معادله نمایی چیست و چگونه آن را حل کنیم. تابع نمایی - خواص، نمودارها، فرمول ها

تابع نماییتعمیم حاصل ضرب n عدد برابر با a است:
y (n) = a n = a a a a,
به مجموعه اعداد حقیقی x :
y (x) = x.
در اینجا a یک عدد واقعی ثابت است که نامیده می شود پایه تابع نمایی.
تابع نمایی با پایه a نیز نامیده می شود نمایی به پایه a.

تعمیم به شرح زیر انجام می شود.
برای x طبیعی 1, 2, 3,... ، تابع نمایی حاصل ضرب ضرایب x است:
.
علاوه بر این، دارای ویژگی های (1.5-8) () است که از قوانین ضرب اعداد ناشی می شود. در صفر و مقادیر منفیاعداد صحیح، تابع نماییبا فرمول های (1.9-10) تعیین می شود. برای مقادیر کسری x = m/n اعداد گویا، با فرمول (1.11) تعیین می شود. برای واقعی، تابع نمایی به صورت تعریف شده است محدودیت توالی:
,
جایی که یک دنباله دلخواه از اعداد گویا به x همگرا می شود: .
با این تعریف، تابع نمایی برای همه تعریف می شود و ویژگی های (1.5-8) و همچنین برای x طبیعی را برآورده می کند.

یک فرمول دقیق ریاضی از تعریف تابع نمایی و اثبات خواص آن در صفحه «تعریف و اثبات خواص یک تابع نمایی» آورده شده است.

ویژگی های تابع نمایی

تابع نمایی y = a x دارای ویژگی های زیر در مجموعه اعداد حقیقی () است:
(1.1) تعریف شده و پیوسته است، برای، برای همه ;
(1.2) وقتی یک ≠ 1 معانی زیادی دارد؛
(1.3) به شدت افزایش می یابد، به شدت کاهش می یابد،
ثابت است در ;
(1.4) در ;
در ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

سایر فرمول های مفید
.
فرمول تبدیل به تابع نمایی با پایه توان متفاوت:

برای b = e ، بیان تابع نمایی را بر حسب توان بدست می آوریم:

ارزش های خصوصی

, , , , .

شکل نمودارهای تابع نمایی را نشان می دهد
y (x) = x
برای چهار مقدار پایه های درجه:a= 2 ، a = 8 ، a = 1/2 و a = 1/8 . مشاهده می شود که برای یک > 1 تابع نمایی به طور یکنواخت در حال افزایش است. هرچه پایه درجه a بزرگتر باشد، رشد قوی تر است. در 0 < a < 1 تابع نمایی به صورت یکنواخت در حال کاهش است. هر چه توان a کوچکتر باشد، کاهش قوی تر است.

صعودی، نزولی

تابع نمایی در به شدت یکنواخت است، بنابراین هیچ گزافی ندارد. خواص اصلی آن در جدول ارائه شده است.

	y = a x، a > 1	y = x، 0 < a < 1
دامنه	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
محدوده ارزش ها	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
یکنواخت	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
صفر، y= 0	خیر	خیر
نقاط تقاطع با محور y، x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

تابع معکوس

متقابل یک تابع نمایی با پایه درجه a، لگاریتم به پایه a است.

اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.

تمایز تابع نمایی

برای متمایز کردن یک تابع نمایی، پایه آن باید به عدد e کاهش یابد، جدول مشتقات و قانون تمایز اعمال شود. تابع پیچیده.

برای این کار باید از خاصیت لگاریتم استفاده کنید
و فرمول از جدول مشتقات:
.

اجازه دهید یک تابع نمایی داده شود:
.
ما آن را به پایه e می آوریم:

ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم. برای این کار یک متغیر معرفی می کنیم

سپس

از جدول مشتقات داریم (متغیر x را با z جایگزین کنید):
.
از آنجایی که یک ثابت است، مشتق z نسبت به x است
.
طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده:
.

مشتق تابع نمایی

.
مشتق از مرتبه n:
.
اشتقاق فرمول ها > > >

مثالی از افتراق یک تابع نمایی

مشتق یک تابع را پیدا کنید
y= 35 x

راه حل

پایه تابع نمایی را بر حسب عدد e بیان می کنیم.
3 = e log 3
سپس
.
یک متغیر معرفی می کنیم
.
سپس

از جدول مشتقات در می یابیم:
.
از آنجا که 5ln 3یک ثابت است، پس مشتق z نسبت به x برابر است با:
.
طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده، داریم:
.

