تابع f(x,y) فراخوانی می شود عملکرد همگناز آرگومان های بعد n آن، اگر هویت درست باشد f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

برای مثال، تابع f(x,y)=x^2+y^2-xy یک تابع همگن از بعد دوم است، زیرا

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

وقتی n=0 تابع بعد صفر داریم. مثلا، \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)تابع همگن بعد صفر است، زیرا

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

معادله دیفرانسیل فرم \frac(dy)(dx)=f(x,y)اگر f(x,y) تابعی همگن از آرگومان های بعد صفر آن باشد، نسبت به x و y همگن است. یک معادله همگن همیشه می تواند به صورت نمایش داده شود

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

با معرفی تابع مورد نیاز جدید u=\frac(y)(x) می توان معادله (1) را به معادله ای با متغیرهای جداکننده تقلیل داد:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

اگر u=u_0 ریشه معادله \varphi(u)-u=0 باشد، جواب معادله همگن u=u_0 یا y=u_0x خواهد بود (خط مستقیمی که از مبدا می گذرد).

اظهار نظر.هنگام حل معادلات همگن، نیازی به کاهش آنها به شکل (1) نیست. می توانید بلافاصله جایگزین y=ux را انجام دهید.

مثال 1.حل معادله همگن xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

راه حل.بیایید معادله را به شکل بنویسیم y"=\sqrt(1-(\چپ(\frac(y)(x)\راست)\^2}+\frac{y}{x} !}بنابراین این معادله نسبت به x و y همگن است. اجازه دهید u=\frac(y)(x) یا y=ux را قرار دهیم. سپس y"=xu"+u. با جایگزینی عبارات y و y" در معادله، دریافت می کنیم x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). متغیرها را از هم جدا می کنیم: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). از اینجا با ادغام پیدا می کنیم

\arcsin(u)=\ln|x|+\n(C_1)~(C_1>0)، یا \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

از آنجایی که C_1|x|=\pm(C_1x)، پس با نشان دادن \pm(C_1)=C، دریافت می کنیم \arcsin(u)=\ln(Cx)، جایی که |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)یا e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). به جای u با \frac(y)(x) انتگرال کلی داریم \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

از اینجا تصمیم مشترک: y=x\sin\ln(Cx) .

هنگام جداسازی متغیرها، هر دو طرف معادله را بر حاصل ضرب x\sqrt(1-u^2) تقسیم کردیم، بنابراین می‌توانیم راه‌حل را از دست بدهیم، که باعث می‌شود این محصول ناپدید شود.

اجازه دهید x=0 و \sqrt(1-u^2)=0 را تنظیم کنیم. اما x\ne0 به دلیل جایگزینی u=\frac(y)(x) و از رابطه \sqrt(1-u^2)=0 به دست می‌آید که 1-\frac(y^2)(x^2)=0، از جایی که y=\pm(x) است. با تأیید مستقیم ما متقاعد شدیم که توابع y=-x و y=x نیز راه حل هایی برای این معادله هستند.

مثال 2.خانواده منحنی های انتگرال C_\alpha یک معادله همگن را در نظر بگیرید y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). نشان دهید که مماس ها در نقاط مربوط به منحنی های تعریف شده توسط این معادله دیفرانسیل همگن با یکدیگر موازی هستند.

توجه داشته باشید:تماس خواهیم گرفت مناسبآن نقاط روی منحنی‌های C_\alpha که روی همان پرتوی قرار دارند که از مبدأ ساطع می‌شود.

راه حل.با تعریف نقاط مربوطه داریم \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1)، بنابراین بر اساس خود معادله y"=y"_1، که در آن y" و y"_1 ضرایب زاویه ای مماس بر منحنی های انتگرال C_\alpha و C_(\alpha_1)، به ترتیب در نقاط M و M_1 هستند. (شکل 12).

معادلات کاهش به همگن

آ.معادله دیفرانسیل فرم را در نظر بگیرید

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\راست).

که در آن a,b,c,a_1,b_1,c_1 ثابت هستند و f(u) عملکرد پیوستهاستدلال آن u.

اگر c=c_1=0، معادله (3) همگن است و همانطور که در بالا نشان داده شد یکپارچه می شود.

اگر حداقل یکی از اعداد c,c_1 با صفر متفاوت باشد، باید دو حالت را از هم متمایز کرد.

1) تعیین کننده \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. با معرفی متغیرهای جدید \xi و \eta با توجه به فرمول‌های x=\xi+h,~y=\eta+k که h و k هنوز ثابت‌های نامشخص هستند، معادله (3) را به شکل کاهش می‌دهیم.

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\درست).

انتخاب h و k به عنوان راه حل برای سیستم معادلات خطی

\شروع(موارد)ah+bk+c=0،\\a_1h+b_1k+c_1=0\پایان(موارد)~(\Delta\ne0)،

یک معادله همگن به دست می آوریم \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\راست). با یافتن انتگرال کلی آن و جایگزینی \xi در آن با x-h و \eta با y-k، انتگرال کلی معادله (3) را به دست می آوریم.

2) تعیین کننده \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. سیستم (4) اینچ مورد کلیهیچ راه حلی ندارد و روش ذکر شده در بالا قابل اجرا نیست. در این مورد \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\لامبدا، و بنابراین معادله (3) شکل دارد \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\راست). جایگزینی z=ax+by منجر به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک می شود.

مثال 3.معادله را حل کنید (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

راه حل.یک سیستم خطی را در نظر بگیرید معادلات جبری \شروع (موارد)x+y-2=0،\\x-y+4=0.\پایان (موارد)

تعیین کننده این سیستم \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

سیستم دارد تنها تصمیم x_0=-1،~y_0=3. ما جایگزین x=\xi-1,~y=\eta+3 را می سازیم. سپس معادله (5) شکل خواهد گرفت

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

این معادله یک معادله همگن است. با تنظیم \eta=u\xi، دریافت می کنیم

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0، جایی که (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

جداسازی متغیرها \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

یکپارچه سازی، ما پیدا می کنیم \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)یا \xi^2(1+2u-u^2)=C.

