در برخی مسائل فیزیک، نمی توان ارتباط مستقیمی بین کمیت های توصیف کننده فرآیند برقرار کرد. اما امکان به دست آوردن برابری حاوی مشتقات توابع مورد مطالعه وجود دارد. اینگونه است معادلات دیفرانسیلو نیاز به حل آنها برای یافتن تابع مجهول.

این مقاله برای کسانی است که با مشکل حل یک معادله دیفرانسیل روبرو هستند که در آن تابع مجهول تابعی از یک متغیر است. تئوری به گونه ای ساخته شده است که با درک صفر از معادلات دیفرانسیل، می توانید کار خود را انجام دهید.

هر نوع معادلات دیفرانسیل با یک روش حل همراه با توضیحات دقیق و حل مثال ها و مسائل معمولی همراه است. شما فقط باید نوع معادله دیفرانسیل مسئله خود را تعیین کنید، یک مثال تحلیل شده مشابه پیدا کنید و اقدامات مشابهی را انجام دهید.

برای حل موفقیت‌آمیز معادلات دیفرانسیل، به توانایی یافتن مجموعه‌ای از پاد مشتق‌ها (انتگرال‌های نامعین) از توابع مختلف نیز نیاز دارید. در صورت لزوم توصیه می کنیم به بخش مراجعه کنید.

ابتدا انواع معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را که با توجه به مشتق قابل حل هستند در نظر بگیرید، سپس به سراغ ODE های مرتبه دوم می رویم، سپس به معادلات درجه بالاتر می پردازیم و با سیستم معادلات دیفرانسیل پایان می دهیم.

به یاد بیاورید که اگر y تابعی از آرگومان x باشد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول فرم .

اجازه دهید چندین نمونه از چنین DE را بنویسیم .

معادلات دیفرانسیل را می توان با توجه به مشتق با تقسیم هر دو طرف تساوی بر f(x) حل کرد. در این حالت به معادله می رسیم که معادل معادله اصلی برای f(x) ≠ 0 خواهد بود. نمونه هایی از این ODE ها هستند.

اگر مقادیری از آرگومان x وجود داشته باشد که توابع f(x) و g(x) به طور همزمان ناپدید شوند، راه حل های اضافی ظاهر می شوند. راه حل های اضافیمعادلات x داده شده هر تابعی است که برای آن مقادیر آرگومان تعریف شده است. نمونه هایی از این معادلات دیفرانسیل عبارتند از .

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.

LODE با ضرایب ثابت یک نوع بسیار رایج از معادلات دیفرانسیل است. راه حل آنها به خصوص دشوار نیست. ابتدا ریشه ها پیدا می شوند معادله مشخصه . برای p و q مختلف، سه حالت ممکن است: ریشه های معادله مشخصه می توانند واقعی و متفاوت، واقعی و منطبق باشند. یا مزدوج پیچیده بسته به مقادیر ریشه های معادله مشخصه، نوشته می شود تصمیم مشترکمعادله دیفرانسیل به عنوان ، یا ، یا به ترتیب.

به عنوان مثال، یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید. ریشه معادله مشخصه او k 1 = -3 و k 2 = 0 است. ریشه ها واقعی و متفاوت هستند، بنابراین، راه حل کلی برای LDE با ضرایب ثابت است


معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابت.

جواب کلی LIDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت y به عنوان مجموع جواب کلی LODE مربوطه جستجو می شود. و یک راه حل خاص از معادله ناهمگن اصلی، یعنی . پاراگراف قبلی به یافتن یک جواب کلی برای معادله دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت اختصاص دارد. و یک راه حل خاص یا با روش ضرایب نامعین برای شکل معینی از تابع f (x) که در سمت راست معادله اصلی قرار دارد، یا با روش تغییر ثابت های دلخواه تعیین می شود.

به عنوان نمونه هایی از LIDE های مرتبه دوم با ضرایب ثابت، ما ارائه می دهیم


تئوری را درک کنید و با آن آشنا شوید تصمیمات دقیقنمونه هایی را که در صفحه معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شما ارائه می دهیم.

معادلات دیفرانسیل همگن خطی (LODE) و معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم (LNDEs).

یک مورد خاص از معادلات دیفرانسیل از این نوع LODE و LODE با ضرایب ثابت هستند.

جواب کلی LODE در یک بازه معین با ترکیب خطی دو راه حل خاص خطی مستقل y 1 و y 2 این معادله نشان داده می شود، یعنی: .

مشکل اصلی دقیقاً در یافتن راه حل های جزئی مستقل خطی این نوع معادله دیفرانسیل نهفته است. معمولاً راه‌حل‌های خاصی از سیستم‌های زیر با توابع مستقل خطی انتخاب می‌شوند:


با این حال، راه حل های خاص همیشه در این فرم ارائه نمی شود.

نمونه ای از LODU است .

راه‌حل کلی LIDE به شکل جستجو می‌شود، جایی که راه‌حل کلی LODE مربوطه است، و راه‌حل خاصی از معادله دیفرانسیل اصلی است. ما فقط در مورد یافتن صحبت کردیم، اما می توان آن را با استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه تعیین کرد.

نمونه ای از LNDE است .

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

معادلات دیفرانسیل پذیرش کاهش سفارش

ترتیب معادلات دیفرانسیل ، که تابع مورد نظر و مشتقات آن تا مرتبه k-1 را ندارد، می توان با جایگزین کردن به n-k کاهش داد.

در این مورد , و معادله دیفرانسیل اصلی به کاهش می یابد . پس از یافتن جواب آن p(x)، باقی می ماند که به جایگزین برگردیم و تابع مجهول y را تعیین کنیم.

مثلا معادله دیفرانسیل پس از جایگزینی تبدیل به یک معادله قابل تفکیک می شود و ترتیب آن از سوم به اول کاهش می یابد.

همگن

در این درس، به اصطلاح نگاه خواهیم کرد معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول. همراه با معادلات متغیر قابل تفکیکو معادلات ناهمگن خطیاین نوع از کنترل از راه دور تقریباً در همه یافت می شود کنترل کاردر موضوع انتشار اگر از یک موتور جستجو وارد صفحه شده اید یا به معادلات دیفرانسیل خیلی مطمئن نیستید، ابتدا به شدت توصیه می کنم که یک درس مقدماتی در مورد این موضوع داشته باشید - معادلات دیفرانسیل مرتبه اول. واقعیت این است که بسیاری از اصول برای حل معادلات همگن و تکنیک های مورد استفاده دقیقاً مشابه ساده ترین معادلات با متغیرهای قابل تفکیک خواهد بود.

تفاوت بین معادلات دیفرانسیل همگن و سایر انواع DE چیست؟ این ساده ترین است که بلافاصله با یک مثال ملموس توضیح دهید.

مثال 1

راه حل:
چی اول از همههنگام تصمیم گیری باید تجزیه و تحلیل شود هرمعادله دیفرانسیل سفارش اول? قبل از هر چیز، لازم است بررسی شود که آیا می توان بلافاصله متغیرها را با استفاده از اقدامات "مدرسه" جدا کرد؟ معمولاً چنین تحلیلی به صورت ذهنی یا تلاش برای جداسازی متغیرها در پیش نویس انجام می شود.

در این مثال متغیرها قابل تفکیک نیستند(می توانید سعی کنید اصطلاحات را از قسمتی به قسمت دیگر برگردانید، فاکتورها را از پرانتز خارج کنید و غیره). به هر حال، در این مثال، این واقعیت که متغیرها قابل تقسیم نیستند به دلیل وجود عامل کاملاً مشهود است.

