نمونه هایی از حل نابرابری های لگاریتمی آمادگی برای امتحان

آیا فکر می کنید هنوز تا امتحان زمان باقی است و برای آماده شدن زمان خواهید داشت؟ شاید اینطور باشد. اما در هر صورت، دانش آموز هر چه زودتر آموزش را شروع کند، امتحانات را با موفقیت بیشتری پشت سر می گذارد. امروز تصمیم گرفتیم مقاله ای را به نابرابری های لگاریتمی اختصاص دهیم. این یکی از وظایف است، یعنی فرصتی برای گرفتن یک امتیاز اضافی.

آیا می دانید لگاریتم (log) چیست؟ ما واقعا امیدواریم. اما حتی اگر پاسخی برای این سوال ندارید، مشکلی نیست. درک اینکه لگاریتم چیست بسیار آسان است.

چرا دقیقا 4؟ برای بدست آوردن 81 باید عدد 3 را به چنین توانی برسانید. وقتی اصل را فهمیدید، می توانید محاسبات پیچیده تری را انجام دهید.

شما چند سال پیش از نابرابری ها گذشتید. و از آن زمان، شما دائماً آنها را در ریاضیات ملاقات می کنید. اگر در حل نابرابری ها مشکل دارید، بخش مربوطه را بررسی کنید.
حال که با مفاهیم به صورت جداگانه آشنا شدیم، به طور کلی به بررسی آنها خواهیم پرداخت.

ساده ترین نابرابری لگاریتمی

ساده ترین نابرابری های لگاریتمی به این مثال محدود نمی شود، سه مورد دیگر وجود دارد، فقط با علائم مختلف. چرا این مورد نیاز است؟ برای درک بهتر نحوه حل نابرابری با لگاریتم. اکنون یک مثال کاربردی‌تر می‌آوریم، که هنوز هم بسیار ساده است، نابرابری‌های لگاریتمی پیچیده را برای بعد می‌گذاریم.

چگونه آن را حل کنیم؟ همه چیز با ODZ شروع می شود. اگر می خواهید همیشه هر نابرابری را به راحتی حل کنید، باید در مورد آن بیشتر بدانید.

ODZ چیست؟ DPV برای نابرابری های لگاریتمی

مخفف عبارت محدوده مقادیر معتبر است. در تکالیف برای امتحان، این عبارت اغلب ظاهر می شود. ODZ نه تنها در این مورد برای شما مفید خواهد بود نابرابری های لگاریتمی.

دوباره به مثال بالا نگاه کنید. ما ODZ را بر اساس آن در نظر می گیریم تا اصل را بفهمید و حل نابرابری های لگاریتمی سؤالی ایجاد نمی کند. از تعریف لگاریتم بر می آید که 2x+4 باید بزرگتر از صفر باشد. در مورد ما، این به معنای زیر است.

این عدد باید طبق تعریف مثبت باشد. نابرابری ارائه شده در بالا را حل کنید. حتی می توان این کار را به صورت شفاهی انجام داد، در اینجا مشخص است که X نمی تواند کمتر از 2 باشد. حل نابرابری، تعریف محدوده مقادیر قابل قبول خواهد بود.
حالا بیایید به حل ساده ترین نابرابری لگاریتمی برویم.

ما خود لگاریتم ها را از هر دو قسمت نابرابری حذف می کنیم. در نتیجه چه چیزی برای ما باقی می ماند؟ نابرابری ساده

حل آن آسان است. X باید بزرگتر از -0.5 باشد. اکنون دو مقدار بدست آمده را در سیستم ترکیب می کنیم. به این ترتیب،

این منطقه مقادیر قابل قبول برای نابرابری لگاریتمی در نظر گرفته شده خواهد بود.

چرا اصلاً ODZ مورد نیاز است؟ این فرصتی است برای از بین بردن پاسخ های نادرست و غیرممکن. اگر پاسخ در محدوده مقادیر قابل قبول نباشد، پاسخ به سادگی معنا ندارد. این ارزش را برای مدت طولانی به یاد داشته باشید، زیرا در امتحان اغلب نیاز به جستجوی ODZ وجود دارد و نه تنها به نابرابری های لگاریتمی مربوط می شود.