بیایید به متغیرهای x,~y برگردیم:

(x+1)^2\left=C_1یا x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

مثال 4.معادله را حل کنید (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

راه حل.سیستم معادلات جبری خطی \شروع (موارد)x+y+1=0،\\2x+2y-1=0\پایان (موارد)ناسازگار در این مورد، روش استفاده شده در مثال قبلی مناسب نیست. برای ادغام معادله، از جایگزینی x+y=z، dy=dz-dx استفاده می کنیم. معادله شکل خواهد گرفت

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

با جدا کردن متغیرها، دریافت می کنیم

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0از این رو x-2z-3\ln|z-2|=C.

با بازگشت به متغیرهای x,~y، انتگرال کلی این معادله را بدست می آوریم

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

ب.گاهی اوقات می توان با جایگزینی متغیر y=z^\alpha معادله را همگن کرد. این زمانی اتفاق می‌افتد که همه عبارت‌های معادله از یک بعد باشند، اگر به متغیر x بعد 1 اختصاص داده شود، به متغیر y - بعد \alpha و مشتق \frac(dy)(dx) - بعد \alpha-1 اختصاص داده شود.

مثال 5.معادله را حل کنید (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

راه حل.انجام یک تعویض y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz، جایی که \alpha در حال حاضر یک عدد دلخواه است که بعداً آن را انتخاب خواهیم کرد. با جایگزینی عبارات y و dy در معادله، دریافت می کنیم

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0یا \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

توجه داشته باشید که x^2z^(3\alpha-1) دارای بعد است 2+3\alpha-1=3\alpha+1، z^(\alpha-1) دارای بعد \alpha-1، xz^(3\alpha) دارای بعد 1+3\alpha است. اگر اندازه‌گیری‌های همه عبارت‌ها یکسان باشد، معادله حاصل همگن خواهد بود. در صورت تحقق شرط 3\alpha+1=\alpha-1، یا \alpha-1.

بیایید y=\frac(1)(z) را قرار دهیم. معادله اصلی شکل می گیرد

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0یا (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

بگذارید اکنون قرار دهیم z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. سپس این معادله شکل خواهد گرفت (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0، جایی که u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

جداسازی متغیرهای این معادله \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. یکپارچه سازی، ما پیدا می کنیم

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)یا \frac(x(u^2+1))(u)=C.

با جایگزینی u از طریق \frac(1)(xy) انتگرال کلی این معادله 1+x^2y^2=Cy را بدست می آوریم.

معادله یک جواب آشکار y=0 نیز دارد که اگر انتگرال به شکل نوشته شده باشد از انتگرال عمومی در C\to\infty به دست می آید. y=\frac(1+x^2y^2)(C)، و سپس به حد مجاز در C\to\infty بروید. بنابراین، تابع y=0 یک راه حل خاص برای معادله اصلی است.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!

پاسخ های آماده به نمونه های همگن معادلات دیفرانسیل بسیاری از دانش آموزان به دنبال مرتبه اول هستند (کنترل کننده های مرتبه 1 رایج ترین در تدریس هستند)، سپس می توانید آنها را با جزئیات تجزیه و تحلیل کنید. اما قبل از رفتن به بررسی مثال‌ها، توصیه می‌کنیم مطالب مختصر نظری را به دقت مطالعه کنید.
معادلات به شکل P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 که در آن توابع P(x,y) و Q(x,y) توابع همگن از یک مرتبه هستند نامیده می شوند. معادله دیفرانسیل همگن(ODR).

طرحی برای حل معادله دیفرانسیل همگن

1. ابتدا باید جایگزینی y=z*x را اعمال کنید، که در آن z=z(x) یک تابع مجهول جدید است (بنابراین معادله اصلی به یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد.
2. مشتق حاصل برابر y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z یا در دیفرانسیل dy=d(zx)=z*dx+ است. x*dz.
3. بعد جایگزین می کنیم خصوصیت جدید y و مشتق آن y" (یا dy) در DE با متغیرهای قابل تفکیکنسبت به x و z.
4. پس از حل معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک، تغییر معکوس y=z*x، بنابراین z= y/x را ایجاد می کنیم و به دست می آید. حل کلی (انتگرال عمومی) یک معادله دیفرانسیل.
5. اگر شرط اولیه y(x 0)=y 0 داده شود، آنگاه راه حل خاصی برای مسئله کوشی پیدا می کنیم. از نظر تئوری آسان به نظر می رسد، اما در عمل، حل معادلات دیفرانسیل برای همه بسیار سرگرم کننده نیست. بنابراین، برای تعمیق دانش خود، به مثال‌های رایج نگاه می‌کنیم. چیزهای زیادی برای آموزش در مورد کارهای آسان وجود ندارد، بنابراین بیایید به کارهای پیچیده تر برویم.

محاسبات معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

مثال 1.

راه حل: سمت راست معادله را بر متغیری که فاکتوری در کنار مشتق است، تقسیم کنید. در نتیجه به آن می رسیم معادله دیفرانسیل همگن مرتبه 0

و در اینجا، شاید، بسیاری از مردم علاقه مند شدند، چگونه ترتیب تابع یک معادله همگن را تعیین کنیم؟
سؤال کاملاً مرتبط است و پاسخ به آن به شرح زیر است:
در سمت راست، مقدار t*x، t*y را به جای تابع و آرگومان جایگزین می کنیم. هنگام ساده سازی، پارامتر "t" به درجه مشخصی k به دست می آید که به آن ترتیب معادله می گویند. در مورد ما، "t" کاهش می یابد که معادل توان 0 یا است مرتبه صفر معادله همگن
سپس در سمت راست می توانیم به متغیر جدید y=zx برویم. z=y/x.
در عین حال، فراموش نکنید که مشتق "y" را از طریق مشتق متغیر جدید بیان کنید. با قاعده قطعات پیدا می کنیم

معادلات در دیفرانسیلشکل خواهد گرفت

اصطلاحات رایج در سمت راست و چپ را لغو می کنیم و به سراغ آن می رویم معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده

بیایید هر دو طرف DE را ادغام کنیم

برای راحتی تبدیل های بیشتر، ما بلافاصله ثابت را زیر لگاریتم وارد می کنیم

بر اساس خواص لگاریتم، حاصل می شود معادله لگاریتمیمعادل زیر

این ورودی هنوز یک راه حل (پاسخ) نیست، باید به جایگزینی انجام شده متغیرها بازگشت

به این ترتیب پیدا می کنند حل کلی معادلات دیفرانسیل. اگر درس‌های قبل را با دقت مطالعه کرده باشید، گفتیم که می‌توانید از طرح محاسبه معادلات با متغیرهای جدا شده آزادانه استفاده کنید و این نوع معادلات باید بیشتر محاسبه شوند. انواع پیچیده DU.