پاسخ

انتگرال

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابع را در نظر بگیرید عدد مختلط z:
f (ز) = از
جایی که z = x + iy ; من 2 = - 1 .
ثابت مختلط a را بر حسب مدول r و آرگومان φ بیان می کنیم:
a = r e i φ
سپس

.
آرگومان φ منحصراً تعریف نشده است. به طور کلی
φ = φ 0 + 2 pn,
که در آن n یک عدد صحیح است. بنابراین تابع f (ز)نیز مبهم است. اغلب اهمیت اصلی آن در نظر گرفته می شود
.

گسترش به صورت سری

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.

معادلات نمایی نامیده می شوند که مجهول در توان وجود داشته باشد. ساده ترین معادله نمایی به این شکل است: a x \u003d a b، که در آن a> 0، و 1، x مجهول است.

ویژگی های اصلی درجه ها که به کمک آنها معادلات نمایی تبدیل می شوند: a>0، b>0.

هنگام تصمیم گیری معادلات نماییآنها همچنین از ویژگی های تابع نمایی زیر استفاده می کنند: y = a x، a > 0، a1:

برای نمایش یک عدد به عنوان توان، از هویت لگاریتمی پایه استفاده می شود: b = , a > 0, a1, b > 0.

وظایف و تست های موضوع "معادلات نمایی"

معادلات نمایی
درس: 4 تکلیف: 21 تست: 1
معادلات نمایی - موضوعات مهمبرای تکرار امتحان در ریاضی
وظایف: 14
سیستم های معادلات نمایی و لگاریتمی - نمایشی و توابع لگاریتمیدرجه 11
درس: 1 تکلیف: 15 تست: 1
§2.1. حل معادلات نمایی
درس: 1 تکالیف: 27
§7 معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی - بخش 5. توابع نمایی و لگاریتمی درجه 10
درس: 1 تکالیف: 17

برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید ویژگی های پایه توان ها، ویژگی های یک تابع نمایی و هویت لگاریتمی پایه را بدانید.

هنگام حل معادلات نمایی، از دو روش اصلی استفاده می شود:

انتقال از معادله a f(x) = a g(x) به معادله f(x) = g(x);
معرفی خطوط جدید

مثال ها.

1. معادلات کاهش به ساده ترین. آنها با آوردن هر دو طرف معادله به توانی با پایه یکسان حل می شوند.

3x \u003d 9x - 2.

راه حل:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

پاسخ: 4.

2. معادلات حل شده با براکت کردن عامل مشترک.

راه حل:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

پاسخ: 3.

3. معادلات حل شده با تغییر متغیر.

راه حل:

2 2x + 2 x - 12 = 0
2 x \u003d y را نشان می دهیم.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
الف) 2 x = - 4. معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا 2 x > 0.
ب) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

پاسخ:لاگ 2 3.

4. معادلات حاوی توان با دو پایه متفاوت (غیر قابل تقلیل).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
× 23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

پاسخ: 2.

5. معادلاتی که نسبت به x و b x همگن هستند.

فرم کلی: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x .

راه حل:

3 2x - 2.5 × 2x 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y را نشان می دهیم.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

پاسخ: log 3/2 2; - لاگ 3/2 2.

این درس برای کسانی است که تازه شروع به یادگیری معادلات نمایی کرده اند. مثل همیشه، اجازه دهید با یک تعریف و مثال های ساده شروع کنیم.

اگر در حال خواندن این درس هستید، پس من گمان می کنم که حداقل درک حداقلی از ساده ترین معادلات - خطی و مربعی دارید: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ و غیره. توانایی حل چنین سازه هایی کاملاً ضروری است تا در موضوعی که اکنون مورد بحث قرار خواهد گرفت "آویزان" نشوید.

بنابراین، معادلات نمایی. اجازه بدهید چند مثال برایتان بزنم:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

برخی از آنها ممکن است برای شما پیچیده تر به نظر برسند، برخی از آنها، برعکس، بیش از حد ساده هستند. اما همه آنها با یک ویژگی مهم متحد می شوند: آنها حاوی یک تابع نمایی $f\left(x \right)=((a)^(x))$ هستند. بنابراین، تعریف را معرفی می کنیم:

معادله نمایی هر معادله ای است که دارای تابع نمایی باشد، یعنی. عبارتی از شکل $((a)^(x))$. علاوه بر تابع مشخص شده، چنین معادلاتی می توانند شامل هر ساختار جبری دیگری - چند جمله ای، ریشه، مثلثات، لگاریتم و غیره باشند.

باشه پس تعریف را فهمید. حال سوال این است: چگونه می توان این همه مزخرف را حل کرد؟ پاسخ در عین حال ساده و پیچیده است.

بیایید با خبر خوب شروع کنیم: با توجه به تجربه من با بسیاری از دانش آموزان، می توانم بگویم که برای اکثر آنها، معادلات نمایی بسیار ساده تر از همان لگاریتم ها و حتی بیشتر از مثلثات است.