این سوال مطرح می شود - چگونه این اختلاف را حل کنیم؟

نیاز به بررسی و آیا این معادله همگن است؟? تأیید ساده است و خود الگوریتم تأیید را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

به معادله اصلی:

بجایجایگزین ، بجایجایگزین ، مشتق را لمس نکنید:

حرف لامبدا یک پارامتر شرطی است و در اینجا نقش زیر را ایفا می کند: اگر در نتیجه تبدیل ها بتوان همه لامبداها را "از بین برد" و معادله اصلی را به دست آورد، پس این معادله دیفرانسیل همگن است.

بدیهی است که لامبداها بلافاصله در توان خنثی می شوند:

حالا در سمت راست، لامبدا را از پرانتز خارج می کنیم:

و هر دو قسمت را بر همین لامبدا تقسیم کنید:

در نتیجه همهلامبداها مانند یک رویا، مانند مه صبحگاهی ناپدید شدند، و ما معادله اصلی را دریافت کردیم.

نتیجه:این معادله همگن است

چگونه یک معادله دیفرانسیل همگن را حل کنیم؟

یه خبر خیلی خوب دارم مطلقاً تمام معادلات همگن را می توان با یک جایگزین استاندارد (!) حل کرد.

تابع "y" باید جایگزین کردن کار کردنبرخی از عملکردها (همچنین وابسته به "x")و "x":

تقریباً همیشه به طور خلاصه بنویسید:

ما متوجه می شویم که مشتق با چنین جایگزینی به چه چیزی تبدیل می شود، از قانون متمایز کردن یک محصول استفاده می کنیم. اگر پس از آن:

جایگزین در معادله اصلی:

چنین جایگزینی چه خواهد کرد؟ پس از این جایگزینی و ساده سازی های انجام شده، ما تضمینمعادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست می آوریم. یاد آوردنمثل عشق اول :) و بر این اساس، .

پس از تعویض، ما حداکثر ساده سازی را انجام می دهیم:

از آنجایی که تابعی است که به "x" بستگی دارد، پس مشتق آن را می توان به صورت کسری استاندارد نوشت: .
به این ترتیب:

ما متغیرها را جدا می کنیم، در حالی که در سمت چپ شما باید فقط "te" را جمع آوری کنید، و در سمت راست - فقط "x":

متغیرها از هم جدا می شوند، ما ادغام می کنیم:


طبق اولین نکته فنی من از مقاله معادلات دیفرانسیل مرتبه اولدر بسیاری از موارد مصلحت است که یک ثابت را به شکل لگاریتم "فرمول بندی" کنیم.

پس از یکپارچه شدن معادله، باید آن را انجام دهید تعویض معکوس، همچنین استاندارد و منحصر به فرد است:
اگر پس از آن
در این مورد:

در 18-19 مورد از 20 مورد، حل معادله همگن به صورت یک انتگرال کلی نوشته می شود..

پاسخ:انتگرال عمومی:

چرا پاسخ یک معادله همگن تقریباً همیشه به صورت یک انتگرال کلی داده می شود؟
در بیشتر موارد، بیان "y" به شکل صریح (برای به دست آوردن یک راه حل کلی) غیرممکن است، و اگر امکان پذیر باشد، اغلب راه حل کلی دست و پا گیر و دست و پا گیر می شود.

بنابراین، به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده، راه حل کلی را می توان با آویزان کردن لگاریتم ها در هر دو قسمت انتگرال کلی به دست آورد:

- خب، هنوز خوبه. گرچه، می بینید، هنوز کج است.

به هر حال، در این مثال، من انتگرال کلی را کاملاً "محتوا" ننوشتم. این یک اشتباه نیست، اما به سبک "خوب" یادآوری می کنم، مرسوم است که انتگرال کلی را به شکل بنویسید. برای انجام این کار، بلافاصله پس از ادغام معادله، ثابت باید بدون هیچ لگاریتمی نوشته شود (این استثنا قاعده است!):

و پس از جایگزینی معکوس، انتگرال کلی را به شکل "کلاسیک" دریافت کنید:

پاسخ دریافتی قابل بررسی است. برای انجام این کار، باید انتگرال کلی را متمایز کنید، یعنی پیدا کنید مشتق تابعی که به طور ضمنی تعریف شده است:

با ضرب هر ضلع معادله در: از شر کسر خلاص شوید:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

توصیه می شود همیشه بررسی کنید. اما معادلات همگن ناخوشایند هستند زیرا معمولاً بررسی انتگرال های کلی آنها دشوار است - این به یک تکنیک تمایز بسیار بسیار مناسب نیاز دارد. در مثال در نظر گرفته شده، در حین تأیید، لازم بود که ساده ترین مشتقات را پیدا نکنید (اگرچه خود مثال بسیار ساده است). اگر می توانید آن را بررسی کنید، آن را بررسی کنید!

مثال 2

معادله را برای همگنی بررسی کنید و انتگرال کلی آن را بیابید.

پاسخ را در فرم بنویسید

این نمونه ای برای یک تصمیم مستقل است - به طوری که به خود الگوریتم اقدامات عادت کنید. در اوقات فراغت خود را بررسی کنید، زیرا. اینجا کاملاً پیچیده است و من حتی شروع به آوردن آن نکردم ، در غیر این صورت دیگر به چنین دیوانه ای نخواهید رسید :)

و اینک نکته مهم وعده داده شده که در قسمت بسیار ذکر شده است ابتدای موضوع,
با حروف سیاه پررنگ:

اگر در جریان تحولات عامل را "بازنشانی" کنیم (نه ثابت)به مخرج، پس ما در خطر از دست دادن راه حل ها هستیم!

و در واقع در همان مثال اول با این مورد مواجه شدیم. درس مقدماتی معادلات دیفرانسیل. در فرآیند حل معادله، "y" در مخرج است: ، اما، بدیهی است، راه حلی برای DE است، و در نتیجه یک تبدیل غیر معادل (تقسیم)، هر شانسی وجود دارد. از دست دادنش! نکته دیگر این است که در مقدار صفر ثابت وارد راه حل کلی می شود. تنظیم مجدد "x" به مخرج نیز می تواند نادیده گرفته شود، زیرا انتشار اصلی را برآورده نمی کند.

داستانی مشابه با معادله سوم همان درس که در حین حل آن به مخرج "افتادیم". به طور دقیق، در اینجا لازم بود بررسی شود که آیا انتشار داده شده یک راه حل است؟ پس از همه، این است! اما حتی در اینجا "همه چیز درست شد" ، زیرا این تابع وارد انتگرال عمومی شد در .

و اگر معمولاً در معادلات «جداپذیر» چنین است؛) «غلط می‌کند»، در صورت همگن و برخی دیگر پراکنده‌ها ممکن است «نغلتد». با احتمال زیاد.