مثال 2. انتگرال یک معادله دیفرانسیل را پیدا کنید

راه حل: طرح محاسبه سیستم های کنترل همگن و ترکیبی اکنون برای شما آشنا است. متغیر را به سمت راست معادله منتقل می کنیم و همچنین x 2 را در صورت و مخرج به عنوان یک عامل مشترک خارج می کنیم.

بنابراین، یک معادله دیفرانسیل همگن از مرتبه صفر به دست می آوریم.
در مرحله بعد جایگزینی متغیرهای z=y/x، y=z*x را معرفی می کنیم که مدام به شما یادآوری می کنیم تا آن را حفظ کنید.

پس از این ما کنترل از راه دور را در دیفرانسیل می نویسیم

سپس وابستگی را به معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده

و ما آن را با یکپارچه سازی حل می کنیم.

انتگرال ها ساده هستند، تبدیل های باقی مانده بر اساس ویژگی های لگاریتم انجام می شود. آخرین مرحله شامل افشای لگاریتم است. در نهایت به جایگزین اصلی برمی گردیم و آن را در فرم می نویسیم

ثابت "C" می تواند هر مقداری را بگیرد. همه کسانی که به صورت مکاتبه ای درس می خوانند با این نوع معادلات در امتحانات مشکل دارند، پس لطفا با دقت نگاه کنید و نمودار محاسباتی را به خاطر بسپارید.

مثال 3. حل معادله دیفرانسیل

حل: مطابق روش فوق، معادلات دیفرانسیل از این نوع حل می شوند با معرفی یک متغیر جدیدبیایید وابستگی را بازنویسی کنیم تا مشتق بدون متغیر باشد

علاوه بر این، با تجزیه و تحلیل سمت راست، می بینیم که قطعه -ee در همه جا وجود دارد و آن را به عنوان یک مجهول جدید نشان می دهد.
z=y/x، y=z*x.
یافتن مشتق y

با در نظر گرفتن جایگزینی، DE اصلی را در فرم بازنویسی می کنیم

ما عبارات یکسان را ساده می کنیم و همه موارد حاصل را به DE کاهش می دهیم با متغیرهای جدا شده

با ادغام هر دو طرف برابری

به یک راه حل به شکل لگاریتمی می رسیم

با افشای وابستگی هایی که پیدا می کنیم حل کلی معادله دیفرانسیل

که پس از جایگزینی تغییر اولیه متغیرها به آن شکل می گیرد

در اینجا C ثابتی است که می‌توان آن را بیشتر از شرایط کوشی تعیین کرد. اگر مشکل کوشی مشخص نشده باشد، یک مقدار واقعی دلخواه به خود می گیرد.
این همه حکمت در محاسبه معادلات دیفرانسیل همگن است.

در حال حاضر با توجه به پایه تحصیلی ریاضی تنها 4 ساعت برای مطالعه ریاضی در دبیرستان در نظر گرفته شده است (2 ساعت جبر، 2 ساعت هندسه). در مدارس کوچک روستایی با توجه به مولفه مدرسه درصدد افزایش ساعات هستند. اما اگر کلاس بشردوستانه باشد، یک جزء مدرسه برای مطالعه دروس علوم انسانی اضافه می شود. در یک روستای کوچک، یک دانش آموز اغلب انتخابی ندارد، او در آن کلاس درس می خواند. که در مدرسه موجود است. او قصد ندارد وکیل، مورخ یا روزنامه‌نگار شود (چنین مواردی وجود دارد)، اما می‌خواهد مهندس یا اقتصاددان شود، بنابراین باید در امتحان دولتی واحد ریاضی با نمرات بالا قبول شود. در چنین شرایطی، معلم ریاضی باید راه خود را برای خروج از وضعیت فعلی بیابد؛ علاوه بر این، طبق کتاب درسی کولموگروف، مطالعه مبحث "معادلات همگن" ارائه نشده است. در سال‌های گذشته، دو درس دوبار برای معرفی این مبحث و تقویت آن وقت صرف کردم. متأسفانه بازرسی نظارت آموزشی ما دو درس را در مدرسه ممنوع کرد، بنابراین باید تعداد تمرینات را به 45 دقیقه کاهش داد و بر این اساس سطح دشواری تمرینات به متوسط ​​کاهش یافت. طرح درس این مبحث را در پایه دهم با سطح پایه تحصیل ریاضی در مدرسه کوچک روستایی به اطلاع شما می رسانم.

نوع درس: سنتی.

هدف: یادگیری حل معادلات همگن معمولی.

وظایف:

شناختی:

رشدی:

آموزشی:

• پرورش کار سخت از طریق انجام کارها با صبر و حوصله، حس رفاقت از طریق کار به صورت جفتی و گروهی.

در طول کلاس ها

من.سازمانی صحنه(3 دقیقه)

II. آزمایش دانش لازم برای تسلط بر مطالب جدید (10 دقیقه)

مشکلات اصلی را با تجزیه و تحلیل بیشتر وظایف تکمیل شده شناسایی کنید. بچه ها 3 گزینه را انتخاب می کنند. تکالیف بر اساس درجه سختی و سطح آمادگی بچه ها متمایز می شوند و به دنبال آن در هیئت توضیح داده می شود.

سطح 1. حل معادلات:

1. 3(x+4)=12،
2. 2 (x-15) = 2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 پاسخ: 7;3

سطح 2. ساده ترین را حل کنید معادلات مثلثاتیو بی معادله درجه دوم:

پاسخ می دهد:

ب) x 4 -13x 3 +36=0 پاسخ: -2; 2 -3؛ 3

سطح 3.حل معادلات با تغییر متغیرها:

ب) x 6 -9x 3 +8=0 پاسخ:

III.برقراری ارتباط با موضوع، تعیین اهداف و مقاصد.

موضوع: معادلات همگن

هدف: یادگیری حل معادلات همگن معمولی

وظایف:

شناختی:

• با معادلات همگن آشنا شوید، حل رایج ترین انواع این معادلات را بیاموزید.

