فرمول های جدول توابع ضد مشتق برای دانش آموزان. فرمول های اساسی و روش های ادغام

انتگرال های اصلی که هر دانش آموز باید بداند

انتگرال های فهرست شده اساس، اساس مبانی هستند. این فرمول ها را حتما باید به خاطر بسپارید. هنگام محاسبه انتگرال های پیچیده تر، باید دائماً از آنها استفاده کنید.

به فرمول های (5)، (7)، (9)، (12)، (13)، (17) و (19) توجه ویژه ای داشته باشید. فراموش نکنید که هنگام ادغام یک ثابت دلخواه C به پاسخ خود اضافه کنید!

انتگرال یک ثابت

∫ A d x = A x + C (1)

ادغام یک تابع قدرت

در واقع، می‌توانیم خود را به فرمول‌های (5) و (7) محدود کنیم، اما بقیه انتگرال‌های این گروه به قدری اتفاق می‌افتند که ارزش کمی توجه به آنها را دارد.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n≠ - 1) (7)

انتگرال توابع نمایی و توابع هذلولی

البته فرمول (8) (شاید راحت ترین برای حفظ) را می توان به عنوان یک مورد خاص از فرمول (9) در نظر گرفت. فرمول های (10) و (11) برای انتگرال های سینوس هذلولی و کسینوس هذلولی به راحتی از فرمول (8) به دست می آیند، اما بهتر است این روابط را به سادگی به خاطر بسپارید.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

انتگرال های اساسی توابع مثلثاتی

اشتباهی که دانش آموزان اغلب مرتکب می شوند این است که علائم فرمول (12) و (13) را با هم اشتباه می گیرند. به یاد داشته باشید که مشتق سینوس برابر با کسینوس است، به دلایلی بسیاری از مردم معتقدند که انتگرال تابع sinx برابر با cosx است. این درست نیست! انتگرال سینوس برابر با "منهای کسینوس" است، اما انتگرال cosx برابر با "فقط سینوس" است:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = گناه x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

انتگرال هایی که به توابع مثلثاتی معکوس تقلیل می یابند

فرمول (16)، منتهی به آرکتتانژانت، طبیعتاً یک مورد خاص از فرمول (17) برای a=1 است. به طور مشابه، (18) یک مورد خاص از (19) است.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)

انتگرال های پیچیده تر

همچنین توصیه می شود این فرمول ها را به خاطر بسپارید. آنها همچنین اغلب استفاده می شوند و خروجی آنها بسیار خسته کننده است.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

قوانین کلی ادغام

1) انتگرال مجموع دو تابع برابر با مجموعانتگرال متناظر: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) انتگرال اختلاف دو تابع برابر است با اختلاف انتگرال های متناظر: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

به راحتی می توان دریافت که ویژگی (26) به سادگی ترکیبی از ویژگی های (25) و (27) است.

4) انتگرال از تابع پیچیدهاگر تابع درونی خطی باشد: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

در اینجا F(x) یک پاد مشتق برای تابع f(x) است. لطفا توجه داشته باشید: این فرمول فقط زمانی کار می کند که تابع داخلی Ax + B باشد.

مهم: هیچ فرمول جهانی برای انتگرال حاصلضرب دو تابع و همچنین برای انتگرال یک کسری وجود ندارد:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (سی)

البته این بدان معنا نیست که یک کسری یا محصول را نمی توان یکپارچه کرد. فقط این است که هر بار که انتگرالی مانند (30) را می بینید، باید راهی برای "مبارزه کردن" با آن اختراع کنید. در برخی موارد، ادغام با قطعات به شما کمک می کند، در برخی دیگر باید متغیر را تغییر دهید، و گاهی اوقات حتی فرمول های جبر «مدرسه ای» یا مثلثات می تواند کمک کند.