بیایید مشکلاتی را که قبلاً در این درس حل شده است تجزیه و تحلیل کنیم: مثال 1"تنظیم مجدد" x وجود دارد، با این حال، نمی تواند راه حلی برای معادله باشد. ولی در مثال 2تقسیم کردیم ، اما این نیز "از بین رفت": از آنجایی که راه حل ها نمی توانند گم شوند، آنها به سادگی در اینجا وجود ندارند. اما، البته، من "موارد خوشحال کننده" را عمدا ترتیب دادم، و این واقعیتی نیست که آنها در عمل با آنها برخورد کنند:

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

مثال ساده ای نیست؟ ;-)

راه حل:همگنی این معادله واضح است، اما هنوز - در اولین پلههمیشه بررسی کنید که آیا متغیرها قابل جدا شدن هستند یا خیر. زیرا معادله نیز همگن است، اما متغیرهای موجود در آن بی سر و صدا از هم جدا می شوند. بله، تعدادی وجود دارد!

پس از بررسی "جدایی پذیری"، معادله را جایگزین می کنیم و تا حد امکان معادله را ساده می کنیم:

متغیرها را جدا می کنیم، در سمت چپ "te" را جمع آوری می کنیم، در سمت راست - "x":

و اینجا STOP است. هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن دو عملکرد را در یک زمان داریم. از آنجا که ، پس این توابع هستند:

تابع اول واضح است که جواب معادله است . ما مورد دوم را بررسی می کنیم - مشتق آن را در دیفور خود جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که تابع یک راه حل است.

و خطر از دست دادن این تصمیمات را داریم.

علاوه بر این، مخرج "X" بود، با این حال، جایگزینی نشان می دهد که آن غیر صفر است. این واقعیت را به خاطر بسپارید. ولی! حتما بررسی کنید، آیا راه حلی برای معادله دیفرانسیل ORIGINAL است. نه اینطور نیست.

بیایید به همه اینها توجه کنیم و ادامه دهیم:

باید گفت با انتگرال سمت چپ خوش شانس بودیم، خیلی بدتر اتفاق می افتد.

ما یک لگاریتم را در سمت راست جمع آوری می کنیم و قیدها را دوباره تنظیم می کنیم:

و همین الان جایگزین معکوس:

ضرب همه عبارت ها در:

حالا برای بررسی - آیا راه حل های "خطرناک" در انتگرال کلی گنجانده شده است. بله، هر دو راه حل با مقدار صفر ثابت در انتگرال کلی گنجانده می شوند: بنابراین نیازی به نشان دادن اضافی در پاسخ:

انتگرال عمومی:

معاینه. نه حتی یک امتحان، اما لذت خالص :)

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

برای یک راه حل مستقل:

مثال 4

تست همگنی انجام دهید و معادله دیفرانسیل را حل کنید

انتگرال کلی را می توان با تمایز بررسی کرد.

راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

چند مثال را در نظر بگیرید که در آن یک معادله همگن با دیفرانسیل های آماده ارائه شده است.

مثال 5

حل معادله دیفرانسیل

این خیلی مثال جالب، به طور مستقیم کل هیجان انگیز!

راه حلما به فشرده تر کردن آن عادت خواهیم کرد. ابتدا به صورت ذهنی یا روی یک پیش نویس، مطمئن می شویم که متغیرها نمی توانند در اینجا تقسیم شوند، پس از آن یکنواختی را بررسی می کنیم - معمولاً روی یک کپی تمیز انجام نمی شود. (مگر اینکه به طور خاص مورد نیاز باشد). بنابراین، تقریباً همیشه راه حل با این ورودی شروع می شود: " این معادله همگن است، بیایید جایگزینی ایجاد کنیم: ...».

اگر یک معادله همگن حاوی دیفرانسیل های آماده باشد، می توان آن را با یک جایگزینی اصلاح شده حل کرد:

اما من استفاده از چنین جایگزینی را توصیه نمی کنم، زیرا معلوم می شود که دیوار بزرگ چین از دیفرانسیل ها است، جایی که شما به یک چشم و یک چشم نیاز دارید. از نقطه نظر فنی، بهتر است که به علامت "خطوط" مشتق بروید، برای این کار ما تمام عبارات معادله را بر اساس تقسیم می کنیم:

و در حال حاضر در اینجا ما یک تحول "خطرناک" ایجاد کرده ایم!دیفرانسیل صفر مربوط به - خانواده ای از خطوط موازی با محور است. آیا آنها ریشه DU ما هستند؟ جایگزین در معادله اصلی:

این برابری در صورتی صادق است که، یعنی، هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن راه حل را داشته باشیم، و ما آن را از دست دادیم- چون اون دیگر راضی نمی کندمعادله حاصل .

لازم به ذکر است که اگر ما در اصلمعادله داده شد ، در این صورت ریشه از بحث خارج می شود. اما ما آن را داریم و به موقع آن را "گرفتیم".

راه حل را با یک جایگزین استاندارد ادامه می دهیم:
:

پس از تعویض، معادله را تا حد امکان ساده می کنیم:

جداسازی متغیرها:

و دوباره STOP: هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن دو تابع را داریم. از آنجا که ، پس این توابع هستند:

بدیهی است که تابع اول یک راه حل برای معادله است . ما دوم را بررسی می کنیم - ما و مشتق آن را جایگزین می کنیم:

- اخذ شده برابری واقعی، بنابراین تابع نیز حل معادله دیفرانسیل است.

و هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن این راه حل ها را داریم. با این حال، آنها می توانند وارد یک انتگرال مشترک شوند. اما ممکن است وارد نشوند.

بیایید به این نکته توجه داشته باشیم و هر دو بخش را ادغام کنیم:

انتگرال سمت چپ به طور استاندارد با استفاده از حل می شود انتخاب یک مربع کامل، اما در دیفیوزرها استفاده از آن بسیار راحت تر است روش ضرایب نامشخص:

با استفاده از روش ضرایب نامعین، انتگرال را به مجموع کسرهای ابتدایی گسترش می دهیم:


به این ترتیب:

ما انتگرال ها را پیدا می کنیم:

- از آنجایی که ما فقط لگاریتم ها را ترسیم کرده ایم، ثابت را نیز زیر لگاریتم فشار می دهیم.

قبل از تعویض همه چیز را که می توان ساده کرد دوباره ساده کنید:

زنجیر انداختن:

و جایگزینی معکوس:

اکنون "زیان" را به یاد می آوریم: راه حل در انتگرال عمومی وارد شد ، اما - "از صندوق پول عبور کرد" ، زیرا در مخرج ظاهر شد. بنابراین، در پاسخ، یک عبارت جداگانه به آن تعلق می گیرد، و بله - تصمیم از دست رفته را فراموش نکنید، که به هر حال، در پایین نیز معلوم شد.

پاسخ:انتگرال عمومی: . راه حل های بیشتر:

بیان راه حل کلی در اینجا چندان دشوار نیست:
، اما این در حال حاضر خودنمایی است.

با این حال، برای آزمایش راحت است. بیایید مشتق را پیدا کنیم:

و جایگزین سمت چپ معادله:

– در نتیجه سمت راست معادله به دست آمد که باید بررسی می شد.

تفاوت زیر به تنهایی است:

مثال 6

حل معادله دیفرانسیل

حل کامل و پاسخ در پایان درس. در عین حال برای آموزش تلاش کنید و راه حل کلی را در اینجا بیان کنید.

در بخش پایانی درس، چند کار مشخص دیگر را در مورد این موضوع در نظر خواهیم گرفت:

مثال 7

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:بیایید به مسیر شکست خورده برویم. این معادله همگن است، تغییر می دهیم:

با "x" همه چیز مرتب است، اما در مورد مثلث مربع چطور؟ از آنجایی که به عوامل : تجزیه ناپذیر است، پس قطعا راه حل ها را از دست نمی دهیم. همیشه اینطوری خواهد بود! مربع کامل سمت چپ را انتخاب کرده و ادغام کنید:

در اینجا چیزی برای ساده کردن وجود ندارد، و بنابراین جایگزینی معکوس:

پاسخ:انتگرال عمومی:

مثال 8

حل معادله دیفرانسیل

این یک مثال برای خودتان است.