رشدی:

• توسعه تفکر تحلیلی.
• توسعه مهارت های ریاضی: یاد بگیرید که ویژگی های اصلی را که معادلات همگن با دیگر معادلات متفاوت هستند شناسایی کنید، بتوانید شباهت معادلات همگن را در جلوه های مختلف آنها ایجاد کنید.

IV. یادگیری دانش جدید (15 دقیقه)

1. لحظه سخنرانی.

تعریف 1(آن را در یک دفتر یادداشت کنید). معادله ای به شکل P(x;y)=0 همگن نامیده می شود اگر P(x;y) چند جمله ای همگن باشد.

چند جمله‌ای در دو متغیر x و y همگن نامیده می‌شود که درجه هر یک از جمله‌های آن برابر با همان عدد k باشد.

تعریف 2(فقط یک مقدمه). معادلات فرم

معادله همگن درجه n نسبت به u(x) و v(x) نامیده می شود. با تقسیم هر دو طرف معادله بر (v(x))n، می توانیم از جایگزینی برای بدست آوردن معادله استفاده کنیم.

که به ما اجازه می دهد تا معادله اصلی را ساده کنیم. مورد v(x)=0 باید جداگانه در نظر گرفته شود، زیرا تقسیم بر 0 غیرممکن است.

2. نمونه هایی از معادلات همگن:

توضیح دهید: چرا آنها همگن هستند، مثال های خود را از این معادلات بیاورید.

3. وظیفه تعیین معادلات همگن:

در میان معادلات داده شدهمعادلات همگن را تعریف کنید و انتخاب خود را توضیح دهید:

بعد از اینکه انتخاب خود را توضیح دادید، از یکی از مثال ها برای نشان دادن نحوه حل یک معادله همگن استفاده کنید:

4. خودتان تصمیم بگیرید:

پاسخ:

ب) 2sin x – 3 cos x =0

دو طرف معادله را بر cos x تقسیم کنید، 2 tg x -3=0، tg x=⅔، x=arctg⅔ + به دست می‌آید.

5. راه حل نمونه ای از بروشور را نشان دهید«P.V. چولکوف معادلات و نابرابری ها در یک درس ریاضی مدرسه. مسکو دانشگاه علوم تربیتی"اول سپتامبر" 2006 ص 22." به عنوان یکی از ممکن نمونه های آزمون دولتی یکپارچهسطح C.

V. حل برای تثبیت با استفاده از کتاب درسی باشماکوف

صفحه 183 شماره 59 (1.5) یا طبق کتاب درسی ویرایش شده توسط کولموگروف: صفحه 81 شماره 169 (الف، ج)

پاسخ می دهد:

VI. تست، کار مستقل (7 دقیقه)

1 گزینه	گزینه 2
حل معادلات:
الف) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	الف) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
ب) cos 2 -3sin 2 =0	ب)

پاسخ به وظایف:

گزینه 1 الف) پاسخ: arctan2+πn,n € Z; ب) پاسخ: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

گزینه 2 a) پاسخ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; ب) پاسخ: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; ج) (-5;-2); (5; 2)

VII. مشق شب

شماره 169 به گفته کولموگروف، شماره 59 به گفته باشماکوف.

2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 نکته: در سمت راست، از هویت مثلثاتی پایه 2 استفاده کنید (sin 2 x + cos 2 x)

پاسخ: arctan(-1±√3) +πn،

منابع:

1. P.V. چولکوف معادلات و نابرابری ها در یک درس ریاضی مدرسه. – م.: دانشگاه علوم تربیتی «اول شهریور»، 1385. ص 22
2. A. Merzlyak، V. Polonsky، E. Rabinovich، M. Yakir. مثلثات. – م.: «AST-PRESS»، 1377، ص 389
3. جبر برای پایه هشتم، ویرایش توسط N.Ya. ویلنکینا. - م.: "روشنگری"، 1997.
4. جبر برای پایه نهم، ویرایش شده توسط N.Ya. ویلنکینا. مسکو "روشنگری"، 2001.
5. M.I. باشماکوف جبر و آغاز تحلیل. برای کلاس های 10-11 - M.: "روشنگری" 1993
6. کولموگروف، آبراموف، دودنیتسین. جبر و آغاز تحلیل. برای پایه های 10-11. - م.: "روشنگری"، 1990.
7. A.G. موردکوویچ. جبر و آغاز تحلیل. قسمت 1 کتاب درسی برای پایه های 10-11. - M.: "Mnemosyne"، 2004.

همگن

در این درس ما به اصطلاح نگاه خواهیم کرد معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول. همراه با معادلات قابل تفکیکو معادلات ناهمگن خطیاین نوع از کنترل از راه دور تقریباً در همه یافت می شود کار آزمایشیدر مورد دیفیوزرها اگر از یک موتور جستجو وارد صفحه شده اید یا در درک معادلات دیفرانسیل خیلی مطمئن نیستید، ابتدا توصیه می کنم در مورد یک درس مقدماتی در مورد این موضوع کار کنید - معادلات دیفرانسیل مرتبه اول. واقعیت این است که بسیاری از اصول حل معادلات همگن و تکنیک های مورد استفاده دقیقاً مشابه ساده ترین معادلات با متغیرهای قابل تفکیک خواهد بود.

تفاوت بین معادلات دیفرانسیل همگن با انواع دیگر معادلات دیفرانسیل چیست؟ ساده ترین راه برای توضیح فوری این با یک مثال خاص است.

مثال 1

راه حل:
چی اولاهنگام تصمیم گیری باید تجزیه و تحلیل شود هرمعادله دیفرانسیل سفارش اول? اول از همه، لازم است بررسی شود که آیا می توان بلافاصله متغیرها را با استفاده از اقدامات "مدرسه" جدا کرد؟ معمولاً این تحلیل به صورت ذهنی یا با تلاش برای جداسازی متغیرها در یک پیش نویس انجام می شود.

در این مثال متغیرها قابل تفکیک نیستند(می توانید سعی کنید اصطلاحات را از قسمتی به قسمت دیگر پرتاب کنید، فاکتورها را از پرانتز بیرون بیاورید و غیره). ضمناً در این مثال این واقعیت که متغیرها قابل تقسیم نیستند به دلیل وجود ضریب کاملاً مشهود است.

