یافتن مثال‌هایی از نقاط افراطی مشروط بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک ناحیه بسته

افراطی مشروط.

مادون تابعی از چند متغیر

روش حداقل مربعات

اکستروم محلی FNP

اجازه دهید تابع و= f(پ)، RÎDÌR nو نقطه Р 0 را بگذارید ( آ 1 , آ 2 , ..., یک صفحه) –درونی؛ داخلینقطه مجموعه D.

تعریف 9.4.

1) نقطه P 0 نامیده می شود حداکثر امتیاز کارکرد و= f(P) اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد U(P 0) Ì D به طوری که برای هر نقطه P( ایکس 1 , ایکس 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , شرایط f(P) پوند f(P0). معنی f(P 0) توابع در نقطه حداکثر فراخوانی می شود حداکثر عملکرد و نشان داد f(P 0) = حداکثر f(پ) .

2) نقطه P 0 نامیده می شود حداقل امتیاز کارکرد و= f(P) اگر همسایگی این نقطه U(P 0)Ì D وجود داشته باشد به طوری که برای هر نقطه P( ایکس 1 , ایکس 2 , ..., x n)нU(P 0)، Р¹Р 0، شرایط f(P)³ f(P0). معنی f(P 0) توابع در نقطه حداقل فراخوانی می شود حداقل عملکرد و نشان داد f(P 0) = حداقل f(پ).

حداقل و حداکثر نقاط یک تابع نامیده می شود نقاط افراطی، مقادیر تابع در نقاط انتهایی نامیده می شود عملکرد افراطی

همانطور که از تعریف بر می آید، نابرابری ها f(P) پوند f(P0) ، f(P)³ f(P 0) باید فقط در یک همسایگی معین از نقطه P 0 انجام شود و نه در کل دامنه تابع، به این معنی که تابع می تواند چندین منتهی از یک نوع (چند حداقل، چند ماکسیما) داشته باشد. بنابراین، اکسترم های تعریف شده در بالا نامیده می شوند محلیافراط (محلی).

قضیه 9.1 (شرط لازم برای اکستریم FNP)

اگر تابع و= f(ایکس 1 , ایکس 2 , ..., x n) در نقطه P 0 انتها دارد، سپس مشتقات جزئی مرتبه اول آن در این نقطه یا برابر با صفر هستند یا وجود ندارند.

اثباتبگذارید در نقطه Р 0 ( آ 1 , آ 2 , ..., یک صفحه) عملکرد و= f(P) یک افراط دارد، مانند حداکثر. بیایید استدلال ها را درست کنیم ایکس 2 , ..., x n، قرار دادن ایکس 2 =آ 2 ,..., x n = یک صفحه. سپس و= f(P) = f 1 ((ایکس 1 , آ 2 , ..., یک صفحه) تابعی از یک متغیر است ایکسیکی . از آنجایی که این تابع دارد ایکس 1 = آ 1 extremum (حداکثر)، سپس f 1 ¢=0 یا زمانی که وجود ندارد ایکس 1 =آ 1 (شرط لازم برای وجود یک تابع از یک متغیر). اما در نقطه P 0 وجود دارد یا وجود ندارد - نقطه افراط. به طور مشابه، می توانیم مشتقات جزئی را با توجه به سایر متغیرها در نظر بگیریم. CHTD.

نقاط دامنه تابعی که مشتقات جزئی مرتبه اول برابر با صفر هستند یا وجود ندارند نامیده می شوند. نقاط بحرانی این تابع

همانطور که از قضیه 9.1 بر می آید، نقاط انتهایی FNP را باید در میان نقاط بحرانی تابع جستجو کرد. اما در مورد تابعی از یک متغیر نه همه نقطه بحرانینقطه افراطی است

قضیه 9.2

فرض کنید Р 0 نقطه بحرانی تابع باشد و= f(P) و دیفرانسیل مرتبه دوم این تابع است. سپس

چه می شود اگر د 2 تو(P 0) > 0 برای، سپس Р 0 یک نقطه است کمترینکارکرد و= f(پ)؛

ب) اگر د 2 تو(P0)< 0 при , то Р 0 – точка بیشترینکارکرد و= f(پ)؛

ج) اگر د 2 تو(P 0) با علامت تعریف نمی شود، سپس P 0 یک نقطه افراطی نیست.

ما این قضیه را بدون اثبات در نظر می گیریم.

توجه داشته باشید که قضیه زمانی را در نظر نمی گیرد د 2 تو(P 0) = 0 یا وجود ندارد. این بدان معنی است که سؤال وجود یک اکستروم در نقطه P 0 در چنین شرایطی باز می ماند - مطالعات اضافی مورد نیاز است، به عنوان مثال، مطالعه افزایش تابع در این نقطه.

در دروس ریاضی دقیق تر، ثابت شده است که، به ویژه، برای تابع z = f(ایکس,y) از دو متغیر که دیفرانسیل مرتبه دوم آنها مجموع شکل است

مطالعه وجود یک اکسترموم در نقطه بحرانی Р 0 را می توان ساده کرد.

مشخص کن ، ، . تعیین کننده را بنویسید

معلوم میشود:

د 2 z> 0 در نقطه P 0، یعنی. P 0 - حداقل امتیاز، اگر آ(P 0) > 0 و D(P 0) > 0;

د 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если آ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

اگر D(P 0)< 0, то د 2 zدر مجاورت نقطه Р 0 علامت تغییر می کند و در نقطه Р 0 اکستروموم وجود ندارد.

اگر D(Р 0) = 0 باشد، مطالعات اضافی در مورد تابع در مجاورت نقطه بحرانی Р 0 نیز مورد نیاز است.

بنابراین، برای تابع z = f(ایکس,y) دو متغیر، الگوریتم زیر را داریم (الگوریتم D) را برای یافتن اکسترموم داریم:

1) دامنه تعریف D( f) کارکرد.