بنابراین:

برای تبدیل های غیر معادل، همیشه بررسی کنید (حداقل شفاهی), آیا تصمیمات خود را از دست ندهید!این دگرگونی ها چیست؟ به عنوان یک قاعده، کاهش توسط چیزی یا تقسیم به چیزی. بنابراین، برای مثال، هنگام تقسیم بر، باید بررسی کنید که آیا توابع راه حل های یک معادله دیفرانسیل هستند یا خیر. در عین حال ، هنگام تقسیم بر نیاز به چنین چکی قبلاً ناپدید می شود - به دلیل این واقعیت که این مقسوم علیه ناپدید نمی شود.

در اینجا یک وضعیت خطرناک دیگر وجود دارد:

در اینجا، برای خلاص شدن از شر، باید بررسی کرد که آیا راه حلی برای DE است یا خیر. اغلب، "x"، "y" به عنوان چنین عاملی یافت می شوند، و با کاهش آنها، ما توابعی را از دست می دهیم که ممکن است راه حل باشند.

از سوی دیگر، اگر چیزی در ابتدا در مخرج باشد، دلیلی برای چنین نگرانی وجود ندارد. بنابراین، در یک معادله همگن، لازم نیست نگران تابع باشید، زیرا در مخرج "اعلام" شده است.

ظرافت های ذکر شده ارتباط خود را از دست نمی دهند، حتی اگر لازم باشد فقط یک راه حل خاص در مشکل پیدا شود. یک شانس کوچک، اما این احتمال وجود دارد که دقیقاً راه حل خاص مورد نیاز را از دست بدهیم. حقیقت مشکل کوشیدر کارهای عملی با معادلات همگن، به ندرت درخواست می شود. با این حال، چنین نمونه هایی در مقاله وجود دارد معادلات تقلیل به همگن، که توصیه می کنم برای تثبیت مهارت های حل خود، آن را "در تعقیب داغ" مطالعه کنید.

معادلات همگن پیچیده تری نیز وجود دارد. مشکل در تغییر متغیر یا ساده سازی نیست، بلکه در انتگرال های نسبتاً دشوار یا کمیاب است که در نتیجه جداسازی متغیرها به وجود می آیند. من نمونه هایی از راه حل های چنین معادلات همگن را دارم - انتگرال های زشت و پاسخ های زشت. اما ما در مورد آنها صحبت نمی کنیم، زیرا در درس های بعدی (پایین را ببینید)من هنوز برای شکنجه کردنت وقت دارم، می خواهم تو را سرحال و خوش بین ببینم!

ارتقاء موفق!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل:معادله را برای همگنی، برای این، در معادله اصلی بررسی کنید بجایبگذاریم، و بجایبیایید جایگزین کنیم:

در نتیجه معادله اصلی به دست می آید، یعنی این DE همگن است.

متوقف کردن! بیایید سعی کنیم این فرمول دست و پا گیر را درک کنیم.

در وهله اول باید اولین متغیر درجه با مقداری ضریب باشد. در مورد ما، این

در مورد ما اینطور است. همانطور که متوجه شدیم، به این معنی است که در اینجا درجه متغیر اول همگرا می شود. و متغیر دوم در درجه اول در جای خود قرار دارد. ضریب.

ما داریمش.

متغیر اول نمایی و متغیر دوم مربع و دارای ضریب است. این آخرین جمله در معادله است.

همانطور که می بینید، معادله ما در قالب یک فرمول با تعریف مطابقت دارد.

بیایید به بخش دوم (کلامی) تعریف نگاه کنیم.

ما دو مجهول داریم و. اینجا همگرا می شود.

بیایید همه شرایط را در نظر بگیریم. در آنها مجموع درجات مجهولات باید یکسان باشد.

مجموع توان ها برابر است.

مجموع توان ها برابر است با (at و at).

مجموع توان ها برابر است.

همانطور که می بینید، همه چیز مناسب است!

حالا بیایید تعریف معادلات همگن را تمرین کنیم.

تعیین کنید کدام یک از معادلات همگن هستند:

معادلات همگن- معادلات شماره گذاری شده:

بیایید معادله را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر هر جمله را با بسط هر جمله تقسیم کنیم، به دست می آید

و این معادله کاملاً تحت تعریف معادلات همگن قرار می گیرد.

چگونه معادلات همگن را حل کنیم؟

مثال 2

بیایید معادله را بر تقسیم کنیم.

با توجه به شرایط ما، y نمی تواند برابر باشد. بنابراین، ما می توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم

با جایگزین کردن، یک ساده می گیریم معادله درجه دوم:

از آنجایی که این یک معادله درجه دوم کاهش یافته است، از قضیه ویتا استفاده می کنیم:

با انجام تعویض معکوس به جواب می رسیم

پاسخ:

مثال 3

معادله را بر (شرط) تقسیم کنید.

پاسخ:

مثال 4

پیدا کنید اگر.

در اینجا شما نیازی به تقسیم ندارید، بلکه باید ضرب کنید. کل معادله را در:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

با انجام جایگزینی معکوس به جواب می رسیم:

پاسخ:

حل معادلات مثلثاتی همگن.

حل معادلات مثلثاتی همگن هیچ تفاوتی با روش های حل توضیح داده شده در بالا ندارد. فقط در اینجا، در میان چیزهای دیگر، باید کمی مثلثات بدانید. و بتواند تصمیم بگیرد معادلات مثلثاتی(برای این می توانید بخش را بخوانید).

بیایید چنین معادلاتی را در مثالها در نظر بگیریم.

مثال 5

معادله را حل کنید.

ما یک معادله همگن معمولی می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

حل معادلات همگن مشابه دشوار نیست، اما قبل از تقسیم معادلات، این مورد را در نظر بگیرید که

در این حالت معادله به شکل زیر خواهد بود: اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

از آنجایی که معادله کاهش می یابد، پس طبق قضیه ویتا:

پاسخ:

مثال 6

معادله را حل کنید.

مانند مثال، باید معادله را بر تقسیم کنید. موردی را در نظر بگیرید که:

اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. از همین رو.

بیایید یک جایگزین انجام دهیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

اجازه دهید جایگزین معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم و:

پاسخ:

حل معادلات نمایی همگن.

معادلات همگن به همان روشی حل می شوند که در بالا در نظر گرفته شد. اگر فراموش کردید که چگونه تصمیم بگیرید معادلات نمایی- بخش مربوطه () را ببینید!

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 7

معادله را حل کنید

تصور کنید چگونه:

ما یک معادله همگن معمولی با دو متغیر و مجموع توان ها را می بینیم. بیایید معادله را به:

همانطور که می بینید، پس از جایگزینی، معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست می آوریم (در این مورد، نیازی به ترس از تقسیم بر صفر نیست - همیشه به شدت بزرگتر از صفر است):

طبق قضیه ویتا:

پاسخ: .