الگوریتم حل نابرابری لگاریتمی

راه حل شامل چندین مرحله است. ابتدا باید محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کرد. دو مقدار در ODZ وجود خواهد داشت، ما این را در بالا در نظر گرفتیم. مرحله بعدی حل خود نابرابری است. روش های حل به شرح زیر است:

• روش جایگزینی چند برابر؛
• تجزیه؛
• روش منطقی سازی

بسته به شرایط باید از یکی از روش های فوق استفاده کرد. بیایید مستقیم به سراغ راه حل برویم. ما محبوب ترین روشی را که برای حل وظایف USE در تقریباً همه موارد مناسب است، نشان خواهیم داد. در ادامه روش تجزیه را در نظر خواهیم گرفت. اگر با یک نابرابری «مختلف» مواجه شدید، می تواند کمک کند. بنابراین، الگوریتم برای حل نابرابری لگاریتمی.

نمونه های راه حل :

بیهوده نیست که دقیقاً چنین نابرابری را گرفتیم! به پایه توجه کنید. به یاد داشته باشید: اگر بزرگتر از یک باشد، هنگام یافتن محدوده مقادیر معتبر علامت ثابت می ماند. در غیر این صورت، علامت نابرابری باید تغییر کند.

در نتیجه، نابرابری را دریافت می کنیم:

حالا سمت چپ را به شکل معادله برابر با صفر می آوریم. به جای علامت "کمتر از"، "برابر" قرار می دهیم، معادله را حل می کنیم. بنابراین، ما ODZ را پیدا خواهیم کرد. امیدواریم با حل چنین مواردی معادله سادهشما مشکلی نخواهید داشت پاسخ ها -4 و -2 هستند. این همش نیست. شما باید این نقاط را روی نمودار نمایش دهید، "+" و "-" را قرار دهید. برای این کار چه باید کرد؟ اعداد را از فواصل در عبارت جایگزین کنید. در جایی که مقادیر مثبت هستند، "+" را در آنجا قرار می دهیم.

پاسخ: x نمی تواند بزرگتر از -4 و کوچکتر از -2 باشد.

ما محدوده مقادیر معتبر را فقط برای سمت چپ پیدا کردیم، اکنون باید محدوده مقادیر معتبر را برای سمت راست پیدا کنیم. این به هیچ وجه ساده تر نیست. پاسخ: -2. هر دو ناحیه دریافتی را قطع می کنیم.

و فقط اکنون شروع به حل خود نابرابری می کنیم.

بیایید آن را تا حد امکان ساده کنیم تا تصمیم گیری آسان تر شود.

ما دوباره از روش فاصله در محلول استفاده می کنیم. بیایید از محاسبات بگذریم، با او همه چیز از مثال قبلی واضح است. پاسخ.

اما این روش در صورتی مناسب است که نابرابری لگاریتمی دارای پایه های یکسان باشد.

راه حل معادلات لگاریتمیو نابرابری با زمینه های مختلفمستلزم کاهش اولیه به یک پایه است. سپس از روش فوق استفاده کنید. اما یک مورد پیچیده تر نیز وجود دارد. یکی از مهمترین آنها را در نظر بگیرید انواع پیچیدهنابرابری های لگاریتمی

نابرابری های لگاریتمی با پایه متغیر

چگونه می توان نابرابری ها را با چنین ویژگی هایی حل کرد؟ بله، و چنین چیزی را می توان در امتحان یافت. حل نابرابری ها به روش زیر نیز تأثیر مفیدی بر شما خواهد داشت فرآیند آموزشی. بیایید موضوع را درک کنیم در جزئیات. بیایید تئوری را کنار بگذاریم و مستقیم به سراغ عمل برویم. برای حل نابرابری های لگاریتمی کافی است یک بار با مثال آشنا شوید.

برای حل نابرابری لگاریتمی شکل ارائه شده، باید کاهش داد سمت راستبه لگاریتم با همان پایه. این اصل شبیه انتقال های معادل است. در نتیجه، نابرابری به این شکل خواهد بود.

در واقع، ایجاد سیستمی از نابرابری ها بدون لگاریتم باقی مانده است. با استفاده از روش منطقی سازی، به سیستم معادلی از نابرابری ها می رویم. زمانی که مقادیر مناسب را جایگزین کنید و تغییرات آنها را دنبال کنید، خود قانون را درک خواهید کرد. این سیستم دارای نابرابری های زیر خواهد بود.

با استفاده از روش منطقی سازی، هنگام حل نابرابری ها، باید موارد زیر را به خاطر بسپارید: باید یکی را از پایه کم کنید، x، با تعریف لگاریتم، از هر دو قسمت نابرابری (راست از چپ) کم می شود، دو عبارت ضرب می شوند و در زیر علامت اصلی نسبت به صفر قرار می گیرند.

راه حل بیشتر با روش فاصله انجام می شود، همه چیز در اینجا ساده است. برای شما مهم است که تفاوت های روش های راه حل را درک کنید، سپس همه چیز به راحتی شروع به کار می کند.

تفاوت های ظریف زیادی در نابرابری های لگاریتمی وجود دارد. حل ساده ترین آنها به اندازه کافی آسان است. چگونه می توان آن را به گونه ای ساخت که هر یک از آنها را بدون مشکل حل کنیم؟ شما قبلا تمام پاسخ ها را در این مقاله دریافت کرده اید. اکنون تمرین طولانی در پیش رو دارید. به طور مداوم حل مسائل مختلف را در آزمون تمرین کنید و خواهید توانست بالاترین امتیاز را کسب کنید. در کار دشوار خود موفق باشید!

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

اغلب، هنگام حل نابرابری های لگاریتمی، مشکلاتی با پایه متغیر لگاریتم وجود دارد. بنابراین، یک نابرابری از فرم

یک نابرابری استاندارد مدرسه است. به عنوان یک قاعده، برای حل آن، از انتقال به مجموعه ای معادل از سیستم ها استفاده می شود:

عیب این روشنیاز به حل هفت نابرابری است، بدون احتساب دو سیستم و یک مجموعه. حتی با توابع درجه دوم داده شده، حل جمعیت ممکن است به زمان زیادی نیاز داشته باشد.

یک راه جایگزین و زمان‌بر کمتر برای حل این نابرابری استاندارد می‌تواند پیشنهاد شود. برای انجام این کار، قضیه زیر را در نظر می گیریم.

قضیه 1. یک تابع فزاینده پیوسته روی مجموعه X بگذارید. سپس در این مجموعه علامت افزایش تابع با علامت افزایش استدلال منطبق خواهد شد. ، جایی که .

توجه: اگر تابع نزولی پیوسته در مجموعه X باشد، آنگاه .

بیایید به نابرابری برگردیم. بیایید به لگاریتم اعشاری برویم (شما می توانید به هر کدام با پایه ثابت بزرگتر از یک بروید).

اکنون می‌توانیم از قضیه استفاده کنیم و در صورت‌گر به افزایش توابع توجه کنیم و در مخرج. پس درست است

در نتیجه، تعداد محاسباتی که منجر به پاسخ می شود حدود نصف کاهش می یابد، که نه تنها در زمان صرفه جویی می کند، بلکه به شما امکان می دهد تا به طور بالقوه خطاهای حسابی و بی دقتی کمتری داشته باشید.

مثال 1

در مقایسه با (1) می یابیم , , .

با عبور از (2) خواهیم داشت:

مثال 2

در مقایسه با (1) به , , .

با عبور از (2) خواهیم داشت:

مثال 3

از آنجایی که سمت چپ نابرابری یک تابع افزایشی برای و است ، سپس پاسخ تنظیم می شود.

اگر ترم 2 در نظر گرفته شود، مجموعه نمونه هایی که ترم 1 را می توان در آنها اعمال کرد، می تواند به راحتی گسترش یابد.

بگذارید روی مجموعه ایکستوابع , , , تعریف می شوند و در این مجموعه علائم و منطبق می شوند، یعنی آنگاه عادلانه خواهد بود

مثال 4

مثال 5

با رویکرد استاندارد، مثال بر اساس این طرح حل می شود: زمانی که عوامل دارای علائم مختلف هستند، محصول کمتر از صفر است. آن ها ما مجموعه ای از دو سیستم از نابرابری ها را در نظر می گیریم که در آنها، همانطور که در ابتدا اشاره شد، هر نابرابری به هفت نابرابری دیگر تقسیم می شود.

اگر قضیه 2 را در نظر بگیریم، هر یک از عوامل را با در نظر گرفتن (2) می توان با تابع دیگری جایگزین کرد که در این مثال O.D.Z علامت یکسانی دارد.

روش جایگزینی افزایش یک تابع با افزایش آرگومان، با در نظر گرفتن قضیه 2، هنگام حل مسائل معمولی C3 USE بسیار راحت است.

مثال 6

مثال 7

. بیایید نشان دهیم. گرفتن

. توجه داشته باشید که جایگزینی به این معنی است: . با بازگشت به معادله، دریافت می کنیم .

مثال 8

در قضایایی که استفاده می کنیم، هیچ محدودیتی برای کلاس های توابع وجود ندارد. در این مقاله به عنوان مثال، قضایای حل نابرابری های لگاریتمی به کار گرفته شد. چند مثال زیر قول روشی را برای حل انواع دیگر نابرابری ها نشان می دهد.