2) نقاط بحرانی را پیدا کنید، یعنی. امتیاز از D( f) که و برابر با صفر هستند یا وجود ندارند.

3) در هر نقطه بحرانی Р 0 شرایط کافی برای اکستروم را بررسی کنید. برای انجام این کار، پیدا کنید ، جایی که ، ، و محاسبه D(Р 0) و ولی(P 0). سپس:

اگر D(Р 0) > 0 باشد، در نقطه Р 0 یک انتها وجود دارد، علاوه بر این، اگر ولی(P 0) > 0 - پس این یک حداقل است، و اگر ولی(P 0)< 0 – максимум;

اگر D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;

اگر D(Р 0) = 0، مطالعات بیشتری مورد نیاز است.

4) مقدار تابع را در نقاط انتهایی پیدا شده محاسبه کنید.

مثال 1.

حداکثر یک تابع را پیدا کنید z = ایکس 3 + 8y 3 – 3xy .

راه حل.دامنه این تابع کل است هواپیمای مختصات. بیایید نقاط بحرانی را پیدا کنیم.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

اجازه دهید تحقق شرایط افراطی کافی را بررسی کنیم. بیایید پیدا کنیم

6ایکس, = -3, = 48درو = 288هو – 9.

سپس D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - در نقطه Р 1 یک اکسترموم وجود دارد و از آنجا که ولی(P 1) = 3 > 0، سپس این حد اقل یک حداقل است. پس دقیقه z=z(P1) = .

مثال 2

حداکثر یک تابع را پیدا کنید .

راه حل: D( f) = R 2 . نقاط بحرانی: ; وجود ندارد در در= 0، بنابراین P 0 (0,0) نقطه بحرانی این تابع است.

2, = 0, = , = ، اما D(Р 0) تعریف نشده است، بنابراین مطالعه علامت آن غیرممکن است.

به همین دلیل، اعمال قضیه 9.2 به طور مستقیم غیرممکن است د 2 zدر این مرحله وجود ندارد.

افزایش تابع را در نظر بگیرید f(ایکس, y) در نقطه Р 0 . اگر D f =f(پ)- f(P 0)> 0 "P، سپس P 0 حداقل نقطه است، اگر D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

در مورد خود داریم

D f = f(ایکس, y) – f(0, 0) = f(0+D ایکس 0+D y) – f(0, 0) = .

در D ایکس= 0.1 و D y= -0.008 D را دریافت می کنیم f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dایکس= 0.1 و D y= 0.001 D f= 0.01 + 0.1 > 0، یعنی. در مجاورت نقطه Р 0 نه شرط D f <0 (т.е. f(ایکس, y) < f(0، 0) و بنابراین، P 0 یک نقطه حداکثر نیست، و نه شرط D f> 0 (یعنی f(ایکس, y) > f(0، 0) و سپس Р 0 یک امتیاز حداقل نیست). از این رو، طبق تعریف یک اکسترم، این تابع هیچ اکسترومی ندارد.

افراطی مشروط

حداکثر در نظر گرفته شده تابع نامیده می شود بدون قید و شرط، از آنجایی که هیچ محدودیتی (شرطی) روی آرگومان های تابع اعمال نمی شود.

تعریف 9.2.عملکرد افراطی و = f(ایکس 1 , ایکس 2 , ... , x n)، تحت شرایطی یافت می شود که آرگومان های آن ایکس 1 , ایکس 2 , ... , x nمعادلات j 1 ( ایکس 1 , ایکس 2 , ... , x n) = 0، …، j تی(ایکس 1 , ایکس 2 , ... , x n) = 0، جایی که P ( ایکس 1 , ایکس 2 , ... , x n) О D( f)، نامیده میشود افراطی مشروط .

معادلات j ک(ایکس 1 , ایکس 2 , ... , x n) = 0 , ک = 1, 2,..., متر، نامیده می شوند معادلات اتصال.

توابع را در نظر بگیرید z = f(ایکس,y) از دو متغیر. اگر فقط یک معادله محدودیت وجود داشته باشد، یعنی. ، سپس یافتن یک اکستروم شرطی به این معنی است که حد فاصل نه در کل دامنه تابع، بلکه در برخی از منحنی های واقع در D( f) (یعنی نه بالاترین یا بالاترین نقاط پایینسطوح z = f(ایکس,y) و بالاترین یا پایین ترین نقاط در بین نقاط تقاطع این سطح با استوانه، شکل 5).

حداكثر مشروط تابع z = f(ایکس,y) از دو متغیر را می توان به روش زیر یافت ( روش حذف). از معادله، یکی از متغیرها را به عنوان تابعی از دیگری بیان کنید (مثلا بنویسید) و با جایگزینی این مقدار متغیر به تابع، دومی را به عنوان تابعی از یک متغیر بنویسید (در حالت مورد نظر). ). حداکثر تابع حاصل از یک متغیر را پیدا کنید.

یک شرط کافی برای یک تابع دو متغیر

1. اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های نقطه به طور پیوسته قابل تفکیک باشد و مشتقات جزئی مرتبه دوم پیوسته (خالص و مختلط) داشته باشد.

2. با تعیین کننده مرتبه دوم نشان دهید

تابع سخنرانی متغیر extremum

قضیه

اگر نقطه دارای مختصات یک نقطه ثابت برای تابع باشد، آنگاه:

الف) زمانی که نقطه ای از اکسترمم موضعی باشد و در حداکثر محلی - حداقل محلی باشد.

ج) زمانی که نقطه یک نقطه منتهی محلی نباشد.

ج) اگر، شاید هر دو.

اثبات

ما فرمول تیلور را برای تابع می نویسیم و خود را به دو عضو محدود می کنیم:

از آنجایی که با توجه به شرط قضیه، نقطه ثابت است، مشتقات جزئی مرتبه دوم برابر با صفر هستند، یعنی. و سپس

مشخص کن

سپس افزایش تابع به شکل زیر در می آید:

با توجه به پیوستگی مشتقات جزئی مرتبه دوم (مخلض و مختلط) با توجه به شرط قضیه در یک نقطه می توان نوشت:

کجا یا ،

1. اجازه دهید و، یعنی، یا.