یک مثال ساده از محاسبه انتگرال نامعین

مثال 1. انتگرال را بیابید: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

اجازه دهید از فرمول های (25) و (26) استفاده کنیم (انتگرال مجموع یا تفاوت توابع برابر است با مجموع یا تفاضل انتگرال های مربوطه. ما به دست می آوریم: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

به یاد داشته باشیم که ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد (فرمول (27)). عبارت به فرم تبدیل می شود

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

حالا بیایید فقط از جدول انتگرال های پایه استفاده کنیم. ما باید فرمول های (3)، (12)، (8) و (1) را اعمال کنیم. بیایید ادغام کنیم تابع توان، سینوس، نمایی و ثابت 1. فراموش نکنیم که یک ثابت دلخواه C را در پایان اضافه کنیم:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

بعد از تحولات ابتداییپاسخ نهایی را می گیریم:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

خود را با تمایز آزمایش کنید: مشتق تابع حاصل را بگیرید و مطمئن شوید که با انتگرال اصلی برابر است.

جدول خلاصه انتگرال ها

🔻 A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = گناه x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 گناه 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

جدول انتگرال ها (قسمت دوم) را از این لینک دانلود کنید

اگر در دانشگاه تحصیل می کنید، اگر در ریاضیات بالاتر (تحلیل ریاضی، جبر خطی، تئوری احتمال، آمار) مشکل دارید، اگر به خدمات یک معلم واجد شرایط نیاز دارید، به صفحه معلم خصوصی ریاضی بالاتر بروید. ما با هم مشکلات شما را حل خواهیم کرد!

همچنین ممکن است که شما علاقه مند باشید به

اجازه دهید انتگرال های توابع ابتدایی را فهرست کنیم که گاهی به آنها جدولی می گویند:

هر یک از فرمول های فوق را می توان با گرفتن مشتق سمت راست ثابت کرد (نتیجه انتگرال خواهد بود).

روش های یکپارچه سازی

بیایید به چند روش ادغام اولیه نگاه کنیم. این شامل:

1. روش تجزیه(ادغام مستقیم).

این روش مبتنی بر استفاده مستقیم از انتگرال های جدولی و همچنین استفاده از ویژگی های 4 و 5 انتگرال نامعین (یعنی خارج کردن ضریب ثابت از براکت ها و / یا نمایش انتگرال به عنوان مجموع توابع - تجزیه است. از انتگرال به شرایط).

مثال 1.به عنوان مثال، برای یافتن(dx/x 4) می‌توانید مستقیماً از انتگرال جدول برایx n dx استفاده کنید. در واقع،(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2.برای یافتن آن، از همان انتگرال استفاده می کنیم:

مثال 3.برای پیدا کردن آن باید بردارید

مثال 4.برای یافتن، تابع انتگرال را در فرم نشان می دهیم و از جدول انتگرال برای تابع نمایی:

بیایید استفاده از براکت را یک عامل ثابت در نظر بگیریم.

مثال 5.برای مثال بیایید پیدا کنیم . با توجه به آن، دریافت می کنیم

مثال 6.ما آن را پیدا خواهیم کرد. از آنجا که ، بیایید از انتگرال جدول استفاده کنیم ما گرفتیم

در دو مثال زیر می توانید از براکتینگ و انتگرال جدول نیز استفاده کنید:

مثال 7.

(ما استفاده می کنیم و );

مثال 8.

(ما استفاده می کنیم و ).

بیایید به مثال های پیچیده تری که از انتگرال مجموع استفاده می کنند نگاه کنیم.

مثال 9.مثلا پیدا کنیم
. برای اعمال روش بسط در صورت، از فرمول مکعب مجموع  استفاده می کنیم و سپس چند جمله ای حاصل را بر مخرج تقسیم می کنیم.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

لازم به ذکر است که در انتهای راه حل یک ثابت مشترک C نوشته می شود (و نه ثابت های جداگانه در هنگام ادغام هر جمله). در آینده نیز پیشنهاد می‌شود تا زمانی که عبارت حداقل یک انتگرال نامعین داشته باشد، ثابت‌ها را از ادغام عبارت‌های منفرد در فرآیند حل حذف کنیم (یک ثابت را در انتهای راه حل خواهیم نوشت).

مثال 10.پیدا خواهیم کرد . برای حل این مشکل، صورت را فاکتورسازی می کنیم (بعد از این می توانیم مخرج را کاهش دهیم).

مثال 11.ما آن را پیدا خواهیم کرد. در اینجا می توان از هویت های مثلثاتی استفاده کرد.