اما یک خبر بد نیز وجود دارد: گاهی اوقات گردآورندگان مسائل مربوط به انواع کتاب های درسی و امتحانات با "الهام" مورد بازدید قرار می گیرند و مغز ملتهب مواد مخدر آنها شروع به تولید چنین معادلات وحشیانه ای می کند که حل آنها نه تنها برای دانش آموزان مشکل ساز می شود - حتی بسیاری از معلمان در چنین مشکلاتی گیر می کنند.

با این حال، اجازه دهید در مورد چیزهای غم انگیز صحبت نکنیم. و برگردیم به آن سه معادله ای که در همان ابتدای داستان بیان شد. بیایید سعی کنیم هر یک از آنها را حل کنیم.

معادله اول: $((2)^(x))=4$. خوب، عدد 2 را باید به چه قدرتی رساند تا عدد 4 بدست آید؟ شاید دومی؟ پس از همه، $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — و ما برابری عددی صحیح را به دست آورده ایم، یعنی. در واقع $x=2$. خوب، ممنون، کلاه، اما این معادله آنقدر ساده بود که حتی گربه من هم می توانست آن را حل کند. :)

بیایید به معادله زیر نگاه کنیم:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

اما اینجا کمی دشوارتر است. بسیاری از دانش آموزان می دانند که $((5)^(2))=25$ جدول ضرب است. برخی همچنین گمان می کنند که $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ اساساً تعریف نماهای منفی است (مشابه فرمول $((a)^(-n)) = \ frac(1)(((a)^(n)))$).

در نهایت، تنها تعداد کمی حدس می زنند که این حقایق را می توان ترکیب کرد و خروجی نتیجه زیر است:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

بنابراین، معادله اصلی ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

و اکنون این کاملاً حل شده است! در سمت چپ معادله یک تابع نمایی وجود دارد، در سمت راست معادله یک تابع نمایی وجود دارد، چیزی جز آنها در هیچ جای دیگری وجود ندارد. بنابراین، می توان پایه ها را "دور انداخت" و به طور احمقانه شاخص ها را برابر کرد:

ما ساده ترین معادله خطی را بدست آوردیم که هر دانش آموزی می تواند تنها در چند خط آن را حل کند. خوب، در چهار خط:

\[\شروع(تراز)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\پایان (تراز کردن)\]

اگر متوجه نشدید در چهار خط آخر چه اتفاقی می‌افتد، حتماً به موضوع بازگردید. معادلات خطیو آن را تکرار کنید. زیرا بدون شبیه سازی واضح این موضوع، برای شما خیلی زود است که معادلات نمایی را بپذیرید.

\[((9)^(x))=-3\]

خوب، چگونه تصمیم می گیرید؟ فکر اول: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$، بنابراین معادله اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=-3\]

سپس به یاد می آوریم که هنگام افزایش درجه به توان، شاخص ها ضرب می شوند:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end (align)\]

و برای چنین تصمیمی، ما یک فریب صادقانه شایسته دریافت می کنیم. زیرا ما با سکون یک پوکمون علامت منفی را در مقابل سه به قدرت این سه فرستادیم. و شما نمی توانید این کار را انجام دهید. و به همین دلیل. به قدرت های مختلف تریپل نگاهی بیندازید:

\[\begin(ماتریس) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(ماتریس)\]

با جمع‌آوری این لوح، به محض اینکه انجام دادم منحرف نشدم: درجات مثبت و منفی و حتی کسری را در نظر گرفتم ... خوب، حداقل یک عدد منفی اینجا کجاست؟ او نمی باشد! و نمی تواند باشد، زیرا تابع نمایی $y=((a)^(x))$، اولا، همیشه فقط می گیرد ارزش های مثبت(هرچقدر هم که یک را ضرب کنید یا بر دو تقسیم کنید باز هم یک عدد مثبت خواهد بود) و ثانیاً پایه چنین تابعی - عدد $a$ - طبق تعریف یک عدد مثبت است!

خوب، پس چگونه معادله $((9)^(x))=-3$ را حل کنیم؟ نه، هیچ ریشه ای وجود ندارد. و از این نظر، معادلات نمایی بسیار شبیه به معادلات درجه دوم هستند - همچنین ممکن است هیچ ریشه ای وجود نداشته باشد. اما اگر در معادلات درجه دوم تعداد ریشه ها توسط ممیز تعیین شود (ممیز مثبت است - 2 ریشه ، منفی - بدون ریشه) ، در معادلات نمایی همه چیز به آنچه در سمت راست علامت مساوی است بستگی دارد.