2. افزایش تابع را ضرب می کنیم و بر آن تقسیم می کنیم، به دست می آید:

3. عبارت موجود در پرانتز فرفری را به مربع کامل جمع تکمیل کنید:

4. عبارت در براکت های فرفری غیر منفی است، زیرا

5. بنابراین، اگر و از این رو، و، سپس و بنابراین، طبق تعریف، نقطه یک نقطه حداقل محلی است.

6. اگر و به معنی و، سپس، طبق تعریف، یک نقطه با مختصات یک نقطه حداکثر محلی است.

2. یک مثلث مربع، متمایز آن، را در نظر بگیرید.

3. اگر، پس نقاطی وجود دارد که چند جمله ای

4. افزایش کل تابع در یک نقطه مطابق با عبارت بدست آمده در I به شکل زیر می نویسیم:

5. با توجه به پیوستگی مشتقات جزئی مرتبه دوم، با شرط قضیه در یک نقطه، می توانیم بنویسیم که

بنابراین، همسایگی نقطه ای وجود دارد که برای هر نقطه، مثلث مربع بزرگتر از صفر است:

6. - همسایگی نقطه را در نظر بگیرید.

بیایید هر مقداری را انتخاب کنیم، پس نکته اینجاست. با فرض اینکه در فرمول افزایش تابع

آنچه به دست می آوریم:

7. از آن زمان.

8. با استدلال مشابه برای ریشه، به این نتیجه می رسیم که در هر همسایگی نقطه، نقطه ای وجود دارد که، بنابراین، در همسایگی نقطه علامت را حفظ نمی کند، بنابراین در آن نقطه افراطی وجود ندارد.

حداکثر شرطی یک تابع از دو متغیر

هنگام جستجو برای اکسترم های یک تابع از دو متغیر، اغلب مشکلات مربوط به به اصطلاح اکستروم شرطی ایجاد می شود. این مفهوم را می توان با مثال تابعی از دو متغیر توضیح داد.

اجازه دهید یک تابع و یک خط L در صفحه 0xy داده شود. وظیفه یافتن چنین نقطه ای P (x, y) در خط L است که در آن مقدار تابع در مقایسه با مقادیر این تابع در نقاط خط L واقع در نزدیکی آن بزرگترین یا کوچکترین باشد. نقطه P. به چنین نقاط P، توابع نقاط انتهایی مشروط در خط L گفته می شود. برخلاف نقطه افراطی معمول، مقدار تابع در نقطه منتهی شرطی با مقادیر تابع نه در همه نقاط مقایسه می شود. برخی از محله های آن، اما فقط در محله هایی که در خط L قرار دارند.

کاملاً واضح است که نقطه اکسترمم معمول (افراد غیرشرطی هم می گویند) برای هر خطی که از این نقطه می گذرد نیز نقطه اکستروم شرطی است. برعکس، البته، درست نیست: یک نقطه افراطی مشروط ممکن است یک نقطه افراطی معمولی نباشد. بیایید آنچه گفته شد را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال شماره 1.نمودار تابع نیمکره بالایی است (شکل 2).

برنج. 2.

این تابع در مبدا دارای حداکثر است. با راس M نیمکره مطابقت دارد. اگر خط L یک خط مستقیم باشد که از نقاط A و B (معادله آن) می گذرد، از نظر هندسی مشخص است که برای نقاط این خط بالاترین ارزشتابع در نقطه ای قرار می گیرد که در وسط بین نقاط A و B قرار دارد. این نقطه حداکثر شرطی تابع در این خط است. با نقطه M 1 روی نیمکره مطابقت دارد و از شکل می توان دریافت که در اینجا هیچ گونه افراطی معمولی وجود ندارد.

توجه داشته باشید که در بخش پایانی مسئله یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک منطقه بسته، باید مقادیر اضافی تابع را در مرز این ناحیه پیدا کرد، یعنی. در برخی از خطوط، و در نتیجه حل مشکل برای یک افراط مشروط.

تعریف 1.آنها می گویند جایی که یک حداکثر شرطی یا نسبی (حداقل) در نقطه ای وجود دارد که معادله را برآورده می کند: اگر برای هر چیزی که معادله را برآورده کند، نابرابری

تعریف 2.معادله شکل را معادله محدودیت می گویند.

قضیه

اگر توابع و به طور پیوسته در همسایگی یک نقطه قابل تمایز باشند و مشتق جزئی و نقطه با توجه به معادله قید، نقطه انتهایی شرطی تابع باشند، دترمین مرتبه دوم برابر با صفر است:

اثبات

1. از آنجا که، با توجه به شرط قضیه، مشتق جزئی، و مقدار تابع، پس در یک مستطیل

تابع ضمنی تعریف شده است

یک تابع مختلط از دو متغیر در یک نقطه دارای یک اکسترمم محلی است، بنابراین، یا.

2. در واقع، با توجه به ویژگی عدم تغییر فرمول دیفرانسیل مرتبه اول

3. معادله اتصال را می توان به این شکل نشان داد که به این معنی است

4. معادله (2) و (3) را در ضرب کنید و آنها را جمع کنید

بنابراین، در

دلخواه h.t.d.

نتیجه

جستجوی نقاط حدی شرطی یک تابع از دو متغیر در عمل با حل یک سیستم معادلات انجام می شود.

بنابراین، در مثال بالا شماره 1 از معادله ارتباط داریم. از اینجا به راحتی می توان بررسی کرد که چه چیزی به حداکثر می رسد. اما پس از آن از معادله ارتباطات. نقطه P را که به صورت هندسی یافت می شود، دریافت می کنیم.

