روش ذوزنقه ای ادغام عددی ج. محاسبه انتگرال ها با استفاده از فرمول های مستطیل و ذوزنقه
محاسبه انتگرال ها اغلب در مدل سازی اتفاق می افتد. روشهای عددی معمولاً هنگام گرفتن انتگرال‌های غیرقابل ادغام به اندازه کافی استفاده می‌شوند توابع پیچیده، که از قبل جدول بندی شده اند یا هنگام ادغام جدولی توابع مشخص شده، که در کاربردهای اقتصادی بسیار رایج است.
مفهوم ادغام عددی.
همه روشهای عددیمبتنی بر این واقعیت است که انتگرال تقریباً با یک ساده تر جایگزین می شود (خط مستقیم افقی یا مایل ، سهمی درجه 2 ، 3 یا بالاتر) که انتگرال به راحتی از آن گرفته می شود. در نتیجه، فرمول های ادغام، به نام ربع، به صورت مجموع وزنی از مختصات انتگرال در نقاط جداگانه به دست می آیند:
هر چه فواصل زمانی که جایگزینی انجام می شود کمتر باشد، انتگرال با دقت بیشتری محاسبه می شود. بنابراین، برای بهبود دقت، بخش اصلی [a, b] به چندین بازه مساوی یا نابرابر تقسیم می شود که در هر یک از آنها فرمول یکپارچه سازی اعمال می شود و سپس نتایج اضافه می شود.
در بیشتر موارد، خطا در ادغام عددی با ادغام دوگانه تعیین می شود: با مرحله اولیه (گام با تقسیم یکنواخت تعیین می شود. بخش b-aبا تعداد قطعات n\h=(b-a)/n)u با یک پله 2 برابر افزایش می یابد. تفاوت در مقادیر محاسبه شده انتگرال ها، خطا را تعیین می کند.
مقایسه کارایی روش های مختلفبا توجه به درجه چند جمله ای انجام می شود که با این روش به طور دقیق و بدون خطا ادغام می شود. هر چه درجه چنین چندجمله ای بیشتر باشد، دقت روش بیشتر باشد، موثرتر است.
ساده ترین روش ها شامل روش ها می شود مستطیل ها(چپ و راست) و ذوزنقه ایدر حالت اول، انتگرال با یک خط مستقیم افقی (y = c0) با مقدار ارتین، یعنی. مقادیر تابع به ترتیب در سمت چپ یا راست بخش قرار دارند، در مورد دوم - یک خط مستقیم مایل (y = c 1 x + c 0). فرمول های ادغام برای تقسیم قطعه [a, b] به n قسمت با گام یکنواخت h به ترتیب به شکل زیر است:
برای یک بخش از ادغام:
برای پحوزه های ادغام:
به راحتی می توان فهمید که در روش مستطیل، انتگرال را می توان با دقت مطلق تنها زمانی محاسبه کرد f(x) = با(const)، و در روش ذوزنقه - با f(ایکس) خطی یا تکه ای خطی.
در شکل برای مقایسه، شکل 4 نمونه هایی از مستطیل ها را با تعداد مقاطع مختلف نشان می دهد. به وضوح مشاهده می شود که مساحت تمام مستطیل ها در شکل سمت راست با مساحت زیر منحنی کمتر متفاوت است. f(x)نسبت به سمت چپ
برنج. 4. تصویر روش مستطیل سمت چپ:
آ- با 3 بخش پارتیشن از بخش ادغام [الف، ب]؛
ب- با 6 بخش پارتیشن از بخش ادغام [الف، ب]
روش مستطیل ها را پیدا نمی کند کاربرد عملیبه دلیل خطاهای قابل توجه که از شکل 1 نیز مشهود است. 4.
در شکل شکل 5 نمونه ای از محاسبه انتگرال با استفاده از روش ذوزنقه ای را نشان می دهد. در مقایسه با روش مستطیل، روش ذوزنقه دقیق تر است، زیرا ذوزنقه با دقت بیشتری نسبت به مستطیل جایگزین ذوزنقه منحنی متناظر می شود. شکل 5.
خطا آرمحاسبه انتگرال به روش ذوزنقه ای با استفاده از محاسبه دوگانه در عمل می تواند از رابطه زیر مشخص شود:
جایی که که درو من p/2- به ترتیب، مقدار انتگرال با تعداد پارتیشن ها پو p/2.عبارات تحلیلی نیز برای تعیین خطا وجود دارد، اما آنها نیاز به دانش مشتق دوم انتگرال دارند و بنابراین فقط اهمیت نظری دارند. با استفاده از محاسبه مضاعف، می توان انتخاب خودکار مرحله ادغام (یعنی تعداد پارتیشن های n) را سازماندهی کرد تا از خطای ادغام داده شده اطمینان حاصل شود (دوبرابر کردن مرحله و کنترل خطا).