بنابراین، نتیجه‌گیری کلیدی را فرموله می‌کنیم: ساده‌ترین معادله نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ ریشه دارد اگر و فقط اگر $b>0$ باشد. با دانستن این واقعیت ساده می توانید به راحتی تشخیص دهید که آیا معادله ای که به شما پیشنهاد می شود ریشه دارد یا خیر. آن ها آیا اصلاً ارزش حل کردن آن را دارد یا بلافاصله بنویسید که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این دانش در مواقعی که مجبوریم مشکلات پیچیده تری را حل کنیم چندین برابر به ما کمک می کند. در این میان، اشعار کافی - زمان مطالعه الگوریتم اصلی برای حل معادلات نمایی است.

نحوه حل معادلات نمایی

بنابراین، اجازه دهید مشکل را فرموله کنیم. حل معادله نمایی ضروری است:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

با توجه به الگوریتم "ساده لوح" که قبلا استفاده کردیم، لازم است عدد $b$ را به عنوان توان عدد $a$ نشان دهیم:

علاوه بر این، اگر یک عبارت به جای متغیر $x$ وجود داشته باشد، معادله جدیدی دریافت خواهیم کرد که از قبل قابل حل است. مثلا:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\پیکان راست ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\پیکان راست ((5)^(2x))=((5)^(3))\راست فلش 2x=3\ فلش راست x=\frac(3)( 2). \\\پایان (تراز کردن)\]

و به اندازه کافی عجیب، این طرح در حدود 90٪ موارد کار می کند. آن 10 درصد دیگر چطور؟ 10٪ باقیمانده معادلات نمایی کمی "اسکیزوفرنیک" هستند به شکل:

\[((2)^(x))=3;\چهار ((5)^(x))=15;\چهار ((4)^(2x))=11\]

برای بدست آوردن 3 به چه قدرتی نیاز دارید که 2 را افزایش دهید؟ در اغاز؟ اما خیر: $((2)^(1))=2$ کافی نیست. در دومی؟ هیچکدام: $((2)^(2))=4$ خیلی زیاد است. بعدش چی شد؟

دانش آموزان آگاه احتمالاً قبلاً حدس زده اند: در چنین مواردی ، هنگامی که حل "زیبا" غیرممکن است ، "توپخانه سنگین" به مورد - لگاریتم ها متصل می شود. اجازه دهید یادآوری کنم که با استفاده از لگاریتم، هر عدد مثبت را می توان به عنوان توان هر عدد مثبت دیگری (به استثنای یک) نشان داد:

این فرمول را به خاطر دارید؟ وقتی به دانش‌آموزانم در مورد لگاریتم می‌گویم، همیشه به شما هشدار می‌دهم: این فرمول (همچنین هویت اصلی لگاریتمی است یا اگر بخواهید، تعریف لگاریتم است) شما را برای مدت طولانی آزار می‌دهد و در بیشتر موارد «ظهور می‌کند». مکان های غیر منتظره خوب، او ظاهر شد. بیایید به معادله و این فرمول نگاه کنیم:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end (تراز کردن) \]

اگر فرض کنیم که $a=3$ عدد اصلی ما در سمت راست است، و $b=2$ همان پایه تابع نمایی است که می‌خواهیم به آن کاهش دهیم. سمت راست، سپس موارد زیر را دریافت می کنیم:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 ))؛ \\& ((2)^(x))=3\پیکان راست ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\ فلش راست x=( (\log )_(2))3. \\\پایان (تراز کردن)\]

ما یک پاسخ کمی عجیب دریافت کردیم: $x=((\log )_(2))3$. در یک کار دیگر، با چنین پاسخی، بسیاری شک می کنند و شروع به بررسی مجدد راه حل خود می کنند: اگر جایی اشتباهی وجود داشته باشد چه؟ من عجله می کنم تا شما را خوشحال کنم: در اینجا هیچ خطایی وجود ندارد و لگاریتم در ریشه معادلات نمایی کاملاً یک وضعیت معمولی است. بنابراین بهش عادت کن. :)

اکنون دو معادله باقیمانده را با قیاس حل می کنیم:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\پیکان راست ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\پیکان راست 2x=( (\log )_(4))11\فلش راست x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! به هر حال، پاسخ آخر را می توان متفاوت نوشت:

این ما بودیم که ضریب را وارد برهان لگاریتم کردیم. اما هیچ کس ما را از اضافه کردن این عامل به پایه باز نمی دارد:

در این مورد، هر سه گزینه صحیح هستند - این فقط اشکال مختلفسوابق به همین تعداد کدام یک را انتخاب کنید و در این تصمیم بنویسید به شما بستگی دارد.