مثال شماره 2.نقاط انتهایی شرطی تابع را با توجه به معادله قید پیدا کنید.

بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم عملکرد داده شدهو معادلات اتصال:

بیایید یک تعیین کننده مرتبه دوم بسازیم:

بیایید سیستم معادلات را برای یافتن نقاط حدی شرطی بنویسیم:

از این رو، چهار نقطه انتهایی شرطی تابع با مختصات وجود دارد: .

مثال شماره 3.نقاط انتهایی تابع را پیدا کنید.

برابر کردن مشتقات جزئی با صفر: یک نقطه ثابت - مبدا را پیدا می کنیم. اینجا،. بنابراین، نقطه (0، 0) نیز یک نقطه افراطی نیست. معادله معادله یک سهمی هذلولی است (شکل 3)، شکل نشان می دهد که نقطه (0، 0) یک نقطه افراطی نیست.

برنج. 3.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک ناحیه بسته

1. اجازه دهید تابع در یک دامنه بسته محدود D تعریف شده و پیوسته باشد.

2. اجازه دهید تابع مشتقات جزئی محدودی در این ناحیه داشته باشد، به جز نقاط منفرد منطقه.

3. مطابق با قضیه وایرشتراس، در این ناحیه نقطه ای وجود دارد که تابع بزرگترین و کوچکترین ارزش.

4. اگر این نقاط نقاط داخلی منطقه D باشند، بدیهی است که دارای حداکثر یا حداقل خواهند بود.

5. در این مورد، نقاط مورد علاقه ما از جمله نقاط مشکوک بر روی افراط هستند.

6. با این حال، تابع همچنین می تواند حداکثر یا حداقل مقدار را در مرز منطقه D به خود اختصاص دهد.

7. برای یافتن بزرگترین (کوچکترین) مقدار تابع در ناحیه D، باید تمام نقاط داخلی مشکوک را برای یک اکسترموم پیدا کنید، مقدار تابع را در آنها محاسبه کنید، سپس با مقدار تابع در مقایسه کنید. نقاط مرزی منطقه، و بزرگترین از همه مقادیر یافت شده، بزرگترین در منطقه بسته D خواهد بود.

8. روش یافتن حداکثر یا حداقل محلی قبلاً در بخش 1.2 در نظر گرفته شد. و 1.3.

9. باقی مانده است که روش یافتن مقادیر حداکثر و حداقل تابع در مرز منطقه را در نظر بگیریم.

10. در مورد تابعی از دو متغیر، معمولاً معلوم می شود که ناحیه توسط یک منحنی یا چندین منحنی محدود شده است.

11. در امتداد چنین منحنی (یا چندین منحنی)، متغیرها یا به یکدیگر بستگی دارند، یا هر دو به یک پارامتر بستگی دارند.

12. بنابراین، در مرز، تابع به یک متغیر وابسته است.

13. روش یافتن بزرگترین مقدار تابع یک متغیر قبلاً مورد بحث قرار گرفت.

14. اجازه دهید مرز منطقه D را با معادلات پارامتری بدست آورید:

سپس روی این منحنی تابع دو متغیر خواهد بود تابع پیچیدهاز پارامتر: . برای چنین تابعی، بزرگترین و کوچکترین مقدار با روش تعیین بزرگترین و کوچکترین مقادیر برای تابعی از یک متغیر تعیین می شود.

اجازه دهید ابتدا حالت تابعی از دو متغیر را در نظر بگیریم. حداکثر شرطی تابع $z=f(x,y)$ در نقطه $M_0(x_0;y_0)$ منتهی الیه این تابع است که تحت شرایطی به دست می آید که متغیرهای $x$ و $y$ در در مجاورت این نقطه معادله محدودیت $\ varphi(x,y)=0$ را برآورده می کند.

نام extremum شرطی به این دلیل است که شرط اضافی $\varphi(x,y)=0$ بر روی متغیرها اعمال می شود. اگر بتوان یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر از معادله اتصال بیان کرد، در این صورت مسئله تعیین حد فاصل شرطی به مسئله حدت معمول یک تابع از یک متغیر کاهش می یابد. به عنوان مثال، اگر $y=\psi(x)$ از معادله محدودیت دنبال شود، سپس با جایگزینی $y=\psi(x)$ به $z=f(x,y)$، تابعی از یک متغیر $ دریافت می کنیم. z=f\ چپ (x,\psi(x)\راست)$. AT مورد کلیبا این حال، این روش کاربرد کمی دارد، بنابراین یک الگوریتم جدید مورد نیاز است.

روش ضریب های لاگرانژ برای توابع دو متغیر.

روش ضریب های لاگرانژ به این صورت است که برای یافتن اکسترمم شرطی، تابع لاگرانژ تشکیل می شود: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (پارامتر $\lambda $ ضریب لاگرانژ نامیده می شود. شرایط اضطراری لازم توسط سیستمی از معادلات ارائه می شود که از آن نقاط ثابت تعیین می شوند:

$$ \left \( \begin(تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(تراز شده)\right.$$

علامت $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. اگر در یک نقطه ثابت $d^2F > 0$ باشد، تابع $z=f(x,y)$ در این نقطه حداقل شرطی دارد، اما اگر $d^2F< 0$, то условный максимум.

راه دیگری برای تعیین ماهیت اکستروم وجود دارد. از معادله محدودیت دریافت می کنیم: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$، بنابراین در هر نقطه ثابتی داریم:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\راست)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \راست)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\راست)$$

عامل دوم (واقع در پرانتز) را می توان به این شکل نشان داد:

عناصر $\left| \begin(آرایه) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (آرایه) \right|$ که هسین تابع لاگرانژ است. اگر $H > 0$ باشد، آنگاه $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 دلار، یعنی ما یک حداقل شرطی از تابع $z=f(x,y)$ داریم.

