلخواه را می توان برای هر معادله خطی ناهمگن با ضرایب ثابت، صرف نظر از شکل سمت راست، اعمال کرد. این روش این امکان را به وجود می آورد که در صورتی که جواب کلی معادله همگن مربوطه مشخص باشد، همیشه یک جواب کلی برای یک معادله ناهمگن پیدا کنیم.

اجازه دهید
و
راه حل های مستقل خطی معادله (2) هستند. سپس جواب کلی این معادله است
، جایی که و
ثابت دلخواه هستند ماهیت روش تغییر ثابت های دلخواه این است که حل کلی معادله (1) به شکل جستجو می شود.

جایی که
و
- ویژگی های ناشناخته جدیدی پیدا می شود. از آنجایی که دو تابع مجهول وجود دارد، برای یافتن آنها به دو معادله حاوی این توابع نیاز است. این دو معادله سیستم را تشکیل می دهند

که یک سیستم جبری خطی از معادلات با توجه به
و
. حل این سیستم، پیدا می کنیم
و
. با ادغام هر دو بخش از برابری های به دست آمده، متوجه می شویم

و
.

با جایگزینی این عبارات به (9)، جواب کلی معادله خطی ناهمگن (1) را بدست می آوریم.

مثال 9 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل. معادله مشخصه برای معادله همگن مربوط به معادله دیفرانسیل داده شده است
. ریشه های آن پیچیده است
,
. زیرا
و
، آن
,
و جواب کلی معادله همگن به شکل است سپس جواب کلی این معادله ناهمگن را به شکل کجا جستجو می شود
و
- توابع ناشناخته

سیستم معادلات برای یافتن این توابع مجهول شکل دارد

حل این سیستم، پیدا می کنیم
,
. سپس

,
. اجازه دهید عبارات به دست آمده را با فرمول حل کلی جایگزین کنیم:

این جواب کلی این معادله دیفرانسیل است که با روش لاگرانژ به دست می آید.

پرسش هایی برای خودکنترلی دانش

کدام معادله دیفرانسیل را معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت می نامند؟

کدام معادله دیفرانسیل خطی را همگن و کدام را ناهمگن می نامند؟

خواص یک معادله همگن خطی چیست؟

چه معادله ای را مشخصه معادله دیفرانسیل خطی می نامند و چگونه به دست می آید؟

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت در مورد ریشه های مختلف معادله مشخصه به چه صورت نوشته می شود؟

جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت به چه صورت است ریشه های مساویمعادله مشخصه؟

جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت در مورد ریشه های مختلط معادله مشخصه به چه صورت نوشته می شود؟

جواب کلی معادله ناهمگن خطی چگونه نوشته می شود؟

در صورتی که ریشه های معادله مشخصه متفاوت و مساوی صفر نباشد و سمت راست معادله چند جمله ای درجه باشد، به چه شکلی به دنبال راه حل خاصی از یک معادله ناهمگن خطی است. متر?

اگر در بین ریشه های معادله مشخصه یک صفر وجود داشته باشد و سمت راست معادله یک چند جمله ای درجه باشد، به چه شکلی به دنبال راه حل خاصی از یک معادله ناهمگن خطی است. متر?

ماهیت روش لاگرانژ چیست؟

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر.
DE خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.
نمونه های راه حل

بیایید به بررسی ادامه دهیم معادلات دیفرانسیلمرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر. اگر تصور مبهمی از معادله دیفرانسیل دارید (یا اصلاً نمی‌دانید چیست)، توصیه می‌کنم با درس شروع کنید. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه های راه حل. بسیاری از اصول راه حل و مفاهیم اولیه دیفرانسیل های مرتبه اول به طور خودکار به معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر گسترش می یابند، بنابراین بسیار مهم است که ابتدا معادلات مرتبه اول را درک کنید.

بسیاری از خوانندگان ممکن است تعصب داشته باشند که DE از دستورات 2، 3، و دیگر چیزی بسیار دشوار و غیرقابل دسترس برای تسلط است. این اشتباه است . آموزش حل دیفیوزها مرتبه بالاتربه سختی پیچیده تر از DE های مرتبه اول "معمولی" است. و در برخی جاها حتی ساده تر است، زیرا مواد برنامه درسی مدرسه به طور فعال در تصمیم گیری ها استفاده می شود.

محبوبترین معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم. به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم لزومامشتق دوم و شامل نمی شود

لازم به ذکر است که برخی از نوزادان (و حتی به یکباره) ممکن است در معادله غایب باشند، مهم این است که پدر در خانه بوده است. ابتدایی ترین معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر است:

با توجه به مشاهدات ذهنی من، معادلات دیفرانسیل درجه سوم در کارهای عملی بسیار کمتر رایج هستند. دومای دولتیآنها حدود 3-4 درصد آرا را به دست خواهند آورد.

به یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم لزومامشتق سوم و شامل نمی شودمشتقات مرتبه بالاتر:

ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه سوم به این صورت است: - پدر در خانه است، همه بچه ها برای پیاده روی بیرون هستند.

به طور مشابه، معادلات دیفرانسیل از مرتبه های 4، 5 و بالاتر را می توان تعریف کرد. که در وظایف عملیچنین کنترل از راه دور بسیار به ندرت لغزش می کند، با این حال، من سعی خواهم کرد مثال های مرتبط را ارائه دهم.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتری که در مسائل عملی ارائه می شوند را می توان به دو گروه اصلی تقسیم کرد.

1) گروه اول - به اصطلاح معادلات درجه پایین. پرواز کن!

2) گروه دوم - معادلات خطی مرتبه بالاتر با ضرایب ثابت. که ما همین الان شروع به بررسی آن خواهیم کرد.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
با ضرایب ثابت

در تئوری و عمل، دو نوع از این معادلات متمایز می شوند - معادله همگنو معادله ناهمگن.

DE همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابتدارای فرم زیر است:
، جایی که و ثابت هستند (اعداد)، و در سمت راست - موکداصفر

همانطور که می بینید، هیچ مشکل خاصی برای معادلات همگن وجود ندارد، نکته اصلی این است معادله درجه دوم را به درستی حل کنید.

گاهی اوقات معادلات همگن غیر استاندارد وجود دارد، به عنوان مثال، یک معادله در فرم ، جایی که در مشتق دوم مقداری ثابت وجود دارد که متفاوت از وحدت (و البته متفاوت از صفر) است. الگوریتم حل به هیچ وجه تغییر نمی کند، باید با آرامش معادله مشخصه را تنظیم کرد و ریشه های آن را پیدا کرد. اگر معادله مشخصه دو ریشه واقعی متفاوت خواهد داشت، برای مثال: ، سپس راه حل کلی را می توان به روش معمول نوشت: .

در برخی موارد، به دلیل یک اشتباه تایپی در شرایط، ریشه های "بد" می توانند ظاهر شوند، چیزی شبیه به . چه باید کرد، پاسخ باید به این صورت نوشته شود:

با ریشه های پیچیده مزدوج "بد" مانند مشکلی هم نداره، راه حل کلی:

به این معنا که، یک راه حل کلی در هر صورت وجود دارد. زیرا هر معادله درجه دوم دو ریشه دارد.

در پاراگراف پایانی، همانطور که قول داده بودم، به اختصار در نظر خواهیم گرفت:

معادلات همگن خطی مرتبه بالاتر

همه چیز بسیار بسیار شبیه است.

معادله همگن خطی مرتبه سوم به شکل زیر است:
، جایی که ثابت ها هستند.
برای این معادله نیز باید یک معادله مشخصه بسازید و ریشه های آن را پیدا کنید. معادله مشخصه، همانطور که بسیاری حدس زده اند، به این صورت است:
، و آن به هر حالاین دارد دقیقا سهریشه

به عنوان مثال، بگذارید همه ریشه ها واقعی و متمایز باشند: ، سپس راه حل کلی را می توان به صورت زیر نوشت:

اگر یک ریشه واقعی و دو ریشه دیگر مختلط باشند، جواب کلی را به صورت زیر می نویسیم:

یک مورد خاص زمانی است که هر سه ریشه مضرب (یکسان) باشند. بیایید ساده ترین DE همگن مرتبه 3 را با یک پدر تنها در نظر بگیریم: . معادله مشخصه دارای سه ریشه صفر منطبق است. راه حل کلی را به صورت زیر می نویسیم:

اگر معادله مشخصه برای مثال دارای سه ریشه چندگانه است، سپس راه حل کلی به ترتیب عبارت است از:

مثال 9

معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم را حل کنید

راه حل:معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم:

، - یک ریشه واقعی و دو ریشه پیچیده مزدوج به دست می آید.

پاسخ:تصمیم مشترک

به طور مشابه، می‌توانیم یک معادله مرتبه چهارم خطی همگن با ضرایب ثابت در نظر بگیریم: , جایی که ثابت‌ها هستند.

مبانی حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم (LNDE-2) با ضرایب ثابت (PC)

یک CLDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت $p$ و $q$ به شکل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، جایی که $f\left( x \right)$ یک تابع پیوسته است.

دو عبارت زیر در رابطه با LNDE دوم با PC درست است.