بنابراین، ما یاد گرفته‌ایم که معادلات نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ را حل کنیم، جایی که اعداد $a$ و $b$ کاملا مثبت هستند. با این حال، واقعیت خشن دنیای ما به گونه ای است که چنین است کارهای سادهخیلی خیلی به ندرت با شما ملاقات خواهد کرد. بیشتر اوقات با چیزی شبیه به این روبرو می شوید:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

خوب، چگونه تصمیم می گیرید؟ اصلا میشه اینو حل کرد؟ و اگر چنین است، چگونه؟

وحشت نکنید. همه این معادلات به سرعت و به راحتی به فرمول های سادهکه قبلا در نظر گرفتیم. فقط باید بدانید که چند ترفند از درس جبر را به خاطر بسپارید. و البته در اینجا هیچ قانونی برای کار با مدرک وجود ندارد. الان در مورد همه اینها صحبت می کنم. :)

تبدیل معادلات نمایی

اولین چیزی که باید به خاطر بسپارید این است که هر معادله نمایی، صرف نظر از اینکه چقدر پیچیده باشد، باید به یک روش به ساده ترین معادلات تقلیل یابد - همان معادلاتی که قبلاً در نظر گرفته ایم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم. به عبارت دیگر، طرح حل هر معادله نمایی به صورت زیر است:

معادله اصلی را بنویسید. به عنوان مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
یه کار احمقانه بکن یا حتی برخی مزخرفات به نام "تبدیل معادله";
در خروجی، ساده ترین عبارات مانند $((4)^(x))=4$ یا چیز دیگری مانند آن را دریافت کنید. علاوه بر این، یک معادله اولیه می تواند چندین عبارت از این قبیل را در یک زمان ارائه دهد.

با اولین نکته، همه چیز واضح است - حتی گربه من می تواند معادله را روی یک برگ بنویسد. با نکته سوم نیز، به نظر می رسد، کم و بیش روشن است - ما قبلاً یک دسته کامل از این معادلات را در بالا حل کرده ایم.

اما نکته دوم چطور؟ تحولات چیست؟ چه چیزی را به چه چیزی تبدیل کنیم؟ و چطور؟

خوب، بیایید آن را بفهمیم. قبل از هر چیز به موارد زیر اشاره می کنم. تمام معادلات نمایی به دو نوع تقسیم می شوند:

معادله از توابع نمایی با پایه یکسان تشکیل شده است. مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
فرمول شامل توابع نمایی با پایه های مختلف است. مثال‌ها: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ و $((100)^(x-1) )\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09$.

بیایید با معادلات نوع اول شروع کنیم - آنها ساده ترین حل هستند. و در حل آنها از تکنیکی مانند انتخاب عبارات پایدار کمک خواهیم کرد.

برجسته کردن یک عبارت پایدار

بیایید دوباره به این معادله نگاه کنیم:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

ما چه می بینیم؟ این چهار به درجات مختلف ارتقا یافته اند. اما همه این درجات مبالغ سادهمتغیر $x$ با اعداد دیگر. بنابراین، لازم است قوانین کار با مدرک را به خاطر بسپارید:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac((((a)^(x)))((a )^(y))). \\\پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، جمع توان ها را می توان به حاصل ضرب توان ها تبدیل کرد و تفریق به راحتی به تقسیم تبدیل می شود. بیایید سعی کنیم این فرمول ها را به توان های معادله خود اعمال کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\پایان (تراز کردن)\]

معادله اصلی را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی می کنیم و سپس تمام عبارت های سمت چپ را جمع آوری می کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -یازده \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

AT چهار اولدر شرایط، یک عنصر $((4)^(x))$ وجود دارد - آن را از براکت خارج می کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \راست)=-11. \\\پایان (تراز کردن)\]

باقی مانده است که هر دو بخش معادله را بر کسری $-\frac(11)(4)$ تقسیم کنیم، یعنی. اساساً در کسر معکوس ضرب کنید - $-\frac(4)(11)$. ما گرفتیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! معادله اصلی را به ساده ترین حالت تقلیل دادیم و به جواب نهایی رسیدیم.

در همان زمان، در فرآیند حل، ما عامل مشترک $((4)^(x))$ را کشف کردیم (و حتی از براکت خارج کردیم) - این عبارت پایدار است. می توان آن را به عنوان یک متغیر جدید تعیین کرد، یا به سادگی می توانید آن را به دقت بیان کنید و پاسخ دریافت کنید. در هر صورت، اصل کلیدی راه حل به شرح زیر است:

در معادله اصلی یک عبارت پایدار حاوی متغیری پیدا کنید که به راحتی از همه توابع نمایی متمایز شود.

خبر خوب این است که تقریباً هر معادله نمایی چنین عبارت پایداری را می پذیرد.