مثال 8

معادله را حل کنید

تصور کنید چگونه:

بیایید معادله را به:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

ریشه شرایط را برآورده نمی کند. جایگزینی معکوس را انجام می دهیم و پیدا می کنیم:

پاسخ:

معادلات همگن. سطح متوسط

ابتدا با استفاده از مثالی از یک مشکل، اجازه دهید یادآوری کنم معادلات همگن چیست و حل معادلات همگن چیست؟

حل مشکل:

پیدا کنید اگر.

در اینجا می توانید به یک چیز عجیب توجه کنید: اگر هر عبارت را بر تقسیم کنیم، دریافت می کنیم:

یعنی در حال حاضر هیچ جدا وجود ندارد و - اکنون مقدار مورد نظر متغیر در معادله است. و این یک معادله درجه دوم معمولی است که با استفاده از قضیه ویتا به راحتی قابل حل است: حاصل ضرب ریشه ها برابر است و مجموع اعداد و.

پاسخ:

معادلات فرم

همگن نامیده می شود. یعنی این معادله ای است با دو مجهول که در هر جمله آن مجموع توان این مجهولات یکسان است. برای مثال در مثال بالا این مقدار برابر است با. حل معادلات همگن با تقسیم بر یکی از مجهولات در این درجه انجام می شود:

و متعاقب آن تغییر متغیرها: . بنابراین، یک معادله درجه با یک مجهول به دست می آوریم:

اغلب با معادلات درجه دوم (یعنی درجه دوم) مواجه می شویم و می توانیم آنها را حل کنیم:

توجه داشته باشید که تقسیم (و ضرب) کل معادله بر یک متغیر تنها در صورتی امکان پذیر است که متقاعد شویم که این متغیر نمی تواند برابر با صفر باشد! به عنوان مثال، اگر از ما بخواهند پیدا کنیم، بلافاصله متوجه می شویم، زیرا تقسیم غیرممکن است. در مواردی که این چندان واضح نیست، لازم است به طور جداگانه موردی که این متغیر برابر با صفر است بررسی شود. مثلا:

معادله را حل کنید.

راه حل:

ما در اینجا یک معادله معمولی همگن را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

اما قبل از تقسیم بر و بدست آوردن معادله درجه دوم با احترام، باید موردی را در نظر بگیریم که چه زمانی. در این حالت، معادله به شکل زیر خواهد بود:، بنابراین، . اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه:. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

امیدوارم این راه حل کاملا واضح باشد؟ اگر نه، بخش را بخوانید. اگر مشخص نیست که از کجا آمده است، باید حتی زودتر - به بخش - برگردید.

خودتان تصمیم بگیرید:

1. پیدا کنید اگر.
2. پیدا کنید اگر.
3. معادله را حل کنید.

در اینجا به طور خلاصه حل معادلات همگن را مستقیماً می نویسم:

راه حل ها:

پاسخ: .

و در اینجا لازم است که تقسیم نشود، بلکه ضرب شود:

پاسخ:

اگر هنوز معادلات مثلثاتی را طی نکرده اید، می توانید از این مثال صرف نظر کنید.

از آنجایی که در اینجا باید بر آن تقسیم کنیم، ابتدا مطمئن می شویم که صد برابر با صفر نیست:

و این غیر ممکن است.

پاسخ: .

معادلات همگن. به طور خلاصه در مورد اصلی

حل تمام معادلات همگن به تقسیم بر یکی از مجهولات در درجه و تغییر بیشتر متغیرها تقلیل می یابد.

الگوریتم:

تابع f(x,y) فراخوانی می شود عملکرد همگنآرگومان های بعد آنها n اگر هویت f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

برای مثال، تابع f(x,y)=x^2+y^2-xy یک تابع همگن از بعد دوم است، زیرا

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

برای n=0 تابع بعد صفر داریم. مثلا، \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)تابع بعد صفر همگن است، زیرا

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

معادله دیفرانسیل فرم \frac(dy)(dx)=f(x,y)اگر f(x,y) تابعی همگن از آرگومان های بعد تهی آن باشد، نسبت به x و y همگن است. یک معادله همگن همیشه می تواند به صورت نمایش داده شود

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

با معرفی یک تابع دلخواه جدید u=\frac(y)(x) می توان معادله (1) را به معادله ای با متغیرهای جداکننده تقلیل داد:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

اگر u=u_0 ریشه معادله \varphi(u)-u=0 باشد، جواب معادله همگن u=u_0 یا y=u_0x خواهد بود (خط مستقیمی که از مبدا می گذرد).

اظهار نظر.هنگام حل معادلات همگن، نیازی به کاهش آنها به شکل (1) نیست. می توانید بلافاصله جایگزین y=ux را انجام دهید.

مثال 1یک معادله همگن را حل کنید xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

راه حل.معادله را به شکل می نویسیم y"=\sqrt(1-(\چپ(\frac(y)(x)\راست)\^2}+\frac{y}{x} !}بنابراین معادله داده شده نسبت به x و y همگن است. اجازه دهید u=\frac(y)(x) یا y=ux را قرار دهیم. سپس y"=xu"+u. با جایگزینی عبارات y و y" در معادله، دریافت می کنیم x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). جداسازی متغیرها: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). از اینجا، با ادغام، می یابیم

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0)، یا \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

از آنجایی که C_1|x|=\pm(C_1x) که نشان دهنده \pm(C_1)=C است، دریافت می کنیم \arcsin(u)=\ln(Cx)، جایی که |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)یا e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). با جایگزینی u با \frac(y)(x) انتگرال کلی خواهیم داشت \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

از این رو راه حل کلی: y=x\sin\ln(Cx) .

هنگام جداسازی متغیرها، دو طرف معادله را بر حاصل ضرب x\sqrt(1-u^2) تقسیم کردیم، بنابراین می‌توانیم جوابی را که این حاصلضرب را به صفر می‌رساند از دست بدهیم.

حالا x=0 و \sqrt(1-u^2)=0 را قرار می دهیم. اما x\ne0 به دلیل جایگزینی u=\frac(y)(x) و از رابطه \sqrt(1-u^2)=0 به دست می‌آید که 1-\frac(y^2)(x^2)=0، از آنجا y=\pm(x) . با تأیید مستقیم، مطمئن می شویم که توابع y=-x و y=x نیز راه حل های این معادله هستند.

مثال 2خانواده منحنی های انتگرال C_\alpha معادله همگن را در نظر بگیرید y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). نشان دهید که مماس ها در نقاط مربوط به منحنی های تعریف شده توسط این معادله دیفرانسیل همگن با یکدیگر موازی هستند.

توجه داشته باشید:تماس خواهیم گرفت مربوطآن نقاط روی منحنی های C_\alpha که روی همان پرتو قرار دارند و از مبدا شروع می شوند.

راه حل.با تعریف نقاط مربوطه، داریم \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1)، به طوری که، به موجب خود معادله، y"=y"_1، که در آن y" و y"_1 شیب مماس ها بر منحنی های انتگرال C_\alpha و C_(\alpha_1) هستند، در نقاط M و M_1 به ترتیب (شکل 12).

معادلات تقلیل به همگن

ولی.معادله دیفرانسیل فرم را در نظر بگیرید

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\راست).

که در آن a,b,c,a_1,b_1,c_1 ثابت هستند و f(u) است عملکرد پیوستهاز استدلال آن u .

اگر c=c_1=0 باشد، رابطه (3) همگن است و مانند بالا ادغام می شود.

اگر حداقل یکی از اعداد c,c_1 با صفر متفاوت باشد، باید دو حالت را از هم متمایز کرد.