گاهی اوقات، برای تجزیه یک عبارت به اصطلاح، باید از تکنیک های پیچیده تری استفاده کنید.

مثال 12.پیدا خواهیم کرد . در انتگرال کل قسمت کسر را انتخاب می کنیم . سپس

مثال 13.پیدا خواهیم کرد

2. روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)

این روش بر اساس فرمول زیر است: f(x)dx=f((t))`(t)dt، که در آن x =(t) یک تابع قابل تمایز در بازه مورد بررسی است.

اثبات اجازه دهید مشتقات را با توجه به متغیر t از سمت چپ و پیدا کنیم قطعات سمت راستفرمول ها.

توجه داشته باشید که در سمت چپ یک تابع پیچیده وجود دارد که آرگومان میانی آن x = (t) است. بنابراین، برای متمایز کردن آن نسبت به t، ابتدا انتگرال را نسبت به x متمایز می کنیم و سپس مشتق آرگومان میانی را نسبت به t می گیریم.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

مشتق از سمت راست:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

از آنجایی که این مشتقات برابر هستند، بر اساس قضیه لاگرانژ، سمت چپ و راست فرمول ثابت شده با یک ثابت مشخص متفاوت است. از آنجایی که انتگرال های نامعین خود تا یک مدت ثابت نامعین تعریف می شوند، این ثابت را می توان از نماد نهایی حذف کرد. اثبات شده است.

تغییر موفقیت آمیز متغیر به شما امکان می دهد انتگرال اصلی را ساده کنید و در ساده ترین موارد آن را به جدولی کاهش دهید. در کاربرد این روش بین روش های جایگزینی خطی و غیرخطی تمایز قائل می شود.

الف) روش جایگزینی خطیبیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1.
. بگذارید t= 1 – 2x، سپس

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

لازم به ذکر است که متغیر جدید نیازی به نوشتن صریح ندارد. در چنین مواردی، آنها در مورد تبدیل یک تابع تحت علامت دیفرانسیل یا در مورد معرفی ثابت ها و متغیرها در زیر علامت دیفرانسیل صحبت می کنند، یعنی. O جایگزینی متغیر ضمنی.

مثال 2.به عنوان مثال، اجازه دهیدcos(3x + 2)dx را پیدا کنیم. با ویژگی های دیفرانسیل dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2)، سپسcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) +C.

در هر دو مثال در نظر گرفته شده، از جانشینی خطی t=kx+b(k0) برای یافتن انتگرال ها استفاده شد.

در حالت کلی، قضیه زیر معتبر است.

قضیه جانشینی خطی. فرض کنید F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد. سپسf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C، که در آن k و b چند ثابت هستند،k0.

اثبات

با تعریف انتگرال f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. بیایید عامل ثابت k را از علامت انتگرال خارج کنیم: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. حالا می‌توانیم سمت چپ و راست تساوی را به دو قسمت تقسیم کنیم و گزاره‌ای را به دست آوریم که باید تا تعیین جمله ثابت ثابت شود.

این قضیه بیان می کند که اگر در تعریف انتگرال f(x)dx= F(x) + C به جای آرگومان x عبارت (kx+b) را جایگزین کنیم، این امر منجر به ظهور یک اضافی می شود. فاکتور 1/k در مقابل ضد مشتق.

با استفاده از قضیه اثبات شده، مثال های زیر را حل می کنیم.

مثال 3.

پیدا خواهیم کرد . در اینجا kx+b= 3 –x، یعنی k= -1،b= 3. سپس

مثال 4.

ما آن را پیدا خواهیم کرد. Herekx+b= 4x+ 3، یعنی k= 4،b= 3. سپس

مثال 5.

پیدا خواهیم کرد . در اینجا kx+b= -2x+ 7، یعنی k= -2،b= 7. سپس

مثال 6.پیدا خواهیم کرد
. در اینجا kx+b= 2x+ 0، یعنی k= 2،b= 0.

اجازه دهید نتیجه به دست آمده را با مثال 8 مقایسه کنیم که با روش تجزیه حل شد. حل مشکل مشابه با استفاده از روشی متفاوت، به جواب رسیدیم
. بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم: بنابراین، این عبارات با یک عبارت ثابت با یکدیگر تفاوت دارند ، یعنی پاسخ های دریافتی هیچ تناقضی با یکدیگر ندارند.