اما یک خبر بد نیز وجود دارد: چنین عباراتی می تواند بسیار دشوار باشد و تشخیص آنها می تواند بسیار دشوار باشد. پس بیایید یک مشکل دیگر را بررسی کنیم:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

شاید کسی اکنون این سؤال را داشته باشد: «پاشا، سنگسار شدی؟ در اینجا پایه های مختلف وجود دارد - 5 و 0.2. اما بیایید سعی کنیم یک توان را با پایه 0.2 تبدیل کنیم. برای مثال، بیایید از کسر اعشاری خلاص شویم و آن را به حالت معمول برسانیم:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \راست)))=((\left(\frac(2)(10 ) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((\چپ(\frac(1)(5) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)) )\]

همانطور که می بینید، عدد 5 هنوز ظاهر می شود، البته در مخرج. در همان زمان اندیکاتور به صورت منفی بازنویسی شد. و حالا یکی از آنها را به یاد می آوریم قوانین ضروریکار با مدرک:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\راست فلش ((\left(\frac(1)(5) \راست))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

اینجا البته یه کم تقلب کردم. زیرا برای درک کامل، فرمول خلاصی از شاخص های منفی باید به صورت زیر نوشته می شد:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \راست))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ راست))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

از سوی دیگر، هیچ چیز مانع از کار ما نشد که فقط با یک کسر کار کنیم:

\[((\left(\frac(1)(5) \راست))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((5)^(\چپ(-1 \راست)\cdot \چپ(-\چپ(x+1 \راست) \راست) ))=((5)^(x+1))\]

اما در این مورد، شما باید بتوانید یک درجه را به درجه دیگری ببرید (به شما یادآوری می کنم: در این حالت، شاخص ها جمع می شوند). اما من مجبور نبودم کسرها را "برگردانم" - شاید برای کسی راحت تر باشد. :)

در هر صورت، معادله نمایی اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین معلوم می شود که حل معادله اصلی حتی ساده تر از معادله قبلی است: در اینجا شما حتی نیازی به جدا کردن یک عبارت پایدار ندارید - همه چیز به خودی خود کاهش یافته است. فقط باید به یاد داشته باشیم که $1=((5)^(0))$، از آنجا به دست می آوریم:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\پایان (تراز کردن)\]

این همه راه حل است! ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $x=-2$. در عین حال، من می خواهم به یک ترفند توجه کنم که تمام محاسبات را برای ما بسیار ساده کرد:

در معادلات نمایی حتما خلاص شوید کسرهای اعشاری، آنها را به حالت عادی تبدیل کنید. این به شما این امکان را می دهد که پایه های یکسان درجات را ببینید و راه حل را تا حد زیادی ساده کنید.

بیایید به ادامه مطلب برویم معادلات پیچیده، که در آن پایه های مختلفی وجود دارد که عموماً به کمک درجه به یکدیگر تقلیل نمی یابد.

با استفاده از ویژگی توان

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما دو معادله سخت تر داریم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

مشکل اصلی در اینجا این است که مشخص نیست چه چیزی و به چه مبنایی باید هدایت شود. جایی که مجموعه عبارات? نقاط مشترک کجاست؟ هیچ کدام از اینها وجود ندارد.

اما بیایید سعی کنیم راه دیگری را طی کنیم. اگر آماده نیست همان پایه ها، می توانید با فاکتورگیری پایه های موجود سعی کنید آنها را بیابید.

بیایید با معادله اول شروع کنیم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\پیکان راست ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \راست))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

اما می توانید برعکس انجام دهید - عدد 21 را از اعداد 7 و 3 بسازید. انجام این کار در سمت چپ به خصوص آسان است، زیرا شاخص های هر دو درجه یکسان است:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! شما نما را از حاصلضرب خارج کردید و بلافاصله معادله زیبایی به دست آوردید که در چند خط قابل حل است.

حال به معادله دوم می پردازیم. در اینجا همه چیز بسیار پیچیده تر است:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \راست))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

در این مورد، کسرها غیر قابل کاهش هستند، اما اگر چیزی قابل کاهش است، حتما آن را کاهش دهید. این اغلب منجر به زمینه های جالبی می شود که می توانید با آنها کار کنید.

متأسفانه چیزی به ذهن ما نرسیده است. اما می بینیم که توان های سمت چپ در حاصلضرب مخالف هستند:

اجازه دهید یادآوری کنم: برای خلاص شدن از شر علامت منهای در توان، فقط باید کسری را "برگردانید". پس بیایید معادله اصلی را بازنویسی کنیم:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \راست))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\پایان (تراز کردن)\]

در خط دوم فقط بیرون آوردیم نمره کلاز حاصل ضرب پرانتز طبق قانون $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, و در دومی به سادگی عدد 100 را در کسری ضرب کرد.