فرض کنید که برخی از تابع $U$ یک راه حل خاص دلخواه از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن است. اجازه دهید همچنین فرض کنیم که برخی از تابع $Y$ یک راه حل کلی (OR) معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ است. سپس OR از LHDE-2 برابر است با مجموع راه حل های خصوصی و عمومی نشان داده شده، یعنی $y=U+Y$.

اگر سمت راست LIDE مرتبه دوم مجموع توابع باشد، یعنی $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$، سپس ابتدا می توانید PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ را پیدا کنید که مربوط به هر کدام است از توابع $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ و بعد از آن بنویسید LNDE-2 PD به صورت $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

راه حل LNDE مرتبه دوم با کامپیوتر

بدیهی است که شکل یک یا آن PD $U$ یک LNDE-2 معین به شکل خاص سمت راست آن $f\left(x\right)$ بستگی دارد. ساده ترین موارد جستجوی PD LNDE-2 به صورت چهار قانون زیر فرموله شده است.

قانون شماره 1.

قسمت سمت راست LNDE-2 شکل $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ دارد که $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، یعنی به آن چند جمله ای درجه $ می گویند. n$. سپس PR $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ جستجو می‌شود که $Q_(n) \left(x\right)$ دیگری است. چند جمله ای با درجه یکسان $P_(n) \left(x\right)$ و $r$ تعداد ریشه های صفر معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش ضرایب نامعین (NC) پیدا می شود.

قانون شماره 2.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $n$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(n ) \ left(x\right)$ چند جمله‌ای دیگر با همان درجه $P_(n) \left(x\right)$ است و $r$ تعداد ریشه‌های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. برابر با $\alpha $. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش NK پیدا می شود.

قانون شماره 3.

قسمت سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x است. \right) $، که در آن $a$، $b$ و $\beta $ اعداد شناخته شده هستند. سپس PD $U$ آن به شکل $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) جستجو می‌شود. )\right )\cdot x^(r) $، که $A$ و $B$ ضرایب ناشناخته هستند، و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه برابر با $i\cdot است. \بتا $. ضرایب $A$ و $B$ با روش NDT یافت می شوند.

قانون شماره 4.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ است که $P_(n) \left(x\right)$ است. یک چند جمله ای درجه $ n$، و $P_(m) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $m$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(s) \left(x\right) $ و $ R_(s) \left(x\right)$ چند جمله ای درجه $s$ هستند، عدد $s$ حداکثر دو عدد $n$ و $m$ است و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه، برابر با $\alpha +i\cdot \beta $. ضرایب چند جمله‌ای $Q_(s) \left(x\right)$ و $R_(s) \left(x\right)$ با روش NK پیدا می‌شوند.

روش NDT شامل اعمال است قانون بعدی. برای یافتن ضرایب مجهول چند جمله ای که بخشی از حل خاص معادله دیفرانسیل ناهمگن LNDE-2 هستند، لازم است:

• PD $U$ نوشته شده را جایگزین کنید نمای کلی، در سمت چپ LNDU-2؛
• در سمت چپ LNDE-2، ساده سازی ها را انجام دهید و اصطلاحات را با قدرت های یکسان $x$ انجام دهید.
• در هویت به دست آمده، ضرایب عبارت ها را با قدرت های یکسان $x$ سمت چپ و راست برابر کنید.
• سیستم حاصل را حل کنید معادلات خطیبا توجه به ضرایب مجهول.

مثال 1

وظیفه: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ را پیدا کنید. PR، شرایط اولیه $y=6$ برای $x=0$ و $y"=1$ برای $x=0$ را برآورده می‌کند.

LODA-2 مربوطه را بنویسید: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

معادله مشخصه: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ریشه های معادله مشخصه: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. این ریشه ها واقعی و متمایز هستند. بنابراین، OR مربوط به LODE-2 شکل دارد: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

قسمت سمت راست این LNDE-2 به شکل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است. لازم است ضریب توان نمایی $\alpha =3$ را در نظر بگیریم. این ضریب با هیچ یک از ریشه های معادله مشخصه منطبق نیست. بنابراین، PR این LNDE-2 به شکل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است.

با استفاده از روش NK به دنبال ضرایب $A$, $B$ خواهیم بود.