مثال 7.پیدا خواهیم کرد
. بیایید یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنیم.

در برخی موارد، تغییر یک متغیر انتگرال را مستقیماً به جدولی کاهش نمی دهد، اما می تواند راه حل را ساده کند و استفاده از روش بسط را در مرحله بعدی ممکن می کند.

مثال 8.مثلا پیدا کنیم . t=x+2 را جایگزین کنید، سپس dt=d(x+2) =dx را جایگزین کنید. سپس

که در آن C = C 1 – 6 (هنگام جایگزینی عبارت (x+ 2) به جای دو عبارت اول، ½x 2 -2x– 6 دریافت می کنیم).

مثال 9.پیدا خواهیم کرد
. بگذارید t= 2x+ 1، سپس dt= 2dx;dx=½dt;x= (t– 1)/2.

بیایید عبارت (2x+1) را جایگزین t کنیم، پرانتزها را باز کنیم و موارد مشابه را بدهیم.

توجه داشته باشید که در فرآیند تبدیل ما به یک ترم ثابت دیگر حرکت کردیم، زیرا گروه اصطلاحات ثابت را می توان در طول فرآیند تبدیل حذف کرد.

ب) روش جایگزینی غیرخطیبیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1.
. Lett= -x 2. در مرحله بعد، می توان x را بر حسب t بیان کرد، سپس یک عبارت برای dx پیدا کرد و تغییری از متغیر را در انتگرال مورد نظر پیاده کرد. اما در این مورد ساده تر است که کارها را متفاوت انجام دهید. بیایید finddt=d(-x 2) = -2xdx را پیدا کنیم. توجه داشته باشید که عبارت xdx فاکتوری از انتگرال انتگرال مورد نظر است. اجازه دهید آن را از برابری به دست آمده بیان کنیمxdx= - ½dt. سپس

در مدرسه، بسیاری از افراد در حل انتگرال ها شکست می خورند یا با آنها مشکل دارند. این مقاله به شما کمک می کند تا آن را بفهمید، زیرا همه چیز را در آن خواهید یافت. جداول انتگرال.

انتگرالیکی از محاسبات و مفاهیم اصلی در تجزیه و تحلیل ریاضی. ظهور آن ناشی از دو هدف است:
گل اول- بازیابی یک تابع با استفاده از مشتق آن.
گل دوم- محاسبه مساحت واقع در فاصله نمودار تا تابع f(x) روی خط مستقیم که در آن a بزرگتر یا مساوی x بزرگتر یا مساوی b و محور x است.

این اهداف ما را به انتگرال های معین و نامعین سوق می دهند. ارتباط بین این انتگرال ها در جستجوی خواص و محاسبه نهفته است. اما همه چیز جریان می یابد و همه چیز در طول زمان تغییر می کند، راه حل های جدیدی پیدا شد، اضافات مشخص شد، در نتیجه انتگرال های معین و نامعین را به سایر اشکال ادغام هدایت کردند.

چه اتفاقی افتاده است انتگرال نامعین تو پرسیدی. این یک تابع ضد مشتق F(x) از یک متغیر x در بازه a بزرگتر از x بزرگتر از b است. هر تابع F(x) نامیده می شود، در یک بازه معین برای هر نام x، مشتق برابر با F(x) است. واضح است که F(x) برای f(x) پاد مشتق است در فاصله a بزرگتر از x بزرگتر از b است. این بدان معنی است که F1(x) = F(x) + C. C - هر ثابت و پاد مشتق برای f(x) در یک بازه معین است. این عبارت معکوس پذیر است؛ برای تابع f(x) - 2، پاد مشتق ها فقط در ثابت تفاوت دارند. بر اساس قضیه حساب انتگرال، معلوم می شود که هر پیوسته در بازه a

انتگرال معین به عنوان حدی در مجموع انتگرال، یا در موقعیت یک تابع معین f(x) تعریف شده در برخی از خطوط (a,b) که دارای یک F پاد مشتق بر روی آن است، به معنای تفاوت عبارات آن در انتهای یک خط مشخص می‌شود. F(b) - F(a).