حالا توجه داشته باشید که اعداد سمت چپ (در پایه) و سمت راست تا حدودی شبیه هم هستند. چگونه؟ بله، بدیهی است: آنها قدرت های یک تعداد هستند! ما داریم:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \راست))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2)). \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \راست))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \راست))^(3\چپ(x-1 \راست)))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3x-3))\]

در همان زمان، در سمت راست، می توانید مدرکی را با همان پایه دریافت کنید، که برای آن فقط کافی است کسر را "برگردانید".

\[((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(-2))\]

در نهایت، معادله ما به شکل زیر خواهد بود:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \راست)) ^(-2))؛ \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\پایان (تراز کردن)\]

این تمام راه حل است. ایده اصلی او این است که حتی اگر زمینه های مختلفما سعی می کنیم با قلاب یا کلاهبردار این زمینه ها را به یک و یکسان کاهش دهیم. این به ما کمک می کند تحولات ابتداییمعادلات و قوانین کار با قدرت ها

اما چه قوانینی و چه زمانی استفاده کنیم؟ چگونه بفهمیم که در یک معادله باید هر دو طرف را با چیزی تقسیم کنید و در دیگری - پایه تابع نمایی را فاکتورسازی کنید؟

پاسخ این سوال با تجربه خواهد آمد. ابتدا دست خود را امتحان کنید معادلات ساده، و سپس به تدریج وظایف را پیچیده کنید - و خیلی زود مهارت های شما برای حل هر معادله نمایی از همان USE یا هر کار مستقل / آزمایشی کافی خواهد بود.

و برای کمک به شما در این کار دشوار، پیشنهاد می کنم مجموعه ای از معادلات را برای یک راه حل مستقل در وب سایت خود دانلود کنید. همه معادلات پاسخ دارند، بنابراین همیشه می توانید خودتان را بررسی کنید.

1º. معادلات نماییمعادلات نام شامل یک متغیر در توان.

حل معادلات نمایی مبتنی بر خاصیت توان است: دو توان با پایه یکسان اگر و تنها در صورتی مساوی هستند که توان آنها برابر باشد.

2 درجه روش های اساسی برای حل معادلات نمایی:

1) ساده ترین معادله راه حل دارد.

2) معادله شکل با لگاریتم به پایه آ به ذهن بیاورد؛

3) معادله فرم معادل معادله است.

4) یک معادله از فرم معادل معادله است.

5) یک معادله شکل از طریق جایگزینی به یک معادله کاهش می یابد و سپس مجموعه ای از معادلات نمایی ساده حل می شود.

6) معادله با مقادیر متقابل با جایگزینی به معادله کاهش دهید و سپس مجموعه معادلات را حل کنید.

7) معادلات همگن با توجه به a g(x)و b g (x)به شرط نوع از طریق جایگزینی به معادله کاهش دهید و سپس مجموعه معادلات را حل کنید.

طبقه بندی معادلات نمایی.

1. معادلات حل شده با انتقال به یک پایه.

مثال 18. معادله را حل کنید .

راه حل: بیایید از این نکته استفاده کنیم که همه پایه های قدرت ها توان های 5: .

2. معادلات حل شده با عبور به یک توان.

این معادلات با تبدیل معادله اصلی به فرم حل می شوند ، که با استفاده از ویژگی نسبت به ساده ترین آن کاهش می یابد.

مثال 19. معادله را حل کنید:

3. معادلات حل شده با براکت کردن عامل مشترک.

اگر در معادله هر یک از نماها با دیگری تفاوت داشته باشد، معادلات با براکت کردن درجه با کوچکترین توان حل می شوند.

مثال 20. معادله را حل کنید.

راه حل: بیایید درجه ای را با کوچکترین توان خارج از پرانتز در سمت چپ معادله قرار دهیم:

مثال 21. معادله را حل کنید

راه‌حل: در سمت چپ معادله عبارت‌های حاوی درجات را با پایه 4، در سمت راست - با پایه 3 به طور جداگانه گروه‌بندی می‌کنیم، سپس درجاتی را که کوچک‌ترین توان را دارند خارج از پرانتز قرار می‌دهیم:

4. معادلات تقلیل به معادلات درجه دوم (یا مکعبی)..

معادلات زیر با توجه به متغیر جدید y به یک معادله درجه دوم کاهش می یابد:

الف) نوع جایگزینی، در حالی که؛

ب) نوع جایگزینی، در حالی که .

مثال 22. معادله را حل کنید .

راه حل: بیایید تغییری در متغیر ایجاد کنیم و حل کنیم معادله درجه دوم:

پاسخ: 0; یکی

5. معادلات همگن با توجه به توابع نمایی.