1) تعیین کننده \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. با معرفی متغیرهای جدید \xi و \eta با توجه به فرمول‌های x=\xi+h,~y=\eta+k که h و k همچنان ثابت‌های تعریف‌نشده هستند، معادله (3) را به شکل می‌آوریم.

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\درست).

انتخاب h و k به عنوان راه حل برای سیستم معادلات خطی

\شروع(موارد)ah+bk+c=0،\\a_1h+b_1k+c_1=0\پایان(موارد)~(\Delta\ne0)،

یک معادله همگن به دست می آوریم \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\راست). پس از یافتن انتگرال کلی آن و جایگزینی \xi با x-h در آن و \eta با y-k، انتگرال کلی معادله (3) را بدست می آوریم.

2) تعیین کننده \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. سیستم (4) اینچ مورد کلیراه حلی ندارد و روش فوق قابل اجرا نیست. در این مورد \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\لامبدا، و بنابراین، معادله (3) شکل دارد \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\راست). جایگزینی z=ax+by آن را به یک معادله متغیر قابل تفکیک می رساند.

مثال 3معادله را حل کنید (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

راه حل.یک سیستم خطی را در نظر بگیرید معادلات جبری \شروع (موارد)x+y-2=0،\\x-y+4=0.\پایان (موارد)

تعیین کننده این سیستم است \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

سیستم دارد تنها تصمیم x_0=-1،~y_0=3. ما جایگزین x=\xi-1,~y=\eta+3 را می سازیم. سپس معادله (5) شکل می گیرد

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

این معادله یک معادله همگن است. با تنظیم \eta=u\xi، دریافت می کنیم

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0، جایی که (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

جداسازی متغیرها \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

یکپارچه سازی، ما پیدا می کنیم \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)یا \xi^2(1+2u-u^2)=C.

بازگشت به متغیرهای x,~y:

(x+1)^2\left=C_1یا x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

مثال 4معادله را حل کنید (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

راه حل.سیستم معادلات جبری خطی \شروع (موارد)x+y+1=0،\\2x+2y-1=0\پایان (موارد)ناسازگار در این مورد، روش اعمال شده در مثال قبلی مناسب نیست. برای ادغام معادله، از جایگزینی x+y=z، dy=dz-dx استفاده می کنیم. معادله شکل خواهد گرفت

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

با جدا کردن متغیرها، دریافت می کنیم

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0از این رو x-2z-3\ln|z-2|=C.

با بازگشت به متغیرهای x,~y انتگرال کلی این معادله را بدست می آوریم

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

ب.گاهی اوقات می توان با تغییر متغیر y=z^\alpha معادله را به معادله همگن کاهش داد. این مورد زمانی است که همه عبارت های معادله از یک بعد باشند، اگر به متغیر x بعد 1 داده شود، به متغیر y بعد \alpha و مشتق \frac(dy)(dx) داده می شود. بعد \alpha-1 .

مثال 5معادله را حل کنید (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

راه حل.انجام یک تعویض y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz، جایی که \alpha در حال حاضر یک عدد دلخواه است که بعداً آن را انتخاب خواهیم کرد. با جایگزینی عبارات y و dy در معادله، دریافت می کنیم

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0یا \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

توجه داشته باشید که x^2z^(3\alpha-1) دارای بعد است 2+3\alpha-1=3\alpha+1، z^(\alpha-1) دارای بعد \alpha-1، xz^(3\alpha) دارای بعد 1+3\alpha است. اگر اندازه‌گیری‌های همه عبارت‌ها یکسان باشد، معادله حاصل همگن خواهد بود. در صورت تحقق شرط 3\alpha+1=\alpha-1، یا \alpha-1.

بیایید y=\frac(1)(z) را قرار دهیم. معادله اصلی شکل می گیرد

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0یا (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

حالا بذاریم z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. سپس این معادله شکل خواهد گرفت (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0، جایی که u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

جداسازی متغیرهای این معادله \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. یکپارچه سازی، ما پیدا می کنیم

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)یا \frac(x(u^2+1))(u)=C.

به جای u با \frac(1)(xy) انتگرال کلی این معادله 1+x^2y^2=Cy را بدست می آوریم.

معادله همچنین یک جواب آشکار y=0 دارد که اگر انتگرال به صورت نوشته شود از انتگرال عمومی در C\to\infty به دست می آید. y=\frac(1+x^2y^2)(C)، و سپس به حد مجاز در C\to\infty بپرید. بنابراین، تابع y=0 یک راه حل خاص برای معادله اصلی است.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات باید کنترل های ActiveX فعال شوند!

من فکر می کنم ما باید با تاریخچه چنین ابزار ریاضی باشکوهی مانند معادلات دیفرانسیل شروع کنیم. مانند تمام محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، این معادلات توسط نیوتن در پایان قرن هفدهم اختراع شد. او این کشف خود را به قدری مهم می‌دانست که حتی پیامی را که امروزه می‌توان چیزی شبیه به این ترجمه کرد، رمزگذاری کرد: «همه قوانین طبیعت با معادلات دیفرانسیل توصیف می‌شوند». این ممکن است اغراق آمیز به نظر برسد، اما حقیقت دارد. هر قانون فیزیک، شیمی، زیست شناسی را می توان با این معادلات توصیف کرد.

اویلر و لاگرانژ ریاضیدانان سهم بزرگی در توسعه و ایجاد نظریه معادلات دیفرانسیل داشتند. قبلاً در قرن 18، آنها آنچه را که اکنون در دوره های ارشد دانشگاه ها مطالعه می کنند، کشف و توسعه دادند.

نقطه عطف جدیدی در مطالعه معادلات دیفرانسیل به لطف هانری پوانکر آغاز شد. او "نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل" را ایجاد کرد که در ترکیب با نظریه توابع یک متغیر مختلط، سهم قابل توجهی در پایه و اساس توپولوژی - علم فضا و خواص آن داشت.

معادلات دیفرانسیل چیست؟

بسیاری از مردم از یک عبارت می ترسند، با این حال، در این مقاله به جزئیات کامل ماهیت این دستگاه ریاضی بسیار مفید خواهیم پرداخت، که در واقع آنقدرها که از نام آن به نظر می رسد پیچیده نیست. برای شروع صحبت در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، ابتدا باید با مفاهیم اساسی که ذاتاً با این تعریف مرتبط هستند آشنا شوید. بیایید با دیفرانسیل شروع کنیم.

دیفرانسیل

بسیاری از مردم این مفهوم را از مدرسه می دانند. با این حال، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم. نمودار یک تابع را تصور کنید. ما می توانیم آن را به حدی افزایش دهیم که هر یک از بخش های آن به شکل یک خط مستقیم درآید. روی آن دو نقطه را می گیریم که بی نهایت به هم نزدیک هستند. تفاوت بین مختصات آنها (x یا y) یک مقدار بی نهایت کوچک خواهد بود. دیفرانسیل نامیده می شود و با علائم dy (دیفرانسیل از y) و dx (دیفرانسیل از x) نشان داده می شود. درک این نکته بسیار مهم است که دیفرانسیل یک مقدار محدود نیست و این معنی و عملکرد اصلی آن است.

و اکنون لازم است عنصر زیر را در نظر بگیریم که در توضیح مفهوم معادله دیفرانسیل برای ما مفید خواهد بود. این یک مشتق است.