این سوال مطرح می شود: چگونه می توان این مشکل پراکنده را حل کرد؟

نیاز به بررسی و آیا این معادله همگن نیست؟? تأیید ساده است و خود الگوریتم تأیید را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

به معادله اصلی:

بجایجایگزین می کنیم، بجایجایگزین می کنیم، ما مشتق را لمس نمی کنیم:

حرف لامبدا یک پارامتر شرطی است و در اینجا نقش زیر را ایفا می کند: اگر در نتیجه تبدیل ها بتوان همه لامبداها را "از بین برد" و معادله اصلی را به دست آورد، پس این معادله دیفرانسیل همگن است.

واضح است که لامبداها بلافاصله با توان کاهش می یابند:

حالا در سمت راست، لامبدا را از پرانتز خارج می کنیم:

و هر دو قسمت را بر همین لامبدا تقسیم کنید:

در نتیجه همهلامبداها مانند یک رویا، مانند مه صبحگاهی ناپدید شدند و معادله اصلی را به دست آوردیم.

نتیجه:این معادله همگن است

چگونه یک معادله دیفرانسیل همگن را حل کنیم؟

یه خبر خیلی خوب دارم مطلقاً تمام معادلات همگن را می توان با استفاده از یک جایگزین استاندارد حل کرد.

تابع "بازی" باید باشد جایگزین کردن کار کردنبرخی از عملکردها (همچنین وابسته به "x")و "x":

آنها تقریباً همیشه به طور خلاصه می نویسند:

ما متوجه می شویم که مشتق با چنین جایگزینی به چه چیزی تبدیل می شود، از قانون تمایز محصول استفاده می کنیم. اگر پس از آن:

معادله اصلی را جایگزین می کنیم:

چنین جایگزینی چه خواهد کرد؟ پس از این جایگزینی و ساده سازی ها، ما تضمینمعادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست می آوریم. یاد آوردنمثل عشق اول :) و بر این اساس، .

پس از تعویض، ما حداکثر ساده سازی ها را انجام می دهیم:

از آنجایی که تابعی وابسته به "x" است، مشتق آن را می توان به صورت کسری استاندارد نوشت: .
بدین ترتیب:

ما متغیرها را از هم جدا می کنیم، در حالی که در سمت چپ شما باید فقط "te" را جمع آوری کنید، و در سمت راست - فقط "x":

متغیرها از هم جدا شده اند، بیایید ادغام کنیم:


طبق اولین نکته فنی من از مقاله معادلات دیفرانسیل مرتبه اولدر بسیاری از موارد توصیه می شود که یک ثابت را به شکل لگاریتم "فرمول بندی" کنید.

بعد از اینکه معادله یکپارچه شد، باید آن را انجام دهیم تعویض معکوس، همچنین استاندارد و منحصر به فرد است:
اگر پس از آن
در این مورد:

در 18-19 مورد از 20 مورد، جواب یک معادله همگن به صورت یک انتگرال کلی نوشته می شود..

پاسخ:انتگرال عمومی:

چرا پاسخ یک معادله همگن تقریباً همیشه به صورت یک انتگرال کلی داده می شود؟
در بیشتر موارد، بیان صریح "بازی" غیرممکن است (برای به دست آوردن یک راه حل کلی)، و اگر امکان پذیر باشد، اغلب راه حل کلی دست و پا گیر و دست و پا گیر می شود.

بنابراین، به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده، یک راه حل کلی را می توان با وزن کردن لگاریتم در دو طرف انتگرال کلی به دست آورد:

- خوب، همه چیز درست است. اگرچه، باید اعتراف کنید، هنوز کمی کج است.

به هر حال، در این مثال من انتگرال کلی را کاملاً "محتوا" ننوشتم. این یک اشتباه نیست، اما به سبک "خوب" یادآوری می کنم که انتگرال کلی معمولاً به شکل نوشته می شود. برای انجام این کار، بلافاصله پس از ادغام معادله، ثابت باید بدون هیچ لگاریتمی نوشته شود (در اینجا استثنا قاعده است!):

و پس از جایگزینی معکوس، انتگرال کلی را به شکل "کلاسیک" بدست آورید:

پاسخ دریافتی قابل بررسی است. برای انجام این کار، باید انتگرال کلی را متمایز کنید، یعنی پیدا کنید مشتق تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است:

با ضرب هر ضلع معادله در: از شر کسر خلاص می شویم:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

توصیه می شود همیشه بررسی کنید. اما معادلات همگن از این نظر ناخوشایند هستند که معمولاً بررسی انتگرال های کلی آنها دشوار است - این به یک تکنیک تمایز بسیار بسیار مناسب نیاز دارد. در مثال در نظر گرفته شده، در حین تأیید لازم بود که ساده ترین مشتقات را پیدا نکنید (اگرچه خود مثال بسیار ساده است). اگر می توانید آن را بررسی کنید، آن را بررسی کنید!

مثال 2

معادله را برای همگنی بررسی کنید و انتگرال کلی آن را بیابید.

پاسخ را در فرم بنویسید

این مثالی است برای اینکه بتوانید خودتان تصمیم بگیرید - به طوری که با خود الگوریتم اقدامات راحت شوید. شما می توانید در اوقات فراغت خود چک را انجام دهید، زیرا ... اینجا کاملاً پیچیده است و من حتی به خود زحمت ندادم آن را ارائه دهم ، در غیر این صورت دیگر به چنین دیوانه ای نخواهید رسید :)

و اینک نکته مهم وعده داده شده که در قسمت بسیار ذکر شده است ابتدای موضوع,
من با حروف سیاه پررنگ برجسته می کنم:

اگر در طول تبدیل، ضریب را "بازنشانی" کنیم (نه ثابت)به مخرج، سپس ما در خطر از دست دادن راه حل!

و در واقع در مثال اول با این مورد مواجه شدیم درس مقدماتی معادلات دیفرانسیل. در فرآیند حل معادله، "y" در مخرج است: ، اما، بدیهی است که راه حلی برای DE است و در نتیجه یک تبدیل نابرابر (تقسیم) هر شانسی برای از دست دادن آن وجود دارد! نکته دیگر این است که در حل کلی در مقدار صفر ثابت گنجانده شده است. تنظیم مجدد "X" در مخرج نیز می تواند نادیده گرفته شود، زیرا دیفیوزر اصلی را راضی نمی کند.