معادله نمایش است معادله همگندرجه دوم نسبت به ناشناخته تبرو b x. چنین معادلاتی با تقسیم اولیه هر دو قسمت توسط معادلات درجه دوم و جایگزینی بعدی به معادلات درجه دوم کاهش می یابد.

مثال 23. معادله را حل کنید.

راه حل: دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنید:

با قرار دادن یک معادله درجه دوم با ریشه بدست می آوریم.

اکنون مسئله به حل مجموعه معادلات خلاصه می شود . از معادله اول متوجه می شویم که . معادله دوم ریشه ندارد، زیرا برای هر مقداری ایکس.

پاسخ: -1/2.

6. معادلات منطقی با توجه به توابع نمایی.

مثال 24. معادله را حل کنید.

راه حل: صورت و مخرج کسر را بر تقسیم کنید 3 xو به جای دو، یک تابع نمایی دریافت می کنیم:

7. معادلات فرم .

چنین معادلاتی با مجموعه ای از مقادیر مجاز (ODV) تعیین شده توسط شرط، با گرفتن لگاریتم هر دو قسمت معادله، به یک معادله معادل کاهش می یابد که به نوبه خود معادل ترکیب دو معادله یا معادله است.

مثال 25. معادله را حل کنید.

مطالب آموزشی

حل معادلات:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. حاصل ضرب ریشه های معادله را بیابید .

27. مجموع ریشه های معادله را بیابید .

مقدار عبارت را پیدا کنید:

28. کجا x0- ریشه معادله

29. کجا x0ریشه معادله است .

معادله را حل کنید:

31. ; 32. .

پاسخ ها:ده 2.-2/9; 3. 1/36; 4.0، 0.5; پنجاه؛ 6.0; 7.-2; 8.2; 9.1، 3; 10.8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2، -1; 16.-2، 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20.-1، 0; 21.-2، 2; 22.-2، 2; 23.4; 24.-1، 2; 25. -2، -1، 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1، 0، 2، 3; 31. 32. .

مبحث شماره 8.

نابرابری های نمایی

1º. نابرابری حاوی یک متغیر در توان نامیده می شود نابرابری مثال زدنی

2 درجه راه حل نابرابری های نمایینوع بر اساس عبارات زیر است:

اگر , آنگاه نابرابری معادل ;

اگر، آنگاه نابرابری معادل است.

هنگام حل نابرابری های نمایی، از همان تکنیک هایی استفاده می شود که در حل معادلات نمایی استفاده می شود.

مثال 26. نابرابری را حل کنید (روش انتقال به یک پایه).

راه حل: چون ، سپس نابرابری داده شده را می توان به صورت زیر نوشت: . از آنجایی که این نابرابری معادل نابرابری است .

با حل آخرین نابرابری، به دست می آوریم.

مثال 27. حل نابرابری: ( روش خارج کردن فاکتور مشترک از براکت).

راه‌حل: براکت‌های سمت چپ نابرابری، سمت راست نابرابری را بیرون می‌آوریم و دو طرف نامساوی را بر (2-) تقسیم می‌کنیم و علامت نابرابری را به عکس تغییر می‌دهیم:

از آنجا که پس از آن در گذار به نابرابری شاخص ها، علامت نابرابری دوباره به عکس تغییر می کند. ما گرفتیم . بنابراین، مجموعه تمام راه حل های این نابرابری بازه است.

مثال 28. حل نابرابری ( روش معرفی یک متغیر جدید).

راه حل: اجازه دهید. سپس این نابرابری به شکل زیر در می آید: یا ، که راه حل آن فاصله است.

از اینجا. از آنجایی که تابع در حال افزایش است، پس .

مطالب آموزشی

مجموعه راه حل های نابرابری را مشخص کنید:

1. ; 2. ; 3. ;

6. در چه مقادیری ایکسآیا نقاط نمودار تابع زیر خط قرار دارند؟

7. در چه مقادیری ایکسآیا نقاط نمودار تابع زیر خط قرار ندارند؟

حل نابرابری:

8. ; 9. ; 10. ;

13. بزرگترین راه حل عدد صحیح نابرابری را نشان دهید .

14. حاصل ضرب بزرگترین عدد صحیح و کوچکترین راه حل نابرابری را بیابید. .

حل نابرابری:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

محدوده تابع را پیدا کنید:

27. ; 28. .

29. مجموعه ای از مقادیر آرگومان را که مقادیر هر یک از توابع بزرگتر از 3 است پیدا کنید:

و .

پاسخ ها: 11.3; 12.3; 13.-3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]؛ 19. (0; +∞); 20.(0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0؛ 2]؛ 26. (3؛ 3.5) U (4؛ +∞)؛ 27. (-∞؛ 3) U(5؛ 28. )