برای نشان دادن مطالعه این موضوع، پیشنهاد می کنم ویدیو را تماشا کنید. با جزئیات می گوید و نحوه یافتن انتگرال ها را نشان می دهد.

هر جدول انتگرال به خودی خود بسیار مفید است، زیرا به حل نوع خاصی از انتگرال کمک می کند.

انواع لوازم التحریر ممکن و غیره. می توانید از طریق فروشگاه آنلاین v-kant.ru خرید کنید. یا فقط لینک لوازم التحریر سامارا (http://v-kant.ru) را دنبال کنید، کیفیت و قیمت ها شما را شگفت زده خواهد کرد.

چهار روش اصلی ادغام در زیر ذکر شده است.

1) قانون ادغام یک مجموع یا تفاوت.
.
در اینجا و زیر u، v، w توابعی از متغیر ادغام x هستند.

2) حرکت ثابت به خارج از علامت انتگرال.
فرض کنید c ثابت مستقل از x باشد. سپس می توان آن را از علامت انتگرال خارج کرد.

3) روش جایگزینی متغیر
بیایید انتگرال نامعین را در نظر بگیریم.
اگر بتوانیم چنین تابعی را پیدا کنیم (ایکس)از x، بنابراین
,
سپس با جایگزینی متغیر t = φ(x) داریم
.

4) فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات
,
که در آن u و v توابعی از متغیر ادغام هستند.

هدف نهایی از محاسبه انتگرال های نامعین، از طریق تبدیل ها، کاهش یک انتگرال معین به ساده ترین انتگرال ها است که انتگرال های جدولی نامیده می شوند. انتگرال های جدول از طریق توابع ابتدایی با استفاده از فرمول های شناخته شده بیان می شوند.
جدول انتگرال ها >>> را ببینید

مثال

انتگرال نامعین را محاسبه کنید

راه حل

توجه داشته باشیم که انتگرال مجموع و تفاضل سه جمله است:
، و .
اعمال روش 1 .

در مرحله بعد، توجه می کنیم که انتگرال های انتگرال های جدید در ضرایب ثابت ضرب می شوند 5, 4, و 2 ، به ترتیب. اعمال روش 2 .

در جدول انتگرال ها فرمول را پیدا می کنیم
.
با فرض n = 2 ، انتگرال اول را پیدا می کنیم.

اجازه دهید انتگرال دوم را در فرم بازنویسی کنیم
.
متوجه می شویم که. سپس

بیایید از روش سوم استفاده کنیم. متغیر t = φ را تغییر می دهیم (x) = ورود x.
.
در جدول انتگرال ها فرمول را پیدا می کنیم

از آنجایی که متغیر ادغام را می توان با هر حرفی نشان داد، پس

اجازه دهید انتگرال سوم را در فرم بازنویسی کنیم
.
ما فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات را اعمال می کنیم.
بگذار آن را بگذاریم.
سپس
;
;

;
;
.

بالاخره داریم
.
بیایید اصطلاحات را با x جمع آوری کنیم 3 .
.

پاسخ

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

تابع پاد مشتق و انتگرال نامعین

واقعیت 1. ادغام عمل معکوس تمایز است، یعنی بازیابی یک تابع از مشتق شناخته شده این تابع. بنابراین عملکرد بازیابی شد اف(ایکس) نامیده میشود ضد مشتقبرای عملکرد f(ایکس).

تعریف 1. تابع اف(ایکس f(ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس، اگر برای همه مقادیر ایکساز این فاصله برابری برقرار است اف "(ایکس)=f(ایکس)، به این معنا که این تابع f(ایکس) مشتق تابع ضد مشتق است اف(ایکس). .

به عنوان مثال، تابع اف(ایکس) = گناه ایکس ضد مشتق تابع است f(ایکس) = cos ایکس در کل خط اعداد، زیرا برای هر مقدار x (گناه ایکس)" = (cos ایکس) .