مشتق

همه ما احتمالاً این مفهوم را در مدرسه شنیده ایم. مشتق به نرخ رشد یا کاهش یک تابع گفته می شود. با این حال، بسیاری از این تعریف غیر قابل درک می شود. بیایید سعی کنیم مشتق را از نظر دیفرانسیل توضیح دهیم. بیایید به یک بخش بی نهایت کوچک از یک تابع با دو نقطه که در حداقل فاصله از یکدیگر قرار دارند، برگردیم. اما حتی برای این فاصله، تابع می تواند مقداری تغییر کند. و برای توصیف این تغییر، آنها مشتقی را ارائه کردند که در غیر این صورت می توان آن را به عنوان نسبت دیفرانسیل نوشت: f (x) "=df / dx.

اکنون ارزش در نظر گرفتن ویژگی های اساسی مشتق را دارد. فقط سه مورد از آنها وجود دارد:

1. مشتق حاصل جمع یا تفاوت را می توان به صورت مجموع یا تفاوت مشتقات نشان داد: (a+b)"=a"+b" و (a-b)"=a"-b".
2. خاصیت دوم مربوط به ضرب است. مشتق یک محصول مجموع حاصلضرب یک تابع و مشتق تابع دیگر است: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. مشتق تفاوت را می توان به صورت برابری زیر نوشت: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

همه این ویژگی ها برای یافتن جواب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول برای ما مفید خواهد بود.

مشتقات جزئی نیز وجود دارد. فرض کنید یک تابع z داریم که به متغیرهای x و y بستگی دارد. برای محاسبه مشتق جزئی این تابع، مثلاً با توجه به x، باید متغیر y را ثابت در نظر بگیریم و به سادگی آن را متمایز کنیم.

انتگرال

مفهوم مهم دیگر انتگرال است. در واقع، این دقیقاً مخالف مشتق است. انواع مختلفی از انتگرال وجود دارد، اما برای حل ساده ترین معادلات دیفرانسیل، به پیش پا افتاده ترین آنها نیاز داریم.

بنابراین، فرض کنید مقداری از f به x وابستگی داریم. انتگرال را از آن می گیریم و تابع F (x) را می گیریم (که اغلب به آن پاد مشتق می گویند) که مشتق آن برابر تابع اصلی است. بنابراین F(x)"=f(x). همچنین نتیجه می شود که انتگرال مشتق برابر با تابع اصلی است.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل، درک معنی و عملکرد انتگرال بسیار مهم است، زیرا برای یافتن راه حل باید اغلب آنها را استفاده کنید.

معادلات بسته به ماهیت آنها متفاوت است. در قسمت بعدی انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را بررسی می کنیم و سپس نحوه حل آنها را یاد می گیریم.

کلاس های معادلات دیفرانسیل

«دیفورا» به ترتیب مشتقات دخیل در آنها تقسیم می شوند. بنابراین، ترتیب اول، دوم، سوم و بیشتر وجود دارد. همچنین می توان آنها را به چند دسته تقسیم کرد: مشتقات معمولی و جزئی.

در این مقاله معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را بررسی خواهیم کرد. همچنین در قسمت های بعدی به مثال ها و راه های حل آن ها خواهیم پرداخت. ما فقط ODE ها را در نظر می گیریم، زیرا این ها رایج ترین انواع معادلات هستند. معمولی به زیر گونه ها تقسیم می شوند: با متغیرهای قابل تفکیک، همگن و ناهمگن. در مرحله بعد، تفاوت آنها با یکدیگر را یاد خواهید گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهید گرفت.

علاوه بر این، می توان این معادلات را با هم ترکیب کرد، به طوری که پس از یک سیستم معادلات دیفرانسیل درجه اول به دست می آید. ما همچنین چنین سیستم هایی را در نظر خواهیم گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهیم گرفت.

چرا فقط دستور اول را در نظر می گیریم؟ زیرا شما باید با یک مورد ساده شروع کنید و توصیف همه چیز مربوط به معادلات دیفرانسیل در یک مقاله به سادگی غیرممکن است.

معادلات متغیر قابل تفکیک

اینها شاید ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول باشند. اینها شامل نمونه هایی هستند که می توانند به این صورت نوشته شوند: y "=f (x) * f (y). برای حل این معادله، ما به فرمولی برای نمایش مشتق به عنوان نسبت دیفرانسیل ها نیاز داریم: y" = dy / dx. با استفاده از آن، معادله زیر را بدست می آوریم: dy/dx=f(x)*f(y). حالا می‌توانیم به روش حل مثال‌های استاندارد بپردازیم: متغیرها را به قسمت‌هایی تقسیم می‌کنیم، یعنی همه چیز را با متغیر y به قسمتی که dy در آن قرار دارد منتقل می‌کنیم و با متغیر x نیز همین کار را می‌کنیم. معادله ای به شکل dy/f(y)=f(x)dx بدست می آوریم که با گرفتن انتگرال هر دو قسمت حل می شود. ثابت را فراموش نکنید که باید پس از گرفتن انتگرال تنظیم شود.

جواب هر «تفاوت» تابعی از وابستگی x به y است (در مورد ما) یا اگر شرط عددی وجود داشته باشد، پاسخ به شکل یک عدد است. بیایید با استفاده از یک مثال خاص به کل راه حل نگاهی بیندازیم:

ما متغیرها را در جهات مختلف انتقال می دهیم:

حالا انتگرال ها را می گیریم. همه آنها را می توان در جدول ویژه ای از انتگرال ها یافت. و دریافت می کنیم:

log(y) = -2*cos(x) + C

در صورت لزوم، می توانیم "y" را به عنوان تابعی از "x" بیان کنیم. حال می توان گفت که معادله دیفرانسیل ما حل می شود اگر شرطی داده نشود. یک شرط می تواند داده شود، برای مثال، y(n/2)=e. سپس به سادگی مقدار این متغیرها را جایگزین جواب می کنیم و مقدار ثابت را پیدا می کنیم. در مثال ما برابر با 1 است.

معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

حالا بیایید به قسمت دشوارتر برویم. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول را می توان در آن نوشت نمای کلیبنابراین: y"=z(x,y). لازم به ذکر است که تابع سمت راست دو متغیر همگن است و نمی توان آن را به دو وابستگی تقسیم کرد: z روی x و z روی y. بررسی همگن بودن معادله یا not بسیار ساده است: ما جایگزین x=k*x و y=k*y می کنیم. اکنون همه k را لغو می کنیم. اگر همه این حروف کاهش یافته باشند، معادله همگن است و می توانید با خیال راحت به حل آن ادامه دهید. پیش از این، بیایید بگوییم: اصل حل این مثال ها نیز بسیار ساده است.

ما باید یک جایگزین ایجاد کنیم: y=t(x)*x، جایی که t تابعی است که به x نیز بستگی دارد. سپس می توانیم مشتق را بیان کنیم: y"=t"(x)*x+t. با جایگزینی همه اینها به معادله اصلی خود و ساده کردن آن، مثالی با متغیرهای قابل تفکیک t و x می‌گیریم. آن را حل می کنیم و وابستگی t(x) را بدست می آوریم. وقتی آن را دریافت کردیم، به سادگی y=t(x)*x را با جایگزین قبلی خود جایگزین می کنیم. سپس وابستگی y را به x می گیریم.

برای روشن‌تر شدن، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم: x*y"=y-x*e y/x.