به شکل تعیین کننده $H$ توجه کنید. نمایش/پنهان کردن

$$ H=-\left|\begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

در این وضعیت، قانون فرمول‌بندی‌شده در بالا به صورت زیر تغییر می‌کند: اگر $H > 0$ باشد، تابع یک حداقل شرطی دارد و برای $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

الگوریتم مطالعه تابعی از دو متغیر برای یک اکستروم شرطی

تابع لاگرانژ را بنویسید $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
حل سیستم $ \left \( \begin(تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(تراز شده)\right.$
ماهیت اکستریموم را در هر یک از نقاط ثابت موجود در پاراگراف قبل تعیین کنید. برای این کار از یکی از روش های زیر استفاده کنید:
- تعیین $H$ را بنویسید و علامت آن را پیدا کنید
- با در نظر گرفتن معادله محدودیت، علامت $d^2F$ را محاسبه کنید

روش ضریب لاگرانژ برای توابع n متغیر

فرض کنید تابعی از $n$ متغیرهای $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ و معادلات محدودیت $m$ داریم ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

با نشان دادن ضریب های لاگرانژ به صورت $\lambda_1،\lambda_2،\ldots،\lambda_m$، تابع لاگرانژ را می سازیم:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

شرایط لازم برای وجود یک اکستروم مشروط توسط سیستم معادلات ارائه می شود که از آن مختصات نقاط ثابت و مقادیر ضرب کننده های لاگرانژ پیدا می شود:

$$\left\(\begin (تراز شده) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(تراز شده) \right.$$

با استفاده از علامت $d^2F$ می‌توان فهمید که آیا یک تابع در نقطه پیدا شده دارای حداقل شرطی یا حداکثر شرطی است. اگر در نقطه پیدا شده $d^2F > 0$ باشد، تابع یک حداقل شرطی دارد، اما اگر $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

تعیین کننده ماتریس $\left| \begin(آرایه) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\ partial x_(2) ) & \frac(\جزئی^2F)(\x_(1)\جزئی x_(3)) &\ldots & \frac(\جزئی^2F)(\بخشی x_(1)\جزئی x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\ x_(2) \ x_(3) جزئی )(\بخشی x_(3) \جزئی x_(1)) & \frac(\جزئی^2F)(\بخشی x_(3)\بخشی x_(2)) & \frac(\جزئی^2F)(\جزئی x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\جزئی x_(3)\جزئی x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(1)) & \frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(2)) و \ frac(\جزئی^2F)(\x_(n)\جزئی x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\x_(n)^(2))\\ \end( آرایه) \right|$ که در ماتریس $L$ با رنگ قرمز مشخص شده است، هسین تابع لاگرانژ است. ما از قانون زیر استفاده می کنیم:

اگر علائم مینورهای گوشه $H_(2m+1)،\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ماتریس $L$ با علامت $(-1)^m$ منطبق است، سپس نقطه ثابت مورد مطالعه حداقل نقطه شرطی تابع $z است. =f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
اگر علائم مینورهای گوشه $H_(2m+1)،\; H_(2m+2)،\ldots،H_(m+n)$ متناوب، و علامت جزئی $H_(2m+1)$ با علامت عدد $(-1)^(m+1 منطبق است )$، سپس نقطه ثابت مورد مطالعه حداکثر نقطه شرطی تابع $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ است.

مثال شماره 1

حداکثر شرطی تابع $z(x,y)=x+3y$ را تحت شرط $x^2+y^2=10$ پیدا کنید.

تفسیر هندسی این مسئله به این صورت است: باید بزرگترین و کوچکترین مقدار کاربرد صفحه $z=x+3y$ را برای نقاط تقاطع آن با استوانه $x^2+y^2 پیدا کرد. = 10 دلار

بیان یک متغیر بر حسب متغیر دیگر از معادله محدودیت و جایگزینی آن با تابع $z(x,y)=x+3y$ تا حدودی دشوار است، بنابراین از روش لاگرانژ استفاده خواهیم کرد.

با نشان دادن $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$، تابع لاگرانژ را می سازیم:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\x جزئی)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\جزئی y)=3+2\lambda y. $$

اجازه دهید سیستم معادلات را برای تعیین نقاط ثابت تابع لاگرانژ بنویسیم:

$$ \left \( \begin(تراز شده) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \پایان (تراز شده)\right.$$

اگر $\lambda=0$ را فرض کنیم، اولین معادله می شود: $1=0$. تضاد حاصل می گوید که $\lambda\neq 0$. تحت شرط $\lambda\neq 0$، از معادلات اول و دوم داریم: $x=-\frac(1)(2\lambda)$، $y=-\frac(3)(2\lambda) $. با جایگزینی مقادیر به دست آمده در معادله سوم، به دست می آید:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(تراز شده) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end (تراز شده) $$

بنابراین، سیستم دو راه حل دارد: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ و $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. اجازه دهید ماهیت اکسترموم را در هر نقطه ثابت دریابیم: $M_1(1;3)$ و $M_2(-1;-3)$. برای انجام این کار، تعیین کننده $H$ را در هر یک از نقاط محاسبه می کنیم.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\ چپ| \begin(آرایه) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(آرایه) \right|= \چپ| \begin(array) (cccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

در نقطه $M_1(1;3)$ دریافت می کنیم: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$، بنابراین در نقطه $M_1(1;3)$ تابع $z(x,y)=x+3y$ دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=z(1;3)=10$.

به طور مشابه، در نقطه $M_2(-1;-3)$ پیدا می کنیم: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. از آنجایی که $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

توجه داشته باشم که به جای محاسبه مقدار تعیین کننده $H$ در هر نقطه، بسیار راحت تر است که آن را در نمای کلی. برای اینکه متن با جزئیات شلوغ نشود، این روش را زیر یک یادداشت پنهان می کنم.