تعریف 2. انتگرال نامعین یک تابع f(ایکس) مجموعه تمام ضد مشتقات آن است. در این مورد از علامت گذاری استفاده می شود

∫

f(ایکس)dx

علامت کجاست ∫ علامت انتگرال، تابع نامیده می شود f(ایکس) - تابع یکپارچه، و f(ایکس)dx - بیان یکپارچه

بنابراین، اگر اف(ایکس) – مقداری ضد مشتق برای f(ایکس) ، آن

∫

f(ایکس)dx = اف(ایکس) +سی

جایی که سی - ثابت دلخواه (ثابت).

برای درک معنای مجموعه ضد مشتقات یک تابع به عنوان یک انتگرال نامعین، قیاس زیر مناسب است. بگذار دری باشد (سنتی در چوبی). عملکرد آن «دری بودن» است. درب از چه چیزی ساخته شده است؟ ساخته شده از چوب. این بدان معنی است که مجموعه ضد مشتقات انتگرال تابع "دری بودن"، یعنی انتگرال نامعین آن، تابع "درخت بودن + C" است، که در آن C یک ثابت است، که در این زمینه می تواند به عنوان مثال، نوع درخت را نشان می دهد. همانطور که یک در با استفاده از برخی ابزارها از چوب ساخته می شود، یک مشتق از یک تابع نیز از یک تابع ضد مشتق ساخته می شود. فرمول هایی که در حین مطالعه مشتق یاد گرفتیم .

سپس جدول توابع اشیاء رایج و ضد مشتقات مربوط به آنها ("در بودن" - "درخت بودن" ، "قاشق بودن" - "فلزی بودن" و غیره) شبیه جدول پایه است. انتگرال های نامعین که در زیر آورده خواهند شد. جدول انتگرال های نامعین، توابع رایج را با نشان دادن پاد مشتق هایی که این توابع از آنها ساخته شده اند، فهرست می کند. در بخشی از مسائل مربوط به یافتن انتگرال نامعین، انتگرال هایی آورده شده است که می توان آنها را مستقیماً بدون تلاش زیاد، یعنی با استفاده از جدول انتگرال های نامعین، ادغام کرد. در مسائل پیچیده تر، ابتدا باید انتگرال را تبدیل کرد تا بتوان از انتگرال های جدول استفاده کرد.

واقعیت 2. هنگام بازیابی یک تابع به عنوان یک پاد مشتق، باید یک ثابت دلخواه (ثابت) را در نظر بگیریم. سیو برای اینکه لیستی از ضد مشتق ها با ثابت های مختلف از 1 تا بی نهایت ننویسید، باید مجموعه ای از پاد مشتق ها را با یک ثابت دلخواه بنویسید. سیمثلاً به این صورت: 5 ایکس³+C. بنابراین، یک ثابت دلخواه (ثابت) در بیان ضد مشتق گنجانده شده است، زیرا ضد مشتق می تواند یک تابع باشد، به عنوان مثال، 5 ایکس³+4 یا 5 ایکس³+3 و وقتی متمایز شد، 4 یا 3 یا هر ثابت دیگری به صفر می رسد.

اجازه دهید مشکل ادغام را مطرح کنیم: برای این تابع f(ایکس) چنین تابعی را پیدا کنید اف(ایکس), مشتق آنمساوی با f(ایکس).

مثال 1.مجموعه پاد مشتق های یک تابع را بیابید

راه حل. برای این تابع، ضد مشتق تابع است

تابع اف(ایکس) یک ضد مشتق برای تابع نامیده می شود f(ایکساگر مشتق باشد اف(ایکس) برابر است با f(ایکس)، یا، که همان چیزی است، دیفرانسیل اف(ایکس) برابر است f(ایکس) dx، یعنی

(2)

بنابراین، تابع ضد مشتق تابع است. با این حال، این تنها ضد مشتق برای . آنها همچنین به عنوان توابع عمل می کنند

جایی که با- ثابت دلخواه این را می توان با تمایز تأیید کرد.

بنابراین، اگر یک پاد مشتق برای یک تابع وجود داشته باشد، تعداد نامتناهی ضد مشتق برای آن وجود دارد که با یک جمله ثابت تفاوت دارند. تمام آنتی مشتق های یک تابع به شکل بالا نوشته می شوند. این از قضیه زیر حاصل می شود.