هنگام بررسی با جایگزین، همه چیز کاهش می یابد. بنابراین معادله واقعاً همگن است. حالا ما جایگزین دیگری می کنیم که در مورد آن صحبت کردیم: y=t(x)*x و y"=t"(x)*x+t(x). پس از ساده سازی، معادله زیر را به دست می آوریم: t "(x) * x \u003d -e t. مثال حاصل را با متغیرهای جدا شده حل می کنیم و می گیریم: e -t \u003dln (C * x). فقط باید t را جایگزین کنیم. با y / x (زیرا اگر y \u003d t * x ، سپس t \u003d y / x) ، و پاسخ را می گیریم: e -y / x \u003d ln (x * C).

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

وقت آن است که یک موضوع گسترده دیگر را در نظر بگیریم. ما معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه اول را تحلیل خواهیم کرد. تفاوت آنها با دو مورد قبلی چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول را می توان به صورت زیر نوشت: y " + g (x) * y \u003d z (x). شایان ذکر است که z (x) و g (x) می توانند مقادیر ثابت باشند. .

و اکنون یک مثال: y" - y*x=x 2 .

دو راه برای حل وجود دارد و ما هر دو را به ترتیب تجزیه و تحلیل می کنیم. اولین روش، روش تغییر ثوابت دلخواه است.

برای حل معادله به این ترتیب ابتدا باید معادل سازی کنید سمت راسترا صفر کرده و معادله حاصل را حل کنید که پس از انتقال قطعات به شکل زیر در می آید:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

حالا باید ثابت C 1 را با تابع v(x) جایگزین کنیم که باید آن را پیدا کنیم.

بیایید مشتق را تغییر دهیم:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

بیایید این عبارات را در معادله اصلی جایگزین کنیم:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

مشاهده می شود که دو ترم در سمت چپ لغو شده است. اگر در مثالی این اتفاق نیفتاد، پس شما کار اشتباهی انجام دادید. بیا ادامه بدهیم:

v"*e x2/2 = x 2.

اکنون معادله معمولی را حل می کنیم که در آن باید متغیرها را از هم جدا کنیم:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

برای استخراج انتگرال، باید یکپارچه سازی توسط قطعات را در اینجا اعمال کنیم. با این حال، این موضوع مقاله ما نیست. اگر علاقه مند هستید، می توانید نحوه انجام چنین اقداماتی را خودتان یاد بگیرید. کار سختی نیست و با مهارت و دقت کافی زمان زیادی نمی برد.

بیایید به راه حل دوم بپردازیم. معادلات ناهمگن: روش برنولی. اینکه کدام روش سریعتر و آسانتر است به شما بستگی دارد.

بنابراین، هنگام حل معادله با این روش، باید یک جایگزین ایجاد کنیم: y=k*n. در اینجا k و n برخی از توابع وابسته به x هستند. سپس مشتق شبیه به این خواهد شد: y"=k"*n+k*n. هر دو جایگزین را در معادله جایگزین می کنیم:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

گروه بندی:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

اکنون باید آنچه را که در پرانتز است با صفر برابر کنیم. حال، اگر دو معادله حاصل را با هم ترکیب کنیم، سیستمی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به دست می آید که باید حل شوند:

تساوی اول را به صورت یک معادله معمولی حل می کنیم. برای این کار باید متغیرها را از هم جدا کنید:

انتگرال را می گیریم و می گیریم: ln(n)=x 2/2. سپس، اگر n را بیان کنیم:

اکنون تساوی حاصل را با معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

و با تبدیل، برابری مشابه روش اول را بدست می آوریم:

dk=x 2 /e x2/2 .

ما همچنین اقدامات بعدی را تجزیه و تحلیل نخواهیم کرد. شایان ذکر است که در ابتدا حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول مشکلات قابل توجهی ایجاد می کند. با این حال، با غوطه ور شدن بیشتر در موضوع، شروع به بهتر شدن و بهتر شدن می کند.

معادلات دیفرانسیل کجا استفاده می شود؟

معادلات دیفرانسیل به طور فعال در فیزیک استفاده می شوند، زیرا تقریباً تمام قوانین اساسی به شکل دیفرانسیل نوشته شده اند و فرمول هایی که می بینیم حل این معادلات هستند. در شیمی، آنها به همین دلیل استفاده می شوند: قوانین اساسی از آنها مشتق شده است. در زیست‌شناسی، معادلات دیفرانسیل برای مدل‌سازی رفتار سیستم‌هایی مانند شکارچی-شکار استفاده می‌شود. آنها همچنین می توانند برای ایجاد مدل های تولید مثل مثلاً یک کلونی از میکروارگانیسم ها استفاده شوند.

معادلات دیفرانسیل چگونه در زندگی کمک خواهد کرد؟

پاسخ به این سوال ساده است: به هیچ وجه. اگر دانشمند یا مهندس نیستید، بعید است که آنها برای شما مفید باشند. با این حال، برای توسعه عمومیدانستن اینکه معادله دیفرانسیل چیست و چگونه حل می شود، ضرری ندارد. و سپس سوال پسر یا دختر "معادله دیفرانسیل چیست؟" شما را گیج نمی کند خوب، اگر دانشمند یا مهندس هستید، پس خودتان اهمیت این موضوع را در هر علمی درک می کنید. اما مهمترین چیز این است که اکنون این سوال مطرح می شود که "چگونه معادله دیفرانسیل مرتبه اول را حل کنیم؟" شما همیشه می توانید پاسخ دهید موافقم، وقتی می فهمی که مردم حتی از درک آن چه می ترسند، همیشه خوب است.

مشکلات اصلی در یادگیری

مشکل اصلی در درک این موضوع، مهارت ضعیف در یکپارچه سازی و تمایز توابع است. اگر در گرفتن مشتقات و انتگرال ها خوب نیستید، احتمالاً ارزش یادگیری بیشتر، تسلط بر روش های مختلف ادغام و تمایز را دارد و تنها پس از آن به مطالعه مطالبی که در مقاله توضیح داده شد، ادامه دهید.

برخی از افراد وقتی می آموزند که dx قابل انتقال است شگفت زده می شوند، زیرا قبلا (در مدرسه) گفته شده بود که کسری dy / dx غیرقابل تقسیم است. در اینجا باید ادبیات مشتق را بخوانید و بفهمید که این نسبت کمیت های بی نهایت کوچک است که می توان هنگام حل معادلات دستکاری کرد.

بسیاری بلافاصله متوجه نمی شوند که حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول اغلب یک تابع یا یک انتگرال است که نمی توان آن را گرفت و این توهم برای آنها دردسرهای زیادی ایجاد می کند.

چه چیز دیگری را می توان برای درک بهتر مطالعه کرد؟

بهتر است غوطه ور شدن بیشتر در دنیای حساب دیفرانسیل را با کتاب های درسی تخصصی شروع کنید، به عنوان مثال، تجزیه و تحلیل ریاضیبرای دانشجویان رشته های غیر ریاضی سپس می توانید به سراغ ادبیات تخصصی تری بروید.

شایان ذکر است که علاوه بر معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال نیز وجود دارد، بنابراین شما همیشه چیزی برای تلاش و چیزی برای مطالعه خواهید داشت.

نتیجه

امیدواریم پس از خواندن این مقاله ایده ای در مورد اینکه معادلات دیفرانسیل چیست و چگونه آنها را به درستی حل کنید، داشته باشید.

در هر صورت، ریاضیات به نوعی برای ما در زندگی مفید است. این منطق و توجه را توسعه می دهد که بدون آن هر فرد مانند بدون دست است.