نماد $H$ تعیین کننده به صورت کلی. نمایش/پنهان کردن

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

در اصل، از قبل مشخص است که $H$ دارای کدام علامت است. از آنجایی که هیچ یک از نقاط $M_1$ یا $M_2$ با مبدا منطبق نیست، پس $y^2+x^2>0$. بنابراین، علامت $H$ مخالف علامت $\lambda$ است. همچنین می توانید محاسبات را کامل کنید:

$$ \begin(تراز شده) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\راست)=-40. \end (تراز شده) $$

سوال در مورد ماهیت انتها در نقاط ثابت $M_1(1;3)$ و $M_2(-1;-3)$ را می توان بدون استفاده از تعیین کننده $H$ حل کرد. علامت $d^2F$ را در هر نقطه ثابت پیدا کنید:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

توجه داشته باشم که علامت $dx^2$ دقیقاً به معنای $dx$ است که به توان دوم افزایش یافته است. $\چپ(dx\راست)^2$. بنابراین ما داریم: $dx^2+dy^2>0$، بنابراین برای $\lambda_1=-\frac(1)(2)$، $d^2F دریافت می کنیم< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

پاسخ: در نقطه $(-1;-3)$ تابع دارای حداقل شرطی، $z_(\min)=-10$ است. در نقطه $(1;3)$ تابع دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=10$

مثال شماره 2

حداکثر شرطی تابع $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ را تحت شرط $x+y=0$ پیدا کنید.

راه اول (روش ضرب کننده های لاگرانژ)

با نشان دادن $\varphi(x,y)=x+y$ تابع لاگرانژ را می سازیم: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\جزئی F)(\ x جزئی)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(تراز شده) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(تراز شده)\right.$$

با حل سیستم، به دست می‌آییم: $x_1=0$، $y_1=0$، $\lambda_1=0$ و $x_2=\frac(10)(9)$، $y_2=-\frac(10)(9 )$، $\lambda_2=-10$. ما دو نقطه ثابت داریم: $M_1(0;0)$ و $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. اجازه دهید ماهیت اکسترموم را در هر نقطه ثابت با استفاده از تعیین کننده $H$ دریابیم.

$$ H=\ چپ| \begin(آرایه) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(آرایه) \right|= \چپ| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

در نقطه $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$، بنابراین در این مرحله تابع حداکثر شرطی دارد، $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

ما ماهیت اکسترموم را در هر یک از نقاط با روشی متفاوت بر اساس علامت $d^2F$ بررسی می کنیم:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 دلار

از معادله محدودیت $x+y=0$ داریم: $d(x+y)=0$، $dx+dy=0$، $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

از آنجایی که $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$، پس $M_1(0;0)$ حداقل نقطه شرطی تابع $z(x,y)=3y^3+ است. 4x^ 2-xy$. به طور مشابه، $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

راه دوم

از معادله محدودیت $x+y=0$ به دست می آید: $y=-x$. با جایگزینی $y=-x$ به تابع $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$، تابعی از متغیر $x$ را بدست می آوریم. بیایید این تابع را به صورت $u(x)$ نشان دهیم:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

بنابراین، ما مشکل یافتن حد فاصل یک تابع از دو متغیر را به مسئله تعیین حداکثر یک تابع از یک متغیر کاهش دادیم.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

امتیاز $M_1(0;0)$ و $M_2\left(\frac(10)(9)؛ -\frac(10)(9)\right)$ دریافت کرد. تحقیقات بیشتر از سیر حساب دیفرانسیل توابع یک متغیر شناخته شده است. با بررسی علامت $u_(xx)^("")$ در هر نقطه ثابت یا بررسی تغییر علامت $u_(x)^(")$ در نقاط یافت شده، به همان نتیجه ای می رسیم که هنگام حل اولین مورد به عنوان مثال، علامت $u_(xx)^("")$ را علامت بزنید:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

از آنجایی که $u_(xx)^("")(M_1)>0$، پس $M_1$ حداقل نقطه تابع $u(x)$ است، در حالی که $u_(\min)=u(0)=0 دلار از $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

مقادیر تابع $u(x)$ تحت شرایط اتصال داده شده با مقادیر تابع $z(x,y)$ منطبق است، یعنی. انتهای یافت شده از تابع $u(x)$، اکسترمای شرطی مطلوب تابع $z(x,y)$ هستند.

پاسخ: در نقطه $(0;0)$ تابع دارای حداقل شرطی، $z_(\min)=0$ است. در نقطه $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ تابع حداکثر شرطی است، $z_(\max)=\frac(500)(243 ) دلار.

بیایید یک مثال دیگر را در نظر بگیریم که در آن با تعیین علامت $d^2F$ به ماهیت اکستروم پی می بریم.

مثال شماره 3

مقادیر حداکثر و حداقل تابع $z=5xy-4$ را در صورت مثبت بودن متغیرهای $x$ و $y$ بیابید و معادله محدودیت $\frac(x^2)(8)+\frac( را برآورده کنید. y^2) (2) -1=0$.

تابع لاگرانژ را بنویسید: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. نقاط ثابت تابع لاگرانژ را پیدا کنید:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \چپ \( \begin(تراز شده) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(تراز شده) \راست.$$

تمام تبدیل های بعدی با در نظر گرفتن $x > 0 انجام می شود. \; y > 0$ (این در شرایط مشکل قید شده است). از معادله دوم، $\lambda=-\frac(5x)(y)$ را بیان می کنیم و مقدار پیدا شده را به معادله اول جایگزین می کنیم: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$، $4y^2-x^2=0$، $x=2y$. با جایگزینی $x=2y$ در معادله سوم، دریافت می کنیم: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$، $y^2=1$، $y = 1$.

از آنجایی که $y=1$، سپس $x=2$، $\lambda=-10$. ماهیت اکسترموم در نقطه $(2;1)$ از علامت $d^2F$ تعیین می شود.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

از آنجایی که $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$، پس:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

در اصل، در اینجا می توانید بلافاصله مختصات نقطه ثابت $x=2$، $y=1$ و پارامتر $\lambda=-10$ را جایگزین کنید، بنابراین به دست می آورید:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \راست)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

با این حال، در سایر مشکلات برای یک اکستروم مشروط، ممکن است چندین نقطه ثابت وجود داشته باشد. در چنین مواردی، بهتر است $d^2F$ را به صورت کلی نشان دهیم و سپس مختصات هر یک از نقاط ثابت یافت شده را در عبارت حاصل جایگزین کنیم:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \راست)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \راست)\cdot dx^2 $$

با جایگزینی $x=2$، $y=1$، $\lambda=-10$، دریافت می کنیم:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \راست)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

از آنجایی که $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

پاسخ: در نقطه $(2;1)$ تابع دارای حداکثر شرطی است، $z_(\max)=6$.

در قسمت بعدی کاربرد روش لاگرانژ را برای توابع در نظر می گیریم بیشترمتغیرها

تعریف 1: گفته می شود که تابع در نقطه است حداکثر محلی، اگر همسایگی نقطه برای هر نقطه وجود داشته باشد مبا مختصات (x، y)نابرابری برآورده می شود: . در این حالت، یعنی افزایش تابع< 0.

تعریف 2: به تابعی گفته می شود که در نقطه ای دارای حداقل محلی باشد اگر همسایگی آن نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای هر نقطه مبا مختصات (x، y)نابرابری برآورده می شود: . در این حالت، یعنی افزایش تابع > 0.

تعریف 3: حداقل و حداکثر امتیاز محلی نامیده می شود نقاط افراطی.

افراط های مشروط

هنگام جستجوی اکسترمات یک تابع از بسیاری از متغیرها، اغلب مشکلات مربوط به به اصطلاح ایجاد می شود افراطی مشروطاین مفهوم را می توان با مثال تابعی از دو متغیر توضیح داد.

اجازه دهید یک تابع و یک خط داده شود Lروی سطح 0xy. وظیفه خط کشی است Lچنین نقطه ای را پیدا کنید P(x, y)که در آن مقدار تابع در مقایسه با مقادیر این تابع در نقاط خط، بزرگترین یا کوچکترین است. Lواقع در نزدیکی نقطه پ. چنین نکاتی پتماس گرفت نقاط افراطی مشروطتوابع خط L. بر خلاف نقطه اضطراری معمول، مقدار تابع در نقطه منتهی الیه شرطی با مقادیر تابع نه در همه نقاط برخی از همسایگی‌های آن، بلکه فقط در نقاطی که روی خط قرار دارند مقایسه می‌شود. L.

کاملاً واضح است که نقطه افراط معمول (هم می گویند افراطی بدون قید و شرط) همچنین یک نقطه منتهی شرطی برای هر خطی است که از این نقطه عبور می کند. برعکس، البته، درست نیست: یک نقطه افراطی مشروط ممکن است یک نقطه افراطی معمولی نباشد. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال ساده توضیح دهم. نمودار تابع نیمکره بالایی است (پیوست 3 (شکل 3)).

این تابع در مبدا دارای حداکثر است. با بالا مطابقت دارد منیمکره ها اگر خط Lیک خط از نقاط عبور می کند ولیو AT(معادله او x+y-1=0، از نظر هندسی مشخص است که برای نقاط این خط حداکثر مقدار تابع در نقطه ای که در وسط بین نقاط قرار دارد به دست می آید. ولیو AT.این نقطه حداکثر شرطی (حداکثر) تابع در خط داده شده است. با نقطه M 1 روی نیمکره مطابقت دارد و از شکل می توان دریافت که در اینجا هیچ گونه افراطی معمولی وجود ندارد.

توجه داشته باشید که در قسمت پایانی مسئله یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک منطقه بسته، باید مقادیر اضافی تابع را در مرز این ناحیه پیدا کنیم، یعنی. در برخی از خطوط، و در نتیجه حل مشکل برای یک افراط مشروط.

اجازه دهید اکنون به جستجوی عملی نقاط انتهایی شرطی تابع Z= f(x,y) بپردازیم، مشروط بر اینکه متغیرهای x و y با معادله (x,y) = 0 مرتبط باشند. این رابطه خواهد بود. معادله محدودیت نامیده می شود. اگر از معادله اتصال y را بتوان به صراحت بر حسب x بیان کرد: y \u003d (x)، تابعی از یک متغیر Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) بدست می آوریم.

با یافتن مقدار x که در آن این تابع به یک اکسترموم می رسد و سپس مقادیر متناظر y را از معادله اتصال تعیین می کنیم، نقاط مورد نظر اکستروم شرطی را به دست خواهیم آورد.

پس در مثال بالا از معادله ارتباط x+y-1=0 y=1-x داریم. از اینجا

بررسی اینکه z به حداکثر خود در x = 0.5 می رسد آسان است. اما پس از آن از معادله اتصال y = 0.5، و دقیقاً نقطه P را که از ملاحظات هندسی به دست می آید، بدست می آوریم.

حتی زمانی که معادله محدودیت را می توان با معادلات پارامتری x=x(t)، y=y(t) نمایش داد، مسئله اکستروم شرطی بسیار ساده حل می شود. جایگزین کردن عبارات برای x و y به این تابع، دوباره به مسئله یافتن اکسترومم تابع یک متغیر می رسیم.

اگر معادله محدودیت بیش از نمای پیچیدهو ما نمی توانیم یک متغیر را به طور صریح بر حسب متغیر دیگر بیان کنیم، یا آن را با معادلات پارامتری جایگزین نمی کنیم، در این صورت مشکل یافتن یک اکستروم شرطی دشوارتر می شود. ما همچنان فرض می کنیم که در بیان تابع z= f(x, y) متغیر (x, y) = 0. مشتق کل تابع z= f(x, y) برابر است با:

مشتق y که با قاعده تمایز تابع ضمنی یافت می شود کجاست. در نقاط انتهایی شرطی، مشتق کل یافت شده باید برابر با صفر باشد. این یک معادله مربوط به x و y را به دست می دهد. از آنجایی که آنها باید معادله محدودیت را نیز برآورده کنند، سیستمی متشکل از دو معادله با دو مجهول دریافت می کنیم.

بیایید با نوشتن معادله اول به صورت نسبت و معرفی یک مجهول کمکی جدید، این سیستم را به سیستمی بسیار راحت تر تبدیل کنیم:

(یک علامت منفی برای راحتی در جلو قرار داده شده است). عبور از این برابری ها به سیستم زیر آسان است:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*)

که همراه با معادله قید (x, y) = 0 سیستمی متشکل از سه معادله با مجهولات x و y و.

استفاده از این معادلات (*) ساده ترین است قانون بعدی: به منظور یافتن نقاطی که می توانند نقاطی از منتهی الیه شرطی تابع باشند

Z= f(x, y) با معادله محدودیت (x, y) = 0، باید یک تابع کمکی تشکیل دهید.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

جایی که مقداری ثابت است و معادلاتی بنویسید تا نقاط منتهی این تابع را بیابید.

سیستم معادلات مشخص شده، به عنوان یک قاعده، فقط شرایط لازم را ارائه می دهد، یعنی. هر جفت مقادیر x و y که این سیستم را برآورده می کند لزوماً یک نقطه اکستریمم شرطی نیست. شرایط کافیبرای امتیازات افراطی مشروط، نمی دهم. غالباً محتوای خاص خود مسئله نشان می دهد که نقطه یافت شده چیست. روش توصیف شده برای حل مسائل برای یک اکسترمم شرطی، روش ضرب کننده های لاگرانژ نامیده می شود.

مثال

حداکثر تابع را به شرط آن بیابید ایکسو دربا نسبت: . از نظر هندسی، مسئله به این معنی است: روی یک بیضی
سطح
.

این مشکل را می توان به صورت زیر حل کرد: از معادله
پیدا کردن
ایکس:

به شرطی که
، به مسئله یافتن حد فاصل تابع یک متغیر در قطعه تقلیل می یابد
.

از نظر هندسی، مسئله به این معنی است: روی یک بیضی با عبور از سیلندر به دست می آید
سطح
، لازم است حداکثر یا حداقل مقدار درخواست را پیدا کنید (شکل 9). این مشکل را می توان به صورت زیر حل کرد: از معادله
پیدا کردن
. با جایگزینی مقدار یافت شده y در معادله صفحه، تابعی از یک متغیر به دست می آوریم ایکس:

بنابراین، مشکل یافتن حد فاصل تابع
به شرطی که
، به مسئله یافتن حد فاصل تابع یک متغیر در یک قطعه تقلیل می یابد.

بنابراین، مشکل یافتن یک افراطی مشروطمشکل یافتن حد فاصل تابع هدف است
، به شرطی که متغیرها ایکسو درمشمول محدودیت
تماس گرفت معادله اتصال

این را خواهیم گفت نقطه
، ارضای معادله محدودیت، نقطه حداکثر شرطی محلی (حداقل) اگر محله ای باشد
به طوری که برای هر نقطه
، که مختصات آن معادله محدودیت را برآورده می کند، نابرابری برقرار است.

در صورتی که از معادله ارتباط می توان عبارتی برای در، سپس با جایگزینی این عبارت به تابع اصلی، دومی را به یک تابع پیچیده از یک متغیر تبدیل می کنیم ایکس.

روش کلی برای حل مشکل افراطی مشروط است روش ضریب لاگرانژ. بیایید یک تابع کمکی ایجاد کنیم، جایی که ─ یک عدد این تابع نامیده می شود تابع لاگرانژ، آ ─ ضریب لاگرانژ. بنابراین، مشکل یافتن یک اکسترمم شرطی به یافتن نقاط اکستروموم محلی برای تابع لاگرانژ کاهش یافته است. برای یافتن نقاط یک مادون ممکن، باید یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را حل کرد. x، yو

سپس باید از شرایط اکستریم کافی زیر استفاده کرد.

قضیه. اجازه دهید نقطه نقطه ای از حد اخر ممکن برای تابع لاگرانژ باشد. ما فرض می کنیم که در مجاورت نقطه
مشتقات جزئی مرتبه دوم پیوسته از توابع وجود دارد و . مشخص کن

سپس اگر
، سپس
─ نقطه افراطی مشروط تابع
در معادله محدودیت
در همین حال، اگر
، سپس
─ حداقل امتیاز مشروط، اگر
، سپس
─ نقطه حداکثر مشروط.

§ هشت. گرادیان و مشتق جهت

اجازه دهید تابع
در برخی از دامنه های (باز) تعریف شده است. هر نکته ای را در نظر بگیرید
این ناحیه و هر خط مستقیم جهت دار (محور) عبور از این نقطه (شکل 1). اجازه دهید
- یک نقطه دیگر از این محور،
- طول بخش بین
و
، اگر جهت باشد با علامت مثبت گرفته شده است
منطبق با جهت محور است ، و با علامت منفی اگر جهت آنها مخالف باشد.

اجازه دهید
به طور نامحدود نزدیک می شود
. حد

تماس گرفت مشتق تابع
به سمت (یا در امتداد محور ) و به صورت زیر نشان داده می شود:

این مشتق "نرخ تغییر" تابع را در نقطه مشخص می کند
به سمت . به طور خاص، و مشتقات جزئی معمولی ,همچنین می توان به عنوان مشتقات "با توجه به جهت" در نظر گرفت.

حالا فرض کنید که تابع
دارای مشتقات جزئی پیوسته در منطقه مورد نظر است. اجازه دهید محور با محورهای مختصات زاویه تشکیل می دهد
و . بر اساس مفروضات ساخته شده، مشتق جهت دار وجود دارد و با فرمول بیان می شود