اولین مشتق CR را پیدا می کنیم:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \راست)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما مشتق دوم CR را پیدا می کنیم:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما توابع $U""$، $U"$ و $U$ را به جای $y""$، $y"$ و $y$ در LNDE-2 $y""-3\cdot y" جایگزین می کنیم. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ در همان زمان، از آنجایی که توان $e^(3\cdot x) $ گنجانده شده است به عنوان یک عامل در تمام اجزاء، پس از آن می توان آن را حذف کرد.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ما اقداماتی را در سمت چپ برابری حاصل انجام می دهیم:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ما از روش NC استفاده می کنیم. ما یک سیستم معادلات خطی با دو مجهول دریافت می کنیم:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

راه حل این سیستم این است: $A=-2$، $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ برای مشکل ما به این شکل است: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ برای مشکل ما به این صورت است: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

برای جستجوی یک PD که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند، مشتق $y"$ OR را پیدا می کنیم:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

ما در $y$ و $y"$ شرایط اولیه $y=6$ را با $x=0$ و $y"=1$ را برای $x=0$ جایگزین می کنیم:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ما یک سیستم معادلات بدست آوردیم:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

حلش می کنیم. ما $C_(1) $ را با استفاده از فرمول Cramer پیدا می کنیم و $C_(2) $ از معادله اول تعیین می شود:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

بنابراین، PD این معادله دیفرانسیل عبارت است از: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

در اینجا ما از روش تغییر ثابت های لاگرانژ برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی استفاده می کنیم. توصیف همراه با جزئیاتاین روش برای حل معادلات با ترتیب دلخواه در صفحه ارائه شده است
حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه بالاتر به روش لاگرانژ >>> .

مثال 1

یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را با ضرایب ثابت با استفاده از تغییرات ثابت لاگرانژ حل کنید:
(1)

راه حل

ابتدا معادله دیفرانسیل همگن را حل می کنیم:
(2)

این یک معادله مرتبه دوم است.

معادله درجه دوم را حل می کنیم:
.
ریشه های متعدد: . سیستم بنیادیجواب های معادله (2) به شکل زیر است:
(3) .
بنابراین جواب کلی معادله همگن (2) را بدست می آوریم:
(4) .

ثابت های C را تغییر می دهیم 1 و سی 2 . یعنی ثابت ها و در (4) را با توابع جایگزین می کنیم:
.
ما به دنبال حل معادله اصلی (1) به شکل زیر هستیم:
(5) .

مشتق را پیدا می کنیم:
.
توابع و معادله را به هم وصل می کنیم:
(6) .
سپس
.

مشتق دوم را پیدا می کنیم:
.
معادله اصلی (1) را جایگزین می کنیم:
(1) ;



.
از آنجایی که معادله همگن (2) را برآورده می‌کند، مجموع عبارت‌های هر ستون از سه ردیف آخر صفر است و معادله قبلی می‌شود:
(7) .
اینجا .

همراه با رابطه (6)، سیستمی از معادلات را برای تعیین توابع به دست می آوریم و:
(6) :
(7) .

حل یک سیستم معادلات

سیستم معادلات (6-7) را حل می کنیم. بیایید عباراتی برای توابع و :
.
مشتقات آنها را می یابیم:
;
.

سیستم معادلات (6-7) را با روش کرامر حل می کنیم. ما تعیین کننده ماتریس سیستم را محاسبه می کنیم:

.
با فرمول های کرامر در می یابیم:
;
.

بنابراین، مشتقاتی از توابع را پیدا کردیم:
;
.
بیایید ادغام کنیم (به روش های یکپارچه سازی ریشه ها مراجعه کنید). انجام یک تعویض
; ; ; .

.
.

;
.

پاسخ

مثال 2

معادله دیفرانسیل را با روش تغییر ضرایب لاگرانژ حل کنید:
(8)

راه حل

مرحله 1. حل معادله همگن

ما یک معادله دیفرانسیل همگن را حل می کنیم:

(9)
به دنبال راه حل در فرم. معادله مشخصه را می سازیم:

این معادله دارای ریشه های پیچیده است:
.
سیستم اساسی راه حل های مربوط به این ریشه ها به شکل زیر است:
(10) .
حل کلی معادله همگن (9):
(11) .

مرحله 2. تغییر ثابت ها - جایگزینی ثابت ها با توابع

اکنون ثابت های C را تغییر می دهیم 1 و سی 2 . یعنی ثابت های موجود در (11) را با توابع جایگزین می کنیم:
.
ما به دنبال حل معادله اصلی (8) به شکل زیر هستیم:
(12) .

علاوه بر این، روند حل مانند مثال 1 است. ما به سیستم معادلات زیر برای تعیین توابع و :
(13) :
(14) .
اینجا .

حل یک سیستم معادلات

بیایید این سیستم را حل کنیم. بیایید عبارات توابع را بنویسیم و:
.
از جدول مشتقات در می یابیم:
;
.

سیستم معادلات (13-14) را با روش کرامر حل می کنیم. تعیین کننده ماتریس سیستم:

.
با فرمول های کرامر در می یابیم:
;
.

.
از آنجایی که علامت مدول زیر علامت لگاریتم را می توان حذف کرد. صورت و مخرج را در:
.
سپس
.

حل کلی معادله اصلی:


.