با استفاده از روش مستطیل چپ بدست می آوریم:
با استفاده از روش مستطیل راست به دست می آوریم:
با روش ذوزنقه ای به دست می آوریم:
روش ذوزنقه اییکی از روش های یکپارچه سازی عددی است. این به شما امکان می دهد انتگرال های معین را با درجه ای از دقت از پیش تعیین شده محاسبه کنید.
ابتدا ماهیت روش ذوزنقه ای را شرح می دهیم و فرمول ذوزنقه ای را استخراج می کنیم. بعد برآورد را یادداشت می کنیم خطای مطلقروش و تجزیه و تحلیل جزئیات حل نمونه های معمولی. در پایان بیایید روش ذوزنقه ای را با روش مستطیل مقایسه کنیم.
پیمایش صفحه.
ماهیت روش ذوزنقه ای.
اجازه دهید کار زیر را برای خود تعیین کنیم: اجازه دهید تقریباً یک انتگرال معین را محاسبه کنیم، که در آن تابع انتگرال y=f(x) بر روی قطعه پیوسته است.
بیایید قطعه را به n بازه مساوی به طول h با نقاط تقسیم کنیم. در این حالت، مرحله پارتیشن را پیدا می کنیم و همچنین گره ها را از برابری تعیین می کنیم.
اجازه دهید انتگرال را در بخش های ابتدایی در نظر بگیریم 
.
چهار حالت ممکن وجود دارد (شکل ساده ترین آنها را نشان می دهد که همه چیز با افزایش بی نهایت n پایین می آید):
در هر بخش بیایید تابع y=f(x) را با یک پاره خط مستقیم که از نقاط دارای مختصات و . بیایید آنها را در شکل با خطوط آبی به تصویر بکشیم:
به عنوان مقدار تقریبی انتگرال، عبارت را در نظر می گیریم 
یعنی قبول کنیم 
.
بیایید بفهمیم معنی آن در چیست حس هندسیبرابری تقریبی نوشته شده است. این امر درک اینکه چرا روش یکپارچه سازی عددی مورد بررسی را روش ذوزنقه ای می نامند، ممکن می سازد.
می دانیم که مساحت ذوزنقه حاصلضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع است. بنابراین، در حالت اول، مساحت ذوزنقه منحنی تقریباً برابر با مساحت ذوزنقه با پایه است. 
و ارتفاع h، در حالت دوم انتگرال معین تقریباً است برابر مساحتذوزنقه با پایه 
و ارتفاع h با علامت منفی گرفته شده است. در حالت دوم و سوم، مقدار تقریبی انتگرال معینبرابر است با تفاوت بین مساحت مناطق قرمز و آبی نشان داده شده در شکل زیر.
بدین ترتیب به آن می رسیم ماهیت روش ذوزنقه ای، که شامل نمایش یک انتگرال معین به عنوان مجموع انتگرال های شکل در هر بخش ابتدایی و در جایگزینی تقریبی بعدی است. .
فرمول روش ذوزنقه ای.
به موجب خاصیت پنجم انتگرال معین 
.
اگر مقادیر تقریبی آنها را به جای انتگرال ها جایگزین کنیم، دریافت می کنیم: 
برآورد خطای مطلق روش ذوزنقه ای.
خطای مطلق روش ذوزنقه ایبه عنوان برآورد می شود
.
تصویر گرافیکی روش ذوزنقه.
بدهیم تصویر گرافیکی روش ذوزنقه:
نمونه هایی از محاسبه تقریبی انتگرال های معین به روش ذوزنقه ای.
اجازه دهید به مثال هایی از استفاده از روش ذوزنقه ای در محاسبه تقریبی انتگرال های معین نگاه کنیم.
به طور عمده دو نوع کار وجود دارد:
- یا یک انتگرال معین را با استفاده از روش ذوزنقه ای برای تعداد معینی از پارتیشن های قطعه n محاسبه کنید،
- یا مقدار تقریبی یک انتگرال معین را با دقت لازم بیابید.
لازم به ذکر است که برای یک n معین، محاسبات میانی باید با دقت کافی انجام شود و هر چه n بزرگتر باشد، دقت محاسبات باید بیشتر باشد.