داستانی مشابه با معادله سوم همان درس که در حین حل آن به مخرج "افتادیم". به طور دقیق، در اینجا لازم بود بررسی شود که آیا این دیفیوزر راه حل است؟ پس از همه، این است! اما حتی در اینجا "همه چیز خوب بود"، زیرا این تابع در انتگرال کلی گنجانده شده است در .

و اگر این اغلب با معادلات "جداپذیر" کار می کند، ممکن است با دیفیوزرهای همگن و برخی دیگر کار نکند. به احتمال زیاد

بیایید مشکلاتی را که قبلاً در این درس حل شده است تجزیه و تحلیل کنیم: در مثال 1"تنظیم مجدد" X وجود دارد، اما نمی تواند راه حلی برای معادله باشد. ولی در مثال 2تقسیم کردیم ، اما او همچنین "با آن کنار آمد": از آنجایی که راه حل ها نمی توانستند گم شوند، آنها به سادگی اینجا نیستند. اما، البته، من "موقعیت های شاد" را عمدا ایجاد کردم، و این یک واقعیت نیست که در عمل این موارد هستند:

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

مثال ساده ای نیست؟ ;-)

راه حل:همگنی این معادله واضح است، اما هنوز - در اولین پلهما همیشه بررسی می کنیم که آیا امکان جداسازی متغیرها وجود دارد یا خیر. زیرا معادله نیز همگن است، اما متغیرهای موجود در آن به راحتی از هم جدا می شوند. بله، تعدادی وجود دارد!

پس از بررسی "جدایی پذیری"، معادله را جایگزین می کنیم و تا حد امکان معادله را ساده می کنیم:

متغیرها را از هم جدا می کنیم، "te" را در سمت چپ و "x" را در سمت راست جمع می کنیم:

و در اینجا STOP. هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن دو عملکرد را به طور همزمان داریم. از آنجایی که، اینها توابع هستند:

تابع اول واضح است که جواب معادله است . ما مورد دوم را بررسی می کنیم - مشتق آن را نیز در دیفیوزر خود جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، یعنی تابع یک راه حل است.

و خطر از دست دادن این تصمیمات را داریم.

علاوه بر این، مخرج "X" است، با این حال، جایگزینی نشان می دهد که صفر نیست. این واقعیت را به خاطر بسپارید. ولی! حتما بررسی کنید، راه حل معادله دیفرانسیل اصلی است. نه نیست.

بیایید به همه اینها توجه کنیم و ادامه دهیم:

باید بگویم با انتگرال سمت چپ خوش شانس بودم، می تواند خیلی بدتر باشد.

یک لگاریتم منفرد در سمت راست جمع می کنیم و قیدها را بیرون می اندازیم:

و اکنون فقط جایگزینی معکوس:

بیایید همه عبارت ها را در:

حالا باید بررسی کنید - آیا راه حل های "خطرناک" در انتگرال کلی گنجانده شده است یا خیر. بله، هر دو راه حل با مقدار صفر ثابت در انتگرال عمومی گنجانده شده اند، بنابراین نیازی به نشان دادن اضافی در پاسخ:

انتگرال عمومی:

معاینه. نه حتی یک امتحان، اما لذت خالص :)

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

برای حل آن خودتان:

مثال 4

تست همگنی را انجام دهید و معادله دیفرانسیل را حل کنید

انتگرال کلی را با تمایز بررسی کنید.

راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

بیایید چند مثال را در نظر بگیریم که یک معادله همگن با دیفرانسیل های آماده ارائه شود.

مثال 5

حل معادله دیفرانسیل

این خیلی مثال جالب، فقط یک مهیج کامل!

راه حلما به طراحی فشرده تر عادت خواهیم کرد. ابتدا، به صورت ذهنی یا روی یک پیش نویس، مطمئن می شویم که متغیرها را نمی توان در اینجا جدا کرد، پس از آن آزمایشی را برای همگنی انجام می دهیم - این معمولاً روی پیش نویس نهایی انجام نمی شود. (مگر اینکه به طور خاص مورد نیاز باشد). بنابراین، راه حل تقریباً همیشه با این ورودی آغاز می شود: این معادله همگن است، بیایید جایگزین کنیم: ...».

اگر یک معادله همگن حاوی دیفرانسیل های آماده باشد، می توان آن را با یک جایگزینی اصلاح شده حل کرد:

اما من استفاده از چنین جایگزینی را توصیه نمی کنم، زیرا معلوم می شود که دیوار بزرگی از دیفرانسیل های چینی است که در آن به یک چشم و یک چشم نیاز دارید. از نقطه نظر فنی، بهتر است به علامت "خطوط" مشتق بروید؛ برای انجام این کار، ما تمام عبارات معادله را بر اساس تقسیم می کنیم:

و در اینجا ما قبلاً یک تحول "خطرناک" ایجاد کرده ایم!دیفرانسیل صفر مربوط به خانواده ای از خطوط مستقیم موازی با محور است. آیا آنها ریشه DU ما هستند؟ بیایید معادله اصلی را جایگزین کنیم:

این برابری در صورتی معتبر است که، یعنی در هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن راه حل را داشته باشیم، و ما او را از دست دادیم- از آن زمان دیگر راضی نمی کندمعادله حاصل .

لازم به ذکر است که اگر ما در ابتدامعادله داده شد ، در این صورت صحبتی در مورد ریشه وجود نخواهد داشت. اما ما آن را داریم و به موقع آن را گرفتیم.

ما راه حل را با یک جایگزین استاندارد ادامه می دهیم:
:

پس از تعویض، معادله را تا حد امکان ساده می کنیم:

متغیرها را از هم جدا می کنیم:

و دوباره STOP: هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن دو تابع را داریم. از آنجایی که، اینها توابع هستند:

بدیهی است که تابع اول یک راه حل برای معادله است . ما مورد دوم را بررسی می کنیم - مشتق آن را نیز جایگزین می کنیم:

- اخذ شده برابری واقعی، به این معنی که تابع نیز راه حلی برای معادله دیفرانسیل است.

و هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن این راه حل ها را داریم. با این حال، آنها می توانند وارد انتگرال کلی شوند. اما ممکن است وارد نشوند

بیایید به این نکته توجه داشته باشیم و هر دو بخش را ادغام کنیم:

انتگرال سمت چپ با استفاده از روش استاندارد حل می شود برجسته کردن یک مربع کامل، اما استفاده از آن در دیفیوزرها بسیار راحت تر است روش ضرایب نامشخص:

با استفاده از روش ضرایب نامعین، انتگرال را به مجموع کسرهای ابتدایی گسترش می دهیم:


بدین ترتیب:

یافتن انتگرال ها:

– از آنجایی که ما فقط لگاریتم ها را ترسیم کرده ایم، ثابت را نیز به زیر لگاریتم فشار می دهیم.

قبل از تعویض دوباره ساده کردن هر چیزی که می تواند ساده شود:

تنظیم مجدد زنجیرها:

و جایگزینی معکوس:

حالا بیایید «چیزهای گمشده» را به یاد بیاوریم: راه حل در انتگرال عمومی در انتگرال گنجانده شده بود، اما «از پشت صندوق عبور کرد»، زیرا معلوم شد که مخرج است. بنابراین، در پاسخ یک عبارت جداگانه به آن تعلق می گیرد، و بله - راه حل گم شده را فراموش نکنید، که به هر حال، در زیر نیز معلوم شد.

پاسخ:انتگرال عمومی: . راه حل های بیشتر:

بیان راه حل کلی در اینجا چندان سخت نیست:
، اما این در حال حاضر یک خودنمایی است.

با این حال، برای بررسی راحت است. بیایید مشتق را پیدا کنیم:

و جایگزین سمت چپ معادله:

- در نتیجه دریافت شد قسمت راستمعادلات، چیزی است که باید بررسی شود.

دیفیوزر زیر به تنهایی کار می کند:

مثال 6

حل معادله دیفرانسیل

حل کامل و پاسخ در پایان درس. سعی کنید راه حل کلی را در همین جا برای تمرین بیان کنید.

در قسمت پایانی درس، چند کار معمولی دیگر را در مورد این موضوع در نظر خواهیم گرفت:

مثال 7

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:بیایید در امتداد مسیر شکسته برویم. این معادله همگن است، بیایید جایگزین کنیم:

"X" در اینجا خوب است، اما در مورد مثلث درجه دوم چطور؟ از آنجایی که به عوامل: تجزیه نمی شود، پس قطعاً محلول ها را از دست نمی دهیم. همیشه اینطوری خواهد بود! مربع کامل سمت چپ را انتخاب کرده و ادغام کنید:

در اینجا چیزی برای ساده کردن وجود ندارد، و بنابراین جایگزینی معکوس:

پاسخ:انتگرال عمومی:

مثال 8

حل معادله دیفرانسیل

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

بنابراین:

برای تبدیل های نابرابر، همیشه بررسی کنید (حداقل شفاهی), آیا راه حل های خود را از دست می دهید؟این دگرگونی ها چیست؟ به طور معمول کوتاه کردن یا تقسیم چیزی. بنابراین، برای مثال، هنگام تقسیم بر، باید بررسی کنید که آیا توابع راه حل معادله دیفرانسیل هستند یا خیر. در عین حال ، هنگام تقسیم بر ، دیگر نیازی به چنین چکی نیست - به دلیل اینکه این مقسوم علیه به صفر نمی رسد.

در اینجا یک موقعیت خطرناک دیگر وجود دارد:

در اینجا، برای خلاص شدن از شر، باید بررسی کنید که آیا DE یک راه حل است یا خیر. غالباً «x» و «y» به عنوان یک ضریب استفاده می‌شوند و با کاهش آن‌ها، توابعی را از دست می‌دهیم که ممکن است حل شوند.

از سوی دیگر، اگر چیزی در ابتدا در مخرج باشد، دلیلی برای چنین نگرانی وجود ندارد. بنابراین، در یک معادله همگن، لازم نیست نگران تابع باشید زیرا در مخرج "اعلام" شده است.

ظرافت های ذکر شده ارتباط خود را از دست نمی دهند، حتی اگر مشکل فقط نیاز به یافتن یک راه حل خاص داشته باشد. این احتمال وجود دارد که ما دقیقاً راه حل خاص مورد نیاز را از دست دهیم، هرچند اندک. آیا حقیقت دارد مشکل کوشیدر کارهای عملی با معادلات همگن به ندرت پرسیده می شود. با این حال، چنین نمونه هایی در مقاله وجود دارد معادلات کاهش به همگن، که توصیه می کنم برای تقویت مهارت حل خود مطالعه کنید "روی پاشنه داغ".

معادلات همگن پیچیده تری نیز وجود دارد. مشکل در تغییرات یا ساده سازی متغیرها نیست، بلکه در انتگرال های نسبتاً دشوار یا کمیاب است که در نتیجه جداسازی متغیرها به وجود می آیند. من نمونه هایی از راه حل های چنین معادلات همگن را دارم - انتگرال های ترسناک و پاسخ های ترسناک. اما ما در مورد آنها صحبت نمی کنیم، زیرا در درس های بعدی (پایین را ببینید)من هنوز برای شکنجه کردنت وقت دارم، می خواهم تو را سرحال و خوش بین ببینم!

ارتقاء مبارک!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل:برای این منظور در معادله اصلی، معادله را برای همگنی بررسی می کنیم بجایبیایید جایگزین کنیم، و بجایبیایید جایگزین کنیم:

در نتیجه معادله اصلی به دست می آید، یعنی این DE همگن است.

متوقف کردن! بیایید سعی کنیم این فرمول دست و پا گیر را درک کنیم.

اولین متغیر در توان با مقداری ضریب باید اول باشد. در مورد ما اینطور است

در مورد ما اینطور است. همانطور که متوجه شدیم، این بدان معنی است که درجه در متغیر اول همگرا می شود. و متغیر دوم تا درجه اول در جای خود قرار دارد. ضریب.

ما داریمش.

متغیر اول توان و متغیر دوم مربع با ضریب است. این آخرین جمله در معادله است.

همانطور که می بینید، معادله ما در قالب یک فرمول با تعریف مطابقت دارد.

بیایید به بخش دوم (کلامی) تعریف نگاه کنیم.

ما دو مجهول داریم و. اینجا همگرا می شود.

بیایید همه شرایط را در نظر بگیریم. در آنها باید مجموع درجات مجهولات یکسان باشد.

مجموع درجات برابر است.

مجموع توان ها برابر است با (at و at).

مجموع درجات برابر است.

همانطور که می بینید همه چیز مناسب است!!!