قضیه (گزاره رسمی واقعیت 2).اگر اف(ایکس) - ضد مشتق برای تابع f(ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس، سپس هر ضد مشتق دیگری برای f(ایکس) در همان بازه را می توان در فرم نشان داد اف(ایکس) + سی، جایی که با- ثابت دلخواه

در مثال بعدی به جدول انتگرال ها می پردازیم که بعد از خصوصیات انتگرال نامعین در بند 3 آورده خواهد شد. این کار را قبل از خواندن کل جدول انجام می دهیم تا اصل مطلب بالا مشخص شود. و بعد از جدول و خصوصیات، در حین ادغام از آنها به طور کامل استفاده خواهیم کرد.

مثال 2.مجموعه ای از توابع ضد مشتق را بیابید:

راه حل. ما مجموعه‌ای از توابع ضد مشتق را پیدا می‌کنیم که این توابع از آنها «ساخته شده‌اند». هنگام ذکر فرمول ها از جدول انتگرال ها، فعلاً بپذیرید که چنین فرمول هایی در آنجا وجود دارد و ما خود جدول انتگرال های نامعین را کمی بیشتر مطالعه خواهیم کرد.

1) استفاده از فرمول (7) از جدول انتگرال ها برای n= 3، می گیریم

2) با استفاده از فرمول (10) از جدول انتگرال ها برای n= 1/3، ما داریم

3) از آنجایی که

سپس طبق فرمول (7) با n= -1/4 پیدا می کنیم

این خود تابع نیست که زیر علامت انتگرال نوشته می شود. f، و محصول آن توسط دیفرانسیل dx. این کار در درجه اول به این منظور انجام می شود که مشخص شود آنتی مشتق توسط کدام متغیر جستجو می شود. مثلا،

, ;

در اینجا در هر دو مورد انتگرال برابر است با ، اما انتگرالهای نامعین آن در موارد در نظر گرفته شده متفاوت هستند. در حالت اول این تابع به عنوان تابعی از متغیر در نظر گرفته می شود ایکس، و در دوم - به عنوان تابعی از z .

فرآیند یافتن انتگرال نامعین یک تابع را یکپارچه سازی آن تابع می نامند.

معنای هندسی انتگرال نامعین

فرض کنید باید یک منحنی پیدا کنیم y=F(x)و ما قبلاً می دانیم که مماس زاویه میل مماس در هر نقطه است عملکرد داده شده f(x)ابسیس این نقطه

مطابق با حس هندسیمشتق، مماس زاویه مماس در یک نقطه معین از منحنی y=F(x)برابر با مقدار مشتق است F"(x). بنابراین ما باید چنین تابعی را پیدا کنیم F(x)، برای کدام F"(x)=f(x). عملکرد مورد نیاز در کار F(x)ضد مشتق است f(x). شرایط مسئله نه با یک منحنی، بلکه توسط خانواده ای از منحنی ها برآورده می شود. y=F(x)- یکی از این منحنی ها و هر منحنی دیگری را می توان از طریق انتقال موازی در امتداد محور به دست آورد. اوه.

بیایید نمودار تابع ضد مشتق را نام ببریم f(x)منحنی انتگرال اگر F"(x)=f(x)، سپس نمودار تابع y=F(x)یک منحنی انتگرال وجود دارد.

واقعیت 3. انتگرال نامعین از نظر هندسی با خانواده همه منحنی های انتگرال نشان داده می شود. ، مانند تصویر زیر. فاصله هر منحنی از مبدا مختصات توسط یک ثابت یکپارچه سازی دلخواه تعیین می شود سی.

خواص انتگرال نامعین

واقعیت 4. قضیه 1. مشتق یک انتگرال نامعین برابر با انتگرال و دیفرانسیل آن برابر با انتگرال است.

واقعیت 5. قضیه 2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع f(ایکس) برابر با عملکرد f(ایکس) تا یک مدت ثابت ، یعنی

(3)

قضایای 1 و 2 نشان می دهد که تمایز و ادغام عملیات معکوس متقابل هستند.

واقعیت 6. قضیه 3. عامل ثابت در انتگرال را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد. ، یعنی