اگر نیاز به محاسبه یک انتگرال معین با دقت داده شده دارید، به عنوان مثال، تا 0.01، توصیه می کنیم محاسبات میانی را دو تا سه مرتبه با دقت بیشتری انجام دهید، یعنی تا 0.0001 - 0.00001. اگر دقت مشخص شده در n بزرگ به دست آید، محاسبات میانی باید با دقت بالاتری انجام شود.
به عنوان مثال، یک انتگرال معین را می گیریم که مقدار آن را می توانیم با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه کنیم تا بتوانیم این نتیجه را با مقدار تقریبی به دست آمده از روش ذوزنقه ای مقایسه کنیم.
بنابراین، 
.
مثال.
انتگرال معین را با استفاده از روش ذوزنقه ای برای n = 10 محاسبه کنید.
راه حل.
فرمول روش ذوزنقه ای شکل دارد 
. یعنی برای استفاده از آن، فقط باید گام h را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم، گره ها را تعیین کنیم و مقادیر مربوطه انتگرال را محاسبه کنیم.
بیایید مرحله پارتیشن را محاسبه کنیم: 
.
گره ها را تعریف می کنیم و مقادیر انتگرال را در آنها محاسبه می کنیم (چهار رقم اعشار می گیریم): 
برای راحتی، نتایج محاسبات در قالب یک جدول ارائه شده است:
ما آنها را در فرمول روش ذوزنقه ای جایگزین می کنیم: 
مقدار حاصل منطبق بر صدم مقدار محاسبه شده با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس است.
مثال.
انتگرال معین را محاسبه کنید 
با استفاده از روش ذوزنقه ای با دقت 0.01.
راه حل.
چه چیزی از شرط داریم: a = 1; b = 2 ; 
.
در این مورد، اولین کاری که انجام می دهیم این است که تعداد نقاط پارتیشن بخش ادغام، یعنی n را پیدا کنیم. ما می توانیم این کار را با استفاده از نابرابری برای تخمین خطای مطلق انجام دهیم 
. بنابراین، اگر n را پیدا کنیم که نابرابری برای آن برقرار است 
، سپس فرمول ذوزنقه ای برای n داده شده مقدار تقریبی یک انتگرال معین را با دقت لازم به ما می دهد.
بیا اول پیداش کنیم بالاترین ارزشمدول دومین مشتق تابع در بازه 
مشتق دوم تابع است سهمی درجه دوم، از خواص آن می دانیم که مثبت و بر روی قطعه است، بنابراین 
. همانطور که می بینید، در مثال ما فرآیند یافتن بسیار ساده است. در موارد پیچیده تر، به بخش مراجعه کنید. اگر پیدا کردن آن بسیار دشوار است، پس از این مثال، یک روش جایگزین برای عمل ارائه خواهیم داد.
به نابرابری خود برگردیم و مقدار حاصل را با آن جایگزین کنید:
زیرا n یک عدد طبیعی است (n تعداد بازه های ابتدایی است که بخش انتگرال گیری به آنها تقسیم می شود)، سپس می توانیم n = 6، 7، 8، ... را بگیریم n = 6. این به ما امکان می دهد تا با حداقل محاسبات به دقت مورد نیاز روش ذوزنقه ای دست یابیم (اگرچه در مورد ما با n = 10 انجام محاسبات به صورت دستی راحت تر است).
بنابراین، n پیدا می شود، اکنون مانند مثال قبلی ادامه می دهیم.
محاسبه مرحله: 
.
گره های شبکه و مقادیر انتگرال را در آنها پیدا می کنیم: 
بیایید نتایج محاسبات را در جدول وارد کنیم: 
ما نتایج به دست آمده را با فرمول ذوزنقه ای جایگزین می کنیم: 
بیایید انتگرال اصلی را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس برای مقایسه مقادیر محاسبه کنیم: 
بنابراین دقت لازم به دست آمده است.
لازم به ذکر است که یافتن عدد n از نابرابری برای تخمین خطای مطلق، به خصوص برای انتگرال ها، روش چندان ساده ای نیست. نوع پیچیده. بنابراین منطقی است که به روش زیر متوسل شوید.
مقدار تقریبی انتگرال قطعی به دست آمده با استفاده از روش ذوزنقه ای برای n گره با نشان داده می شود.
ما یک عدد دلخواه n را انتخاب می کنیم، به عنوان مثال n = 10. با استفاده از فرمول روش ذوزنقه ای، انتگرال اصلی را برای n = 10 و برای دو برابر تعداد گره ها، یعنی برای n = 20 محاسبه می کنیم. ما قدر مطلق تفاوت بین دو مقدار تقریبی به دست آمده را پیدا می کنیم. اگر کمتر از دقت لازم باشد 
، سپس محاسبات را متوقف می کنیم و مقدار را به عنوان مقدار تقریبی انتگرال معین می گیریم و ابتدا آن را به ترتیب دقت مورد نیاز گرد کرده ایم. در غیر این صورت تعداد گره ها را دوبرابر می کنیم (40=n می گیریم) و مراحل را تکرار می کنیم.
روش ذوزنقه ای یکی از روش های یکپارچه سازی عددی است. این به شما امکان می دهد انتگرال های معین را با درجه ای از دقت از پیش تعیین شده محاسبه کنید.
بیایید کار زیر را برای خود تعیین کنیم: اجازه دهید به طور تقریبی یک انتگرال معین را محاسبه کنیم، جایی که انتگرال است. y=f(x)پیوسته روشن
بخش .
بیایید بخش را تقسیم کنیم بر nفواصل طول مساوی ساعتنقطه ها در این حالت، مرحله پارتیشن را پیدا می کنیم و تعیین می کنیم که کدام گره ها از تساوی هستند.
اجازه دهید انتگرال را در بخش های ابتدایی در نظر بگیریم 
.
چهار مورد ممکن است (شکل ساده ترین آنها را نشان می دهد که همه چیز با بزرگنمایی بی نهایت کاهش می یابد. n):
در هر بخش 
تابع را جایگزین کنید y=f(x)پاره خط مستقیمی که از نقاطی با مختصات و. بیایید آنها را در شکل با خطوط آبی به تصویر بکشیم:
به عنوان مقدار تقریبی انتگرال، عبارت را در نظر می گیریم 
یعنی قبول کنیم 
.
بیایید دریابیم که تساوی تقریبی نوشته شده به معنای هندسی چیست. این امر درک اینکه چرا روش یکپارچه سازی عددی مورد بررسی را روش ذوزنقه ای می نامند، ممکن می سازد.
می دانیم که مساحت ذوزنقه حاصلضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع است. بنابراین، در حالت اول، مساحت ذوزنقه منحنی تقریباً برابر با مساحت ذوزنقه با پایه است. 
و ارتفاع ساعت، در مورد اخیر انتگرال معین تقریباً برابر با مساحت ذوزنقه با قاعده است. 
و ارتفاع ساعت، با علامت منفی گرفته شده است. در حالت دوم و سوم، مقدار تقریبی انتگرال معین برابر است با اختلاف مساحت مناطق قرمز و آبی نشان داده شده در شکل زیر.
بدین ترتیب به آن می رسیم ماهیت روش ذوزنقه ای، که شامل نمایش یک انتگرال معین به شکل مجموع انتگرال هایی است که در هر بخش ابتدایی و در جایگزینی تقریبی بعدی مشاهده می شود. 
.
فرمول روش ذوزنقه ای.
به موجب خاصیت پنجم انتگرال معین 
.
اگر مقادیر تقریبی آنها را به جای انتگرال جایگزین کنیم، دریافت می کنیم فرمول روش ذوزنقه ای:
برآورد خطای مطلق روش ذوزنقه ای.
خطای مطلق روش ذوزنقه ایبه عنوان ارزیابی می شود.
تصویر گرافیکی روش ذوزنقه.
3. روش سیمپسون (پارابولا)
این یک روش پیشرفته تر است - نمودار انتگرال نه با یک خط شکسته، بلکه با سهمی های کوچک تقریب می شود. به تعداد قطعات میانی سهمی کوچک وجود دارد. اگر همان سه بخش را در نظر بگیریم، روش سیمپسون حتی تقریب دقیق تری نسبت به روش مستطیل یا ذوزنقه ارائه می دهد.
اجازه دهید تابع y = f(x)پیوسته در بخش و باید انتگرال معین را محاسبه کنیم.
بیایید بخش را تقسیم کنیم بر nبخش های ابتدایی طول توسط نقاط. بگذارید نقاط به ترتیب وسط قسمت ها باشند. در این مورد، تمام "گره ها" از برابری تعیین می شوند.
ماهیت روش سهمی.
در هر بازه، انتگرال با یک سهمی درجه دوم تقریب می شود 
، از نقاط عبور می کند. از این رو نام روش - روش سهمی است.
این کار به منظور در نظر گرفتن مقدار تقریبی یک انتگرال معین انجام می شود 
که می توانیم با استفاده از فرمول نیوتن لایبنیتس محاسبه کنیم. این چیزی است که همه چیز در مورد آن است ماهیت روش سهمی.
از نظر هندسی به این صورت است:
تصویر گرافیکی روش سهمی (سیمپسون).
خط قرمز نمودار تابع را نشان می دهد y=f(x)، خط آبی تقریب نمودار تابع را نشان می دهد y=f(x)سهمی های درجه دوم در هر بخش ابتدایی پارتیشن.
استخراج فرمول روش سیمپسون (پارابولا).
به موجب خاصیت پنجم انتگرال معین، داریم.
برای بدست آوردن فرمول روش سهمی (سیمپسون) فقط باید محاسبه کنیم 
.
اجازه دهید (ما همیشه می توانیم با انجام تبدیل شیفت هندسی مربوطه برای هر کدام به این موضوع برسیم i = 1، 2، ...، n).
بیایید یک نقاشی بکشیم.
اجازه دهید نشان دهیم که فقط یک سهمی درجه دوم از نقاط عبور می کند 
. به عبارت دیگر، ثابت می کنیم که ضرایب به روشی منحصر به فرد تعیین می شوند.
محاسبه انتگرال ها با استفاده از فرمول مستطیل ها، ذوزنقه ها و فرمول سیمپسون. تخمین خطا
رهنمودهادر مبحث 4.1:
محاسبه انتگرال ها با استفاده از فرمول های مستطیل. تخمین خطا:
حل بسیاری از مشکلات فنی به محاسبه انتگرال های معینی ختم می شود که بیان دقیق آنها پیچیده است، نیاز به محاسبات طولانی دارد و همیشه در عمل توجیه نمی شود. در اینجا مقدار تقریبی آنها کاملاً کافی است. به عنوان مثال، شما باید مساحت را محاسبه کنید محدود به یک خط، که معادله آن مجهول است، محور ایکسو دو دستور. در این صورت می توانید این خط را با خط ساده تری که معادله آن مشخص است جایگزین کنید. مساحت ذوزنقه منحنی به دست آمده از این طریق به عنوان مقدار تقریبی انتگرال مورد نظر در نظر گرفته می شود. از نظر هندسی، ایده روش محاسبه انتگرال معین با استفاده از فرمول مستطیل این است که مساحت یک ذوزنقه منحنی A 1 ABC 1با مساحت یک مستطیل مساوی جایگزین می شود A 1 A 2 B 1 B 2، که با قضیه مقدار میانگین برابر است با
جایی که f(c) --- ارتفاعمستطیل A 1 A 2 B 1 B 2،نشان دهنده مقدار انتگرال در یک نقطه میانی است ج (الف< c
یافتن چنین ارزشی تقریباً دشوار است با، که در آن (ب-الف) و (ج)دقیقا برابر خواهد بود. برای بدست آوردن مقدار دقیق تر، مساحت ذوزنقه منحنی به دو قسمت تقسیم می شود nمستطیل هایی که ارتفاع آنها برابر است y 0، y 1، y 2، …، y n -1و زمینه ها
اگر مساحت مستطیل هایی را که مساحت ذوزنقه منحنی را با یک نقطه ضعف می پوشانند جمع کنیم، تابع کاهش نمی یابد، سپس به جای فرمول از فرمول استفاده می کنیم.
اگر بیش از حد، پس
ارزش ها از برابری ها بدست می آیند. این فرمول ها نامیده می شوند فرمول های مستطیلیو یک نتیجه تقریبی ارائه کنید. با افزایش nنتیجه دقیق تر می شود
مثال 1 . با استفاده از فرمول مستطیل محاسبه کنید
اجازه دهید فاصله ادغام را به 5 قسمت تقسیم کنیم. سپس . با استفاده از یک ماشین حساب یا جدول، مقادیر انتگرال (با دقت تا 4 رقم اعشار) را پیدا می کنیم:
طبق فرمول مستطیل ها (با عیب)
از طرفی طبق فرمول نیوتن لایب نیتس
بیایید خطای نسبی محاسبه را با استفاده از فرمول مستطیل پیدا کنیم:
محاسبه انتگرال ها با استفاده از فرمول ذوزنقه ای. تخمین خطا:
معنای هندسی روش زیر برای محاسبه تقریبی انتگرال ها، یافتن مساحت ذوزنقه "مستطبق" تقریباً مساوی است.
اجازه دهید محاسبه مساحت لازم باشد 1 AmBB 1ذوزنقه منحنی، که با فرمول بیان می شود.
بیایید قوس را جایگزین کنیم AmBوتر ABو به جای مساحت ذوزنقه منحنی 1 AmBB 1مساحت ذوزنقه را محاسبه کنید A 1 ABB 1: 
، جایی که AA 1و BB 1 - پایه های ذوزنقه، و A 1 B 1- ارتفاع آن
بیایید نشان دهیم f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.ارتفاع ذوزنقه A 1 B 1 =b-a،مربع 
. از این رو، 
یا
این به اصطلاح است فرمول ذوزنقه ای کوچک.
امروز با یکی دیگر از روش های یکپارچه سازی عددی یعنی روش ذوزنقه ای آشنا می شویم. با کمک آن، انتگرال های معین را با درجه ای از دقت محاسبه می کنیم. در مقاله ماهیت روش ذوزنقه ای را شرح می دهیم، نحوه استخراج فرمول را تجزیه و تحلیل می کنیم، روش ذوزنقه ای را با روش مستطیل مقایسه می کنیم و تخمینی از خطای مطلق روش را می نویسیم. ما هر بخش را با مثال هایی برای درک عمیق تر مطالب توضیح خواهیم داد.
Yandex.RTB R-A-339285-1
فرض کنید که باید تقریباً انتگرال معین ∫ a b f (x) d x را محاسبه کنیم که انتگرال آن y = f (x) در بازه [a ; ب ] . برای انجام این کار، بخش [a; b ] به چندین بازه مساوی به طول h با نقاط a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
بیایید مرحله پارتیشن را پیدا کنیم: h = b - a n. بیایید گره ها را از برابری x i = a + i · h, i = 0, 1, تعیین کنیم. . . ، n.
در بخش های ابتدایی تابع انتگرال x i - 1 را در نظر می گیریم . x i، i = 1، 2، . . ، n.
با افزایش بی نهایت n، همه موارد را به چهار گزینه ساده کاهش می دهیم:
اجازه دهید بخش های x i - 1 را انتخاب کنیم . x i، i = 1، 2، . . . ، n. اجازه دهید تابع y = f (x) را در هر یک از نمودارها با یک پاره خط مستقیم جایگزین کنیم که از نقاط دارای مختصات x i - 1 می گذرد. f x i - 1 و x i ; f x i . بیایید آنها را با رنگ آبی در تصاویر مشخص کنیم.
اجازه دهید عبارت f (x i - 1) + f (x i) 2 · h را به عنوان مقدار تقریبی انتگرال ∫ x i - 1 x i f (x) d x در نظر بگیریم. آن ها بیایید ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h را در نظر بگیریم.
بیایید ببینیم که چرا روش یکپارچه سازی عددی مورد مطالعه ما، روش ذوزنقه ای نامیده می شود. برای این کار باید بفهمیم تساوی تقریبی نوشته شده از نظر هندسی به چه معناست.
برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید نصف مجموع پایه های آن را در ارتفاع آن ضرب کرد. در حالت اول، مساحت یک ذوزنقه منحنی تقریباً برابر با یک ذوزنقه با پایه های f (x i - 1)، f (x i) ارتفاع h است. در چهارمین موردی که در نظر می گیریم، انتگرال داده شده ∫ x i - 1 x f (x) d x تقریبا برابر است با مساحت ذوزنقه با پایه - f (x i - 1)، - f (x i) و ارتفاع. h که باید با علامت "-" گرفته شود. برای محاسبه مقدار تقریبی انتگرال معین ∫ x i - 1 x i f (x) d x در حالت دوم و سوم در نظر گرفته شده، باید تفاوت مساحت ناحیه های قرمز و آبی را پیدا کنیم که با علامت گذاری کردیم. جوجه ریزی در شکل زیر
بیایید خلاصه کنیم. ماهیت روش ذوزنقه ای به شرح زیر است: می توانیم یک انتگرال معین ∫ a b f (x) d x را به عنوان مجموع انتگرال های شکل ∫ x i - 1 x i f (x) d x در هر قطعه ابتدایی و در جایگزینی تقریبی بعدی نشان دهیم. x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.
فرمول روش ذوزنقه ای
اجازه دهید پنجمین خاصیت انتگرال معین را به یاد بیاوریم: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . برای به دست آوردن فرمول روش ذوزنقه ای، باید مقادیر تقریبی آنها را به جای انتگرال های ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n جایگزین کرد ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
تعریف 1
فرمول روش ذوزنقه ای:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
برآورد خطای مطلق روش ذوزنقه ای
اجازه دهید خطای مطلق روش ذوزنقه ای را به صورت زیر تخمین بزنیم:
تعریف 2
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2
یک تصویر گرافیکی از روش ذوزنقه ای در شکل نشان داده شده است:
مثال های محاسباتی
بیایید به مثال هایی از استفاده از روش ذوزنقه ای برای محاسبه تقریبی انتگرال های معین نگاه کنیم. ما به دو نوع کار توجه ویژه ای خواهیم داشت:
- محاسبه یک انتگرال معین با روش ذوزنقه ای برای یک عدد پارتیشن معین از یک قطعه n.
- یافتن مقدار تقریبی یک انتگرال معین با دقت مشخص.
برای یک n معین، تمام محاسبات میانی باید با درجه دقت کافی انجام شوند. دقت محاسبات باید بیشتر باشد، n بزرگتر.
اگر در محاسبه انتگرال معین دقت مشخصی داشته باشیم، آنگاه تمام محاسبات میانی باید دو یا چند مرتبه قدر با دقت بیشتری انجام شوند. به عنوان مثال، اگر دقت روی 0.01 تنظیم شده باشد، محاسبات میانی را با دقت 0.0001 یا 0.00001 انجام می دهیم. برای n بزرگ، محاسبات میانی باید با دقت بالاتری انجام شود.
بیایید با یک مثال به قانون فوق نگاه کنیم. برای انجام این کار، مقادیر انتگرال معین را که با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه شده و با استفاده از روش ذوزنقه ای به دست آمده است، مقایسه کنید.
بنابراین، ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9، 613805.
مثال 1
با استفاده از روش ذوزنقه ای، انتگرال معین ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x را برای n برابر با 10 محاسبه می کنیم.
راه حل
فرمول روش ذوزنقه ای ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) است.
برای اعمال فرمول، باید مرحله h را با استفاده از فرمول h = b - a n محاسبه کنیم، گره های x i = a + i · h، i = 0، 1، را تعیین کنیم. . . ، n، مقادیر تابع انتگرال f (x) = 7 x 2 + 1 را محاسبه کنید.
مرحله پارتیشن بندی به صورت زیر محاسبه می شود: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5 . برای محاسبه انتگرال در گره های x i = a + i · h، i = 0، 1، . . . ، n چهار رقم اعشار می گیریم:
i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0، 2692
بیایید نتایج محاسبات را در جدول وارد کنیم:
| من | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
بیایید مقادیر به دست آمده را در فرمول روش ذوزنقه ای جایگزین کنیم: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0، 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117
بیایید نتایج خود را با نتایج محاسبه شده با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس مقایسه کنیم. مقادیر به دست آمده با صدم منطبق است.
پاسخ:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
مثال 2
با استفاده از روش ذوزنقه ای، مقدار انتگرال معین ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x را با دقت 0.01 محاسبه می کنیم.
راه حل
با توجه به شرط مسئله a = 1; b = 2، f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0.01.
اجازه دهید با استفاده از نابرابری برای تخمین خطای مطلق δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . ما این کار را به صورت زیر انجام خواهیم داد: مقادیر n را پیدا می کنیم که برای آنها نابرابری m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01. با توجه به n، فرمول ذوزنقه ای یک مقدار تقریبی از انتگرال معین را با دقت معین به ما می دهد.
ابتدا، بیایید بزرگترین مقدار مدول دومین مشتق تابع را در بازه [1; 2].
f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
تابع مشتق دوم یک سهمی درجه دوم f "" (x) = x 2 است. از خواص آن می دانیم که مثبت است و در بازه زمانی افزایش می یابد [1; 2]. در این رابطه m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
در مثال داده شده، فرآیند یافتن m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) بسیار ساده بود. در موارد پیچیده، می توانید از بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع برای انجام محاسبات استفاده کنید. پس از در نظر گرفتن این مثال، یک روش جایگزین برای یافتن m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
اجازه دهید مقدار حاصل را با نامساوی m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01
4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0.01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5.7735
تعداد فواصل ابتدایی که بخش انتگرال n به آنها تقسیم می شود یک عدد طبیعی است. برای رفتار محاسباتی، n برابر با شش می گیریم. این مقدار n به ما این امکان را می دهد که با حداقل محاسبات به دقت مشخص شده روش ذوزنقه ای دست پیدا کنیم.
بیایید گام را محاسبه کنیم: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6.
بیایید گره های x i = a + i · h، i = 1، 0، را پیدا کنیم. . . ، n ، مقادیر انتگرال را در این گره ها تعیین می کنیم:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0، 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0.5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1.9833
نتایج محاسبات را به صورت جدول می نویسیم:
| من | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
بیایید نتایج به دست آمده را با فرمول ذوزنقه ای جایگزین کنیم:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 ≈ 1.0054
برای مقایسه، انتگرال اصلی را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه می کنیم:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
همانطور که می بینید، ما به دقت محاسباتی دست یافته ایم.
پاسخ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1.0054
برای انتگرال‌های شکل مختلط، یافتن عدد n از نابرابری برای تخمین خطای مطلق همیشه آسان نیست. در این صورت روش زیر مناسب خواهد بود.
اجازه دهید مقدار تقریبی انتگرال معین را که با استفاده از روش ذوزنقه ای برای n گره به دست آمده است، به عنوان I n نشان دهیم. بیایید یک عدد دلخواه n را انتخاب کنیم. با استفاده از فرمول روش ذوزنقه ای، انتگرال اولیه را برای یک تعداد گره منفرد (n = 10) و دو برابر (n = 20) محاسبه می کنیم و قدر مطلق تفاوت بین دو مقدار تقریبی به دست آمده را پیدا می کنیم - I 20 - من 10.
اگر قدر مطلق تفاوت بین دو مقدار تقریبی به دست آمده کمتر از دقت مورد نیاز باشد I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
اگر قدر مطلق اختلاف بین دو مقدار تقریبی به دست آمده بیشتر از دقت لازم باشد، لازم است مراحل را با دو برابر تعداد گره ها (n=40) تکرار کنید.
این روش به محاسبات زیادی نیاز دارد، بنابراین عاقلانه است که از فناوری رایانه برای صرفه جویی در زمان استفاده کنید.
بیایید با استفاده از الگوریتم بالا مشکل را حل کنیم. به منظور صرفه جویی در زمان، محاسبات میانی را با استفاده از روش ذوزنقه ای حذف می کنیم.
مثال 3
محاسبه انتگرال معین ∫ 0 2 x e x d x با استفاده از روش ذوزنقه ای با دقت 0.001 ضروری است.
راه حل
n را برابر با 10 و 20 در نظر بگیرید. با استفاده از فرمول ذوزنقه ای، I 10 = 8.4595380، I 20 = 8.4066906 را به دست می آوریم.
I 20 - I 10 = 8، 4066906 - 8، 4595380 = 0، 0528474 > 0، 001، که نیاز به محاسبات بیشتری دارد.
بیایید n را برابر با 40 در نظر بگیریم: I 40 = 8، 3934656.
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001 که این نیز مستلزم ادامه محاسبات است.
بیایید n را برابر 80 در نظر بگیریم: I 80 = 8، 3901585.
I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001، که نیاز به دو برابر شدن مجدد تعداد گره ها دارد.
بیایید n را برابر با 160 در نظر بگیریم: I 160 = 8، 3893317.
I 160 - I 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001
مقدار تقریبی انتگرال اصلی را می توان با گرد کردن I 160 = 8, 3893317 به هزارم بدست آورد: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.
برای مقایسه، بیایید انتگرال قطعی اصلی را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه کنیم: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8، 3890561. دقت لازم به دست آمده است.
پاسخ: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
خطاها
محاسبات میانی برای تعیین مقدار یک انتگرال معین عمدتاً تقریباً انجام می شود. این بدان معنی است که با افزایش n، خطای محاسباتی شروع به جمع شدن می کند.
بیایید تخمین های خطاهای مطلق روش ذوزنقه ای و روش مستطیل متوسط را با هم مقایسه کنیم:
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .
روش مستطیل برای یک n معین با همان مقدار کار محاسباتی نصف خطا را می دهد. این روش را در مواردی که مقادیر تابع در بخش‌های میانی بخش‌های ابتدایی مشخص است، ترجیح می‌دهد.
در مواردی که توابع قابل ادغام به صورت تحلیلی مشخص نشده اند، اما به عنوان مجموعه ای از مقادیر در گره ها، می توانیم از روش ذوزنقه ای استفاده کنیم.
اگر دقت روش ذوزنقه ای و روش مستطیل راست و چپ را با هم مقایسه کنیم، روش اول در دقت نتیجه بر روش دوم برتری دارد.
در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید
بارگذاری...