حالا بیایید تعریف معادلات همگن را تمرین کنیم.

تعیین کنید کدام یک از معادلات همگن هستند:

معادلات همگن - معادلات با اعداد:

بیایید معادله را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر هر جمله را با فاکتورگیری هر جمله تقسیم کنیم، به دست می آید

و این معادله کاملاً تحت تعریف معادلات همگن قرار می گیرد.

چگونه معادلات همگن را حل کنیم؟

مثال 2.

بیایید معادله را بر تقسیم کنیم.

با توجه به شرایط ما، y نمی تواند برابر باشد. بنابراین ما می توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم

با انجام جایگزینی، یک معادله درجه دوم ساده بدست می آوریم:

از آنجایی که این یک معادله درجه دوم کاهش یافته است، از قضیه ویتا استفاده می کنیم:

پس از انجام تعویض معکوس به جواب می رسیم

پاسخ:

مثال 3.

بیایید معادله را بر (شرط) تقسیم کنیم.

پاسخ:

مثال 4.

پیدا کنید اگر.

در اینجا شما باید تقسیم نکنید، بلکه ضرب کنید. بیایید کل معادله را در:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

پس از انجام تعویض معکوس، پاسخ را دریافت می کنیم:

پاسخ:

حل معادلات مثلثاتی همگن.

حل معادلات مثلثاتی همگن با روش های حل توضیح داده شده در بالا تفاوتی ندارد. فقط در اینجا، در میان چیزهای دیگر، باید کمی مثلثات بدانید. و قادر به حل معادلات مثلثاتی (برای این شما می توانید بخش را بخوانید).

بیایید با استفاده از مثال به چنین معادلاتی نگاه کنیم.

مثال 5.

معادله را حل کنید.

ما یک معادله همگن معمولی می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

حل چنین معادلات همگن دشوار نیست، اما قبل از تقسیم معادلات، این مورد را در نظر بگیرید که

در این حالت معادله به شکل زیر خواهد بود: , so. اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

از آنجایی که معادله داده شده است، پس طبق قضیه ویتا:

پاسخ:

مثال 6.

معادله را حل کنید.

مانند مثال، باید معادله را بر تقسیم کنید. بیایید این مورد را در نظر بگیریم که:

اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. از همین رو.

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

بیایید جایگزین معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم و:

پاسخ:

حل معادلات نمایی همگن.

معادلات همگن به همان روشی که در بالا مورد بحث قرار گرفت حل می شوند. اگر فراموش کردید که چگونه تصمیم بگیرید معادلات نمایی- به بخش مربوطه () نگاه کنید!

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 7.

معادله را حل کنید

بیایید آن را اینگونه تصور کنیم:

ما یک معادله همگن معمولی با دو متغیر و مجموع توان ها را می بینیم. بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

همانطور که می بینید، با انجام جایگزینی، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم (نیازی به ترس از تقسیم بر صفر نیست - همیشه به شدت بزرگتر از صفر است):

طبق قضیه ویتا:

پاسخ: .

مثال 8.

معادله را حل کنید

بیایید آن را اینگونه تصور کنیم:

بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

ریشه شرایط را برآورده نمی کند. بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم:

پاسخ:

معادلات همگن. سطح متوسط

ابتدا با استفاده از مثال یک مشکل، اجازه دهید یادآوری کنم معادلات همگن چیست و حل معادلات همگن چیست؟

مشکل را حل کنید:

پیدا کنید اگر.

در اینجا می توانید به یک چیز عجیب توجه کنید: اگر هر عبارت را بر تقسیم کنیم، دریافت می کنیم:

یعنی در حال حاضر هیچ جدا وجود ندارد و، - اکنون متغیر در معادله مقدار مورد نظر است. و این یک معادله درجه دوم معمولی است که به راحتی با استفاده از قضیه ویتا قابل حل است: حاصل ضرب ریشه ها برابر است و مجموع اعداد و.

پاسخ:

معادلات فرم

همگن نامیده می شود. یعنی این معادله ای است با دو مجهول که هر جمله آن مجموع قدرت مجهولات یکسانی دارد. برای مثال در مثال بالا این مقدار برابر است با. معادلات همگن با تقسیم بر یکی از مجهولات به این درجه حل می شوند:

و جایگزینی متعاقب متغیرها: . بنابراین ما یک معادله توان با یک مجهول بدست می آوریم:

اغلب ما با معادلات درجه دوم (یعنی درجه دوم) مواجه می شویم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم:

توجه داشته باشید که تنها زمانی می توانیم کل معادله را بر یک متغیر تقسیم (و ضرب) کنیم که متقاعد شویم که این متغیر نمی تواند برابر با صفر باشد! به عنوان مثال، اگر از ما بخواهند پیدا کنیم، بلافاصله متوجه می شویم که از آنجایی که امکان تقسیم وجود ندارد. در مواردی که این چندان واضح نیست، لازم است به طور جداگانه موردی که این متغیر برابر با صفر است بررسی شود. مثلا:

معادله را حل کنید.

راه حل:

ما در اینجا یک معادله معمولی همگن را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

اما، قبل از تقسیم بر و بدست آوردن یک نسبی معادله درجه دوم، باید موردی را در نظر بگیریم که چه زمانی. در این صورت معادله به شکل: . اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه: . بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

امیدوارم این راه حل کاملا واضح باشد؟ اگر نه، بخش را بخوانید. اگر مشخص نیست که از کجا آمده است، باید حتی زودتر - به بخش - برگردید.

خودتان تصمیم بگیرید:

1. پیدا کنید اگر.
2. پیدا کنید اگر.
3. معادله را حل کنید.

در اینجا به طور خلاصه حل معادلات همگن را مستقیماً می نویسم:

راه حل ها:

پاسخ: .

اما در اینجا باید به جای تقسیم، ضرب کنیم:

پاسخ:

اگر هنوز معادلات مثلثاتی را نگرفته اید، می توانید از این مثال صرف نظر کنید.

از آنجایی که در اینجا باید بر آن تقسیم کنیم، اجازه دهید ابتدا مطمئن شویم که صد برابر با صفر نیست:

و این غیر ممکن است.

پاسخ: .

معادلات همگن. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

حل تمام معادلات همگن به تقسیم بر یکی از مجهولات توان و تغییر بیشتر متغیرها تقلیل می یابد.

الگوریتم: